CLASE DE DINAMICA

REALIZADO POR:

ING. ROMEL VALENZUELA

ING. FERNANDO LEIVA

Clase 15

METODO DE EVALUACION DE LA RELACION DE AMORTIGUAMIENTO

Método de Resonancia La curva exponencial para vibraciones libres amortiguadas permite la evaluación del amortiguamiento del sistema con un grado de libertad calculando el decremento logarítmico

𝑓 =2𝜋𝜀

Hay Otra técnica para determinar el amortiguamiento la cual se basa en la observación de la parte estacionaria de la respuesta armónica y requiere la aplicación de excitaciones armónicas con un grado de libertad de frecuencia cercana a la resonancia

𝐵=1

√(1−𝑟 2 )2− (2𝜀 𝑟 )2

Se puede ver que en la resonancia el factor de amplificación Dinámica es:

𝐵=12 𝜀

𝜀=𝐶𝐶𝑐𝑟

𝑟=𝜔0

𝜔

𝜀=12𝐵

En la Practica la relación de amortiguamiento esta determinada por B evaluada para la amplitud máxima :

𝜀=12𝐵𝑚

𝐵𝑚=𝑥𝑚𝑥𝑠𝑡

amplitud máxima

Desplazamiento estático

𝑥𝑠𝑡=𝑄𝑘

RESPUESTA DINÁMICA AMORTIGUADA PARA EL MOVIMIENTO ARMONICO DEL APOYO

𝑥𝑔=𝑑 𝑠𝑒𝑛 (𝜔0𝑡 )

𝑥𝑔=𝑑 𝑠𝑒𝑛 (𝜔0𝑡 )

d = amplitud máxima

frecuencia del movimiento del apoyo

𝑚𝑎+𝑐 (𝑣−𝑣𝑔)+𝑘 (𝑥− 𝑥𝑔 )=0

𝑥𝑔=𝑑 𝑠𝑒𝑛(𝜔0 𝑡)

𝑣𝑔=𝑑𝜔0 cos (𝜔0 𝑡 )

𝑚𝑎+𝑐 (𝑣− (𝑑𝜔0cos (𝜔0 𝑡 )) )+𝑘 (𝑥− (𝑑 𝑠𝑒𝑛 (𝜔0 𝑡 ) ))=0

𝑚𝑎+𝑐𝑣+𝑘𝑥=𝑘𝑑𝑠𝑒𝑛 (𝜔0 𝑡 )+𝑐𝜔0𝑑𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑜𝑡 )

Colocando en función de ángulo de fase

𝑚𝑎+𝑐𝑣+𝑘𝑥=𝐹 0𝑠𝑒𝑛(𝜔0 𝑡+∅ )

Donde:

𝐹 0=𝑑√𝑘2+(𝑐𝜔0 )2=𝑑𝑘√1+(2𝑟 𝜀 )2

tan (∅ )=𝑐𝜔0

𝑘=2𝑟 𝜀

La parte estacionaria de la respuesta es de la forma:

𝑥𝑝=𝑄𝑘𝐵 cos (𝜔0 𝑡−𝜃)

Agregando el ángulo de fase :

𝑥𝑝=𝑄𝑘𝐵 cos (𝜔0 𝑡+∅−𝜃)

Agregando B:

𝑥𝑝=𝐹 0

𝑘𝐵𝑠𝑒𝑛(𝜔0 𝑡+∅ −𝜃)

𝑥𝑝𝑑

=(√1+(2𝑟 𝜀 )2 )

√(1−𝑟2 )2+(2 𝜀𝑟 )2

Que es la expresión para la transmisión relativa del movimiento del apoyo del sistema.

𝑇 𝑟=𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑

𝑟=𝜔0

𝜔

El grado de aislamiento relativo se cono como transmisibilidad y se define como la razón entre la amplitud del movimiento y el oscilador y la amplitud inicial del movimiento del soporte

a.- Se puede Notar que todas las curvas pasan por el mismo punto a una relación de frecuencia

b.- el amortiguamiento tiende a reducir la efectividad del aislamiento vibracional cuando

Se puede Resolver la ecuación diferencia de movimiento

𝑚𝑎+𝑐 (𝑣−𝑣𝑔)+𝑘 (𝑥− 𝑥𝑔 )=0

En términos de movimiento relativos tenemos:

𝑈=𝑥−𝑥𝑔

𝑚𝑎𝑈+𝑐𝑣𝑈+𝑘𝑈=−𝑚𝑎𝑔

Fuerza efectiva actuando sobre la masa del Sistema cuyo desplazamiento esta indicado por el desplazamiento U

