Ekonometrija Za 1 Kolokvij

1

SADRAJ DIO I. ...................................................................................................................................................... 4

OPENITO O EKONOMETRIJI...................................................................................................... 4

1.1. POVIJEST RAZVOJA I DEFINICIJA EKONOMETRIJE ...................................................... 4

1.2. POVEZANOST EKONOMETRIJE I SRODNIH ZNANSTVENIH GRANA .................... 5

1.3. CILJEVI I TIJEK EKONOMETRIJSKOG ISTRAIVANJA .................................................. 6

1.4. METODOLOGIJA EKONOMETRIJSKOG ISTRAIVANJA .............................................. 7

1. 5. EKONOMETRIJSKI MODELI .............................................................................................. 10

DIO II. ................................................................................................................................................... 16

REGRESIJSKI MODEL .................................................................................................................... 16

2. ZNAENJE REGRESIJSKE ANALIZE ....................................................................................... 16

3. REGRESIJSKI MODEL S DVIJE VARIJABLE - TEMELJI POJMOVI ..................................... 21

3.1. ODNOS IZMEU VARIJABLI .............................................................................................. 21

3.2. JEDNOSTAVNI LINEARNI REGRESIJSKI MODEL ......................................................... 23

3.3. POSEBNOST ZNAENJA TERMINA LINEARNA REGRESIJA ................................ 24

ZADACI ZA VJEBU .................................................................................................................... 26

RJEENJA ZADATAKA ................................................................................................................ 27

3.4. REGRESIJSKA FUNKCIJA POPULACIJE I REGRESIJSKA FUNKCIJA UZORKA ...... 28

3.4.1. REGRESIJSKA FUNKCIJA POPULACIJE HIPOTETIKI PRIMJER ..................... 29

3.4.2. REGRESIJSKA FUNKCIJA UZORKA HIPOTETIKI PRIMJER ............................ 32

4. OCJENJIVANJE PARAMETARA REGRESIJE .......................................................................... 35

ZADACI ZA VJEBU ........................................................................................................................ 38

RJEENJA ZADATAKA .................................................................................................................... 39

5. KLASINI LINEARNI REGRESIJSKI MODEL ........................................................................ 40

5.1. VARIJANCA I STANDARDNA GREKA OLS PROCJENITELJA .................................. 43

5.2. SVOJSTVA OLS PROCJENITELJA ...................................................................................... 45

5.3. DISTRIBUCIJA VJEROJATNOSTI OLS PROCJENITELJA ............................................... 46

6. TESTIRANJE HIPOTEZA U MODELU JEDNOSTAVNE LINEARNE REGRESIJE ............ 47

ZADACI ZA VJEBU ........................................................................................................................ 51


7. MJERENJE POUZDANOSTI ODNOSNO PRILAGOENOSTI REGRESIJSKOG MODELA

............................................................................................................................................................... 53

2

7.1. RASTAVLJANJE VARIJACIJA ZAVISNE VARIJABLE .................................................... 54

7.2. UTVRIVANJE VALJANOSTI REGRESIJE POMOU KOEFICIJENTA

DETERMINACIJE .......................................................................................................................... 55

7.3. STANDARDNA GREKA REGRESIJE ................................................................................ 57

7.4. TESTIRANJE STATISTIKE ZNAAJNOSTI REGRESIJSKOG MODELA ................. 57

ZADACI ZA VJEBU ........................................................................................................................ 60


8. PREDOAVANJE REZULTATA REGRESIJSKE ANALIZE ................................................... 62

9. VIESTRUKI LINEARNI REGRESIJSKI MODEL ..................................................................... 63

9. 1. LINEARNI REGRESIJSKI MODEL S TRI VARIJABLE ..................................................... 63

9. 2. PRETPOSTAVKE VIESTRUKOG LINEARNOG REGRESIJSKOG MODELA ............ 64

9.3. OCJENA PARAMETARA VIESTRUKE REGRESIJE ....................................................... 65

9.3.1. OLS PROCJENITELJI ....................................................................................................... 65

9.3.2. VARIJANCA I STANDARDNA POGREKA OLS PROCJENITELJA ..................... 67

9.4. KOEFICIJENT VIESTRUKE DETERMINACIJE R2 .......................................................... 68

9.5. TESTIRANJE HIPOTEZA U MODELU VIESTRUKE LINEARNE REGRESIJE ........... 71

ZADACI ZA VJEBU ........................................................................................................................ 75


10. OCJENJIVANJE U UVJETIMA NEISPUNJENIH PRETPOSTAVKI KLASINOG

MODELA ............................................................................................................................................. 78

10.1. MULTIKOLINEARNOST..................................................................................................... 78

10.1.1. POSLJEDICE MULTIKOLINEARNOSTI .................................................................... 81

10.1.2. OTKRIVANJE MULTIKOLINEARNOSTI .................................................................. 81

10.1.3. RJEAVANJE PROBLEMA MULTIKOLINEARNOSTI ........................................... 83

10.2. AUTOKORELACIJA ............................................................................................................. 83

10.2.1. POSLJEDICE AUTOKORELACIJE .............................................................................. 84

10.2.2. OTKRIVANJE AUTOKORELACIJE ............................................................................ 84

10.2.3. OTKLANJANJE AUTOKORELACIJE ......................................................................... 89

10.3. HETEROSKEDASTINOST ................................................................................................ 90

10.3.1. POSLJEDICE HETEROSKEDASTINOSTI ............................................................... 91

10.3.2. OTKRIVANJE HETEROSKEDASTINOSTI ............................................................. 91

10.3.3. OTKLANJANJE HETEROSKEDASTINOSTI .......................................................... 92

10.4. NORMALNOST GREAKA RELACIJE ............................................................................. 97

ZADACI ZA VJEBU ........................................................................................................................ 98

3


11. SPECIFIKACIJA MODELA I PREDVIANJE EKONOMETRIJSKIM MODELOM......... 100

11.1. SPECIFIKACIJA EKONOMETRIJSKOG MODELA ....................................................... 100

11. 2. PREDVIANJE EKONOMETRIJSKIM MODELOM .................................................... 108

4

DIO I.

OPENITO O EKONOMETRIJI

konomisti primjenjuju saznanja ekonomske teorije za objanjavanje i dobivanje

kvalitativnih informacija i odgovora tipa:

Hoe li profit rasti ili padati ako proizvodnja raste?

Hoe li prihodi rasti ili padati ako se cijena smanji? No menaderima su jednako vane i kvantitativne informacije:

Koliko e biti rast odnosno pad.?

Odgovore na ovakva i slina pitanja daje ekonometrija. Ekonometrijske tehnike obino se

koriste i razvijaju za davanje odgovora na praktine probleme. Kao to je razvidno iz prvih

pet slova rijei ekonometrija ti su problemi obino ekonomskog karaktera, iako se esto

ekonometrijske tehnike koriste i za ne ekonomska istraivanja.

1.1. POVIJEST RAZVOJA I DEFINICIJA EKONOMETRIJE

Ekonometrija je multidisciplinarna znanost koja izuava kvantitativne odnose definirane u

ekonomskoj teoriji, kao i procese koji generiraju njihove varijable, a sve uz uporabu matematikog i statistikog instrumentarija.

Ekonometrija kao znanstvena grana intenzivnije se poinje razvijati 30-ih godina prolog stoljea, a radi utvrivanja kvantitativnih odnosa izmeu ekonomskih procesa i njihovih

varijabli pomou matematikih i statistikih metoda. Iako su ekonomisti 17. i 18. stoljea

pokuavali mjeriti ekonomske varijable i primijeniti matematike metode u ekonomiji, nije

bilo znaajnijeg napretka sve do prve polovice prolog stoljea. Iako primjena statistikih

metoda na ekonomske procese ima duu povijest. Prva je empirijska studija objavljena ve 1699. godine od Charla Devenanta, dok je prvu modernu statistiku studiju potranje proveo

Rodolfo Enini, talijanski statistiar 1907. godine. Glavni razvojni impuls ekonometriji doao

je s osnivanjem Ekonometrijskog drutva pod vodstvom Schumpetera u Clevelandu (SAD) 1930. godine i izdavanjem asopisa Econometrica u sijenju 1933. godine. Taj je asopis i danas relevantan izvor informacija o razvojnim dostignuima na podruju ekonometrije.

Etimoloki izraz ekonometrija ili mjerenje u ekonomiji nastaje od dvije grke rijei oikonomia (ekonomija) i metron (mjerenje). Sam naziv ekonometrija uveo je u ekonomsku literaturu Ragnar Frisch, norveki ekonomist i statistiar, kasnije dobitnik prve Nobelove nagrade za

ekonomske znanosti.

Ekonometrija je grana ekonomske znanosti koja povezuje ekonomsku teoriju, matematiku

ekonomiju i metode statistike analize, a bavi se razvijanjem i usavravanjem metoda i

modela za kvantitativnu analizu gospodarske strukture, s ciljem da se ustanove zakonitosti gospodarskih procesa, te da se omogui predvianje, planiranje i usmjeravanje gospodarskih

tijekova. Openito, da bi bilo koja teorijska tvrdnja u ekonomiji mogla biti dokazana,

potrebno je koristiti ekonometrijske metode. Ekonometrija se zasniva na prilagoavanju matematikih i statistikih metoda potrebama zakljuivanja u ekonomiji, kroz proces

modeliranja osnovnih ekonomskih meuzavisnosti. Ekonomska teorija moe se prikazati

kao skup odnosa izmeu ekonomskih varijabli (Samuelson, 1947). Ekonometrija upravo te odnose matematiki formulira i kvantificira na bazi empirijskih mjerenja ekonomskih pojava.

E

5

Prema Theilu (1971.) ekonometrija se bavi empirijskim utvrivanjem ekonomskih

zakonitosti. U ekonometriji se kvantificiraju odnosi izmeu ekonomskih varijabli pomou matematikih i statistikih metoda.

U uvodnom lanku prvog broja asopisa Econometrica, poznati ekonomista Schumpeter daje slijedeu definiciju ekonometrije:

Ekonometrija je primjena specifinih metoda u podruju ekonomskih znanosti u nastojanju da se postignu numeriki rezultati i verificiraju ekonomski teoremi.

Ekonometrija analizira ekonomske procese, njihove strukture i kretanja, a ta se analiza temelji na statistikim podacima i instrumentariju, koji su racionalno koordinirani u ekonometrijskom modelu.

Ekonometrija dakle, predstavlja znanstvenu disciplinu koja ima za cilj matematiki

formulirati i utvrditi kvantitativne veze koje postoje izmeu ekonomskih varijabli, a

temeljem ekonomske teorije i informacija o tim varijablama sakupljenih pomou statistikih metoda. Prema tome, ekonometrija je jedna od grana ekonomske znanosti koja, na specifian

nain, sintetizira matematiku, ekonomsku teoriju, statistike metode i empirijsko opaanje.

Ekonometrija zapravo verificira koliko je ekonomska teorija konzistentna s empirijskim opaanjima, omoguuje dublje pronicanje u sutinu stvarnih ekonomskih pojava i procesa, a

ocijenjene ekonometrijske veze i modeli mogu posluiti za utvrivanje ekonomskih

parametara potrebnih za voenje ekonomske politike, donoenje odluka te predvianje kretanja ekonomskih varijabli.

1.2. POVEZANOST EKONOMETRIJE I SRODNIH ZNANSTVENIH GRANA

Ekonometrija nastaje svojevrsnom integracijom ekonomske teorije, matematike i statistike i to na nain da ekonomske postavke verificira kroz empirijska istraivanja. Ekonometrija tako povezuje tri znanstvene discipline:

matematiku ekonomiju

ekonomsku statistiku

matematiku statistiku

Slika 1: Povezanost ekonometrije i srodnih znanstvenih grana

Matematika ekonomija formulira zakljuke ekonomske teorije matematikim

simbolima, jezikom i sustavom notiranja i koristi matematike metode da izvede

veze ekonomskih zakonitosti, ali u

deterministikom obliku i ne daje

numerike vrijednosti parametrima

specificiranih veza. Ekonomska statistika se bavi prikupljanjem, obraivanjem i

predstavljanjem empirijskih ekonomskih podataka. Matematika statistika ocjenjuje, uz pomo svojih metoda, a na osnovi

empirijskih podataka, parametre ekonomskih veza. S obzirom da ekonomske veze karakterizira stohastinost, a matematika statistika se

bavi podacima koji su rezultat kontroliranih eksperimenata potrebne su prilagodbe. Takve prilagodbe statistikih

metoda zovu se ekonometrijske metode.

