pengantar dasar matematika (logika matematika)

Logika

Matematika

Tujuan umum pembelajaran

1. Menggunakan nilai kebenaran

pernyataan majemuk dan implikasi

dalam pemecahan masalah

2. Menggunakan sifat dan prinsip

logika untuk penarikan kesimpulan

dan pembuktian sifat matematika

1 | P e n g a n t a r D a s a r M a t e m a t i k a

Inti bagian :

1. Pengertian logika

2. Pernyataanmajemuk

a.Kalimat Pernyataan Terbuka

b. Kalimat Pernyataan Tertutup

3. Teori korespondensi dan koheresi


Bagian I

Logika dan Pernyataan

Info matematikaSalah satu tokoh matematika dalam bidang logika matematika adalah Augustus De Morgan. Sumbangsih terbesarnya dalam logika matematika dikenal dengan hukum De Morgan.

Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar

dengan benar. Secara bahasa, logika berasal dari

kata “logos” yang artinya kata, ucapan, pikiran

secara utuh atau ilmu pengetahuan. Secara istilah

logika adalah cabang ilmu yang mempelajari

penurunan-penurunan kesimpulan yang

shahih(valid/benar) dan tidak shahih

(invalid/tidak benar).

Dalam mengambil kesimpulan, dibutuhkan suatu kalimat yang dapat dinyatakan

nilainya,yaitu dengan meliputi benar atau salah.

Contoh kalimat :

1. “Tolong tutupkan pintu itu !!”

Kalimat diatas tidak dapat dinyatakan nilainya apakah benar atau salah.

2. “Pulpen ini milik Adi”

Kalimat diatas dapat dinyatakan kebenarannya.

Kalimat pernyataan dapat dibagi menjadi 2 :

1. Kalimat pernyataan tertutup

Kalimat pernyataan tertutup merupakan kalimat yang memiliki nilai

kebenaran yang sudah pasti , apakah nilainya benar saja atau salah saja

dan tidak bisa diubah-ubah.

Contoh :

1. Semua orang akan mati


A. Pengertian Logika

B. Pernyataan Majemuk

2. Gula itu asin

3. Indonesia merdeka tanggal 17 Agustus 1945

4. 2+3=10

Keempat kalimat diatas merupakan kalimat pernyataan tertutup karena nilai

kebenarannya sudah pasti. Contoh 1 dan 3 menyatakan benar, sedangkan contoh

2 dan 4 menyatakan salah.

2. Kalimat pernyataan terbuka

Kalimat pernyataan terbuka merupakan kalimat yang belum pasti nilai

kebenarannya (relative).Biasanya ada pada kalimat tanya dan kalimat

perintah

Contoh :

1. Nasi goreng itu enak

2. Pria itu ganteng

3. Semua artis di Indonesia ganteng

1. Teori Korespondensi

Teori ini membahas tentang penarikan kesimpulan (benar/salah) berdasarkan

kenyataan yang sebenarnya.

Contoh :

1. Saya memakai jilbab

2. Jakarta merupakan ibukota Negara Indonesia

2. Teori koheresi

Teori ini membahas penilaian yang benar bila sesuai dengan kebenaran

sebelumnya yang telah disepakati.

Contoh : a.(−1)×(−1)=1

Pembuktian

(−1)×(−1)=1


C. Teori Korespondensi dan Koheresi

1×1=1

1×(−1)=−1≡(−1)×1=1 (aturan komutatif)

(−1)×(−1)=1 mengapa 1?

(−1)×0=0

(−1)×(1+(−1))=0

(−1 )×1+(−1 ) (−1 )=0

(−1)+?=0 (−1 tambah berapa supaya jadi0? Yaitu 1¿

∴Benar bahwa (−1)×(−1)=1


1. Manakah di antara kalimat berikut yang merupakan pernyataan ?

a. x+3=2

b. x+3=2 adalah suatu pernyataan

c. 111adalah bilangan prima

d. Tadi pagi fahmi bertanya “pak guru kapan ulangan ?”

e. 2n+1 untuk n∈ A adalah bilagan ganjil

2. Andi berbohong pada hari Senin, Selasa, dan Rabu, sedangkan pada hari-hari yang

lain ia berkata benar. Teman karibnya, si Badu berbohong pada hari kamis, jum’at

dan sabtu, sedangkan pada hari-hari yang lain ia berkata benar. Pada suatu hari, andi

berkata “kemarin adalah hari dimana saya berbohong.” Badu lalu menimpali :

“kemarin adalah hari dimana saya berbohong juga.”

a. Pada hari-hari apakah mereka berdua dapat menyatakan hal itu ?

b. Jika mereka berdua sama-sama menyatakan bahwa hari kemarin adalah hari

dimana mereka berkata benar, pada hari-hari apakah mereka berdua dapat

menyatakan hal itu ?

3. Pada sutu rumah makan , Andi seorang sopir sedang duduk mengelilingi meja

berbentuk persegi dengan tiga orang temannya. Ketiga teman andi tersebut bekerja

sebagai KELASI, PILOT, dan MARKONIS. Tentukan pekerjaan Budi jika : Andi duduk di

sebelah kiri CHANDRA, BUDI duduk di sebelah kanan kelasi, dani yang duduk

berhadapan dengan Chandra bukanlah seorang pilot.

4. Ada tiga orang siswa yaitu TONI, DIDI, dan HORY. Tentukan bahwa :

a. Toni tidak pernah berbohong. Didi kadang-kadang berbohong. Sedangkan hory

selalu berbohong.

b. Mereka memakai kaos HIJAU, KUNING, MERAH.

c. Siswa yang memakai kaos kuning, menyatakan bahwa siswa yang brkaos

merah adalah hory.

d. Siswa yanng memakai kaos merah, menyatakan bahwa dirinya adalah Didi.

e. Siswa terakhir yang memakai kaos hijau, menyatakan bahwa siswa yang

berkaos merah adalah toni.

Berdasar keterangan di atas, tentukan warna kaos yang dipakai tiap siswa.

Latihan 1


Inti Bagian :

1. Negasi/ ingkaran

2. Konjungsi

3.Disjungsi

4.Implikasi

5.Biimlikasi


Bagian II

Operasi logika (Perangkai/Perakit)

Catatan Bentuk konjungsi p˄q dapat juga dibaca sebagai:

a. p dan qb. p tetapi qc. p meskipun qd. p walaupun q

Ingkaran ditandai dengan “Tidak benar bahwa, Bukan , Tidak”, dinotasikan

dengan “¬

Contoh :

Tentukan negasi dari :

1. Andi berjalan menuju Barat

2. Kemarin saya tidak pergi ke pasar

Jawab :

1. p=¿Andi berjalan menuju Barat

¬ p=¿Tidak benar bahwa Andi berjalan menuju Barat.

2. p=¿kemarin saya tidak pergi ke pasar

¬ p=¿ kemarin saya pergi ke pasar

Berikut adalah tabel kebenaran negasi

Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang

dibentuk dari dua pernyataan tunggal dengan operator

logika “dan” yang dilambangkan dengan “∧


A. Negasi/ingkaran (¬)

B. Konjungsi/conjunction(∧)

Catatan :

Negasi merupakan kebalikan dari pernyataan.

p ¬ p

B S

S B

Contoh :

p=ambil p isau

q=ambil garpu

Didapat :

Kemungkinan 1 = ambil pisau + garpu (benar)

Kemungkinan 2 = ambil pisau (salah)

Kemungkinan 3 = ambil garpu (salah)

Kemungkinan 4 = tidak kedua-duanya (salah)

Berikut adalah tabel

kebenaran konjungsi

Ket !!

Dari tabel diatasdapat disimpulkan bahwa pernyataan bernilai benar jika

pernyataan keduanya benar, dan bernilai salah jika terdapat pernyataan yang

salah.


Ambilkan pisau dan garpu (ketika ingin makan steak)

C. Disjungsi / Disjunction(∨)

p q p˄q

B B B

B S S

S B S

S S S

Disjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan

tunggal dengan operator logika “atau”. Terdapat dua macam disjungsi , yaitu

disjungsi inklusif dan disjungsi eksklusif.dinotasikan dengan ∨ ”

1. Disjungsi inklusif (menyatakan salah satu atau keduanya. Biasanya mencakup

kata “atau” dinotasikan dengan simbol “∨”)

Contoh :

Kemungkinan 1 = ambil pensil+¿ pulpen (benar)

Kemungkinan 2 = ambil pensil saja (benar)

Kemungkinan 3 = ambil pulpen saja (benar)

Kemungkinan 4 = tidak ambil keduanya (salah)

Berikut adalahtabel kebenaran disjungsi inklusif

2. Disjungsi eksklusif (menyatakan salah satunya saja, ditandai dengan simbol “

⊻”

Contoh :

p=memakai sepatu

q=sandal

Didapat :


Ambilkan pensil atau pulpen (ketika ingin menulis)

Memakai sepatu atau sandal

p q p∨qB B B

B S B

S B B

S S S

CatatanBentuk implikasi p→q dapat juga dibaca sebagai :

a. Jikap, maka qb. p hanya jika qc. q jika pd. p syarat cukup bagi

qe. q syarat cukup bagi

p

Kemungkinan 1 = pakai sepatu+¿sandal (salah)

Kemungkinan 2 = pakai sepatu (benar)

Kemungkinan 3 = pakai sandal (benar)

Kemungkinan 4 = tidak pakai keduanya (salah)

Berikut adalah tabel kebenaran disjungsi eksklusif

p q p⊻q

B B S

B S B

S B B

S S S

Implikasi merupakan pernyataan majemuk yang

ditandai dengan kata “jika...maka...” , “...hanya

jika...”, dinotasikan dengan →

Contoh :

p=haritidak hujan

q=abang akandatang

Didapat :

Kemungkinan 1 = tidak hujan+¿datang (benar)

Kemungkinan 2 = tidak hujan+¿tidak datang (salah)


D. Implikasi ( → )

Jika hari tidak hujan maka abang akan datang

Kemungkinan 3 = hujan+¿datang (benar)

Kemungkinan 4 = hujan+¿tidak datang (benar)

Berikut adalah tabel kebenaran implikasi..

p q p→q

B B B

B S S

S B B

S S B

Contoh implikasi yang tidak sesuai :

Kemungkinan 1 = hidup+¿bernapas (benar)

Kemungkinan 2 = hidup+¿tidak bernapas (salah)

Kemungkinan 3 = tidak hidup+¿bernapas (salah)

Kemungkinan 4 = tidak hidup+¿tidak bernapas (benar)

Sehingga tabelnya akan menjadi seperti berikut.

p q p→q

B B B

B S S

S B S

S S B


Jika kambing hidup maka bernapas

Tidak sesuai dengan teorema

Biimplikasi merupakan pernyataan majemuk yang ditandai dengan “...jika dan

hanya jika...” dinotasikandengan simbol ↔

Contoh :

Kemungkinan 1 = hidup+¿bernapas (benar)

Kemungkinan 2 = hidup+¿tidak bernapas (salah)

Kemungkinan 3 = tidak hidup+¿bernapas (salah)

Kemungkinan 4 = tidak hidup+¿tidak bernapas (benar)

Berikut adalah tabel kebenaran Biimplikasi

p q p↔q

B B B

B S S

S B S

S S B


Persamaan biimplikasi

p↔q≡( p→q)∧(q→ p)

E. Biimplikasi

Kambing hidup jika dan hanya jika bernapas

Catatan Biimplikasi bernilai benar jika pernyataan keduanya sama.


