Embed Size (px)
Citation preview
LEMBAGA KAJIAN DAN PENGEMBANGAN PENDIDIKAN ( L K P P )
_________________________________________________________________________________________
LAPORAN MODUL PEMBELAJARAN BERBASIS SCL
MATEMATIKA DASAR 1
Oleh : Drs. Raupong, M.Si.
Dibiyai oleh Dana DIPA Universitas Hasanuddin Sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Pekerjaan
Nomor :469/H.423/PM.05/2008 Tanggal 04 Februari 2008
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MIPA
UNIVERSITAS HASANUDDIN FEBRUARI 2008
LEMBARAN PENGESAHAN
RANCANGAN PEMBELAJARAN BERBASIS SCL Matakuliah : Matematika Dasar 1
Angkatan ke-2
Telah diperiksa dan disetujui Oleh Coach Clinic SCL Universitas Hasanuddin
Cochee, Drs. Muh. Hasbi, M.Sc. Drs. Raupong, M.Si NIP. NIP. 131 802 902
Mengetahui, Ketua LKPP-Unhas
Ub. Kepala PKPAI-Unhas,
Ir. Machmud Syam, DEA NIP. 131 637 597
MODUL 1
Judul : Induksi Matematika dan Koefisien Binomial BAB I. Pendahuluan
A. Latar Belakang
Modul ini adalah suatu pengantar dalam memahami matematika dasar 1
khususnya dalam pembuktian matematika dan pengembangan materi segitiga
pascal dengan materi induksi matematika dan rumus Binomium Newton.
B. Ruang Lingkup Isi
Adapu ruang lingkup materi modul 1 ini meliputi : Notasi Sigma dan
Perkalian, induksi matematika, kombinasi dan koefisien binomial
C. Kaitan Modul
Modul ini merupakan pengantar bagi modul-modul selanjutnya
D. Sasaran Pembelajaran
1. Mahasiswa dapat menggunakan notasi sigma pada deret matematika dan
polinomial
2. Mahasiswa dapat menyelesaikan perpangkatan dua suku dengan
menggunakan rumus binomium Newton
3. Mahasiswa dapat menghitung koefisien binomial pada perpangkatan dua suku
BAB II. Pembahasan 1. Notasi Sigma dan Notasi Perkalian 1.1. Notasi Sigma (∑ )
Misalkan kita tuliskan polinomial Pn(x) sebagai :
Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + ….+ a1x + a0 …………… (1)
atau
Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ….+ an-1xn-1 + anxn
Mungkin penulisan dan pengucapan bentuk (1) ini dirasa terlalu panjang dan tidak praktis.
Sebuah notasi jumlah akan memendekkan dan menghemat penulisan tersebut. Sebagai misal
bentuk (1) diatas dapat ditulis dengan menggunakan notasi jumlah sebagai berikut :
∑=
=n
i
iin xaxP
0)( ………………… (2)
huruf i disebut “variable dummy” yaitu “indeks jumlah” (disingkat indeks saja). Notasi Σ
adalah huruf kapital yunani yaitu “sigma” yang berkorespondensi dengan huruf latin “s”
(bandingkan dengan SUM dalam bahasa Inggris). Artinya “sigma untuk jumlah”. Indeks i
mengambil harga-harga bilangan bulat dari yang kecil ke yang terbesar.
Perhatikan persamaan (2) jika disubtitusikan i = 0 pada aixi , diperoleh a0x0. Jika
disubtitusikan i = 1 pada aixi , diperoleh a1x dan seterusnya. Jika disubtitusikan i = n pada
aixi , diperoleh anxn. untuk lebih jelasnya perhatikan ekspresi berikut :
Polinom derajat 1 : P1(x) = a0 + a1x = ∑=
1
0i
ii xa
Polinom derajat 2 : P1(x) = a0 + a1x + a2x2 = ∑=
2
0i
ii xa
Polinom derajat 5 : P1(x) = a0 + a1x + a2x2 + ….+ a5x5= ∑=
5
0i
ii xa
Huruf yang sering digunakan selain huruf i juga biasa digunakan huruf kecil seperti j, k, r,
dan lain-lain.
Contoh :
bj + bj+1 + bj+2 + …..+ bk-1 + bk
dapat ditulis secara singkat sebagai : ∑=
k
jiib
dibaca “sigma dari bi, i mulai j sampai k “
indek i bisa dimulai dari sembarang bilangan yang dikehendaki, misalnya :
a3 + a4 + a5 + ….+ a10
dapat disingkat sebagai : ∑=
10
3iia
Sifat-sifat sigma :
(i) konstan;...1
cnccccccsukun
n
i=++++=∑
=44 344 21
(ii) ∑∑==
=n
ii
n
ii acca
11
(iii) ∑∑∑===
+=+n
ii
n
ii
n
iii baba
111)(
(iv) ∑∑∑−
=+
−
=+
=
==1
01
1
01
1
n
ii
n
jj
n
ii aaa
(v) ∑∑∑∑∑=====
++=++=+n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii baabaaba
10
110
10
)(
Beberapa rumus-rumus sigma
1. )1(21...321
1+=++++=∑
=
nnnin
i
2. )12)(1(61...321 2222
1
2 ++=++++=∑=
nnnnin
i
3. 2
3333
1
3 )1(21...321 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=++++=∑
=
nnnin
i
1.2. Notasi Perkalian ( )∏ Untuk menyingkat perkalian naaaa ...321 dapat ditulis dengan menggunakan notasi perkalian
dengan lambang ∏ yaitu
∏==
n
iin aaaaa
1321 ...
dimana ∏ adalah huruf kapital Yunani untuk Pi yang berkorespondensi dengan huruf
latin P (product).
Contoh :
(a). !)1(....3.2.11
nnnin
i=−=∏
=
(b). 1554325
1222.2.2.22 ==∏
=
n
n
2. Induksi matematika Terlebih dahulu simak teladan berikut :
Pernahkah anda waktu kecil bermain dengan sekumpulan kaset lagu-lagu dengan cara
membariskan kaset-kaset tersebut secara tegak dan berdekatan. Jika sebuah kaset disentuh
hingga terjatuh, maka kaset tersebut akan menimpa kaset di belakangnya dan mengakibatkan
kaset kedua terjatuh menimpa kaset berikutnya dan seterusnya. Pada akhirnya dapat
dibayangkan hasilnya bahwa sederetan kaset-kaset tersebut akan jatuh semua.
Teladan sederetan kaset yang jatuh di atas mengilustrasikan esensi dari induksi matematika,
yaitu suatu metode yang sangat penting untuk pembuktian rumus-rumus atau pernyataan
tertentu yang melibatkan bilangan asli. Kebenaran metode induksi matematika itu didasarkan
pada teorema berikut.
Teorema 1 ( Prinsip Induksi Matematika)
Misalkan kita mempunyai barisan tak hingga dari pernyataan P(1), P(2), P(3), …, P(n), … ,
jika kita dapat menunjukkan bahwa
1. Pernyataan P(1) benar,
2. jika P(k) benar, maka P(k+1) juga benar untuk sembarang bilangan asli k,
maka dapat disimpulkan bahwa pernyataan P(n) benar untuk semua bilangan asli n.
Bukti
Andaikan 1. dan 2. benar tetapi kesimpulan teorema tidak berlaku. Ini berarti bahwa P(n)
tidak berlaku untuk setiap bilangan asli n.
Misalkan m adalah bilangan asli terkecil sehingga P(m) tidak benar, yaitu P(1), P(2), …,
P(m-1) benar, tetapi P(m) tidak benar . Langkah 1 menyatakan P(1) benar. Untuk n ≥ 1,
Gambar 1.1.
langkah 2 menyatakan P(2) benar, P(3) benar, dan seterusnya hingga P(m-1) benar dan
seharusnya P((m-1)+1) benar. P((m-1)+1)=P(m), sehingga P(m) benar. Hal ini bertentangan
dengan untuk m yang pernyataan P(m) tidak benar.
Definisi 1 :
Misalkan S himpunan himpunan bagian dari bilangan asli N, yang mempunyai sifat
(1). n0 S∈ , khususnya untuk n0 = 1
(2). Jika k ∈ S ⇒ (k + 1) ∈ S, (k ≥ n0 ), maka N = S, yaitu bahwa himpunan S mengandung
semua bilangan asli yang lebih besar atau sama dengan n0
Catatan
Langkah (1) biasanya dinamakan “basis induksi”
Langkah (2) dinamakan “langkah induksi”
Selain itu, asumsi bahwa n = k pada (2) dinamakan hipotesis induksi.
Contoh :
Kita akan buktikan rumus-rumus berikut dengan induksi matematika.
)1(21321 +=++++ nnnL
Langkah (1) : Untuk n = 1, maka )11(1211 += benar.
Langkah (2): Andaikan untuk n = k, pernyataan )1(21321 +=++++ kkkL benar, akan
ditunjukkan kebenaran pernyataan di atas untuk n = ( k + 1 ).
Dari langkah (2), kedua ruas ditambahkan faktor ( k + 1 ), sehingga diperoleh
( ) )1()1(211321 +++=++++++ kkkkkL
= 2
)1()1( +++ kkk
1.3. Kombinasi dan Koefisien Binomial 1.3.1 Kombinasi Kombinasi dari sejumlah objek merupakan cara pemilihan objek yang bersangkutan tanpa
memperhatikan urutan objek itu sendiri. Misalnya pemilihan 3 wakil mahasiswa secara acak
untuk hadir pada lokakarya jurusan dari 4 mahasiswa yang telah terseleksi berdasarkan data
akademiknya. Kombinasi ini memberikan berbagai pilihan yang mungkin tanpa
memperhatikan urutan nomor mahasiswa mereka misalnya atau yang indeks prestasinya
paling tinggi dari keempat mahasiswa tersebut.
Definisi 7 :
Suatu kelompok yang terdiri dari r objek dan yang ingin dipilih dari n objek berbeda tanpa
memperhatikan urutan pemilihannya dinamakan kombinasi r objek dari n objek berbeda
dengan 0 < r < n. Banyaknya kombinasi yang mungkin dinotasikan sebagai
nrC atau ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛rn
.
Teorema 2 :
Jumlah kombinasi r objek yang dipilih dari n obyek berbeda adalah :
( )!!!
rnrnC n
r −=
dengan ( )( ) ( ) Nnnnnnnn ∈∀−=−−= ,!11.221! L dan 1!0 = .
Contoh :
Berapa carakah sebuah panitia yang beranggotakan 3 orang dapat dibentuk dari 5 pria dan
2 wanita jika dalamkepanitian tersebut paling sedikit harus terdapat 2 pria
Penyelesaian :
Untuk membentuk panitia dengan syarat paling sedikit ada 2 pria, kita harus
mengklasifikasikannya atas dua kasus yaitu :
1. Panitia itu terdiri dari 2 pria dan 1 wanita
Pemilihan 2 pria dari 5 pria menghasilkan :
( ) 10!3!.2
!5!25!2
!552 ==
−=C cara
Sedangkan pemilihan 1 wanita dari 2 wanita menghasilkan
( ) 2!2!.1
!2!12!1
!221 ==
−=C cara
Jadi banyaknya cara pembentukan panitia yang terdiri dari 3 orang yang
beranggotakan 2 pria dan 1 wanita adalah :
202.10. 21
52 ==CC cara.
2. Panitia itu terdiri dari 3 pria dan 0 wanita. Pemilihan 3 pria dari 5 orang :
( ) 10!2!.3
!5!35!3
!553 ==
−=C cara
Sedangkan pemilihan 0 wanita dari 2 wanita menghasilkan
( ) 1!2!.0
!2!02!0
!220 ==
−=C cara
Jadi banyaknya cara pembentukan panitia yang terdiri dari 3 orang yang
beranggotakan pria sebanyak 3 orang dan tanpa wanita adalah :
101.10. 20
53 ==CC cara
Kesimpulan :
Kepanitian yang beranggotakan 3 orang yang terbentuk dari 5 pria dan 2 wanita dengan
ketentuan anggota prianya paling sedikit 2 orang adalah
301020. 20
53
21
52 =+=+ CCCC cara
1.3.2. Koefisien Binomial
Nilai kombinasi nrC atau n
rnC − sesungguhnya merupakan koefisien binomial. Secara aljabar
dapat dilihat bahwa perpangkatan
( ) ( )( ) 222 2 yxyxyxyxyx ++=++=+
Koefisien dari setiap suku dalam penguraian binomial dapat diperoleh dengan menghitung
setiap kombinasinya. Koefisien x2 adalah 122
20 == CC , koefisien xy adalah 22
1 =C dan
koefisien y2 adalah 120
22 == CC . Sehingga secara keseluruhan (x + y)2 dengan koefisien
kombinasi nrC atau n
rnC − sebagai berikut :
( ) 22222
21
220
2 2 yxyxyCxyCxCyx ++=++=+ .
yang dapat ditulis singkat sebagai :
( ) ∑=+=
−2
0
222
r
rrr yxCyx .
Secara umum dapat ditulis
( ) nnn
nnnnnnn yCyxCyxCxCyx ++++=+ −− L222
110
∑==
−2
0
22
r
rrr yxC
Contoh : Gunakan rumus koefisien binomial untuk menguraikan ( )4yx + .
Penyelesaian :
( ) 444
343
2242
341
440
4 yCxyCyxCyxCxCyx ++++=+
432234 464 yxyyxyxx ++++= .
T U G A S 1.
1. Tentukan nilai dari jumlahan berikut
a. ∑=
−5
1
)34(k
k b. ∑=
+6
1
2)5(k
k c. ∑=
+−5
0
12)1(k
ii
2. Diketahui 9920
1
=∑=k
ka dan 2120
1
=∑=k
kb . Hitunglah :
a. ( )∑=
+20
1kkk ba b. ( )∑
=
++20
124
kkk ba c. ( )∑
=
−20
13
kkk ba
3. Hitunglah
a. ∏+=
n
j j1 11 b. ∏
−=
n
j jj
2 2
2 1
c. Gunakan notasi ∏ untuk menuliskan 1 x 3 x 5 x 7 x … x 99.
4. Buktikan rumus-rumus berikut dengan induksi matematika :
a. ( ) Nnnn ∈∀=−++++ ,12531 2L
b. ( )( )2213333 1321 +=++++ nnnL
c. ( ) ( )( )12123112531 2222 +−=+++++ nnnnL
d. ( ) ( )111
4.31
3.21
2.11
+=
+++++
nn
nnL
e. 32 nn < untuk setiap bilangan asli n ≥ 10.
f. 203 +n habis dibagi 3 untuk setiap bilangan asli n ≥ 2.
5. Hitung nilai kombinasi
a. C 53 b. C18
8 c. C 53 .C 8
4
3. Dalam berapa cara 5 buah pertanyaan dapat dipilih dari 9 pertanyaan ?
6. Uraikan perpangkatan berikut dengan menggunakan koefisien binomial
a.( x + y )7
b.(2x – y2)5
c. Tentukan koefisien suku x4y2 dari perpangkatan ( )5221 3yx + .
BAB III PENUTUP
Keberhasilan mahasiswa memahami konsep dasar notasi sigma, notasi perkalian,
induksi matematika dan koefisien binomial serta dapat menyelesaikan soal-soal dengan baika
akan memudahkan untuk mempelajari modul selanjutnya.
DAFTAR PUSTAKA
1. Dale Varberg & Edwin J. Purcell (1999) ”Calculus with Analytic Geometry” Sixth
Edition. Prentice-Hall, International, Inc. New Jersey.
2. James Stewart (2000) “ Kalkulus”. Edisi Keempat. Erlangga. Jakarta.
3. Lois Leithold (1987). “Kalkulus & Ilmu Ukur Analitik”. Edisi Pertam. PT.Bina Aksara.
Jakarta.
MODUL 2
Judul : Fungsi Real BAB I. Pendahuluan
E. Latar Belakang
Modul ini akan dibahas perbedaan relasi dan fungsi, jenis fungsi, domain
dan daerah hasil (Range) suatu fungsi serta grafik fungsi yang sangat berkaitan
dengan modul-modul selanjutnya.
Pada kegiatan modul 2, khusus akan dibahas mengenai fungsi satu-satu dan
pada yang disingkat fungsi satu-satu dan bagaimana menggambarkan grafik
fungsi sederhana serta bagaimana pula menentukan invers suatu fungsi dan syarat
suatu fungsi komposisi dapat ditentukan.
F. Ruang Lingkup Isi
Adapun ruang lingkup materi modul 2 ini meliputi : Fungsi Real, domain
dan range fungsi, grafik fungsi, invers fungsi, fungsi kompusisi,dan fungsi implit
.
G. Kaitan Modul
Modul ini merupakan konsep dasar bagi modul berikutnya yang mana
mahasiswa tersebut dapat memahami konsep fungsi real untuk dapat digunakan
pada modul-modul berikutnya.
H. Sasaran Pembelajaran
1. Mahasiswa dapat membedakan relasi dan fungsi
2. Mahasiswa dapat menentukan domain dan range suatu fungsi
3. Mahasiswa dapat menggambarkan grafik fungsi sederhana
4. Mahasiswa dapat menentukan invers suatu fungsi
5. Mahasiswa dapat syarat suatu fungsi dapat dikomposisi dan menghitungnya
6. Mahasiswa dapat memebedakan fungsi implisit dan fungsi eksplisit
BAB II. Pembahasan
2.1 Fungsi Real dan Grafik
Misalkan A, B himpunan bagian dari R (bilangan Riil) yang tidak kosong, maka
suatu fungsi bernilai real dari A ke B adalah suatu aturan yang mengawankan setiap unsur di
dalam A dengan tepat satu dan hanya satu unsur di dalam B. Jika fungsi dinotasikan dengan f
dan Aa∈ maka bilangan )(af disebut nilai fungsi f di titik a. Notasi )(afa a
menyatakan bahwa f memetakan a ke f(a).
Definisi 2.1:
Misalkan RBA ⊆, , maka fungsi f dari A ke B , ditulis : BAf →: atau BA f⎯→⎯ yaitu didefinisikan sebagai suatu aturan pemasangan yang mengaitkan setiap unsur Ax∈ dengan tepat satu unsur By∈ . Unsur yang berkaitan dengan unsur x ini dilambangkan sebagai ( )xfy = , yang dinamakan aturan fungsi dimana x dinamakan variabel bebas (independent) dan y disebut variabel terikat (dependent)
Dalam hal ini, A disebut domain fungsi yang dinotasikan Df atau D(f), dan himpunan
{ }AxxfyBy ∈∀=∈ ),(: disebut Range dari f, yang dinotasikan Rf atau R(f).
Bilamana daerah asal tidak disebutkan secara spesifik, maka daerah asal yang dimaksud
adalah “ daerah asal alamiah” (natural domain) dari fungsi f.
Catatan
• Istilah fungsi biasa juga disebut “pemetaan” (mapping). • Daerah asal biasa disebut “daerah definisi atau domain “ • Daerah hasil biasa juga disebut “daerah nilai atau Range”
Disini, Df atau Rf semuanya merupakan himpunan bagian dari R sehingga fungsi f ini
dinamakan “fungsi f dengan peubah real dan bernilai real“ , disingkat “fungsi real”.
Fungsi real y = f(x) dapat digambarkan dalam bentuk diagram panah seperti pada
gambar 2.1.
x
gambar 2.1b
f
domain image
range
gambar 2.1a
Df
Rf
f(x) f
f
Jika diketahui persamaan fungsi y = f(x), ( ) ,, ff RxfDx ∈∈ maka : f(x) adalah peta
(image) dari x yang dibawa oleh f, dan x adalah prapeta (antesenden) dari y.
Jadi sebuah bilangan x dengan bayangannya f(x) direpresentasikan melalui sebuah titik P (x,
f(x)), yang biasanya dituliskan sebagai titik P(x,y).
Ciri-ciri fungsi ditinjau dari diagram panah adalah
a) Setiap unsur di dalam domain , melepaskan sebuah anak panah ke sebuah unsur di dalam
daerah hasil (range). Artinya tidak satupun unsur dalam domainnya yang tidak
melepaskan sebuah anak panah.
b) Setiap anak panah yang dilepaskan dari daerah asal (domain akan mengenai tepat satu
sasaran dalam daerah hasil. Ini berarti bahwa tidak mungkin sebuah anak panah akan
mengenai lebih dari satu sasaran . Hal ini berbeda dengan suatu relasi yang
memungkinkan hal tersebut bisa terjadi.
c) Mungkin saja terjadi kasus beberapa anak panah yang dilepaskan oleh masing-masing
unsur di dalam domain akan mengenai sasaran yang sama di dalam daerah hasilnya.
2.1.1 Grafik
Grafik fungsi BAf →: adalah himpunan semua titik (x,y) didalam R2, dimana
BxfyAx ∈=∈ )(, dan RBRA ∈⊂ , .
Misal kita mempunyai fungsi y = f(x), ( ) ff RxfDx ∈∈ , . Nilai-nilai x direpresentasikan
oleh absis (sumbu-x), sedangkan nilai-nilai f(x) direpresentasikan oleh ordinat (sumbu-y).
Jadi Himpunan titik-titik (x,y) yang memenuhi y = f(x) dinamakan grafik fungsi f yaitu
( ) ( ){ }ff RydanDxxfyRRyx ∈∈=×∈ ,,
2.1.2 Domain Dan Range Suatu Fungsi
Domain f adalah suatu himpunan : ( ){ }ff RxfRxD ∈∈= dan range f adalah suatu
himpunan : ( ){ }ff DxRxfR ∈∈= .
Untuk menentukan domain dan range fungsi perhatikan contoh-contoh berikut.
Contoh :
Gambar 2.2 berikut merepresentasikan suatu grafik fungsi perubahan temperatur pada suatu
ruangan tertentu selama 24 jam.
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Misal persamaan fungsi temperatur adalah ( ) *; Rttfy ∈=
maka [ ] ( ){ }fRtfRtDf ∈∈== *24,0
[ ] ( ){ }*21,10 RtRtfRf ∈∈== ; R* bilangan real non negatif.
Dari grafik terlihat bahwa untuk ( ) Ctfmakat 00 2110240 ≤≤≤≤
f(14) = 21, menunjukan bahwa pada jam 1400, temperatur ruangan mencapai 21 0 C
f(5) = 10, menunjukkan bahwa pada jam 5, temperatur ruangan mencapai 100C
2.1.3. Terminologi Fungsi
Jika RBA ⊆, dan f suatu fungsi dari A ke B ditulis BAf →: , maka :
1) Fungsi f dikatakan fungsi pada (onto function) atau “Surjective” jika setiap unsur dalam
himpunan B (range) merupakan bayangan satu atau beberapa unsur dalam himpunan A
(domain) lihat gambar 2.3a.
2) Fungsi f dikatakan fungsi satu-satu (one to one function) atau “Injective” bila tidak ada
dua unsur dalam himpunan A yang memiliki bayangan yang sama dalam himpunan B
lihat gambar 2.3b.
Df
Rf
t = waktu dlm jam
f(t) = temperatur dalam oC
gambar 2.2
3) Fungsi f dikatakan fungsi satu-satu dan pada (one to one-onto function) atau “Bijective”
jika f fungsi pada dan sekaligus satu-satu, gambar 2.3c.