6

1.3. CILJEVI I TIJEK EKONOMETRIJSKOG ISTRAIVANJA

Polazei od definicije ekonometrije, mogue je definirati i cilj ekonometrijskog istraivanja,

koji nije tek sakupljanje injenica o odreenim pojavama, ve i njihovo objanjenje te

predvianje njihova kretanja u budunosti. A u suvremenim turbulentnim i promjenama podlonim ekonomskim procesima raste i potreba za kvantitativnim i preciznim

izraavanjem ekonomskih pojava. Mogue je istai 3 osnovna cilja ekonometrije:

1. Testiranje ekonomske teorije: svodi se na prouavanje ekonomske teorije radi boljeg razumijevanja i objanjavanja ekonomskih pojava i aktivnosti. U modernoj ekonomiji niti

jedna teorija, i pored svoje uvjerljivosti i konzistentnosti, ne moe se prihvatiti bez

empirijskog testiranja. 2. Pomo ekonomskoj politici: dobivanje numerikih ocjena koeficijenata ekonomskih odnosa

koje se mogu koristiti prilikom donoenja odluka. 3. Predvianje: koritenje numerikih ocjena koeficijenata kako bi se predvidjele budue

vrijednosti ekonomskih veliina. Predvianje pretpostavlja mogunost definiranja stanja sustava (u smislu znanja vrijednosti odreenih promjenjivih veliina) i postojanje

dinamike teorije pomou koje se budue stanje sustava izvodi logikim implikacijama iz

poznavanja sadanjeg stanja.

Navedeni se ciljevi meusobno ne iskljuuju. Uspjeno ekonometrijsko istraivanje trebalo bi

ukljuiti optimalnu kombinaciju sva tri navedena cilja. U tom se smislu ciljevi

ekonometrijskog istraivanja mogu shvatiti i kao zadaci ekonometrijskog istraivanja, a oni

su:

formuliranje ekonometrijskog modela

procjenjivanje i testiranje modela

upotreba modela za prognoziranje i predvianje Sloenost ekonometrijskih zadataka i ciljeva uvjetovala je i njen razvoj u vie pravaca,

razlikuju se stoga, dvije osnovne grane ekonometrije:

teorijska ekonometrija koja se bavi razvojem i unapreenjem metoda za kvantificiranje ekonomskih odnosa, te

primijenjena ekonometrija koja koristi ekonometrijski instrumentarij i posebnim granama ekonomske teorije, a ukljuuje sredstva i rezultate teorijske ekonometrije.

Svako ekonometrijsko istraivanje odvija se u nekoliko koraka.

Slika 2: Tijek ekonometrijskog istraivanja

7

Ekonomska teorija razmatra ekonomske odnose i oformljuje postulate i tvrdnje. Polazei od neke teorije koje je potrebno testirati, uz pomo matematikog izraavanja te teorije

(matematika ekonomija) postavlja se model ili hipoteza koja se testira. Koristei podatke ekonomske statistike, model se usporeuje s tim podacima. Ocjenjivanje modela vri se ekonometrijskim metodama, dobivenim prilagoavanjem metodama matematike statistike ekonomskim fenomenima. Temeljem dobivenih rezultata, testira se polazna hipoteza. Teorija se prihvaa ako je kompatibilna sa podacima, u protivnom e se odbacuje. U tom je sluaju mogue i revidiranje teorije. Dobiveni numeriki rezultati mogu se koristiti za predvianja ili

donoenje ekonomskih odluka.

1.4. METODOLOGIJA EKONOMETRIJSKOG ISTRAIVANJA

to je to ekonometrijsko istraivanje i kako se konstruira ekonometrijski model? Odgovori na

ta pitanja iznalaze se u metodologiji ekonometrijskog istraivanja.

U svakom ekonometrijskom istraivanju metodoloki se razlikuje nekoliko koraka:

Postavljanje hipoteze

Prikupljanje podataka

Specifikacija matematikog modela

Specifikacija statistikog ili ekonometrijskog modela

Procjena parametara ekonometrijskog modela (Ocjenjivanje modela)

Ispitivanje pouzdanosti ekonometrijskog modela (Vrednovanje ocjena parametara)

Testiranje hipoteze (ocjena modela)

Upotreba modela

POSTAVLJANJE HIPOTEZE

Svodi se na prouavanje teorijskih ekonomskih postavki u svrhu definiranja praktinog

problema na koji se trai odgovor, odnosno postavljanja hipoteze. Da bi ekonometrijski

model, kao rezultat ekonometrijskog istraivanja, mogao dati odgovor na postavljeni problem, odnosno vjerodostojne rezultate, problem mora biti jasno postavljen. Uspjenost

svih daljnjih koraka zavisi od jasnoe postavljenog problema, odnosno od valjanosti

postavljene hipoteze. Hipoteza se formulira temeljem poznavanja analizirane pojave, rezultata ranijih istraivanja te svakako temeljem poznavanje ekonomske teorije. Postavljanje

znanstvenih hipoteza s ciljem specifikacije ekonometrijskog modela podrazumijeva prethodno znanje o varijablama koje je potrebno ukljuiti u model, o matematikom obliku njihovih meuzavisnosti i izvjesna znanja o predznaku i intervalima moguih vrijednosti

parametara modela.

PRIKUPLJANJE PODATAKA

Ekonometriari u svojim istraivanjima obino koriste podatke, sakupljene, sistematizirane i

objavljene u statistikim publikacijama. Jasno je da kvaliteta i dostupnost podataka odreuju

kvalitetu i uspjenost samog ekonometrijskog istraivanja.

SPECIFIKACIJA MATEMATIKOG MODELA

Nakon prikupljanja podataka i postavljanja hipoteze prelazi se na specifikaciju matematikog modela. Radi se o matematikoj formulaciji postavljene hipoteze, odnosno

kvantitativnog izraavanja odnosa koji iz hipoteze proizlazi. Ova faza podrazumijeva

8

poznavanje matematikog jezika, instrumentarija i naina notiranja, kao i ponaanja

ukljuenih varijabli te predznaka i veliine parametara modela. Specifikacija modela

podrazumijeva matematiku formulaciju postavljenih znanstvenih hipoteza, koje se

odreuju na osnovi poznavanja djelovanja i ponaanja ispitivane pojave u ekonomskoj

stvarnosti, na temelju rezultata ranijih istraivanja dane pojave i, to je osobito vano, temeljem spoznaja ekonomske teorije o njoj. Prva slika o meuzavisnosti dohotka i osobne

potronje dobiva se crtanjem dijagrama rasipanja.

SPECIFIKACIJA EKONOMETRIJSKOG MODELA

Specificiranje ekonometrijskog modela pretpostavlja dobro poznavanje ekonomske teorije. Na toj osnovi istraiva odluuje koje varijable ukljuiti u model, zatim, ima a priori teorijska

oekivanja o predznaku i veliini parametara, te odluuje o matematikom obliku modela. Pogreka u navedenom postupku naziva se specifikacijska pogreka. To je najtea pogreka

koja se moe desiti u ekonometrijskom istraivanju, jer ostavlja najtee posljedice na ocjeni

modela. Najee greke specifikacije su izostavljanje nekih varijabli iz funkcije ili upotreba neodgovarajueg matematikog oblika modela. Ako nije postignuta zadovoljavajua

specifikacija modela, ocjene parametara dobivene bilo kojom ekonometrijskom tehnikom biti e netone, nepotpune ili neupotrebljive.

PROCJENA PARAMETARA EKONOMETRIJSKOG MODELA

Nakon specifikacije ekonometrijskog modela prelazi se na njegovo ocjenjivanje. Ocjenjivanje modela predstavlja tehniku fazu u dobivanju rezultata a obuhvaa:

ispitivanje problema agregiranja i slinih problema u svezi s varijablama ukljuenim u model,

ispitivanje uvjeta identifikacije funkcija koritenih u modelu,

ispitivanje jakosti meusobne korelacije varijabli koritenih u modelu, odnosno razine

multikolinearnosti,

ispitivanje vezano uz zadovoljenje uvjeta stohastinosti sluajnih varijabli te

odabir i primjenu ekonometrijskih metoda i tehnika za ocjenu modela. Agregiranjem se jednom vrijednou predstavljaju ekonomske veliine kvalitativno razliitih

objekata. Pojednostavljenja u agregiranju mogu rezultirati agregacijskom pristranou kod ocjene parametara modela. Identifikacija funkcija modela postupak je kojim se provjerava da li svaka funkcija ima svoje jasno znaenje, u smislu veza i odnosa postavljenih teorijom.

Identifikacija je problem vezan za ocjenjivanje modela simultanih jednadbi. Ispitivanje jakosti meusobne korelacije varijabli koritenih u modelu, te uvjeta stohastinosti sluajnih

varijabli od presudne je vanosti, jer neispunjenost tih osnovnih pretpostavki rezultira

pogrenim ocjenama modela. Koja e se ekonometrijska metoda koristiti u svakom posebnom sluaju zavisi od vie imbenika. Na taj izbor utjee najprije priroda razmatrane

pojave i uvjeti njene identifikacije. Naime, ako se ispituje jednostavna pojava koje se moe

zadovoljavajue prikazati modelom jedne jednadbe, najee se koristi klasina metoda

najmanjih kvadrata. U protivnome se koriste metode koje se primjenjuju na modele simultanih jednadbi. Uobiajeno je da se koristi ona metoda koja daje ocjene sa to vie

takozvanih poeljnih karakteristika. A koja je od poeljnih karakteristika ocjena i najvanija,

zavisi od cilja ekonometrijskog istraivanja. Postoji vie dijagnostikih mjera (testova). Dvije

su osnovne skupine testova koji se koriste. Prva skupina testova daje opu sliku o tome da li je model dobro specificiran ili ne. To su tzv. test portmanteau ili testovi specifikacije modela. Zakljuci koji proizlaze iz ovih testova jesu da je model adekvatan za opisivanje podataka ili,

naprotiv tvrde sa odreenim stupnjem signifikantnosti da model nije dobro specificiran. Druga skupina testova odnosi se na osobine sluajne pogreke koje moda govore u kojem

smjeru mijenjati model. Primjeri ove vrste testova jesu testovi normalnosti procijenjenih

9

greaka, testovi linearnosti veze izmeu y i xi, nasuprot veze izmeu y i xi2, testovi korelacije reziduala, itd.

ISPITIVANJE POUZDANOSTI EKONOMETRIJSKOG MODELA

Dobivene vrijednosti parametara potrebno je testirati. Procjena parametara ili vrednovanje ocjena parametara, sa ekonometrijskog stajalita i statistike pouzdanosti, vri se temeljem tri

skupine kriterija: ekonomski, statistiki i ekonometrijski.

Ekonomski (a priori) kriteriji odnose se na veliinu i predznak parametara te zastupljenost objasnidbenih varijabli u modelu. Parametri u ekonomskim modelima predstavljaju elastinosti, granine vrijednosti, multiplikatore i slino, a za koje ekonomska teorija definira

predznak, a katkada i veliinu. Budui da ekonometrija pretpostavlja postojanje definiranih

meuzavisnosti ekonomskih veliina danih ekonomskom teorijom, moe se rei da

ekonomska teorija prethodi ekonometrijskom zakljuivanju. Stoga, ako se kao rezultat

primjene modela na raspoloiva opaanja dobije pogrean predznak ili veliina nekog

parametra, takva se ocjena smatra nezadovoljavajuom.

Statistiki kriteriji (testovi prvog reda) evaluacije statistike signifikantnosti ocjena parametara najee su koeficijent determinacije i standardne greke ocjene parametara.