1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut !

a. 3 +¿ 2 ¿ 6 ↔ 4 +¿ 2 ¿ 5.

b. 3 +¿ 2 ¿ 5 → 4 +¿ 2 ¿ 5.

c. 3 +¿ 2 ¿ 5 atau Jakarta ibukota D.I Aceh.

d. Jika x2 ¿ 4 maka x ¿ 2

e. Jika x ¿ -2 maka x2 ¿ 4

f. Jika 3x +¿ 4 ¿ 2 dan x ∈ B, maka x ¿ -1

2. p : 10 habis dibagi 5.

q : 8 adalah bilangan prima.

Nyatakan dalam kalimat sehari-hari pernyataan-pernyataan berikut ini lalu

tentukan nilai kebenarannya.

a. ¬p f. ¬p ∧ q

b. ¬q g. p ∧ ¬q

c. p ∧ q h. p → q

d. p ∨ q i. p ↔ q

e. ¬p ∧ ¬q j. (p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)

3. Jika a : Lisa gadis cantik dan

b : Lisa gadis cerdas

Nyatakan pernyataan dibawah ini dengan menggunakan a,b dan simbol-simbol

logika matematika.

a. Lisa gadis yang cantik namun tidak cerdas.

b. Lisa gadis yang tidak cantik dan tidak cerdas.

c. Meskipun Lisa bukanlah gadis yang cantik namun ia gadis yang cerdas.

d. Lisa gadis yang cantik sekaligus juga gadis yang cerdas.

e. Tidak benar bahwa Lisa gadis yang cantik dan cerdas

f. Jika Lisa gadis yanng cantik maka ia tidak cerdas.

g. Jika Lisa gadis yang tidak cantik maka ia tidak cerdas.

4. 4. Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan ini.

a. p → q ↔ ¬p ∨ q

b. p ∧ q → (q ∧ ¬q → r ∧ q)

Latihan 2


1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut !

a. 3 +¿ 2 ¿ 6 ↔ 4 +¿ 2 ¿ 5.

b. 3 +¿ 2 ¿ 5 → 4 +¿ 2 ¿ 5.

c. 3 +¿ 2 ¿ 5 atau Jakarta ibukota D.I Aceh.

d. Jika x2 ¿ 4 maka x ¿ 2

e. Jika x ¿ -2 maka x2 ¿ 4

f. Jika 3x +¿ 4 ¿ 2 dan x ∈ B, maka x ¿ -1

2. p : 10 habis dibagi 5.

q : 8 adalah bilangan prima.

Nyatakan dalam kalimat sehari-hari pernyataan-pernyataan berikut ini lalu

tentukan nilai kebenarannya.

a. ¬p f. ¬p ∧ q

b. ¬q g. p ∧ ¬q

c. p ∧ q h. p → q

d. p ∨ q i. p ↔ q

e. ¬p ∧ ¬q j. (p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)

3. Jika a : Lisa gadis cantik dan

b : Lisa gadis cerdas

Nyatakan pernyataan dibawah ini dengan menggunakan a,b dan simbol-simbol

logika matematika.

a. Lisa gadis yang cantik namun tidak cerdas.

b. Lisa gadis yang tidak cantik dan tidak cerdas.

c. Meskipun Lisa bukanlah gadis yang cantik namun ia gadis yang cerdas.

d. Lisa gadis yang cantik sekaligus juga gadis yang cerdas.

e. Tidak benar bahwa Lisa gadis yang cantik dan cerdas

f. Jika Lisa gadis yanng cantik maka ia tidak cerdas.

g. Jika Lisa gadis yang tidak cantik maka ia tidak cerdas.

4. 4. Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan ini.

a. p → q ↔ ¬p ∨ q

b. p ∧ q → (q ∧ ¬q → r ∧ q)

1. Assign truth values to the following propositions : a. 3≤7and 4 is an odd integer b. 3≤7or 4 is an odd integerc. 2+1=3 but4<4d. 5is odd or divisible by4e. it is not true that 2+2=5and5>7f. it is not true that 2+2=5or5>7g. 3≥32. Give useful negations of : a. 3−4<7b. 3+1=5∧2≤4c. 8is divisibleby 3 but 4is not3. Suppose that we define the connective ¿ by saying p∗q is true only when q is true and p is false and is false ontherwise. a. Write out the truth table for p∗qb. Write out the truth table for p∗qc. Write out the truth table for ( p∗p )∗q4. Let us denote the “exclusive or” sometimes used in ordinary conversation by ⨁. Thus p⨁q will be true when exactly one of p , q is true, and false otherwise. a. Write out the truth table for p⨁qb. Write out the truth tables for p⨁ p and ( p⨁q ) ⨁qc. Show that “and/or” really means “and or or,” that is, the truth table for ( p∧q ) ⨁( p⨁q) is the same as the truth table for p∨qd. Show that it makes no difference if we take both “or’s” in “and/or” to be inclusive (∨ ) or exclusive (⨁ )

Exercise 3

Inti Bagian :

1. Negasi dari suatu konjungsi

2. Negasi dari suatu disjungsi

3. Negasi dari suatu implikasi

4. Negasi dari suatu biimplikasi


Bagian IIINegasi Dari Konjungsi, Disjungsi,

Implikasi dan Biimplikasi

1. Assign truth values to the following propositions : a. 3≤7and 4 is an odd integer b. 3≤7or 4 is an odd integerc. 2+1=3 but4<4d. 5is odd or divisible by4e. it is not true that 2+2=5and5>7f. it is not true that 2+2=5or5>7g. 3≥32. Give useful negations of : a. 3−4<7b. 3+1=5∧2≤4c. 8is divisibleby 3 but 4is not3. Suppose that we define the connective ¿ by saying p∗q is true only when q is true and p is false and is false ontherwise. a. Write out the truth table for p∗qb. Write out the truth table for p∗qc. Write out the truth table for ( p∗p )∗q4. Let us denote the “exclusive or” sometimes used in ordinary conversation by ⨁. Thus p⨁q will be true when exactly one of p , q is true, and false otherwise. a. Write out the truth table for p⨁qb. Write out the truth tables for p⨁ p and ( p⨁q ) ⨁qc. Show that “and/or” really means “and or or,” that is, the truth table for ( p∧q ) ⨁( p⨁q) is the same as the truth table for p∨qd. Show that it makes no difference if we take both “or’s” in “and/or” to be inclusive (∨ ) or exclusive (⨁ )

Perhatikan tabel berikut !

p q ¬ p ¬q p∧q ¬( p∧q) ¬ p∨¬q

B B S S B S S

B S S B S B B

S B B S S B B

S S B B S B B

Dilihat dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa suatu konjungsi bernilai salah

jika salah satu dari p atau qbernilai salah, ataupun nilai keduanya salah. Terdapat pula

nilai kebenaran yang sama (ekivalen), yaitu :

Contoh :

Tentukanlah ingkaran atau negasi dari pernyataan diatas !

Jawab :

Diketahui ¬( p∧q)≡¬ p∨¬q

: Tidak benar bahwa semua bilangan asli adalah bilangan real atau tidak benar

bahwa semua bilangan prima adalah bilangan ganjil.


1. Negasi dari suatu Konjungsi

¬( p∧q)≡¬ p∨¬q

Semua bilangan asli adalah bilangan real dan semua bilangan

prima adalah bilangan ganjil.

2. Negasi dari suatu Disjungsi

Dilihat dari tabel tersebut dapat disimpulkan suatu disjungsi bernilai salah jika

kedua pernyataan p dan q adalah salah. Terdapat pula nilai kebenaran yang sama pada

kolom ke-6 dan ke-7, yaitu :

Contoh :Sebelum angka 8 adalah angka 7 atau 4 habis dibagi 2.

Tentukan negasi atau ingkaran dari suatu pernyataandiatas !

Jawab :

Diketahui ¬( p∨q)≡¬ p∧¬q: Tidak benar bahwa sebelum angka 8 adalah angka 7 dan tidak benar bahwa

4 habis dibagi 2.

p q ¬ p ¬q p→q ¬( p→q) p∧¬q

B B S S B S S

B S S B S B B

S B B S B S S

S S B B B S S


¬( p∨q)≡¬ p∧¬q

3. Negasi dari suatu Implikasi

p q ¬ p ¬q p∨q ¬( p∨q) ¬ p∧¬q

B B S S B S S

B S S B B S S

S B B S B S S

S S B B S B B

Dilihat dari tabel tersebut dapat disimpulkan bahwa suatu implikasi bernilai

salah jika nilai p benar dan q salah. Terdapat pula nilai kebenaran yang sama pada

kolom ke-6 dan ke-7, yaitu :

Contoh :jika hari ini tidak hujan, maka abang akan datang

Tentukan negasi atau ingkaran dari suatu pernyataan diatas !

Jawab :

Diketahui ¬( p→q)≡ p∧¬q: Hari ini tidak hujan dan abang tidak akan datang

¬ (p↔q )≡¬ [ (p→q )∧ (q→ p ) ]≡¬( p→q)∨¬(q→p)

¬ (p↔q )≡ [ ( p∧¬q )∧ (q→¬ p ) ]


¬( p→q)≡ p∧¬q

Tingkatan operasi logika :

1. ¬2. ∧3. ∨4. →5. ⟷

4. Negasi dari suatu Biimplikasi

1. Tentukan negasi dari pernyataan berikut ini lalu tentukan nilai kebenarannya.

a. 3+2=6→4+2=5

b. 3+2→4+2=5

c. 3+2=5 atau Jakarta ibukota DI Aceh2. Jika habis dibagi 5

Latihan 4


1. Tentukan negasi dari pernyataan berikut ini lalu tentukan nilai kebenarannya.

a. 3+2=6→4+2=5

b. 3+2→4+2=5

c. 3+2=5 atau Jakarta ibukota DI Aceh2. Jika habis dibagi 5

Inti bagian :

1. Konvers

2. Invers

3. Kontraposisi

4. Ekuivalen

5. Tautologi

6. Kontradiksi

7. Kontingensi


Bagian IVKonvers, Invers, dan

Kontraposisi

a. Ekuivalen

Ekuivalen adalah dua buah pernyataan majemuk yang setara.

