ARTIFICIAL INTELLIGENCE (AI)

Diajukan untuk memnuhi salah satu tugas mata kuliah Intelegensi Buatan

Disusun Oleh :

Neike Merlia Elsa

NIM : 207700434

Kelas : IFC/ VI

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI

SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2010

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahi robbil’alamin, puji dan syukur kepada Allah SWT yang telah

memberikan Rahmat dan Karunia-Nya, sehingga penyusun mampu menyelesaikan catatan mata

kuliah Artificial Intelligence ini , sebagai salah satu syarat di dalam menempuh tugas mata kuliah

Intelegensi Buatan.

Didalam catatan ini tentu saja masih terdapat banyak kesalahan dan kekurangan, baik

dalam hal penyajian maupun substansinya. Untuk itu kepada para pembaca diharapkan saran dan

kritiknya guna penyempurnaan catatan ini.

Disamping itu, penyusun menyadari sepenuhnya bahwa penyelesaian tugas ini tidak

terlepas dari bantuan dan kebaikan semua pihak. Untuk itu, penyusun menghaturkan terima kasih

yang sebesar-besarnya kepada orang –orang yang telah membantu dalam pembuatan catatan ini,

terutama kepada Dosen Mata Kuliah Intelegensi Buatan, Arief Fatchul Huda, S.Si., M.Kom.,  

yang telah memberikan ilmunya kepada kita semua.

Bandung, Juni 2010

Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR……............................................................................................................ i

DAFTAR ISI …………………..................................................................................................... ii

BAB I Dasar-Dasar Matematika

A) Himpunan

B) Relasi

C) Fungsi

D) Aljabar Linear pada Matriks

E) Vektor

BAB II Artificial Intelligence

A) Sejarah Kecerdasan Dasar

B) Konsep dasar dan pengertian AI

C) Asumsi Dasar AI

D) Perbedaan antara Pemrograman AI dan konvensional

E) Bidang-Bidang Aplikasi AI

F) Kecerdasan Buatan Pada Aplikasi Komersial

BAB III Neural Network

A) Pengertian JST

B) Karakteristik Model Neural Network

C) Arsitektur JST

D) Proses Pembelajaran Jaringan

E) Pemanfaatan Neural Network di beberapa bidang

BAB IV NN Dan Klasifikasi Pola

A) Klasifikasi Pola

B) Arsitektur

C) Terpisahkan Secara Linear

BAB IV

DAFTAR PUSTAKA……............................................................................................................

BAB I

(PERTEMUAN KE-2)

DASAR-DASAR MATEMATIKA

A. HIMPUNAN

1) Pengertian Himpunan

Himpunan biasa digunakan dalam matematika dan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam

kehidupan sehari-hari kita jumpai pengertian tersebut seperti dalam Himpunan Mahasiswa

Matematika Universitas Jember (UNEJ), kumpulan koran bekas, koleksi perangko, kelompok

belajar, gugus depan dalam pramuka dan kata sejenis lainnya.

Sebetulnya pengertian himpunan mudah dipahami dan dapat diterima secara intuitif,.

Tetapi dalam matematika dapat dibuat definisinya. Kata himpunan dan kumpulan digunakan

dalam definisi secara bersamaan, meskipun keduanya mempunyai arti yang sama. Demikian pula

dengan kata himpunan dan koleksi.

Himpunan adalah konsep dasar dari semua cabang matematika. Himpunan adalah

sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa

bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan

anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota

suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota

himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan.. Gerorg Cantor dianggap

sebagai bapak teori himpunan.

2) Notasi Himpunan

Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K dan sebagainya. Untuk

menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{….}”. Sementara itu untuk melambangkan

anggota himpunan biasanya menggunakan huruf kecil a, b, c, x, y dan sebagainya. Perlu

diperhatikan bahwa penulisan anggota dalam suatu himpunan hanya sekali saja Jadi tidak boleh

kita menuliskan himpunan sebagai {1,a,b,8,b}. Demikian pula kita tidak boleh menyatakan

himpunan sebagai bunga, kambing, sapi, kerbau, sapi, tumbuhan}. Untuk menyatakan anggota

suatu himpunan digunakan lambang “∈” (baca: anggota) sedangkan untuk menyatakan bukan

anggota suatu himpunan digunakan lambing “∈” (baca: bukan anggota).

Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap

himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format

penulisan himpunan yang umum dipakai.

Notasi Contoh

Himpunan Huruf besar S

Elemen himpunan Huruf kecil (jika merupakan huruf) a

Kelas Huruf tulisan tangan

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan

sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan Asli Bulat Rasional Riil Kompleks

Notasi

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Simbol Arti

{} atau Himpunan kosong

Operasi gabungan dua himpunan

Operasi irisan dua himpunan

, , , Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati

AC Komplemen

Himpunan kuasa

3) Pendefinisian Himpunan

Untuk mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara, yaitu :

1. Enumerasi

Yaitu dengan mendaftarkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan didalam sepasang

tanda kurung kurawal, dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh:

A = {a,e,i,o,u}

B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

2. Simbol baku

Yaitu menyatakan sifat yang dimiliki anggotanga, dengan menggunakan simbol tertentu

yang telah disepakati

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }

N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }

Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh:

Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

3. Menggunakan notasi pembentuk himpunan

Yaitu dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggota.

Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh:

P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}

(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})

Q = { t | t biangan asli}

(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}

R = { s | s2-1=0, s bilangan real}

(Maksudnya R = {-1,1})

4. Diagram Venn:

Yaitu menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan

sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta (U) yg digambarkan dng segi empat.

Contoh :

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8},

A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

4) Macam-Macam Himpunan

a. Himpunan Semesta

Pengertian :Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek

pembicaraan.

Notasi : S atau U.

Contoh :Kalau kita membahas mengenai 1, ½ , -2, -½ , 3√5 ,… maka semesta

pembicaraan kita adalah bilangan real. Jadi himpunan semesta yang

dimaksud adalah R. Apakah hanya R saja? Jawabannya tidak.

Tergantung kita mau membatasi pembicaraanya. Pada contoh di atas

bisa saja dikatakan semestanya adalah C (himpunan bilangan

kompleks). Namun kita tidak boleh mengambil Z (himpunan bilangan

bulat) sebagai semesta pembicaraan.

b. Himpunan Kosong

Pengertian : Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota.

Notasi : atau {}

Contoh :

E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0

A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0

c. Himpunan Bagian

Pengertian :Diberikan himpunan A dan B. Himpunan A dikatakan himpunan

bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan

elemen dari B.

Notasi : A B

Diagram Venn

Contoh :

A = {1,3,5} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka AB.

C = {a,b,c,1,2} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka C B, karena ada anggota dari

C yang bukan merupakan anggota B, yaitu a. (Pengertian “ada” berarti

terdapat satu anggota C yang bukan merupakan anggota B, sudah cukup)

d. Himpunan yang Sama

Pengertian : A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan

sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan

bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A B.

Notasi : A = B A B dan B A

Contoh :

Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B

Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B

Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B, dan C = C

(b) jika A = B, maka B = A

(c) jika A = B dan B = C, maka A = C

e. Himpunan yang Ekivalen

Pengertian :Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya

jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

Notasi : A ~ B A = B

Contoh : Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab

A = B = 4

f. Himpunan Saling Lepas

Pengertian : Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika

keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

Notasi : A // B

Diagram Venn

Contoh : Jika A = { x | x Î P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

g. Himpunan Kuasa

Pengertian : Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan

yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk

himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

Notasi : P(A) atau 2A.

Jika A = m, maka P(A) = 2m.

Contoh :

Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }

Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan

kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.

5) Operasi Himpunan

a. Gabungan (Union)

Pengertian :

Diberikan himpunan A dan B. Gabungan himpunan A dan B ditulis dengan AB

adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A atau berada di B.