Koeficijent determinacije predstavlja postotak varijacija zavisne varijable oko njezine srednje vrijednosti, koji je objanjen varijacijama nezavisnih varijabli. Stoga, koeficijent determinacije

predstavlja indikator relevantnosti ukljuenih faktora i valjanosti modela kao ocjene.

Standardne greke ocjena parametara predstavljaju mjeru disperzije ocjena pravih vrijednosti parametara, te slue za vrednovanje pouzdanosti ocjena pojedinih parametara.

Statistiki kriteriji su uvijek u strogoj zavisnosti od ekonomskih kriterija, jer ak i kada su

statistiki zadovoljavajue, ocjene parametara se odbacuju ako nemaju smisla sa aspekta apriornih ekonomsko-teorijskih postavki.

Ekonometrijski kriteriji (testovi drugog reda) odreuju pouzdanost statistikih kriterija. Pomou njih se utvruje da li ocjene parametara imaju svoje poeljne osobine (nepristranost, konzistentnost, efikasnost). Potpuno ekonometrijsko istraivanje uvijek obuhvaa i ove

sekundarne ekonometrijske testove. Ako pretpostavke primijenjene ekonometrijske metode nisu zadovoljavajue, onda ocjene parametara nemaju poeljne osobine ili statistiki kriteriji

gube svoju vrijednost te postaju nepouzdani u odreivanju statistike signifikantnosti

dobivenih ocjena.

TESTIRANJE HIPOTEZE EKONOMETRIJSKOG MODELA

Nakon specifikacije i vrednovanja modela prelazi se na testiranje hipoteze. Testiranje hipoteze predstavlja nain provjeravanja o tome ima li postavljeni model ekonomskog smisla

i da li e dobiveni rezultati biti sukladni s ekonomskom teorijom.

PREDVIANJE I PROGNOZIRANJE

Ocjena valjanosti modela sa aspekta njegove moi predvianja podrazumijeva ispitivanje

stabilnosti ocjene parametara u modelu, odnosno njihove osjetljivosti na promjenu veliine

uzorka. To ispitivanje treba odgovoriti na pitanje da li ocjena veza adekvatno predstavlja odnose u stvarnosti i izvan uzorka iju prosjenu varijaciju predstavlja. ak i kada model

zadovoljava ekonomske, statistike i ekonometrijske kriterije vrednovanja ocjena, mogue je

da ima slabu mo predvianja. Takvi modeli mogu se koristiti u svrhe analize postojee ekonomske strukture, ali ne i za predvianja, najee zato to su statini. Da bi model

uspjeno mogao predstaviti promjenu strukturnih parametara, mora odraavati i

10

dinaminost promatrane pojave. Ekonometrijski model moe koristiti za predvianje

buduih vrijednosti zavisne varijable na osnovi oekivanih buduih vrijednosti

eksplanatornih varijabli. Model moe takoer posluiti u ekonomskoj analizi te za kontrolu i

donoenje ekonomskih odluka i mjera.

1. 5. EKONOMETRIJSKI MODELI

DETERMINISTIKI I STOHASTIKI MODELI

U prirodnim znanostima ponaanje analiziranog sustava opisuje se deterministikim

(matematikim) modelima. Deterministiki modeli pretpostavljaju da je istraivana pojava

potpuno determinirana odreenim uzronim vezama. U drutvenim znanostima mora se

uvaiti stohastiko ponaanje, budui da se vrijednosti nekih varijabli ponaaju sluajno.

Stoga, se istraivana pojava ne moe egzaktno predvidjeti sustavom jednadbi, ve samo procijeniti. Ukljuivanjem lanova sluajnih pogreaka (disturbance terms) deterministiki model pretvara se u stohastiki model, odnosno ekonometrijski model. Ekonometrijskim modelom djelomino se nadoknauje pomanjkanje preciznosti uslijed stohastikog

ponaanja varijabli i pojednostavljenja empirijskih veza. Matematika ekonomija izraava ekonomske odnose i strukture u egzaktnom (deterministikom) obliku, tzv. obliku

funkcionalne zavisnosti. Ekonomska teorije kae koje veze tvore model, koje je varijable

potrebno ukljuiti u svaku pojedinu vezu i koji je predznak nekih parcijalnih derivacija. No, ekonomska teorija moe vrlo malo rei o funkcionalnom obliku veza, ukljuenim pomacima i

vrijednostima parametara. Pored toga, veze su deterministike pa ne doputaju prisutnost

stohastikog odstupanja. Da bi se ekonomski model doveo u oblik provjerljive hipoteze, nuno je specificirati funkcionalni oblik veza, odabir vremena varijabli i stohastiku

karakterizaciju odstupanja. Dobije se tako ekonometrijski model spreman za ocjenjivanje i testiranje. Pri danom stanju ekonomske znanosti to se prethodno znanje djelomino izvodi iz ekonomske teorije i djelomino iz ad hoc rasuivanja ili procjenjivanja.

EKONOMSKI MODEL

Ekonomisti se u svojim istraivanjima koriste eksperimentima ili pokusima. No budui je

stvarni svijet iznimno kompleksan, ekonomisti ne eksperimentiraju sa realnim ekonomskim sustavima, ve se okreu laboratorijima i kontroliranim eksperimentima da bi prouavali

ekonomske pojave. Stoga, ekonomska teorija konstruira ekonomske modele kojima, na pojednostavljeni nain, prikazuje ekonomske odnose u stvarnosti. Ti su modeli idealni i takvi

da omoguavaju uoavanje zakonitosti koje vladaju ekonomskim odnosima. Model se moe

definirati kao pojednostavljeni prikaz realnog sustava ili procesa koji se prouava.

Sve definicije modela sadre nekoliko zajednikih elemenata (Jovii, 1989.):

pretpostavka da je prisutno odreeno znanje empirijske prirode,

pojednostavljenje kompleksne stvarnosti u razumljiv sustav fundamentalnih veza, koristei aksiome,

mogunost postavljanja pretpostavki o konstrukciji i ponaanju analiziranih pojava, te

matematike metode predstavljanja veza i hipoteza.

Svrha modeliranja je objanjavanje, predvianje i kontrola prouavanih pojava (Lovri, 2005.)

te pojednostavljenje sloenih realnih situacija i utvrivanje uzronih veza koje izgledaju

najznaajnije za odreeni problem. Temeljei svoje zakljuke o nekoj pojavi na modelu,

istraiva moe ispitivati logike posljedice pretpostavki od kojih polazi, testirati postavljene

11

hipoteze, odnosno usporeivati ih sa opaanjima iz stvarnosti, i tako bolje upoznati stvarnost

i omoguiti uspjeno djelovanje i reagiranje na pojave iz stvarnosti.

Neureen skup tvrdnji o ekonomskoj stvarnosti ne moe initi ekonomsku znanost.

Ekonomska znanja moraju imati odreenu aksiomatsku strukturu, tako da je ogranien broj propozicija dovoljan da se ostale izvedu loginim zakljuivanjem. Takav ogranien skup

propozicija, iz kojih se preostale deduciraju predstavlja ekonomski model. Ako kaemo da koliina potranje za jabukama zavisi od cijene jabuka, pojednostavljujemo stvarnost, stoga

to postoji niz drugih varijabli od kojih potranja za jabukama zavisi. Te varijable mogu biti dohodak potroaa, promjene u razmiljanju potroaa, poveanje svijesti o zdravoj prehrani,

porast ili pad cijene ostalog voa itd. Propozicije koje se iz modela izvlae jesu teze. Model se smatra konzistentnim, ako dedukcijom ne rezultiraju teze koje su protivne aksiomima koritenim kod njegova sastavljanja (Jovii, 1989.). Iz navedenoga proizlazi i definicija

ekonomskog modela. Ekonomski model je (Jovii, 1989.):

formalizirana prezentacija ideja, propozicija ili znanja o specifinom fenomenu iji je cilj da obuhvati sutinu i nain djelovanja kompleksa realnosti u lake razumljiv sustav.

Ekonomski model je stoga, skup pretpostavki koje pojednostavljeno prikazuju ponaanje

odreene ekonomske pojave ili procesa. Karakteristike ekonomske strukture model simbolino iskazuje (Jovii, 1989.):

identitetima

uvjetima ravnotee

jednadbama Identiteti prikazuju odreene definicijske jednakosti: dohodak se dijeli na potronju i investicije: D =P + I.

Uvjeti ravnotee predstavljaju situaciju u kojoj se aspiracije donositelja odluka simultano susreu pa su snage uravnoteene: uvjet trine ravnotee je jednakost ponude i potranje:

Kp=Kt.

Jednadbe se koriste za ekonomske relacije koje obuhvaaju propozicije o: (a) ekonomskom ponaanju: primjer jednadbe ponaanja potroaa je veza koja iskazuje potronju P kao

funkciju dohotka D:P=a+bD. (b) institucionalnim propisima: institucionalne funkcije simboliziraju postojee uvjete i regulative na primjer nain formiranja prihoda od poreza Z od duhana X: Z=0,65X. (c) tehnikim uvjetima: jednadbe kojima se predstavljaju tehnike i

tehnoloke relacije tipine su za sferu proizvodnje, gdje se na primjer obim proizvodnje X

moe odrediti tehnoloki uvjetovanim imbenicima: Y=X1+X2+ X3.

Kada ekonomski model poprimi formu matematikih odnosa, mogue je upotrijebiti podatke

o analiziranoj pojavi, te temeljem tih podataka, procijeniti valjanost modela, odnosno provjeriti da li model adekvatno predstavlja stvarnost. Empirijska provjera valjanosti ekonomskih modela predstavlja jedan od osnovnih ciljeva ekonometrijske analize.

EKONOMETRIJSKI MODEL

Cilj analiziranja ekonomskih pojava, procesa, odnosa, veza i struktura te konstruiranja ekonomskih modela, je upoznavanje njihove sutine i utvrivanja zakonitosti u njihovom ponaanju i kretanju. No, tek ekonometrijske metode omoguuju da se spomenute

zakonitosti numeriki izraze i statistiki testiraju. Ekonometrija dakle, analizira ekonomske

procese, njihove strukture i kretanja, a ta se analiza temelji na statistikim podacima i instrumentariju, koji su racionalno koordinirani u ekonometrijskom modelu.

12

Ekonometrijski model je krajnji rezultat svakog ekonometrijskog istraivanja, predstavlja

skup hipoteza koje dozvoljavaju donoenje statistikog zakljuka na osnovi uoenih

vrijednosti ekonomskih varijabli (Vujkovi, 1976.). Ekonometrijski model moe se definirati

kao skup relacija upotrijebljenih za reprezentiranje ekonomskih procesa koji se mogu izraziti u matematikoj formi (Vujkovi, 1976.). Maddala ekonometrijski model definira kao skup jednadbi i razliitih numerikih vrijednosti strukturnih koeficijenta koji izraavaju ekonomsku

strukturu procesa (Maddala, 1992.). Ekonometrijski model mora biti dovoljno eksplicitan da omogui:

istraivanje ekonomskih procesa,

kontrolu ekonomskih procesa, te

predvianje ponaanja istraivanog procesa u razliitim promjenjivim uvjetima

budunosti.

Ekonometrijski model mora biti tako konstruiran da omogui davanje odgovora na niz

specifinih slijedeih pitanja (Jovii, 1989.):

modeliranje ekonomskog sustava i testiranje hipoteza o njegovim parametrima

prognoziranje i predvianje

analiziranje ekonomskih kretanja i simulacija mjera ekonomske politike, simulacija teorije ekonomskih ciklusa, ekonomskog rasta, itd.

Ekonometrijski model sastoji se iz slijedeih elemenata (Maddala, 1992.):

skupa strukturnih jednadbi koje objanjavaju ponaanje ekonomske varijable, a koje

proizlaze iz ekonomskog modela; takve jednadbe ukljuuju i odstupanja (koja

ukljuuju sve one, za specifini model nevane varijable, kao i neke nepredvidive

imbenike);

iskaz o eventualnim pogrekama u opaanjima analiziranih varijabli;

specifikaciju distribucije vjerojatnosti odstupanja. Navedeni elementi omoguuju testiranje empirijske valjanosti ekonomskog modela i njegovo

koritenje za predvianja i donoenje odluka.