Contohnya seperti pernyataan p→q dan ¬ p∨q..

Tabel kebenaran ekuivalen

p q ¬ p p→q ¬ p∨q

B B S B B

B S S S S

S B B B B

S S B B B

b. Tautologi

Tautologi adalah suatu pernyataan majemuk dengan nilai

kebenarannya yang selalu benar. Contohnya seperti pernyataan

p→ ( p∨q )

Tabel kebenaran tautologi

p q p∨q p→(p∨q)

B B B B

B S B B

S B B B

S S S B


Ekuivalen, Tautologi , Kontradiksi, Kontingensi

c. Kontradiksi

Kontradiksi adalah suatu pernyataan majemuk dengan nilai

kebenarannya yang selalu salah. Contohnya seperti pernyataan

( p∧q )∧ (p→¬q )

Tabel kebenaran kontradiksi

p q ¬q p∧q p→¬q ( p∧q )∧ (p→¬q )

B B S B S S

B S B S B S

S B S S B S

S S B S B S

d. Kontingensi

Kontingensi adalah suatu pernyataan majemuk yang memiliki nilai

kebenaran benar dan salah. Contohnya seperti pernyataan

( p∨q )→r

Tabel kebenaran kontingensi

p q r p∨q ( p∨q )→r

B B B B B

B B S B S

B S B B B

B S S B S

S B B B B

S B S B S

S S B B B

S S S S S


Konvers invers kontraposisi

1. Konvers , yaitu suatu pernyataan implikasi yang dibalik antara pernyataan

yang satu dengan yang lain. Pernyataan ini berbentukq→ p

2. Invers, yaitu suatu pernyataan berimplikasi yang tidak dibalik namun di

negasikan. Pernyataan ini berbentuk ¬ p→¬q

3. Kontraposisi, yaitu suatu pernyataan berimplikasi yang dibalik serta di

negasikan pula. Pernyataan ini berbentuk ¬q→¬ p

Berikut ini tabel ekuivalen :

p q ¬ p ¬q p→q q→ p ¬ p→¬q ¬q→¬ p

B B S S B B B B

B S S B S B B S

S B B S B S S B

S S B B B B B B

Implikasi konvers invers kontraposisi

≡

Ekuivalen

≡

Berikut ini adalah beberapa contoh bentuk-bentuk logika yang ekuivalen.

1. Hukum komutatif :

a. p∧q≡q∧ p

b. p∨q≡q∨ p

2. Hukum asosiatif :


Konvers, invers, dan kontraposisi

a. ( p∧q )∧ r≡ p∧ (q∧r )

b. ( p∨q )∨ r≡ p∨ (q∨r )

3. Hukum distributif :

a. p∧ (q∨ r )≡ (p∧q )∨ ( p∧r )

b. p∨ (q∧ r )≡ (p∨q )∧ ( p∨r )

4. Hukum De Morgan :

a. ¬ (p∧q )≡¬ p∨¬q

b. ¬ (p∨q )≡¬ p∧¬q



1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut:a. Jika suatu bendera adalah bendera jepang, maka ada bintang pada

bendera tersebut b. a>0⇒a3>0c. a=0⇒ab=0d. Jika dua buah persegi panjang kongruen maka luasnya samae. x=3⇒ x2=9f. Jika segitiga ABC adalah segi tiga samasisi mka sisi-sisi segitiga tersebut

sama panjang

Latihan 5

Inti bagian :

1.Definisi kuantor

2.Macam-macam kuantor

a. Kuantor universal

b.Kuantor eksistensial

3.Kuantor tersarang

4.Negasi pernyataan berkuantor

kuantor adalah suatu kata yang menunjukkan suatu ukuran kuantitas atau

jumlah, atau banyaknya suatu elemen.

Ilustrasi :

A = mahasiswa 1-D

B = mahasiswa gemar

mencontek

Pernyataan yang bisa diambil dari ilustrasi diatas adalah :

“sebagian mahasiswa kelas 1-D gemar mencontek”

“semua mahasiswa yang gemar mencontek merupakan mahasiswa kelas 1-

D”


A

B

A. Definisi Kuantor

CatatanKuantor menyatakan suatu kondisi domain.

“sebagian mahasiswa kelas 1-D tidak gemar mencontek”

Beberapa kata yang dikenal sebagai kuantor adalah , semua , beberapa ,

ada ataupun tidak ada.

1. Kuantor Universal

Biasa ditandai dengan kata “setiap, semua, seluruh, tiap, dst..”yang

menandaitercukupnya seluruh anggota domain. Berlambangkan “∀ dan dibaca

“untuk setiap” atau ‘untuk semua”.Biasanya pernyataan yang berkuantor

universal ditandai dengan kata (semua, seluruh, setiap, tiap, dll).

Misalkan p(x )adalah kalimat terbuka

∀ x p ( x )dibaca untuk setiap/semua x berlaku p(x”

Atau “p ( x ) berlaku bagi setiap/seluruh x”.

Untuk menentukan pembenaran harus dibuktikan secara umum, sedangkan

untuk pembatalan cukup diambil salah satu contoh yang dapat membatalkan

premi tersebut.

Contoh :

1. Jumlah 2 buah bilangan genap adalah bilangan genap.

Bukti :

Bilangan genap adalah bilangan kelipatan 2, sehingga dapat

disimbolkan dengan 2n ,n∈Z

2n1+2n2=2(n¿¿1+n2)¿

Misalkan n1+n2=p , p∈Z

Sehingga 2 (n1+n2 )=2 p , p∈Z

Berarti 2 pbilangan genap

∴ pernyataanbernilaibenar

2. ∀ x∈N , x−x+41 merupakan bilangan prima.


B. Macam-Macam Kuantor

Bukti :

Ambil x=41∈N , sehingga (41 )2−41+41=1681 bukan merupakan bilangan

prima

∴ pernyataan bernilai salah

3. Semua laki-lagi buaya darat.

Bukti :

Ayah saya adalah laki-laki dan menurut saya ia bukan buaya darat.

∴ pernyataan bernilai salah

4. Diketahui A : {3 ,4 ,5 }

Berlaku jumlah 2 bilangan kurang dari atau sama dengan 9

∀ x∈ A ,x1+x2≤9

Kemungkinan yang dapat terjadi =

(x1 , x2 )→x1+ x2≤9

(3 ,4 )→3+4≤9

(3 ,5 )→3+5≤9

(4 ,5 )→4+5≤9

∴ pernyataan bernilaibenar

2. Kuantor Eksistensial

Biasanya ditandai dengan kata “terdapat, sebagian, ada, beberapa, dst..” yang

menggambarkan kondisi sebagian anggota domain. Berlambangkan ∃

Misalkan p(x) pernyataan terbuka, sehingga ∃ x p ( x ) dibaca “untuk beberapa x

berlaku p(x ) atau “terdapat x sedemikian sehingga berlaku p(x )" atau "p(x ) berlaku

sebagian x”.

Untuk menentukan pembenaran cukup ambil salah satu contoh yang dapat

membenarkan premi tersebut, sedangkan untuk pembatalan harus dibuktikan secara

umum yang dapat menyatakan bahwa premi itu tidak ada atau tidak benar.

Contoh :


1. Terdapat aktor yang tidak tampan

Bukti :

Menurut saya “ucok baba tidak tampan namun dia aktor”

Premi : benar

2. ∃n∈N ,n1+n2∉N

Bukti :

Teorema “bilangan asli memiliki sifat tertutup dalam penjumlahan”

Premi : salah

3. Diketahuui A = {3, 4, 5}

Ditanyakan : Terdapat anggota A merupakan bilangan genap

∃ x∈ A , xbilangan genap

Bukti : p(3)∨ p(4)∨ p (5)

S ∨s∨ s

b ∨ b ≡ Benar

Contoh universal :

Semua anggota A bilangan ganjil

∀ x∈ A ,x bilanganganjil

Bukti : p (3 )∧ p (4 )∧ p (5 )

b ∧ b ∧ b

s∧s ≡ salah


C. Kuantor bersarang

¿negasinya≠¿negasinya≥¿negasinya≤

Kuantor bersarang merupakan pernyataan berkuantor yang mengandung lebih dari 1

variabel.

Contoh : misalkan x dan y merupakan orang

( x ) :=x mencintai y

#∃ y , p (x , y )=x mencintai beberapa y

#∀ x [∃ y , p (x , y ) ]=semuax mencintai beberapa y

#∀ y [∃ y , p ( x , y ) ]=beberapa xmencintai semua y

#∃ x ∀ y , p (x , y )=beberapa x mencintai semua y

#∀ x ∀ y , p ( x , y )=semua xmencintai semua y

#∃ y ∀ x , p (x , y )=semua xmencintai beberapa y

Didapat persamaan

1. Kuantor universal

Contoh : ¬[semua bunga itu indah] ≡ tidak benar bahwa semua bunga itu indah

≡ beberapa bunga tidak indah

¬ (∀ x , x2≥0 )≡∃ x , x2<0

Salah benar

Bukti : √−1=bilangan imaginer

Semua bilangan x bila dikuadratkan hasilnya akan lebih

dari 0.


D. Negasi pernyataan berkuantor

∃ x ∀ y p ( x , y )≡∃ y∀ x p (x , y )∀ x ∀ y , p ( x , y )≡∀ y ∀ x , p ( x , y )

p ( x , y )≢p(x , y)

≡≡

Secara umum negasi dari kuantor universal dapat dirumuskan sebagai berikut

Pernyataan Negasi

∀ x , p(x ) ¿

2. Kuantor eksistensial

Contoh :

1. ¬(ada siswa yang suka ngupil) ≡ tidak benar bahwa ada siswa yang ngupil

≡ semua siswa tidak suka ngupil

2. ¬ (∃ x , x2=9 )≡∀ x , x2≠9

Benar Salah (buktinya ada 3 dan -3)

Secara umum negasi dari kuantor universal dapat dirumuskan sebagai berikut

Pernyataan Negasi

∃ x , p (x) ¬¿


1. Dengan semesta pembicaraan himpunan bilangan bulat,tentukan nilai x yang akan menyebabkan kalimat terbuka dibawah ini menjadi benar.

a. 2 x−4=−5b. x+2=−5c. x2−16=0d. x+3=3+ x

2. Dengan semesta pembicaraan himpunan bilangan bulat, gunakan kuantor dengan urut-urutan : “semua..”, “beberapa..”, “tidak ada..” pada kalimat diatas sehingga didapat pernyataan berkuantor yang bernilai benar.

3. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut ini : a. Setiap perwira TNI adalah laki – laki b. Beberapa gubernur di Indonesia adalah perempuan c. Setiap bilangan jika dipangkatkan 0 akan bernilai sama dengan 1 d. Setiap bilangan memiliki lawan (invers penjumlahan)e. Setiap bilangan memiliki kebalikan (invers perkalian)f. Setiap persegi adalah jajargenjangg. Setiap jajargenjang adalah trapeziumh. Terdapat bilangan sedemikian sehingga setiap bilangan jika ditambahkan ke bilangan tersebut akan menghasilkan bilangan itu sendiri i. Terdapat bilangan sedemikian sehingga setiap bilangan jika dibagi dengan bilangan tersebut akan menghasilkan bilangan itu sendiri j. Setiap jajargenjang memiliki simetri setengah putarank. Beberapa siswa menganggap matematika sulit

Latihan 6


1. Dengan semesta pembicaraan himpunan bilangan bulat,tentukan nilai x yang akan menyebabkan kalimat terbuka dibawah ini menjadi benar.

a. 2 x−4=−5b. x+2=−5c. x2−16=0d. x+3=3+ x

2. Dengan semesta pembicaraan himpunan bilangan bulat, gunakan kuantor dengan urut-urutan : “semua..”, “beberapa..”, “tidak ada..” pada kalimat diatas sehingga didapat pernyataan berkuantor yang bernilai benar.

3. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut ini : a. Setiap perwira TNI adalah laki – laki b. Beberapa gubernur di Indonesia adalah perempuan c. Setiap bilangan jika dipangkatkan 0 akan bernilai sama dengan 1 d. Setiap bilangan memiliki lawan (invers penjumlahan)e. Setiap bilangan memiliki kebalikan (invers perkalian)f. Setiap persegi adalah jajargenjangg. Setiap jajargenjang adalah trapeziumh. Terdapat bilangan sedemikian sehingga setiap bilangan jika ditambahkan ke bilangan tersebut akan menghasilkan bilangan itu sendiri i. Terdapat bilangan sedemikian sehingga setiap bilangan jika dibagi dengan bilangan tersebut akan menghasilkan bilangan itu sendiri j. Setiap jajargenjang memiliki simetri setengah putarank. Beberapa siswa menganggap matematika sulit

Inti bagian :

1. Penarikan kesimpulan

2. Prinsip-prinsip dalam penarikan kesimpulan


Bagian VIPenarikan kesimpulan

a. Pendahuluan

Semua singa menyeramkan

∀ x∈ {singa } , p ( x )

a ( x )=x merupakansinga

b ( x )=x menyeramkan

Beberapa singa tidak minum kopi

∃ x∈ { singa }, p (x )

a ( x )=x merupakansinga

b ( x )=x tidakminumkopi

b. Prinsip-prinsip dalam penarikan kesimpulan


menyeramkan

singa

∀ x∈D,a (x)→b (x)

∃ x∈D ,a ( x )˄b(x)

Penarikan kesimpulan

Untuk melihat suatu argumen atau penarikan kesimpulan sah atau tidak, perlu

diperiksa terlebih dahulu nilai kebenaran implikasinya dari premi ke konklusi.

Dalam pembuktian prinsip-prinsip penarikan kesimpulan bisa juga menggunakann

tabel kebenaran yang merupakan suatu tautologi (seluruh nilai kenenaranya

benar).

1. Conjunction

Prinsip ini merupakan penarikan kesimpulan dengan metode penyatuan

antara premi yang pertama dengan yang lain. Berikut ini adalah argumen

atau penarikan kesimpulannya.

contoh :

premi 1 : Adi suka makan coklat

premi 2 : Adi suka bermain bola

∴ Adi sukamakancoklat dan Adi sukabermainbola .

Berikut ini tabel kebenaran penarikan kesimpulan

.

p q p∧q ( p∧q )→( p∧q )

B B B B

B S S B

S B S B

S S S B

2. Simplify


pq

∴ p∧ q

Prinsip ini merupakan penarikan kesimpulan dengan metode pemisahan dari

pernyataannya yang menggunakan operasi logika konjungsi.Berikut ini adalah

argumen atau penarikan kesimpulannya.

Contoh :

Premi : Gula itu manis dan garam itu asin

∴gulaitumanis

∴garamituasin

Kedua kesimpulan itu benar.

Berikut ini tabel kebenaran penarikan kesimpulan.

p q p∧q ( p∧q )→p ( p∧q )→q

B B B B B

B S S B B

S B S B B

S S S B B

3. Addition

Berikut ini adalah argumen atau penarikan kesimpulannya.

Prinsip ini merupakan penarikan kesimpulan dengan metode penambahan

pernyataan dan menambahkan operasi logika disjungsi, karena operasi logika

disjungsi jika terdapat pernyataan pada salah satunya benar maka

kesimpulannya adalah benar.


p∧q∴ p∴q

p∴ p∨ q

Contoh :

Premi : Ibu pergi ke pasar

∴ibu pergi ke pasar ataumencucibaju


p q p∨q p→(p∨q)

B B B B

B S B B

S B B B

S S S B

4. Disjunction Syllogism


atau

Berikut ini adalah tabel kebenaran penarikan kesimpulan disjunction syllogism.

p q ¬ p p∨q ( p∨q)∧¬ p ( p∨q )∧¬ p→q

B B S B S B

B S S B S B

S B B B B B

S S B S S B

5. Modus Ponens

Berikut ini adalah bentuk dari modus ponens.


p∨q¬ p∴q

p∨q¬q∴ p

Arti dari penulisan diatas adalah sebagai berikut

p→q adalah premi pertama

p adalah premi ke 2, dan

q adalah konklusinya

Berikut ini adalah tabel kebenaran penarikan kesimpulan modus ponens.

p q p→q ( p→q)∧ p ( ( p→q )∧ p )→q

B B B B B

B S S S B

S B B S B

S S B S B

6. Modus Tollens

Berikut ini adalah bentuk dari modus tollens.

Sama artinya dengan implikasi [ ( p→q )∧¬q ]→¬p.

Contoh :

jikahari initidak hujanmaka AdiakandatangAdi tidak datang∴Hari ini hujan

Berikut ini adalah tabel kebenaran penarikan kesimpulan modus tollens.


p→qp

∴q

p→q¬q

∴¬ p

7. Resolusi

Berikut ini adalah bentuk dari modus tollens.

( p∨q )∧ (¬ p∨ r )→ (q∨ r )

Contoh :

Adi makanataumenjemur pakaianAdi tidak makanatau berjualan∴ jemur pakaianatau berjualan

8. Hypothetical Sylogisme

Contoh :

jika Adi bermainmaka Adisenangjika Adi senangmaka Adi makankue

∴ jika Adibermainmaka Adi makankue

9. Universal Instantion (berlaku umum)

Contoh : semua Harimau memakan daging.


p∨q¬ p∨r∴q∨ r

p→qq→r

∴ p→r

∀ x p (x)∴ p(a)

p q ¬ p ¬q p→q ( p→q)∧¬q [ ( p→q )∧¬q ]→¬ p

B B S S B S B

B S S B S S B

S B B S B S B

S S B B B B B

Ket : Harimau menandakan pernyataan bersifat

umum

10. Eksistensial Instantion (berlaku khusus)

Contoh : beberapa harimau Sumatera makan daging

Ket : harimau Sumatera bersifat khusus

11. Universal Generalitation

12. Eksistensial Generelitation

Contoh bentuk penggunaan prinsip penarikan kesimpulan :

1. Mungkin saya sedang bermimpi atau berhalusinasi

2. Saya tidak sedang bermimpi

3. Jika saya berhalusinasi maka saya melihat gajah berbikini

∴ Saya berhalusinasi dan melihat gajah berbikini


∃ x p(x )∴ p (c)

p(a)∴∀ x p(x)

p(c)∴∃ xp (x)

Kesimpulannya BENAR

Bukti !!

1. m∨h

2. ¬m

3. h→g

4. h………disjunction syllogism (1∧2 )

5. g………modus ponens (3∧4)

6. h∧g… ..conjunction(4∧5)

Kesimpulan dari premi

Contoh :

1. Saat ini tidak cerah dan saat ini dingin

2. Kita berenang hanya jika cerah

3. Jika kita tidak berenang maka kita berperahu

4. Jika kita naik perahu maka kita akan pulang lebih awal

∴ kita akan pulang lebih awal

Bukti !!

1. ¬c∧d

2. b→c

3. ¬b→ p

4. p→a

5. ¬c………simplify (1 )

6. d……… .. simplify (1)

7. ¬b………modustollens(2∧5)

8. p…………modus tollens (3∧7 )

9. a…………modus tollens ¿


Kesimpulan

Contoh :

1. Semua singa menyeramkan ∀ x∈D ,a ( x )→b (x)

2. Beberapa singa tidak minum kopi ∃ x∈D ,a(x )∧¬m(x)

∴ Beberapa yang menyeramkan tidak minum kopi

∴∃ x∈D ,b(x )∧¬m(x)

Bukti !!

1. ∀ x∈D ,a ( x )→b (x)

2. ∃ x∈D ,a(x )∧¬m(x)

3. a (c )→b (c )…………universal instantion (1 )

4. a (c )∧¬m (c )……….eksistensial instantion (2 )

5. a (c )……………………simplify (4 )

6. ¬m (c )…………………simplify ( 4 )

7. b (c )…………………….modus ponens (3∧5 )

8. b (c )∧¬m (c )………….conjunction (7∧6 )

9. ∃ x∈D ,b ( x )∧¬m ( x )…eksistensial generalitation (8)

Kesimpulan

Contoh :

1. Jika kau mengirimkan email maka saya akan menyelesaikan tugas

2. Jika kau tidak mengirimkan email maka saya akan tidur lebih awal

3. Jika saya tidur lebih awal maka besok akam merasa segar

∴ jika saya tidak menyeleaikan tugas maka besok akan merasa segar


Bukti !!

1. m→t

2. ¬m→a

3. a→s

4. ¬m→s…….hypotical sylogism(2∧3)

5. ¬t →¬m….kontraposisi(1)

6. ¬t →s…….hypotical sylogism(4∧5)

Agar tidak kesulitan dalam menentukan pembuktian, perlu adanya modal, yaitu :

1. Analisis , yaitu kemampuan untuk memeriksa komponen-komponen

penyusun dari suatu objek yang utuh.

Contohnya : combro

Perlu analilis yaitu mencium, meraba, melihat dan dimakan

Terdapat komponen-komonennya, yaitu minyak goreng, wajan, cabai, oncom,

singkong.

