1. Princip prebrojavanja

Enumeracija, ili prebrojavanje, predstavlja važan deo kombinatorike koji se bavi prebrojavanjem skupa objekata sa odredjenim svojstvima. definišemo skup:

Nn = {1,2,3, . . . , n}. Ako je X konačan skup, n prirodan broj i postoji bijekcija iz X u Nn, tada

kažemo da X ima n elemenata. Kada X ima n elemenata pišemo |X| = n i kažemo da je kardinalnost (ili

veličina) skupa X jednaka n. Ako su m i n prirodni brojevi tako da je m < n, tada ne postoji injekcija iz

Nn u Nm. (Princip jednakosti) Ako izmedju dva konačna skupa A i B postoji bijekcija, tada je |A| = |B|. (Princip zbira) Ako su A i B disjunktni konačni skupovi (tj. A ∩ B = ∅), tada je |A∪B| = |A| + |B|. (Princip proizvoda) Neka su X i Y konačni neprazni skupovi. Broj elemenata skupa X × Y jednak je |X × Y | = |X| · |Y |.

(Dirihleov princip) Ako je n + 1 ili više objekata smešteno u n kutija, tada se bar u jednoj kutiji nalaze bar dva objekta.

2. Permutacije skupova

Pod permutacijom skupa A se podrazumeva svaka bijekcija f : A → A

skupa A na samog sebe. Skup svih permutacija skupa A obično se obeležava sa Sym(A). Za skup Sym(A) svih permutacija skupa A važi slededa teorema, koja ilustruje algebarsku strukturu skupa Sym(A): Ako je dat skup A, tada za skup Sym(A) važe sledede osobine: a) Zatvorenost:

(∀f, g ∈ Sym(A)) f ◦ g ∈ Sym(A); b) Asocijativnost:

(∀f, g, h ∈ Sym(A)) f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h; c) Postojanje neutralnog elementa:

(∃iA ∈ Sym(A)) (∀x ∈ A) iA(x) = x; d) Postojanje inverznog elementa:

(∀f ∈ Sym(A)) (∃f-1 ∈ Sym(A)) f ◦ f−1 = f−1◦ f = iA. ** Uredjena r-torka medjusobno razlicitih (x1,x2,…,xr) elemenata skupa S naziva se r-permutacija skupa S. Broj r-permutacija je n*(n-1)*…*(n-(r-1))= n! / (n-r)! . Ako je r=n, n-permutacija je permutacija skupa S. Broj permutacija je n*(n-1)*….* (2)*1=1*2*3*…*n=n!. Skup svih permutacija se zove grupa. **

3. Kombinacije skupova

Neka je S skup od n elemenata, a r ∈ N0. R-kombinacija skupa S je r-člani podskup od S, odnosno, neuređeni izbor r elemenata iz S.

Broj svih r-kombinacija skupa od n elemenata označavamo sa

Za n ∈ N, r ∈ N0, r ≤ n, broj r-kombinacija od n elemenata jednak je:

4. Svojstva binomnih koeficijenata

T.

D.

T. Broj podskupova n-točlanog skupa je:

D. Dokaz možemo izvesti tako što demo koristiti skup binarnih brojeva dužine n. Svaka od pozicija u tom broju predstavlja tačno jedan element iz n-točlanog skupa! Cifra 1 označava prisustvo elementa u datoj kombinaciji opisanoj brojem, a cifra 0 označava odsustvo tog elementa. Kako između ova dva skupa postoji bijekcija, znamo da je broj elemenata oba skupa isti. Broj elemenata skupa binarnih brojeva dužine n je 2n, pa je stoga to jednako broju podskupova n-točlanog skupa.

5. Binomna formula I posledice

(x+y)n je jednak zbiru izvesnih monoma nakon svoh mnozenja.

Svaki od tih monoma se dobija tako sto se iz svakog od n faktora uzme po jedan clan I tako dobijenih n faktora se pomnoze.

