I. Kalimat Pernyataan dan Kalimat Terbuka

Sebelum membahas pernyataan, terlebih dahulu kita bahas pengertian kalimat. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti.

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya

Logika matematika merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika yang mempelajari tentang cara-cara menarik suatu kesimpulan dengan mengggunakan pola pikir yang tepat dan logis. Nah dalam kehidupan sehari-hari, untuk menyampaikan pendapat atau pemikirannya, seseorang menggunakan kalimat. Dalam logika matematika kita akan mengenal ada dua kalimat yaitu kalimat pernyataan dan kalimat terbuka. Untuk kalimat pernyataan dan kalimat terbuka sudah Anda pelajari pada waktu duduk di bangku SMP, sedangkan pada kesempatan ini Mafia Online kembali akan mengulas tentang kalimat pernyataan dan kalimat terbuka serta ingkarannya.

Kalimat Pernyataan

Pernyataan atau sering diistilahkan dengan kalimat deklaratif merupakan kalimat yang dapat ditentukan nilai dan kebenarannya, yaitu bernilai benar atau salah tetapi tidak bernilai benar dan salah sekaligus. Nah, ada dua cara untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan, yaitu sebagai berikut. Pertama, menentukan nilai pernyataan dengan cara empiris. Cara empiris merupakan nilai kebenaran kenyataan atau fakta pada saat tertentu dan ditempat tertentu. Misalnya, tadi pagi terjadi kecelakaan di depan porles Simak-Simak. Kedua, menentukan nilai kebenaran dengan cara nonempiris. Cara nonempiris merupakan nilai kebenaran yang bersifat mutlak. Misalnya dalam satu minggu ada tujuh hari.

Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang nilai kebenarannya (benar atau salah) belum dapat ditentukan karena masih memuat variabel. Salah satu cara untuk mengubah kalimat terbuka supaya menjadi kalimat pernyataan adalah dengan cara mengubah atau menentukan nilai variabel dari kalimat terbuka tersebut. Contoh kalimat terbuka: x2 – 5x + 6 = 0. x2 – 5x + 6 = 0 bernilai benar untuk x = 3 dan x2–

1

5x + 6 = 0 bernilai salah untuk x = 4. Jadi, pernyataan “untuk x = 3 berlaku x 2 – 5x + 6 = 0” bernilai benar dan “untuk x = 4 berlaku x2 – 5x + 6 = 0” bernilai salah.

Contoh Soal  

1. Diketahui kalimat terbuka x2 – 3x – 18 ≤ 0. Tentukan nilai kebenaran untuk x = 5 dan tentukan nilai kebenaran untuk x = – 4.

Penyelesaian:

Kalimat terbuka: x2 – 3x – 18 ≤ 0. Untuk x = 5 maka:=> x2 – 3x – 18 ≤ 0=> 52 – 3.5 – 18 ≤ 0=> 25 – 15 – 18 ≤ 0=> –8 ≤ 0Jadi untuk x = 5 bernilai benar.

Untuk x = – 4 maka:=> x2 – 3x – 18 ≤ 0=> (– 4)2 – 3.(– 4) – 18 ≤ 0=> 16 + 12 - 18 ≤ 0=> 10 ≤ 0Jadi untuk x = – 4 bernilai salah.

Contoh Soal 3Tentukan ingkaran dari pernyataan-pernyataan berikut di bawah ini!a. Ayam merupakan hewan unggasb. Untuk menyalakan lampu perlu arus listrikc. Tubuh memerlukan energi untuk beraktivitas.d. Bilangan prima yang genap adalah 2

Penyelesaian:a. Ayam bukan merupakan hewan unggasb. Untuk menyalakan lampu tidak perlu arus listrikc. Tubuh tidak memerlukan energi untuk beraktivitas.d. Bilangan prima yang genap bukan 2