Poeljne osobine ekonometrijskog modela su (Jovii, 1989.):

relevantnost, odnosno zasnovanost cilja;

teorijska uvjerljivost: model treba biti usuglaen sa postulatima ekonomske teorije i adekvatno predstavljati ekonomske pojave;

sposobnost razjanjavanja: model mora objanjavati opaanja iz stvarnosti, biti konzistentan sa opaenim ekonomskim ponaanjem;

tonost ocjene parametara: ocjene trebaju na najbolji mogui nain aproksimirati stvarne parametre modela, te posjedovati osobine nepristranosti, konzistentnosti i efikasnosti;

mogunost predvianja endogenih varijabli;

jednostavnost: model treba predstavljati odreenu ekonomsku vezu sa najveom moguom jednostavnou, da bi se lako moglo razumjeti njegovo znaenje, uz uvjet da se

druge eljene osobine ne gube simplifikacijom modela.

KLASIFIKACIJA EKONOMETRIJSKIH MODELA

Postoji niz kriterija klasifikacije ekonometrijskih modela. S obzirom na sloenosti pojave koja je predmetom izuavanja, ekonometrijski model moe biti:

model jedne jednadbe

13

model sustava jednadbi ili model sustava simultanih jednadbi: takav se model

sastoji od vie linearnih ili nelinearnih jednadbi meusobno povezanih na

odreeni specifian nain. S obzirom na duinu vremenskog razdoblja koje obuhvaaju, ekonometrijski modeli mogu biti:

kratkoroni ekonometrijski modeli

dugoroni ekonometrijski modeli. S obzirom na stupanj agregiranja ekonomskih varijabli te formuliranja osnovnih ekonomskih veza analizirane ekonomske pojave, ekonometrijski modeli mogu biti:

mikro ekonometrijski modeli

makro ekonometrijski modeli. S obzirom na svrhu primjene koju model ima, ekonometrijski model moe biti:

deskriptivni ekonometrijski model: takav se model konstruira sa svrhom definiranja odnosa izmeu uzroka i posljedica temeljem kojih se mogu donijeti

sudovi o funkcioniranju ekonomske pojave

analitiki ekonometrijski modeli: pokazuju kako se analizirana ekonomska pojava

promijenila kada bi se promijenila bilo koja od njenih veza. S obzirom na metode statistike analize ekonometrijski modeli mogu biti:

linearni ekonometrijski modeli

nelinearni ekonometrijski modeli koji se prikladnom transformacijom mogu linearizirati

nelinearni ekonometrijski modeli

NOTIRANJE I STRUKTURA EKONOMETRIJSKOG MODELA

Opi oblik ekonometrijskog modela je slijedei:

( ) (1)

gdje:

Yi predstavlja vektor (n x 1) varijabli koje model eli objasniti (endogene, zavisne varijable), a koje se odnose na i-to opaanje

f je funkcija zbog koje Yi zavisi od vektora (k x 1) nezavisnih varijabli Xi

i je vektor (n x 1) sluajnih pogreaka.

Svaki ekonometrijski model sastavljen je od dva karakteristina dijela:

deterministiki dio modela: sustavni dio modela f(Xi) koji izraava postuliranu teorijsku vezu danu ekonomskom teorijom pri kojoj je Yi zavisna od Xi, ako su drugi imbenici konstantni (ceteris pribus klauzula), predstavlja dakle, sistematske varijacije Y u zavisnosti od promjene u X;

stohastiki dio modela i: nesustavni dio modela (sluajno odstupanje), koji predstavlja sluajne varijacije kojima se uzima u obzir djelovanje promjena ostalih varijabli koje su izostavljene iz modela; sluajna su odstupanja pojedinano posve beznaajna, ali njihov

zajedniki utjecaj moe biti zamjetljiv.

VARIJABLE EKONOMETRIJSKOG MODELA

Varijabla ije se varijacije objanjavaju pomou drugih naziva se zavisnom varijablom, a varijable kojima se objanjava varijacija zavisne varijable nazivaju se nezavisnim varijablama.

14

Zavisne i nezavisne promjenjive veliine nazivaju se endogenim i egzogenim varijablama.

Zavisne varijable su one koje su determinirane sustavom. Model je i tako konstruiran da ih objasni, pa je broj jednadbi jednak broju endogenih varijabli. Nezavisne varijable formirane

su van sustava. Pri svakoj konstrukciji ekonometrijskog modela javlja se problem odabira, odnosno klasifikacije varijabli na zavisne i nezavisne. Status varijabli u modelu, to jest proces odreivanja koja je varijabla zavisna, a koje su varijable nezavisne, zavisi o danoj primjeni

modela i izvire iz poznavanja podruja primjene. Ima vie razliitih naziva za pojam zavisna i nezavisna varijabla. Kadto su ti nazivi u svezi s podrujem primjene modela. U sljedeoj

tablici su dani izrazi koji se najee koriste za pojam zavisne i nezavisnih varijabli.

Tablica 1: Razliiti izrazi za zavisnu i nezavisnu varijablu

Nazivi varijabli ije se varijacije objanjavaju varijabla Y

Nazivi varijabli pomou kojih se objanjavaju varijacije Y varijabla X

zavisna varijabla nezavisne varijable regresand varijabla regresorske varijable endogena varijabla egzogene varijable

output varijabla input varijable prediktand varijabla prediktorske varijable

varijabla cilja kontrolne varijable varijabla efekata kauzalne varijable varijabla odziva stimulus varijable

objanjena varijabla eksplanatorne varijable

PARAMETRI EKONOMETRIJSKOG MODELA

U svakom ekonometrijskom modelu pojavljuju se odreeni parametri ili koeficijenti regresije

modela. Jednadba pravca, odnosno funkcionalni dio modela odreen je ako su poznati

parametri. Parametar mjeri vrijednost varijable Y koja odgovara vrijednosti 0 varijable X.

Parametar , nagib funkcije, mjeri promjenu vrijednosti varijable Y koja odgovara jedinici promjene vrijednosti varijable X.

SLUAJNA VARIJABLA

Ekonomska teorija izraava ekonomske odnose u tonom, egzaktnom obliku, odnosno

formi funkcionalne zavisnosti. U praksi se esto javljaju statistike diskrepancije. Takve je diskrepancije, koje su stohastike prirode teko eliminirati, ali je relativno lako njima

operirati, ukoliko nisu proizvod grubih sustavnih greaka u formuliranju modela ili

mjerenju. Statistiki odnosi meu pojavama razlikuju se od deterministikih (funkcionalnih) odnosa. Statistiki odnosi pojava pod utjecajem su nesistematskih, stohastikih varijacija, ija

prisutnost izvire iz prirode tih odnosa.

Stohastiki element u jednadbama ekonomskog ponaanja konvencionalno se tretira

dodajui jednadbi sluajnu varijablu u nazvanu sluajno odstupanje ili sluajna pogreka ili rezidualno odstupanje. Promjenjiva veliina ut ukljuuje se u model da bi obuhvatila utjecaj raznih pogreaka, koje se mogu svrstati u tri grupe:

sluajne, odnosno nesustavne pogreke mjerenja relevantnih varijabli

pogreke specifikacije modela, odnosno: pogreke izostavljanja varijabli, koje su brojne i nezavisne i koje se mijenjaju

raznim pravcima, tako da je ukupni efekt na zavisno promjenjivu veliinu sluajan, odnosno nepredvidiv u svakom posebnom razdoblju,

15

pogreke specifikacije uslijed pojednostavljenja matematikog oblika zavisnosti koje je u stvarnosti kompleksniji.

pogreke zbog rada s uzorkom, jer bez obzira na veliinu uzorka on daje tek parcijalne

informacije o populaciji. Suma tako meusobno odvojenih i nepredvidivih utjecaja ponaa se kao sluajna

promjenjiva veliina.

16

DIO II. REGRESIJSKI MODEL

konomska se teorija uglavnom bavi odnosima meu varijablama. Openito se moe tvrditi da se cjelokupni sadraj ekonomske teorije moe promatrati kao zbirka odnosa

meu varijablama. Ekonometrija se bavi testiranjem teorijskih tvrdnji i postavki u

navedenim odnosima te procjenjivanjem parametara koje oni sadre.

2. ZNAENJE REGRESIJSKE ANALIZE

Ekonometriari koriste razliite statistike tehnike, no osnovna je regresijska analiza. Cilj

ekonometrijskog istraivanja je verifikacija ekonomskih zakonitosti, a statistika tehnika koja

slui za kvantificiranje i testiranje navedenih zakonitosti je regresijska analiza. Regresijska se analiza sastoji u primjeni razliitih metoda ispitivanja zavisnosti jedne varijable o drugoj

varijabli ili o vie drugih varijabli. Varijable predouju pojave koje su u nekom odnosu.

Korelacijska i regresijska analiza statistika su sredstava za prouavanje povezanosti (odnosa) meu pojavama. Korelacijska analiza prouava jakost, intenzitet ili stupanj

povezanosti meu pojavama. Regresijska analiza precizno opisuje povezanost uz pomo

regresijskog modela.

PRIMJER 1

dohodakstupanj obrazovanja

Korelacija dviju varijabli: ne spominje se koja varijabla utjee na koju. Korelacija odreuje jakost veze;koeficijent

korelacije: mjera jaine veze samo za linearne veze: -1 r 1.

Dohodak= f (stupanj obrazovanja)

Regresija ukazuje na smjer uzronosti, za razliku od korelacije koja je simetrina. Regresijska analiza prouava

zavisnost varijable o nezavisnim varijablama te ukazuje na postojanje tendencije kretanja prema prosjenoj

vrijednosti.

Regresijska analiza predstavlja statistiku tehniku objanjavanja promjena u jednoj varijabli (zavisnoj varijabli), kao funkciji promjene u skupu drugih varijabli (nezavisne ili objasnidbene varijable).

PRIMJER 2

Q = f(P, PS, Ya)

Q koliina potranje P cijena PS cijena supstituta Ya visina dohotka

Regresijska analiza testira smjer i jainu kvantitativne veze, ali ne dokazuje uzronost. Uzronost dokazuje

ekonomska teorija.

Regresijska analiza bavi se izuavanjem odnosa izmeu jedne zavisne i jedne ili vie

nezavisnih varijabli. Moemo biti zainteresirani za istraivanje odnosa izmeu koliine

E

17

potranje nekog proizvoda i njegove cijene, dohotka potroaa i cijene supstituta. Spomenuti odnos temelji se na odreenoj ekonomskoj teoriji koja specificira postojanje jedne zavisne (Y) i jedne ili vie nezavisnih varijabli (X). No, iako se regresijska analiza bavi prouavanjem odnosa meu varijablama, ona ne implicira kauzalnost: ne dokazuje da je nezavisna varijabla

uzrok, a zavisna posljedica. Kauzalnost dviju varijabli mora biti dokazana ekonomskom teorijom koja dokazuje pojavu, koju se empirijskim putem testira.

Regresijska analiza ima slijedee ciljeve:

Procijeniti srednju vrijednost zavisne varijable za danu vrijednost nezavisne varijable.

Testirati hipoteze o prirodi povezanosti: hipoteze sugerira ekonomska teorija. Primjerice, u funkciji potranje, eli se testirati da cjenovna elastinost potranje iznosi -1: krivulja potranje ima jedininu cjenovnu elastinost. Ako cijena proizvoda poraste za 1%,

koliina potraivanog proizvoda smanjuje se za 1%, pod pretpostavkom konstantnosti ostalih imbenika.

Predvidjeti ili prognozirati srednju vrijednost zavisne varijable, za dane vrijednosti nezavisne varijable izvan dometa uzorka.

Prema (Jurun, Pivac, Arneri, 2006) osnovne zadae regresijske analize su:

Pronai analitiki oblik veze izmeu jedne zavisne i jedne ili vie nezavisnih varijabli.