Ako je y uzet iz k faktora, onda je x uzet iz n-k faktora I to je xn-kyk. To odgovara broju faktora.

T. Vandermondeova konvolucija

6. Multiskupovi M=(S, m)

S-konacan skup, x ∈ S

m(x) – broj ponavljanja elementa x

|M|- broj elemenata multiskupa

**{a1,a2,…,ak}={m1a1,m2a2,….,mkak}-multiskup. mi ∈ {0,1,2,…} U {beskonacno}

Dva multiskupa su jednaka kada je mi=pi : i=1,….,k (M=P)**

7. Permutacije multiskupova

Neka je M multiskup, r ∈ N. Tada je r-permutacija od M uredjena r-torka (x1,x2,…,xr) elemenata iz M. Ako je broj elemenata od M=n,

onda se n-permutacija od M zove permutacija multiskupa M.

T. Neka multiskup ima tacno n razlicitih elemenata od kojih se svaki ponavlja beskonacno puta. Tada je broj r permutacija od M

jednak nr.

|S|=x m(x)=beskonacno.

D. Trazimo uredjenu r-torku (x1,x2,…,xr). Svaku komponentu mozemo birati na po n razlicitih nacina(jer se elementi ponavljaju

beskonacno puta) => n*n*…*n(r puta)=nr.

T. Neka je M multiskup koji ima k razlicitih elemenata koji se ponavljaju n1,n2,…,nk puta, te n=n1+n2+…+nk. Tada je broj permutacija od

M jednak

8. Polinomna formula I posledice

Problem rastavljanja skupa od n elemenata na najvise k delova. Pr. Na koliko nacina se S= {a,b} od 2 kuglice moze

rasporediti u 3 kutije, k1,k2,k3

9. Kombinacije multiskupova

Neka je M multiskup, r ∈ N0. R-kombinacija multiskupa M je r-clani podmultiskup od M, tj. r-kombinacija multiskupa M je izbor od

elemenata iz M.

T. Neka je M multiskup od K razlicitih elemenata koji se ponavljaju konacan broj puta I to n1,n2,…,nk. Tada je ukupni broj svih mogucih

kombinacija, tj. podmultiskupova od M jednak (n1+1)*(n2+2)*…*(nk+1)

Skup svih podmultiskupova P(M) je bijekcija skupom {0,1,…,n1}x…x{0,1,…,nk} => (n1+1)(n2+1)…(nk+1).

Oznacimo sa Pr(M) skup svih r-kombinacija multiskupa M, a ako M ima n razlicitih elemenata, od kojih se svaki ponavlja

beskonacno puta, definisemo

(Pr=Mr)

Elementi od Pr(M) se ponekad zovu I kombinacije r-tog reda s ponavljanjem od n elemenata.

T. Neka multiskup M ima tacno n razlicitih elemenata od kojih se svaki beskonacno ponavlja. Neka r ∈ N. Tada

je broj svih r-kombinacija od M I jednak je

D. Neka je M={beskonacno*a1, beskonacno*a2,…,beskonacno*an}. Tipicna r-kombinacija A od M izgleda

A={k1a1,k2a2,…,knan} k1,k2,…,kn >=0 I k1+k2+…+kn=r

n-kutija r-kuglica n-1 pregrada

n-k+1 ima objekata od kojih su n jednakih, k-1 jednakih

10. Formula ukljucenja-iskljucenja

Gde je prva suma uzeta po svim i element {1,…,n}, druga suma po svim 2-kombinacijama {i,j} c {1,..,n}….

Na desnoj strani formule ukljucenja I iskljucenja imamo

Ojlerova f-ja je primer FUI-a.

Za n ∈ N iznacavamo sa FI (n) broj prirodnih brojeva, I relativno su prosti. Ova f-ja FI se zove Ojlerova f-ja.

Za n=24 relativno prosti su 24,1,5,7,11,13,19,23, pa je FI(24)=8.

