CLASE DE DINAMICA

REALIZADO POR:

ING. ROMEL VALENZUELA

ING. FERNANDO LEIVA

Clase 15

Respuesta Dinámica para movimiento armónico del apoyo

Existen casos don la cimentación de la estructura esta sujeta a movimientos que varían en el tiempo

Casos como es desplazamiento del suelo provocado por terremotos, explosiones, o efectos dinámicos de maquinarias. En todos ellos el movimiento del apoyo debe ser considerado en el análisis de la respuesta dinámica.

𝑥𝑔=𝑑 𝑠𝑒𝑛(𝜔0 𝑡)

Movimiento armónico del apoyo

𝑚𝑎=𝑘 (𝑥−𝑥𝑔)

𝑚𝑎+𝑘𝑥=𝑘𝑥𝑔

Sustituyendo

𝑚𝑎+𝑘𝑥=𝑘 (𝑑𝑠𝑒𝑛 (𝜔0 𝑡 ) )

Es similar a la excitación armónica

𝑃=𝑘𝑑

𝑚𝑎+𝑘𝑥𝑚

=𝑘 (𝑑𝑠𝑒𝑛 (𝜔0 𝑡 ) )

𝑚

𝑎+𝑘𝑚𝑥=

𝑘𝑑𝑚𝑠𝑒𝑛 (𝜔0𝑡 )

𝑎+𝜔2𝑥=𝑞𝑔 𝑠𝑒𝑛 (𝜔0 𝑡 )

𝑞𝑔=𝑘𝑑𝑚

Que es equivalente a:

𝑎+𝜔2𝑥=𝑞 𝑠𝑒𝑛 (𝜔0 𝑡 )

𝑥𝑝=𝑑𝑠𝑒𝑛 (𝜔0𝑡 )( 1

1−𝜔02

𝜔 )

El termino “d” representa el movimiento de la masa cuando el desplazamiento del apoyo ocurre muy lentamente ( “estáticamente”) y el factor 1

1−𝜔02

𝜔

Justifica el hecho de que la frecuencia del movimiento del apoyo sea distinta de cero.En algunas ocasiones es mas conveniente tratar con aceleraciones de terreno que con desplazamientos de terreno. Esto es debido a que existen instrumentos que nos puedes proporcionar información sobre el movimiento ( aceleración )

𝑎𝑔=𝑎𝑠𝑒𝑛 (𝜔0𝑡 )

Se supone que el extremo izquierdo de resorte esta sujeto a una aceleración armónica definida

𝑚𝑎+𝑘 (𝑥−𝑥𝑔)=0

Definiendo el cambio de coordenadas

𝑥∗=𝑥−𝑥𝑔

𝑎∗=𝑎−𝑎𝑔

Se conoce como el desplazamiento y aceleración relativa.

Sustituyendo:

𝑚 (𝑎∗+𝑎𝑔)+𝑘𝑥∗=0

𝑚𝑎∗+𝑘𝑥∗=−𝑚𝑎𝑔

Que es equivalente a:

𝑚𝑎+𝑘𝑥=𝑃 𝑠𝑒𝑛 (𝜔0 𝑡 )

𝑃=−𝑚𝑎

𝑞𝑔∗=−𝑎

𝑎∗+𝜔2𝑥∗=𝑞𝑔∗ 𝑠𝑒𝑛 (𝜔0𝑡 )

Se concluye que la respuesta del sistema causado por la aceleración armónica del apoyo, es equivalente a la producida por una excitación armónica producida por:

−𝑚𝑎𝑠𝑒𝑛(𝜔0𝑡)

En este caso la parte estacionaria de la respuesta, en términos de desplazamientos relativos

𝑥𝑝∗=(−𝑚𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑛 (𝜔0𝑡 ))( 1

1−𝜔02

𝜔 )

Respuesta De Sistema Amortiguado De Un Solo Grado de Libertad Excitados

Armónicamente

𝑓 (𝑡 )=𝑄𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡)

Es un sistema amortiguado sometido a la acción de una fuerza excitadora

𝑚𝑎=−𝑐𝑣−𝑘𝑥+𝑄cos (𝜔0 𝑡 )

𝑚𝑎𝑚

=(−𝑐𝑣−𝑘𝑥+𝑄 cos (𝜔0 𝑡 ) )

𝑚

𝜔2=𝑘𝑚

𝛽=𝑐2𝑚 𝑞=

𝑄𝑚

𝑎+2 𝛽 𝑣+𝜔2𝑥=𝑞cos (𝜔0 𝑡 )

Su solucion:

𝑥=𝑥h+𝑥𝑝

𝑎+2 𝛽 𝑣+𝜔2𝑥=0

𝑥h=𝑒−𝛽 𝑡 (𝐶1 cos (𝜔𝑑𝑡 )+𝐶2𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑑𝑡 ) )

𝑥𝑝=𝑁𝑠𝑒𝑛 (𝜔0 𝑡 )+𝑀 cos (𝜔0𝑡 )