Temeljem analitikog oblika izvriti predvianje vrijednosti zavisne varijable pri

odreenim vrijednostima nezavisne-nih varijabli.

Cjeloviti postupak regresijske analize obuhvaa sljedee korake: DEFINIRANJE PREDMETA I CILJEVA ISTRAIVANJA

Nakon sagledavanja teorijskih spoznaja kao i rezultata prethodnih istraivanja promatrane

pojave postavljaju se osnovne pretpostavke. Tek je tada mogue potpuno, precizno i

koncizno definirati predmet i cilj istraivanja.

ODABIR MODELA I DEFINIRANJE VARIJABLI

Radi se o odabiru imbenika (nezavisnih varijabli X) koji imaju najznaajniji utjecaj na zavisnu varijablu Y. Ovo je vrlo sloen korak, jer bi ukljuivanje irelevantnih varijabli dovelo do ne manjih greaka specifikacije od iskljuivanja relevantnih varijabli iz regresijskog modela. Potrebno je i provjeriti ispunjenje svih pretpostavki stohastinosti sluajne varijable

(Gauss-Markovljevi uvjeti). U samom pristupu analizi vano je odrediti je li prikladniji model u kojem je sluajni lan aditivan ili je ispravnije analizu zapoeti s multiplikativnim

modelom. Uz to se mora odabrati izmeu jednodimenzionalnog ili multiplog regresijskog

modela.

FORMIRANJE STATISTIKO-DOKUMENTACIJSKE OSNOVE

Formiranje baze podataka mora udovoljavati svim zahtjevima prikupljanja valjanih podataka.

ODABIR KONKRETNOG REGRESIJSKOG MODELA

Pri odabiru konkretnog regresijskog modela njegova specifikacija obuhvaa odabir

optimalnog funkcionalnog oblika modela te broja i karaktera relevantnih variajbli.

STATISTIKA ANALIZA MODELA

Ovaj korak obuhvaa ocjenu parametara i provjeru pokazatelja reprezentativnosti

regresijskog modela.

TESTIRANJE HIPOTEZA O MODELU I STATISTIKO TEORIJSKIH PRETPOSTAVKI

Ovaj korak obuhvaa testiranje hipoteza o statistikoj znaajnosti svakog pojedinog parametra u modelu, kao i pretpostavki o sluajnoj pogreci modela.

18

VREDNOVANJE MOI PREDVIANJA MODELA

Ukoliko model nema zadovoljavajuu mo predvianja, a zadovoljava kriterije prethodnih

koraka, moe se koristiti u analitike svrhe.

INTERPRETIRANJE REZULTATA

Temeljem valjanosti svih navedenih koraka mogue je izvriti sintezu rezultata i donijeti

zakljuke o pojavi koja se istrauje.

Osnova je svake analize regresijski model. Regresijski model definira se kao:

algebarski model kojim se analitiki izraava statistiki odnos meu pojavama, odnosno jednadba ili skup jednadbi s konanim brojem parametara i varijabli

Svaki regresijski model sadri sluajnu varijablu kojom se predouju nesistematski utjecaji i po kojoj se statistiki model razlikuje od deterministikog modela. Regresijski modeli slue u

analitike, esto prediktivne svrhe. Oblici modela su razliiti i zavise o danom sluaju

primjene. Postupak kojim se odabire oblik modela, odabiru i definiraju varijable, odreuje njihov status te postavljaju hipoteze naziva se graenjem modela.

Opi oblik regresijskog modela moe biti

( ) (2)

ili

( ) (3)

gdje je:

Y zavisna varijabla f(X) funkcionalni dio modela razliit je i zavisi o danom sluaju primjene X1, X2, Xk, nezavisne su varijable

() e je stohastika varijabla koja predouje nesistematske utjecaje na zavisnu varijablu

PODACI

Regresijski model analizira se polazei od stvarnih vrijednosti pojava, odnosno od stvarnih

(empirijskih) vrijednosti varijabli. Podaci za regresijsku analizu potjeu iz primarnih ili

sekundarnih izvora, a nastaju mjerenjem ili opaanjem u statistikim pokusima. U primjenama regresijskog modela podaci se pojavljuju kao:

vremenske serije

podaci vremenskog presjeka

mjeoviti podaci

Podaci vremenske serije (time series data) sadre informacije o kretanju vrijednosti varijable tijekom odreenog vremenskog razdoblja. Podaci se sakupljaju u jednakim vremenskim intervalima: godinje, polugodinje, mjesene, kvartalne intervale. Tako sakupljeni podaci

mogu biti kvantitativne prirode (cijene, osobna potronja, investicije, stopa nezaposlenosti) ili kvalitativne prirode ili dummy varijable (mukarci, ene, zaposleni, nezaposleni, udati ili ne

udati). Dummy podaci poprimaju vrijednosti od 0 do 1 ime se izraava prisutnost odnosno

odsutnost nekog kvalitativnog svojstva.

Podaci vremenskog presjeka ili brojane vrijednosti pojava (cross-sectional data) su vrijednosti varijabli u jednom vremenskom intervalu ili vremenskoj toki za specifine jedinice

(poduzee, gospodarski sektor, zemlja).

19

Mjeoviti podaci (pooled data) su kombinacija podataka vremenske serije i podataka vremenskog presjeka. Primjer mjeovitih podataka su podaci o stopi nezaposlenosti tijekom

10 godina za 20 razliitih zemalja. Podaci za stopu nezaposlenosti za razdoblje od 10 godina

predstavljaju podatke vremenske serije, dok podaci o stopi nezaposlenosti za svaku pojedinu zemlju predstavljaju podatke vremenskog presjeka. Raspolagat e se tako podacima

sastavljenim od 200 zapaanja: 10 godinjih opaanja za 20 razliitih zemalja. Posebna vrsta

mjeovitih podataka su tzv. panel podaci (panel data, longitudinal data ili micropanel data) koji se sastoje od opaanja uzetih za jednu gospodarsku jedinicu (poduzee ili porodicu) kroz

odreeni vremenski period. Panel podaci koji se dobiju anketiranjem istih gospodarskih

jedinica u jednakim vremenskim intervalima vrlo su korisni za analizu kretanja ponaanja tih gospodarskih jedinica.

Kako je neke utjecaje nemogue kvantificirati u nekim se modelima pojavljuju i binarne ili dummy varijable (dummy variables, indicator variables). One poprimaju naprijed poznate vrijednosti 0 ili 1. Vrijednost 0 govori o odsutnosti nekog svojstva, a 1 o prisutnosti svojstva, pa su one sredstvo kojim se u model ukljuuje odreena kvalitativna varijabla.

Podaci na temelju kojih se provode postupci katkada se transformiraju radi pojednostavljenja raunanja ili radi poboljanja njihove kvalitete. Tako se umjesto originalnih varijabli rabe

njihove logaritamske vrijednosti, reciprone vrijednosti. Originalne vrijednosti mogu se prikladno transformirati u niz proporcionalnih veliina (indeksi) ili im se varijabilnost

smanjuje pomou pominih presjeka. Ve je spomenuto da uspjenost ekonometrijskog

istraivanja uvelike zavisi od kvalitete i koliine podataka. Neiscrpan izvor podataka, osim raznih statistikih podataka, svakako je i Internet sa svojim mrenim stranicama koje obiluju

razliitim makro i mikropodacima. Vrlo esto u fazi prikupljanja ekonomskih podataka

dolazi do razliitih potekoa i pogreaka. Najee se u analizama koriste javni podaci, koji mogu u sebi sadravati odreenu pogreku u definiciji, statistikom izraunavanju ili

nepotpunom obuhvatu i slino. Stoga, je u ovoj fazi ekonometrijskog istraivanja potrebno

voditi rauna o tome jesu li varijable odabranog modela izmjerene na odgovarajui nain, tj.

je li statistiki podaci odgovaraju svojoj ekonomskoj definiciji i sadravaju pogreku

mjerenja.

VREMENSKA DIMENZIJA

Vremenska dimenzija u regresijskom modelu dolazi do izraaja na razliite naine. Tako se u

regresijski model moe ukljuiti varijabla vrijeme kao nezavisna varijabla. Vremenske serije (vremenski nizovi) esto su brojana podloga za konkretizaciju modela. Vremenska serija je kronoloki ureen niz neke pojave. Ako vremenske serije ine vrijednosti varijabli u modelu

tada njihova kovarijacija u vremenu moe biti sinkrona ili asinkrona.

Sinkrona kovarijacija

Ako se s { } oznai vremenska serija vrijednosti zavisne varijable Y; a s

{ } vremenske serije nezavisnih varijabli X1, X2, Xj, Xk u

modelu

Yt= f (Xt1, Xt2, Xtj,, Xk)+et, t=1, 2,,n (4)

vrijednost zavisne varijable u vremenu t funkcija je vrijednosti nezavisnih varijabli u istom vremenu t i vrijednosti sluajne varijable e u istom vremenu. Pojave (varijable) predoene u tom modelu sinkrono kovariraju (Promatra li se odnos raspoloivog dohotka i osobne potronje stanovnitva, sinkrona kovarijacija upuuje na odnos tekueg raspoloivog

dohotka i tekue osobne potronje za svako od n razdoblja.).

20

Asinkrona kovarijacija

Asinkrona kovarijacija prisutna je ako na tekuu vrijednost zavisne varijable djeluju vrijednosti nezavisnih varijabli prethodnog razdoblja ili vie razdoblja prije tekueg (pomak

u vremenu). U nekim modelima u statusu nezavisne varijable moe se nai i zavisna

varijabla s pomakom u vremenu. U modelu

Yt = f(Yt-1, X1t, X2t-1, X3t-2+)+et (5)

tekua vrijednost zavisne varijable Y zavisi o njenoj prethodnoj vrijednosti, o tekuoj vrijednosti nezavisne varijable X1, o vrijednosti prethodnog razdoblja varijable X2, o vrijednosti dvaju razdoblja ispred tekue varijable X3 i o vrijednosti sluajne varijable iz tekueg razdoblja. Model

Yt = f(Xt, Xt-1, Xt-2+)+et (6)

izraava zavisnost tekue vrijednost zavisne varijable Y o tekuoj vrijednosti i proteklim vrijednostima nezavisne varijable X i tekuoj vrijednosti varijable e. Tekua vrijednost zavisne varijable Y moe se predoiti pomou njezinih proteklih vrijednosti i tekue vrijednosti varijable e, to jest modelom:

Yt = f(Yt, Yt-1, Yt-2+ )+et (7)

VRSTE MODELA

Regresijski modeli se dijele na:

simultane: sastoji se iz dvije ili vie povezanih jednadbi

nesimultane: sastoji se od jedne jednadbe

Regresijski model moe biti:

model jednostavne regresije: ako se sastoji od jedne zavisne i jedne nezavisne varijable

model viestruke (multiple) regresije: ako model sadri jednu zavisnu i dvije ili vie

nezavisnih varijabli.

LINEARNOST MODELA

Vana pretpostavka primjene linearne regresije je linearnost modela. Meu regresijskim

modelima vanu skupinu ine linearni regresijski modeli. Linearnost regresijskog modela po

pravilu se povezuje s dimenzijom (potencijom) varijabli i nepoznatih parametara.

Model je linearan u varijablama ako svaka varijabla u modelu ima potenciju jednaku 1 te nije podijeljena ili pomnoena s drugom varijablom. Model je linearan u parametrima ako svaki parametar u njemu ima potenciju jednaku 1. te ako on nije pomnoen ili podijeljen s drugim parametrima. Model u kojem su parametri u umnoku ili kvocijentu nelinearan je u

parametrima. Regresijski model moe biti:

linearan u varijablama i linearan u parametrima

nelinearan u varijablama i linearan u parametrima

linearan u varijablama i nelinearan u parametrima

nelinearan u varijablama i nelinearan u parametrima

Sa stajalita metoda statistike analize model je linearan ako je linearan u parametrima.