Notasi :

A B = { x x Î A atau x Î B }

Diagram Venn

Contoh :

A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}. Maka A B = {a,b,c,d,e,f,1,2}

Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }

A = A

b. Irisan (Intersection)

Pengertian :

Diberikan himpunan A dan B. Irisan himpunan A dan B ditulis dengan AB adalah

suatu himpunan yang anggotanya berada di A dan juga berada di B.

Notasi :

A B = { x x Î A dan x Î B }

Diagram Venn

Contoh :

A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}. Maka AB = {c}

P = {a,b,c,1,2} dan Q = {d,e,f}. Maka AB =

Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10}

Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = . Artinya: A // B

c. Komplemen

Pengertian :

Diberikan suatu himpunan A. Komplemen dari A ditulis dengan“ Ac“adalah

himpunan yang anggotanya berada dalam hiompunan semesta tetapi bukan berada di

A.

Notasi :

Ac = { x x Î U, x A }

Diagram venn

Contoh :

Diberikan semesta himpunan bilangan asli. Jika A = {0,2,4,6,…}

maka Ac= {1,3,5,…}

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8}

jika A = { x | x/2 Î P, x < 9 }, maka A = { 1, 3, 5, 7, 9 }

d. Selisih (difference)

Notasi :

A – B = { x x Î A dan x B } = A B

Diagram Venn

Contoh :

Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 }

dan B – A =

{1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)

Notasi :

A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)

Diagram Venn

Contoh :

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }

6) Sifat-sifat operasi

Komutatif

Diberikan himpunan A dan B. Maka berlaku AB = BA dan juga AB = BA

Asosiatif

Diberikan himpunan A, B dan C.

Maka berlaku (AB)C = A(BC) dan juga (AB)C= A(BC).

Idempoten

Diberikan suatu himpunan A. Maka berlaku AA=A dan juga AA=A

Identitas

Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S.

Maka AS=A dan juga AS=A

Distributif

Diberikan himpunan A,B dan C.

Maka A(BC) = (AB)(AC) dan juga A(BC)=(AB)(AC)

Komplementer

Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka AAc = S dan AAc =

Dalil De Morgan

Diberikan himpunan A dan B. Maka ( A∪B)c = Ac Bc dan ( A B)c = Ac Bc

B. RELASI

Kata "relasi" sudah tidak asing lagi di dalam kehidupan sehari-hari. Kata relasi sudah

lazim digunakan di masyarakat, misalkan, 'relasi dagang' dan 'relasi kerja'.

1) Pengertian Relasi

Contoh, di dalam sebuah kantor terdapat orang-orang yang menjabat sebagai manajer,

direktur, dan karyawan. Misalkan Edu seorang manajer dan Agus seorang karyawan. Mereka

berdua bekerja di perusahaan yang sama. Sehingga dapat dikatakan Edu manajer dari Agus, dan

sebagainya. Kata 'manajer dari' menunjukkan adanya relasi antara Edu dan Agus. Dari contoh

tersebut dapat dipahami bahwa suatu relasi menghubungkan sesuatu dengan sesuatu yang lain.

Begitu pula dengan relasi dalam Matematika yang didefinisikan sebagai:

Relasi dari dua himpunan A dan B adalah hubungan antara dua himpunan A dan B yang

memasangkan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.

2) Cara Menyatakan Relasi

Untuk menyatakan atau menunjukkan sebuah relasi dapat dilakukan dengan tiga cara,

yaitu:

a. Diagram Panah

Misal, himpunan M={1, 2, 3, 4, 5} dan himpunan N={3, 4, 5, 6, 7, 8}. Untuk menyatakan

relasi dari M ke N dengan hubungan "setengah dari" dapat dilihat pada gambar 1.1

b. Diagram Cartessius

Untuk menyatakan relasi yang sama pada butir a menggunakan diagram Cartessius dapat

dilihat pada gambar 1.2

Titik-titik tebal pada gambar 1.2 menyatakan adanya hubungan "setengah dari" antara M

dan N.

c. Himpunan Pasangan Berurutan

Himpunan pasangan berurutan yang menujukkan relasi seperti contoh pada a adalah

{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)}

3) RELASI INVERS

Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai

R-1 = {(b,a) ½ (a,b) Î R}

contoh:

A = {1,2,3}; B = {a,b}

R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke B

R-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A

4) DOMAIN DAN RANGE

Domain (daerah asal) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen pertama dari pasangan

berurutan elemen R.