𝑚𝑎𝑈+𝑐𝑣𝑈+𝑘𝑈=𝑚𝑑𝜔02𝑠𝑒𝑛 (𝜔0 𝑡 )

Que es la misma ecuación que:

𝑚𝑎+𝑐𝑣+𝑘𝑥=𝑄𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡)

(𝑄𝑐𝑜𝑠 (𝜔0𝑡)   )=𝑚𝑑𝜔02𝑠𝑒𝑛(𝜔0𝑡)

𝑈𝑝=𝑚𝑑𝜔0

2

𝑘∗

(𝑠𝑒𝑛 (𝜔0 𝑡−𝜃 ))√(1−𝑟2 )2+(2𝑟 𝜀)2

𝜔02

𝑘𝑚

=𝜔02

𝜔2=𝑟2

𝑈𝑝

𝑑=𝑟 2

𝑠𝑒𝑛 (𝜔0 𝑡−𝜃 )

√ (1−𝑟2 )2+ (2𝑟 𝜀 )2

Fuerza transmitida a la cimentación por un Sistema amortiguado excitado

armónicamente Si la fuerza es armónica:

𝐹 (𝑡 )=𝑄 cos (𝜔0𝑡)

𝑚𝑎+𝑐𝑣+𝑘𝑥=𝑄cos (𝜔0𝑡)

𝑥𝑝=𝐴𝑐𝑜𝑠 (𝜔0 𝑡−𝜃 )

𝐴=

𝑄𝑘

√ (1−𝑟 2 )2+(2𝑟 𝜀 )2

tan (𝜃 )= 2𝑟 𝜀1−𝑟2

La transmisibilidad que seria la relación entre la amplitud de la fuerza transmitida a la cimentación y la amplitud de la fuerza aplicada

𝐹𝑇=𝑘𝑥+𝑐𝑣𝑥𝑝=𝐴𝑐𝑜𝑠 (𝜔0 𝑡−𝜃 )

𝑣𝑝=−𝜔0𝑠𝑒𝑛(𝜔0 𝑡−𝜃)

𝐹 𝑇=𝑘 ( 𝐴𝑐𝑜𝑠 (𝜔0𝑡−𝜃 ) )+𝑐 (−𝜔0𝑠𝑒𝑛 (𝜔0𝑡−𝜃 ))

𝐹 𝑇=𝐴 (√𝑘2+𝐶2𝜔02 ) (cos (𝜔0 𝑡−𝜃+𝛼 ))

tan (𝛼 )=𝑐𝜔0

𝑘

𝐴𝑇=𝐴√𝑘2+𝑐2𝜔02

𝐴𝑇=(𝑄𝑘√1+(𝑐

2𝜔02

𝑘2 ))𝑘√ (1−𝑟 2 )2+(2𝑟 𝜀 )2

𝐴𝑇=𝑄∗√ 1+(2𝑟 𝜀 )2

(1−𝑟 2 )2+(2𝑟 𝜀 )2

La fuerza transmitida a través del resorte y amortiguador es:

𝑇 𝑟=𝐴𝑇

𝑄=√ 1+ (2𝑟 𝜀 )2

(1−𝑟2 )2+ (2𝑟 𝜀 )2

INSTRUMENTOS SISMICOS

El sismógrafo puede diseñarse para medir desplazamientos o para medir desplazamientos

La amplitud máxima relativa

𝑈𝑑

Para el movimiento armónico de la base

𝑈𝑑

= 𝑟 2

√(1−𝑟 2 )2+(2𝑟 𝜀 )2

LA respuesta es esencialmente constante para relaciones de frecuencias y de amortiguamiento

LA respuesta es proporcional a la amplitud de desplazamiento de la base para frecuencias altas del movimiento de la misma

El rango de aplicabilidad se incrementa reduciendo la frecuencia natural o sea reduciendo la rigidez del resorte o incrementado la masa

Para una aceleración en la base

𝑎𝑔=𝑑𝑠𝑒𝑛(𝜔0 𝑡)

La ecuación de movimiento:

𝑚𝑎𝑢+𝑐 𝑣𝑈+𝑘𝑈=−𝑚𝑑𝑠𝑒𝑛(𝜔0 𝑡)

Factor de amplificación dinámica :

𝐵=𝑈

(𝑚𝑑𝑘 )=

1

√ (1−𝑟2 )2+ (2𝑟 𝜀 )2