Delta distribucija-paradigma savremene nauke

Stevan Pilipovic

Novi Sad

14, januar 2011.

(Torino) 14, januar 2011. 1 / 33

Uopstene funkcije-distribucije

Distribucije ili uopstene funkcije cine prostor (i u matematickom smislu,lokalno konveksni vektoski prostor).Centraln mesto u teoriji uopstenih funkcija ima delta distribucija.Razumevanje ove teorije zahtevaju dugo i strpljivo ucenje.

(Torino) 14, januar 2011. 2 / 33

Uopstene funkcije-distribucije

Sa druge strane, to je teorija na kojoj su zasnovane moderna teorijaparcijalnih diferencijalnih jednacina i mikrolokalna analiza koje sumotivisane tumacenjem pojava u prirodi i zasnivanjem odgovarajucihzakonitost i citavog niza posledica koje proisticu iz tih zakonitosti.

(Torino) 14, januar 2011. 3 / 33

Uopstene funkcije-distribucije

Zbog svog znacaja, i dugog procesa ucenja, osnovni pojmovi teorijedistribucije se uvode u savremen univerzitetsku literaturu na razlicitimnivoima.Teorija sublimise razlicite oblasti matematike kao sto su funkcionalnaanaliza, teorija parcijalnih diferencijalnih jednacina, diferencijalnageometrija, topologija kao i stohasticka analiza.

(Torino) 14, januar 2011. 4 / 33

Uopstene funkcije-distribucije

Kako je nastala teorija uopstenih funkcija?

Najznacajnija ”funkcija” koja se u pocetku koristila u teorijskim oblastmafizike (a danas u gotovo svim naukama) jeste ”delta funkcija”. Krajem 19.veka, Hevisajd, a zatim Dirak, dvadesetih godina proslog veka, su savelikim uspehom koristili formalni racun sa ”delta funkcijama” a da uopstenisu imali jasnu predstavu sta je to delta funkcija.Doduse pojam delta funkcije se implicitno pojavljuje i u radovima A. L.Causija (∼ 1830.), D. Poasona, G Kirhhofa, Lord Kelvina.

(Torino) 14, januar 2011. 5 / 33

Uopstene funkcije-distribucije

To se vidi iz cinjenice da su koristili potpuno pogresan naziv: ”deltafunkcija” uopste nije funkcija.

To je ”funkcija”

f (x) = 0, x = 0, f (0) = ∞,

∞

0δ(x)dx = 1.

Za matematicare to nije tacno.

Tek tridesetih i pedesetih godina proslog veka su u radovima Soboljeva iSvarca dati matematcki okviri u kojima delta distribucija ima potpunojasan matrmaticki smisao.

(Torino) 14, januar 2011. 6 / 33

Uopstene funkcije-distribucije

Delta distribucija (Dirakova delta) se koristi za modelovanje impulsatackastog naelektrisanja, jedinicnu masu skoncentrisanu u tacki ilijedinicno naelektrisanje. Delta distribucija sluzi da opise ”beli sum” (skupsvih zvukova) ili belu svetlost (skup svih talasnih duzina) ili crne rupe, ilidelta sokove (koji se pojavljuju kod zemljotresa, cunamija,... ). U saradnjisa inzinjerima uocavam da se danas u njihovoj savremenoj literaturi deltapojavljuje kao nezaobilazni pojam u analizi konkretnih modela (jednacina),prenosa signala, pojacavanja signala, detekciji slike i slicno.Kako otkriti jata sabljarki u okeanima preko zvucnih signala kojeprodukuju a koji su vrlo niskog inteziteta. Recimo, uvodjenjem signalabelog suma, stohastickim procesom koji ima korelaciju δ(x − y); pojacanizvucni signali se registruju a zatim dekompozicijom (beli sum poznajemo)dolazimo do podataka da li se radi o sabljarkama.

(Torino) 14, januar 2011. 7 / 33

Uopstene funkcije i jednacine

Modeli kojima se opisuju razne pojave se cesto (najcesce) formiraju krozdiferencijalne jednacine koje iskazuju zavisnost promena odredjenih velicinaod promena drugih poznatih velicina

(Mera promene je diferencijal odgovarajuce velicine (funkcije), otud nazivdiferencijalne jednacine)Prostori uopstenih funkcija su okvir za resavanje jednacina.