2

II. INGKARANKalimat ingkaran ( Negasi ) adalah suatu pernyataan yang diperoleh dari

suatu pernyataan sebelumnya dan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan sebelumnya.Ingkaran di gunakan untuk menyangkal suatu pernyataan. ingkaran bisa juga di sebut sebagai invers ( kebalikan)

Beberapa negasi suatu pernyataan dapat dilihat pada table berikut :

Tabel nilai kebenaran Negasi :

Jika p adalah suatu pernyataan yang bernilai benar maka ingkarannya bernilai salah. Ingkaran dari pernyataan p ditulis (-p) dibaca ingkaran p atau negasi p atau bukan/tidak p.

Cara menentukan ingkaran dari suatu pernyataan adalah dengan menambahkan kata :

-  tidak benar bahwa.-  tidak-  bukan

3

Perhatikan contoh berikut :1. P: Ibukota Jawa Barat adalah Surabaya.

Ingkarannya : ~P : Ibukota Jawa Barat bukan Surabaya.Pembahasan : p bernilai S (Salah) dan ~P bernilai B (Benar).

2. p : 17 adalah bilangan prima.Ingkarannya : ~P :17 bukan bilangan prima.Pembahasan : p bernilai B (Benar) dan ~P bernilai S (Salah)

SELALU INGAT! Jika P adalah pernyataan yang bernilai benar,maka ~P bernilai salah Jika P adalah pernyataan yang bernilai salah, maka ~P bernilai benar.

Soal :1. Ingkaran dari P : Bangau adalah burung , adalah .....bangau bukan burung2. 2 + 2 = 5 , maka ingkarannya adalah ......2+2 tidak = 53. Apabila P : Bandung ibukota Jawa Tengah, maka Ingkaran dari pernyataan

tersebut adalah .......bandung bukan ibukota jawa tengah4. Rina bukan mahasiswi UNEJ, ingkarannya adalah..... rina adalah siswi

unej

4

III. KONJUNGSI DAN DISJUNGSI

1.KONJUNGSIKonjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari 2 pernyataan p dan q( masih ingat bahwa pernyataan di lambangkan oleh dua huruf variabel) adalah pernyataan majemuk yang di bentuk dengan kata hubung “DAN”,konjungsi di lambangkan dengan notasi "^". Perhatikan pernyataan ini "Saya pergi ke kampus dan Saya belajar". Coba di perhatikan kata hubung dan. Yang menghubungkan dua buah pernyataan itu ?. Nah dua kalimat pernyataan yang di hubungkan dengan kalimat dan membentuk suatu kalimat majemuk, disebut dengan konjungsi.

Tabel Kebenaran dari p Ʌ q adalah sebagai berikut :

P q p Ʌ qB B BB S SS B SS S S

Contoh Soal :

1.Coba perhatikan tabel kebenaran, jadi jika dijabarkan akan seperti ini :      p: Saya Makan (B)     q: Saya Duduk (B)      p^q : saya makan dan Saya Duduk (B)

Catatan :(1) Kalimat bernilai benar karena kedua pernyataan  bernilai benar.(2) Kalimat bernilai salah karena salah satu pernyataan bernilai salah.(3) Kalimat bernilai salah karena salah kedua pernyataan  bernilai salah.

2. DISJUNGSI

5

Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari 2 pernyataan, dimana kedua pernyataan dihubungkan dengan kata “ATAU”. Jika p dan q adalah 2 pernyataan, maka Disjungsi p dan q dinyatakan dengan “ p ATAU q” . Perhatikan pernyataan ini "Saya pergi ke kampus atau Saya belajar". Coba di perhatikan kata hubung atau. Yang menghubungkan dua buah pernyataan itu ?. Nah dua kalimat pernyataan yang di hubungkan dengan kalimat "atau" disebut dengan Disjungsi.Notasi disjungsi p atau q dinyatakan dengan p ∨ q.Tabel kebenaran p ∨ q adalah sebagai berikut :