U sklopu metoda statistike analize model se dijeli na:

21

linearne,

nelinearne koji se prikladnom transformacijom mogu transformirati u linearne te

nelinearne (pravi nelinearni modeli) Mogunost transformacije nelinearnih modela u linearne modele zavisi o poloaju sluajne

varijable.

ANALIZA REGRESIJSKOG MODELA

Regresijski model analizira se primjenom razliitih metoda deskriptivne i inferencijalne statistike.

Osnovna zadaa deskriptivne statistike je procijeniti nepoznate parametre i druge statistiko-analitike veliine. Pri tome se ne specificira model koji generira pojavu. Dobiveni rezultati

ne generaliziraju se, nego slue iskljuivo za statistiki opis podataka.

U sklopu inferencijalne statistike procjenjuju se parametri i testiraju hipoteze o paramterima, odnosno varijablama u modelu, te provode drugi analitiki postupci. Primjena metoda

inferencijalne statistike u svezi je s regresijskim modelom kao generatorom pojave. Po definiciji, takav model sadri sluajnu varijablu odreenih svojstava. Sluajna varijabla e u kombinaciji je s funkcionalnim dijelom modela, pa je zavisna varijabla takoer sluajna

varijabla. Empirijske vrijednosti zavisne varijable smatraju se uzorkom iz zamiljenog

beskonanog osnovnog skupa, a sam polazni model, modelom osnovnog skupa. Parametri se procjenjuju brojem i intervalima, pri emu se polazi od sampling-distribucija procjenitelja parametara. Testiranje hipoteza o parametrima oslanja se na sadraje hipoteza odnosno sampling-distribucije test-veliina. Sampling-distribucija je teorijska distribucija vjerojatnosti procjenitelja parametra. Svaka sampling-distribucija izvire iz koncepta ponovljenih izbora sluajnih uzoraka iz danog osnovnog skupa.

3. REGRESIJSKI MODEL S DVIJE VARIJABLE - TEMELJI POJMOVI

Najjednostavniji sluaj linearnog odnosa sadri samo dvije mjerljive varijable.

3.1. ODNOS IZMEU VARIJABLI

Odnos izmeu varijabli X i Y definiramo kao skup svih vrijednosti koje oznaava zadana

jednadba. Ako je zadana jednadba

(8)

gdje su 0 i 1 konstante tada je, odnos izmeu X i Y skup { }koji se sastoji od svih moguih vrijednosti X i Y koje zadovoljavaju jednadbu.

Pojam odnosa povezan je s pojmovima:

domene: skup svih moguih vrijednosti varijable X

podruja vrijednosti: skup svih moguih odgovarajuih vrijednosti varijable Y

Svi se odnosi meu varijablama mogu klasificirati kao:

deterministiki: ako se svaki element domene zdruuje sa samo jednim elementom

podruja vrijednosti; odnos izmeu X i Y okarakteriziran je kao Y=f(X) deterministiki

22

ako za svaku vrijednost varijable X postoji samo jedna odgovarajua vrijednost varijable Y;

stohastiki: ako za svaku vrijednost varijable X postoji cjelokupna distribucija vjerojatnosti vrijednosti varijable Y; u tom sluaju, za bilo koju zadanu vrijednost varijable X, varijabla Y moe poprimiti neku specifinu vrijednost ili pasti unutar nekog odreenog intervala, s vjerojatnou manjom od 1 i veom od 0, to znai da se vrijednost varijable Y nikada ne moe tono predvidjeti.

PRIMJER 3

Ilustriranje razlike izmeu deterministikog i stohastikog odnosa (Primjer preuzet iz Kmenta, 1997)

Pretpostavimo da izvodimo niz eksperimenata u grupi da bismo odredili potranju za jabukama pri razliitim

cijenama. Neka je:

qt koliina jabuka prodanih u vremenu t

pt cijena jabuka

Grupa potroaa svaki put tijekom razdoblja plaa jabuke koje se nude po danoj cijeni. Na kraju imamo slijedee

rezultate:

pt qt

25 1 20 3 15 5 10 7 5 9 0 11

Ti se rezultati mogu prikazati kao:

Odnos je izmeu cijene i koliine takav da u svakom trenutku, u kojem bi jabuke bile ponuene po 25 novanih

jedinica po komadu bila bi prodana samo jedna jabuka. To je deterministiki odnos, jer za svaku cijenu postoji

samo jedna koliina prodanih jabuka.

Ako razmotrimo razliiti skup rezultata:

cijena koliina

25 0 jabuka 25% vremena 1 jabuka 50% vremena 2 jabuka 25% vremena

20 2 jabuka 25% vremena 3 jabuka 50% vremena 4 jabuka 25% vremena . . . . . . 0 10 jabuka 25% vremena 11 jabuka 50% vremena 12 jabuka 25% vremena

gdje je t sluajna varijabla koja bez obzira na specifinu cijenu, ima slijedeu distribuciju vjerojatnosti:

t f(t)

-1 0,25 0 0,5

+1 0,25

1,00

Ta se varijable zove sluajno odstupanje (sluajna pogreka), jer remeti inae deterministiki odnos. Zadnji je

odnos stohastiki jer se, zbog prisutnosti odstupanja za svaku cijenu trai nekoliko koliina, pri emu se svaka

koliina ostvaruje s danom vjerojatnou. Grafiki prikaz dvaju odnosa dan je na slijedeoj slici.

23

Slika 3: Deterministiki i stohastiki odnos

12

10

8

6

4

2

0 5 10 15 20 25

12

10

8

6

4

2

0 5 10 15 20 25

XX

XX

XX

X X

X

X

X

X

Cijena Cijena

Koli

ina

Koli

ina

deterministiki odnos stohastiki odnos

3.2. JEDNOSTAVNI LINEARNI REGRESIJSKI MODEL

Ekonometrija se bavi iskljuivo stohastikim odnosima. Najjednostavniji oblik stohastikog

odnosa izmeu dvije varijable X i Y zove se jednostavni linearni regresijski model. Taj se model formalno izraava u obliku:

(9)

u kojem je:

Y = zavisna varijable X = nezavisna varijabla

= sluajno odstupanje i = i-to opaanje

0 i 1 = nepoznati koeficijenti ili parametri:

0: konstanti lan, predstavlja odsjeak na osi ordinate 1: koeficijent nagiba (smjera), regresijski koeficijent, oznaava vrijednost za koju

e se promijeniti y kada se x promijeni za 1.

Stohastika narav regresijskog modela podrazumijeva da za svaku vrijednost varijable X postoji cijela distribucija vjerojatnosti za vrijednosti varijable Y. To znai da se vrijednost varijable Y nikada ne moe tono predvidjeti. Neizvjesnost se glede varijable Y, pojavljuje zbog prisutnosti

sluajnog odstupanja koje, budui da je sluajno, pridaje sluajnost i varijabli Y.

PRIMJER 4

Razmotrimo proizvodnu funkciju poduzea. Pretpostavimo da proizvodnja na neki specifian nain zavisi o

koliini uloenog rada. Takva se proizvodna funkcija moe odnositi na kratak rok u kojem su koliine ostalih

imbenika fiksne. Meutim, openito, ista e koliina rada dovesti do razliitih koliina proizvodnje zbog

varijacija u vremenu, mogunosti ljudi, uestalosti zastoja strojeva i drugih imbenika. Proizvodnja e, koja je u

tom sluaju zavisna varijabla, zavisiti ne samo o koliini uloenog rada koji je nezavisna varijabla, ve i o velikom broju sluajnih uzroka koji se saeto izraavaju u obliku sluajnog odstupanja. Ti su sluajevi pojedinano posve

beznaajni da bi ih se zapazilo. Meutim, njihov zajedniki utjecaj moe biti posve zamjetljiv. Vrijednost varijable

X i distribucija vjerojatnosti sluajne varijable odreuju tada distribuciju vjerojatnosti varijable Y i njezine karakteristike.

24

3.3. POSEBNOST ZNAENJA TERMINA LINEARNA REGRESIJA

Izraz (9) predstavlja model linearne regresije. Potrebno je razjasniti to zapravo termin linearan znai. Linearnost regresijskog modela moe se interpretirati na dva naina:

linearnost u varijablama te, linearnost u parametrima.

Linearnost u varijablama

Prvo i moda prirodnije znaenje linearnosti je to da je oekivana vrijednost zavisne

varijable Y linearna funkcija nezavisne varijable(i) X kao u izrazu (9).

Za funkciju Y= f (X) kae se da je linearna u X ako:

X ima potenciju 1 (izrazi X2 i X nisu linearni) te,

X nije pomnoen ili podijeljen sa nekom drugom varijablom, kao na primjer: XZ i X/Z, gdje je Z druga varijabla.

U takvoj interpretaciji sljedei izrazi nisu linearni

2

i21 X)Y(E (10)

i

21X

1)Y(E (11)

jer u izrazu (10) X ima potenciju 2, a u izrazu (11) se X pojavljuje u inverznom obliku.

Za regresijski model koji je linearan u nezavisnoj varijabli(ama) stopa promjene u zavisnoj varijabli ostaje konstantna za jedinicu promjene u nezavisnoj varijabli; nagib ostaje konstantan. Za regresijski model koji je nelinearan u nezavisnoj varijabli nagib nije konstantan, to je vidljivo na sljedeoj slici.

Slika 4: Linearna (a) i nelinearna (b) krivulja potranje

Na slici (a) za regresiju iz izraza (9), nagib stopa promjene u (E)Y srednja vrijednost od Yi,

ostaje ista, to jest 2, bez obzira na kojoj vrijednost od X se promjena mjeri. S druge strane, za regresiju iz izraza (9), stopa promjene u srednjoj vrijednosti Y, varira iz toke u toku na regresijskoj krivulji,1.

Linearnost u parametrima

1 U linearnom modelu nagib, iznos Y u odnosu na X, je konstantan i jednak 2, dok u nelinearnom modelu iznosi

( ), zavisi od vrijednosti X na kojoj se nagib mjeri te nije konstantan.

25

Drugi nain interpretiranja linearnosti jest, da je oekivanje zavisne varijable linearna funkcija parametara. Analogno linearnosti u varijablama, funkcija je linearna u parametrima, ako parametri imaju potenciju 1. Izrazi (10) i (11) predstavljaju linearne model, je parametri potuju uvjete linearnosti, nelinearnost varijable X se ne uzima u obzir. Meutim model tipa

i

2

21 X)Y(E (12)

nelinearan je u parametrima jer se 2 pojavljuje s potencijom 2.

Sa stajalite regresijske analize model je linearan ako je linearan u parametrima.

26

ZADACI ZA VJEBU2

1. Analiziraju se slijedee varijable te odredite moguu status pojava, odnosno varijabli u

regresijskom modelu:

raspoloivi dohodak, osobna potronja;

uloeni kapital, broj zaposlenih, opseg proizvodnje;

ukupni trokovi, opseg proizvodnje;

per capita bruto drutveni proizvod, veliina fiksnog kapitala, broj zaposlenih, medijalni -broj zavrenih godina kolovanja;

prihod, broj turistikih leajeva, prosjean broj noenja, prosjeni godinji dohodak

kojime raspolae turist.

2. Kako glase regresijski modeli ako je funkcionalni dio modela:

a) f(x) = 1+2X;

b) f(X1, X2) = 0X11X2

2

3. Klasificirajte slijedee modela s obzirom na (1) dimenziju (potenciju) varijabli i parametara te (2) s

obzirom na uporabu metoda statistike analize:

a) b)

c)

d)

e)

4. Linearizirajte sljedee modele:

a)

b)

5. Analizira se per capita raspoloivi dohodak po stanovniku i osobna potronja po stanovniku u

SADu. Podaci su dani po godinama razdoblja 2000-2014. Vrijednost dohotka i potronje izraene su u stalnim cijenama (u dolarima 2000. godine). Podaci su dani u sljedeoj tablici.