(Torino) 14, januar 2011. 8 / 33

Jednacine

Jednacine same govore gde se primenjuju: Hamiltonove jednacine klasicnemehanike, Radioaktivno opadanje u nuklearnoj fizici, Talasna jednacina,Jednacina provodjenja toplote, Maksvelove jednacine u elektromagnetizmu,Ajnstajnova jednacina polja u u opstoj teoriji relativnosti, Sredingerovajednacina u kvantnoj mehanici, Nevier-Stoksova jednacina u dinamicifluida, Lotka-Voltera jednacina u populacionoj dinamici, Jednacina Blejka iSola u finasijama, Poason-Bolcmanova jednacina u molekularnoj dnamici,Verhulstov populacioni model, Vidal-Wolf propagandni model, Linearni inelinearni kompartmanski modeli u farmakokinetici,...

(Torino) 14, januar 2011. 9 / 33

Mikrolokalna analiza

Opisuje tehnike zasnovane na Furijeovoj analizi uopstenim funkcijama,talasnom frontu, pseudodiferencijalnim operatorimad i paradiferencijalnimoperatorima. Podrazumeva ne samo lokalizaciju u tacki vec i ukotangentnom prostoru u odgovarajucem pravcu.

Kako je delta distribucija ”univerzum”, dekompozicija delte je osnovmikrolokalne analize (razlaganje bele svetlosti, razlaganje belog suma...)

(Torino) 14, januar 2011. 10 / 33

Delta distribucija

Mera Diraka je najjednostavnija mera. Podsetimo, se mera µ je funkcijana σ - algebri M (recimo neka je to ceo partitivni skup M = P(R) ) kojaje σ- aditivna µ(∪∞

i=1Ei ) =∞

i=1 µ(Ei ) gde su Ei medjusobno disjunktni.Mera Diraka µ0 je definisana sa µ0(E ) = 1 ako 0 ∈ E , µ0(E ) = 0 ako0 /∈ E . Sada opredelimo svakom skupu E njegovu karakteristicnu funkcijuκE za koju znamo,

κE (x) = 1, x ∈ E , κE (x) = 0, x /∈ E .

Uocavamo µ0(E ) = κE (0). Dakle µ0 mozemo posmatrati kao funkciju naskupu karakteristicnih funkcija (linearu i neprekidnu ako skupkarakteristicnih funkcija zamenimo sa skupom neprekidnih funkcija sakompaktnim nosacem )

(Torino) 14, januar 2011. 11 / 33

Delta distribucija

Mera Diraka je delta distribucija.Jos jedno objasnjenje: Posmatrajmo skup funkcija na R. Recimo skup Fkoji je deo skupa neprekidnih funkcija F ⊂ C (R). Znamo svaka funkcijatackama opredeljuje brojne vrednosti, recimo tacki nula vrednost u nuli

f : x → f (x), f : 0 → f (0).

Izmenimo uloge: Neka sada svaka tacka preslikava funkciju f ∈ F u njenuvrednost u toj tacki. Sada je tacka fiksirana a funkcije se menjaju. Recimoneka je u pitanju tacka 0:

0 → 0(f ) = f (0), f ∈ F .

To je delta skoncentrisana u tacki nula. Na slican nacin se definise delta iu bilo kojoj tacki.

(Torino) 14, januar 2011. 12 / 33

Gruba analogija-za zabavu

Pokusacu da objasnim delta distribuciju najjednostavnijim mogucim recimau zelji da pokazem ”obrnutu ulogu tacke i funkcije”.Osobine ljudi se iskazuju kroz funkcije tako sto osobina (funkcija)

svakom ljudskom stvoru opredeljuje odgovarajucu vrednost.Recimo:funkcija tezine svakom coveku odredjuje tezinu, funkcija visine svakomcoveku odredjuje visinu, funkcija koncentracije secera u krvi svakomcoveku odredjuje tu kocentraciju.Jasno vidimo da funkcija ovako iskazanih ima veoma mnogo. One svakomcoveku dodeljuju odredjenu kvantitativnu ili kvalitativnu vrednost.Obrnimo proces. Utvrdimo jedinku, coveka kao univerzum, i dodeljumosvakoj gore opisanoj funkciji upravo vrednost koju ta funkcija ima za togcoveka.Utvrdjenom coveku opredeljujemo visinu, tezinu, koncentracijusecera u krvi...Covek odredjuje vrednost svakoj funkciji. (on je delta distribucija.)