Za svaki prirodan broj n>1 postoje jedinstveni prosti brojevi p1,p2,…,pk , p1<p2<…<pk I prirpdni alpha1,…, alphak tako da je

11. Razbijanje broja na sabirke

Particija П broja n, n ∈ N I k delova, k>=1 je familija П={n1,n2,…,nk} tako da vazi ni ∈ N za svako i=1,2,…,k I n=n1+n2+…+nk.

Ako particija П={n1,n2,…,nk} sadrzi alphai delova jednahih I, i=1,2,…,k tada particiju zapisujemo

Neka je p(n) ukupan broj particija broja n, n ∈ N. Funkcija generatrisa niza brojeva p(n) jednaka je

12. Broj NA preslikavanja

Neka su m, n ∈ N, n>=m. Tada brojevi svih surjekcija Nn -> Nm jednak

13. Stirlingovi brojevi druge vrste

Stirlingovi brojevi druge vrste S(n,k)=broj neuredjenih razbijanja n-elementarnog skupa na k blokova (ne praznih delova).

14. Belovi brojevi Bn

Bn brojevi relacija ekvivalencije n-skupa.

Broj Bn se naziva n-ti Belov broj. Po def B0=1.

15. Stirlingovi brojevi prve vrste

16. Generatorne f-je

Neka je a0,a1,…,an niz realnih ili kompleksnih brojeva. Njegova generatorna f-ja je

Clanovi niza su odredjeni formulom .

17. Homogene linearne diferencne jednacine

Homogena linearna jednacina je ona kod koje vazi da je f(n)=0. Homogena znaci da nema konstantnih clanova. Linearna + homogena

znaci da skup resenja cini linearni (vektorski) proctor

1. Ako su (an’) I (an’’) dva resenja => an’+an’’ je takodje resenje (aditivnost)

2. Ako je (an) resenje => (lamda * an) takodje resenje (homogenost)

18. Nehomogene linearne diferencne jednacine

an+k+b1an+k-1+…+bkan=f(n). Nehomogena f(n) razlicito od 0.

Resenje nehomogene j-ne=resenje homogene + partikularno resenje

Tablica partikularnih resenja za neke slucajeve:

F(n) Partikularno resenje a(n)

D=const A

D*n A1*n+A0

D*n2 A2*n2+A1*n+A0

Dn A*Dn

19. Graf-elementi, geometrijska predstava

G(V,E) V- konacan skup vrhova(cvorova) v1,v2,…,vn

E- skup grana (ivica) e1,e2,…,en

Graf je uredjen par (V,E)

ei=<vj,vk> neuredjen par cvorova I oni su susedni. Ukoliko je ei=<vj,vk> uredjen par cvorova onda je graf orjentisan(digraf).

Za grane se kaze da su paralelne ukoliko spajaju isto par vrhova.

E=<v,v> je petlja (grana koja vrh spaja sa samim sobom).

Prazan graf je onaj koji nema grane.

Nulti graf je onaj koji nema vrhova.

Graf je prost ukoliko nema ni petlje ni parallelne grane.

Podgraf G’=(V’,E’) grafa G=(V,E). Graf G’=(V’,E’) je podgraf grafa G=(V,E) ako vazi V’c V I E’c E.

Graf se predstavlja tako sto se svaki cvor predstavi kao tacka u ravni, a svaka grana kao luk koji spaja dve tacke.

Graf je razapinjuc ako sadrzi sve vrhove.

Pr.

20. Stepen vrha grafa I teoreme o stepenima vrhova

Stepen vrha je broj dG(vi)koji predstavlja broj incidentnih vrhu vi.

ei=<vj,vk> kazemo da je ei incidentan vrhovima vj I vk. Izolovan vrh ima stepen 0. Svaka petlja broji se dva puta.

Ukupan stepen grafa je jednak zbiru stepena svakog od vrhova datog graga.