2. Kemampuan Sintesis, yaitu dari komponen sederhana yang mampu

menjadikan sesuatu yang utuh/kompleks

Contoh : Diatas meja ada tepung, telur, gula, margarin

Berarti bisa jadi ingin membuat kue, bisa juga ingin membuat telur

tanpa tepung

3. Deduktif , yaitu melihat suatu kebenaran yang mendasari kebenaran lainnya

atau melihat konsep yang mendasari konsep lain.

Contoh : konsep perkalian didasari oleh pertambahan.

4. Induktif, yaitu kemampuan untuk melihat keteraturan/pola.

Contoh :


orang sains menetapkan suatu kebenaran dengan keumuman yang

sering dijumpai.

Di Alfa, keteraturan ini dipakai untuk menempatkan barang-barang

yang dijual.

5. Berpikir Abduktif , yaitu kemampuan yang dilihat dari tahapan-tahapan yang

dilalui untuk mencapai tujuan.

Contoh : Adi berangkat dari rumah ke kampus, jarang ada angkot dari depan

rumah Adi langsung ke depan kampus, akan tetapi perlu tahapan yang

mengantarkan Adi dari rumah ke kampus.

Ilustrasi :

a→ yy→da→d


Untuk mendekati d, si a harus mengikuti tahapan, yaitu mendekati temannya terlebih dahulu (y) setelah mendapat info tentang si a barulah dia mendekati d.


Bagian VII

Pembuktian

Inti bagian :

1. Modal-modal dalam Pembuktian

2. Metode Pembuktian

a. Direct Proof (pembuktian langsung)

b. Inderect Proof (Pembuktian tidak langsng)

c. Ekuivalent Forms of the principle of

Matematical Induction

d. Teorema pembagian

Agar tidak kesulitan dalam menentukan pembuktian, perlu adanya modal, yaitu :

1. Analisis , yaitu kemampuan untuk memeriksa komponen-komponen

penyusun dari suatu objek yang utuh.

Contohnya : combro

Perlu analilis yaitu mencium, meraba, melihat dan dimakan

Terdapat komponen-komonennya, yaitu minyak goreng, wajan, cabai,

oncom, singkong.


Modal-modal dalam Pembuktian

2. Kemampuan Sintesis, yaitu dari komponen sederhana yang mampu

menjadikan sesuatu yang utuh/kompleks

Contoh : Diatas meja ada tepung, telur, gula, margarin

Berarti bisa jadi ingin membuat kue, bisa juga ingin membuat telur tanpa

tepung

3. Deduktif , yaitu melihat suatu kebenaran yang mendasari kebenaran

lainnya atau melihat konsep yang mendasari konsep lain.

Contoh : konsep perkalian didasari oleh pertambahan.

4. Induktif, yaitu kemampuan untuk melihat keteraturan/pola.

Contoh :

orang sains menetapkan suatu kebenaran dengan keumuman yang

sering dijumpai.

Di Alfa, keteraturan ini dipakai untuk menempatkan barang-barang

yang dijual.

5. Berpikir Abduktif , yaitu kemampuan yang dilihat dari tahapan-tahapan

yang dilalui untuk mencapai tujuan.

Contoh : Adi berangkat dari rumah ke kampus, jarang ada angkot dari

depan rumah Adi langsung ke depan kampus, akan tetapi perlu tahapan

yang mengantarkan Adi dari rumah ke kampus.

Ilustrasi :

a→ yy→da→d

Pembuktian suatu teorema atau rumus dalam matematika dapat dilakukan

dengan menggunakan pernyataan, teorema (rumus) lainnya yang telah dibuktikan


Metode Pembuktian

Untuk mendekati d, si a harus mengikuti tahapan, yaitu mendekati temannya terlebih dahulu (y) setelah mendapat info tentang si a barulah dia mendekati d.

kebenarannya atau keduanya. Bukti dapat dilakukan dengan 3 cara, yaitu cara

langsung, tidak langsung dan induksi matematik.

1. Direct Proof (pembuktian langsung)

Pembuktian langsung adalah pembuktian yang biasanya dinyatakan dalam

bentuk implikasi p→q≡¬q→¬ p

2. Inderect Proof (bukti yang ada melawan pernyataan)

Contoh : “semua laki-laki buaya darat”.

Tetapi Ayah kita tidak buaya darat

3. Induksi Matematik (melihat pola).

A. Teorema penjumlahan pada bilangan bulat.

Jika m dan n bilangan genap maka m+nbilangan genap

Genap+genap = genap

o Definisi bahwa bilangan genap dapat dinyatakan dengan 2n ,n∈Z

o Misalnya m=2 p , p∈Z dan n=2q ,q∈Z

o Didapat m+n=2 p+2q

¿2 (p+q )

o Karena p+q∈Z dapat dimisalkan dengan r

o Sehingga m+n=2r , r∈Z merupakan bilangan genap.

∴TERBUKTI

Jika adann bilangan ganjil maka m+nbilangan genap

o Didefinisikan bilangan ganjil dapat dinyatakan dengan 2n+1 , n∈Z

o Misalkan m=2 p+1 , p∈Z dan n=2q+1 , q∈Z

o Selanjutnya m+n=(2 p+1 )+(2q+1)

¿2 p+2q+2

¿2 (p+q+1 )

o Karena p+q+1∈Z dapat dimisalkan dengan r


1. Direct Proof (Pembuktian langsung)

o Sehingga m+n=2r , r∈Z merupakan bilangan genap

o TERBBUKTI

Jika m bilangan ganjil dan n bilangan genap maka m+n bilangan ganjil

o Didefinisikan bilangan ganjil dapat dinyatakan 2n+1 , n∈Z

o Misalkanm=2 p+1 , p∈Zdan n=2q ,q∈Z

o Selanjutnya m+n=(2 p+1 )+(2q)

¿2 p+2q+1

¿2 (p+q )+1

o Karena p+q∈Z dapat dimisalkan r

o Sehingga m+n=2r+1 , r∈Z merupakan bilangan ganjil.

o TERBUKTI

Jika m bilangan genap dan n bilangan ganjil maka m+n bilangan ganjil.

o Bukti : Berdasarkan pembuktian nomer 3 dan berlaku komutatif

pada penjumlahan , maka terbukti.

B. Pembuktian langsung perkalian bilangan bulat

Jika m dan n bilangan genap maka m×n bilangan genap

o genap×genap=genap

o didefinisikan bilangan genap dapat dinyatakan 2k , k∈Z

o misalkan m=2 p , p∈Z dan n=2q ,q∈Z

o didapat m×n=2 p×2q=4 pq

¿2(2 pq)

o karena 2 pq ,∈Z dapat dimisalkan k

o sehingga m×n=2k ,k∈ zmerupakan bilangan genap

Jika m dan n bilangan ganjil maka m×n bilangan ganjil

o ganjil×ganjil=ganjil


o didefinisikan bilangan ganjil dapat dinyatakan 2n+1 , n∈Z

o misalkan m=2 p+1 , p∈Zdan n=2q+1 , q∈Z

o didapat m+n=(2 p+1 )× (2q+1 )

¿4 pq+2 p+2q+1

¿2 (2 pq+ p+q )+1

o karena 2 pq+p+q ,∈Z dapat dimisalkan n

o sehingga m×n=2n+1, n∈Z merupakan bilangan genap.

Jika mbilangan genap dan nbilangan ganjil maka m×n bilangan genap

o Didefinisikan bilangan genap dinyatakan 2n ,n∈Z dan bilangan ganjil

dapat dinyatakan 2n+1 , n∈Z

o Misalkan m=2q ,q∈Z dan n=2 r+1, r∈Z

o Didapat m×n=2q × (2 r+1 )

¿4 qr+2q

¿2(2qr+q)

o Karena 2qr+q ,q∈Zdapat dimisalkan n

o Sehingga m×n=2n ,n∈Zmerupakan bilangan genap

∴TERBUKTI

Jika m bilangan ganjil dan n bilangan genap maka m×n bilangan genap

o Bukti : Berdasarkan pembuktian 3 dan berlaku komutatif pada

perkalian, maka terbukti

C. Pembuktian langsung perkalian positif dan negatif

Jika a dan b positif maka a×b positif.

o a>0 ; b>0

o Berdasarkan definisi perkalian

o a×b=b+b+…+b

sebanyak a

o Dengan menggunakan sifat ketertutupan pada penjumlahan


o “jika p>0 dan q>0 maka p+q>0

o Ilustrasi :

p>0q>0

p+q>0+¿

o didapat b+b+…+b>0

sebanyak a

∴TERBUKTI bahwa a×b>0

Jika a>0 dan b>0, maka a (−b)<0

o a>0, b>0≡ (−b )<0

o Berdasarkan definisi perkalian

o a× (−b )= (−b )+(−b )+…+(−b )<0

Sebanyak a

∴TERBUKTI bahwa a× (−b )<0

Jika a>0 dan b>0, maka b (−a )<0

o Berdasarkan definisi perkalian b>0 , a>0

o b× (−a )= (−a )+(−a )+… (−a )

o Dengan menggunakan sifat ketertutupan pada penjumlahan

o “jika m<0 , n<0 maka m+n<0

o Didapat b× (−a )= (−a )+(−a )+…+(−a )

Sebanyak b

∴TERBUKTI bahwab× (−a )<0

Jika a>0 dan b>0

o Diketahui (−a )×0=0

o Kemudian didapat (– a )×¿

o Berdasarkan pembuktian sebelumnya (−a )×b<0

o Atau dapatditulislka dengan – (ab )


o Kemudian dimisalkan (– a ) (−b )=p

o Sehingga – (ab )=p

o Akibatnyap=a×b

∴TERBUKTI bahwa (– a ) (−b )=a .b>0


1. Buktikan pernyataan berikut ini !

a. Jika x bilangan genap maka 4 x bilangan genap

b. Jika x bilangan bulat maka 4 x bilangan genap

c. Jika x , y , z bilangan bulat dan x+ y+z bilangan ganjil , maka setidaknya

terdapat 1 bilangan ganjil dari x , y , z .

Latihan 7

A. CONTRAPOSITIVE

Jika m dan n genap maka m+n genap

p q

o Dimisalkan p→q

¬q→p

m+n ganjil atau m+n=2k+1, k∈Z


1. Buktikan pernyataan berikut ini !


b. Jika x bilangan bulat maka 4 x bilangan genap

c. Jika x , y , z bilangan bulat dan x+ y+z bilangan ganjil , maka setidaknya

terdapat 1 bilangan ganjil dari x , y , z .