P q p ∨ qB B BB S BS B BS  S S

Contoh Soal:1.p: saya makan (B) q: saya tidur (B)p ∨ q: saya makan atau saya tidur (B)

Catatan1)jika p atau q salah satunya bernilai "Benar" maka bernilai Benar2)jika p atau q kedua-duanya bernilai "Benar" maka nilainya Benar3)jika p atau q keduanya bernilai "Salah" maka nilainya Salah 

6

3. INGKARAN KONJUNGSI

Jika diketahui pernyataan p dan q, maka konjungsinya adalah p ˄ q. Ingkaran konjungsinya adalah ~(p ˄ q) dengan ketentuan Hukum De Morgan:

~(p ˄ q) =  ~p ˅ ~q

Tabel kebenarannya adalah sebagai berikut :

 p  q  ~ p ~ q p ˄  q ~ (p ˄ q) ~p ˅ ~qB B S S B S SB S S B S B BS B B S S B BS S B B S B B

Contoh :

1. Tentukan ingkaran dari pernyataan konjungsi berikut.

3 adalah bilangan prima dan 3 adalah bilangan ganjil.Jawab :     p =  3 adalah bilangan prima    q =  3 adalah bilangan ganjil

    Ingkaran dari konjungsi p dan q adalah :

    ~p  =  3  bukan bilangan prima     ~q  =  3  bukan bilangan ganjil

    Maka ingkaran konjungsi nya : 3 adalah bilangan prima dan 3 adalah bilangan ganjil. =  3  bukan bilangan prima atau 3 bukan bilangan ganjil

 

7

4. INGKARAN DISJUNGSI

Jika diketahui pernyataan Disjungsi p atauq :

              p ˅ q ingkarannya  ~(p ˅ q)  =  ~p ˄ ~q

Tabel kebenarannya adalah sebagai berikut :

 p  q  ~ p ~ q p ˅  q ~ (p ˅ q) ~p ˄ ~qB B S S B S SB S S B B S SS B B S B S SS S B B S B B

Contoh :

 Tentukan pernyataan Disjungsi berikut :

1. Deo rajin belajar atau rajin berolahraga      Jawab :

    Ingkarannya : Deo tidak rajin belajar dan tidak rajin berolahraga. 

8

LATIHAN SOAL1. Diberikan dua pernyataan sebagai berikut: p : Hari ini Jakarta hujan lebat.    q : Hari ini aliran listrik putus.Nyatakan dengan kata-kata:a) p ∧ qb) p ∧ ~qc) ~p ∧ qd) ~p ∧ ~q2. Diberikan data:Pernyataan p bernilai salahPernyataan q bernilai benar Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi di bawah ini:a) p ∧ qb) p ∧ ~qc) ~p ∧ qd) ~p ∧ ~q

3. Gabungkan pasangan pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan operasi disjungsi (ATAU):a) p : Ibu memasak ayam goring atau   q : Ibu membeli soto babat di pasar

b) p : Pak Bambang mengajar matematika atau   q : Pak Bambang mengajar bahasa inggris

4. Tentukan ingkaran dari  pernyataan konjungsi berikut:  a) p : Budi tidak berhidung mancung atau q : Budi tidak berambut lurus

2.  Tentukan ingkaran disjungsi dari pernyataan berikut :a) p: Deden anak yang tidak pintar dan q: Deden tidak rajin

9

IV. IMPLIKASI

1. Implikasi

Perhatikan contoh berikut ini “ Jika Ajid lulus ujian maka Ajid diajak bertamasya”.Kalimat ini merupakan pernyataan majemuk. Pernyataan-pernyataan tunggalnya adalah “Ajid lulus ujian” dan “Ajid diajak bertamasya”. Kata penghubungnya adalah “jika . . . maka . . .”. Pernyataan majemuk seperti ini disebut implikasi. Apabila pernyataan “Ajid lulus ujian” dilambangkan dengan “a”, dan “Ajid diajak bertamasya” dilambangkan dengan “b”, serta lambang untuk kata penghubung “jika . . . maka . . .” adalah “ => ”, maka pernyataan “jika Ajid lulus ujian maka Ajid diajak bertamasya” dilambangkan dengan “a => b” (dibaca “jika a maka b”).

