DS2 Skripta za usmeni

  • View
    97

  • Download
    4

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Diskretne strukture 2 Matematicki fakultetSkripta za Usmeniprof Zoran Stevanovic

Text of DS2 Skripta za usmeni

  • UrosevicText BoxPRINCIP PREBROJAVANJA

    UrosevicText BoxPERMUTACIJE SKUPOVA

    UrosevicText BoxPERMUTACIJE MULTISKP

    UrosevicText BoxMULTISKOPOVI OPERAC.

    UrosevicText BoxBINOMNA FORMULA I POSLEDICE

    UrosevicText BoxOSOBINE BINOMNIH KOEF.

    UrosevicText BoxKOMBINACIJE SKUPOVA

    UrosevicText BoxPOLINOMNA FORMULA

    UrosevicText BoxNEHOMOGENE LIN DIF JEDNACINE

    UrosevicText BoxHOMOGENE DIF LIN J-NE SA KONST KOEF

    UrosevicText BoxGENERATORNE FJE

    UrosevicText BoxBELOVI BROJEVI

    UrosevicText BoxSTIRLINGOVI BR PR VR

    UrosevicText BoxSTIRLINGOVI BR DR VR

    UrosevicText BoxIZRACUN.BR. SURJEKCIJA

    UrosevicText BoxRAZBIJANJE NA SABIRKE

    UrosevicText BoxFUI EULEROVI BROJEVI

    UrosevicText BoxKOMB MULTSKUPOVAMACMAHONOVA T.

    UrosevicText BoxNAJKRACI - DIJKSTRA

    UrosevicText BoxOJLEROVI GRAFOVI-1POT

    UrosevicText BoxOJLEROVA FORMULA

    UrosevicText BoxPLANARNI GRAFOVI

    UrosevicText BoxPOVEZANOST,KOMPONENTE, ALGORITAM

    UrosevicText BoxSETNJE STAZE CIKLI

    UrosevicText BoxIZOMORFIZAM GRAFA

    UrosevicText BoxSTEPEN VRHA GRAFA- TEOREME O VRHOVIMA

    UrosevicText BoxGRAF, PODGRAF, GEO REPREZENTACIJA...

    UrosevicText BoxSIMPLEX METOD

    UrosevicText BoxPREDSTAVLJANJE GRAFA MATRICAMA, SETNJE

    UrosevicText BoxCERCOVA TEZA

    UrosevicText BoxHAMILTONOVI GRAFOVI

    UrosevicText BoxPREDST ORIJ GRAFA

    UrosevicText BoxPRIMOV ALGORITAM

    UrosevicText BoxKRUSKALOV ALGORITAM

    UrosevicText BoxDRVO - SVOJSTVA

    UrosevicText BoxFLOJD VARSAL

    UrosevicText BoxPRIMITIVNA REKURZIJA

    UrosevicText BoxREKURZIVNA FJA

    UrosevicText BoxGRAFICKO RESAVANJE LIN PROGRAMIRANJA

    UrosevicText BoxPRIMERI NEODL PROBL

    UrosevicText BoxAKERMANOVA FJA

    UrosevicText BoxTJURINGOVA MASINA

    UrosevicText BoxPOVEZANOST GRAFA-ALGORITAM

    UrosevicText BoxFORMALIZACIJA ALGOR

    UrosevicText BoxPRINCIP PREBROJAVANJA

  • 1. Princip prebrojavanja

    Enumeracija, ili prebrojavanje, predstavlja vaan deo kombinatorike koji se bavi prebrojavanjem skupa objekata sa odredjenim svojstvima. deniemo skup:

    Nn = {1,2,3, . . . , n}. Ako je X konaan skup, n prirodan broj i postoji bijekcija iz X u Nn, tada

    kaemo da X ima n elemenata. Kada X ima n elemenata piemo |X| = n i kaemo da je kardinalnost (ili

    veliina) skupa X jednaka n. Ako su m i n prirodni brojevi tako da je m < n, tada ne postoji injekcija iz

    Nn u Nm. (Princip jednakosti) Ako izmedju dva konana skupa A i B postoji bijekcija, tada je |A| = |B|. (Princip zbira) Ako su A i B disjunktni konani skupovi (tj. A B = ), tada je |AB| = |A| + |B|. (Princip proizvoda) Neka su X i Y konani neprazni skupovi. Broj elemenata skupa X Y jednak je |X Y | = |X| |Y |.

