Fluidodinamica dei processi astro marconi/Lezioni/IntAst12/Lezione10- ¢  Fluidodinamica dei

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  • Fluidodinamica

    dei processi astrofisici

    Introduzione all’Astrofisica AA 2012/2013

    Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia

    Università di Firenze

    Dispense e presentazioni disponibili all’indirizzo http://www.arcetri.astro.it/„marconi

    Ultimo aggiornamento: 13 maggio 2013

  • 1 Equazioni della fluidodinamica

    Equazione di conservazione della massa

    Bρ Bt `

    ~∇ ¨ pρ~vq “ 0 (1)

    Equazione di moto

    B~v Bt ` p~v ¨∇q~v “ ´

    ~∇p ρ ` 1 ρ ~Fext (2)

    Se siamo in un campo gravitazionale

    ~Fext “ ´ρ~∇φ (3)

    B~v Bt ` p~v ¨∇q~v “ ´

    ~∇p ρ ´ ~∇φ (4)

    se il campo è generato dalla stessa massa del fluido,

    ∇2φ “ 4πGρ (5)

    Nel caso ~v “ 0 ritroviamo l’equazione dell’equilibrio idrostatico. Queste equazioni sono scritte in notazione Euleriana, ovvero consideriamo una posizione nello spazio ~r e guardiamo come variano le grandezze fisiche in ~r al variare del tempo. Esiste anche la notazione Lagrangiana in cui si segue il moto di un ben definito volumetto di fluido (particella fluida) e si osservano le variazioni delle grandezze fisiche che lo caratterizzano: si individua la particella fluida alla posizione ~r0 al tempo t0 e se specifica la posizione in funzione del tempo

    ~r “ ~rp~r0, t0, tq (6)

    La derivata temporale nell’approccio Lagrangiano è data da

    d

    dt “ BBt ` ~v ¨

    ~∇ (7)

    Ad esempio,

    dt “ BρBt ` ~v ¨

    ~∇ρ “ BρBt ` ~∇ ¨ pρ~vq ´ ρ~∇ ¨ ~v (8)

    1

  • da cui, applicando l’equazione di continuità in forma Euleriana (1) otteniamo l’equazione di continuità in forma Lagrangiana

    dt “ ´ρ~∇ ¨ ~v (9)

    Per l’equazione di moto, si riconosce che l’equazione in forma Euleriana (2) è direttamente

    d~v

    dt “ ´

    ~∇p ρ ´ ~∇φ (10)

    ovvero il secondo principio della dinamica applicato alla particella fluida. Riassumendo abbiamo 6 funzioni incognite (ρ, ~v, p, e φ) per 5 equazioni:

    Bρ Bt `

    ~∇ ¨ pρ~vq “ 0

    B~v Bt ` p~v ¨∇q~v “ ´

    ~∇p ρ ´ ~∇φ

    ∇2φ “ 4πGρ

    A queste dobbiamo aggiungere l’equazione di stato p “ ppρ, T q che nel caso dei gas perfetti è

    p “ ρ m̄ k T (11)

    ma questa introduce un’ulteriore incognita T . Per determinare la tempera- tura occorre considerare l’equazione per la conservazione dell’energia. Dal primo e dal secondo principio della Termodinamica

    dU “ TdS ´ pdV (12)

    che si riferisce all’elemento fluido di massa M ; U è l’energia interna (termica) e S è l’entropia. Dividendo membro a membro per M possiamo passare alle grandezze per unità di massa (specifiche) ovvero

    � “ U M

    s “ S M

    ma dV {M “ dpV {Mq “ dp1{ρq per cui

    d� “ Tds´ pd ˆ

    1

    ρ

    ˙

    “ Tds` p ρ2 dρ (13)