Pada implikasi “a => b”, pernyataan tunggal “a” disebut pendahulu (antecendent) dan pernyataan “b” disebut pengikut (consequent).Nilai kebenaran suatu implikasi tergantung pada nilai kebenaran dari pendahulu danpengikutnya, yaitu mengikuti aturan sebagai berikut.

Suatu implikasi bernailai S jika dan hanya jika pendahulunya bernilai B dan pengikutnyabernilai S, sedangkan untuk nilai-nilai kebenaran pendahulu dan pengikutnya yang lain,implikasi itu bernilai B.

Apabila pendahulunya diberi lambang “a” dan pengikutnya diberi lambang “b” makanilai kebenaran implikasi “a => b” dapat dinyatakan dalam tabel nilai kebenaranseperti berikut ini.

Tabel Nilai Kebenaran Implikasip q a=>b

B B B

B S S

S B B

S S B

10

a. Negasi Suatu Implikasi

Perhatikan implikasi berikut ini “Jika 7 suatu bilangan prima maka 8 lebih besar dari 5”.

Misalnya, a = 7 adalah bilangan prima (B) b = 8 lebih besar dari 5 (B)

Maka, implikasi “a => b” bernilai B -a = 7 bukan bilangan prima (S) -b = 8 tidak lebih besar dari 5 (S)

Maka, implikasi “-a => - b” bernilai B.

Karena “a =>b” dan “-a => -b” masing-masing bernilai B, maka “ – a => -b” bukan negasi dari “a => b”. Untuk menentukan negasi dari suatu implikasi perhatikan kebenaranTabel berikut ini!.

Tampak pada Tabel bahwa urutan nilai kebenaran dari “- (a => b)” sama dengan urutan nilai kebenaran dari “a ^ - b”. Hal ini dapat disimpulkan bahwa negasi dari suatuimplikasi adalah suatu konjungsi dari pendahulu dan negasi pengikut implikasi itu.

- (a => b) = a Λ -b

Contoh 1.9Tuliskan negasi dari implikasi berikut ini!1. Jika Lia tidak pergi ke Jakarta maka Lia ikut kena musibah2. Jika Ajid belajar giat maka Ajid akan lulus ujian3. Jika guru rajin mengajar maka muridnya akan pandai

Jawab.

11

Negasi dari implikasi itu adalah:

1. Lia tidak pergi ke Jakarta dan Lia tidak ikut kena musibah2. Ajid belajar giat dan Ajid tidak akan lulus ujian3. Guru rajin mengajar dan muridnya tidak akan pandai

b. Konvers, Invers, dan Kontrapositif dari Suatu Implikasi

Perhatikan contoh implikasi berikut “Jika matahari terbit dari Barat maka Lia lulus ujian”. Pendahulu dari implikasi ini adalah “Matahari terbit dari Barat” dan pengikutnya adalah “Lia lulus ujian”. Kita dapat membentuk implikasi baru dari implikasi tersebut dengan menukarkan pendahulu dengan pengikutnya dan sebaliknya, yaitu “Jika Lia lulus ujian maka matahari terbit dari Barat” Implikasia baru yang dibentuk dengan cara iniu disebut konvers dari implikasi semula.

Jadi, jika diketahui implikasi “a => b” maka konversnya adalah “b =>a”

Contoh

Tentukan konvers, nilai kebenaran dari implikasi dan konversnya dari implikasi berikut ini!

1. “Jika 7 membagi habis 15 maka 11 adalah suatu bilangan prima”

2. “Jika 5 + 7 = 13 maka Lia naik kelas

Jawab.