Domain = { a ½ a Î A, (a,b) Î R }

Range (daerah hasil) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen kedua dari pasangan

berurutan elemen R.

Range = {b ½ b Î B, (a,b) Î R}

contoh:

A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}

R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}

Domain = {2,4}

Range = {a,c}

C. FUNGSI

1. Pengertian dan Notasi

a) Pengertian Fungsi

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan

(dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai

kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari,

seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari

matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan

"operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain),

namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah

A B

2

3

abc

fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang

menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam

hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

Ciri Fungsi adalah :

Hanya terdapat satu unsur yang memetakan dari himpunan A ke B. Sehingga terdapat

pasangan terurut (a ,b) ∈ f.

Tidak terdapat dua atau lebih pasangan terurut berlainan yang mempunyai anggota pertama

yang sama.

b) Notasi fungsi,

f :A →B ditulis y = f (x) , dibaca “ y merupakan fungsi dari x ”.

c) Daerah Asal Fungsi

Daerah Asal Fungsi : ( Df = A = {x | x∈R} )

d) Daerah Hasil Fungsi

Daerah Hasil Fungsi : Rf = {y | y∈B.sehingga.y = f (x).untuk.satu.x ∈A}

2. Jenis-Jenis Fungsi

a) Fungsi ke Dalam atau into

Fungsi f :A→B dan f (A) Î B disebut Fungsi ke Dalam atau into

Contoh :

b) Fungsi injektif

AB

235

abcd

AB

abc

1

2

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk

sebarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2).

Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).

Contoh : : A→ B into satu-satu dan a1,a2 ∈ A dengan a1 ≠ a2 berlaku f(a1) ≠ f(a2).

c) Fungsi surjektif atau onto

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sebarang

b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b.

Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

Contoh :

d) Fungsi bijektif

AB

23

ab

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam

kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A

yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan

surjektif.

Contoh :

3. Komposisi Fungsi

a) Jika fungsi f dan g memenuhi Rf ∩ Dg ≠ 0maka terdapat fungsi dari himpunan bagian Df

ke himpunan bagian Rg yang dinamakan komposisi dari g ke f.

b) Notasi : h(x) = (g o f )(x) = g(f (x))

c) Sifat

Tidak Komutatif atau f o g ≠ g o f

Asosiatif (f o g)o h = f o (g o h)

Terdapat unsur identitas I(x) = x →(f o I) = (I o f ) = f

(f o f −1 )= (f −1 o f )= I

(f o g)−1 = g−1 o f −1

[( f o g)o g−1](x) = [g−1 o (g o f )](x) = f (x)

Jika k = f o g → k o g−1(x) = f (x)

Jika h = g o f → g−1 o h(x) = f (x)

D. MATRIKS

1) Pengertian Matriks, Ordo Matriks, dan Notasi Matriks

Matriks adalah suatu kumpulan besaran (variabel dan konstanta) yang dapat dirujuk melalui

indeknya, yang menyatakan posisinya dalam representasi umum yang digunakan, yaitu sebuah

tabel persegipanjang. Matriks merupakan suatu cara visualisasi variabel yang merupakan

kumpulan dari angka-angka atau variabel lain, misalnya vektor. Dengan representasi matriks,

perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam

menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya

variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan

didekomposisikan.