    2

  • Consideriamo il caso in non ci siano processi dissipativi (con produzione di calore) e non ci sia trasmissione di calore da un elemento fluido all’altro (tempi scala trasmissione del calore sono più lunghi dei tempi scala tipici del sistema fluido). Queste approssimazioni sono ben verificate per il gas perfet- to. Allora siamo nell’approssimazione adiabatica in cui Tds “ 0 e pertanto l’equazione dell’energia esprime la conservazione dell’entropia specifica

    ds

    dt ` ~v ¨ ~∇s “ 0 (14)

    Una trasformazione adiabatica di un gas perfetto è caratterizzata da una relazione ben precisa tra p e ρ che deriva dalla ben nota pV γ “ cost. ovvero

    p “ Kργ (15)

    con K costante e γ “ CP {CV . Nel caso di un gas perfetto monoatomico γ “ 5{3. Una relazione come la 15 per un qualsiasi valore di γ prende il nome di Politropica e può essere presa in sostituzione dell’equazione dell’energia per chiudere il sistema. La relazione adiabatica Tds “ 0 fornisce un’altra relazione che posso usare come alternativa per l’equazione dell’energia ovvero d� “ p{ρ2 dρ. L’energia interna specifica (energia termica) è

    � “ 1 γ ´ 1

    p

    ρ (16)

    dove p si sono utilizzate le relazioni che legano l’energia termica alla tempe- ratura e l’equazione di stato dei gas perfetti. Infine l’equazione dell’energia, in assenza di processi dissipativi (o di produzione di energia) ed in assenza di conduzione del calore è

    d

    dt

    ˆ

    1

    γ ´ 1 p

    ρ

    ˙

    “ ´p ρ ~∇ ¨ v (17)

    dove si è sfruttata l’equazione di continuità della massa in forma Lagrangiana.

    1.1 Il Teorema di Bernoulli

    Vediamo adesso come si può ricavare il Teorema di Bernoulli dalle equazioni fluide. Il Teorema di Bernoulli vale nel caso stazionario per cui per ogni grandezza fisica f , Bf{Bt “ 0. Partiamo dall’equazione dell’energia d� “ ´p dp1{ρq che possiamo scrivere come

    d� “ ´p d ˆ

    1

    ρ

    ˙

    “ ´d ˆ

    p

    ρ

    ˙

    ` 1 ρ dp (18)

    3

  • esplicitando la derivata Lagrangiana, con B{Bt “ 0, si ha

    ~v ¨ ~∇� “ ´~v ¨ ~∇ ˆ

    p

    ρ

    ˙

    ` 1 ρ ~v ¨ ~∇p

    1

    ρ ~v ¨ ~∇p “ ~v ¨ ~∇

    ˆ

    �` p ρ

    ˙

    (19)

    Consideriamo l’equazione della forza con B{Bt “ 0

    p~v ¨∇q~v “ ´ ~∇p ρ ´ ~∇φ

    ~∇p ρ

    “ ´p~v ¨ ~∇q~v ´ ~∇φ (20)

    moltiplichiamo scalarmente membro a membro per ~v,

    1

    ρ ~v ¨ ~∇p “ ´~v ¨ p~v ¨ ~∇q~v ´ ~v ¨ ~∇φ

    1

    ρ ~v ¨ ~∇p “ ´~v ¨ ~∇

    ˆ

    1

    2 v2 ˙

    ´ ~v ¨ ~∇φ

    1

    ρ ~v ¨ ~∇p “ ´~v ¨ ~∇

    ˆ

    1

    2 v2 ` φ

    ˙

    (21)

    ma sostituendo l’equazione 19 otteniamo infine

    ~v ¨ ~∇ ˆ

    1

    2 v2 ` φ` �` p

    ρ

    ˙

    “ 0 (22)

    Poichè �` p

    ρ “ γ γ ´ 1

    p

    ρ (23)

    otteniamo infine

    ~v ¨ ~∇ ˆ

    1

    2 v2 ` φ` γ

    γ ´ 1 p

    ρ

    ˙

    “ 0 (24)

    questo significa che lungo una linea di flusso (linea di campo di ~v) il gradiente deve essere nullo, ovvero

    1

    2 v2 ` φ` γ

    γ ´ 1 p

    ρ “ cost. (25)

    che è proprio il Teorema di Bernoulli. Vediamo adesso l’applicazione delle equazioni della fluidodinamica a vari casi di rilevanza astrofisica.