Godina Per capita osobna potronja Per capita raspoloivi dohodak

2000. 3 277 3 665 2001. 3 355 3 752 2002. 3 511 3 860 2003. 3 623 4 808 2004. 3 566 4 009 2005. 3 609 4 051 2006. 3 774 4 158 2007. 3 924 4 280 2008. 4 057 4 441 2009. 4 121 4 512 2010. 4 093 4 487 2011. 4 131 4 561 2012. 4 146 4 555 2013. 4 303 4 670 2014. 4 490 4 941

Temeljem podataka iz tablice: a) Odredite status varijabli u modelu regresije. b) Nacrtajte dijagram rasipanja. to se zakljuuje na temelju dijagrama?

2 Zadaci preuzeti i prilagoeni prema oi, I. (2004), Primijenjena statistika, kolska knjiga, Zagreb i Lovri, LJ. (2005), Uvod u ekonometriju, Ekonomski fakultet Rijeka, Rijeka.

27

RJEENJA ZADATAKA

1. Odreivanje statusa varijable u regresijskom modelu izvire iz ekonomske teorije. (1) Osobna potronja zavisi o raspoloivom dohotku, pa je zavisna varijabla osobna potronja, a nezavisna varijabla raspoloivi

dohodak. (2) Opseg proizvodnje zavisi o veliini kapitala i broju zaposlenih. Opseg proizvodnje je zavisna varijabla, a veliina uloenog kapitala i broj zaposlenih su nezavisne varijable. (3) Varijabla ukupni trokovi

je zavisna, a nezavisna varijable je opseg proizvodnje. (4) per capita bruto drutveni proizvod zavisi o

veliini fiksnog kapitala, broju zaposlenih, medijalnom zbroju zavrenih godina kolovanja. Varijabla per

capita bruto drutveni proizvod zavisna je, a ostale varijable su nezavisne. (5) Varijabla prihod je zavisna, a

varijable broj turistikih leajeva, prosjean broj noenja turista, prosjeni godinji dohodak turista nezavisne

su varijable.

2. a) Regresijski je (aditivni) model f(x) = 1+2X+e b) Model u kojem je stohastika varijabla u umnoku s funkcionalnim dijelom oblika je f(X1, X2) =

0X11X2

2e

3. a) Model je linearan u varijablama i parametrima jer su potencije varijabli i parametara jednake jedan. Sadri jednu zavisnu i jednu nezavisnu varijablu i sa stajalita metoda statistike analize predouje

model jednostavne linearne regresije. b) Model je nelinearan u varijabli X2 (jer ta varijabla ima potenciju 2), a linearan u parametrima. Sa

stajalita metoda statistike analize model je linearan. c) Model je nelinearan u varijabli X3 (ta varijabla ima potenciju 0,5), a linearan u parametrima i ubraja se

meu linearne statistike modele. d) Logaritamskom transformacijom model nelinearan u varijablama postaje

Parametri uz nezavisne varijable su s potencijom jedan, pa je rije o linearnom (lineariziranom) modelu viestruke regresije.

e) Model je nelinearan, i ne moe se linearizirati, jer je varijabla e u zbroju s funkcionalnim dijelom modela. Stoga je rije o pravom nelinearnom modelu.

4. a)

b)

5. a) Gospodarska teorija upuuje da osobna potronja ovisi o raspoloivom dohotku. Najjednostavniji statistiki model potrone funkcije jest model jednostavne linearne regresije u kojem je raspoloivi

dohodak po stanovniku nezavisna varijabla, osobna potronja po stanovniku zavisna varijabla. b) Dijagram rasipanja:

Toke na dijagramu rasipanja rasporeuju se od donjeg lijevog kuta kvadrata koordinatnog sustava prema

gornjem desnom kutu. Prema rasporedu toaka uoava se da je povezanost raspoloivog dohotka i potronje

po obliku linearna.

3000

3200

3400

3600

3800

4000

4200

4400

4600

3600 3800 4000 4200 4400 4600 4800 5000

per capita dohodak

per

capita p

otr

onja

28

3.4. REGRESIJSKA FUNKCIJA POPULACIJE I REGRESIJSKA FUNKCIJA UZORKA

Jednadba Y=0 + 1X matematika je funkcija ije je obiljeje deterministinost. Za razliku od matematike funkcije, regresijska je funkcija stohastika. Regresijskom funkcijom

izraavamo vezu meu pojavama (varijablama) iz realnog svijeta. Ta veza nije nikad tako precizna da bi se mogla tono predstaviti nekom teorijskom funkcijom.

PRIMJER 5

Funkcija potronje.

Prema makroekonomskoj teoriji, potronja domainstva (Y) zavisi o dohotku domainstva (X). Ako dohodak

raste, raste i potronja. Takvu vezu mogue je opisati jednostavnim regresijskim modelom. Radi se o stohastikoj

veliini iju vjerojatnost oznaavamo kao vjerojatnost od Y pri danoj vrijednosti od Xi (uvjetna vjerojatnost od Y za dano Xi): P(Y/Xi). Za takvu stohastiku varijablu moemo izraunati srednju vrijednost, koju nazivamo oekivana vrijednost E (Y/Xi). To znai da tvrdnja-sva domainstva koja imaju vei dohodak troe vie, vrijedi u prosjeku. Vidimo da se ovdje radi o stohastikoj pojavi.

Za takve pojave vrijedi oekivana vrijednost zavisne varijable, funkcija nezavisne varijable:

( | ) ( ) (13)

odnosno ako se radi o linearnoj funkciji:

( | ) (14)

Izraz (14) zove se regresijska funkciju populacije (RFP).

Pomou regresijskog modela ( | ) ( ) mogue je izraunati oekivanu potronju svih domainstava s jednakim dohotkom. Ovako izraunata oekivana vrijednost deterministika

je veliina. Ukoliko uzmemo podatke za pojedino i-to domainstvo, vidjet emo da e se, za odreenu visinu dohotka, potronja razlikovati od ove koje smo izraunali regresijskom jednadbom. Ta odstupanja stvarnih vrijednosti potronje za svako domainstvo, od one

izraunate regresijskom jednadbom, oznait emo sa u (). Ta odstupanja nazivaju se sluajna greka ili sluajna odstupanja, a predstavljaju razliku izmeu empirijskih i oekivanih vrijednosti zavisne varijable:

( | ) (15)

iz relacije izvodimo

( | ) (16)

odnosno

(17)

Tako od deterministikog modela, koji definira ekonomska teorija, dolazimo do stohastikog,

populacijskog regresijskog modela. Naime, potronja se, za svako domainstvo, sastoji od:

oekivane vrijednosti potronje svih domainstava pri odreenoj visini dohotka

(deterministiki dio) te

sluajne pogreke (stohastiki dio) koja se ponaa sluajno i koja predstavlja utjecaj

drugih faktora na potronju, a koji nisu predstavljeni ukljuenom regresorskom

varijablom, pa je zbog nje i zavisna varijable takoer sluajna

Glavni razlozi zbog kojih ta odstupanja nastaju su:

manji utjecaji koji nisu ukljueni kao zasebne varijable,

greke mjerenja varijabli,

greke u izboru tipa funkcijske veze, te

29

nepredvidive ili potpuno sluajne varijable

Relacija (17) ocjenjuje se na cijelom skupu podataka populacije. Obino za tako velik skup ne raspolaemo podacima, pa se koristimo uzorcima na osnovi kojih ocjenjujemo parametre

RFP koji nam u stvari nisu poznati. Dakle, kod ekonometrijskog modeliranja primjenjujemo saznanja statistike teorije, pa parametre RFP ocjenjujemo pomou sluajnog uzorka. Ako bismo parametre RFP ocjenjivali na bazi razliitih uzoraka, svaki put bismo dobili ocjene koje

bi se meusobno ipak razlikovale, ali pretpostavljamo da se razlikuju samo zbog nekih sluajnih utjecaja.

Regresijska funkcija populacije, koja je ocijenjena na bazi uzorka zove se regresijska funkcija uzorka (RFU) i notira se :

(18)

gdje su:

= ocjene od ( | )

= ocjena od

= ocjena od

Osnovni zadatak jednostavne linearne regresijske analize jest nai pravac koji je najbolje

prilagoen empirijskim podacima. Toke na tom pravcu oznaavaju se sa , i izraunavaju se pomou jednadbe (18). Razlika (19) zove se rezidual:

(19)

Rezidual predstavlja razliku izmeu empirijskih toaka i toaka na regresijskom pravcu (ei je procjena sluajnog odstupanja na osnovi uzorka). Iz relacija (18 i 19) izvodi se jednadba:

(20)

odnosno

(21)

3.4.1. REGRESIJSKA FUNKCIJA POPULACIJE HIPOTETIKI PRIMJER

Za ilustriranje pojma regresijske funkcije populacije posegnimo za primjerom 3 . Pretpostavimo da elimo ocijeniti visinu izdataka 100 porodica, na odreenoj razini dohotka. Oznaimo sa X raspoloivi tjedni dohodak, a sa Y tjedni izdatak pojedine porodice. Populacija od 100 porodica podijeljena je u 10 dohodovnih razreda (od 150$ do 375$). Podaci o tjednom dohotku i izdacima prikazani su u tablici

Tablica 2: Tjedni izdaci u odnosu na tjedni dohodak

DOHODOVNI RAZRED X TJEDNI IZDACI Y

150 175 200 225 250 275 300 325 350 375

1. 28 33 35 36 38 40 42 43 45 46

2. 27 31 31 34 36 37 39 35 39 40

3. 25 29 30 31 33 32 34 31 33 34

4. 33 27 28 29 30 30 31 30 30 31

5. 23 24 26 27 28 29 30 29 27 28

6. 15 20 22 26 25 27 29 33 30 32

7. 18 18 20 23 23 25 26 32 28 30

8. 12 15 17 21 22 22 24 30 32 31

9. 13 14 16 18 20 18 25 31 32 33

10. 15 10 19 16 18 32 23 25 34 31

SREDINA 20,90 22,10 24,40 26,10 27,30 29,20 30,30 31,90 33,0 33,60

3 Primjer preuzet i prilagoen prema Gujarati, D. N. i Porter, D. C. (2009), Basic Econometrics, Fifth Edition, McGraw-Hill International Edition, New York.

30

Na tjednoj razini dohotka od 150 $, postoji 10 porodica koje tjedno troe izmeu 12 i 28 $. Prosjeno tih 10 porodica troi 20,90 $ tjedno. Podaci iz tablice 2 unose se u dijagram rasipanja.

Slika 5: Dijagram rasipanja

Tjedni izdaci prikazani su na ordinati, dok je tjedni dohodak prikazan na apscisi. Kako dijagram rasipanja pokazuje za svaku danu razinu tjednog dohotka postoji vie vrijednosti

za Y.

to prikazuje dijagram rasipanja?

Dijagram rasipanja pokazuje opu tendenciju prema kojoj Y raste sa svakim porastom X: porodice sa viim dohotkom vie i troe. Trend rasta uoljiviji je ukoliko se promatraju sredine vrijednosti za Y u odnosu na vrijednosti X. Te su srednje vrijednosti nazvane oekivanjima ili oekivanim vrijednostima. Ukoliko se oekivane vrijednosti Y poveu

pravcem dobije se regresijska krivulja populacije. Regresijska funkcija populacije daje srednju (oekivanu) vrijednost zavisne varijable (izdaci) koja odgovara svakoj pojedinoj

vrijednosti nezavisne varijable (tjedni dohodak). Stoga, na razini tjednog dohotka od 200 $, prosjeni tjedni izdaci iznose 24.40 $. Ukratko RFP je krivulja koja ukazuje na povezanost

srednje vrijednosti varijable Y sa svakom pojedinom vrijednou nezavisne varijable X

populacije. Kako je RFP aproksimativno linearna, moe se matematiki izraziti slijedeom funkcijom:

( | ) (22)

koja predstavlja matematiku funkciju pravca.