Untuk batasnya adalah :

() [ ] ‖‖Notasi Matriks :

A = (aij ) , dimana aij adalah elemen pada baris ke i kolom ke j

Berikut ini adalah contoh penulisan di dalam sebuah matriks :

Ordo matriks atau ukuran matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris (garis

horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat sdalam matriks tersebut. Jadi,

suatu matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo m x n.

Penjumlahan dan pengurangan matriks dapat dilakukan dengan mengoperasikan

komponen matriks pada letak yang sama, atau dilambangkan dengan :

atau dalam representasi dekoratfinya

2) Operasi matriks

a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks –matriks yang berukuran

sama ).

Jika A = (aij ) dan B = (b ij ) , matriks yang berukuran sama , maka A + B adalah

suatu matriks C = (cij ) , di mana cij = aij + bij untuk setiap i dan j.

Contoh :

A =(1 23 3 )

dan B = (2 12 4 )

maka

A + B = (1 23 3 )

+ (2 12 4 )

= (1+2 2+13+2 3+4 )

= (3 35 7 )

b. Perkalian skalar terhadap matriks

Jika suatu scalar ( bilangan ) dan A = (aij ) maka matriks A = (aij )

Contoh :

A =(1 23 3 )

maka 2A = (2 . 1 2. 22 . 3 2. 3 )

= (2 46 6 )

c. Perkalian Matriks

Pada umumnya perkalian Matriks tidak komutatif terhadap operasi perkalian : AB

BA.

Syarat Perkalian Matriks :

Banyaknya kolom matriks pertama = banyaknya baris matriks kedua.

Definisi :

Misal A = (aij ) berukuran ( m x n ) dan B = (b ij ) berukuran ( n x p ) . Maka

perkalian AB adalah suatu matriks C = (cij ) berukuran ( m x p)

di mana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ….. + ain bnj untuk setiap I = 1,2,,,,,,m dan j = 1,2,

….,p

Contoh :

A = (1 2 3 ) dan B = (201 )

maka

AB = (1 .2+2 .0+3 .1 ) = (5)

A (1x3) dan B (3x1) maka C ( 1x1)

3) Transpose dari suatu Matriks

Misal A = (aij ) berukuran ( m x n ) maka transpose dari A adalah matriks AT berukuran

(nxm) maka AT =(a ji ) . Beberapa Sifat matriks transpose :

(i) ( A + B ) T = AT + BT

(ii) (AT ) T = A

(iii) ( AT ) = (A)T

(iv) ( AB ) T = BT AT

Catatan :

Bila Matriks A = (aij ) adalah suatu matriks kompleks, Maka Transpose Hermitian ( Conjugate

Transpose) yaitu AH = (aij

− )T

= (a ji

¿ ) , jika z = x – yi maka z

−

= x + yi

Contoh :

A = (3−i 1−i

i 3 ) maka AH =

(3+i 1+i−i 3 )

4) Sifat-sifat aljabar matriks

a. A+B=B+A

b. A+(B+C)=(A+B)+C

c. A(BC)=(AB)C

d. A(B+C)=AB+AC

e. (A+B)C=AC+BC

f. c(A+B)=cA+cB

g. (a+b)C=aC+bC

h. a(bC)=(ab)C

i. a(BC)=(aB)C

5) Jenis-Jenis Matriks

Jenis-jenis matriks :Matriks dapat dibedakan menurut jenisnya, antara lain:

1. Matriks Nol

Suatu matriks dikatakan sebagai matriks nol, jika semua elemennya sama dengan nol.

Misalnya,

[0 00 0 ] ,[0 0 0

0 0 00 0 0 ]

2. Matriks Baris

Suatu matriks dikatakan sebagai matriks baris, jika matriks tersebut hanya terdiri atas satu

baris, misalnya

[ 1 7 ] , [ 5 −3 2 6 ]3. Matriks kolom

Suatu matriks dikatakan sebagai matriks kolom, jika matriks tersebut hanya terdiri dari

satu kolom. Misalnya,

[ 2−5] ,[357 ]

4. Matriks persegi dan matriks kuadrat

Suatu matriks dikatakan sebagai matriks persegi atau matriks kuadrat, jika jumlah baris

pada matriks tersebut sama dengan jumlah kolomnya.