Zbir stepena vrhova grafa jednak je dvostrukom broju grana(pa je stoga I broj cvorova neparnog stepena paran). Broj vrhova

neparnog stepena je paran.

Ukoliko je stepen svih vrhova u grafu isti onda se takav graf zove regularni graf.

21. Izomorfizam grafova

Grafovi G1=(V1,E1) i G2=(V2,E2) su izomorfni ako postoji “1-1” i ‘’na’’ preslikavanje f: V1->V2 tako da (Vi, Vj) ∈ E1 <=> {f(Vi), f(Vj)} ∈ E2 To jest, postoje grane koje čuvaju incidentnost! Ako su grafovi izomorfni pišemo:

Primer izomorfnih grafova:

22. Povezanost grafa-algoritam

Cvorovi vi I vj grafa G su povezani ako u G postoji put ciji su krajnji cvorovi vi I vj. Graf G je povezan ako su svaka dva njegova cvora

povezana. Komponente grafa G su njegovi maksimalni povezani podrafi. Graf je ne povezan ako G nije povezan

vi ro(relacija ekvivalencije) vj postoji put koji pocinje u vi, a zavrsava se u vj.

Graf G=(V,E) je povezan AKKO za svaku particiju postoji grana e element E koja

spaja cvor iz V1 sa cvorom iz V2, tj. za koju je .

Klase ekvivalencije na koje ova relacija razbija cvorove jesu komponente povezanosti.

23. Planarni grafovi,24. Ojlerova formula za planarne grafove

Planarni (ravni) grafovi su oni grafovi koji imaju takvu reprezentaciju u ravni da im se ivice ne seku. Oni razbijaju ravan na pljosni I to

po Olerovoj teoremi.

Kod planarnih grafova uvek vazi Euler-ova teorema: t-i+p=2. t- teme, i- ivice, p- pljosni

D. indukcijom po broju ivica: t=2, i=1, p=2

PP da je T tacka grafa sa I ivica. Ukoliko uklonimo ivicu koja razdvaja oblasti smanjice se broj pljosni.

t-(i-1)+(p-1)=2 , tj. t-i+p=2

Primer ne planarnog grafa: K 3,3 kompletan bipartitivni graf.

Kompletan- svaki vrh ima k veza sa ostalim vrhovima. Biparititivni- postoje 2 podskupa vrhova pri cemu unutar sebe nisu povezani a

izmedju podskupova jesu.

25. Ojlerovi grafovi, 26. Crtanje grafa u jednom potezu

Zatvorena staza koja prolazi kroz sve grane grafa G naziva je Ojlerova kontura. Staza koja nije zatvorena I koja prolazi kroz sve grane

grafa G naziva se Ojlerov put. Graf G je Ojlerov ako sadrzi Ojlerovu konturu. Graf G je Ojlerov AKKO je povwzan I ako su svi vrhovi

parni. Graf ima Ojlerov put sa krajevima A I B AKKO je povezan I ako su A I B jedini neparni cvorovi grafa.

27. Hamiltonovi grafovi

Hamiltonov graf je graf koji ima Hamiltonov cikl, tj. cikl koji prolazi kroz sve vrhove tacno 1.

T(ore) Prost graf sa n(n>=3) vrhova je Hamiltonov ako za svaka dva ne susedna vrha vazi

S(u)+s(v)>=n; s-stepen cvora

28. Bojenje grafova

Neka je k element N zadati broj. Tada je k-bojenje vrhova grafa G funkcija c: V(G)->{1,2,…,k}, koja svakom vrhu iz G pridruzuje jednu

od k boja. Ako je c(v)=I, kazemo da je vrh v obojen bojom i. Bojenje je pravilno ako su susedni vrhovi obojeni razlicitim bojama. Samo

grafovi bez petlji dopustaju pravilno bojenje. Graf je 1-obojiv AKKO je prazan, a 2-obojiv AKKO je bipartitan.