Catatan
• Untuk fungsi satu-satu, bila ( ) ( )212121, xfxfxxdanDfxx ≠⇒≠∈ • Jika A = B, fungsi f dari A ke A dinamakan fungsi pada A
Contoh :
1)( += xxf adalah fungsi yang bersifat satu-satu, sebab setiap unsur yang berlainan dalam
daerah domain mempunyai bayangan berlainan pula.
2.2 Sifat Simetri Grafik Fungsi
Kadang-kadang dengan melihat kesimetrian dari suatu aturan atau grafik fungsi, sifat fungsi
tersebut lebih mudah dikenali atau digambarkan. Sifat simetri yang mudah dikenali adalah
simetri terhadap sumbu-x, sumbu-y atau simetri terhadap titik asal.
1. Simetri terhadap sumbu-x. Grafik fungsi y = f(x) dikatakan simetri terhadap sumbu x jika
(x,y) terletak pada grafik f maka (x,-y) juga terletak pada grafik f. Ini berarti grafik fungsi
f sekaligus memuat titik (x,y) dan (x,-y), dengan kata lain kedua titik tersebut memenuhi
persamaan fungsi f.
2. Simetri terhadap sumbu y, yaitu bahwa jika (x,y) terletak pada grafik fungsi f maka (-
x,y) juga terletak pada grafik fungsi f.
*
*
*
*
*
*
*
f
Fungsi pada gambar 2.3a
A B
*
*
*
* * * * *
f
Fungsi satu-satu gambar 2.3b
A B
*
*
*
*
*
*
*
*
f
Fungsi pada dan satu-satu gambar 2.3c
A B
3. Simetri terhadap titik asal, yaitu bahwa jika titik (x,y) terletak pada grafik fungsi f maka
(-x,-y) juga terletak pada grafik fungsi f. Ini berarti grafik fungsi f memuat sekaligus titik
(x,y) dan (-x,-y).
Contoh
o Fungsi x = y2 dan 2y2 – 3x + 1 = 0, grafiknya simetri terhadap sumbu x.
o Fungsi y = x2 , grafiknya simetri terhadap sumbu y.
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Definisi 2.2 :
1. Fungsi f dikatakan “Fungsi Genap” jika untuk setiap x ∈ Df
berlaku
)()( xfxf =−
2. Fungsi f dikatakan “Fungsi Ganjil” jika untuk setiap x ∈ Df berlaku
)()( xfxf −=−
Catatan : pada definisi di atas, unsur x dan –x ∈ Df.
Berdasarkan definisi di atas, maka “grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y” dan grafik
fungsi ganjil simetri terhadap titik asal (0,0).
Dari pengertian tersebut, sebuah fungsi bukan fungsi genap jika terdapat suatu x ∈ Df
sehingga
f (-x) ≠ f ( x) ,
dan bukan fungsi ganjil jika terdapat suatu x ∈ Df sehingga
f (-x) ≠ -f (x).
Contoh :
1. Fungsi f(x) = 5x4 – 3x2 + 1 adalah fungsi genap, karena
f(x) = 5(-x)4 – 3(-x)2 + 1 = 5x4 – 3x2 + 1 = f(x).
2. Fungsi f(x) = 2x3 + 4x adalah fungsi ganjil, karena
f(-x) = 2(-x)3 + 4(-x) = -2x3 - 4x = -(2x3 + 4x) = - f(x).
2.3 Operasi Pada Beberapa Fungsi
Definisi 2.3 :
Misalkan diberikan dua buah fungsi f dan g, dengan peubah bebas x, maka
jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi dari f dan g ditulis sebagai f + g ; f –
g ; f.g dan gf , didefinisikan sebagai
a). (f + g)(x) = f(x) + g(x) b). (f – g)(x) = f(x) – g(x)
c). (f g)(x) = f(x) . g(x) d). 0)(,)()()( ≠=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛xg
xgxfx
gf
Jika daerah asal fungsi hasil operasi aljabar ini ditentukan setelah aturan operasinya maka
a). Df + g = Df ∩ Dg b). Df – g = Df ∩ Dg
c). Df . g = Df ∩ Dg d). g
fD = Df ∩ Dg – { x ∈ R : g(x) = 0 }
Tampak bahwa Df + g = Df – g = Df . g ; tetapi tidak sama dengan g
fD .
Contoh :
Diberikan 1
)(+
=x
xxf dan x
xxg −=
1)( ; Tentukan aturan fungsi f + g ; f . g dan tentukan
daerah definisinya masing-masing.
Penyelesaian :
a). Jumlah dari f dan g adalah
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
= x
xx
x −+
+1
1 =
)1(1
)1(1)(1(2
+=
++−+
xxxxxxx
daerah definisinya adalah
Df + g = Df ∩ Dg = R – {-1} ∩ R – {0} = R – {-1,0} .
Jadi daerah asal dari f + g adalah semua bilangan real kecuali -1 dan 0.
b). Hasil kali dari fungsi f dan g adalah
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 1
11
11.1
..+−
=+−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+==
xx
xxxx
xx
xxxgxfxgf
dan { }0,1−−== RDDD gffg I
2.4 FUNGSI-FUNGSI KHUSUS 2.4.1 FUNGSI POLINOM (FUNGSI SUKU BANYAK) Definisi 2.4 :
Fungsi f yang didefinisikan sebagai
( ) nn xaxaxaaxf ++++= L2
210
dengan n bilangan bulat non negatif dan a0 , a1 , ....., an adalah konstanta
real, dinamakan “fungsi polinom (fungsi suku banyak)”.
• Jika ,0≠na maka “derajat” fungsi polinom tersebut adalah n.
• Jika n = 0, maka diperoleh ( ) 0axf = untuk semua x, maka fungsi polinom tersebut
adalah fungsi konstan. Jadi suatu fungsi konstan yang nilainya tidak nol dianggap
sebagai suatu fungsi polinom yang derajatnya nol
• Jika 00 =a dan n = 0, maka derajat fungsi polinom tidak terdefinisi. Fungsi polinom
tanpa derajat ini disebut “fungsi nol” oleh karena nilainya ( ) 0=xf untuk semua x.
• Fungsi linier adalah fungsi polinom berderajat 1, yang dapat dituliskan dalam bentuk
( ) xaaxf 10 +=
atau
( ) 0dan,konstantaadalahdandengan, ≠+= ababaxxf
Grafiknya merupakan garis lurus dengan tanjakan a dan memotong sumbu y dititik (0,b),
(gambar 2.27). Jika a = 1 dan b = 0 diperoleh ( ) xxf = yang dinamakan fungsi satuan
(fungsi identitas).
• Fungsi Kuadrat adalah fungsi polinom berderajat 2 yang dapat dituliskan dalam bentuk ( ) 2
210 xaxaaxf ++= atau
( ) 0dankonstantaadalah,,dengan2 ≠++= acbacbxaxxf
Grafiknya adalah suatu parabola yang simetri dengan garis vertikal abx
2−
= , dan
mempunyai titik puncak di ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
aD
ab
4,
2 dimana acbD 42 −= .
Contoh :
Misalkan C1, C2 , C3 , berturut-turut grafik fungsi kuadrat
( ) ( ) ( ) 222
213, xxfdanxxfxxf === , lihat gambar 2.4.1
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
gambar 2.4.1
Perhatikan bahwa grafik C2 lebih ramping dari grafik C1, sedangkan grafik C3 lebih lebar
dari C1.
• Fungsi Kubik (Fungsi Pangkat Tiga) adalah fungsi polinom berderajat 3 yang dapat
dituliskan dalam bentuk
( ) 33
2210 xaxaxaaxf +++= atau
( ) .0dankonstanta,,,,23 ≠+++= adcbadcxbxaxxf
Grafik fungsi kubik ini selalu memotong sumbu x paling sedikit di satu titik.
Untuk kasus a > 0, grafiknya selalu naik atau mempunyai dua titik puncak (gambar
2.4.1a).
Untuk kasus a < 0, grafiknya selalu turun atau mempunyai dua titik puncak (gambar
2.4.1b).
C1 C2 C3
gambar 2.4.1a gambar 2.4.1b
2.4.2 FUNGSI RASIONAL
Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dapat dituliskan sebagai hasil bagi dua
fungsi polinom, yaitu :
( ) mm
nn
xbxbxbbxaxaxaa
xf++++
++++=
L
L2
210
2210
untuk semua x yang membuat penyebut tidak nol.
Contoh :
( ) 1;112
≠−+
= xxxxf adalah fungsi rasional
2.4.3 FUNGSI IRRASIONAL Fungsi irrasional adalah fungsi aljabar yang tidak rasional yaitu mengandung faktor
penarikan akar.
Contoh :
( ) ( ) 61
12; 22
3 32 +−−
−=−+= xxdan
x
xxgxxxxf
2.4.4 Fungsi Nilai Mutlak Domain : R, himpunan bilangan real
Range : Bilangan real non negatif
Lambang : x
Definisi : ( )⎩⎨⎧
<−≥
==0
0xjikax
xjikaxxxf
Grafik : gabungan dua buah “semi garis”, yaitu :
-20
-10
0
10
20
-3 -2 -1 0 1 2 3
y = ax3 a > 0
-20
-10
0
10
20
-3-2-10123
y = ax3 a < 0
y = ax3+bx2+cx+da > 0
y = ax3+bx2+cx+da < 0
( )
( ) 0,
0,
2
1
<−=
≥=
xjikaxxfdan
xjikaxxf
Fungsi ini mempunyai dua aturan yaitu fungsi ( ) xxf =1 pada selang [ )∞,0 dan fungsi
( ) xxf −=2 pada selang ( ]0,∞− , sehingga 21 fff DDD U= , dan fungsi f berubah sifat di
titik x = 0.
gambar 2.4.4
Fungsi yang aturannya memuat nilai mutlak dapat dituliskan sebagai fungsi dengan “banyak
aturan”.
Contoh :
1. fungsi ( ) 2−= xxf dapat dituliskan sebagai fungsi dengan dua aturan yaitu :
( )⎩⎨⎧
<−≥−
=2222
xjikaxxjikax
xf
f berubah sifat di x = 2
gambar 2.4.4a
2.4.5 Fungsi Bilangan Bulat Terbesar (Fungsi Tangga) Domain : R
Range : Himpunan bilangan bulat
Lambang : [ ]x menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama
dengan x, yaitu :
[ ] .,1, bulatbilangannnxnjikanx +<≤=
2
1
0 1 -2 x
y f1f2
2
1
0 2 x
y
Fungsi ( ) [ ]xxf = dinamakan fungsi bilangan bulat terbesar.
Grafiknya : menyerupai tangga (lihat gbr. 2.4.5b).
Jika Rx∈ , maka tak hingga banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil atau sama dengan x,
yang pada garis bilangan digambarkan di sebelah kiri x.
bilangan bulat yang x≤
gambar 2.4.5a
diantara semua bilangan bulat tersebut ada “yang terbesar” dan bilangan terbesar inilah yang
dimaksud [ ]x
Contoh :
jika x = 3,6 , maka terdapat bilangan bulat -2, -1, 0 , 1 , 2 , 3 yang semuanya lebih
kecil dari 3,6. Dan diantara barisan bilangan tersebut, bilangan bulat 3 yang terbesar,
sehingga [ ] 36,3 =
demikian juga jika x = -2, maka terdapat ......, -5 , -4 , -3 , -2 yang semuanya lebih
kecil atau sama dengan -2, dan diantara barisan bilangan tersebut, bilangan bulat -2
yang terbesar sehingga [ ] 22 −=− .
Jadi :
[ ] 36,3 = , sebab bilangan 3 adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari 3,6
[ ] 24,1 −=− , sebab bilangan -2 adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari -
1,4
Demikian juga [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 00;3;12;13,0;03,0 ===−=−= π Untuk menggambarkan grafik fungsi ( ) [ ]xxf = , perhatikan langkah=langkah berikut : [ ] ,1, +<≤= nxnjikanx n bilangan bulat. Jika dipilih n = -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , diperoleh :
| n – 2
| n – 1
| n
| x
| n + 1
| n + 2
[ ]↓
x
. . . . . .
[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) 33433
223221121100100
1101122122
=⇒=⇒<≤⇒==⇒=⇒<≤⇒==⇒=⇒<≤⇒==⇒=⇒<≤⇒=−=⇒−=⇒<≤−⇒−=−=⇒−=⇒−<≤−⇒−=
xfxxnxfxxnxfxxnxfxxnxfxxnxfxxn
Jadi ( ) [ ]
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+<≤
<≤<≤<≤<≤
<≤−−−<≤−−
==
1jika,
43jika,332jika,2
21jika,110jika,0
01jika,112jika,2
nxnn
xx
xx
xx
xxf
LLLLL
LLLLL
grafiknya digambarkan pada gambar 2.39
2.5 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 2.5.1 Fungsi Komposisi (Fungsi Bersusun) Misalkan f dan g dua fungsi yang didefinisikan sebagai berikut :
f : A → B dan g : B → C,
Jika Rf ∩ Dg ≠ ∅ , maka terdapat fungsi h : A → C yang merupakan fungsi komposisi dari f
dan g ( f dilanjutkan g) yang ditulis gof dan aturannya ditentukan oleh :
h(x) = (g οf)(x) = g(f(x))
Daerah asal dan daerah hasil fungsi komposisi gof masing-masing adalah :
x• f(x)
g o f
g(f(x))
gambar 2.5.1
f >
g >
1 2 3
1
2
3
-1 -2 -3 -1
-2
-3 Grafik ( ) [ ]xxf =
x
y
Gbr. 2.4.5b
Dg ο f = {x∈A | f(x)∈ B}={x ∈ Df |f(x) ∈ Dg},
dan
Rg ο f = {y∈C | y = g(t), t∈Rf }
Dalam hal ini Dgof adalah himpunan bagian dari Df. Selanjutnya, fungsi komposisi fog
dirancang serupa, dengan f dan g saling bertukar peran.
Misalnya Rg ∩ Df ≠ ∅, maka fungsi komposisi dari f dan g (g dilanjutkan f) ditulis fog dan
aturannya ditentukan oleh
(fog ) (x) = f ( g(x) )
Daerah asal dan derah hasil fungsi komposisi fog masing-masing adalah
Dfog = { x ∈ Dg | g(x) ∈ Df } dan
R fog = { y ∈ Rf | y = f(t), t ∈ Rg }
Dalam hal ini Dfog adalah himpunan bagian dari Dg.
Catatan f o g ≠ g o f
Contoh :
Tentukan fungsi komposisi fοg; gοf dan tentukan pula daerah definisi fungsi komposisi dari
fungsi-fungsi berikut:
41)(,5)(−
=+=x
xgxxf
Penyelesaian : :
4
1)(,5)(−
=+=x
xgxxf
(i). ( ) 54
14
1)()( +−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−==
xxfxgfxgf o
fungsi komposisinya dijamin oleh :
[ ] ),(),0()0,( ∞−∞∩∞∪−∞=∩ fg DR = { } ∅≠− 0R
( )fggf DxgDxD ∈∈= )(o = { }0≠∈ xRx
(ii). ( ))()( xfgxfg =o = )5( +xg
= 1
1+x
, fungsi komposisinya dijamin oleh :
{ } ∅≠≠∈=∩ 0xRxDR gf
{ }gffg DxfDxD ∈∈= )(o { }gf DxDx ∈+∈= 5
{ }45 ≠+∈= xDx f
= { }1−≠∈ xDx f
2.5.2 FUNGSI INVERS (FUNGSI BALIKAN) Perhatikan kembali definisi fungsi satu-satu pada pembahasan yang lalu. Jika
f: :A→ B suatu fungsi dari A ke B. f dikatakan “fungsi satu-satu” jika dan hanya jika untuk
setiap dua elemen x1, x2 ∈ A , x1≠ x2 mengakibatkan f(x1) ≠ f( x2). Dengan kata lain f
dikatakan fungsi satu-satu jika hanya jika tidak terdapat dua elemen berlainan dalam daerah
asal yang memiliki pemadanan (peta) yang sama dalam daerah nilai.
Secara geometri, grafik fungsi satu-satu dapat diperiksa dengan menarik garis
mendatar sejajar sumbu x. Setiap garis mendatar y = k , k ∈ Rf, hanya memotong grafik
fungsi di satu titik. Fungsi f bersifat satu-satu (one-to-one function) menjamin adanya
fungsi invers (fungsi balikan ) f –1.
Teorema :
Jika f adalah fungsi satu-satu , maka terdapat satu dan hanya satu fungsi g yang terdefenisi
pada range (daerah nilai) f dan memenuhi persamaan ( ) fRxxxgf ∈∀= ,)(
Fungsi g pada teorema 2.5 selanjutnya disebut inverse dari f dan dinotasikan f -1.
Jika f adalah fungsi satu-satu, maka terdapat satu dan hanya satu fungsi g yang terdefinisi
pada range f dan memenuhi persamaan f(g(x) ) = x, ∀x∈ Rf. Fungsi g pada teorema diatas
selanjutnya disebut inverse dari f dan dinotasikan oleh f -1.
• y f(x)
x•
y = f(x)
A B f
• y x• f -1(y)
x = f -1 (y)
A B f -1
gambar 2.5.2
Contoh: Carilah inversi dari f yang mempunyai aturan : 3)( xxf = .
Penyelesaian : :
( ) xxff =− )(1 karena 3)( xxf = , maka
( ) ( ))()( 11 xfxff −− =
( ) xxf =⇒ − 31 )(
311 )( xxf =⇒ −
2.5 Fungsi Transenden Fungsi yang dibahas pada uraian terdahulu adalah fungsi-fungsi Aljabar. Selanjutnya,
fungsi yang bukan fungsi aljabar disebut fungsi transenden, meliputi fungsi trigonometri dan
inversnya, fungsi logaritma dan inversnya.
2.6.1 Fungsi Trigonometri
Misalkan bahwa sebuah lingkaran satuan yang berpusat di titik asal 0 dengan jari-jari
1 dalam koordinat kartesian, sebuah sudut θ (dalam satuan derajat) diperoleh dengan
memutar (berlawanan arah jarum jam) dari lingkaran tersebut dari titik (1,0) pada sumbu-x
yang panjangnya u (dalam satuan radian) untuk lengkungan tempuhnya. Karena panjang
busur lingkaran satuan adalah π2 , maka
πθπ
θ 2360
,2
360o
o =×= uatauu
Perhatikan suatu titik P(x,y) pada sistem koordinat kartesian, ditransformasi menjadi titik
P’(u,r) pada sistem koordinat kutub (polar), maka diperoleh hubungan persamaan:
sin u = uryry sin=⇔
cos u = urxrx cos=⇔ ;
r = jari-jari lingkaran yang berpusat di titik asal 0
Apabila dipilih sebuah lingkaran satuan (r =1), diperoleh hubungan :
sin u = y; tan u = xy
uu=
cossin ; sec u =
xu1
cos1
=
cos u = x ; cot u = yx
uu=
sincos ; cosec u =
yu1
sin1
=
Pilih sudut θ yang bersesuaian dengan u, P disebut titik tunggal pada lingkaran satuan
dengan pusat 0. Perhatikan bahwa titik P’(u,r) pada lingkaran satuan di atas berpadanan
dengan radian u, dan juga berpadanan dengan tiap bilangan (u+k.2π) dengan k bilangan
bulat sembarang sehingga berlaku :
y = sin u = sin(u+2kπ)
x = cos u = cos(u+2kπ) ; k = 0,±1, ±2, ……
Ini berarti nilai-nilai fungsi trigonometri berulang dalam selang-selang kelipatan 2π. Oleh
karena itu fungsi trigonometri disebut periodik. Suatu fungsi f disebut periodik jika terdapat
suatu bilangan positif p sedemikian sehingga:
f(x+p) = f(x), untuk setiap x ∈Df
bilangan positif p terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut “periodik fungsi”.
Fungsi Sinus, Cosinus, Secan, Cosecan mempunyai periode 2π. Fungsi tangen dan cotangen
mempunyai perioda π.
2.6.2 Grafik Fungsi Trigonometri
1. Grafik y = sin x dan y = cos x
0
-1
1 cos x sin x
π/2
π 3π/2 2π -π/2 -π -3 /2
-2π
gambar 2.6.2a
y
x
y
u-
P(x y)=P(cosu sin u)
1
r =1
x0
Lingkaran
Gambar Koordinat Kartesian
yθ
2. Grafik y = tan x
Contoh :
Tentukan perioda kemudian gambar grafik dari fungsi f(x) = 3 sin (1/2)x
Penyelesaian : :
a. f(x) = 3 sin (1/2)x; karena sin x mempunyai perioda 2π, berarti sin(1/2)x mempunyai
perioda 4π, berarti f(x) = 3sin(1/2)x berperioda 4π
f(x) memotong sumbu x jika 3 sin(1/2)x = 0, yaitu untuk x = 0, ±2π, ±4π, ±6π,…
f(x) mencapai maksimum 3 bila x = π ± 4kπ, k = 0, ± 1, ± 2, ……
f(x) mencapai minimum -3 bila x = -π ± 4kπ, k = 0, ± 1, ± 2, ……
Gambar Grafik sebagai berikut:
2.6.3 FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI
Telah dijelaskan pada uraian terdahulu bahwa fungsi-fungsi yang mempunyai invers
adalah fungsi satu-satu atau fungsi monoton (naik/turun). Fungsi trigonometri adalah fungsi
periodik sehingga tidak bersifat satu-satu. Namun kita dapat membatasi domainnya (memilih
interval) dimana fungsi trigonometri tersebut bersifat satu-satu.
0
-1
1
π/2 3π/-π/2 -π - π
gambar 2.6.2b
0
-3
3 3sin (1/2)x
π 2π 3π 4π -π -2π -3π -4π
gambar 2.55
Perhatikan fungsi sinus dalam domain [-π/2 ,π/2] bersifat satu-satu (monoton naik), maka
fungsi sinus dalam domain [-π/2,π/2] mempunyai fungsi invers.
Definisi 2.6 :
Misalkan y = f(x) = sin x bersifat satu-satu dalam suatu selang, maka:
y = sin x jika hanya jika x = arcsin y atau ditulis:
y = sin x ⇔ x = arcsin y
(baca: x sama dengan arkus sinus y yang merupakan fungsi invers sinus dinotasikan
f –1(x) = arcsin x)
Jadi
y=sin x ⇔ x = arcsin y atau
f(x)=sin x ⇔ f -1(x) = arcsin x
Perhatikan kembali:
y = f(x) = sin x ⇔ x = f –1(y) = arcsin y, dengan menukarkan variabel y dengan x
diperoleh : x = f –1(x) = arcsin x atau sering ditulis f –1(x) = sin –1(x)(baca: arkus sinus x)
Catatan
Tanda pangkat (-1) adalah pengertian arkus atau invers dan bukannya xsin1
Karena fungsi sinus kontinu dan monoton naik pada selang tutup [-π/2,π/2], maka fungsi
invers sinus juga kontinu dan monoton naik pada selang tertutup [-1,1]. Perhatikan grafik
berikut:
π/2 -π/2
-1
1 y
x
y =sin x
y = x
π/2
π/2
-1 1
y
x
y =sin-1
Df = [-π/2,π/2] Rf = [-1,1]
Df–1 =[-1,1]
Rf -1 = [-π/2,π/2]
gambar 2.6.3
y = x
Perhatikan kedua grafik di atas :
1. Domain fungsi sinus merupakan range fungsi invers sinus dan sebaliknya.
2. Grafik arcsin x dan sin x merupakan pencerminan terhadap garis y = x
Dengan metode yang serupa di atas kita dapat menentukan fungsi invers kosinus. Fungsi
invers cosinus kontinu dan monoton turun pada selang tertutup [0,π], maka ia mempunyai
invers yaitu Arkus Cosinus yang disebut fungsi invers cosinus.
