1. a) (2đ) Giải phương trình

b) (2đ) Giải hệ phương trình

2. (4đ) Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN

3. a) (2đ) Giải phương trình nghiệm nguyên:

b) (2đ) Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính

phương thì n là bội số của 24

4. (4đ) Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức:

Chứng minh tam giác ABC đều

5. (4đ) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Tìm quỹ tích những điểm M nằm

trong (O) sao cho các dây cung đi qua M là AA’, BB’, CC’ thỏa mãn hệ thức:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HCM

TRƯỜNG THPT NGUYỄN THƯỢNG HIỀN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

TRƯỜNG THPT NGUYỄN THƯỢNG HIỀN

NĂM HỌC 2009-2010

ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

(đề thi gồm có: 01 trang)

GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NGUYỄN THƯỢNG HIỀN

MÔN TOÁN KHỐI 10 - NĂM HỌC 2009-2010

1. a) (2đ) Giải phương trình

đk:

Phương trình đã cho tương đương:

Xét . Từ đk ta có:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

b) (2đ) Giải hệ phương trình

Trừ hai phương trình của hệ, ta có:

TH1:

Thay vào ta có:

không nghiệm đúng hệ

TH2:

Thay vào ta có:

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm

2. (4đ) Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN

Chứng minh bất đẳng thức phụ:

Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Áp dụng bất đẳng thức phụ, ta có:

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức phụ, ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Suy ra:

Chứng minh một bất đẳng thức phụ khác:

Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Áp dụng bất đẳng thức phụ, ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z

Từ (*) và (**) ta suy ra:

Dấu “=” xảy ra

Vậy

3. a) (2đ) Giải phương trình nghiệm nguyên:

Dễ thấy phương trình có nghiệm đặc biệt x = y = 0

Do . Xem (**) như phương trình bậc hai ẩn y

Ta có bảng sau:

x – q 1 7 –1 –7

x + q 7 1 –7 –1

x 4 -4

y 2 –1 1 –2

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm nguyên

b) (2đ) Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính

phương thì n là bội số của 24

Ta có . Giả sử k chẵn là số chẵn (vô lí)

lẻ

chẵn. Ta có lẻ (n chẵn). Chứng minh như trên ta

có l lẻ

Do là 2 số liên tiếp nên chắc chắn có 1 số chia hết cho 2

Ta có

Ta lại có

Mặt khác

Từ (a), (b) và (c)

4. (4đ) Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức:

Chứng minh tam giác ABC đều

Ta có

Tương tự:

Đặt . Ta có:

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ. Từ BĐT B.C.S, ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Áp dụng bất đẳng thức phụ, ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Ta chứng minh 2 BĐT phụ khác. Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Áp dụng BĐT phụ, ta suy ra:

Ta chứng minh đẳng thức phụ: . Ta có:

Áp dụng đẳng thức trên, ta suy ra:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

Với a = b = c, ta suy ra:

(do tam giác ABC nhọn)

Từ đây suy ra tam giác ABC đều (đpcm)

5. (4đ) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Tìm quỹ tích những điểm M

nằm trong (O) sao cho các dây cung đi qua M là AA’, BB’, CC’ thỏa mãn hệ thức:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, R là bán

kính đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC

o Phần thuận

Ta có:

Với , ta có:

Mặt khác, kết hợp giả thiết ta lại có:

Tam giác MOG vuông tại M (định lý Pythagore đảo)

M thuộc đường tròn đường kính OG

o Phần đảo

Ta có:

luôn nằm trong đường tròn (O)

Ta có M thuộc đường tròn đường kính OG. Cần chứng minh

Ta có (định lý Pythagore)

o Kết luận

Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính OG