(Torino) 14, januar 2011. 13 / 33

Istorija

Matematicari i fizicari kojima smo najzahvalniji za teoriju uopstenihfunkcija su O. Hevisajd (1850-1925) koji je razvio operacioni racun uresavanju diferencijalnih jednacina, P. M. A. Dirak (1902-1984) koji jeuveo (∼ 1925) Dirak-ov ”bra- cat” racun u matematicku fiziku, S. Sobolev(1908-1986) koji je uveo (∼ 1930) pojam slabog izvoda u proucavanjuslabih resenja hiperbolickih sistema i najvise L. Svarc (1920-2003) koji jerazvio (∼ 1950) teoriju distribucija, generalno funkcionalnu analizu iostavio izvanrednu monografiju koja se i danas proucava u okviruposlediplomskih studija u teoriji linearnih PDE (parcijalnih diferencijalnihjednacina). Njihovim teorijama je dat impuls teoriji ΨDE(pseudod-diferencijalnih jednacina) kao i teoriji Fourier-ovih integralnihoperatora koji su razvili Kalderon, Zigmund, posebno Hermander, zatimGeljfand, Stajn, Boni i njihovi ucenici i sledbenici.

(Torino) 14, januar 2011. 14 / 33

Istorija distribucija i mikrofunkcija

Pristup teoriji uopstenih funkcija koji su razvijali navedeni matematicari jepristup preko funkcionalne analize (princip dualnosti).Drugi pristup teoriji uopstenih funkcija, baziran na teoriji kompleksnihfunkcija vise promenjivih i na kohomoloskoj teoriji, je uveo M. Sato injegovi ucenici T. Kavai and M. Kasivara. Sato je formulisao (∼ 1960)teoriju hiperfunkcija i mikrofunkcija.U ovom kontekstu potrebno je navesti ime H. Komatsu-a koji je izgradioteoriju ultradistribucija i koji je povezao pristupe Svarc-Hermader-a iJapanske skole Sato-a.U istorijskom pregledu posebno treba spomenuti J.F. Kolomboa koji jeuveo (∼ 1980) novu algebru uopstenih funkcija koja omogucavaproucavanje nelinearnih problema u okvirima teorija uopstenih funkcija(spomenimo i M. Obergugenbergera).

(Torino) 14, januar 2011. 15 / 33

delta distribucija

Delta distribucija se moze definisati na mnogostrukostima na lokalnokompaktnim Hausdorfovim prostorimaOsobineδ(−x) = δ(x), δ(λx) = 1

|λ|δ(x)

xδ(x) = 0. Obrnuto ako je xf (x) = xg(x), tada jef (x) = g(x) + cδ(x), δ ∗ f = f , Fδ(x) = 1.

F(f )(ξ) =Rn e−iξx f (x)dx . F−1(g)(x) = (2π)−n

Rn e iξxg(ξ)dξ

(Torino) 14, januar 2011. 16 / 33

Uopstene funkcije

Ideja da se posmatrju funkcije sa domenom koji cini skup funkcija saodredjenim osobinama donosi pravu revoluciju u proucavanju funkcijaSvaka klasicna funkcija moze da se posmatra i kao uopstena funkcija.

(Torino) 14, januar 2011. 17 / 33

Uopstene funkcije

Recimo funkcija sin xNjeno dejstvo na test funkcije je dato sa

φ → sin x ,φ(x) = sin x(φ(x)) =

Rsin xφ(x)dx

Slicno tome, dejstvo funkcije f (x) = x2− 3x +2 na test funkciju je dato sa

φ →2 −3x + 2,φ(x) = (x2 − 3x + 2)(φ(x)) =

R(x2 − 3x + 2)φ(x)dx

Klasicne funkcije opisivane kroz dejstvo na test funkcijama nisu ”izgubile”ni jedno svojstvo koje su imale u klasicnoj matematici. A dobila su novasvojstva...

(Torino) 14, januar 2011. 18 / 33

Uopstene funkcije

Dejstvo funkcije f na test funkciju φ zapisujemo u obliku

f (φ) = f (x),φ(x)

Specijalne zagrade ” bra” i ”ket” mozemo posmatrati kao dva ogledala u kojima se osobine sa prostora testfunkcija koje imaju, recimo, sve izvode, prenose na uopstene funkcije.Dakle, sve uopstene funkcije imaju sve izvode ako tu osobinu imaju testfunkcije. Upravo zato i biramo test funkcije tako da imaju sve izvode.