1. “Jika 7 membagi habis 15 maka 11 adalah suatu bilangan prima”adalah suatu implikasi yang bernilai B Konvers dari implikasi ituadalah “Jika 11 suatu bilangan prima maka 7 membagi habis 15” bernailaiS

12

2. Implikasi “Jika 5 + 7 = 13 maka Lia naik kelas” bernilai B. sebabpendahulunya “5 + 7 = 13” bernilai S meskipun pengikutnya “Lia naik kelas” tidak diketahui nilai kebenarannya. Konversnya adalah “Jika Lia naik kelas maka 5 + 7 = 13” dan nilai kebenarannya tidak dapat ditentukan. Jika pernyataan “Lia naik kelas” bernilai B maka konvers itu bernilai S. dan jika pernyataan “Lia naik kelas” bernilai S maka konvers itu bernilai B. Oleh karena pernyataan “Lia naik kelas” tidakdapat diketahui nilai kebenarannya maka konvers itu tidak dapatditentukan nilai kebenarannya.

Secara implikasi, selain dapat dibentuk konversnya, dapat pula dibentuk implikasi baru lainnya. Perhatikan contoh implikasi berikut ini!

“Jika Mawan dapat mengendarai sepeda maka Mawan mendapat hadiah” Misalnya, a = Mawan dapat mengendarai sepeda

b = Mawan mendapat hadiahNegasi dari pernyataan-pernyataan itu adalah:

-a = Mawan tidak dapat mengendarai sepeda -b = Mawan tidak mendapat hadiah

Implikasi baru yang dibentuk “-a => -b”, yaitu “Jika Mawan tidak dapat mengendarai sepeda maka Mawan mendapat hadiah”. Implikasi baru ini disebut invers dari implikasi semula.

Dari suatu implikasi, selain dapat dibentuk konvers dan inversnya, dapat pula dibentuk implikasi baru yang lain. Yaitu pendahaulu dan pengikutnya dari impl ikasi yang diketahui masing-masing dinegasikan dan selanjutnya ditukarkan tempatnya. Implikasi baru yang terbentuk ini disebut kontrapositif dari implikasi yang diketahui.

Untuk memperjelas hal ini, perhatikan contoh implikasi berikut ini.“Jika Enal rajin belajar maka Enal naik kelas”

Misalnya, a = Enal rajin belajar (pendahulunya) b = Enal naik kelas (pengikutnya)

Negasi dari pendahulu dan pengikut ini adalah: -a = Enal tidak rajin belajar -b = Enal tidak naik kelas

13

Implikasi tersebut dapat ditulis dengan lambang “a => b”. Kontrapositif dari implikasi ini adalah “-a => -b” adalah “Jika Enal tidak naik kelas maka Enal tidak rajin belajar”

Dari contoh-contoh ini tampak bahwa nilai kebenaran dari suatu implikasi selalu sama dengan nilai kebenaran dari kontarpositifnya. Untuk meyakinkan kesimpulan ini, kita menyusun tebel nilai klebenarannya.

Tampak pada Tabel ini bahwa nilai kebenaran dari implikasi “a => b” samadengan kontrapositifnya, yaitu “-b => -a”

14

V. BIIMPLIKASI

            Jika dua pernyataan p dan q digabungkan untuk membentuk kalimat majemuk dengan kata hubung “ ….. jika dan hanya jika …...”, maka pernyataan majemuk yang terbentuk disebut biimplikasi.            Dalam logika matematika, biimplikasi dilambangkan oleh “”.”pq” berarti “p jika dan hanya jika q”, yaitu “jika p maka q dan jika q maka p” atau “(p=>q) ˄ (q=>p)”. jadi, p  q ≡ (p=>q) ˄ (q=>p).Nilai biimplikasi biasa diturunkan sebagai berikut:

p Q p=>q q=>p (p=>q) ˄ (q=>p) ≡ pqBBSS

BSBS

BSBB

BBSB

BSSB

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa biimplikasi hanya bernilai benar jika komponen-komponennya mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Contoh: “Ayah mendapat gaji jika dan hanya jika ayah bekerja”.Pernyataan biimplikasi diatas dibaca sebagai berikut:”Jika Ayah mendapat gaji maka ayah bekerja dan jika ayah telah bekerja maka ayah mendapat gaji”.Ekuivalensi logis            Misalkan p dan q merupakan penyataan-pernyataan tunggal atau majemuk dan pernyataan implikasi pqmerupakan tautologi untuk semua nilai kemungkinan kebenaran p dan q, maka pq dinamakan ekuivalensi logisatau biimplikasi logis.

Begitu juga pada biimplikasi berbentuk p(x)q(x). Jika p(x) menyebabkan q(x) dan q(x) menyebabkan p(x), maka biimplikasi p(x)q(x) merupakan ekuivalensi logis atau biimplikasi logis.Contoh: Selidikilah apakah bentuk pernyataan majemuk (p v (p ˄ q))  p akan merupakan ekuivalensi logis atau bukan.

p q p ˄ q p v (p˄q) (pv(p˄q))pBBSS

BSBS

BSSS

BBSS

BBBB

Jadi pernyataan majemuk tersebut merupakan ekuivalen.

15

Negasi dari Implikasi            Untuk menentukan negasi dari implikasi, perhatikan contoh berikut.P                      : niko belajar dengan giat.q                      : niko naik kelas.p=>q                : jika niko belajar dengan giat maka niko naik kelas.Jadi nagasi pernyataan “p=>q” adalah “p ˄ ~q”Konvers , Invers, dan Kontra posisi            Dari suatu implikasi p=>q dapat dibentuk implikasi lain, yaitu:

1.      q=>p, yang disebut konvers dari p=>q.2.      ~p=>~q, yang disebut invers dari p=>q.3.      ~q=>~p, yang disebut kontraposisi dari p=>q.

Tabel kebeneran hubungan antara implikasi-implikasi tersebut adalah:P q ~P ~q P=>q q=>p ~p=>~q ~q=>~pBBSS

BSBS

SSBB

SBSB

BSBB

BBSB

BBSB

BSBB

Contoh Soal 1Diketahui pernyataan berikut ini,.p : Eka rajin belajarq : Eka lulus Ujian NasioanalTuliskan pernyataan majemuk dari dua pernyataan di atas yang diwakili oleh lambang p⇔~q!

Penyelesaian:p⇔~q : Eka rajin belajar jika dan hanya jika Eka tidak lulus Ujian Nasional

Contoh Soal 2Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan “x2 – 4 = 0 tidak memiliki penyelesaian jika dan hanya jika ikan hidup di air”

Penyelesaian:p : x2 – 4 = 0 tidak memiliki penyelesaian (salah)q : ikan hidup di air (benar)p⇔q (salah)Jadi, pernyataan majemuk bernilai salah.ó

16

VI. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISIKonvers, Invers dan Kontraposisi adalah bagian dari Implikasi seperti yang sudah di bahas di Logika Matematika.Konvers, Invers dan Kontraposisi adalah suatu pernyataan Implikasi baru dari suatu pernyataan implikasi.

1. Konvers adalah perubahan dari satu sistem ke sitem yang lain. Pernyataan q=>p disebut Konvers dari p=>q.

2. Invers adalah Pembalikan suatu susunan dari suatu susunan yang lazim. Pernyataan ~p=>~q disebut Invers dari p=>q.

3. Pernyataan ~q=>~p disebut Kontraposisi dari p=>q.

Tabel nilai kebenaran Konvers, Invers  dan Kontraposisi dari Implikasi: 

 Dari tabel diatas diketahui Implikasi ekuvalen dengan kontra posisi atau biasa ditulis dengan p=>q≡~q=>~p

Dari pernyataan yang berupa implikasi p ⇒ q dapat dibuat pernyataan implikasi baru sbagai brikut:(a) Pernyataan q ⇒ p disebut Konvers dari p ⇒ q (b) Pernyataan ~p ⇒ ~q disebut Invers dari p ⇒ q (c) Pernyataan ~q ⇒ ~p disebut Kontraposisi dari p ⇒ q.