Jadi y = cos x ⇔ x = arccos y yang dinotasikan f –1(x) = arccos x yang
merupakan fungsi invers cosinus.
Daerah definisi fungsi invers cosinus adalah [-1,1] dan daerah hasilnya (Range) adalah
[0,π], gambar grafik sebagai berikut:
Grafik f dan f -1 simetri terhadap garis y = x. Perhatikan bila kedua grafik di atas
digambar dalam satu sumbu sebagai berikut:
x
-1
1
y
π/2 0
y =cos x
π
Df = [0,π] R [ 1 1]
x
π/2
y =arccos x
π
-1 1
y
0
Df–1 =[-1,1]
Rf -1 = [0,π]
gambar 2.6.3a
x
π/2y =arccos x
π
1 10 π/2 π
y = x
y = cos x
1
gambar 2 6 3b
2.6.4 Fungsi Logaritma Dan Fungsi Eksponen
2.6.4.1 Fungsi Logaritma Asli
Logaritma basis a dari suatu bilangan x ditulis alog x atau logax a>0, a ≠ 1
Logaritma basis 10 ( a = 10) dari suatu bilangan x ditulis log x, disebut logaritma biasa.
(basis 10 tidak ditulis)
Logaritma basis e ( e ≈ 2,71828) dari suatu bilangan x ditulis ln x, disebut logaritma asli.
Sekarang kita akan membahas fungsi logaritma asli.
Definisi :
Fungsi logaritma asli didefinisikan sebagai:
ln x = 0;1
1
>∫ xdtt
x
daerah definisi adalah semua bilangan riil positif. Karena 01>
t, ∀ t > 0 maka:
⎪⎩
⎪⎨⎧
<<=
>=
1010
1ln
xuntuknegatifbernilaixuntukbernilai
xuntukpositifbernilaix
grafik y = ln x memotong sumbu x hanya dititik (1,0), di sebelah kanan titik (1,0), grafiknya
berada di atas sumbu x dan di sebelah kiri titik (1,0), grafiknya berada di bawah sumbu x.
Lengkungan grafiknya kontinu, monoton naik dan cekung ke bawah.
Sifat-Sifat Logaritma Asli
Misalkan a dan b bilangan positif dan n bilangan rasional sembarang maka berlaku:
y = ln x y
x
(1,0) 2 3 4
1
2
Df = (0,∞)
Rf = (-∞,+∞)
gambar 2.6.4
0
1. ln 1 = 0 ; karena ln 1 = 011
1
=∫ dtt
2. ln ab = ln a + ln b
3. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
baln = ln a - ln b
4. ln an = n ln a
Definisi 2.8 :
(i.) Persamaan ln x = 1 mempunyai Penyelesaian : tunggal yang dinyatakan oleh e, yaitu:
ln e = 1
e = 2,71828182845… (nilai hampiran)
e disebut bilangan Euler (Leonard Euler)
(ii.) Jika x bilangan riil maka ex bilangan tunggal yang memenuhi : ln ex = x, x∈ℜ
Contoh :
Gunakan sifat-sifat logaritma asli untuk menyederhanakan fungsi: 54
2ln)(x
xxf −=
Penyelesaian : :
( )44
51
45
4 ln)2ln(512ln
512ln2ln xx
xx
xx
xx
−−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ − xx ln54)2ln(
51
−−=
2.6.4.2 Fungsi Logaritma Dengan Basis Bukan e
Fungsi logaritma dengan basis a ditulis:
y = f(x) = alog x atau y = alog x dengan a > 0 dan a ≠ 1
Pada pembahasan lebih lanjut akan ditunjukkan bahwa :
y = alog x ⇔ y = ax
Sifat-Sifat
Misalkan x dan y bilangan positif dan n bilangan rasional sembarang maka berlaku:
1. alog 1 = 0
2. alog xy = alog x + alog y
3. alog yx = alog x - alog y
4. alog xn = n alog x
5. alog x = 1,0;1,0;lnln
loglog
≠>≠>= ppaaax
ax
p
p
2.6.4.3 Fungsi Eksponen
Definisi :
Fungsi eksponen didefinisikan sebagai :
f(x) = ex atau y = ex, x∈ℜ dengan domain (-∞,+∞) dan rangenya adalah
(0,+∞)
Teorema :
y = ex ⇔ x = ln y
Bukti:
⇒ y = ex ⇒ ln y = ln ex = x ln e = x
Jadi y = ex ⇒ x = ln y ……… (1)
⇐ jika x = ln y ⇒ ln ex = ln y ⇒ ex = y
Jadi x = ln ⇒ y = ex ……… (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
y = ex ⇔ x = ln y
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan
bahwa :
“fungsi eksponen saling invers dengan fungsi
logaritma”
Jadi :
Jika f(x) = ln x ⇒ f –1(x) = ex
Jika f(x) = ex ⇒ f –1(x) = ln x
ln (ex) = x, untuk x∈ℜ
eln x = x, untuk x > 0
Sifat-Sifat Eksponen
Jika a dan b bilangan riil sembarang, maka berlaku:
1. e0 = 1 2. eaeb = ea+b
1
1
0 2 3 -1 -2 x
y y = x
y = ln x
y = ex
Gambar. 2.6.4.3
y =ex
3. babab
a
eeeee −− ==
4. ( ) abba ee =
5. eaeb = ea+b
6. babab
a
eeeee −− ==
7. ( ) abba ee =
2.6.4.4 Fungsi Eksponen Basis Bukan e
Definisi :
Jika a bilangan positif dan x bilangan riil, maka fungsi f dengan persamaan:
f(x) = ax atau y = ax disebut fungsi eksponen basis a
Batasan :
axx aa ln= y = alog x ⇔ x = ay dengan a>0 , a ≠ 1, dan y positif
Jika y = alog x maka ay = xa
a log , tetapi ay = x berarti xa
a log = x dengan a>0
Jika y = ln x maka a = ey = eln a, jika keduanya dipangkatkan x diperoleh:
( ) jadieea axxax lnln ==
Sifat-Sifat
Jika a dan b bilangan positif dan dan x, y bilangan riil, maka berlaku:
a0 = 1 4. axay = ax+y yxyx
y
x
aaaaa −− == 5. ( ) xyyx aa =
axbx = (ab)x
T U G A S 2. A. Untuk soal no 1 sampai dengan no 6, tentukan daerah asal dan daerah hasil/daerah nilai
dari setiap fungsi berikut.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )x
xxf x
xf
xxxxf
xxf
xxfxxxf
−=
−=
−−
=−
=
−=−−=
1).6
11).5
12).4
11.).3
sin21).223).1
3
2
2
B. Untuk setiap fungsi berikut, tentukan apakah fungsi genap atau fungsi ganjil atau bukan
fungsi genap dan bukan fungsi ganjil.
( ) ( ) ( ) 13211).75). 243 +−=
+−
=−= xxxf c) xxxfbxxxfa
C. Tentukan aturan fungsi f + g ; f – g dan f/g dari fungsi-fungsi berikut, kemudian
tentukan pula daerah asal dari hasil operasinya.
( ) ( ) ( ) ( ) 1;).1;5). 22 +==−=−= xxgxxfbxxgxxfa
D. Gambarkan grafik fungsi berikut:
1. ( ) xxf 2= 2. ( ) [ ] 22; ≤≤−−= xxxf 3. ( ) ( ) xxxfdanxxxf ==
4. ( ) [ ] ( ) [ ]xx
xfdanxx
xf == 5. ( ) xxf sin=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−
≥−
=5,25
5||,5||)(
2 xjikax
xjikaxxf 7.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−<<+≤
=2,120,1
0,1)(
2 xxxx
xxf
E. Periksa apakah pada soal 1 – 9 adalh fungsi satu-satu dan jika dia adalah f satu-satu
carilah inversnya.
1. 35)( += xxf 2. 21)( xxf −= 3. 1)( 5 += xxf
4. 53
)( xxf = 5. xxxf =)( 6. 2
11)( −−
=x
xf
BAB III PENUTUP
Keberhasilan mahasiswa memahami konsep fungsi real secara umum akan
memudahkan mahasiswa tersebut dalam mempelajari matematika lanjutan seperti
matematika dasar 2 dan lebih mudah untuk menerapkan pada bidang ilmu lain
DAFTAR PUSTAKA
4. Dale Varberg & Edwin J. Purcell (1999) ”Calculus with Analytic Geometry” Sixth
Edition. Prentice-Hall, International, Inc. New Jersey.
5. James Stewart (2000) “ Kalkulus”. Edisi Keempat. Erlangga. Jakarta.
6. Lois Leithold (1987). “Kalkulus & Ilmu Ukur Analitik”. Edisi Pertam. PT.Bina Aksara.
Jakarta.
MODUL 3
Judul : Limit Fungsi dan Kontinutas BAB I. Pendahuluan
I. Latar Belakang
Modul ini akan dibahas limit fungsi dan kontinutas suatu fungsi yang sangat
berkaitan dengan modul berikut yaitu modul tentang turunan fungsi.
Pada kegiatan modul 3 ini akan dibahas secara detail mengenai definisi
limit fungsi baik secara intuitif maupun secara formal dan teknik-teknik
menghitung limit fungsi dan dilanjutkan pengertian kontinutas suatu fungsi yang
sangat erat kaitannya dengan limit fungsi.
J. Ruang Lingkup Isi
Adapu ruang lingkup materi modul 3 ini meliputi : Definisi limit fungsi ,
limit kiri dan limit kanan suatu fungsi, kontinutas suatu fungsi, kontinu kiri dan
kontinu kanan serta kontinu selang pada suatu fungsi.
K. Kaitan Modul
Modul ini merupakan konsep bagi modul berikutnya dan sangat berkaitan
dengan modul sebelumnya yang mana mahasiswa dapat memahami konsep limit
dan kontinutas suatu fungsi yang akan digunakan pada modul berikutnya.
L. Sasaran Pembelajaran
1. Mahasiswa dapat menulis seraca tepat definisi limit secara formal
2. Mahasiswa dapat menghitung nilai δ bila nilai ε ditentukan dengan
menggunakan definisi limit
3. Mahasiswa dapat menghitung nilai limit suatu fungsi
4. Mahasiswa dapat menentukan kekontinuan suatu fungsi
BAB II. Pembahasan
2.1 Limit Fungsi Di Suatu Titik 2.1.1 Pengertian Intuitif
Untuk memahami pengertian limit fungsi pada suatu titik , pandang sebuah fungsi
yang didefinisikan seperti berikut ini :
( )113
−−
=xxxf
Fungsi f jelas tidak terdefinisi dititik x = 1 , karena pada titik tersebut nilai fungsi adalah 00 .
Tetapi pertanyaan yang mungkin timbul adalah “ bagaimana nilai f(x) disekitar x = 1 ?” .
Apakah f(x) “ mendekati “ nilai tertentu bila x “ mendekati ” 1 ?. Istilah “mendekati “ disini
menggunakan pengertian ukuran jarak dua titik pada garis yang dinyatakan dalam “nilai
mutlak”. Untuk menjawab pertanyaan tersebut , ada beberapa hal yang dapat dilakukan , dua
diantaranya adalah :
1. Menghitung nilai-nilai f untuk x yang mendekati 1, seperti yang dinyatakan pada tabel 1.
Tabel 1: Nilai f disekitar x = 1.
X 0,75 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1,25
113
−−
xx
2,313 2,70 2,970 2,997 ? 3.030 3,310 3,813
Tabel 1 menunjukkan bahwa nilai f(x) akan mendekati 3 apabila x dibuat cukup dekat
dengan 1. Dengan kata lain, jika x mendekati 1 dan 1≠x maka f(x) mendekati 3. Jadi , f
dapat dibuat sedekat mungkin ke 3 dengan cara mengambil nilai x cukup dekat ke 1, tetapi
1≠x .
2. Sketsa grafik )(xfy =
Grafik 113
−−
=xxy ditunjukkan dengan gambar 1 berikut :
Definisi 1. (Pengertian Secara Intuisi) Fungsi “f mempunyai limit L pada titik x = a” berarti bahwa f(x)
mendekati L apabila x cukup dekat (tetapi berbeda) dengan a,
dan ditulis :
Lf )(li
f(x) 3 f(x) 1
gambar 1
Grafik f terpotong di x = 1 (ditandai dengan bulatan kosong “0”) menunjukkan nilai
f(1) tidak ada (f tidak terdefinisi di x = 1). Meskipun demikan , dari grafik tersebut terlihat
bahwa apabila x semakin mendekati 1, nilai f(x) semakin mendekati 3.
Informasi yang diperlukan dari bagian. 1 dan 2. adalah :
o ( )113
−−
=xxxf mendekati 3 jika x mendekati 1 , 1≠x atau
o Jarak ( )113
−−
=xxxf ke- 3 dapat dibuat sedekat mungkin dengan cara membuat jarak
x ke-1 cukup dekat , 1≠x atau
o 3113
−−−
xx dapat dibuat sekecil mungkin dengan cara membuat 1−x cukup kecil
pula , dengan 1≠x .
Informasi-informasi tersebut dalam notasi matematika dinyatakan sebagai :
311lim
3
1=
−−
→ xx
x
disebut “limit untuk x mendekati 1 dari 113
−−
xx adalah 3.
Pengertian limit secara umum dinyatakan dalam definisi berikut :
Jika pengertian “dekat” dalam definisi 1, menggunakan ukuran bilangan ε dan
δ (yang cukkup kecil), maka definisi limit dapat pula dinyatakan sebagai berikut:
Definisi 2. (Pengertian formal)
Misalkan a adalah sebuah titik dalam selang buka I, dan f fungsi yang
terdefinisi pada setiap titik di dalam I, kecuali mungkin di titik a sendiri.
“Limit fungsi f di titik a adalah L” dan dinotasikan sebagai: Lxfax
=→
)(lim jika dan
hanya jika untuk setiap bilangan ε positif (bagaimanapun kecilnya) selalu dapat
ditentukan bilangan δ positif sedemikian sehingga jika 0 < ax − < δ maka
Lxf −)( < ε.
Penjelasan secra geometri, diperlihatkan pada gambar 2.
gambar 2 : Interpretasi geometri limit fungsi
a| f(x)-L | < ε
x
f(x)
LL-ε
L+ε
a
Sehingga 0 < | x-a | < δ
x
f(x)
L
C-δ
a
terdapat δ > 0
x
f(x)
L
δ δ
a
Untuk setiap 0>ε
x
f(x)
L { {
ε ε
Jadi yang pertama diberikan adalah bilangan ε, sedangkan δ ditentukan kemudian dan
pada umumnya bergantung pada ε.
Contoh :
Buktikan bahwa :
5)73(lim4
=−→
xx
Analisis awal :
Kita akan menunjukkan bahwa untuk setiap bilangan ε > 0 (bagaimana pun kecilnya),
dapat ditentukan δ > 0 sedemikian sehingga apabila
( ) εδ <−−⇒<−< 57340 xx
Pandang ketaksamaan pada ruas kanan
( ) εε <−⇔<−− 123573 xx
( ) ε<−⇔ 43 x
ε<−⇔ 43 x
4
4 ε<−⇔ x
Jadi pilih 4εδ = (atau bilangan lain yang lebih kecil)
Bukti Formal :
Ambil ε > 0 sebarang, pilih 4εδ = (atau bilangan lain yang lebih kecil)
Akibatnya ,
Jika δ<−< 40 x
maka
( ) ( ) εδ =<−=−=−=−− 34343123573 xxxx
Jadi terbukti 5)73(lim4
=−→
xx
gambar 3
2.1.2 Limit Kiri dan Limit Kanan (Limit Sepihak)
Sebelum kita membahas konsep “Limit kiri” dan “limit kanan”, perhatikan dengan
seksama fungsi f beserta grafik pada contoh berikut :
Contoh :
⎩⎨⎧
<−>
==0,10,1
||)(
xx
xxxf
fungsi f ini terdefinisi pada semua bilangan real kecuali di x = 0 jadi Df = R – {0}.
Sebagaimana halnya pada contoh di atas, maka berikut ini kita amati perilaku fungsi
f(x) =|| x
x disekitar x = 0. Bilamana x cukup dekat ke 0, maka f(x) tidak mendekati suatu
nilai tertentu, sehingga kita katakan
||lim)(lim
00 xxxf
xx →→= tidak ada .
2 x
f(x)
{{
ε ε
δ = 2ε
52
232lim2
2=
−−−
→ xxx
x
ε ε
4 ( 3ε ) ( 3
ε )
( ) 573lim4
=−→
xx
2
-2
-1
1
0
y
x
f(x) = || x
x Gambar 4
• Akan tetapi, bilamana x mendekati 0 dari arah kanan (dari arah nilai-nilai x yang
besar dari 0), maka f(x) akan mendekati 1. dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi x
mempunyai “limit kanan” di 0 dengan nilai limit kanan 1, ditulis
1||
lim)(lim00
==++ →→ x
xxfxx
• Demikian juga bilamana x mendekati 0 dari arah kiri (dari arah nilai-nilai x yang
lebih kecil 0), maka f(x) akan mendekati bilangan -1. Dalam hal ini kita katakan
bahwa fungsi f mempunyai “limit kiri” di 0 dengan nilai limit kiri adalah -1, ditulis
1||
lim)(lim00
−==−− →→ x
xxfxx
Dari kenyataan ini kita definisikan limit kanan dan limit kiri sebagai berikut :
Definisi Limit Kanan
Misalkan f sebuah fungsi paling sedikit terdefinisi pada selang terbuka (a,b), maka limit kanan f dititik a ditulis sebagai:
Lxfax
=+→
)(lim atau f(x) → L bila x → a+
jika ∀ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga
0< x - a < δ ⇒ | f(x) - L | < ε.
Perhatikan bahwa 0< x–a <δ mengakibatkan x > a yang berarti x terletak disebelah kanan a.
Definisi Limit Kiri
Misalkan f sebuah fungsi paling sedikit terdefinisi pada selang terbuka (c,a), maka limit kiri
f dititik a ditulis sebagai:
Lxfax
=−→
)(lim atau f(x) → L bila x → a -
jika ∀ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga
0< a – x < δ ⇒ | f(x) - L |< ε.
Perhatikan bahwa 0< a–x <δ mengakibatkan x < a yang berarti x terletak disebelah kiri a.
Perhatikan gambar di bawah ini yang memperlihatkan situasi geometri untuk limit kanan
dan limit kiri
Bandingkan kedua definisi dari situasi geometri di atas dengan definisi limit fungsi f di
titik a.
Lxfax
=→
)(lim jika ∀ε > 0 , ∃ δ > 0
sehingga
0 < | x – a | < δ ⇒ | f(x) – L | < ε
Bila x → a+ , maka x > a. Akibatnya x – a > 0, sehingga | x – a | = x – a, yang bila digantikan
pada definisi limit akan menghasilkan defenisi limit kanan. Demikian juga bila x → a- ,
maka x < a. Akibatnya x – a < 0, sehingga | x – a | = a – x, yang bila digantikan pada definisi
limit akan menghasilkan definisi limit kiri.
Catatan
1. Semua sifat-sifat limit fungsi disuatu titik berlaku juga untuk limit sepihak bilamana x
→ a diganti x → a+ atau x → a-.
2. Jika )(lim xfax +→
atau )(lim xfax −→
tidak ada, maka )(lim xfax→
juga tidak ada.
3. Jika fungsi f terdefinisi pada selang terbuka (c,d) maka
)(lim xfcx +→
ditulis )(lim xfcx→
, dan )(lim xfdx −→
ditulis )(lim xfdx→
.
Berdasarkan catatan nomor 3, maka dapat dipahami bahwa :
0lim0
=→
xx
karena f terdefinisi pada Df = [ 0, ∞ ) yang berarti f terdefinisi pada interval buka (0,∞),
sehingga
)(lim0
xfx +→
ditulis )(lim0
xfx→
= 0.
f
b a x
f(x)
L
y
0 Limit Kanan fungsi f di a
y
0 x
f(x)
a c
L
f
Limit Kiri fungsi f di a
gambar 5a gambar 5b
Hubungan antara limit fungsi di suatu titik dengan limit kiri dan limit kanannya di titik
tersebut diberikan dalam teorema berikut :
Teorema 1 :
Lxfxfxfaxaxax
==⇔−+ →→→
)(lim)(lim)(lim
Catatan
Teorema ini menyatakan bahwa limit kiri dan limit kanan fungsi f di a dapat dihitung dengan
cara menghitung limit fungsinya di a, asalkan limit fungsi tersebut ada.
Teorema 2 :
Jika )(lim 1Lxfax
=−→
dan 2)(lim Lxfax
=+→
dengan 21 LL ≠ , maka )(lim xfax→
tidak ada.
Contoh :
Diberikan fungsi ⎩⎨⎧
>≤= 1;2
1;)(2
xxxxf
Tunjukkan bahwa )(lim1
xfx→
tidak ada, dan gambar grafiknya.
Penyelesaian :
Untuk menghitung limit kiri dari f digunakan persamaan :
1;)( 2 ≤= xxxf
(domain dari f di sebelah kiri dari 1). Sebaliknya untuk menghitung limit kanan dari f
digunakan persamaan 1;2)( >= xxf . Sehingga
1lim)(lim 2
11==
−− →→xxf
xx
sedangkan
22lim)(lim11
==++ →→ xx
xf .
Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka disimpulkan bahwa )(lim1
xfx→
tidak ada.
0 1-1
y
x
2.2 Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga 2.2.1 Limit di Tak Hingga
Pandang sebuah fungsi yang didefinisikan sebagai berikut :
( ) 21 xxxf+
=
grafiknya di perlihatkan pada gambar 3.4.
gambar 7
Pertanyaan yang mungkin timbul adalah : “Berapa nilai ( )xf apabila x makin besar dan
makin besar ?”.
Notasi matematika untuk jawaban pertanyaan tersebut adalah ( )xfx ∞→lim
Pada Tabel 2, kita mempunyai daftar nilai-nilai ( )xf untuk beberapa nilai x.
Tampak bahwa ( )xf mengecil dan makin mendekati 0 (dari kanan) bilamana x membesar
dan makin membesar. Berdasarkan nilai pada Tabel tersebut, kita tulis:
1 0
1
2
-1 x
y
y = 2
y =
Gambar 6
01
lim 2 =+∞→ xx
x
Apabila x membesar ke arah negatif, maka ( )xf makin mendekati 0 (dari kiri), dan di tulis :
01
lim 2 =+∞−→ xx
x
Tabel 2
x 21 xx+
10
100
1000
10000
(x)
0,099
0,010
0,001
0,0001
?
Definisi 3 (Limit untuk ∞→x )
Misalkan f terdefinisi pada )[ ∞,c untuk suatu ℜ∈c . Limit ( )xf adalah L
bilamana x membesar tanpa batas, dan ditulis sebagai :
( ) Lxfx
=∞→
lim
Jika 0,0 >∃>∇ Mε sedemikian sehingga ε<−⇒> LxfMx )(
Gambar 3.4, diharapkan dapat membantu pemahaman mengenai definisi 3.