Misalnya,

[2 −34 1 ] ,[ 3 7 −5

6 −3 1−1 8 −2 ]

Pada suatu matriks persegi ada yang dinamakan sebagai diagonal utama dan diagonal

sekunder. Perhatikan matriks berikut.

[a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33]

Komponen-komponen yang terletak pada diagonal utama pada matriks tersebut adalah

a11, a22 dan a33 (sesuai dengan arsiran yang berasal dari kiri atas ke kanan bawah).

Sebaliknya, komponenkomponen yang terletak pada diagonal sekunder sesuai dengan

arsiran yang berasal dari kiri bawah ke kanan atas, dalam hal ini a11, a22, a33.

5. Matriks segitiga

Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks segitiga jika elemen elemen yang ada di

bawah atau di atas diagonal utamanya (salah satu, tidak kedua-duanya) bernilai nol. Jika

elemen-elemen yangada di bawah diagonal utama bernilai nol maka disebut sebagai

matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika elemen-elemen yang ada di atas diagonal utamanya

bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga bawah.

Misalnya,

[−5 −1 20 4 30 0 4 ]

[ 7 0 0

5 1 0−4 −2 3 ]

Matriks segitiga bawah Matriks segitiga atas

6. Matriks Diagonal

Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks diagonal jika elemenelemen

yang ada di bawah dan di atas diagonal utamanya bernilai nol, atau dengan kata lain

elemen-elemen selain diagonal utamanya bernilai nol.

Misalnya,

[−1 00 4 ] [−4 0 0

0 2 00 0 1 ]

7. Matriks Skalar

Suatu matriks diagonal dikatakan sebagai matriks skalar jika semua elemen-elemen yang

terletak pada diagonal utamanya memiliki nilai yang sama, misalnya,

[9 00 9 ] [5 0 0

0 5 00 0 5 ]

8. Matriks Identitas dan materiks satuan

Suatu matriks skalar dikatakan sebagai matriks identitas jika semua elemen yang terletak

pada diagonal utamanya bernilai satu, sehingga

matriks identitas disebut juga matriks satuan.

Misalnya,

[1 00 1 ] [1 0 0

0 1 00 0 1 ]

E. VEKTOR

1) Pengertian Vektor (spasial)

Keterangan :

A merupakan titik tangkap vektor B merupakan ujung vektor AB menyatakan panjang/nilai

vektor Anak panah meyatakan arah vektor

Sebuah vektor dari A ke B.

Vektor dalam matematika dan fisika adalah obyek geometri yang memiliki besar dan

arah. Besaran vektor adalah besaran yang dinyatakan dengan nilai dan arah, misalnya

perpindahan, kecepatan, gaya, momentum dll. Vektor jika digambar dilambangkan dengan tanda

panah (→). Besar vektor proporsional dengan panjang panah dan arahnya bertepatan dengan

arah panah. Vektor dapat melambangkan perpindahan dari titik A ke B.[1] Vektor sering ditandai

sebagai

Vektor berperan penting dalam fisika: posisi, kecepatan dan percepatan obyek yang

bergerak dan gaya dideskripsikan sebagai vektor.

2) Opereasi Vektor

1. Kesamaan vektor

Vektor A dikatakan sama dengan vektor B, jika besar dan arahnya sama, tetapi

titik tangkap dan garis kerjanya tidak harus sama.

2. Penjumlahan vector

Jika dua buah vektor atau lebih searah, maka resultan vektornya dijumlahkan.

A

B

B= 6

A = 8 RAB = 14

Jika dua buah vektor atau lebih berlawanan arah, maka resultan vektornya

dikurangkan.

Jika dua buah vektor atau lebih saling tegak lurus, maka resultan vektornya

dijumlahkan dengan aturan phytagoras.