2. Inderect Proof (Pembuktian tidak langsng)

o Kemungkinan

m=¿ genap

m=2 p , p∈Z

m+n=2k+1

2 p+n=2k+1

n=2 (k−p )+1

n=¿ ganjil

m=¿ ganjil

m=2 p+1 , p∈Z

m+n=2k+1

(2 p+1 )+n=2k+1

n=2(k− p)

n=¿ genap

B. CONTRADIKSI

jika m dan n genap maka m+n genap

o Anggap m dan n genap, dan m+n ganjil

o Sehingg m+n=2k+1, k∈Z ,m=2 p , p∈Zdan n=2q ,q∈Z

o Kemudian diperoleh : n=n

n=n+m−m

n=(m+n )−m

n=(2k+1 )−2 p

n=2 (k− p )+1

n=¿ bilangan ganjil

o Hal ini contradiksi dengan pemisalan,

o sehingga:

m+n ganjil itu “SALAH” Yang “BENAR” m+n genap.


Tidak terdapat xbilangann rasional, sehingga x2=2

o Definisi bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dengan

ab,a ,b∈Z ,b≠0 gcd (a ,b )=1

o Anggap x rasional sehingga dapat dinyatakan dengan ab

o Akibatnya : x2=2

( ab )2

=2

a2

b2 =2

a2=2b2

o Didapat a2 bilangan genap atau a genap (a=2 p , p∈Z)

o Didapat b2 bilangan genap sehingga b genap. Karena a dan b bilangan

genap.

o Akibatnya gcd (a ,b)≠1, hal ini contradiksi dengan pemisalan. Sehingga

o memisalkan bilangan rasional “SALAH”, yang “BENAR” memisalkanx

bilangan irasional.

Setidaknya terdapat satu bilangan real dari a1 , a2 , a3….an yang lebih

dari atau sama dengan rata – ratanya

o Untuk mencari rata – rata : A=a1+a2+…+an

n

o Anggap a1 , a2 ,……. ,an<A

o Akibatnya a1+a2+…+an<n . A

o Sehingga a1+a2+…+an

n ¿n . An

a1+a2+…+an

n ¿ A

o Hal ini contradiksi dengan definisi rata – rata, sehingga pemisalan

a1 , a2 ,……,an<A “SALAH” yang “BENAR” a1 , a2 , a3 ,……,an≥ A


min (a, min(b,c) = min (min(a,b),c)

Misal : min (2,5 )=2

Contoh :

a, b, c bilangan real. Terdapat 6 kemungkinan susunan a, b dan c.

1. a≤b≤c

a b c

Didapat : min (a, min(b,c)) = min (min(a,b),c)

min (a,b) = min (a,c)

a = a

∴TERBUKTI

2. b≤c≤a

b c a

Didapat : min (a, min(b,c)) = min (a,b),c)

min (a,b) = min (b,c)

b = b

∴TERBUKTI

3. c ≤a≤b

c a b


min (a,c) = min (a,c)

c = c

∴TERBUKTI

4. c ≤b≤a

c b a


Didapat : min (a, min(b,c))¿ min (min(a,b),c)

min (a,c)¿ min (b,c)

c ¿c

∴TERBUKTI

5. b≤a≤c

b a c


min (a,b) = min (b,c)

b = b

∴TERBUKTI

6. a≤c≤b

a c b


min (a,c) = min (a,b)

a = a

∴TERBUKTI

Pembuktian teorema 1+2+3+¿......+n=n2(n+1)

o Uji coba

n=1 ,1=12(1+1)

1=12(2)

1=1.... benar

o Asumsikan berlaku Untuk n=k

1+2+3+¿.....+k= k2(k+1).... asumsikan benar

o Akan dibuktikan benar Untuk n=k+1

1+2+3+¿.....+k+ (k+1 )= (k+1 )2

(k+2 )


k2

( k+1 )+ (k+1 )=(k+1)2

(k+2)

(k+1 )( k2 +1)=(k+1)2

(k+2)

(k+1 )( k2 + 22 )=(k+1)

2(k+2)

(k+1 )( k+22 )=(k+1)

2(k+2)

(k+1 ) (k+2 ) . 12=

(k+1)2

(k+2)

(k+2)

2(k+2 )=(k+1)

2(k+2)

∴TERBUKTI

karena ruas kiri dan kanan sama, sehingga benar terbukti.

Contoh :

13+23+…+n3=(1+2+…+n)

13+23+…+n3=( n3 (1+1))2

o Uji coba

o Untuk n=1, 13=( 12(1+1))

2

1=1.... benar


13+23+…+k3=( k2 (k+1))2

.............. asumsikan benar


13+23+…+k3+( k+1 )3=( k+12

(k+2 ))2

( k2 (k+1))2

+(k+1)3=( k+12

(k+1))2


Teorema rumus : n , (2n−1 )2=n+(n+1 )+…+(2n−2)

o Diketahui :

o Untuk n=1 ,1=1

n=2 ,9=2+3+4

n=3 ,25=3+4+5+6

n=4 ,49=4+5+6+7+8+9+10

n=5 ,81=5+6+7+8+9+10+11+12+13

n=10 ,192=10+11+…+28

o Uji coba

o Untuk n=1 , (2n−1 )2=(2 (n−1 ))2=1

n=2 , (2n−1 )2=(2 (2 )−1 )2=9


(2n−1)2=k+ (k+1 )+…+(3k−2)..... asumsikan benar


(2k+2−1)2=( k+1 )+(k+2 )+…+(3 (k+1 )−2)

(2k+1)2=(k+1 )+( k+2 )+…+(3k+1)

(2k+1 )2=( k+1 )+ (k+2 )+…+ (3k−2 )+(3k−1 )+3k+(3k+1 )

(2k+1)2=(2k−1)2−k+(3k−1 )+3k+(3k+1)

(2k+1)2=4 k2−4k+1−k+9k

(2k+1 )2=4k2+4k+1

(2k+1)2=¿ (2k+1)2

∴TERBUKTI

Karena ruas kiri dan kanan sama, sehingga terbukti benar.

Contoh :

Buktikan : 1

1.2+ 1

2.3+…+ 1

n (n+1 )= nn+1



Teorema rumus 1

n(n+1)=1n− 1n+1

Memisalkan tidak harus n=1 bisa saja n=2, dst.

1

1.2+ 1

2.3+…+ 1

k (k+1)= kk+1 ........ asumsikan benar


1

1.2+ 1

2.3+…+ 1

k (k+1 )+ 1

(k+1 )(k+2)= k+1k+2

1

k+1+ 1

(k+1 )(k+2)= k+1k+2

k ( k+2 )+1

(k+1 )(k+2)= k+1k+2

k2+2k+1

(k+1 )(k+2)= k+1k+2

(k+1 )2

(k+1 ) (k+2 )=

(k+1 )k+2

(k+1)(k+2)

=(k+1)(k+2)

∴TERBUKTI

karena ruas kiri dan kanan sama, sehingga benar terbukti.

“Jika x≥0, maka ∀n∈N , (1+ x )n≥1+xn”

o Uji coba

n=1 , (1+x )1≥1+x1

1+x=1+x

n=2 , (1+x )2≥1+x2

1+2 x+x2≥1+x2

n=3 , (1+x )3≥1+x3

1+3 x+3x2+x3≥1+x3

o Asumsikan benar , untuk n=k

(1+x )k≥1+xk

o Akan dibuktikan benar untuk n=k+1

(1+x )k≥1+x2

(1+x )k (1+x )≥(1+x2)(1+x)

(1+x )k+1≥1+xk+x+xk× x


Pembuktian bisa dibalik (dari bawah ke atas) maka pembuktian disamping adalah benar

(1+x )k+1≥1+xk+x+xk+1............ ≥1+ xk+1

(1+x )k+1≥1+xk +1

Contoh yang salah :

∀ n∈N ,n2≤n

Uji coba n=1 ,12≤1....... benar

Asumsikan n=k ...... benar

k 2≤k

Akan dibuktikan benar untuk n=k+1

(k+1 )2≤k+1

k 2+2k+1≤k+1

k 2+2k ≤k

k 2≤k

Contoh yang salah : y∈S ,∀ x∈S , y≤ X

Ketentuannya : N terurut

Elemen terkecil

S⊂N

S terurut

Elemen terkecil


Catatan dari contoh disamping :

1. k 2+2ksaja kurang dari k

apalagi k 2pasti lebih

kurang lagi.2. Contoh tersebut hanya

bisa pembukitan turun, jika pembuktian naik pasti itu akan salah .

Jika N terurut maka N mempunyai elemen terkecil. (ketentuan dalam bilangan asli “WOP”)

Ekuivalent Forms of the principle of Matematical Induction

Diberikan a ,b∈N , kemudian terdapat q dan r sedemikian.

Sehingga :

a=b .q+r , dengan 0≤ r≤b

Bukti :

o Ambil a ,b∈N , sehingga terdapat S himpunan dari r dengan

S= {a−b . k=k∈Z ,a−b . k≥0 }

o Akan ditunjukan S≠∅ ,pilih k=0

o Sehingga a−b .0=a≥0 ,atau a−b .0∈S

o Dengan WOP, S memilih elemen terkecil

o Anggap r=a−b .q merupakan elemen terkecil

o Selanjutnya akan ditunjukan bahwa 0≤ r≤b

o Berdasarkan definisi dari S , r≥0

o Akan ditunjukkan r<b , jika r ≥b , akibatnya :

r−b≥0

a−b .q−b≥0

a−b (q+1 )≥0 ,

o Sehingga a−b (q+1 )=r−b∈S

o Hal ini kontradiksi, karena r−b≤r sedangkan r merupakan elemen terkecil

dari S.

o Sehingga pemisalan r ≥b SALAH yang “BENAR r<b

Akan dibuktikan q dan r tunggal

o Anggap q dan r tidak tunggal yaitu (q1 ,r1 ) dan (q2 ,r2 )


Teorema pembagian

o Sehinggaa=a

b .q1+r 1=b .q2+r2

r1 . r2=b .q1−b .q2

r1 . r2=b (q2−q1 )…… (1)

o Karena 0≤ r<b maka 0≤ r1<b

0≤ r2<b

o Didapat r1−r2<b…(2)

o Dari hasil (1) dan (2) didapat b∨r1−r 2 tetapi r1−r2<b sehingga r1−r2 yang

mungkin hanyalah r1−r2=0 didapat r1=r2

o Selanjutnya r1−r2=b (q2−q1 )

0=b (q2−q1)

o Didapat 0=b (q2−q1)

q1=q2

o Kesimpulannya hal ini adalah kontradiksi dengan pemisalan, sehingga q dan

r tunggal.