Definisi 4 (Limit untuk −∞→x )
Misalkan f terdefinisi pada ]c,( ∞− Suatu ℜ∈c . Limit ( )xf adalah L bilamana x
mengecil tanpa batas, dan ditulis sebagai :
( ) Lxfx
=∞−→
lim
Jika ∃>∇ ,0ε bilangan M sedemikian sehingga ε<−⇒< LxfMx )(
Contoh :
Tunjukkan (dengan definisi) Bahwa jika k adalah bilangan bulat
positif, maka:
01lim =∞→ kx x
Penyelesaian :
Analisis awal :
Apabila diberikan bilangan 0>ε sebarang, akan ditentukan bilangan M > 0 sedemikian
sehingga jika Mx > maka ε<=− kk xx101 karena
Mx11
< jadi kk Mx11
<
Pilih M > 0 sedemikian sehingga ε=kM1
Bukti formal :
Ambil 0>ε sebarang
Pilih kM ε1=
Maka Mx > berakibat ε=<==− kkkk Mxxx11101
Jadi terbukti 01lim =∞→ kx x
.
Penentuan limit fungsi untuk ∞→x atau −∞→x dengan menggunakan definisi di
atas umumnya rumit dan terkadang sulit untuk dilakukan. Rumus-rumus limit yang
disajikan sebelumnya, berlaku umum sehingga dapat digunakan dalam menentukan limit di
tak hingga. Berikut ini diberikan contoh-contoh menghitung limit di tak hingga tanpa
menggunakan definisi.
2.2.2 Limit Tak hingga
Pandang grafik ( ) 0;1≠= x
xxf sebagaimana diperlihatkan pada gambar 3.4
Nilai-nilai ( )xf untuk beberapa nilai x yang mendekati nol (baik dari kiri maupun dari kanan) pada tabel 3.
Tabel 3 : Nilai f(x) disekitar x = 0.
x 21
101
100001
10000001 →… 0 …←
10000001−
100001−
101− 2
1−
f(x) 2 10 10000 1000000 →… ? …← -100000
0
-10000
-10 -2
Dari tabel 3, terlihat bahwa : Nilai f(x) akan semakin membesar tanpa batas, bilaman x
semakin dekat ke 0 dari arah kanan , dalam hal ini dikatakan
∞+=+→
)(lim0
xfx
Nilai f(x) akan semakin mengecil tanpa batas, bilaman x semakin dekat ke 0 dari arah kiri ,
dalam hal ini dikatakan
∞−=−→
)(lim0
xfx
Jadi limit kanan f(x) dan limit kiri f(x) pada x =0 dikatakan tidak ada.
Catatan Lambang -∞ dan +∞ bukan bilangan
Jadi xx
1lim0→
tidak ada.
Untuk menyatakan nilai limit seperti kasus di atas, akan diberikan definisi berikut ini :
Definisi 5 :
Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat a , kecuali
mungkin pada titik a sendiri, maka :
(i) limit ( )xf dikatakan “membesar tanpa batas” (+∞) bilamana x mendekati a, ditulis sebagai:
∞+=→
)(lim xfax
jika ∀M > 0, ∃ δ > 0 sedemikian sehingga Mxfax >⇒<−< )(0 δ .
(ii) Limit f(x) dikatakan “mengecil tanpa batas” (-∞) bilamana x mendekati a, ditulis sebagai:
∞−=→
)(lim xfax
jika ∀M > 0, ∃ δ >0 sedemikian sehingga Mxfax −<⇒<−< )(δ0 .
Sebagai ilustrasi perhatikan contoh-contoh berikut :
Perhatikan grafik dan limit fungsi f di sekitar x = 1 berikut :
a. +∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+→ 11lim
1 xx
−∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−→ 11lim
1 xx
maka disimpulkan bahwa
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−→ 11lim
1 xx tidak ada
b. −∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
+→ 11lim
1 xx
+∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
+→ 11lim
1 xx
maka disimpulkan bahwa
y
x 0 1
1;1
1>
−x
x
1;1
1<
−x
x
Gambar 8
y
x 0 1
1;1
1>
−− x
x
1;1
1<
−− x
x
gambar 9
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
→ 11lim
1 xx tidak ada
c. ( )
+∞=−+→ 21 11lim
xx
( )
+∞=−−→ 21 11lim
xx
maka disimpulkan bahwa :
( )
+∞=−→ 21 11lim
xx
d. ( )
−∞=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
+→ 21 11lim
xx
( )−∞=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−→ 21 11lim
xx
maka disimpulkan bahwa :
( )−∞=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
→ 21 11lim
xx
2.3 Kontinuitas Fungsi
2.3.1 Kekontinuan Fungsi Di Suatu Titik
Dalam pembahasan yang lalu tentang konsep limit, dimana eksistensi (keberadaan)
nilai limit fungsi di suatu titik tidak tergantung kepada nilai fungsinya di titik tersebut.
Lxfax
=→
)(lim ,
tidak mempersoalkan apakah fungsi f terdefinisi di titik a atau tidak.
Sekarang akan ditinjau hubungan limit fungsi dengan nilai fungsinya di suatu titik. Jika limit
fungsi f di titik a adalah f(a), dikatakan bahwa fungsi f kontinu dititik x = a.
Definisi 3.10 (Kekontinuan)
Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik a jika
)()(lim afxfax
=→
y
x 0 1
( )1;
11
2 >−
xx
( )
1;1
12 <
−x
x
gambar 10
y
x 0 1
( )1;
11
2 >−− x
x
( )1;
11
2 <−− x
x
gambar 11
Definisi 3.10 menjelaskan bahwa sebuah fungsi f dikatakan kontinu di titik a jika
memenuhi ketiga syarat berikut:
1. ( )adaLxfax
=→
)(lim
2. f(a) ada ( f terdefinisi dititik a)
3. )()(lim afLxfax
==→
Catatan
Jika salah satu syarat kekontinuan di atas tidak dipenuhi, dikatakan fungsi f “tidak kontinu”
(diskontinu) di titik tersebut.
Contoh
Diberikan fungsi
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
≠−−
=1,
21
1,1)(
34
x
xx
xx
xf
Selidiki apakah fungsi f kontinu di x =1 dan gambarkan grafik f.
Penyelesaian
Fungsi f di atas dapat dituliskan sebagai ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠=
1,21
1,)(
3
x
xxxf
Fungsi f terdefinisi untuk semua bilangan riil x , grafiknya terdiri atas titik terpencil (1,1/2)
dan semua titik pada kurva y = x3 kecuali titik (1,1) lihat gambar 12.
Sekarang kita periksa syarat-syarat kekontinuan fungsi f dititik x = 1
• ))1((,1lim)(lim 3
11dipenuhisyaratxxf
xx==
→→
• f(1) = ½, (syarat 2 dipenuhi)
• ))3((),1()(lim1
dipenuhitidaksyaratfxfx
≠→
Kesimpulan Fungsi f “tidak kontinu” dititik x = 1.
0 1
1
-1
-1
(1, ½ )
f(x)
x
y
gambar 12
0 1
1
-1
-1
f(x)=x3
x
y
gambar 13
Catatan
Dari Contoh di atas, bilamana didefinisikan f(1) = 1 maka dikatakan fungsi f “kontinu” di
titik x = 1 (gambar 13).
2.3.2 Kontinu Kanan dan Kontinu Kiri Definisi :
1) Suatu fungsi f dikatakan kontinu kanan dititik x = a jika memenuhi tiga syarat
berikut:
a. adaxfax
)(lim+→
(artinya limit kanan di a ada)
b. f(a) ada, (artinya f terdefinisi di a)
c. )()(lim afxfax
=+→
2) Suatu fungsi f dikatakan kontinu kiri dititik x = a jika memenuhi tiga syarat berikut:
a. adaxfax
)(lim−→
(artinya limit kiri di a ada)
b. f(a) ada, (artinya f terdefinisi di a)
c. )()(lim afxfax
=−→
Teorema :
Fungsi f kontinu di titik x = a ⇔ )()(lim)(lim afxfxfaxax
==−+ →→
Contoh :
f(x) = 1−x
fungsi f terdefinisi pada Df = [ 1, ∞ ) sehingga f
kontinu pada selang tersebut, karena f kontinu
pada selang terbuka (1, ∞) dan kontinu kanan di x
= 1.
2.3.3 Kekontinuan Dalam Suatu Selang Definisi :
x 1 2
1
0
f(x) = 1−x y
1. Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada selang buka (a,b) jika dan hanya jika f
kontinu pada setiap titik pada selang buka (a,b).
2. Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada selang tutup [a,b] jika dan hanya jika f
kontinu pada setiap titik pada selang buka (a,b), kontinu kanan di x=a dan kontinu
kiri di x=b
3. Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada selang setengah buka [a,b) jika dan hanya jika
f kontinu pada setiap titik pada selang terbuka (a,b) serta kontinu kanan di titik a.
4. Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada selang setengah buka (a,b] jika dan hanya jika
f kontinu disetiap titik pada selang terbuka (a,b) serta kontinu kiri di titik b.
Contoh 1
a. Fungsi f(x) = x yang terdefinisi pada selang [0,+∞) kontinu pada selang tersebut,
karena f kontinu pada selang buka (0,+∞), dan kontinu kanan di titik x = 0. hal ini dapat
dilihat dari :
axax
=→
lim , untuk semua a∈ (0,+∞) dan f kontinu kanan di x=0 , yaitu
0lim0
=+→
xx
(gambar 15)
b. Fungsi g(x) = 29 x− ; kontinu pada selang tertutup [-3,3], oleh karena g kontinu pada
setiap x∈ (-3,3), serta kontinu kanan di x = -3 dan kontinu kiri di x = 3 (gambar 16).
Perhatikan bahwa:
0 3-
3
x
y
Fungsi g kontinu pada [-3,3]
0
gambar 15
Fungsi f kontinu pada [0,∞)
x
y
xxf =)(
Jenis-Jenis Ketakkontinuan
1) Ketakkontinuan yang dapat dihapuskan (removable discontinuity), yang terjadi
bilamana )(lim xfax→
ada tetapi )()(lim afxfax
≠→
. Pengertian “dapat
dihapuskan” adalah dengan mengganti (mendefinisikan ) f(a) sama dengan nilai
limitnya, maka fungsi f akan menjadi fungsi kontinu dititik tersebut.
2) Ketakkontinuan loncat (jump discontinuity) terjadi bilamana
)(lim)(lim xfxfaxax −+ →→
≠ . Pengetian “loncat” adalah limit kiri di x=a berbeda
dengan limit kanan di a (ada loncatan).
3) Ketakkontinuan tak hingga, yang terjadi bilamana ±∞=+→
)(lim xfax
atau
±∞=−→
)(lim xfax
.
4) )(lim xfax +→
atau )(lim xfax −→
tidak ada dan tidak sama dengan ±∞.
T U G A S 3.
1. Tuliskan definisi limit secara formal untuk 001,0=ε
2. Tentukan δ dari 3)12(lim1
=+→
xx
bila 05,0=ε
3. Hitung nilai limit fungsi berikut :
a. xxx
25lim 2
3+
→ b. 30,
3311
lim3
≠≠−
−
→xdanx
xx
x
c. 33
22
limcxcx
cx −−
→ d.
xx
x
24lim0
−+→
4. Gunakan limit sepihak untuk menghitung limit fungsi berikut :
a. 1
|1|lim1 −
−→ x
xx
b. Diberikan fungsi : f(x) =1;10;0;2
2
≥<≤<
⎪⎩
⎪⎨
⎧ +
xx
x
xx
x
(i). Gambarkan grafik fungsi f
(ii). Hitung )(lim0
xfx→
dan )(lim1
xfx→
jika ada.
c. (i) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−→ 2lim
2
xx
(ii) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+→ 2lim
2
xx
(iii). [ ]2lim
1
xx +→
d. 1
|1|lim1 −
−→ x
xx
5. Selidiki apakah fungsi yang diberikan kontinu pada titik x = 3? Jelaskan alasannya.
a. f(x) = 3
9−x
b. . f(x)=x
x−
−
39
c. h(x) = 2−x d. Q(x) = 33
−
−
xx
6. Tentukan semua nilai x sehingga fungsinya kontinu.
a. f(x) = xx 1− b. f(x) = 2+x
7. Gambar grafik fungsi dan tentukan pada selang manakah fungsi yang diberikan kontinu.
a. f(x) = 3−x b. g(x) = 3
1−x
c. F(x) = ⎪⎩
⎪⎨⎧
<−=>+
0,10,0
0,)2(
2
21
xxx
xx d. G(x) =
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−<<−≤≤+
<−−
44414102
022
2
x,xx,xx,xx
x,xx
8. Selidiki apakah f kontinu pada titik x=5? Jelaskan alasannya.
a. f(x) = 5252
−−
xx b. f(x) =
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠−−
565
5252
x,x,
xx
9. Diberikan fungsi G dengan persamaan 3,3
3)( ≠−−
= xxxxG nilai berapakah yang
harus diberikan pada G(3) agar G kontinu di x = 3?
10. Selidiki jenis ketakkontinuan fungsi-fungsi berikut:
a. ⎩⎨⎧
>−≤=
2;)2(2;)( 2 xx
xxxf , di titik x= 2
b. ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
−≠+
−−=
1;01;
132
)(2
xx
xxx
xf ,di titik x= -1
c. ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠−
=0;00;)(
2
xx
xxx
xf , di titik x= 0
BAB III PENUTUP
Keberhasilan mahasiswa memahami konsep limit fungsi akan memudahkan
mahasiswa tersebut dalam mempelajari modul-modul selanjutannya seperti turunan dan
aplikasing serta Integral.
DAFTAR PUSTAKA
7. Dale Varberg & Edwin J. Purcell (1999) ”Calculus with Analytic Geometry” Sixth
Edition. Prentice-Hall, International, Inc. New Jersey.
8. James Stewart (2000) “ Kalkulus”. Edisi Keempat. Erlangga. Jakarta.
9. Lois Leithold (1987). “Kalkulus & Ilmu Ukur Analitik”. Edisi Pertam. PT.Bina Aksara.
Jakarta.
MODUL 4
Judul : Turunan (Derivative) Fungsi BAB I. Pendahuluan
M. Latar Belakang
Modul ini akan dibahas perbedaan relasi dan fungsi, jenis fungsi, domain
dan daerah hasil (Range) suatu fungsi serta grafik fungsi yang sangat berkaitan
dengan modul-modul selanjutnya.
Pada kegiatan modul 2, khusus akan dibahas mengenai fungsi satu-satu dan
pada yang disingkat fungsi satu-satu dan bagaimana menggambarkan grafik
fungsi sederhana serta bagaimana pula menentukan invers suatu fungsi dan syarat
suatu fungsi komposisi dapat ditentukan.
N. Ruang Lingkup Isi
Adapun ruang lingkup materi modul 2 ini meliputi : Fungsi Real, domain
dan range fungsi, grafik fungsi, invers fungsi, fungsi kompusisi,dan fungsi implit
.
O. Kaitan Modul
Modul ini merupakan konsep dasar bagi modul berikutnya yang mana
mahasiswa tersebut dapat memahami konsep fungsi real untuk dapat digunakan
pada modul-modul berikutnya.
P. Sasaran Pembelajaran
1. Mahasiswa dapat membedakan relasi dan fungsi
2. Mahasiswa dapat menentukan domain dan range suatu fungsi
3. Mahasiswa dapat menggambarkan grafik fungsi sederhana
4. Mahasiswa dapat menentukan invers suatu fungsi
5. Mahasiswa dapat syarat suatu fungsi dapat dikomposisi dan menghitungnya
6. Mahasiswa dapat memebedakan fungsi implisit dan fungsi eksplisit
BAB II. Pembahasan
2.1 Turunan Fungsi Di Suatu Titik Dan Interpretasi Geometri Konsep turunan dan diferensial dewasa ini tampil cemerlang dan memegang peranan
penting di dalam menyelesaikan berbagai masalah pada cabang Ilmu Pengetahuan dan
Teknologi . Karena itu banyak pengalaman dari kejadian sehari-hari yang nampak abstrak
dan rumit, kemudian dapat ditemukan rumus matematikanya yang selanjutnya dihubungkan
dengan suatu pola pikir (logika) dan penalaran yang dapat digunakan semua orang.
Misalkan suatu fungsi )(xfy = , maka secara matematis, turunan pertama fungsi f
di suatu titik tertentu cx = didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 1
Misalkan f suatu fungsi terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c, maka turunan pertama fungsi f di titik cx = didefinisikan sebagai:
cx
cfxfcfcx −
−=
→
))()(lim)(' ……………………..(2.1)
asal limitnya ada
Dengan penggantian xcx ∆+= , yang mengakibatkan 0→∆⇔→ xcx , dan xcx ∆=− , maka turunan pertama fungsi f di titik cx = dapat dituliskan dalam bentuk
:
x
cfxcfxycf
xx ∆−∆+
=∆∆
=→∆→∆
)()(limlim)('00
…… (2.2)
asalkan limitnya ada, dikatakan mempunyai turunan di cx =
Sebaliknya, jika limitnya tidak ada, dikatakan f tidak terturunkan di cx =
dimana xy
∆∆ disebut hasil bagi selisih atau hasil bagi difernsi
Perhatikan bahwa jika x berubah sebesar x∆ , maka nilai y juga berubah sebesar y∆ :
Perubahan nilai x dari cx = ke xcx ∆+=
Perubahan nilai fungsi y dari )(0 cfy = ke )(0 xcfyy ∆+=∆+
Besarnya perubahan y akibat perubahan x adalah : )()( cfxcfy −∆+=∆
Notasi Turunan
Jika )(xfy = , maka turunan pertama dinotasikan oleh salah satu simbol berikut :
Sedangkan nilai turunan di suatu titik terntu (misalnya di cx = ) dinotaikan dengan :
Untuk menentukan turunan fungsi di suatu titik, gunakan langkah-langkah berikut :
(1). Tuliskan )(0 cfy =
(2). Tuliskan )(0 xcfyy ∆+=∆+
(3). Dapatkan )()( cfxcfy −∆+=∆
(4). Lakukan pembagian xy
∆∆
(5). Hitung xy
x ∆∆
→∆ 0lim . Hasil limit ini (jika ada) merupakan turunan pertama dari
fungsi )(xfy = dititik cx = , dinotasikan )(' cf
Contoh :
Tentukan turunan fungsi berikut di titik-titik yang ditentukan
13)( 2 +−= xxxf , di titik 0xx =
Penyelesaian
13)( 2 +−= xxxf , 0xx =
(1) : Tulis : 13)( 02
000 +−== xxxfy
(2) : Tulis : 1)(3)()( 02
000 +∆+−∆+=∆+=∆+ xxxxxxfyy
1.33)(..2 02
02
0 +∆−−∆+∆+= xxxxxx
(3) : Dapatkan : )()( 00 xfxxfy −∆+=∆
]1.33)(..2[ 02
02
0 +∆−−∆+∆+= xxxxxx ]13[ 02
0 +−− xx
xxxx ∆−∆+∆= .3..2)( 02 ( ) xxx ∆−+∆= .3.2 0
(4): Dapatkan : =∆∆
xy ( )
=∆
∆−+∆x
xxx .3.2 0 ( ).3.2 0 −+∆ xx
(5): Hitung xy
x ∆∆
→∆ 0lim ( ) 3.23.2lim 000
−=−+∆=→∆
xxxx
Jadi 3.2)(' 00 −= xxf
yDatauxfdxdxf
dxdyy x)(;)(';;'
cxcx dx
dyataucfy=
= )(';'
2.1.1 FUNGSI TURUNAN Perhatikan pada contoh 1-a, diatas , jika indeks o dijalankan (dihilangkan), diperoleh
3.2)(' −= xxf , yang juga merupakan fungsi x, yang disebut fungsi turunan.
Turunan fungsi f di sembarang titik dalam domain f didefiniskan sebagai berikut:
Definisi 2
Jika f adalah sebuah fungsi maka turunan pertama fungsi f yang nilainya di setiap titik x pada daerah definisi f dinyatakan sebagai :
x
xfxxfxfx ∆
−∆+=
→∆
)()(lim)('0
…………………...………..(2.3)
asal limitnya ada. Selanjutnya fungsi f dikatakan terturunkan (differentiable) jika )(' xf ada untuk setiap x dalam daerah asalnya.
2.1.2 Interpretasi Dari Turunan Turunan fungsi di suatu titik dapat di artikan sebagai gradient dari suatu garis
singgung pada kurva, sebagai kecepatan, sebagai percepatan dan lain sebagainya.
2.1.2.1 Turunan sebagai Gradien (Tanjakan) garis
Secara geometri, turunan fungsi f di titik cx = , dinotasikan sebagai )(' cf
menyatakan tanjakan garis singgung g pada kurva )(xfy = dititik ))(,( cfc , di mana garis
singgung g tersebut tidak sejajar sumbu-y.
Perhatikan uraian berikut : Misalkan fungsi f terdfinisi dalam daerah asalnya dan
grafiknya digambarkan pada gambar (4-1). Misalkan garis l memotong kurva f dititik P dan
Q, maka tanjakan garis (tali bususr) l adalah :
0;)()(≠∆
∆−∆+
=∆∆
= xx
cfxcfxfml ………(2.1.1.)
Tanjakan tali busur ini tidak lain daripada kenaikan nilai fungsi f antara c dan xc ∆+
y∆
x∆
c
)(0 cfy =
)(xfy =
xc ∆+
)(0 xcfyy ∆+=∆+
))(,( cfcP
))(,( xcfxcQ ∆+∆+
R
0x
y l
g
Gambar (4-1)
x∆
y∆
P
Q
R
Bilamana titik Q bergerak (sepanjang kurva f) mendekati P sedekat mungkin, maka
∆x akan mengecil menuju nol (∆x → 0), akibatnya tali busur l akan berimpit dengan garis
singgung g.