29. Najkraci put od jednog do ostalih cvorova

Mreze su grafovi u kojima su zadate duzine grana. Put od cvora S do svih ostalih cvorova u grafu:

Ulaz: orjentisani graf G=(V,E); l:E->R+ U {beskonacno}

Izlaz: duzina najkrace putanje od fiksnog vrha S do ostalih vrhova.

30. Najkraci put od svakog do svakog cvora

Ulaz: Orjentisani graf sa rastojanjima l(I,j) element R U {beskonacno}

Izlaz: matrica najkracih rastojanja parova vrhova za k=0 pocetna matrica ima originalna zadata rastojanja dij=l(I,j)

31. Osobine drveta Cvor stepena 1 drveta naziva se list. Centar stable se sastoji od jednog ili dva susedna cvora, a dobija se istovremenim uklanjanjem

svih listova stable I ponavljanjem ovog postupka dok ne ostanu najvise dva cvora pocetnog stable.

Drvo je povezan graf bez cikla. Suma je graf koji ne sadrzi cikluse, tj. graf cija je svaka komponenta povezanosti drvo.

Sledeci iskazi su ekvivalentni:

1. T je drvo sa n vrhova

2. T je aciklican I ima n-1 grana

3. T je povezan I ima n-1 grana

4. T je povezan I svaka grana je most(njenim uklanjanjem graf postaje ne povezan)

5. Svaka dva vrha spaja tacno 1 prost put

6. T je aciklican I dodavanjem bilo koje nove grane pravi se tacno jedan cikl.

32. Minimalno razapnuce drvo-Kraskalov algoritam

Ulaz: graf sa tezinom grana(beskonacno ako nema granu). Graf mora da bude povezan,

K1. Treba odabrati najlaksu granu od ponudjenih.

K2. Ako su izabrane e1,…,ek-1 grana, birati onda ek najlaksu granu koja sa ostalim granama ne gradi cikl. Ponavljati dok je moguce.

Izlaz: razapinjuce drvo sa minimalnom tezinom.

33. Minimalno razapinjuce drvo-Primov algoritam

Ulaz: povezan graf sa tezinama grana

K1. Izabere se vrh v element G, T={v}

K2. For i=1 to i=n-1 -> naci granu e element E koja spaja T sa v I najmanje je tezine madju takvim. Neka je w drugi kraj od e (W

element V). Dodati e I w u grane odnosno vrhove od T, a izbaciti w iz V. next i

Izaz: minimalni skelet T.

34. Matrice susendstva

Neka je G=(V,E) graf sa vrhovima v1,…,vn. Matrica susedstva grafa G je A=(aij) gde je aij broj grana koje spajaju vrhove vi I vj.

Preko matrice susedstva lako mozemo naci broj setnji razlicitih duzina izmedju svaka dva vrha. Treba samo onoliko puta pomnoziti

matricu susedstva samu sa sobom I dobijene vrednosti aij predstavljaju broj setnji zeljene duzine medju cvorovima vi I vj.

35. Matrica incidencije Matrica incidencije B je matrica koja nam govori o povezanosti izmedju vrhova, tj. o odnosu grana I vrhova. Ukoliko grana e1

povezuje vrhove v1 I v2 onda u metricu upisujemo 1 na ta dva mesta. Ukoliko je ek petlja vrha vk onda na to mesto u matricu

upisujemo 2.

38. Simplex metoda za linearno programiranje

Sluzi za minimizovanje linearnih sistema. Dobar je za dimenzije matrica Amxn; n,m<=200

b>=0 mora biti(ako je b<0 pomnozimo jednacinu sa (-1) I resimo problem).

Matrica A mora da ima jedinicnu podmatricu maksimalnog ranga.

Algoritam simplex metode

a11a12…a1n

. .

an1an2…ann

c1c2……..cn

K1. Da li je za svako j cj>0? Ako jeste idemo na K5.