Jika dua buah vektor atau lebih saling membentuk sudut tertentu (θ≠90o), maka

resultan vektornya dijumlahkan dengan aturan.

a. Jajaran Genjang (aturan cosinus).

b. Segitiga (aturan sinus).

Aturan metode segitiga adalah dengan cara menggeser salah satu vektor ke ujung

vektor lainnya, kemudian menarik titik tangkap resultan vektornya.

c. Sumbu koordinat

Aturan sumbu koordinat adalah dengan cara menguraikan vektor-vektor terhadap

sumbu koordinat x dan y.

Contoh Soal1 :

A = 8

B= 6 RAB= 2

10100

366422

BAR

A = 8

B= 6 R = 10

Bθ

cos222 ABBAR

AB

α R

βγ

A

B α

sinsinsin

BAR

x

y

F

αRx = F cos α

Ry = F sin αCatatan :

Setelah semua vektor diproyeksikan terhadap sumbu x dan y, maka cari resultan vektor terhadap sumbu x dan y.

Gunakan aturan phytagoras untuk menentukan resultan vektor akhir

Tentukan resultan vektor pada gambar di bawah dengan menggunakan metode

jajaran genjang dan metode sumbu koordinat ?

Jawaban : 5 N

3. Perkalian Vektor

Ada tiga macam perkalian dalam vektor, yaitu :

Perkalian titik (dot product)

syarat-syarat perkalian titik :

- A . B = B . A

- A.(B+C) = A.B + A.C

- i . i = j . j = k . k = 1

- i . j = j . k = k . i = 0

- Jika A . B = 0, maka A dan B saling tegak lurus

Perkalian silang (cross product)

syarat-syarat perkalian titik :

- A x B = -B x A

- Ax(B+C) = AxB + AxC

- i x i = j x j = k x k = 0

- i . j = k ; j . k = i ; k . i = j

- Jika A x B = 0, maka A dan B saling sejajar

x

y

30

4 N3 N

60

A

B

αcos. ABBA

Perkalian tensor (dyadic)

DAFTAR PUSTAKA

BAB I

Himpunan :

http://www.pppgkes.com/downloads/Diktat%20Kuliah%20M1,2,3.pdf

http://erfanmath.wordpress.com/2008/07/11/himpunan/

http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_%28matematika%29

http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_himpunan

www.informatika.org/~rinaldi/Matdis/2008-2009/Himpunan.ppt

Fungsi :

http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_%28matematika%29

http://oke.or.id/wp-content/uploads/2009/02/Fungsi_Oke_.pdf

Relasi :

http://edukasih.blogspot.com/2009/02/relasi.html

sinABBxA

i

j

k2

2

1

1

321

321

B

A

j

B

A

i

BBB

AAA

kji

AxB

http://free.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0371%20Mat%201-

4a.htm

Matriks:

http://id.wikipedia.org/wiki/Matriks_%28matematika%29

http://viyy.files.wordpress.com/2009/01/ jenis - jenis - matriks1 . doc

www.uty.ac.id/weekend_ti/aljabar/4.doc

http://hamimnova.files.wordpress.com/2009/05/matrik.pdf

www.akademik.unsri.ac.id/download/journal/files/gdr/ban3.doc

Vektor :

http://id.wikipedia.org/wiki/Vektor_%28spasial%29

http://blog.unila.ac.id/angjun/files/2009/09/besaran-vektor1.ppt

BAB II

http://sites.google.com/site/kecerdasanbuatan/kelas/pert-3

http://sonya-ali.blogspot.com/2010/03/perbedaan-ai-dengan-komputasi.html

http://amutiara.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/11705/kecerdasanbuatanv2bab1-4.pdf

http://p_musa.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/.../ KONSEP_DASAR_AI . pdf

BAB III

http://sites.google.com/site/kecerdasanbuatan/kelas/pert-4

http://amutiara.staff.gunadarma.ac.id/.../ kecerdasan-buatan-v-2-0-bab-5-8.pdf