Dengan proses limit, tanjakan garis singgung g dititik P dinyatakan sebagai:
xcfxcf
xfm
xxg ∆
−∆+=
∆∆
=→∆→∆
)()(limlim00
…………………….(2.1.2)
atau notasikan ∆x = h , maka persamaan (4.1.2) dapat ditulis:
0;)()(limlim)(00
≠−+
=∆∆
=→→
hh
cfhcfxyhm
hhg …………………(2.1.3)
Jika limit ini ada, nilainya disebut tanjakan (koefisien arah) garis singgung g pada grafik f
dititik P. Jelas bahwa tanjakan garis singgung g diperoleh dengan mengambil limit dari
tanjakan tali busur l, (2.1.1)
Teorema 1
Agar supaya representasi grafik fungsi f mempunyai sebuah garis singgung di titik
))(,( cfc dan tidak paralel sumbu y maka syarat perlu dan syarat cukupnya adalah fungsi
f harus mempunyai turunan (terturunkan) di titik cx = . Tanjakan garis singgung tersebut
tidak lain dari turunan f di titik cx =
Dengan demikian persamaan garis singgung melalui titik ))(,( cfc pada grafik f adalah:
)())(('
atau))((')(
cfcxcfy
cxcfcfy
+−=
−=−……………[2.1.4]
Dan persamaan garis normal n melalui titik ))(,( cfc adalah:
)()()('
1 cfcxcf
y +−−
= …......……[2.1.5]
Kedua garis ini (g dan n ) saling tegak lurus di titik ))(,( cfc pada kurva f , gambar (4-2)
Contoh :
Suatu garis g menyinggung parabola xxxfy 4)( 2 −== dititik 1=x , tentukan
a. gradien garis singgung tersebut, kemudian tentukan persamaan garis singgungnya b. persamaan garis normal di titik 1=x
Penyelesaian
Misalkan garis g menyinggung parabola xxxfy 4)( 2 −== di titik )(,( cfcP , maka titik
tersebut adalah )3,1( −P .Gradien garis singgung adalah :
x
fxfxyf
xx ∆−∆+
=∆∆
=→∆→∆
)1()1(limlim)1('00
a. (1) 3)1(41)1( 2 =−=f
(2) )1(4)1()1( 2 xxxf ∆+−∆+=∆+
xxx ∆−−∆+∆+= .44.2)(1 2 3.2)( 2 −∆−∆= xx
(3). ( ) xxxxfxfy ∆−∆=−−∆−∆=−∆+=∆ .23]3.2)[()1()1( 2
(4). ( ) 2.2−∆=
∆∆−∆
=∆∆ x
xxx
xy
(5). ( ) 22limlim00
−=−∆=∆∆
→∆→∆x
xy
xx
Jadi gradien garis singgung adalah 2)1(' −=f
Dari rumus (4.1.4), maka persamaan garis singgung pada kurva di titik )3,1( −P adalah )1()2(1 −−=− xy 32 +−=⇔ xy
b. Dengan rumus (4.1.5), maka persamaan garis normal melalui titik )3,1( −P
c
)(0 cfy =
)(xfy =
))(,( cfcP
0x
y
g : grs singgung
gambar (4-2)
n: grs normal
adalah 3)1.()2(
1+−
−−= xy 2
1321
+=⇔ xy
2.1.2.2 Turunan sebagai Kecepatan /laju Sesaat
Jika s(t) suatu fungsi waktu dalam t, maka )(' ts menyatakan kecepatan sesaat dari
perubahan s pada saat t. Khususnya jika s(t) menyatakan jarak yang ditempuh suatu benda
bergerak pada suatu garis lurus, maka kecepatan setiap saat t dinyatakan sebagai,
6.1.4......)()(limlim)('00 t
tsttststs
tt ∆−∆+
=∆∆
=→∆→∆
dimana ts
∆∆ menyatkan kecepatan rata-rata benda bergerak.
Catatan :
Notasi untuk kecepatan pada saat t , biasanya dilambangkan sebagai )(tv , sedangkan percepatan pada saat t dilambangkan )(ta . Dimana )(')( tstv = , dan )(")(')( tstvta ==
Contoh . (Masalah Laju Sesaat)
Dari tepi sebuah jurang, sebuah batu dilemparkan tegak lurus ke bawah. Jarak yang
ditempuh oleh batu tersebut dari titik asal hingga titik akhir t detik pertama dinyatakan oleh
persamaan
21620 tts +=
Bila jarak diukur dalam satuan kaki dan waktu diukur dalam satuan detik, tentukanlah
1. Kecepatan sesaaat batu tersebut pada :
a. Akhir t detik b. Akhir 3,4 detik
2. Setelah berapa lamakah batu jatuh tersebut mencapai kecepatan 132 kaki/dt.
Penyelesaian :
Jarak yang ditempuh batu tersebut merupakan fungsi waktu yang dapat ditulis sebagai : 21620)( tttfs +==
1. a. Dengan menggunakan rumus (4.1.4), kecepatan batu pada akhir t detik adalah:
t
tfttftststv
tt ∆−∆+
=∆∆
==→∆→∆
)()(limlim)(')(00
( ) ( )t
ttttttt ∆
+−∆++∆+=
→∆
22
0
1620)(16)(20lim
t
tttt ∆
∆∆++=
→∆
)16.3220(lim0
tttt
3220163220lim0
+=∆++=→∆
Jadi laju (kecepatan) batu jatuh pada akhir t detik adalah dtkakittv /.3220)( +=
b. Kecepatan (laju) sesaat batu jatuh pada saat 3,4 detik dapat dihitung dengan
menggunakan hasil soal (i)a, dimana dalam hal ini t = 3,4
Jadi kecepatan sesaat batu jatuh pada saat t = 3,4 adalah:
dtkakiv /8,128)4,3(3220)4,3( =+=
2. Diketahui v(t) = 132 kaki/dt, jadi kita harus menentukan nilai t pada hasil soal 1.a ,
yang memenuhi :
t3220132 +=
diperoleh t = 3,5 detik. Sehingga pada saat 3,5 detik jatuh, batu memiliki
laju 132 kaki/detik.
2.1.3 Turunan Kiri dan Turunan Kanan Misalkan f terdefinisi pada selang buka yang memuat a maka
1. Turunan kiri fungsi f di x=a didefinisikan sebagai
axafxfaf
ax −−
=−→
−)()(lim)(' ; asal limitnya ada
2. Turunan kanan fungsi f di x=a didefinisikan sebagai
axafxfaf
ax −−
=+→
+)()(lim)(' ; asal limitnya ada
Contoh .
Selidiki apakah fungsi berikut mempunyai turunan di 1−=x 1)( += xxxf
Penyelesain :
Karena ⎩⎨⎧
−<−−−≥+
=+1;11;1
1xxxx
x
Maka ⎪⎩
⎪⎨⎧
−<−−
−≥+=
1;
1;)(
2
2
xxx
xxxxf
Dari Definisi di atas diperoleh
Turunan kanan :
-1 0
-1
1 y
x
Grafik f
Teorema)(')('ada)(' afafaf −+ =⇔
10lim
1)1()(lim)1('
2
11 +−+
=+
−−=−
++ −→−→+ x
xxx
fxffxx
1lim1
−==+−→
xx
Turunan kiri :
10lim
1)1()(lim)1('
2
11 +−−−
=+
−−=−
−− −→−→− x
xxx
fxffxx
1lim1
=−=−−→
xx
Karena turunan kanan ≠ turunan kiri, maka )1(' −f tidak ada.
2.2 Turunan Fungsi Pada Suatu Selang
Definisi
1. Suatu fungsi f dikatakan terturunkan (dapat diturunkan) pada selang terbuka (a,b), jika f mempunyai turunan di setiap titik pada selang (a,b).
2. Suatu fungsi f dikatakan terturunkan (dapat diturunkan) pada selang tertutup [a,b], jika f mempunyai turunan pada selang (a,b) dan turunan kiri [ )(' af − ada ] dan turunan kanan [ )(' bf + ada].
3. Suatu fungsi f dikatakan terturunkan (dapat diturunkan) pada selang setengah buka (a,b], jika f mempunyai turunan pada selang (a,b) dan turunan kanan [ )(' bf + ada ].
4. Suatu fungsi f dikatakan terturunkan (dapat diturunkan) pada selang setengah buka [a,b), jika f mempunyai turunan pada selang (a,b) dan turunan kiri [ )(' af − ada].
Hubungan antara turunan dan kekontinuan diberikan oleh teorema berikut:
Teorema
Misalkan fungsi f mempunyai turunan di x=a, yaitu )(' af ada maka f kontinu di x=a
Catatan
Kebalikan teorema ini tidak berlaku. Artinya ada beberapa fungsi yang kontinu pada titik-titik tertentu tetapi fungsi tersebut tidak mempunyai turunan di titik tersebut. Kiranya jelas bahwa jika f diskontinu di x=a maka f tidak terturunkan di x=a
Perhatikan contoh diatas sebelumnya yang telah dibahas, f kontinu di x = -1, tetapi f tidak mempunyai turunan di x = -1, karena f1(-1) tidak ada
2.3. Rumus-Rumus Dasar Turunan Menghitung turunan fungsi dengan menggunakan definisi turunan dengan
melibatkan limit tidak selalu mudah, bahkan beberapa fungsi yang akan rumit dan bentuknya
susah diselesaikan.
Dalam pasal ini akan diberikan rumus-rumus sederhana untuk menghitung turunan fungsi
yang mudah dihapal dan mudah digunakan.Disini kita tuliskan hx =∆
1. Turunan Fungsi Konstan
Bukti: f(x) = c ; c konstanta maka f(x+h) = c sehingga
00limlim)()(lim)('000
==−
=−+
=→→→ hhh h
cch
xfhxfxf
2. Turunan Fungsi Identitas
Teorema 2 Jika xxf =)( , maka ℜ∈∀= xxf ;1)(' Bukti: xxf =)( maka hxhxf +=+ )( sehingga
1lim)(lim)()(lim)('000
==−+
=−+
=→→→ h
hh
xhxh
xfhxfxfhhh
3. Turunan Fungsi pangkat
Teorema 3 Jika nxxf =)( maka 0;;.)(' 1 ≠∈= +− xZnxnxf n Bukti:
nxxf =)( maka nhxhxf )()( +=+ sehingga nn xhxxfhxf −+=−+ )()()( nnnnnnn xhhxhnxx −++++= −−− )...( 22
2)1(1
122
)1(1 ...)()( −−−− +++=−+ nnnnn hhxnx
hxfhxf
Jadi h
xfhxfxfh
)()(lim)('0
−+=
→
( ) 1122
)1(1
0...lim −−−−−
→=+++= nnnnnn
hnxhhxnx
4. Turunan dari hasil kali Fungsi dengan sebuah konstant Bukti:
Teorema-1 Jika == ccxf ,)( konstanta, maka ∈∀= xxf ;0)(' ℜ
Teorema-4 Misalkan f suatu fungsi yang terturunkan dan c sebuah konstanta, maka '')( fccf =
Misal kita tuliskan )()( xcfxF = ; f dapat diturunkan, maka
hxcfhxcf
hxFhxFxF
hh
)()(lim)()(lim)('00
−+=
−+=
→→
)(')()(lim0
xfch
xfhxfch
=−+
=→
5. Turunan Jumlah Dua Buah Fungsi
6. Turunan Perkalian dan Pembagian Dua Fungsi
7. Teorema -7
Jika nxfy )]([= , maka )('.)](.[' 1 xfxfny n−= , 1, >∈ nZn
8. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Trigonometri a. Jika xxf sin)( = maka xxf cos)(' = b. Jika xxf cos)( = maka xxf sin)(' −= c. Jika xxf tan)( = maka xxf 2sec)(' = d. Jika xxf cot)( = maka xxf 2csc)(' −= e. Jika xxf sec)( = maka xxxf tansec)(' = f. Jika xxf csc)( = maka xxxf cotcsc)(' −= (untuk bagian c sampai f gunakan ; Zkkx ∈π+≠ π ;)( 2
9. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Eksponen dan Logaritma:
a. Jika xexf =)( maka xexf =)('
Teorema-5 (i). Jika f dan g masing-masing terturunkan dan (f+g) juga dapat teturunkan, maka )(')(')()'( xgxfxgf +=+ (ii). Dengan cara yang sama juga berlaku : )(')(')()'( xgxfxgf −=− Teorema ini dapat diperluas menjadi : '...'')'...( 2121 nn ffffff +++=+++ Bukti diserahkan kepada pembaca
Teorema -6 (Bukti diserahkan kepada pembaca) Jika f dan g masing-masing fungsi yang dapat diturunkan dan (f g) juga terturunkan maka:
(i) Jika )().( xgxfy = , maka )(').()().('' xgxfxgxfy +=
(ii). Jika )()(
xgxfy = , maka 2)]([
)(').()().(''xg
xgxfxgxfy −= , 0)( ≠xg
(iii). Jika )(
1xf
y = , maka 2)]([)(''
xfxfy −
= , dengan fDxxf ∈∀≠ ;0)(
b. Jika xaxf =)( maka 0;ln)(' >= aaaxf x
c. Jika xxf ln)( = maka 0;1)(' >= xx
xf
d. Jika xxf a log)( = maka 1;0;0;ln1)(' ≠>>= aax
axxf
Catatan
axxa
lnlnlog =
2.4. Turunan Fungsi Komposit & Aturan Rantai Fungsi komposisi sudah dibicarakan pada modul 2. Sekarang misalkan
fungsi f terturunkan di x dan fungsi g terturunkan di f(x) maka fungsi komposisi
(gοf) dapat diturunkan di x , sehingga
Jika ))(()( xfgxh o= , maka
( ) ))('))(((''))(()()'()(' xfxfgxfgxfgxh === o ...……..…..(2.4.1)
Rumus (4.5.1) di atas dikenal dengan nama “Aturan Rantai” yang dapat dituliskan secara singkat sebagai berikut Misalkan )(ugy = dan )(xfu = maka
fungsi komposisi ))(( xfgy = mempunyai turunannya sebagai:
dxdu
dudy
dxdy
= ...………………..….…….(2.4.2)
dengan notasi dxdyy ='
rumus (4.5.2) dapat diperluas untuk sejumlah berhingga komposisi-komposisi fungsi, misalnya )(ufy = , )(vuu = dan )(xvv = , maka
dxdv
dvdu
dudy
dxdy
= ………………………...(2.4.3)
Contoh Tentukan turunan fungsi komposisi berikut:
a. 645 )856( +−= xxy b. 542ln
xxy −
=
Penyelesaian :
a. 645 )856( +−= xxy , dapat dituliskan sebagai 6uy =
Dengan memisalkan 3445 2030856 xxdxduxxu −=⇒+−=
Akibatnya, 56 6ududy
uy =⇒=
maka dengan aturan rantai, diperoleh :
dxdu
dudy
dxdy
=
)2030()856(6)2030(6 34545345 xxxxxxudxdy
−+−=−=
b. )2(ln 54x
xy −=
Misalkan : 58
34
438)2(42
xx
xxxx
dxdv
xxv −
=−−
=⇒−
=
dan =⇒=dvduvu 5
15
4
51 −
v = 5
45
1v
= 5
4
425
1
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
xx
5
4
5 2111ln
xxvudu
dyuy−
==⇒= , maka dxdv
dvdu
dudy
dxdy
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
5
54
45
4
38
25
12
1x
x
xx
xxdx
dy =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
=
45 25
38
xxx
x )2(5
38−
−xx
x
2.5. Turunan Fungsi Invers (Fungsi Balikan) Teorema
Misalkan f sebuah fungsi dengan persamaan )(xfy = , kontinu dan monoton pada selang tutup [ ]ba, dan fungsi inversnya adalah )(1 yf − kontinu dan monoton pada selang [ ])(),( bfaf didalam [ ]ba, , maka turunan fungsi invers ini dinyatakan sebagai :
( ) )('1 yf − [ ]baxxfxf
,,0)(';)('
1∈∀≠= …….… (2.5.1)
atau
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
dxdydy
dx 1 ……………………..…...(2.5.2)
Contoh Tentukan fungsi invers, kemudian tentukan turunan fungsi invers tersebut bila diberi fungsi-fungsi berikut:
a. y = f (x) = x2 – 2x – 5; x≥ 1 b. y = f (x) = 3;3
2≠
−x
xx
Solusi : a. Metode pertama
Kita cari dulu fungsi inversnya dengan menyatakan x sebagai fungsi dari y.
6161)1(6
6)1(522
22
++=⇔+=−⇒−=+
−−=−−=
yxyxxy
xxxy
jadi fungsi inversnya adalah : 6;61)(1 −≥++== − yyyfx
dengan mempertukarkan y dengan x diperoleh 6;61)(1 −>++=− xxxf
dan turunannya adalah [ ] 6;62
1)( '1 −>+
=− xx
xf
b. Metode kedua
52)( 2 −−== xxxfy ⇒ )1(222 −=−= xxdxdy
Karena f kontinu dan monoton turun pada 1≥x serta mempunyai turunan untuk 1≥x , maka
,1;)1(2
11≠
−== x
xdxdydy
dx
selanjutnya karena 61 +=− yx maka 62
1+
=ydy
dx
atau dalam variabel x diperoleh 62
1+
=xdy
dx
b. 3;3
2)( ≠−
== xx
xxfy
Metode 1
2;
23)( maka
3)2(322)3(3
2
1 ≠−
==
=−⇔=−⇔=−⇔−
=
− yy
yyfx
yyxyxyxxxyx
xy
atau dalam variabel x dapat ditulis: 2;2
3)(1 ≠−
=− xx
xxf
sehingga turunan fungsi invers ini adalah :
2;)2(
6)2(
6)2(
3)2(3)( 2221 ≠
−
−=
−
−=
−
−−=− x
xxxxxxf
Metode II 3;
)3(6
)3(2)3(2
32
22 ≠−
−=
−
−−=⇒
−= x
xxxx
dxdy
xxy
maka 6
)3(1 2−−==
x
dxdydy
dx karena 2
3−
=y
yx maka
2)2(63
233
−=−
−=−
yyyx
dan dalam variabel x dapat dituliskan : ( )2
1
)2(6)(
−
−== −
xxf
dydx
2.6. Turunan Fungsi Pangkat rasional Sudah dibuktikan pada uraian yang lalu bahwa untuk n bilangan bulat positif
berlaku:
Jika nxy = , maka 1.' −= nxny , n bilangan bulat positif
Sekarang akan diberikan rumus yang sama untuk n bilangan rasional.
Dari rumus turunan fungsi untuk r bilangan rasional berlaku
Jika rxy = maka rasionalbilangan.' 1 ∈= − rxry r .
Contoh
Tentukan turunan pertama fungsi 5 23 )23()( +−== xxxfy
Penyelesaian : y = 5
25/235 23 )23()23()( uxxxxxf =+−=+−=
Dengan memisalkan : 33'23 23 −=⇒+−= xuxxu
sehingga '..52 15
2uu
dxdy −
=
)33()23(52 25
33 −+−=−
xxx5
33
2
)23(5
)23(2
+−
−=
xx
x
2.7 Turunan Fungsi Invers Trigonometri 2.7.1 FUNGSI ARC SINUS Misalkan fungsi xxf sin: →
[ ]1,12
'2
−→⎥⎦⎤
⎢⎣⎡− ππ
Maka fungsi inversnya adalah xxf arcsin:1 →− ; [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−→−
2,
21,1 ππ
Untuk setiap x, y ∈ℜ , dapat dituliskan :
y = arcsin x ⎩⎨⎧
≤≤−=
⇔22
sinππ y
yx
Untuk setiap x ( )1,1−∈ dan setiap y ( ),2/,2/ ππ−∈ diperoleh persamaan
Selanjutnya, jika ruxfy == )( , dengan )(xuu =
maka '.. 1 uurdxdy r−= , dengan
dxduu =' , [Aturan rantai]
Dalam hal ini notasi )('' xfdxdyy ==
y = arcsin (-1) ⇔ ( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−==−
−=−==−
xyxy
yxyx
yx
arcsinarcsin
sinsin
sin
Jadi untuk setiap x [ ]1,1−∈ berlaku arcsin (-x)= - arcsin x.
Hal ini menunjukan bahwa fungsi arcus sinus adalah fungsi ganjil.
Untuk setiap y ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−∈
2,
2ππ turunan fungsi x = sin y adalah ( ) yyf cos1 = ,
dimana ( ) 0=yf untuk y = - 2/π dan y = ,2/π
( ) 0≠yf untuk y ( )2/,2/ ππ−∈
Jadi untuk setiap x ( ) ( )y
xdxdxf
cos1)(arcsin maka ,1,1 1 ==−∈ − .
Karena cos 222 1sin1 xyy −=−=
maka cos y = 21 x− atau cos y = - 21 x− tetapi y ( )2/,2/ ππ−∈
maka cos y ,0> sehingga cos y = 21 x− dan dapat ditulis :
( ) ( )1,1;1
1arcsin)(2
1 −∈∀−
== xx
xdxdxf ……………………(1)
Dengan penurunan yang sama diperoleh rumus –rumus turunan fungsi invers trigonometri :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
−==⇒=
+==⇒=
−
−==⇒=
1
1)sec('sec
11)(arctan'arctan
1
1)(arccos'arccos
2
2
2
xxxarc
dxdxfxarcxf
xx
dxdxfxxf
xx
dxdxfxxf
...................(2)
Secara umum jika u = u(x) dan 1. y = arcsin u
dxdu
uu
dxdy
21
1)(arcsin'−
==⇒
2. y = arctan udxdu
uu
dxdy 21
1)(arctan'+
==⇒
3. y = arc sec u =⇒ 'ydxdu
uuuarc
dxd
1
1)sec(2 −
=
Contoh
Tentukan turunan fungsi berikut: a. y = arcsin x2 b. y = xe 2arctan
Penyelesaian :
( ) 422
4222
1
221
1
2arcsin.
x
xxxdx
dymaka
xdxduxuxuMisalxya
−=
−=
=⇒=⇒==
( )
( ) x
xx
x
xxx
x
eee
eymaka
edxdueueuMisal
eyb
4
22
221
2422
2
122
1
1
2
arctan.
+=
+=
==⇒=
=
Catatan Dari contoh di atas dapat dituliskan
a). y = arcsin x2 ⇔ x2 = sin y
b). y = arctan e2x ⇔ e2x = tan y
2.9 Turunan Tingkat Tinggi (Orde Tinggi)
Turunan sebuah fungsi, juga merupakan sebuah fungsi yang dapat diturunkan lagi
asal memenuhi syarat-syarat turunan.
Turunan kedua dari suatu fungsi f didefinisikan sebagai turunan dari fungsi turunan pertama,
turunan ketiga didefinisikan sebagai turunan dari fungsi turunan kedua dan seterusnya.
Turunan ke-n didefinisikan sebagai turunan dari fungsi turunan ke (n-1).
Notasi
Misalkan suatu fungsi f dinyatakan dengan persamaan y = f(x) maka notasi-notasi turunan
pertama, kedua sampai turunan ke-n diberikan dalam tabel berikut:
Tabel 4.9.1
Persamaan fungsi : )(xfy =
Notasi Turunan pertama 'y ;
dxdy ; )(' xf ; yDx ;
dxxdf )(
Notasi Turunan kedua ''y ; 2
2
dxyd ; )('' xf ; yD x
2 ; 2
2 )(dx
xfd
Notasi Turunan ketiga '''y ; 3
3
dxyd ; )(''' xf ; yD x
3 ; 3
3 )(dx
xfd
M M M M M M Notasi
Turunan ke-n )(ny ; n
n
dxyd ; )()( xf n ; yD x
n ; n
n
dxxfd )(
Jadi ( ) 2
2 )()()(')(''dx
xfddx
xdfdxdxf
dxdxf =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==
( ) ( )3
3 )()()(')('')('''dx
xfddx
xdfdxd
dxdxf
dxd
dxdxf
dxdxf =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==
Secara umum turunan ke- n didefinisikan sebagai: ( ))()( )1()( xfdxdxf nn −=
atau dalam bentuk limit
h
xfhxfxfnn
h
n )()(lim)()1()1(
0
)(−−
→
−+=
asal limitnya ada Contoh
a. Tentukan turunan ke-4 dari 123)( 345 +−+−= xxxxxf b. Tentukan nilai turunan ke-3 di x = 0 dan x =π/2 dari )3sin()( xxg =
c. Tentukan rumus ke-n dari fungsi 1;1
1)( ≠−
= xx
xh
Solusi :
a. 123)( 345 +−+−= xxxxxf , maka Turunan pertama : 16415)(' 234 −+−= xxxxf
Turunan kedua : xxxxf 121260)('' 23 +−=
Turunan ketiga : 1224180)(''' 2 +−= xxxf
Turunan keempat : 24360)()4( −= xxf
b. )3sin()( xxg = , maka
)3cos(3)(' xxg = ; )3sin(9)('' xxg −= ; )3cos(27)(''' xxg −=
Untuk x = 0 maka 27)0cos(27)0(''' −=−=g
Untuk x = π/2 maka 0)0(27)cos(27)(''' 23
2 =−=−= ππg
c. 1;1
1)( ≠−
= xx
xh , turunan ke–n untuk fungsi h adalah:
1;)1(
!)( 1)( ≠
−= + x
xnxh n
n (tunjukkan)
2.9 Turunan Fungsi Implisit
Misalkan sebuah fungsi dinyatakan dalam persamaan y = f(x) , maka fungsi ini
selalu dapat dinyatakan dalam bentuk F(x,y) = 0 , dimana )(),( xfyyxF −= atau
yxfyxF −= )(),( . Sebaliknya, jika diberikan sebuah fungsi dalam bentuk F(x,y) = 0,
dengan diketahui y fungsi dari x, ternyata tidak selalu dapat dinyatakan dalam bentuk y =
f(x). Perhatikan illustrasi berikut:
(i) 32)( 3 +−== xxxfy [bentuk eksplisit]
(ii) yxyyxyxyxF −−−+= 2233 432),(
Tampak bahwa bentuk (i) dapat dinyatakan dalam bentuk F(x,y) = 0 yaitu
032),( 3 =−+−= yxxyxF [Bentuk implisist]
Sedangkan bentuk (ii) tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) secara eksplisit. Fungsi yang dinyatakan sebagai y = f(x) disebut “fungsi eksplisit” dan fungsi yang
terkandung dalam bentuk F(x,y)=0 disebut “fungsi implisit”. Setiap bentuk fungsi eksplisit
merupakan bagian dari fungsi implisit, tetapi tidak sebaliknya. Secara geometri, grafik fungsi
eksplisit merupakan bagian dari grafik fungsi implisitnya.