∴TERBUKTI



Buktikan :1. 12+22+…+n2=

n (n+1 )(2n+1)6

2. 11.3

+ 12.1

+…+ 1n(n+2)

= 3n2+5n4 (n+1 )(n+2)3. 1+3+5+…+(2n−1 )=n2

4. ∀ n∈N ,12+22+…+n2=(12n(n+1))

2

5. ∀ n∈N , (1+1−1 ) (1+2−1 ) (1+3−1 )…… (1+n−1 )=n+1

Latihan 8

JawabanLatihan 1

1.

a. Pernyataan, karena dapat ditentukan nilai kebenarannya dengan cara

koherensi.

b. Pernyataan, karena dapat ditentukan nilai kebenarannya dengan cara

koherensi.

c. Pernyataan, karena dapat ditentukan nilai kebenarannya, yaitu : bernilai salah ,

sebab 111 bukan bilangan prima sebab 111 memiliki lebih dari 2 faktor.

d. Pernyataan, karena dapat ditentukan nilai kebenarannya dengan

menggunakan cara korespondensi atau berdasarkan fakta. Kalimat tersebut

akan bernilai benar apabila pada kenyataannya tadi pagi Fahmi memang

berkata demikian. Namun kalimat tersebut akan bernilai salah apabila pada

kenyataannya tadi pagi Fahmi tidak berkata demikian.

e. Pernyataan, karena dapat ditentukan nilai kebenarannya dengan

menggunakan cara koherensi.

2n +¿ 1 dimana n ∈ A adalah bilangan ganjil.

Untuk n ¿ 1 , 2.1 +¿ 1 ¿ 3 …..terbukti

Untuk n ¿ 2, 2.2 +¿ 1 ¿ 5 …. terbukti

Untuk n ¿ 3, 2.3 +¿ 1 ¿ 7 ….terbukti

Dari penjelasan diatas , terbukti bahwa 2n +¿ 1 dimana n ∈ A adalah

bilangan ganjil.


Buktikan :1. 12+22+…+n2=

n (n+1 )(2n+1)6

2. 11.3

+ 12.1

+…+ 1n(n+2)

= 3n2+5n4 (n+1 )(n+2)3. 1+3+5+…+(2n−1 )=n2

4. ∀ n∈N ,12+22+…+n2=(12n(n+1))

2

5. ∀ n∈N , (1+1−1 ) (1+2−1 ) (1+3−1 )…… (1+n−1 )=n+1

Tanpa menyalahi prinsip atau kesepakatan yang telah disepakati

sebelumnya. Jadi kalimat ini merupakan kalimat pernyataan yang benar.

1. Perhatikan tabel dibawah ini !

“kemarin adalah hati dimana saya berbohong juga”

a)hari kamis adalah hari dimana Andi dan Badu megatakannya.

b) hari Selasa, Rabu, Jumat, dan Sabtu

2. Perhatikan !

Andi duduk di sebelah kiri Chandra

Budi duduk di sebelah kanan Kelasi

Dani duduk berhadapan dengan Chandra

Dani bukan seorang Pilot

Chandra

Kelasi

Budi Andi

....... Sopir


Hari Andi Badu

Senin Bohong Jujur

Selasa Bohong Jujur

Rabu Bohong Jujur

Kamis jujur Bohong

Jumat Jujur Bohong

Sabtu Jujur Bohong

Minggu Jujur jujur

Dani

Markonis

Jadi, pekerjaan Budi adalah Pilot.

3. Toni tidak pernah bohong dan memakai kaos kuning

Didi terkadang bohong dan ia memakai kaos hijau

Hory selalu jujur dan memakai kaos merah

Latihan 2

1. a .3+2=6↔4+2=5.

pq

p≡S

q≡S

∴S↔S≡B

b .3+2=5→4+2=5.

pq

p≡B

q≡S

∴B → S ≡ S

a. 3+2=5 atau Jakarta ibukota D.I Aceh.

pq

p≡B

q≡S

∴B∨ S≡B b. Jika x2=4 maka x=2

pq

p≡B

q≡S , jika x2 ¿ 4 maka x2 ≠ 4

terdapat x ¿ -2 , sehingga x2 ¿ 4

∴B → S ≡ S

c. Jika x ¿ -2 maka x2 ¿ 4

p q


p ≡ S, jika x≠ -2 maka x2 ≠ 4

terdapat x ¿ 2 , sehingga x2 ¿ 4

q≡B

∴S→B≡B

d. Jika 3x +¿ 4 ¿ 2 dan x ∈ B, maka x ¿ -1

p q r

p ≡ S, sebab 3x +¿ 4 ¿ 2

3x ¿ 2 – 4

3x ¿ -2

x ¿ −23 ,

−23∉ B

q≡S

r ≡ S , sebab 3x +¿ 4 ¿ 2 , x ∈ B , x ¿ -1

3(-1) +¿ 4 ¿ 2

-3 +¿ 4 ¿ 2

1 ¿ 2 …. Tidak terbukti

∴ (S ∧ S) → S≡ S → S ≡ B

2. a. ¬p

Kalimat : “10 tidak habis dibagi 5.”

Nilai kebenaran : Salah, karena 10 habis dibagi 5.

b. ¬q

Kalimat : “8 bukan bilangan prima.”

Nilai kebenaran : Benar, karena bilangan prima adalah bilangan yang hanya

memiliki 2 faktor yaitu angka 1 dan bilangan itu sendiri,

sedangkan 8 memiliki lebih dari 2 faktor yaitu 1, 2, 4,

dan 8. Jadi 8 bukan bilangan prima.

c. p∧q Kalimat : “10 habis dibagi 5 dan 8 adalah bilangan prima.”

Nilai kebenaran : p ≡ B,

q ≡ S

∴ B ∧ S ≡ S


d. p∨qKalimat : “10 habis dibagi 5 atau 8 adalah bilangan prima.”

Nilai kebenaran : p ≡ B

q ≡ S

∴ B ∨ S ≡ B

e. ¬p ∧ ¬q

Kalimat : “10 tidak habis dibagi 5 dan 8 bukan bilangan prima.”

Nilai kebenaran : p ≡ S

q ≡ B

∴ S ∧ B ≡ S

f. ¬p ∧ q

Kalimat : “10 tidak habis dibagi 5 dan 8 adalah bilangan

prima.”

Nilai kebenaran : p ≡ S

q ≡ S

∴ S ∧ S ≡ S

g. p ∧ ¬q

Kalimat : “10 habis dibagi 5 dan 8 bukan bilangan prima.”


q ≡ B

∴ B ∧ B ≡ B

h. p → q

Kalimat : “Jika 10 habis dibagi 5 maka 8 adalah bilangan

prima.”


q ≡ S

∴ B → S ≡ S

i. p ↔ q

Kalimat : “10 habis dibagi 5 jika dan hanya jika 8 adalah

bilangan prima.”


q ≡ S

∴ B → S ≡ S


j. (p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)

Kalimat : “Jika 10 habis dibagi 5 atau 8 bukan bilangan prima

maka 10 tidak habis dibagi 5 atau 8 adalah bilangan

prima.”

Nilai kebenaran : p ≡ B , ¬p ≡ S

q ≡ S , ¬q ≡ B

∴ (B ∨ B) → (S ∨ S) ≡ B → S ≡ S

3. a. a ∧ ¬b

b. ¬a ∧ ¬b

c. ¬a ∧ b

d. a ∧ b

e. ¬(a ∧ b)

f. a → ¬b

g. ¬a → ¬b

Exercises 3

1. a. 3 ≤ 7 and 4 is an odd integer.

p q

p≡T

q≡ F

∴T∧ F≡F

b. 3 ≤ 7 or 4 is an odd integer.

p q

p≡T

q≡ F

∴T∨ F≡T

c. 2 +¿ 1 ¿ 3 but 4 ¿ 4.

p q

p≡T

q≡ F

∴T∧ F≡F

d. 5 is odd or divisible by 4.


p q

p≡T

q≡ F

∴T∨ F≡T

e. It is not true that 2 +¿ 2 ¿ 5 and 5 ¿ 7.

p q

p≡F

q≡ F

∴¬(F∧F )≡¬(F )≡T

f. It is not true that 2 +¿ 2 ¿ 5 or 5 ¿ 7.

p q

p≡F

q≡ F

∴¬(F∨F )≡¬(F )≡T

g. 3 ≥ 3.

3 ¿ 3 or 3 ¿ 3

p q

p≡F

q≡T

∴F∨T ≡T

2. p : 7 is an even integer

q : 3 +¿ 1 ¿ 4

r : 24 is divisible by 8

a. Write the following in symbolic form and assign truth values :

i) 3 +¿ 1 ≠ 4 and 24 is divisible by 8

¬qr

¬q≡F

r≡T

∴¬q∧rF∧T ≡F

ii) It is not true that 7 is odd or 3 +¿ 1 ¿ 4.


¬p q

¬ p≡T

q≡T

∴¬(¬ p∨q)

¬(T∨T )≡¬(T )≡ F

iii) 3 +¿ 1 ¿ 4 but 24 is not divisible by 8.

q ¬r

q≡T

¬r≡F

∴q∧¬rT∧F ≡F

b. Write out the following in words and assign truth values :

i) p ∨ ¬q.

Following in words : “7 is even integer or 3 +¿ 1 ≠ 4.”

Truth Values : p ≡ F

¬q≡F

∴F∨ F≡F

ii) ¬(r ∧ q)

Following in words : “It is not true 24 is divisible by 8 and 3 +¿ 1

¿ 4.”

Truth Values : r ≡T

q≡T

∴¬(T∧T )≡¬(T )≡F

iii)¬r ∨ ¬q

Following in words : “24 is not divisible by 8 or 3 +¿ 1 ≠ 4.”