K2. Postoji j0 : cj<0 . Za svako I ispitujemo da li su svi aij<0? Ako jesu idemo na

K3. Min{bi / aij | aij>0}= bi0 / ai0j0 * trazimo ovaj element

K4. Svakoj vrsti dodajemo i0 vrstu pomnozenu sa (-aij0 / ai0j0). Vrstu i0 podelimo sa ai0j0. Vrsi C dodamo vrstu i0 pomnozenu sa

(- cj0 / ai0j0). Nakon ovoga idemo na K1.

K5. STOP! Dobili smo optimalno resenje xn=0,

K6. STOP! Problem je neogranicen min<c,x>= - beskonacno

39. Tjuringove masine

Sastoji se od:

1. Spoljnje memorije I to od jedne trake koja je ideljena na celije I beskonacna je s’ obe strane, tj. ima prebrojivo mnogo celija I

samo na konacne mnogo mesta su utisnuti simboli neke azbuke.

A={a1,a2,…,an}, a ostala mesta su prazna (popunjena simbolima lamda…) I na nju se upisuju i ulazni podaci I izlazni.

2. Upravljacki mehanizam ima konacan broj stanja Q={q1,q1,…,qz}

q1-pocetno

q2-zavrsno

3. Glava; cita I pise sadrzaj u celije, pomera se 1 polje levo ili desno ili ostaje u mestu. F-ja prelasta iz stanja u stanje se moze zadati:

Dve Tjuringove masine su ekvivalentne samo ako za iste ulaze imaju iste izlaze.

41. Setnje, staze, cikl u grafu

Setnja duzine k u grafu G=(V,E) je niz v0,e1,v1,e2,…,ek,vk cvorova I grana tako da je ei=vi-1 vi za i=1,2,…,k. Cvorovi v0 I vk su krajnji cvorovi

setnje, I kaze se da je to setnja izmedju cvorova v0 I vk. Setnja je zatvorena ukoliko je v0=vk.

Staza je setnja u kojoj se ni jedna grana ne ponavlja.

Put je setnja u kojoj se ni jedan cvor ne ponavlja.

Ciklus je zatvorena staza u kojoj se ni jedan cvor ne ponavlja, izuzev prvog I poslednjeg.

42. Predstavljanje orjentisanog grafa

Orjentisani grafovi se kao I neorjentisani mogu predstaviti pomocu matrice susedstva I incidencije, ali mora se voditi racuna koja

grana polazi iz kog vrha I do kog vrha vodi.

Kod matrice incidencije upisujemo 2 tamo gde je petlja, -1 tamo gde grana uvire, 1 tamo gde grana izvire, a za ostalo je 0.

43. Rekurzivne f-je

Rekurzivna f-ja ima osoninu da je vrednost f-je izrazena preko iste te f-je samo sa manjim argumentum.

M:Z+->Z (McCarty-eva f-ja)

M(99)=M(M(110))=M(100)=M(M(111))=M(101)=….

Za sve pozitivne brojeve <= 101 ova f-ja ima vrednost 91.

44. Primitivno rekurzivne f-je

f:Nn->N

1. Sve konstantne f-je su primitivno rekurentne.

2. Sve projekcije su rekur. f-je

Pi(x1,x2,…,xn)=xi

3. S:N->N

S(n)=n+1 ; sledbenik od n

4. Sve f-je koje su kompozicije primitivno rekurzivnih su primitivno rekurzivne

f(x1,x2,…,xn)=h(qi(x1,x2,…,xn),…,qk(x1,x2,…,xn)); h,g-bazisne

5. Svaka f-ja dobijena primitivnom rekurzijom od primitivne rekurentne f-je je primitivno rekurzivna. f sa k promenljivih nastaje od

g sa k-1 promenljivom I h sa k+1 promenljivom rekurzijom ako vazi:

f(0,n1,…,nk)=g(n2,…,nk)

f(n+1,n2,….,nk)=h(f(n,…,nk),n1,n2,…,nk)

6. Nema drugih ovako formiranih