Perhatikan persamaan (iii) 422 =+ yx yang merupakan persamaan lingkaran berpusat di 0
dan berjari-jari 2. Bentuk persamaan (iii) ini dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk
eksplisit dengan batasan-batasan tertentu; yaitu
]2,2[;4)( 2 −∈−= xxxf atau ]2,2[;4)( 2 −∈−−= xxxg Persamaan 044 2222 =−+⇔=+ yxyx adalah bentuk fungsi dari F(x,y)=0, dimana 4),( 22 −+= yxyxF Gambar 2.9 Dari gambar 4.5 di atas mudah ditunjukkan bahwa f dan g kontinu pada selang [ ]2,2− dan terturunkan pada selang [ ]2,2− . Demikian pula dari aturan 422 =+ yx , kita dapat menyatakannya secara eksplisit
24)( yyh −= dan 24)( yyl −−= . Jadi dari aturan 0),( =yxF , kita mengatakan bahwa y adalah fungsi implicit dari x, dan x adalah fungsi implicit dari y. Dan dari aturan 0),( =yxF ,mungkin terjadi y dapat dinyatakan secara eksplisit dalam x (atau sebaliknya), atau mungkin juga tidak. Perhatikan pula persamaan: 0245103 5432 =+−+−+ yyyyyx ini mendefinisikan secara implisit fungsi x dalam y atau )(yfx = , akan tetapi kita tidak mungkin menyatakan y dengan x atau y = f(x).
Selanjutnya kita pusatkan perhatian bagaimana menentukan turunan fungsi dalam
x
y2 -
24)( xxg −−=
0
y
24)( xxf −=
x 2 -2 0
bentuk implisit. Contoh
Tentukan dxdy dari bentuk implisit berikut:
a. 422 =+ yx b. xyyxy −= 223 )sin( Solusi :
a. 422 =+ yx , setiap suku diturunkan terhadap x , yaitu :
)4()()( 22
dxdy
dxdx
dxd
=+
0;022 ≠−=⇔=+ yyx
dxdy
dxdyyx
Cara lain, kita tentukan dahulu fungsinya dalam bentuk eksplisit, kemudian kita
turunkan. Dalam hal ini kita punyai:
24)( xxfy −== atau 24)( xxgy −−== ,
sehingga
242
2)('x
xxf−
−=
2422)('
xxxg−
−−=
24
)('x
xxf−
−= ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−=
24)('
xxxg
yxxf −=)('
yxxg −=)('
karena 24 xy −= karena 24 xy −−=
b. xyyxy −= 223 )sin( , )2)sin(3(
))cos(2(22
23
xyxyxxyy
dxdy
+−+−
= (Tunjukkan)
Catatan Pada pembahasan bab mendatang akan diberikan rumus sederhana tentang turunan
fungsi implisit, setelah membicarakan turunan parsial. Rumus yang dimaksud sebagai
berikut jika F(x, y) = 0 suatu fungsi implisit, maka turunan
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂
−=y
Fx
F
dxdy
2.10 Fungsi Parameter Dan Turunannya
Untuk memahami konsep fungsi parameter terlebih dahulu perhatikan illustrasi
berikut:
Misalkan suatu fungsi f :ℜ→ℜ , yang ditentukan oleh persamaan :
1. 22)( xxxFy −== .
Fungsi F ini dapat dituliskan sebagai “sepasang fungsi” dalam variabel lain t dalam
beberapa bentuk antara lain:
a. ⎩⎨⎧
ℜ∈−====
ttttgyttfx
;2)()(
2 b. ⎩⎨⎧
ℜ∈−+−==−==
ttttgyttfx
,34)(1)(
2
c. ⎩⎨⎧
ℜ∈−====
teetgyetfx
tt
t
;2)()(
2 d. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠ℜ∈−
==
==
0,;12)(
1)(
2 tttttgy
ttfx
Perhatikan bahwa eliminasi t dari keempat persamaan di atas akan menghasilkan persamaan
bentuk asalnya (i). Grafik fungsi F dari persamaan (i) adalah sebuah parabola di R2, dan
pada setiap persamaan (a),(b),(c) dan (d) diatas, titik (x,y) = (f(t),g(t)) terletak pada grafik
parabola 22 xxy −= . (lihat gambar 2.10)
Keempat pasang persamaan di atas
disebut “persamaan fungsi parameter t”
dari 22)( xxxF −=
Definisi (fungsi parameter)
Misalkan f dan g masing-masing adalah fungsi yang terdefinisi pada daerah asalnya
D⊆ℜ,
maka : Dttgytfx
∈==
;)()(
menyatakan suatu “persamaan fungsi parameter” dengan t sebagai parameter, dan
grafiknya adalah himpunan titik-titik di R2 yaitu }),();(),{( Dttgytfxyx ∈== .
TURUNAN FUNGSI PARAMETER Perhatikan fungsi parameter
1sincos2)(cos)(
2 −+====
tttgyttfx
Bila parameter t dieliminasi dari kedua persamaan tersebut, diperoleh fungsi y = H(x)
dengan x = f(t) sebab
0 1 2
1
x
y
(x,y)=(f(t),g(t)
22 xxy −=
Gambar 2.10 4 6
1sincos2 2 −+= tty
tttt 22 coscos21cos1cos2 −=−−+= , sehingga txxxy cos;2 2 =−=
Persamaan terakhir ini dapat ditulis sebagai bentuk eksplisit :
22 xxy −= maka y = H(x) dengan x = f(t) atau
bentuk implisit : 02 2 =+− xxy maka G (x,y)=0
Jadi jika diberikan fungsi parameter dengan persamaan ⎩⎨⎧
∈==
Dttgytfx
;)()( kita dapat
menyatakan dalam bentuk sederhana sebagai: )(dengan)( tfxxHy ==
Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh:
0; ≠=⇔=dtdx
dtdx
dtdy
dxdy
dtdx
dxdy
dtdy
yang merupakan turunan fungsi parameter.
Teorema Misalkan x = f(t) dan y = g(t), t ∈ D ⊆ ℜ masing-masing fungsi yang mempunyai turunan
terhadap peubah t dengan 0≠dtdx dan menyatakan suatu persamaan fungsi parameter yang
dinyatakan dalam bentuk y = H(x) atau G(x,y) = 0, maka turunan y terhadap x adalah:
)(')('
tftg
dtdx
dtdy
dxdy
==
Turunan kedua diberikan oleh :
( )32
2
)(')(')('')('')('''
tftgtftgtf
dxydy −==
Contoh
Tentukan dxdy dari fungsi parameter berikut:
a. ℜ∈−== tttytx ,2; 2 b. π≤<−== ttytx 0,2sin5;2cos5
Penyelesaian : Dengan menggunakan teorema di atas diperoleh:
a. xt
dtdx
dtdy
dxdy 22
122
−=−
==
b. yx
y
x
tt
tt
dtdx
dtdy
dxdy −
=−
==−−
==
5
52sin2cos
2sin102cos10
T U G A S 4. I. Tentukan tanjakan (gradien) garis singgung di titik yang diberikan , kemudian
tentukan pula persamaan garis singgung tersebut. Gambar kurva dan garis
singgungnya
1. 2)( xxf = ; di x = 1 2. x
xf 1)( = ; di x = 2
3. 34)( −= xxf ; di x = 1 4. xxf 2)( = ; di x = 2
5. ⎩⎨⎧
>−≤−−=
0;0;)(
xxxxxf ; di x = 0 6.
21)(
−+
=xxxf ; di x = -1
II. Gunakan definisi turunan untuk menentukan turunan fungsi pada titik yang diberikan
1. xxxf 2)( 2 −= ; di x = 0 2. xxxf
−+
=32)( ; di x = 1
III. Gambar grafik fungsi, selidiki apakah f kontinu di x = a dan tentukan turunan kiri dan turunan kanan di x = a serta selidiki apakah f’(a) ada.
1. ⎩⎨⎧
<≥−= 1;
1;)(2
xxxxxxf ; x = 4 2.
⎩⎨⎧
>−≤−=
1;11;1)( 2
2
xxxxxf ; x = -1 dan x
=1 IV. Dalam soal nomor 26 sampai 30, misalkan sebuah benda jatuh dari keadaan diam,
dalam t detik di tempuh jarak s meter sehingga s = 16t2 . Tentukan kecepatan sesaat
atau laju sesaat benda jatuh tersebut pada saat a=3 detik dan a=0,75
V. Sebuah partikel bergerak sepanjang suatu garis koordinat. s adalah jarak dari titik asal
yang ditempuh pada akhir t detik dalam satuan kaki. Tentukan kecepatan sesaat
partikel tersebut pada akhir a detik.
a. 52 2 += ts ; a = 1,7 b. 72 += ts ; a = 3
VI. Tentukan fungsi turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut :
1. 432)( 3 +−= xxxf 4. xy 82 =
2. xxf 21)( −= 5. 31)2()( −= xxf
3. ⎩⎨⎧
≤>+= 1;
1;12)( 2 xxxxxf 6.
xxf
21)( =
VII. Tentukan turunan fungsi berikut dengan menggunakan rumus-rumus dasar turunan
1. 2)3(41)(−
++=x
xxf 2. )32)(2()( 32 −+−= xxxxf
2. xxxxf sin)()( 2 −= 4. 12
1)(2
−+
=x
xxg
5. 3ln2)( xxf x= 6. xxxf 2.)( = 7. xxxf =)( VIII. Tentukan Tururnan dari setiap fungsi komposit berikut :
1 3 3)( xxxf += 2. tttF
+−
=11)(
3. )sin(cos)( xxF = 4. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
=tttF
11sin)(
IX. Tentukanlah fungsi invers dan turunan fungsi invers dari fungsi:
( )
11.0;.3
2;2.21;32.1
23
2
+−
=>=
<−=≥−−==
xxy4 xxy
xxy xxxxfy
X. Tentukanlah turunan pertama fungsi
( ) ( ) ( ) ( )2arccos13arcsin213arcsin1 xxy3. ey 2, xy x −===
XI. Tentukan f’’’(x)
1. 453)( 23 +−+= xxxxf 2. xexxf sin)( = 3. 22 )3()( += xxf
XII. Gunakan rumus turunan fungsi implisit untuk menentukan dxdy , dari persamaan yang
diberikan di bawah ini:
1. 02114 323 =−+ yxyx
2. xyxy 103 =+
3. 232 sin yxxyx =−
4. xyxyx 232 =−−
XIII Tentukan dxdy dari fungsi parameter berikut:
1. ⎩⎨⎧
≥=+=
0;9
ttytx 2.
⎪⎩
⎪⎨⎧
>=
+=
0;153
tt
ytx
3.
⎩⎨⎧
ℜ∈==
ttytx
;)cos(2cos2
21
BAB III PENUTUP
Keberhasilan mahasiswa memahami konsep turunan akan memudahkan
menerapkan matematika ada bidang ilmu lain seperti pada teknik, pertanian dll.
DAFTAR PUSTAKA
10. Dale Varberg & Edwin J. Purcell (1999) ”Calculus with Analytic Geometry” Sixth
Edition. Prentice-Hall, International, Inc. New Jersey.
11. James Stewart (2000) “ Kalkulus”. Edisi Keempat. Erlangga. Jakarta.
12. Lois Leithold (1987). “Kalkulus & Ilmu Ukur Analitik”. Edisi Pertam. PT.Bina Aksara.
Jakarta.
MODUL 5
Judul : Aplikasi Turunan
BAB I. Pendahuluan
Q. Latar Belakang
Modul ini akan dibahas penggunaan turunan pada masalah ekstrim
(maksimum dan minimum suatu fungsi dan bidang ilmu lain.
Pada kegiatan modul 5, khususnya akan dibahas mengenai penggunaan
turunan pada masalah ekstrim, penggunaan turunan pada ilmu sains dan rekayasa,
dan penggunaan turunan dalam ilmu ekonomi.
R. Ruang Lingkup Isi
Adapun ruang lingkup materi modul 5 ini meliputi : Maksimum dan
minmum fungsi , kemonotonan fungsi, Jenis ekstrim, teorema Rolle, teorema
nilai rata-rata, dan penggunaan turunan pada ilmu sains dan rekayasa, serta
penggunaan turuanan dalam bidang ekonomi..
S. Kaitan Modul
Modul ini merupakan konsep dasar bagi pengguna matematika untuk
berbagai bidang ilmu dan sangat erat kaitannnya dengan modul-modul
sebelumnya .
T. Sasaran Pembelajaran
1. Mahasiswa dapat menetukan jenis dan nilai ekstrim suatu fungsi
2. Mahasiswa dapat menggunakan turunan dalam bidang ilmu sains dan
rekayasa
3. Mahasiswa dapat menggunakan turunan yang berkaitan dengan masalah
ekstrim
4. Mahasiswa dapat menggunakan turunan dalam bidang ilmu ekonomi
BAB II. Pembahasan
2.1. Maksimum Dan Minimum Konsep turunan fungsi yang telah dibahas pada bab sebelumnya akan digunakan
untuk mempelajari perilaku grafik fungsi.
Suatu grafik fungsi dapat ditelusuri jejaknya bilamana kita telah mendapatkan informasi
tentang:
• Selang naik atau turun suatu fungsi (kemonotonan);
• Titik-titik di mana fungsi mencapai nilai maksimum atau minimum;
• Perilaku garis singgung terhadap grafik fungsi;
• Titik balik (Infleksi) dari grafik fungsi (jika ada);
• Asimtot-asimtot grafik fungsi dan lain sebagainya.
Kita mulai pembahasan pasal ini dengan konsep kemonotonan (naik turunnya) suatu fungsi.
2.1.1 Kemonotonan Suatu Fungsi Ingat kembali definisi, jika f suatu fungsi yang terdefinisi pada sebuah selang sembarang I
(terbuka, tertutup, setengah tutup), maka besarnya kenaikan f antara dua titik berbeda x1
dan x2 pada I adalah sebuah bilangan :
12
12 )()(xx
xfxf−−
Sebuah fungsi f dikatakan
(i). monoton naik (increasing) pada I ⇔
∀ sepasang bilangan x1, x2 ∈ I,
)()( 2121 xfxfxx <⇒< . Lihat gambar 5.1.
(ii). monoton turun (decreasing) pada I
⇔
∀ sepasang bilangan x1, x2 ∈ I
)()( 2121 xfxfxx >⇒< . Lihat gambar 5.2
y
x
I x x
f(x1)
f(x2) f monoton naik pada I
gambar 5.1
0
x
y
I x1 x2
f(x2)
f(x1) f monoton turun pada I
gambar 5.2
0
(iii). monoton tak turun pada I ⇔
∀ sepasang bilangan x1, x2 ∈I
)()( 2121 xfxfxx ≤⇒< . Perhatikan gambar 5.3.
(iv). monoton tak naik pada I ⇔
∀ sepasang bilangan x1, x2 ∈I
)()( 2121 xfxfxx ≥⇒< (gbr.5-4)
(v).(Kasus khusus) f konstan pada I ⇔
∀ sepasang bilangan x1, x2 ∈ I
)()( 2121 xfxfxx =⇒<
Jika salah satu sifat di atas dipenuhi oleh f, maka dikatakan f monoton pada I.
Ingat kembali bahwa f suatu fungsi satu-satu pada I bilamana untuk setiap pasang x1, x2 ∈
I, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2). Ini berarti bahwa jika f monoton naik (naik murni) pada I
maka f adalah fungsi satu-satu pada I, demikian pula kalau f monoton turun (turun murni)
pada I maka f adalah fungsi satu-satu pada I. (lihat gambar 5.1 dan 5.2).
Teorema 1
Misalkan f fungsi kontinu pada selang sembarang I dan f terturunkan pada setiap titik
dalam I.
(i) Jika Ixxf ∈∀> ,0)(' , maka f monoton naik pada I
(ii) Jika Ixxf ∈∀< ,0)(' , maka f monoton turun pada I
Teorema 2 (Titik kritis)
Andaikan f terdefinisi pada selang I yang memuat titik c. Jika ( ))(, cfc adalah titik
ekstrim, maka ( ))(, cfc haruslah suatu titik kritis, yakni berupa salah satu dari
y
gambar 5.3
x
I x x
f(x1
f(x2 f monoton tak turun pada I
0
y
gambar 5.4
x I x x
f(x2
f(x1 f monoton tak naik pada I
0
y
x I x x
f(x1) = f( )
f Konstan pada I
gambar 5.5
0
(i). titik ujung interval I
(ii) titik stasioner dari ( )0)(' =cff
(iii) titik singular dari ( )adatidakcff =)('
Titik kritis suatu fungsi adalah titik-titik yang diduga merupakan titik ekstrim fungsi
tersebut. Jika nilai-nilai ekstrim fungsi ada, maka nilai-nilai tersebut terdapat pada bilangan-
bilangan kritis fungsi. Akan tetapi tidak selamanya setiap bilangan kritis c dapat menjamin
keberadaan f(c) sebagai ekstrim relatif.
Teorema 3
Misalkan f sebuah fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Jika f
mencapai ekstrim relatif pada x = c maka haruslah f’(c) = 0 atau f’(c) tidak ada.
Catatan
1. Kebalikan teorema 3 tidak berlaku, yaitu bilamana f’(c) = 0, fungsi f belum tentu
mencapai ekstrim relatif pada titik x = c. Sebagai contoh : 3)( xxf = , jelas bahwa f’(0)
= 0, namun titik (0,0) bukan titik ekstrim relatif fungsi f (gambar 5-6 a).
2. Bisa juga terjadi kasus di mana f’(c) tidak ada, namun fungsi f mencapai ekstrim relatif
pada titik x = c. Sebagai contoh: 1)( −= xxg , maka fungsi g mencapai minimum
relatif di x = 1, namun g’(1) tidak ada (gambar 5-6 b).
Perhatikan ilustrasi dalam gambar 5.6 berikut :
2.1.2 Hubungan Kemonotonan, Garis Singgung Dan Turunan Pertama
Pandanglah sebuah fungsi f yang dapat diturunkan pada suatu selang I, maka ada
cara sederhana untuk menentukan pada selang mana fungsi f naik atau turun.
f’(0) = 0, tapi (0,0) bukan titik ekstrim relatif
x
y
0
f(x) = x3
gambar 5.6
x
y
0
titik (1,0) merupakan titik minimum relatif f, namun
g’(1) tidak ada
1)( −= xxg
(1,0)
(i) Jika fungsi f dapat diturunkan pada selang I, maka setiap titik pada grafik f dalam I
dapat dibuat (ada) garis singgung pada titik tersebut.
(ii) Pada bagian grafik yang naik, tanjakan garis singgung di suatu titik pada grafik f
positif (arah garis singgung menunjuk ke kanan atas), maka nilai fungsi dititik
berikutnya akan lebih besar dari nilai fungsi di titik sebelumnya, sehingga fungsi f
monoton naik. Sebaliknya dalam hal tanjakan garis singgung di suatu titik pada
grafik f negatif, maka nilai fungsi f monoton turun.
(iii) Oleh karena tanjakan garis singgung pada sebuah titik (x,f(x)) adalah f’(x), maka
dapat disimpulkan bahwa:
1. f naik apabila f’(x) > 0
2. f turun apabila f’(x) < 0
3. f stasioner apabila f’(x) = 0 (Lihat gambar 5.7)
Gambar 5.7
2.1.3 Nilai Maksimum Dan Minimum Fungsi Kontinu
Sebuah fungsi →Af : R dikatakan mencapai (i) nilai maksimum di titik Aa∈ jika ,),()( Axafxf ∈∀≤ (ii) nilai minimum di titik Aa∈ jika ,),()( Axafxf ∈∀≤
Tanjakan (-)
x
Variasi naik turun
Prilaku Grafik f
f
A
B
C
D
Tanjakan (-)
Tanjakan 0
Tanjakan 0
Tanjakan (+)
x1 x2 x3 x4
y
Turun Pada selang [x1,x2] f’(x)<0 Naik Pada
Turun Pada selang [x1,x2] f’(x)<0
0
Perhatikan gambar 5.8 , fungsi f terdefinisi pada selang tertutup [a,b]. Maka dijamin ada nilai
maksimum absolut yaitu f(a) dan nilai minimum absolut yaitu f(b). Titik A=(a,f(a)) sebagai
titik minimum absolut dan titik B=(b, f(b)) sebagai titik maksimum absolut.
5.2. Ekstrim Lokal (Relatif)
Perhatikan gambar 5.9,fungsi f terdefinisi pada (a,b), tetapi f tidak terdefinisi pada ujung-ujung interval (a dan b), sehingga meskipun seolah-olah titik A titik terendah dan titik B titik tertinggi, namun keduanya bukan titik minimum dan maksimum. Titik-titik P, R, dan T merupakan titik-titik maksimum relatif dari fungsi f, dan f(x1), f(x3), dan f(x5) merupakan nilai-nilai maksimum relatif f. Titik-titik Q, S, dan U merupakan titik-titik minimum relatif dari fungsi f, dan f(x2), f(x4), dan f(x6) merupakan nilai-nilai minimum relatif f.
Teorema 1 (Ekstrim Absolut) Misalkan f sebuah fungsi kontinu dalam interval tertututp [a,b]. Maka fungsi f dijamin mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum pada [a,b]
Teorema 2 (Lokasi Ekstrim Absolut) Misalkan f sebuah fungsi kontinu pada interval tertutup [a,b]. Maka ekstrim fungsi f dalam interval ini dicapai pada salah satu dari (i). pada ujung interval a atau b (ii) pada titik x didalam (a,b), dimana adatidak)('atau0)(' xfxf = .