Truth Values : ¬r≡F

¬q≡F

∴¬(F∨F )≡¬(F )≡T

Latihan 4


1. a. 3+2=6dan4+2≠5atau 4+2=5dan3+2≠5

Salah ∨ salah

Nilai kebenarannya adalah salah

b. 3+2=5dan4+2≠5

benar ∧ benar

Nilai kebenarannya adalah benar

c. 3+2≠5danJakartaibukota DI Aceh

salah ∧ salah

Nilai kebenarannya adalah salah

2. p : 10 habis dibagi 5 (benar)

q : 8 adalah bilangan prima (salah)

a. ¬ p : salah

Negasinya :p

p : benar

b. ¬q : benar

Negasinya :q

q : salah

c. p∧q : benar ∧ salah ≡ salah

Negasinya :¬ p∨¬q¬ p∨¬q :salah∨ benar ≡benar

d. p∨q : benar atau salah ≡ benar

Negasinya:¬ p∧¬q¬ p∧¬q : salah ∧ benar ≡ salah

e. ¬ p∧¬q : salah ∧ benar ≡ salah

Negasinya :p∨qp∨q : benar ∨ salah ≡benar

f. ¬ p∧q : salah ∧ salah ≡ salah

Negasinya :p∨¬qp∨¬q : benar ∨ benar ≡benar

g. p∧¬q : benar ∧ benar ≡ benar

Negasinya :¬ p∨q

¬ p∨q : salah ∨ salah ≡salah


h. p→q : benar → salah≡ salah

Negasinya :p∧¬qp∧¬q : benar ∧ benar ≡benar

i. p↔q : benar ↔ salah ≡ salah

Negasinya :( p∧¬q )∨(q∧¬ p)

( p∧¬q ) : benar ∧ benar ≡ benar

(q∧¬ p) : salah ∧ salah ≡ salah

( p∧¬q )∨(q∧¬ p) : benar ∨ salah ≡benar

3. Negasi dari

a. ¬ [ p→q↔¬ p∨q ]≡ ( p∧¬q )∨ (p∧¬q )

b. ¬ [ p∧q→ (q∧¬q→r∧q ) ]≡ (¬ p∨¬q )∨ [ (p∧¬q )∧ (¬r∨¬q ) ]c. ¬¿

Latihan 5

1. a. konvers : jika ada bintang pada suatu bendera maka bendera

tersebut adalah bendera Jepang.

invers : jika suatu bendera bukan bendera Jepang maka tidak ada

bintang pada bendera tersebut.

kontraposisi : jika tidak ada bintang pada suatu bendera maka bendera

tersebut bukan bendera Jepang.

b. konvers : a3>¿ 0 → a ¿ 0

invers : a ≤ 0 → a3≤ 0

kontraposisi : a3≤ 0 → a ≤ 0

c. konvers : ab ¿ 0 →a ¿ 0

invers : a ≠ 0 → ab ≠0

kontraposisi : ab ≠0 → a ≠ 0

d. konvers : jika luasnya sama maka dua persegipanjang kongruen.

invers : jika dua persegipanjang tidak kongruen maka luasnya

tidak sama.


kontraposisi : jika luasnya tidak sama maka dua persegipanjang tidak

kongruen.

e. konvers : x2 ¿ 9 → x ¿ 3

invers : x ≠ 3 → x2 ≠ 9

kontraposisi : x2 ≠ 9 → x ≠ 3

f. konvers : jika sisi-sisi segitiga ABC sama panjang maka segitiga ABC

adalah segitiga sama sisi.

invers : jika segitiga ABC bukan segitiga sama sisi maka sisi-sisi

segitiga tersebut tidak sama panjang.

kontraposisi : jika sisi-sisi segitiga ABC tidak sama panjang maka segitiga

ABC bukan segitiga sama sisi.

Latihan 6

1.

a. Jika nilai x = -1/2, maka benar

b. Jika nilai x = 3, maka benar

c. Jika nilai x = 4 atau x = - 4, maka benar

d. Jika x = 1 nilai kedua ruas akan sama, maka benar

2.

a. Semua bilangan bulat x, berlaku 2x – 4 = -5

Beberapa bilangan bulat x, memenuhi 2x - 4 = -5

Tidak ada bilangan bulat x, memenuhi 2x – 4 = -5 (benar)

b. Semua bilangan bulat x, berlaku x + 2 = -5

Beberapa bilangan bulat x, memenuhi x + 2 = -5 (benar)

Tidak ada bilangan bulat x, memenuhi x + 2 = -5

c. Semua bilangan bulat x, berlakux2 – 16 = 0

Beberapa bilangan bulat x, memenuhi x2 – 16 = 0 (benar)

Tidak ada bilangan bulat x, memenuhi x2 – 16 = 0

d. Semua bilangan bulat x, berlaku x + 3 = 3 + x (benar)

Beberapa bilangan bulat x, memenuhi x + 3 = 3 + x


Tidak ada bilangan bulat x, memenuhi x + 3 = 3 + x

3.

a. Salah g. Salah

b. Benar h. Benar

c. Salah i. Benar

d. Benar j. Benar

e. Salah k. Benar

f. Benar l. Benar

4.

a. Benar e. Benar

b. Salah f. Salah

c. Benar g. Benar

d. Salah h. Salah

Latihan 7


o Didefinisikan bilangan genap dapat dinyatakan 2n ,n∈Z

o Misalkan x=2k , k∈Z

o Didapat 4 x=4 (2k )

¿8 k

¿2 (4 k )

o Karena 4 k ,k∈Z dapat dimisalkan n, sehingga 4 x=2n ,n∈Z

merupakan bilangan genap.

∴terbukti

b. jika Jika x bilangan bulat maka 4 x bilangan genap

o didefinisikan bilangan bulat dapat dinyatakan n ,n∈Z dan bilangan

genap dapat dinyatakan 2n ,n∈Z

o misalkan x=k , k∈Z

o didapat 4 x=4 k


¿2 (2k )

o Karena 2k , k∈Z dapat dimisalkan n, sehingga 4 x=2n ,n∈Z

merupakan bilangan genap.

∴terbukti

c. didefinisikan bahwa bilangan genap dapat dinyatakan 2n ,n∈Z dan

bilangan ganjil dapat dinyatakan 2n+1 , n∈Z

o misal x=2 p , p∈Z dan y=2q ,q∈Z

o selanjutnya x+ y+z=2k+1

2 p+2q+z=2k+1

z=2k+1−2 p−2q

z=2 (k−p−q )+1

o Karena k−p−q∈Z dapat dimisalkan dengan n, sehingga

x+ y+z=2n+1 , n∈Z merupakan bilangan ganjil.

∴terbukti

Latihan 8

1. uji coba

n=1 ,1=1 (1+1 ) (2.1+1 )6

1=66

1=1….. benar

Asumsikan benar

Untuk n=k

12+22+…+k 2=k ( k+1 ) (2k+1 )

6asumsikan benar

Akan dibuktikan benar

Untuk n=k+1

12+22+…+k 2+( k+1 )2=(k+1 ) (k+2 ) (2 (k+1 )+1 )

6


k (k+1 ) (2k+1 )+(k+1)2

6=

(k+1 ) (k+2 ) (2 (k+1 )+1 )6

(k+1 )( k (2k+1 )+k+16 )= (k+1 ) (k+2 )(2k+3)

6

(k+1 )( 2k2+k+6 (k+1 )6 )= ( k+1 ) ( k+2 ) (2 (k+1 )+1 )

6

(k+1 )( 2k2+7k+66 )= (k+1 ) (k+2 ) (2 (k+1 )+1 )

6

(k+1 ) (k+2 ) (2 (k+1 )+1 )

6=

(k+1 ) (k+2 ) (2 (k+1 )+1 )6

∴TERBUKTI

karena ruas kiri dan kanan sama, sehingga terbukti benar.

2. Uji coba

Untuk n=1 , 11(1+2)

= 3. 12+5.14 (1+1 )(1+2)

13= 8

24

13=1

3 ….. benar

Asumsikan benar Untuk n=k

1

1.3+ 1

2.4+…+ 1

k (k+2)= 3k2+5k

4 (k+1 )(k+2)

Akan dibuktikan benar Untuk n=k+1

11.3

+ 12.4

+…+ 1k (k+2)

+ 1(k+1 )(k+1+2)

=3(k+1)2+5(k+1)4 (k+2 )(k+2)

3k2+5k

4 ( k+1 )(k+2)+ 1

(k+1 )(k+3)=

3 (k+1)2+5 (k+1)4 (k+2 )(k+2)

3k2+5k

(k+1 )(4k+2)+ 1

(k+1 )(k+3)=

3 (k+1)2+5 (k+1)4 (k+2 )(k+2)


(3k2+5k ) (k+3 )+4 k+8

( 4k+8 ) (k+1 )(k+3)=

3(k+1)2+5(k+1)4 ( k+2 )(k+2)

3k3+9k2+5k+15k+8

( 4k+8 ) ( k+1 )(k+3)=

3 (k+1)2+5(k+1)4 (k+2 )(k+2)

3k3 +9k2+19k+8

(4 k+8 ) (k+1 ) 9k+3¿¿=3k2+6 k+3+5k+5

(4k+8 )(k+3)

(3k+8 ) (k+1 )(k+1)(4 k+8 ) (k+1 )(k+3)

=(3k+8 )(k+1)(4 k+8 )(k+3)

(3k+8 )(k+1)(4 k+8 )(k+3)

=(3k+8 )(k+1)(4 k+8 )(k+3)

∴TERBUKTI


3. Uji coba

Untuk n=1 , (2.1−1 )=12

1=12

1=1


1+3+5+…+(2k−1 )=k2 asumsikan benar


1+3+5+…+ (2k−1 )+(2 (k+1 )−1 )=(k+1)2

k 2+2 k+1=(k+1)2

k 2+2k+1=k2+2 k+1

∴TERBUKTI


4. Uji coba

Untuk n=1 ,1=( 12

.1(1+1)2) 1=( 1

2(2 ))

2

1=12


1=1….. benar


13+23+…+k3=( 12.k (k+1))

2

asumsikan benar


13+23+…+k3+(k+1)3=( 12

(k+1 ) (k+1 )+1)2

((12k (k+1 )))

2

+( k+3 )3=(12

(k+1 ) (k+2 ))2

14k2(k+1)2+ (k+1 )3= ( k+1 )2 ( k+2 )2

4

(k+1)2( 14k2+( k+1 ))= ( k+1 )2 (k+2 )2

4

(k+1)2( k2+4 (k+1 )4 )= ( k+1 )2 (k+2 )2

4

(k+1)2( k2+4 k+44 )= ( k+1 )2 (k+2 )2

4

((k+1)2+(k+2)2

4 )= (k+1 )2 (k+2 )2

4

∴TERBUKTI

karena ruas kiri dan kanan sama, sehingga terbukti.

5. Uji coba

Untuk n=1 ,1+(1−1 )=1+1

1+1=2

2=2


(1+1−1 ) (1+2−1 ) (1+3−1 )…. (1+k−1 )=k+1 asumsikan benar


(1+1−1 ) (1+2−1 ) (1+3−1 )…. (1+k−1 )¿


k+1+¿

k+1(1+ 1k+1 )=k+2

k+(k+1)(k+1)

. 1(k+1)

=k+2

k+1( k+2k+1 )=k+2

k+2=k+2


Daftar Pustaka

Markaban M.Si. 2004. logika matematika. Yogyakarta: Widyaiswara PPPG Matematika.

Harini Sri, dkk. 2007. Matematika untuk SMA dan MA Kelas X. Jakarta : Widya Utama

Marwanta dkk. 2009. Matemaika SMA kelas X. Jakarta: PT Ghalia Indonesi Printing

Sekti Dwi. 2013/2014. Catatan. Jakarta : FKIP UHAMKA

Career

pengantar dasar matematika (logika matematika)