CLASE DE DINAMICA REALIZADO POR:

ING. ROMEL VALENZUELAING. FERNANDO LEIVA

Clase 4

SSi

Si el sistema no tienen ninguna fuerza externa entonces:

퐹 = 푚푎

푚푎 + 푘푥 = 0

푚푑 푥푑푡 + 푘푥 = 0

Para obtener un solución de la ecuación diferencia de segundo orden se procede directamente tomando las soluciones de la forma:

푥 = 퐴푐표푠(푝푡) 푥 = 퐵푠푒푛(푝푡)

A y B son constantes que dependen de las condiciones iniciales de movimiento y “P” representa las características físicas del sistema

Si se deriva con respecto al tiempo tenemos :

푥 = 퐴푐표푠(푝푡) 푥 = 퐵푠푒푛(푝푡)

푣 = −퐴푝푠푒푛(푝푡)

푎 = −퐴푝 푐표푠(푝푡)

푣 = 퐵푝푐표푠(푝푡)

푎 = −퐵푝 푠푒푛(푝푡)

Si se sustituye en la ecuación + 푘푥 = 0 :

m −Ap cos pt + k(Acos pt = 0

−푚푝 + 푘 퐴푐표푠 푝푡 = 0

−푚푝 + 푘 퐴푐표푠 푝푡 = 0

푘 = 푚푝

퐴푐표푠 푝푡 = 0

−푚푝 + 푘 = 0

−푚푝 + 푘 = 0

푝 =푘푚

Como es lineal la suma de sus podemos decir que:

푥 = 퐴푐표푠 푝푡 + 퐵푠푒푛(푝푡)

푣 =푑푥푑푡

푣 = −퐴푝푠푒푛 푝푡 + 퐵푝푐표푠(푝푡)

푎 =푑 푥푑푡

푎 = −퐴푝 푐표푠 푝푡 − 퐵푝 푠푒푛(푝푡)

Los valores de A y B se obtienen de las condiciones iniciales del sistema

푥 푡 = 0 = 푥

푣 푡 = 0 = 푣

Sustituyendo los valores en las ecuaciones anteriores obtenemos:

퐴 = 푥 퐵 =푣푝

푥(푡) = 푥 cos 푝푡 +푣푝 푠푒푛(푝푡)

푣(푡) = −푝푥 푠푒푛 푝푡 + 푣 푐표푠(푝푡)

푎(푡) = −푝 푥 cos 푝푡 − 푝푣 푠푒푛(푝푡)

Mediante esta ecuación para valores de x en función del tiempo podemos calcular los valores de cortante y momento en cualquier instante de tiempo :

푀 푡 = 푟푖푔푖푑푒푧 푑푒 푚표푚푒푛푡표 ∗ 푥(푡)

푉 푡 = 푟푖푔푖푑푒푧 푑푒 푐표푟푡푎푛푒 ∗ 푥(푡)

Ejemplo:

Para una columna de un marco el momento y el cortante se pueden expresar de la siguiente forma:

푀 푡 =6퐸퐼퐿 ∗ 푥(푡)

푉 푡 =12퐸퐼퐿 ∗ 푥(푡)

Si sustituimos los valores de x(t) en la ecuación de momento y cortante se obtiene:

푀 푡 =6퐸퐼퐿 ∗ (푥 cos 푝푡 +

푣푝 푠푒푛 푝푡 )

푉 푡 =12퐸퐼퐿 ∗ 푥(푡)

푀 푡 =6퐸퐼퐿 ∗ 푥(푡)

푉 푡 =12퐸퐼퐿 ∗ (푥 cos 푝푡 +

푣푝 푠푒푛(푝푡))

Si graficamos para Xo>0 y Vo=0 Obtenemos :

푥(푡) = 푥 cos 푝푡 푣(푡) = −푝푥 푠푒푛 푝푡

푎(푡) = −푝 푥 cos 푝푡

푋 = 푥

푣 = 푝푥

푎(푡) = −푝 푥 cos 푝푡

푎 = 푝 푥

Si graficamos para Xo=0 y Vo>0 Obtenemos :

푥(푡) =푣푝 푠푒푛(푝푡)

푣(푡) = 푣 푐표푠(푝푡)

푎(푡) = −푝푣 푠푒푛(푝푡)

푋 =푉푝

푣 = 푣

푎 = 푝푥

SSi 푥 ≠ 0 푣 ≠ 0

푥(푡) = 푥 cos 푝푡

푥(푡) =푣푝 푠푒푛(푝푡)

Si tomamos las condiciones de Vo=0, Xo>0 y Xo=0 Vo>0

Donde los desplazamientos para cualquier “pt” se obtiene sumando las coordenadas de las dos graficas

AMPLITUD DE DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD, ACELERACION Y ANGULO DE FASE:

a Angulo de fase

A Amplitud

AMPLITUD DE DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD, ACELERACION Y ANGULO DE FASE:

La ecuación x(t) describe el desplazamiento de una oscilación no amortiguada en vibración libre en cualquier instante “t”

푥(푡) = 푥 cos 푝푡 +푣푝 푠푒푛(푝푡)

Dicha ecuación mediante la transformación trigonométrica y usando condiciones generales:

퐴 = 푥 +푣푝

푠푒푛 훼 =푣푝퐴

푐표푠 훼 =푥퐴 tan 훼 =

푣푝푥

푥 푡 = 퐴(cos 푝푡 cos 훼 + 푠푒푛 푝푡 푠푒푛(훼)

Aplicando Identidades trigonométricas :

cos 퐴 − 퐵 = cos 퐴 cos 퐵 + 푠푒푛 퐴 푠푒푛(퐵)

푥 푡 = cos (푝푡 − 훼)

푣 푡 = −푝퐴푠푒푛(푝푡 − 훼)

푎 푡 = −푝 퐴푐표푠(푝푡 − 훼)

Al Graficar y desplazar una magnitud a la derecha, se obtiene el desplazamiento en función de pt

푥 0 = 푥 푣 0 = 푣