Contoh: 

17

p qImplikasi

p ⇒ q

Konvers

q ⇒ p

Invers

~p ⇒ ~q

Kontraposisi

~q ⇒ ~p

B B B B B B

B S S B B S

S B B S S B

S S B B B B

Jika diketahui implikasi p⇒q, maka :

Konversnya : q⇒p Inversnya : ~p⇒~q Kontraposisi :~q⇒~p

Implikasi: Jika hati tenang maka kita senang.

Konvers: Jika kita senang maka hati tenang. Invers: jika hati tidak tenang maka kita tidak senang Kontraposisi: Jika kita tidak senang maka hati tidak tenang.

Latihan soalTentukanlah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:(1) Jika harga bahan bakar minyak naik maka harga beras naik.(2) Jika x > 6 maka x²≥ 36

Penyelesaian:

Soal (1)Konvers : Jika harga beras naik maka harga bahan bakar minyak naik.Invers : Jika harga bahan bakar minyak tidak naik maka harga beras tidak naik.Kontraposisi: Jika harga beras tidak naik maka harga bahan bakar minyak tidak naik.

Soal (2) Tulis p: jika x²&re; 36q: x > 6.Jadi ~p: x²< 36~q: x ≤ 6.Jadi konvers p ⇒ q ≡ q ⇒ p ≡ “jika x > 6 maka x²&re; 36”,

invers p ⇒ q ≡ ~p ⇒ ~q ≡ ”jika x²< 36 maka x ≤ 6”,

kontraposisi p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p ≡ “jika x ≤ 6 maka x²< 36”.

Soal (3) Jika (p ∧ q)⇒ r Jelas konvers (p ∧ q)⇒ r ≡ r ⇒ (p ∧ q),invers (p ∧ q)⇒ r ≡ ~(p ∧ q)⇒ r≡ p( ∨ q) ⇒ r,kontraposisi (p ∧ q)⇒ r ≡ r⇒ ~(p ∧ q)≡ r⇒ (~p ∨ q).

18

Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan implikasi berikut.a. jika harga naik, maka permintaan turunb. jika x = 5, maka x2 = 25Jawab :a. jika harga naik, maka permintaan turun- Konversnya : jika permintaan turun, maka harga naik- Inversnya : jika harga tidak naik, maka permintaan tidak turun- Kontraposisi : jika permintaan tidak turun,maka harga tidak naik.b. jika x = 5, maka x2 = 25- Konversnya : jika x2 = 25, maka x = 5- Inversnya : jika x ≠ 5, maka x2 ≠ 25- Kontraposisi : jika x2 ≠ 25 ,maka x ≠ 5.

1) ~p=>q Konvers : q=>~p Invers : p=>~q Kontraposisi : ~q=>p

2) ~p=>~q Konvers : ~q=>~p Invers : p=>q Kontraposisi : q=>p

3) q=>p Konvers : p=>q Invers : ~q=>~p Kontraposisi : ~p=>~q

4) q=>~p Konvers : ~p=>q Invers : ~q=>p Kontraposisi : p=>~q

5) (p v q) => r Konvers : r =>(p v q) Invers : ~(p v q)=>~r Kontraposisi : ~r =>~(p v q)

LOGIKA MATEMATIKA ( PENARIKAN KESIMPULAN)

19

Ada 3 kaidah penarikan kesimpulan:

1. MODUS PONENS

premis 1 : p →q

premis 2 : p             ( modus ponens)