    4

  • 2 Perturbazioni lineari e onde

    Consideriamo adesso le piccole perturbazioni di un mezzo statico, omogeneo e indefinito. Le grandezze fisiche della soluzione di equilibrio sono indicate con il pedice 0:

    ρ “ ρ0, p “ p0, ~v “ 0, ~∇p0 “ 0 ~∇ρ0 “ 0

    Le piccole perturbazioni possono essere espresse nella forma f “ f0` δf con δf{f ! 1, ovvero

    ρ “ ρ0 ` δrho p “ p0 ` δp φ “ φ0 ` δφ ~v “ δ~v (26)

    Le equazioni fluide per il mezzo perturbato sono pertanto

    Bpδρq Bt `

    ~∇ ¨ rpρ0 ` δρqδ~v s “ 0

    Bpδ~vq Bt ` pδ~v ¨

    ~∇qδ~v “ ´ 1 ρ0 ` δρ

    ~∇pp0 ` δpq ´ ~∇pφ0 ` δφq

    ∇2pφ0 ` δφq “ 4πGpρ0 ` δρq (27)

    Sviluppando al primo ordine (dove necessario), eliminando i termini del secondo ordine e utilizzando le soluzioni di equilibrio si ottiene

    Bpδρq Bt `

    ~∇ ¨ pρ0δ~v q “ 0

    Bpδ~vq Bt “ ´

    ~∇δp ρ0

    ´ ~∇δφ

    ∇2δφ “ 4πGδρ (28)

    Consideriamo perturbazioni adiabatiche, ovvero tali che s “ cost. Allora l’equazione di stato è esprimibile come

    δp “ ˆ

    Bp Bρ

    ˙

    s

    δρ “ c2s δρ (29)

    dove la derivata è stata indicata con c2s e il suo significato sarà chiaro a breve. Adesso deriviamo rispetto al tempo la prima equazione e prendiamo

    5

  • la divergenza della seconda:

    B2pδρq Bt2 ` ρ0

    B Bt

    ~∇ ¨ pδ~v q ı

    “ 0

    ~∇ ¨ „

    Bpδ~vq Bt

    “ ´∇ 2δp

    ρ0 ´∇2δφ

    ∇2δφ “ 4πGδρ (30)

    eliminiamo p utilizzando l’equazione di stato, sostituiamo la terza equazione nella seconda e definiamo il contrasto di densità ∆ “ δρ{ρ0

    B2∆ Bt2 `

    B Bt

    ~∇ ¨ pδ~v q ı

    “ 0

    ~∇ ¨ „

    Bpδ~vq Bt

    “ ´c2s∇2∆´ 4πGρ0∆

    Infine, sostituendo la seconda equazione nella prima si ottiene

    B2∆ Bt2 ´ c

    2 s∇2∆´ 4πGρ0∆ “ 0 (31)

    questa è una equazione delle onde con un termine forzante dovuto alla gravità. Cerchiamo soluzioni tipo onda piana

    ∆kp~r, tq “ ∆k exp ”

    ˘iωt` ~k ¨ ~r ı

    (32)

    con ∆k ampiezza costante. E’ facile verificare che

    B2

    Bt2 ∆ “ ´ω 2∆ (33)

    ∇2∆ “ ´k2∆ (34)

    per cui si ottiene la relazione di dispersione

    ω2 “ c2sk2 ´ 4πGρ0 (35)

    Una qualsiasi soluzione dell’equazione 31 è esprimibile come la combinazione lineare di onde piane (32) ovvero

    ∆p~r, tq “ Σk ∆k exp ”

    ˘iωt` ~k ¨ ~r ı

    (36)

    con ω e k che soddisfano la relazione di dispersione 35.

    6

  • Consideriamo il caso in cui la forza di gravità sia trascurabile, ovvero eli- minia