(Torino) 14, januar 2011. 19 / 33

Uopstene funkcije

Uopstene funkcije su linearnefukcije na prostoru test funkcija.Kako izgledaju linearne funkcije na R, na Rm?Kako izgledaju linearhe funkcije koje preslikavaju Rm u Rn

(Torino) 14, januar 2011. 20 / 33

Uopstene funkcije

Linearne funkcije na R, odnosno na Rm su oblika

f (x) = ax , f (x1, ..., xm) = a1x1 + a2x2 + ...+ amxm

a one koje preslikavaju Rm u Rn su matrice formata nxm.

f (x1, ..., xm) = (f 1(x1, ..., xm), ..., fn(x1, ..., xm)) =

(a11x1 + a12x2 + ...+ a1mxm, ..., an1x1 + an2x2 + ...+ anmxm).

(aij)i=1,...,n,j=1,...,m(x1, x2, ..., xm)T .

(Torino) 14, januar 2011. 21 / 33

Reprezentacija

Ako je f distribucija, dakle neprekidno linearno preslikavanje C∞0 → C, sa

odgovarajucom topologijom na C∞0 , tada na svakom otvorenom

ogranicenom skupu Ω postoji neprekidna funkcija FΩ i α ∈ Nn0 tako da vazi

f ,φ = f (φ) = (−1)|α|

FΩ(x)∂αφ(x)dx ,φ ∈ C∞

0 .

Izvodi f (α) distribucije f u Schwartz-ovoj teoriji su dati izrazom

f (α) : φ → (−1)|α|

f (x)∂αφ(x)dx ,φ ∈ C∞0 .

Dakle, lokalno f = FΩ na Ω.

(Torino) 14, januar 2011. 22 / 33

O distribucionom izvodu

Objasnimo kako se osobine test funkcija preko dualnog sparivanja prenosena funkcije koje nemaju izvod. Vazi

f ,φ = −f ,φ.

Dejstvo izvoda od f na test funkciju se definise preko dejstva (poznate)funkcije na prvi izvod test funkcije koji takodje poznajemo.Ako se test funkcija anulira van intervala [a, b] i ako je funkcija ”dobra”,recimo ima prvi izvod, vazi

f ,φ = b

af (x)φ(x)dx = f (b)φ(b)− f (a)φ(a)−

b

af (x)φ(x)dx =

− b

af (x)φ(x)dx = −f ,φ.

U izvedenoj parcijalnoj integraciji je i sustina deinicije slabog izvoda.

(Torino) 14, januar 2011. 23 / 33

Delta kao izvod Hevisajdove funkcije

Izvod funkcije ili distribucije je ”ono” sto ”zadovoljava” parcijalnuintegraciju.o,5cmHevisajdova funkcija je funkcija skoka

H(x) = 1, x ≥ 0, H(x) = 0, x < 0.

Vazi

ddx

H(x),φ(x) = −H(x),d

dxφ(x) =

−

RH(x)φ(x)dx = −

Rφ(x)dx =

−φ(∞) + φ(0) = φ(0) = δ,φ

Dakle H (x) = δ(x)

(Torino) 14, januar 2011. 24 / 33

Jednacine; slaba resenja

Moderan pristup resavanju jednacina sa singularitetima se odvija krozsledecu proceduru: Prvo se nalazi slabo resenje (resenje u prostorudistribucija), zatim se koriste teoreme tipa Sobolev-a da bi se pokazalo dasu resenja eventuano klasicna resenja.

Ponovimo lemu Sobolev-a:Ako f ∈ Hm i m > n/2 + k , tada f ∈ Ck .U sledecema primeru ce biti prikazana primene teorije uopstenih funkcija ifunkcionalne analize u resavanju jednacina.

(Torino) 14, januar 2011. 25 / 33

Primer

Primena Hahn- Banach-ove teoreme. Diferencijalni operator sa glatkimkoeficijentima reda m, P(x ,D) = Pm(D) + ... je eliptican ako vazi|P(x , ξ)| ≥ C |ξ|m, ξ ∈ R

n.Posmatrajmo jednacinu P(x ,D)U = F gde je F ∈ H−m i H−m dualniprostor Sobolev-a.Vazi

|U,P(x ,D)∗φ| ≤ C1||φ||m ≤ ||P(x ,D)∗φ||2.