A
P Q
R
S
T
U
B
a X1 X2 X3 X X X b
f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) f(x5) f(x6)
x f(a)
f(b)
Gambar 5.9
A
P Q
R
S
T
U
B
a X1 X2 X3 X X X b
f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) f(x5) f(x6)
x f(a)
f(b)
gambar 5.8
Definisi (ekstrim lokal(Relatif)
(i) f(a) dinamakan nilai maksimum relatif (lokal) fungsi f di x = a bilamana
terdapat selang terbuka I yang memuat a, sehingga: Ixxfaf ∈∀≥ ),()(
dan titik (a,f(a)) dinamakan titik maksimum relatif dari fungsi f.
(ii) f(a) dinamakan nilai minimum relatif (lokal) fungsi f di x=a bilamana terdapat
selang terbuka I yang memuat a, sehingga: Ixxfaf ∈∀≤ ),()(
dan titik (a,f(a)) dinamakan titik minimum relatif dari fungsi f
Pertanyaan Eksistensi ekstrim
Misalkan sebuah fungsi →Af : R , apakah f mempunyai nilai ekstrim pada A ?.
Jawabnya tergantung pada :
(i). Tergantung pada himpunan A tersebut.
Ambillah misalnya
),()( 3 ∞∞== Apadaxxf ,
maka fungsi ini tidak mempunyai nilai
maksimum dan nilai minimum (gambar
5.10).
Untuk fungsi f yang sama pada selang A =
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡− 1,
21 mempunyai nilai maksimum
f(1)=1, dan nilai minimum
81)2
1( −=−f (gambar 5.10b).
Untuk fungsi yang sama pada selang A =
)1,21[ − tidak mempunyai nilai maksimum,
tetapi nilai minimumnya 81)2
1( −=−f
(gambar 5.10c).
(ii). Juga tergantung pada tipe fungsinya.
Ambillah fungsi tak kontinu
y
x0
f(x) = x3
gambar 5.10a
x
y
0
f(x) = x3
gambar 5.10b
-1/2 1
f(x) = x3
gambar
x
y
0
-1/2
1
Rg →]2,0[:
yang didefinisikan
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤≤++−
<≤=
21;1210;
)(2 xxx
xxxg
Pada A= [0,2] fungsi g tidak mempunyai
nilai maksimum tetapi nilai minimumnya
g(0) = 0 (gambar 5.10d).
Uji kemonotonan fungsi
(i). Jika 0)(' >xf pada suatu interval I, maka grafik f monoton naik pada I
(ii). Jika 0)(' <xf pada suatu interval I, maka grafik f monoton turun pada I
Uji ekstrim dengan turunan pertama
Teorema 1 (The first derivative test)
Misalkan c adalah bilangan kritis untuk f dan f kontinu pada di titik c , maka
(i). Jika 'f berubah tanda dari positif ke negative pada c, maka (c,f(c)) merupakan titik maksimum lokal.
(ii). Jika 'f berubah tanda dari negatif ke positif pada c, maka (c,f(c)) merupakan titik minimum lokal.
(iii) Jika 'f tidak berubah tanda pada c, maka (c,f(c)) bukan titik ekstrim lokal.
Turunan kedua sebuah fungsi juga dapat digunakan untuk menyelidiki kecekungan kurva
fungsi. Turunan kedua dari fungsi f didefinisikan sebagai
h
xfhxfxfh
)(')(')(" lim0
−+=
→
.
Notasi: Jika )(xfy = maka turunan kedua dinotasikan )("2
2
xfdx
yd= .
Uji kecekungan (Test for Concavity)
Misalkan f terturunkan dua kali pada interval terbuka I
(i). Jika Ipadaxf 0)(" > , maka f cekung keatas pada setiap titik dalam I.
(ii). Jika Ipadaxf 0)(" < , maka f cekung kebawah pada setiap titik dalam I.
Hubungan antara turunan pertama, turunan kedua dan kecekungan diperlihatkan pada
gambar di bawah ini.
Jika 0">f dan )(' xf monoton naik, grafik f cekung ke atas
0 1
1 x
gambar
2
2
y
Jika )(',0" xfdanf > monoton naik grafik f cekung ke bawah
`
Uji turunan kedua untuk jenis ekstrim lokal
Misalkan 0)(' =cf
1. )(cf merupakan nilai maksimum lokal jika 0)(" <cf .
2. )(cf merupakan nilai minimum lokal jika 0)(" >cf .
3. Jika 0)(" =cf , uji ini gagal (tidak ada kesimpulan jenis ekstrim).
Contoh :
Diberikan fungsi f : RR → dengan persamaan: Rxxxxf ∈+−= ,23)( 23
Maka
1. f mencapai maksimum lokal dititik (0,2) dengan
nilai maksimum lokal f(0)=2.
2. f mencapai minimum lokal dititik (2,-2) dengan
nilai minimum lokal f(2)= - 2.
3. Grafik f monoton naik pada selang
),2()0,( ∞∪−∞
dan monoton turun pada selang )2,0( .
4. f mencapai titik belok di (1,0).
5. f Cekung ke bawah pada selang )1,(−∞ dan
cekung ke atas pada selang ),1( ∞ .
Teorema 2 (Ekstrim absolut)
1 2
-
2 f
0
y
x
(2,-2)
gambar 5.13a
0)(" >xf 0)(' <xf
0)(' >xf
Cekung keatas
gambar 5.11
0"<f
0)(' >xf 0)(' <xf
Cekung kebawah
gambar 5.12
Misalkan fungsi f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka ada bilangan-bilangan c1 dan c2
pada selang [a,b] sehingga f(c1) dan f(c2) masing-masing merupakan nilai maksimum
mutlak dan minimum mutlak fungsi f pada [a,b].
Catatan
1. Kebalikan teorema ini tidak berlaku, artinya terdapat beberapa fungsi yang mencapai
nilai maksimum dan minimum mutlak pada selang tertutup [a,b], tetapi fungsi tersebut
tidak kontinu pada [a,b].
2. Bila suatu fungsi terdefinisi pada selang setengah tutup (a,b] atau [a,b), teorema belum
tentu berlaku.
Contoh
ℜ→]2,0[:f , diskontinu dan didefinisikan
sebagai
⎩⎨⎧
≤≤++−<≤=
21;1210;)( 2 xxx
xxxf
Jelas bahwa f mencapai nilai maksimum mutlak f(1)
= 2 di titik x = 1 dan nilai minimum mutlak f(0) = 0 di
titik x = 0, namun dalam hal ini f tidak kontinu di x
= 1.
Langkah-langkah menentukan ekstrim absolut
i) Tentukan nilai fungsi f(a) dan f(b) yaitu nilai fungsi pada ujung-ujung selang tertutup
[a,b].
ii) Tentukan semua titik-titik kritis fungsi f pada selang tertutup [a,b].
iii) Nilai fungsi yang terkecil yang diperoleh dari langkah (i) dan (ii) merupakan nilai
minimum mutlak f pada selang tertutup [a,b], dan nilai terbesar merupakan nilai
maksimum mutlak f pada selang tertutup [a,b].
2.3. Titik Balik (Titik Infleksi)
Perubahan kemonotonan suatu fungsi kontinu menghasilkan titik ekstrim relatif
pada grafik fungsi. Sedangkan perubahan kecekungan suatu fungsi kontinu menghasilkan
suatu titik balik (point of inflection) bilamana di titik tersebut terdapat garis singgung pada
grafik fungsinya.
Definisi
0 1
1 x
y
Gambar 5-14
2
2
Misalkan f suatu fungsi kontinu yang terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c.
Titik (c,f(c)) dinamakan titik balik dari fungsi f jika kedua syarat berikut dipenuhi:
(i) Terdapat garis singgung pada grafik f di titik (c,f(c)).
(ii) Terdapat perubahan kecekungan dari fungsi f di sekitar titik x = c.
Catatan
1. Syarat adanya garis singgung pada fungsi f di titik baliknya tidak ekivalen dengan
fungsi f mempunyai turunan di x = c.
2. Perubahan kecekungan yang dimaksudkan adalah apabila ada selang terbuka (a,b)
yang memuat c sehingga f cekung ke atas pada (a,c) dan cekung ke bawah pada
(c,b) atau sebaliknya.
3. Garis singgung di titik balik akan melintasi grafik fungsi f. lihat gambar 5.17a dan
gambar 5.17b.
Teorema
Misalkan f terdiferensial pada selang I , dan misalkan c sebuah titik dalam I dan
misalkan pula ''f kontinu di c. Jika titik (c,f(c)) adalah titik balik dari grafik f maka
0)('' =cf .
Catatan
1. Kebalikan teorema tersebut tidak benar. Artinya
bilamana 0)('' =cf , belum tentu (c,f(c))
merupakan titik balik fungsi f. Sebagai ilustrasi
fungsi 4)( xxf = ,
maka 212)('' xxf = dan 0)0('' =f akan tetapi titik
(0,0) bukan titik balik karena 0,0)(" ≠∀> xxf , ini
berarti bahwa grafik fungsi f cekung ke atas untuk
setiap x ≠ 0. lihat gambar 5.18.
x
y
0
Titik balik
gambar 5.17a
Garis singgung
b c a x
y
0
Titik balik
gambar 5.17b
Garis singgung
b c a
1
1
-1
2
4)( xxf =
0
Gambar 5.18
2. Sebaliknya, titik (c,f(c)) dapat merupakan titik
balik grafik f meskipun )('' cf tidak ada.
Contoh :
Tentukan titik-titik balik fungsi berikut dan gambar grafiknya.
a. 1)( 321 += xxf
b. 3)( 31+= xxg
Penyelesaian :
a. 1)( 321 += xxf
⇒ 223)(' xxf =
⇒ xxf 3)('' = .
Jelas bahwa 223)(' xxf = kontinu di R. Jadi
f’(x) = 0. Akibatnya grafik f mempunyai garis
singgung di titik (0,1). Turunan kedua
xxf 3)('' = jelas bahwa f’’(x) > 0 untuk x > 0
dan f’’(x) < 0 untuk x < 0. Jadi f’’(x)
berubah tanda di sekitar x = 0. Karenanya titik
(0,1) adalah titik balik dari fungsi f, lihat
gambar 5.19.
b. 3)( 31+= xxg
⇒ 32
31)(' −
= xxg
⇒ 35
92)('' −−= xxg
Dalam hal ini satu-satunya nilai x = 0 yang
membuat g’(x) tidak ada. Jadi titik (0,3)
merupakan titik kritis. Selanjutnya, untuk x = 0,
tampak bahwa g’’(0) tidak ada. Tetapi
3592)(''
xxg −= ada untuk setiap x ≠ 0 dan
0,0)(",0,0)('' >∀<<∀> xxgxxg
x
y
0
Titik belok
gambar 5.20
(0,3)
g(x)
g’’(x) > 0
g’’(x) < 0
x
y
0
Titik balik
gambar 5.19
(0, 1)
Jadi untuk x < 0 grafik g cekung ke atas dan untuk x > 0 grafik g cekung ke
bawah. Sehingga terjadi perubahan kecekungan grafik g di sekitar x = 0. Jadi (0,3)
merupakan titik balik grafik g, meskipun g”(0) tidak ada, lihat gambar 5.20.
Catatan
033lim
0)0()(lim)0('
31
00 −−+
=−−
=→→ x
xx
gxggxx
⇒ +∞==−
→
32
0lim)0(' xgx
.
Ini berarti meskipun g’(0) tidak ada, tetapi grafik g masih mempunyai garis singgung di
titik (0,3) yaitu sumbu y.
2.4. Teorema Rolle Dan Teorema Nilai Rata-Rata
2.4.1 Teorema Rolle
Teorema Rolle ini menjelaskan secara geometri bahwa jika f kontinu dan memiliki turunan
pada setiap titik ),( ba∈ dan jika f(a) = f(b) maka ada paling sedikit satu titik pada grafik f
antara x = a dan x = b yang garis singgungnya sejajar dengan sumbu x. (lihat gambar
5.25a). Jika antara x = a dan x = b ada sebuah titik di mana f tidak memiliki turunan,
maka ada kemungkinan grafik f tidak memiliki garis singgung horisontal, walaupun f
kontinu dan f(a) = f(b), lihat grafik 5.25b. Dalam hal ini teorema Rolle tidak berlaku.
Selanjutnya teorema Rolle ini memungkinkan kita mengetahui lokasi terjadinya titik ekstrim
fungsi.
a c b x
y
0
f(a) = f(b)
Teorema Rolle berlaku
gambar 5.25a gambar 5.25b
a c b x
y
0
f(a) = f(b)
Teorema Rolle
Misalkan f suatu fungsi yang kontinu pada selang tertutup [a,b] dan mempunyai turunan pada selang terbuka (a,b) serta f(a) = f(b), maka ada bilangan c ∈ (a,b) sedemikian sehingga f ’ (c) = 0.
Contoh :
Diberikan fungsi dengan persamaan: xxxf 2)( 361 −=
a. Tentukan selang tertutup pada daerah definisi fungsi f dimana syarat teorema Rolle
dipenuhi.
b. Tentukan nilai c pada selang terbuka dari jawaban (a) yang memenuhi kesimpulan
teorema Rolle.
Penyelesaian :
a. Grafik fungsi f memotong sumbu-x bilamana f(x) = 0, yaitu
0)2(2)( 2613
61 =−=−= xxxxxf 0)32)(32( =−+⇔ xxx
diperoleh titik-titik x = 0; 32−=x ; 32=x , dengan
f(0) = 0; 0)32( =−f ; dan 0)32( =f
disini jelas pula bahwa fungsi f kontinu dan mempunyai turunan pada R. Karena itu
syarat teorema Rolle dipenuhi pada selang tertutup: ]0,32[− ; ]32,0[ ; dan
]32,32[− .
b. Karena syarat teorema Rolle dipenuhi oleh fungsi f pada selang tertutup ]0,32[− ,
maka ada bilangan c ∈ )0,32(− sehingga f ’ (c) = 0.
Karena 2)(' 221 −= xxf kontinu pada R sehingga 2)(' 2
21 −= ccf , akibatnya
02221 =−c , menghasilkan c1 = -2 dan c2 = 2. Yang dipilih adalah c1 = -2 karena c
harus terletak pada selang )0,32(− . Jadi bilangan c yang memenuhi teorema Rolle
pada selang )0,32(− adalah -2.
Dengan cara yang sama, maka pada selang
)32,0( , nilai c yang memenuhi teorema
Rolle adalah 2.
Terakhir pada selang )32,32(− ,
nilai c yang memenuhi teorema Rolle
adalah c1 = -2 dan c2 = 2. Perhatikan
gambar 5.26.
2.4.2 TEOREMA NILAI RATA-RATA
Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi syarat :
(i) f kontinu pada selang tertutup [a,b]
x 1 2 3
32 32−
- --
-3
-
-
1 2 3
gambar 5.26
y
f(x)
(ii) f mempunyai turunan pada selang terbuka (a,b)
maka ada suatu bilangan c ∈ (a,b) sehingga:
ab
afbfcf−−
=)()()(' atau )(')()()( cfabafbf −+=
Catatan:
Teorema nilai rata-rata adalah perluasan teorema Rolle atau dapat dikatakan teorema
Rolle adalah hal khusus dari teorema nilai rata-rata. Secara geometri, teorema nilai rata-
rata mengatakan bahwa jika grafik fungsi kontinu memiliki garis singgung pada tiap titik
antara A dan B gambar 5.28, maka ada paling sedikit satu titik pada kurva antara A dan
B yang garis singgungnya sejajar dengan tali busur AB.
Contoh
Diberikan: ℜ→]9,4[:f , xxf 2)( =
Tentukanlah nilai c dalam selang terbuka (4,9) yang memenuhi teorema nilai rata-
rata.
Penyelesaian :
xxf 2)( = , maka x
xf 1)(' = , sehingga f kontinu dan f’ ada untuk semua x > 0. Jadi f
memenuhi syarat-syarat teorema nilai rata-rata pada selang [4,9]. Maka ada bilangan c ∈
(4,9) sehingga :
abafbfcf
−−
=)()()(' ⇒
49)4()9()('
−−
=ffcf ⇒
425
5461
=⇒−
= cc
Dalam hal ini
52
49)4()9(
425' =
−−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ fff
merupakan tanjakan garis AB
( tanjakan garis singgung kurva di titik P).
Lihat gambar 5.29.
a b x
y
0
Gambar 5.28
c
B f
A
f(b)
f(a)
1 9 x
y
0
gambar 5.29
4
B f A
6
4
c
P
(i) 91;)( ≤≤−= xxxg
Dalam bentuk tidak mengandung nilai mutlak :⎪⎩
⎪⎨⎧
<≤−−
≤≤=
01;
90;)(
xx
xxxg
dan
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<<−−
−
<<=
01;2
1
90;2
1
)('x
x
xxxg
mudah ditunjukkan bahwa g ’(0) tidak ada a. Jelas bahwa g kontinu pada selang tertutup [-1,9]. Tetapi g tidak mempunyai
turunan di x = 0, maka syarat teorema nilai rata-rata tidak dipenuhi pada selang
yang diberikan.
b. g(9) = 3 dan g(-1) = 1. Misalkan nilai c positif, maka
)1(9)1()9()('
−−−−
=ffcg
416
51
21
1013
21
=⇔=⇔−
= ccc
,
c positif , Jadi nilai 416=c .
Nilai ini masih terletak pada selang (-1,9)
Andaikan nilai c negatif , maka
212
51
21
−=−⇔=−− c
c
hal ini kontradiksi bahwa hasil penarikan akar pangkat dua tidak mungkin
negatif. Akibatnya bilangan c dalam kasus ini tidak mungkin negatif.
Perhatikan andaikan kita pilih selang [-1,4] maka dalam kasus ini fungsi g tidak memenuhi
syarat teorema nilai rata-rata sebab tidak ada bilangan c yang memenuhi
)1(4
)1()4()('−−−−
=ffcg .
2.5 Menggambar Grafik Fungsi
Menggambar grafik fungsi dapat dilakukan dengan menguji persamaan fungsinya,
apakah simetri terhadap sumbu-sumbu koordinat atau terhadap titik asal. Bila
memungkinkan dapat pula ditentukan titik potong dengan sumbu-x dan sumbu-y, walaupun
hanya perkiraan saja. Pengetahuan tentang daerah asal dan daerah nilai fungsi dapat
membatasi grafik fungsi pada sebuah daerah yang terbatas pada bidang. Pengetahuan
1 9 x
y
0
Gambar 5.26
4
B g A
3
2
c
P
1
-1
tentang nilai-nilai ekstrim lokal fungsi dan letaknya titik-titik balik sangat membantu. Selain
itu pengetahuan tentang tanda turunan pertama dapat memberikan informasi tentang
kemonotonan (naik/turunnya) grafik fungsi, tanda turunan kedua dapat memberikan
informasi tentang kecekungan grafik fungsi. Asimptot-asimptot sangat dapat membantu
menggambar grafik-grafik. Selain itu titik-titik fungsi f, f’ dan f’’ yang tidak terdefinisi
penting pula diketahui. Dengan memperhatikan hal-hal tersebut di atas, grafik sebuah fungsi
dapat digambar dengan mudah dan cermat.
Langkah-langkah yang dapat ditempuh untuk menggambar grafik fungsi adalah sebagai
berikut:
I. Analisis Pendahuluan meliputi:
a. Tentukan daerah asal dan bila mungkin tentukan pula daerah nilai fungsi, serta
tentukan titik-titik (daerah) pada bidang yang tak memuat grafik fungsi.
b. Tentukan kemungkinan adanya sifat simetri fungsi terhadap sumbu-sumbu
koordinat atau terhadap titik asal.
Catatan 1
Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-sumbu koordinat, grafik fungsi ganjil simetri
terhadap titik asal.
c. Tentukan titik-titik potong grafik fungsi dengan sumbu-sumbu koordinat bila ada,
meskipun hanya perkiraan.
Catatan 2
Titik potong grafik fungsi dengan sumbu x dicapai jika y = 0, titik potong
grafik fungsi dengan sumbu-y dicapai jika x = 0.
d. Gunakan turunan pertama untuk menentukan selang-selang grafik fungsi
monoton naik dan monoton turun.
Catatan 3
f monoton naik pada I, jika f’(x) > 0, ∀ x ∈ I.
f monoton turun pada I jika f’(x) < 0, ∀ x ∈ I.
e. Tentukan semua bilangan-bilangan kritis fungsi dan gunakan turunan pertama
dan turunan kedua untuk menentukan titik-titik ekstrim lokal dan jenisnya.
Catatan 4
Bila c adalah bilangan kritis fungsi maka f’(c) = 0 atau f’(c) tidak ada.
f. Gunakan turunan kedua untuk menentukan selang-selang grafik cekung ke atas
atau cekung ke bawah.
Catatan 5
),(,0)('' baxxf ∈∀> , maka grafik f cekung ke atas pada (a,b).
),(,0)('' baxxf ∈∀< , maka grafik f cekung ke bawah pada (a,b).
g. Tentukan titik-titik balik jika ada, dan asimtot-asimtotnya jika ada.
II. Dari analisa di atas ditambah dengan beberapa titik pada grafik, maka kurva tersebut
dapat digambar.
Contoh :
Lakukan analisa pendahuluan, kemudian gambar grafik dari fungsi :
1)( 23314
41 +−−= xxxxf
Penyelesaian :
a. 1)( 23314
41 +−−= xxxxf . Domain f adalah semua bilangan real R
)2)(1(2)(' 23 −+=−−= xxxxxxxf ))((223)('' 3
713
712 −+ −−=−−= xxxxxf .
Jelas bahwa f, f’ dan f’’ kontinu pada setiap bilangan real R.
Bilangan kritis f diperoleh dengan menyelesaikan persamaan f’(x) = 0,
diperoleh x = -1, x = 0, dan x = 2, dengan nilai-nilai fungsi masing-masing
untuk 27)1(1 =−⇒−= fx dan 03)1('' >=−f
1)0(0 =⇒= fx dan 02)0('' <−=f
35)2(2 −=⇒= fx dan 06)2('' >=f
Kesimpulan:
Titik maksimum relatif dari f adalah (0,1) dan
Titik minimum relatif dari f adalah (-1,7/2) dan (2,-5/3).
Selang Grafik f naik diperoleh dengan menyelesaikan pertidaksamaan
0)2)(1(0)(' >−+⇔> xxxxf ,
Tanda f ’ dapat diperiksa dari gambar
berikut dari hasil ini disimpulkan bahwa
f naik pada selang (-1,0) ∪ (2,+∞), ini
berarti f turun pada selang (-∞,-1)∪
(0,2).
Titik balik f diperoleh dengan menyelesaikan persamaan 0)(" =xf ,diperoleh
)71(31 ±=x .
Tanda f’’(x) dapat diperiksa sebagai berikut:
Sehingga grafik f cekung ke atas
pada selang
)71(31 −<x ∪ )71(3
1 +>x .
grafik f cekung ke bawah pada
selang
)71()71( 31
31 +<<− x
Grafik fungsi f pada gambar
5.29.
2.6. Penggunaan Turunan Pada Ilmu Sains Dan Rekayasa 2.6.1 Laju Berhubungan (Related Rates)
1
1
-1 0 2 x
y
Gambar 5.29
f(x)
(-1, 127 )
(- 35 )
(2,- 35 )
0 0 + + + + + + + + + + - - - - - -
371+ 3
71−
f’’(x) > 0 f’’(x) > 0 f’’(x) < 0
gambar
------------ ++++++++ ---------- +++++++ 0 -1 2
gambar 5.27
Misalkan y adalah fungsi dari waktu t dengan persamaan y = f(t), yang dapat diturunkan
maka dtdy menyatakan laju perubahan y terhadap waktu t. Dalam hal y menyatakan jarak,
maka dtdy merupakan kecepatan.