    (Dirihleov princip) Ako je n + 1 ili vie objekata smeteno u n kutija, tada se bar u jednoj kutiji nalaze bar dva objekta.

    2. Permutacije skupova

    Pod permutacijom skupa A se podrazumeva svaka bijekcija f : A A

    skupa A na samog sebe. Skup svih permutacija skupa A obino se obeleava sa Sym(A). Za skup Sym(A) svih permutacija skupa A vai slededa teorema, koja ilustruje algebarsku strukturu skupa Sym(A): Ako je dat skup A, tada za skup Sym(A) vae sledede osobine: a) Zatvorenost:

    (f, g Sym(A)) f g Sym(A); b) Asocijativnost:

    (f, g, h Sym(A)) f (g h) = (f g) h; c) Postojanje neutralnog elementa:

    (iA Sym(A)) (x A) iA(x) = x; d) Postojanje inverznog elementa:

    (f Sym(A)) (f-1 Sym(A)) f f1 = f1 f = iA. ** Uredjena r-torka medjusobno razlicitih (x1,x2,,xr) elemenata skupa S naziva se r-permutacija skupa S. Broj r-permutacija je n*(n-1)**(n-(r-1))= n! / (n-r)! . Ako je r=n, n-permutacija je permutacija skupa S. Broj permutacija je n*(n-1)*.* (2)*1=1*2*3**n=n!. Skup svih permutacija se zove grupa. **

    3. Kombinacije skupova

    Neka je S skup od n elemenata, a r N0. R-kombinacija skupa S je r-lani podskup od S, odnosno, neureeni izbor r elemenata iz S.

    Broj svih r-kombinacija skupa od n elemenata oznaavamo sa

    Za n N, r N0, r n, broj r-kombinacija od n elemenata jednak je:

  • 4. Svojstva binomnih koeficijenata

    T.

    D.

    T. Broj podskupova n-tolanog skupa je:

    D. Dokaz moemo izvesti tako to demo koristiti skup binarnih brojeva duine n. Svaka od pozicija u tom broju predstavlja tano jedan element iz n-tolanog skupa! Cifra 1 oznaava prisustvo elementa u datoj kombinaciji opisanoj brojem, a cifra 0 oznaava odsustvo tog elementa. Kako izmeu ova dva skupa postoji bijekcija, znamo da je broj elemenata oba skupa isti. Broj elemenata skupa binarnih brojeva duine n je 2n, pa je stoga to jednako broju podskupova n-tolanog skupa.

  • 5. Binomna formula I posledice

    (x+y)n je jednak zbiru izvesnih monoma nakon svoh mnozenja.

    Svaki od tih monoma se dobija tako sto se iz svakog od n faktora uzme po jedan clan I tako dobijenih n faktora se pomnoze.

    Ako je y uzet iz k faktora, onda je x uzet iz n-k faktora I to je xn-kyk. To odgovara broju faktora.

    T. Vandermondeova konvolucija

  • 6. Multiskupovi M=(S, m)

    S-konacan skup, x S

    m(x) broj ponavljanja elementa x

    |M|- broj elemenata multiskupa

    **{a1,a2,,ak}={m1a1,m2a2,.,mkak}-multiskup. mi {0,1,2,} U {beskonacno}

    Dva multiskupa su jednaka kada je mi=pi : i=1,.,k (M=P)**

    7. Permutacije multiskupova

    Neka je M multiskup, r N. Tada je r-permutacija od M uredjena r-torka (x1,x2,,xr) elemenata iz M. Ako je broj elemenata od M=n,

    onda se n-permutacija od M zove permutacija multiskupa M.

    T. Neka multiskup ima tacno n razlicitih elemenata od kojih se svaki ponavlja beskonacno puta. Tada je broj r permutacija od M

    jednak nr.

    |S|=x m(x)=beskonacno.

    D. Trazimo uredjenu r-torku (x1,x2,,xr). Svaku komponentu mozemo birati na po n razlicitih nacina(jer se elementi ponavljaju

    beskonacno puta) => n*n**n(r puta)=nr.

    T. Neka je M multiskup koji ima k razlicitih elemenata koji se ponavljaju n1,n2,,nk puta, te n=n1+n2++nk. Tada je broj permutacija od

    M jednak

  • 8. Polinomna formula I posledice

    Problem rastavljanja skupa od n elemenata na najvise k delova. Pr. Na koliko nacina se S= {a,b} od 2 kuglice moze

    rasporediti u 3 kutije, k1,k2,k3

    9. Kombinacije multiskupova

    Neka je M multiskup, r N0. R-kombinacija multiskupa M je r-clani podmultiskup od M, tj. r-kombinacija multiskupa M je izbor od

    elemenata iz M.