Tako, mi ”znamo” resenje U na podprostoru P(D)φ;φ ∈ Hm0 i

prosirujemo resenje, Hahn- Banach-ove teoreme, na Hm0 . To je resenje

jednacine!

(Torino) 14, januar 2011. 26 / 33

Divergentni redovi

Divergentni redovi u prostorima distribucija mogu da konvergiraju. (Ufizici se to naziva renormalizacija)Znamo izvodi distribucija su distribucije; izvodi klasicnih funkcija (kojenemaju klasicne izvode) su distribucije, dakle imaju vrednosti ne natackama vec na test funkcijama.Vazi f (x) =

∞n=1

sin nxn2 je neprekidna funkcija. Drugi izvod te funkcije u

klasicnom smislu ne postoji ali u distribucionom smislu vazi

(∞

n=1

sin nx

n2),φ(x) = −

∞

n=1

sin nx ,φ(x)

Dakle red∞

n=1 sin nx konvergira u prostoru distribucija.

(Torino) 14, januar 2011. 27 / 33

Vajerstrasova funkcija

Koristeci se malotalasnom (wavelet) transformacijom i odgovarajucimpojmom uopstenog asimptotskog ponasanja moze se pokazati da lakunarniFurijeov red

f (x) =∞

n=0

cneiλnx ,λn+1/λn > 1,

za koji pretpostavljamo da konvergira (postoji) u prostoru temperiranihdistribucija , ima vrednost u smislu distribucija u svakoj tacki ako vazi

cn → 0, n → ∞ (1)

Slicno vazi i za redoveg(x) =

∞n=0 cn sin(λnx), h(x) =

∞n=0 cn cos(λnx)λn+1/λn > 1.

Automatski, ako od pocetka predpostavimo da ne vazi (1), dobijamodistribucije koje nemaju distribucionu vrednost ni u jednoj tacki.

(Torino) 14, januar 2011. 28 / 33

Vajerstrasova funkcija

Jedan od najvecih izazova za matematicare pocetkom 20 veka je bilopianje da li je Vajerstrasova funkcija

w(x) =∞

n=0

γ−n cos(βnx), β ≥ γ > 1

primer funkcije koja nema izvod ni u jednoj tacki. Ovaj problem su resavalinajcuveniji analiticari toga doba Hardi i Litlvud, da bi tek 1917 Hardi daodokaz ovog tvrdjenja sa veoma dugim i teskim dokazom.

(Torino) 14, januar 2011. 29 / 33

Vajerstrasova funkcija

Kako to sada izgleda?Diferenciranjem funkcije w sto je potpuno legitimno u prostoru distribucijadobijamo

w (x) = −∞

n=0

β

γ

n

sin(βnx).

Kako (β/γ)n ne konvergira ka nuli iz primera koji smo prikazali i (1)direktno sledi da w (x0) ne postoji u smislu distribucija ni u jednoj tacki x0a to znaci (na osnovu teorije distribucija) da w ne postoji ni u jednojtacki. Kraj dokaza.

(Torino) 14, januar 2011. 30 / 33

Teorma Litlvuda

Takodje, i sledeca teorema Litlvuda koju je elegantno resio i nasmatematicar Karamata, ako

limy→0+

∞

n=0

cne−yn = γ (2)

i ako Tauberov uslov cn = O(1/n) vazi, tada takodje vazi

∞

n=0

cn = γ. (3)

Ova cuvena teorema je takodje posledica Tauberovog rezultata koji vazi zamalotalasnu transformaciju specijalno odabrane funkcije.

(Torino) 14, januar 2011. 31 / 33

Umesto zakljucka

Razvoj matematike je u velikoj meri motivisan razvojem drugih nauka alitakodje razvoj matematike omogucava razvoj potpuno novih ideja kojemogu da se primenjuju u drugim naukama. Nove teorije, veoma teske ikomplikovane generaciji u kojoj su stvarane postaju prihvatljivegeneracijama koje dolaze sa odredjenom vremenskom distancom. Nekadaizuzetno teski problemi dobijaju nove matematicke okvire u kojima setumace na novi nacin.Zbog toga je bitno da se obrazujemo, pratimo tokove razvoja i nauke inastave matematike prilagodjavajuci nastavu savremenim tokovima.

(Torino) 14, januar 2011. 32 / 33

Kraj

HVALA NA PAZNJI

(Torino) 14, januar 2011. 33 / 33