𝑣𝑝=𝜔0𝑁 cos (𝜔0 𝑡 )−𝜔0𝑀𝑠𝑒𝑛 (𝜔0𝑡 )

𝑎𝑝=−𝜔02𝑁 𝑠𝑒𝑛 (𝜔0𝑡 )−𝜔0

2𝑀𝑐𝑜𝑠 (𝜔0 𝑡 )

(−𝜔02𝑁 𝑠𝑒𝑛 (𝜔0𝑡 )−𝜔0

2𝑀𝑐𝑜𝑠 (𝜔0 𝑡 ))+2 𝛽 (𝜔0𝑁 cos (𝜔0𝑡 )−𝜔0𝑀𝑠𝑒𝑛 (𝜔0𝑡 ))+𝜔2(𝑁 𝑠𝑒𝑛 (𝜔0 𝑡 )+𝑀 cos (𝜔0 𝑡 ))=𝑞cos (𝜔0𝑡 )

(−𝜔02𝑀+2 𝛽𝜔0𝑁 +𝜔2𝑀 −𝑞 )cos (𝜔0𝑡 )+(−𝜔0𝑁−2 𝛽𝜔0𝑀+𝜔2𝑁 )𝑠𝑒𝑛 (𝜔0 𝑡 )=0

Agrupando Terminos

O bien:

∝1 cos (𝜔0 𝑡 )+∝2𝑠𝑒𝑛 (𝜔0𝑡 )=0

𝑎+2 𝛽 𝑣+𝜔2𝑥=𝑞cos (𝜔0 𝑡 )

Donde:

∝1=−𝜔02𝑀+2 𝛽𝜔0𝑁+𝜔2𝑀−𝑞

∝2=−𝜔0𝑁−2 𝛽𝜔0𝑀+𝜔2𝑁

La ecuación satisface en todo tiempo “t” ssi de manera que para calcular M y N :

−𝜔02𝑀+2 𝛽𝜔0𝑁+𝜔2𝑀=𝑞

−𝜔0𝑁−2 𝛽𝜔0𝑀+𝜔2𝑁=0

Resolviendo el Sistema:

𝑀=𝑞 (𝜔2−𝜔0

2 )(𝜔2−𝜔0

2 )+4 𝛽2𝜔02

𝑁=𝑞 (2 𝛽𝜔0 )

(𝜔2−𝜔02 )+4 𝛽2𝜔0

2

𝑥=𝑥h+𝑥𝑝

𝑥 (0 )=𝑥0 𝑣 (0 )=𝑣0

𝐶1=𝑥0−𝑀

𝐶2=𝑣0− 𝛽 (𝑥0−𝑀 )−𝑁𝜔0

𝜔𝑑

Los Dos primeros términos de la ecuación de x(t) representan las vibraciones libres amortiguadas los dos segundos términos “Las vibraciones forzadas amortiguadas”

𝑇 𝑑=2𝜋𝜔𝑑

Las vibraciones Libres tendrán :

Las vibraciones forzadas tendrán :

𝑇=2𝜋𝜔0

Tendrán que es igual al periodo de excitación que las produce

Debido al factor las vibraciones libres cesaran gradualmente quedando solo la parte de vibraciones forzadas que se mantendrán por la acción de la fuerza excitadora.

Utilizando la triangulación

𝐴=√𝑁 2+𝑀 2

𝑥𝑝=𝐴𝑐𝑜𝑠 (𝜔0 𝑡 ) (𝑀𝐴 )+𝑠𝑒𝑛 (𝜔0 𝑡 ) (𝑁𝐴 )𝑠𝑒𝑛 (𝜃 )=𝑁

𝐴𝑐𝑜𝑠 (𝜃 )=𝑀

𝐴

𝑥𝑝=𝐴 (cos (𝜔0 𝑡 ) cos (𝜃 )+𝑠𝑒𝑛 (𝜔0 𝑡 ) 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 ) )

𝑥𝑝=𝐴𝑐𝑜𝑠 (𝜔0 𝑡−𝜃 )

Se nota que la parte estacionaria resulta en un movimiento armónico simplemente con amplitud constante A un ángulo fase y un periodo

𝐴=√𝑀 2−𝑁 2

𝐴=𝑞

√ (𝜔2−𝜔02 )2+4 𝛽2𝜔0

2

𝐴=( 𝑞𝜔2 )

√ (1− 𝜔02

𝜔2 )2

4 𝛽2𝜔02

𝜔4

𝜃=tan− 1 𝑁𝑀

=tan−1( 2 𝛽𝜔0

𝜔2−𝜔02 )=∗ tan−1( (

2 𝛽𝜔0

𝜔2 )1−

𝜔02

𝜔2)

𝜀=𝐶𝐶𝑐𝑟

𝑟=𝜔0

𝜔

𝑥𝑝=𝑄𝑘𝐵 cos (𝜔0 𝑡−𝜃 )

𝐵=1

√(1−𝑟 2 )2− (2𝜀 𝑟 )2Factor de amplificación dinámica para caso amortiguado

𝜃=tan− 1( 2𝜀𝑟1−𝑟 2 )