    T. Neka je M multiskup od K razlicitih elemenata koji se ponavljaju konacan broj puta I to n1,n2,,nk. Tada je ukupni broj svih mogucih

    kombinacija, tj. podmultiskupova od M jednak (n1+1)*(n2+2)**(nk+1)

    Skup svih podmultiskupova P(M) je bijekcija skupom {0,1,,n1}xx{0,1,,nk} => (n1+1)(n2+1)(nk+1).

    Oznacimo sa Pr(M) skup svih r-kombinacija multiskupa M, a ako M ima n razlicitih elemenata, od kojih se svaki ponavlja

    beskonacno puta, definisemo

    (Pr=Mr)

    Elementi od Pr(M) se ponekad zovu I kombinacije r-tog reda s ponavljanjem od n elemenata.

  • T. Neka multiskup M ima tacno n razlicitih elemenata od kojih se svaki beskonacno ponavlja. Neka r N. Tada

    je broj svih r-kombinacija od M I jednak je

    D. Neka je M={beskonacno*a1, beskonacno*a2,,beskonacno*an}. Tipicna r-kombinacija A od M izgleda

    A={k1a1,k2a2,,knan} k1,k2,,kn >=0 I k1+k2++kn=r

    n-kutija r-kuglica n-1 pregrada

    n-k+1 ima objekata od kojih su n jednakih, k-1 jednakih

    10. Formula ukljucenja-iskljucenja

    Gde je prva suma uzeta po svim i element {1,,n}, druga suma po svim 2-kombinacijama {i,j} c {1,..,n}.

    Na desnoj strani formule ukljucenja I iskljucenja imamo

    Ojlerova f-ja je primer FUI-a.

    Za n N iznacavamo sa FI (n) broj prirodnih brojeva, I relativno su prosti. Ova f-ja FI se zove Ojlerova f-ja.

    Za n=24 relativno prosti su 24,1,5,7,11,13,19,23, pa je FI(24)=8.

    Za svaki prirodan broj n>1 postoje jedinstveni prosti brojevi p1,p2,,pk , p1

  • 11. Razbijanje broja na sabirke

    Particija broja n, n N I k delova, k>=1 je familija ={n1,n2,,nk} tako da vazi ni N za svako i=1,2,,k I n=n1+n2++nk.

    Ako particija ={n1,n2,,nk} sadrzi alphai delova jednahih I, i=1,2,,k tada particiju zapisujemo

    Neka je p(n) ukupan broj particija broja n, n N. Funkcija generatrisa niza brojeva p(n) jednaka je

  • 12. Broj NA preslikavanja

    Neka su m, n N, n>=m. Tada brojevi svih surjekcija Nn -> Nm jednak

  • 13. Stirlingovi brojevi druge vrste

    Stirlingovi brojevi druge vrste S(n,k)=broj neuredjenih razbijanja n-elementarnog skupa na k blokova (ne praznih delova).

    14. Belovi brojevi Bn

    Bn brojevi relacija ekvivalencije n-skupa.

    Broj Bn se naziva n-ti Belov broj. Po def B0=1.

  • 15. Stirlingovi brojevi prve vrste

    16. Generatorne f-je

    Neka je a0,a1,,an niz realnih ili kompleksnih brojeva. Njegova generatorna f-ja je

    Clanovi niza su odredjeni formulom .

  • 17. Homogene linearne diferencne jednacine

    Homogena linearna jednacina je ona kod koje vazi da je f(n)=0. Homogena znaci da nema konstantnih clanova. Linearna + homogena

    znaci da skup resenja cini linearni (vektorski) proctor

    1. Ako su (an) I (an) dva resenja => an+an je takodje resenje (aditivnost)

    2. Ako je (an) resenje => (lamda * an) takodje resenje (homogenost)

    18. Nehomogene linearne diferencne jednacine

    an+k+b1an+k-1++bkan=f(n). Nehomogena f(n) razlicito od 0.

    Resenje nehomogene j-ne=resenje homogene + partikularno resenje

    Tablica partikularnih resenja za neke slucajeve:

    F(n) Partiku