Akan tetapi banyak masalah yang memuat peubah-peubah x dan y, dan hubungan
diantaranya merupakan persamaan yang tidak memuat waktu t. Sedangkan x dan y adalah
fungsi-fungsi dari t yang tidak diketahui. Kerapkali mungkin dalam persoalan demikian
untuk menghitung dtdx dan
dtdy yang merupakan laju perubahan/kecepatan sesaat x dan y
terhadap waktu tanpa menyatakan x atau y secara eksplisit sebagai fungsi dari t, bila salah
satunya diketahui. Permasalahan seperti ini yang diselesaikan dengan turunan implisit,
dikenal sebagai “laju berhubungan” dan dapat diselesaikan sebagai berikut :
1. Tentukan semua persamaan yang menghubungkan besaran-besaran yang terlibat
didalamnya.
2. Tentukan turunan implisit dari kedua ruas persamaan terhadap peubah t.
3. Gunakan hasil dari langkah kedua untuk menentukan laju perubahan yang tidak
diketahui.
4. Tetapkan titik asal O, ambillah arah positif kekanan/keatas, dan arah negatif
kekiri/kebawah. Bila partikel bergerak kekanan atau keatas maka dtdx positif, dan bila
bergerak kekiri atau kebawah maka dtdx atau
dtdy bertanda negatif.
Contoh :
Sebuah tangga yang panjangnya 5 m bersandar pada
dinding tegak, dan ujung bawahnya terletak pada
lantai datar. Jika pada saat ujung atas tangga berada 4
meter di atas lantai, kecepatan meluncurnya adalah 3
meter/detik. Tentukan kecepatan meluncur ujung
tangga di lantai pada saat itu. (gambar 5.34)
Penyelesaian :
dinding
Tangga 5 mdt
dy
dtdx
x lantai
4m
y
Gambar 5.31
Gambar 5.34
Misalkan y meter menyatakan jarak ujung tangga bagian atas ke lantai dan x meter
menyatakan jarak ujung tangga bagian bawah ke dinding.
Akan dihitung dtdx pada saat y = 4 meter, bila diketahui
dtdy = -3 meter/detik (tanda negatif
menyatakan arah ujung tangga meluncur kebawah).
Karena panjang tangga = 5 meter maka persamaan yang menghubungkan x dan y
(menggunakan Phytagoras) adalah : x2 + y2 = 25 ……………….(1)
Turunan implisit terhadap t dari kedua ruas adalah
022 =+dtdyy
dtdxx atau 0=+
dtdyy
dtdxx …………………(2)
untuk y = 4 meter maka dari pers.(1) diperoleh 31625 =−=x meter.
Dan karena dtdy = -3 m/dt maka dari pers.(2) diperoleh : dt
mdtdx
dtdx 4 ,0)3(4.3 =⇒=−+ .
Kesimpulan
Kecepatan meluncurnya ujung tangga di lantai pada saat kecepatan meluncurnya ujung atas
tangga 3 m/s ketika berada 4 meter diatas lantai adalah dtdx = 4 m/s.
2.6.2 Penggunaan Turunan Pada Masalah Ekstrim Banyak masalah dalam kejadian sehari-hari atau dalam sains, teknik, geometri dan
ekonomi menentukan penentuan nilai maksimum (atau minimum) mutlak dari suatu fungsi
kontinu. Dalam contoh-contoh berikut akan diperlihatkan bagaimana cara menerjemahkan
problem yang tersamar ke dalam suatu model matematika dan kemudian menentukan nilai
ekstrimnya.
Ringkasan langkah-langkah yang diperlukan adalah :
a) Amati persoalan yang dihadapi dengan cermat, kemudian tentukan besaran yang
mana (atau fungsi yang objektif) yang akan dimaksimumkan (atau diminimumkan).
Nyatakan besaran ini dengan suatu huruf. Selanjutnya nyatakan besaran ini sebagai
“fungsi dari hanya satu peubah”. Seringkali kita berhadapan dengan dua persamaan
yang terdiri atas tiga peubah, jika demikian halnya, eleminasikan salah satu peubah
untuk memperoleh suatu persamaan (atau fungsi objektif) dengan satu peubah bebas
saja.
b) Tentukan turunan fungsi objektif yang diperoleh dari langkah a) dan andaikan
turunannya sama dengan nol, untuk mendapatkan bilangan-bilangan kritis fungsi.
Penyelidikan jenis ekstrim dapat dilakukan dengan salah satu uji coba yang telah
dibahas pada bab terdahulu.
c) Tentukan nilai maksimum (atau minimum) fungsi dengan membandingkan nilai
ekstrim lokal yang nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung selang daerah definisi
fungsinya.
Contoh :
Sehelai karton berbentuk bujursangkar dengan luas 81 cm2. Pada keempat ujung-ujung
karton tersebut digunting bujursangkar yang ukurannya sama. Selanjutnya karton tersebut
dilipat keatas sehingga diperoleh sebuah kotak tanpa tutup. Tentukan volume dos yang
paling besar yang dapat dibuat dari karton tersebut.
Penyelesaian :
Perhatikan gambar
Misalkan x = ukuran sisi bujur sangkar yang dibuang pada ke 4 ujung karton (lihat gambar)
v = Volume kotak yang akan dimaksimumkan.
Ukuran (atau sisi) kotak yang akan kita buat adalah
LUAS= 81 cm2
9 cm
9 cm
9 - 2x
9 - 2x
x
x
x x
9 - 2x 9 - 2x
x
Gambar 5.38
Panjang = 9 – 2x cm Lebar = 9 – 2x cm
Tinggi = x cm, dengan 0 ≤ x ≤ 9/2 (mengapa ? ) . Maka volume kotak adalah
V(x) = (9 – 2x)(9 – 2x). x, merupakan fungsi terhadap peubah bebas x.
atau V(x) = 4x3 – 36x2 + 81x ; 0 ≤ x ≤ 9/2 …….. (1).
Syarat agar V mencapai maksimum adalah V1(x) = 0 atau V1(x) tidak ada.
Karena V1(x) = 12x2 – 72x + 81 maka kita selesaikan persamaan V1(x) = 0 yaitu
3 (4x2 – 24x + 27) = 0 ⇔ 3 (2x – 3) (2x – 9) = 0 …… (2).
Karena V1(x) ada untuk semua x ∈R, maka dari (2) diperoleh bilangan kritis V adalah
23
=x atau 29
=x , keduanya berada dalam selang tertutup ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
29,0 .
Karena V kontinu dalam selang tutup ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
29,0 maka V mempunyai nilai maksimum mutlak
dalam selang ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
29,0 .
Nilai ekstrim V dicapai pada bilangan kritisnya atau pada ujung-ujung interval daerah
definisinya; yaitu untuk x = 0 ; 23
=x ; atau 29
=x , sehingga dari persamaan (1) diperoleh
0)0( =V ; 5423
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛V ; dan 0
29
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛V
Kesimpulan
Volume maksimum kotak yang dapat dibuat dari karton tersebut adalah
5423
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛V centimeter kubik.
Untuk menguji volume maksimum kotak ini, dapat dilakukan uji turunan kedua yaitu
V”(x) = – 72 + 24x , sehingga V”(3/2) = - 72 + 24(3/2) = - 36 < 0
Jadi 5423
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛V cm3 merupakan volume maksimum kotak.
2.6.3 Penggunaan Turunan Dalam Ekonomi Di dalam ilmu ekonomi, variasi (perubahan) suatu besaran (peubah) terhadap besaran
lainnya dapat dinyatakan (diekspresikan) dalam konsep “rata-rata” dan “konsep marginal”
Definisi
Pandang suatu fungsi y = f(x), maka
(i) Fungsi rata-rata y didefinisikan sebagai hasil bagi xy yaitu:
xxf
xyy )(== ………….(1)
(ii) Fungsi marginal y’ didefinisikan sebagai hasil bagi diferensial dxdy yaitu tak
lain dari turunan pertama f yaitu :
x
xfxxfdxdyy
x ∆−∆+
==→∆
)()(lim'0
……….(2) asal limitnya ada
Antara fungsi rata-rata y dan fungsi marginal y’ terdapat hubungan bahwa fungsi xyy =
mempunyai garis singgung mendatar maka di titik itu kedua fungsi y dan y’ mempunyai
nilai yang sama, yaitu bilamana : 0'=y maka y = y’.
Di sini ini diperlihatkan mengapa hal tersebut terjadi.
2''
xyxyy
xyy −
=⇒=
bila
yxyx
yxyy =⇔−
=⇒= ''00'
yxyy ==⇒ ' .
Perhatikan gambar 5.44 berikut yang merupakan
definisi y . Nilai y di suatu titik P ditunjukkan
dengan tangen sudut β yang dibuat garis OP dengan
sumbu x positif, karena:
yxy==βtan .
Tampak bahwa garis singgung OR memberikan sudut β terbesar dan garis singgung OQ
memberikan sudut β terkecil, sehingga fungsi rata-rata y di R maksimum dan fungsi rata-
rata Q minimum.
0 x
y
x
y
R
S
T Q
β α
P(x,y) y =
Gambar
Selanjutnya fungsi elstisitas E didefinisikan sebagai hasil bagi antara fungsi marginal y’
dengan fungsi rata-rata y yaitu: yyE '
= yang dapat dituliskan sebagai:
xdyd
xdxy
dy
xy
dxdy
Elnln
=== ………(3)
Fungsi elastisitas ini meskipun jarang digunakan dalam matematika namun merupakan hal sangat penting
dalam ekonomi. Grafik elastisitas ditunjukkan dalam gambar 5.45.
Sekarang kita akan definisikan fungsi biaya total, fungsi biaya rata-rata, dan fungsi biaya
marginal.
Definisi
Misalkan x menyatakan banyaknya unit (satuan) barang (komoditi) tertentu yang
diproduksi, maka:
(i) Biaya total untuk memproduksi x satuan barang atau pengeluaran total untuk
memproduksi x satuan barang itu dan dituliskan sebagai:
)(xcy = ……….(4)
Fungsi c disebut fungsi biaya total (total cost function)
(ii) Biaya rata-rata, yaitu biaya rata-rata untuk memproduksi satu satuan barang yang
dituliskan sebagai:
xxcxQ )()( = ……….(5)
Fungsi Q disebut fungsi biaya rata-rata (everage cost function)
(iii) Biaya Marginal, yaitu biaya untuk memproduksi secara tambahan satu satuan
barang yang dituliskan sebagai:
xxcxxcxcy
x ∆−∆+
==→∆
)()(lim)(''0
………(6)
0 x C
D
A x
y
P(x,y)
α
y
y = f(x)
Gambar 5.45
jika limitnya ada, fungsi c’ disebut biaya marginal (marginal cost function).
Contoh :
Misalkan c(x) menyatakan biaya total dalam rupiah untuk memproduksi x satuan pensil
HB (x ≥ 10) dan c(x) ditentukan oleh:
xxxc 40080015)( ++=
maka: Fungsi biaya rata-rata tiap satuan pensil adalah:
24008001540080015)()(xxx
xx
xxcxQ ++=
++==
a. Fungsi biaya marginal adalah: 2400800)('x
xc −=
b. Misalkan dalam satu minggu diproduksi x = 500 satuan pensil maka biaya
marginalnya adalah: 9984,799.500400800)500(' 2 Rpc =−=
c. Biaya untuk memproduksi pensil yang ke 501 (satu pensil lebih) adalah:
9982,799.8,4000157982,400815)500()501( Rpcc =−=−
perhatikan bahwa jawaban (c) dan (d) terdapat perbedaan sebesar Rp. 0,0002 hal ini
disebabkan karena biaya marginal merupakan biaya perubahan sesaat dari c(x). Dalam
hal ini c’(500) merupakan biaya pendekatan untuk memproduksi pensil yang ke 501
(satu pensil lebih).
d. Untuk memproduksi 5 batang pensil lebih adalah kira-kira:
9920,3999.)9984,799)(5())500(')(5( Rpc ==
Selanjutnya akan didefinisikan biaya rata-rata marginal sebagai berikut:
Definisi
Misalkan Q(x) menyatakan banyaknya biaya dalam rupiah untuk memproduksi satu unit
dari x unit barang (komoditi) tertentu, maka biaya rata-rata marginal untuk x = x1
didefinisikan sebagai Q’(x1) asal turunannya di x1 ada dan Q’ disebut fungsi biaya rata-
rata marginal.
Perhatikan bahwa : xxcxQ )()( =
⇒ 2)()(')('
xxcxxcxQ −
=
Selanjutnya turunan kedua adalah:
3
2 ))()('(2)('')(''x
xcxxcxcxxQ −−=
Bila
Q’(x) = 0
Maka
xc’(x) – c(x) = 0,
sehingga
x
xcxQ )('')('' = .
Dalam ekonomi x umumnya positif, sehingga tanda Q’’(x) sama dengan tanda c’’(x)
dengan demikian:
Q’(x) = 0 dan c’’(x) > 0 maka Q(x) mencapai minimum
Q’(x) = 0 dan c’’(x) < 0 maka Q(x) mencapai maksimum
Selanjunya grafik dari fungsi biaya total, fungsi biaya marginal, dan fungsi biaya rata-rata
masing-masing kita namakan TC, MC, dan AM. Perhatikan gambar (5-37 a,b,c) berikut:
1. Fungsi biaya total linier
bmxxc +=)(
m harus positif karena fungsi c monoton naik dan b
harus positif. Biaya marginal diberikan oleh:
mxc =)('
adalah garis lurus yang sejajar sumbu x. Jika Q
merupakan fungsi biaya rata-rata, maka
xbmxQ +=)(
dan fungsi biaya rata-rata marginal
adalah:
2)('xbxQ −=
0
b
x
y
AC TC
m
Gambar 5.46a
merupakan hiperbola umum.
2. Fungsi biaya total kuadrat
cbxaxxc ++= 2)(
dimana a dan c positif.
baxxc += 2)('
dan bilangan kritis dari c adalah ab
2− , di sini
dibedakan atas 2 kasus yaitu b ≥ 0 dan b < 0.
Kasus b ≥ 0 ,
a
b
2
− adalah negatif atau 0. Ini berarti puncak
parabola terletak di sebelah kiri sumbu-y atau pada
domain x yang negatif.
Selanjutnya karena domain c harus positif, maka
sketsa dari TC untuk b > 0 ditunjukkan pada
gambar 5.46b.
Kasus b < 0, ab
2− positif maka puncak parabola
terletak di kanan sumbu-y atau pada domain x > 0,
dan domain dari c adalah ),[ 2 +∞−ab , sketsa TC
untuk b < 0 ditunjukkan pada gambar 5.46c.
Contoh :
Misalkan c(x) adalah biaya total untuk memproduksi 100x unit produksi dengan
persamaan
82)( 221 +−= xxxc .
Tentukanlah:
a. Fungsi biaya rata-rata
b. Fungsi biaya marginal
c. Fungsi biaya rata-rata marginal
d. Hitung nilai minimum absolut untuk biaya rata-rata dan buat sketsa grafik biaya total,
fungsi rata-rata, dan fungsi biaya rata-rata marginal dalam satu sistem sumbu.
Penyelesaian :
y
0
c
x
TC
ab
2−
Gambar 5.46b
0
c
x
y
TC
ab
2−
Gambar 5.46c
a. Fungsi biaya rata-rata adalah x
xxxcxQ 82)()( 2
1 +−==
b. Fungsi biaya marginal adalah 2)(' −= xxc
c. Fungsi biaya rata-rata marginal adalah 221 8)('
xxQ −=
d. Untuk Q’(x) = 0, diperoleh 0822
1 =−x
sehingga bilangan kritis untuk Q adalah 4
dengan 2482)4()4( 2
1 =+−=Q
06416)4(''16)('' 3 >=⇒= Q
xxQ
maka Q mencapai minimum relatif yaitu 2 pada saat x = 4.
Karena x > 0 maka Q(x) kontinu pada (0,∞), dan hanya ada minimum relatif pada (0,∞)
yaitu dicapai pada x = 4. Maka disimpulkan bahwa Q mempunyai nilai minimum absolut
pada x = 4 dan 100x = 400, maka nilai minimum absolut untuk biaya rata-rata unit adalah
Rp. 4,-. Jika 400 unit diproduksi.
Sketsa grafik TC, MC, dan AC ditunjukkan pada gambar 5.47.
Fungsi Pendapatan, Fungsi Keuntungan dan Fungsi Pendapatan Marginal
0 2 4
2 3
6
8 T MC
xxxQ 82)( 2
1 +−=
x
y
Gambar 5.47
82)( 221 +−= xxxc
2)(' −= xxc
A
Harga satuan barang yang dapat dijual adalah fungsi permintaan. Fungsi permintaan
tersebut kita namakan p. Jika ada x satuan barang dapat dijual maka p(x) adalah harga
satuan barang yang telah terjual tersebut. Misalkan x banyaknya barang tertentu yang
diproduksi dan dipasarkan, Fungsi permintaan (penerimaan) total R, nilainya adalah R(x),
kalau x satuan terjual. Jadi R(x) = xP(x) atau
)()( xpxxR
= .
Keuntungan P(x) jika x satuan barang telah diproduksi dan terjual adalah selisih antara
pendapatan total dengan biaya total, yaitu:
)()()( xcxRxP −=
Pendapatan marginal adalah laju kenaikan pendapatan (penerimaan) tiap satuan kenaikan
dalam penjualan, dan dinotasikan sebagai R’(x); sedang p’(x) adalah harga marginal dan
P’(x) adalah keuntungan marginal. Selanjutnya jika kedua ruas diturunkan diperoleh:
)(')(')(' xcxRxP −=
Jadi keuntungan marginal = pendapatan marginal – biaya marginal.
T U G A S 5. LATIHAN
Untuk soal nomor 1 sampai nomor 34, pada setiap fungsi yang diberikan, tentukanlah:
a. Semua bilangan kritis fungsi
b. Selang-selang dimana fungsi tersebut monoton naik atau turun
c. Selang-selang fungsi cekung ke atas dan cekung ke bawah
d. Titik-titik balik fungsi bila ada
e. Nilai ekstrim relatif dan jenisnya
f. Sketsa grafik fungsi
1. 2)5()( −= xxf 3. 211)(x
xf+
=
2. 29)( xxf −= 4. 81232)( 23 +−−= xxxxf
5. 2246)( 234 ++−−= xxxxxf 6. 321)( xxf −=
Selidiki apakah titik (0,0) adalah titik balik dari garfik fungsi berikut, kemudian gambar
grafik fungsi tersebut untuk memeriksa kebenarannya.
1. ⎩⎨⎧
≥−<=
0;20;)( 2
31
xxxxxxf 2.
⎩⎨⎧
≥<=
0;0;)(
2
xxxxxf
Gambarkan sebuah grafik fungsi yang memiliki karakteristik berikut:
a. f kontinu dimana-mana
b. f(2) = 3
c. f’(2) = 0; f’(6) = 3; f’(x) > 0 , untuk x ≠ 2
d. f’’(6) = 0; f’’(x) > 0, untuk 2 < x < 6 dan f’’(x) < 0, untuk x > 6
Sebuah pesawat terbang Garuda, terbang kearah selatan dengan laju 400 mil/jam. Pada pukul
12.30 pesawat Garuda melintasi kota A. ada pesawat Merpati terbang pada
ketinggian yang sama kebarat dengan laju 500 mil/jam dan melintasi kota A pada
pukul 13.00. tentukan laju perpisahan kedua persawat tersebut pada pukul 14.00.
(Petunjuk : andaikan t = 0 pada pukul 13.00 ).
V. Sebuah kerucut lingkaran tegak terbalik berjari-jari 10
cm dan tingginya 20 cm berisi penuh air. Jika air keluar
dari puncak kerucut dengan laju 5 cm3/dt, tentukan laju
turunnya permukaan air di dalam kerucut pada saat
tinggi air 5 cm dari bidang atasnya ( Jawab: dtdh = -
π454 ).
Sebuah jembatan layang jalan raya bersilangan
tegak lurus dengan rel kereta api pada
ketinggian 15 meter. Jika suatu saat lokomotif
kereta api melaju dengan kecepatan 54 km/jam
tepat berada pada sebuah mobil yang melaju
dengan kecepatan 36 km/jam, tentukanlah
kecepatan berpisah antara lokomotif kereta api
dan mobil setelah 8 detik.
20 cm
h
r
10 cm
dtcm
dtdv 3
5−=
y
P
R y
Jembatan
15m
x
S
B Rel k.Api
Keliling sebuh persegi panjang adalah 40 meter. Tentukan ukuran persegi panjang tersebut
agar luasnya maksimum.
selembar aluminium yang berbentuk persegi panjang, dengan panjang 32 cm dan lebar 20
cm. pada ujung-ujungnya dipotong bujur-bujur sangkar yang ukurannya sama.
Aluminium yang tersisa dilipat keatas sehingga membentuk sebuah kotak tanpa
tutup. Tentukan volume maksimum kotak aluminium tersebut.
Misalkan 20002,025,38300)( xxxc −+= adalah fungsi biaya total dengan x merupakan
banyaknya satuan yang diproduksi dan dipasarkan. Tentukanlah:
a. Biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marginalnya.
b. Jika tiap minggu diproduksi dan dipasarkan x = 200 satuan, tentukanlah biaya
rata-rata tiap satuan dan biaya marginal untuk memproduksi dan memasarkan
satu satuan lebih.
Seorang pedagang kain merasa bahwa ia dapat menjual tiap bulan 4000 yard tekstil
tertentu apabila ia menjualnya dengan harga $ 6 tiap yard. Penjualan bulan ini akan
naik dengan 250 yard apabila ia memberikan potongan harga $ 0,15 tiap yard.
Tuliskan persamaan untuk p(x) dan tentukan harga tiap yard yang menghasilkan
pendapatan yang maksimal.
Manager pabrik meramalkan bahwa ia dapat menjual 500 satuan hasil pabriknya tiap
minggu, jika harganya $ 20 tiap satuan. Penjualan mingguan akan naik dengan 50
satuan apabila ia memberikan potongan $ 0,50 tiap satuan. Biaya pembuatan dan
penjualan barang tersebut tiap minggu adalah: 20001,01,54200)( xxxc ++=
Tentukanlah :
a. Fungsi permintaan
b. Besarnya produksi minguan yang dapat menghasilkan keuntungan maksimum.
c. Harga satuan barang pada tingkat maksimum produksi.
d. Harga marginal pada tingkat maksimum produksi.
BAB III PENUTUP
Keberhasilan mahasiswa memahami penggunaan turunan pada modul ini akan
memudahkan penerapan matematika pada bidang ilmu lain.
DAFTAR PUSTAKA
13. Dale Varberg & Edwin J. Purcell (1999) ”Calculus with Analytic Geometry” Sixth
Edition. Prentice-Hall, International, Inc. New Jersey.
14. James Stewart (2000) “ Kalkulus”. Edisi Keempat. Erlangga. Jakarta.
15. Lois Leithold (1987). “Kalkulus & Ilmu Ukur Analitik”. Edisi Pertam. PT.Bina Aksara.
Jakarta.