__________________

Kesimpulan: q

    Contoh:

premis 1 : Jika ibu datang maka adik akan senang

premis 2 : Ibu datang

__________________

Kesimpulan: Adik senang

2. MODUS TOLLENS

premis 1 : p →q

premis 2 : ~q             ( modus tollens)

__________________

Kesimpulan: ~p

    Contoh:

premis 1 : Jika hari hujan, maka ibu memakai payung

premis 2 : Ibu tidak memakai payung

___________________

Kesimpulan : Hari tidak hujan

3. SILOGISME

premis 1 : p→q

20

 premis 2 : q → r            ( silogisme)       _________________

Kesimpulan:  p →r

Contoh:

Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik.

Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik maka semua orang tidak senang.

__________________________________________________

Kesimpulan:  Jika harga BBM naik, maka semua orang tidak senang.

LATIHAN SOAL

1. Dari premis-premis berikut:

1. Jika dia siswa SMA maka dia berseragam putih abu-abu.

2. Andi tidak berseragam putih abu-abu

    Kesimpulan yang sah dari premis di atas adalah….

2. Perhatikan argumentasi berikut:

Jika ibu tidak pergi maka asik senang.

Jika adik senang maka ia tersenyum.

    Kesimpulan yang sah adalah….

3. Diketahui premis-premis berikut:

1. Jika Budi rajin belajar maka ia menjadi pandai.

2. Jika Budi menjadi pendai maka ia lulus ujian

3. Budi tidak lulus ujian.

    Kesimpulan yang sah adalah….

21

KESIMPULAN DAN SARAN

A. KESIMPULAN

Mata Kuliah Logika Matematika mempelajari beberapa hal yang berkaitan dengan logika, seperti logika secara kalimat, logika dalam pemrograman dan logika dalam rangkaian digital.Logika dalam kalimat dinyatakan sebagai proposisi dan pola-pola argumen/pernyataan logis dengan hukum-hukum logika.Logika dalam pemrograman diperlihatkan dengan struktur dasar dari pemrograman dan aliran/kontrol program dengan flow chart. Logika dalam rangkaian digital diperlihatkan dengan logika biner dan gerbang-gerbang logika serta penyederhanaan dalam rangkaian.

B. SARAN

Diharapkan mahasiswa berikutnya dapat mengembangkan makalah ini supaya lebih sederhana dan lebih mudah dimengerti. Diharapkan mahasiswa dapat memahamai mata kuliah logika matematika dan mengaplikasikannya dalam kehidupan nyata.

22

DAFTAR PUSTAKA

http://smartblogmathematic.wordpress.com/ingkaran/

http://matematikastudycenter.com/kelas-10-sma/93-10-sma-soal-pembahasan-logika-matematika

jokosby.files.wordpress.com/2008/02/ logika - matematika . doc

masbied.files.wordpress.com/2011/.../modul- matematika -kelas-x- logika .

ibnufajar75.files.wordpress.com/2012/11/bab-6- logika - matematika . doc

http://matematikastudycenter.com/kelas-10-sma/93-10-sma-soal-pembahasan-logika-matematika

http://mafia.mafiaol.com/2013/06/pernyataan-kalimat-terbuka-dan-ingkaran.html

http://spatabang.blogspot.com/2013/07/konjungsi-dan-disjungsi-dalam-logika.html

http://alufthegirl.blogspot.com/2013/05/konjungsi-disjungsi-dan-ingkaran.html

http://fauzisahabatmatematika.blogspot.com/2012/03/logika-matematikaingkaran.html

http://yayanpgsd.blogspot.com/2013/05/1.html

http://smartblogmathematic.files.wordpress.com/2013/04/logic7.jpg

http://smartblogmathematic.wordpress.com/ingkaran/

http://matematikaboy.wordpress.com/2010/12/11/implikasi-biimplikasi-konvers-invers-dan-kontraposisi/

http://inayahrii.blogspot.com/2012/12/implikasi-dan-biimplikasi.html

23