Izraz ( | ) predstavlja oekivanje ili oekivanu vrijednost Y. Oekivane vrijednosti varijable Y za danu vrijednost varijable X prikazane su u posljednjem retku tablice 2. Potrebno je napomenuti da je ( | ) funkcija od Xi, to znai da zavisnost Y od X, tehniki nazvana regresija Y na X, moe biti jednostavno definirana kao srednja vrijednost distribucije vrijednosti varijable Y za danu vrijednost varijable X. Drugim rijeima, regresijska krivulja populacije je pravac koji prolazi kroz oekivanu vrijednost varijable Y, matematiki se izraava izrazom (22) a naziva se RFP jer predstavlja regresijsku krivulju

populacije kao cjeline. Parametri 0 i 1 predstavljaju regresijske koeficijente. 0 predstavlja

odsjeak na osi ordinate (intercept), a 1 koeficijent nagiba koji mjeri razinu promjene u oekivanoj vrijednosti Y za jedinicu promjene varijable X.

Pretpostavimo da 1=0,6. Taj se podatak interpretira kako slijedi: ako tjedni dohodak poraste za 1 $,

prosjeno e tjedni izdaci porasti za 60 centi. to je s 0? 0 predstavlja srednju vrijednost Y ako X=0. Pokazuje srednju vrijednost izdataka u sluaju da tjedni dohodak iznosi nula.

31

Statistika ili stohastika specifikacija regresijske funkcije populacije

RFP prikazuje oekivanu vrijednost zavisne varijable koja odgovara pojedinim vrijednostima

nezavisne varijable. Iz tablice 2 vidljivo je, na primjer da za X=300 $ prosjena vrijednost varijable Y iznosi 30,30 $. Ali, ako nasumice odaberemo jednu porodicu izmeu 10 njih na odreenoj razini dohotka, izdaci nee nuno odgovarati prosjenom iznosu. Ako odaberemo

desetu porodicu na razini dohotka X=300 $, vidimo da njeni izdaci iznose 23 $, to je ispod prosjeka dohodovnoga razreda. Prva porodica istoga dohodovnoga razreda troi 42 $, to je pak iznad prosjeka. Kako dakle, objasniti pojedinane izdatke u odnosu razinu dohotka?

Pojedinani izdaci jednaki su prosjeku dohodovnoga razreda odreena koliina. Matematiki se navedeno moe izraziti na slijedei nain:

(23)

gdje je, ui stohastika ili sluajna greka ili odstupanje.

Sluajno odstupanje je sluajna varijabla, stoga se njene vrijednosti ne mogu a priori

poznavati ili kontrolirati, a karakterizirana je distribucijom vjerojatnosti (primjerice normalnom ili t-distribucijom).

Pojedinani izdaci, i-te porodice, koji odgovaraju odreenom raspoloivom dohotku predstavljaju zbroj dviju komponenti:

Deterministika komponenta: ( ) , a predstavlja prosjeni izdatak u i-toj

podpopulaciji . Toka na regresijskoj krivulji populacije koja odgovara danoj razini

dohotka. Stohastika komponenta ui: nesistematina ili sluajna komponenta, sluajno odstupanje

ili sluajna greka (primjerice, determinirana drugim imbenicima nego to je to

dohodak). Objanjenje navedenoga vidljivo je iz sljedee slike.

Slika 6: Tjedni izdaci i regresijska linija populacije

Na razini dohotka X=150 $, jedna porodica troi 25 $ tjedno, dok prosjeni izdaci na istoj razini dohotka iznose 20,90 $. Stoga, izdaci navedene porodice prelaze sustavnu komponentu modela za 4,10 $, a njena u komponenta iznosi +4,10 jedinica. S druge strane, na razini dohotka X=300 $, druga sluajno odabrana porodica troi 24 $, dok prosjeni izdaci za danu razinu dohotka iznose 30,30 $. Izdaci navedene porodice manji su od sustavne komponente modela za 6,30 $, a njena u komponenta iznosi -6,30.

32

Izraz (23) naziva se stohastika (statistika) regresijska funkcija populacije, dok se izraz (22) naziva deterministika ili nestohastika regresijska funkcija populacije. Deterministika

regresijska funkcija populacije prikazuje odnos oekivanih vrijednosti varijable Y u odnosu

na odreene razine dohotka (nezavisnu varijablu X). Stohastika regresijska krivulja

populacije pokazuje kako variraju pojedinani izdaci u odnosu na prosjenu vrijednost zbog

prisutnosti sluajnog odstupanja u.

U svezi s osnovnim osobinama sluajnog odstupanja potrebno je napomenuti sljedee:

1. Sluajno odstupanje moe prikazivati utjecaj onih varijabli koje nisu eksplicite ukljuene u model. Primjer, u odnosu izdataka i raspoloivog dohotka, sluajno odstupanje moe prikazivati utjecaj imbenika kao to su: stupanj obrazovanja, zaposlenost lanova

porodice, broj lanova porodice, podruje stanovanja, prijanji dohoci, sklonost investiranju, sklonost tednji

2. Sluajna komponenta moe biti posljedica pogreaka u mjerenju. Primjerice podaci za raspoloivi dohodak mogu biti zaokrueni, a podaci za izdatke nepravilno prikazani

zbog greaka u prikupljaju samih podatka.

3. Iako je poznato da druge varijable utjeu na Y, mogue ih je inkorporirati u sluajnu komponentu, jer je njihov zajedniki utjecaj malen i nesistematian.

3.4.2. REGRESIJSKA FUNKCIJA UZORKA HIPOTETIKI PRIMJER

Postavlja se pitanje kako procijeniti regresijsku funkciju populacije iz izraza (22), odnosno dobiti vrijednosti parametara. Ako imamo podatke iz tablice 2, podatke za cijelu populaciju, problem je jednostavno rjeiv: potrebno je pronai oekivanu vrijednost varijable Y

(prosjenih populacijskih izdataka) za danu razinu dohotka te spojiti dobivene sredine. No, u praksi rijedak je sluaj da se raspolae s podacima cijele populacije, najee se raspolae s

podacima uzorka odabranog iz neke populacije. Potrebno je stoga, ocijeniti regresijsku funkciju populacije na temelju podataka iz uzorka. Pretpostavimo da umjesto podataka za cijelu populaciju iz tablice 2 posjedujemo podatke iz tablica 3 i 4, koje predstavljaju dva nasumice odabrana uzorka iz populacije prikazane u tablici 2.

33

Tablica 3: Prvi sluajni uzorak iz tablice 2

Y X

18 150 24 175 26 200 23 225 30 250 27 275 34 300 35 325 33 350 40 375

Tablica 4: Drugi sluajni uzorak iz tablice 2

Y X

23 150 18 175 24 200 25 225 28 250 27 275 31 300 29 325 33 350 34 375

Za razliku od tablice 2, u tablicama 3 i 4 za svaki je nivo dohotka prikazana samo jedna odreena vrijednost izdataka. Postavlja se pitanje da li je mogue procijeniti prosjene izdatke koji

odgovaraju pojedinim razinama dohotka u populaciji na temelju dva sluajno odabrana uzorka?

Drugim rijeima, moe li se ocijeniti regresijska funkcija populacije temeljem podataka iz uzorka?

Kako se moe pretpostaviti, RFP ne moe se precizno odrediti zbog postojanja sampling

pogreaka. Temeljem podataka iz tablica 3 i 4 crta se dijagram rasipanja. Kroz toke koje predstavljaju parove vrijednosti na dijagramu rasipanja, povlai se pravac koji dovoljno dobro

odgovara pojedinim tokama (slika 3). Takav pravac naziva se regresijski pravac uzorka (RPU).

Slika 7: Regresijski pravci uzorka 1 i uzorka 2

No, koji od dva regresijska pravca uzorka najbolje odgovara regresijskom pravcu populacije? Svaki pojedini regresijski pravac uzorka tek je aproksimacija regresijskog pravca populacije, i to zbog postojanja sampling varijacija. Openito postoji k razliitih regresijskih pravaca uzorka za k razliitih uzoraka. Naposljetku, analogno regresijskoj funkciji populacije koja odreuje regresijski pravac populacije, mogue je odrediti i regresijsku funkciju uzorka (RFU) koja predstavlja regresijski pravac uzorka, a moe se pisati kao:

(24)

gdje je,

= ocjenjiva4 od (( | )), ocjenjiva oekivane vrijednosti populacije

= ocjenjiva od

= ocjenjiva od

Pogledom na dijagram rasipanja jasno je vidljivo da svi podaci iz uzorka ne lee na regresijskom pravcu uzorka. Stoga, kako za sluaj stohastike regresijske funkcije populacije,

mogue je razviti i stohastiku alternativu izraza (23):

4 Ocjenjiva ili statistika je formula koja sugerira nain procjenjivanja populacijskih parametara. Odreena numerika vrijednost dobivena ocjenjivaem predstavlja ocjenu.

34

(25)

gdje je ei ocjenjiva od ui.

ei predstavlja rezidual. Konceptualno, rezidual ei je analogan sluajnom odstupanju ui, te predstavlja razlike izmeu stvarnih vrijednosti varijable Y i procijenjenih vrijednosti iz regresijskog uzorka. Stoga, vrijedi:

(26)

Rezimirajui do sada navedeno, osnovni cilj regresijske analize je procijeniti regresijsku

funkciju populacije

temeljem regresijske funkcije uzorka

jer je najee analiza temeljena na uzorcima, a ne na podacima iz cijele populacije. No, zbog postojanja sampling varijacija, procjena regresijske funkcije populacije, temeljena na regresijskoj funkciji uzorka, tek je aproksimacija. Takva je aproksimacija prikazana na sljedeoj slici.

Slika 8: Regresijski pravac populacije i regresijski pravac uzorka

Potrebno je napomenuti da se ne analiziraju 0, 1 i ui, ve njihovi ocjenjivai , i ei dobiveni iz uzorka. Za dani Xi, prikazan na slici 8 postoji jedno Yi opaanje iz uzorka. U terminima regresijske funkcije uzorka, opaeni Yi moe biti izraen kao:

(27)

ili u terminima regresijske funkcije populacije kao:

( | ) (28)

Na slici 8 podcjenjuje stvarnu oekivanu vrijednost ( | ) za prikazani X1. Openito za svaki Y koji se nalazi desno od toke A na slici 8, regresijska funkcija uzorka e precijeniti stvarnu regresijsku funkciju populacije.

( | )

35

4. O

Ekonometrija Za 1 Kolokvij

Text of Ekonometrija Za 1 Kolokvij

Pitanja za kolokvij - Sintaksa

Gppp- Skripta Za i Kolokvij

Kppd Materijali Za Kolokvij

Ekonometrija-Prasanja i Odgovori Za I Kolokvium

pitalice za drugi kolokvij iz poduzetništva

Skripta za 2.kolokvij iz Poslovnih financija · 2017-07-19 · Skripta za 2.kolokvij iz Poslovnih financija Dragi naši studenti, Pred vama je skripta za ponavljanje za 2.kolokvij

Financijski Menadžment, Skripta Za 1. Kolokvij

skripta za prvi kolokvij

ANATOMIJA DRVA- Priprema Za Kolokvij (1)

Svjetska-skripta Za 2.Kolokvij CIJELA

Materijali Za I. Kolokvij (ISUT)

Pitanja Za Kolokvij KSE 16 (1)

Mpp- Materijal Za II Kolokvij

Clanak Za Treci Kolokvij

Umj 20.St._literatura Za Drugi Kolokvij

Javne Politike - Skripta Za Drugi Kolokvij

Skripta Za Prvi Kolokvij II Semestar

Skripta Za Drugi Kolokvij Iz NHK I

Demonstrature Za 1 Kolokvij

Skripta Za OI1 - 3. Kolokvij

natuknice za 2.kolokvij iz dent.farme

Strategija Razvoja - Skripta Za 1 Kolokvij

Odgovori Na Pitanja Za 1.Kolokvij

Kemija Priprema Za 1 Kolokvij Skripta

Materijal Za II Kolokvij R2(1)

Pitanja Za 1 Kolokvij - Kapic

Sve Za Prvi Kolokvij- Treba Urediti

2014 - OPCA PSIHOLOGIJA - Podsjetnik Za Kolokvij I

Materijali za 2. kolokvij - usmeno

Kategorizacija, Skripta Za 1. Kolokvij

Documents

Ekonometrija Za 1 Kolokvij

Text of Ekonometrija Za 1 Kolokvij