Clase 20 Dinamica Rotacional (2)

7/23/2019 Clase 20 Dinamica Rotacional (2)

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Logros Introduccion Torque Pro ducto vectorial Centro de masa Torque y aceleracion angular Rotacion de un cuerpo rgido sobre un eje movil Mom

Dinamica rotacional

Captulo 9

Clase 19

Captulo 9 Dinamica rotacional
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2/141


1 Logros

2 Introduccion

3 Torque

4 Producto vectorial

5 Centro de masa

6 Torque y aceleracion angular

7 Rotacion de un cuerpo rgido sobre un eje movil

8 Momento angular

http://find/http://goback/


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Contenido

1 Logros

2 Introduccion

3 Torque


5 Centro de masa



8 Momento angular

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4/141


Definira el concepto de torque.


C
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5/141



Definira el producto cruz o vectorial entre dos vectores.


L I t d i T P d t t i l C t d T l i l R t i d id b j il M
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Relacionara el torque con la aceleracion angular.


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Comprendera que el movimiento de un cuerpo rgido se puede dividir enuno traslacional del centro de masa y otro rotacion alrededor del centro de

masa.


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masa.

Comprendera el concepto de rodar sin deslizar.


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masa.


Enunciara el trabajo y la potencia en el el movimiento rotacional.




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masa.



Definira el concepto de momentum angular.




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g q q y g p g j





masa.




Aplicara la conservacion del momentum angular.


http://goforward/http://find/


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masa.




Aplicara la conservacion del momentum angular.

Aplicara los conceptos de rotacion a sistemas sencillos.


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Contenido

1 Logros

2 Introduccion

3 Torque

4

Producto vectorial

5 Centro de masa



8 Momento angular




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Una fuerza neta aplicada a un cuerpo le imparte una aceleracion y causaun movimiento traslacional.


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Que se requiere para impartir una aceleracion angular a un cuerpo?


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Que se necesita para poner a girar un cuerpo estacionario o paradetenerlo si esta rotando?




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Una nueva cantidad fsica, torque, describe la accion de torsion o girodebido a una fuerza y determinara la aceleracion angular.


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Se examinara el trabajo y la potencia en el movimiento rotacional para

entender los problemas de como el eje giratorio de un auto transmiteenerga.


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19/141







Un nuevo principio de conservacion muy util para entender la rotacion decuerpos tanto rgidos como no rgidos: conservacion del momentumangular.


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Un nuevo principio de conservacion muy util para entender la rotacion decuerpos tanto rgidos como no rgidos: conservacion del momentumangular.

Se aplicara los conceptos rotacionales al estudio de los giroscopo odispositivo giratorio que desafa el sentido comun y no se caen cuandocreemos que deberan hacerlo, aunque en realidad su comportamiento seajusta perfectamente a la dinamica del movimiento rotacional.



C id
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Contenido

1 Logros

2 Introduccion

3 Torque


5 Centro de masa



8 Momento angular




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Movimiento de un sistema rgido: Traslacional y rotacional:


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Sobre el carrito actuan fuerzas (T1,N,w1), sobre el cuerpo colganteesta T2 y w2.




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Sobre la polea actuan T1 y T2.


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Que pasa si se aplica una sola fuerza a la polea?, rota?


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27/141




Que pasa si se aplica una sola fuerza a la polea?, rota?

Que diferencias encuentra entre el carrito y la polea?


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28/141

Una fuerza que actua sobre un cuerpo pueden afectar su movimiento detraslacion: Movimiento del cuerpo como un todo a traves del espacio.




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Que aspectos de una fuerza determinan que tan eficaz es esta para

provocar o modificar el movimiento rotacional?




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provocar o modificar el movimiento rotacional?La magnitud y direccion de la fuerza son importantes, pero tambien lo es laposicion del punto de aplicacion, p. ej., llave inglesa para aflojar un tornillo


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Todas las fuerzas tienen la misma

magnitud, pero:


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magnitud, pero:

Fc: Se aplica a lo largo del mango.


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magnitud, pero:


Fa: Se aplica cerca del tornillo y, portanto, es mas difcil rotarlo.


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magnitud, pero:


Fa: Se aplica cerca del tornillo y, portanto, es mas difcil rotarlo.

Fb: Se aplica en el extremo del man-go y, por tanto, es mas eficaz de ro-tarlo.


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La medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o alterarla rotacion de un cuerpo se denomina torque.


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Se dice que Fa genera un torque sobre un punto O (eje de rotacion), Fb

genera el maximo torque sobre O y Fc no genera ninguna torque sobre O.


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Para calcular el torque,supongamos que uncuerpo puede giraralrededor de un eje

que es perpendicular alplano de la figura ypasa por el punto O.


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Sobre el cuerpo actuantres fuerzas: F1,F2 yF3, en el plano de la

figura.




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figura.




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figura.

La tendencia de F1 a causar una rotacion alrededor de O depende de F1 ydel brazo de palanca l1 o distancia perpendicular entre O y la lneade accion de la fuerza o lnea sobre la que esta el vector de fuerza.




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El torque es directamente proporcional tanto a F1 como a l1 y, por tanto,se define con respecto a un punto O como F1l1.


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F2 tambien causa torque, F2l2, sin embargo, F3 no, por que?


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F2 tambien causa torque, F2l2, sin embargo, F3 no, por que? No hay

brazo de palanca.



El di i l F l
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brazo de palanca.F1 tiende a causar rotacion antihoraria alrededor de O, mientras que F2tiende a causar rotacion horaria.



El t di t t i l t t F l t t
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Los fsicos prefieren el termino torque, mientras que los ingenierosprefieren el termino momento de torsion o par de torsion.



El t di t t i l t t F l t t
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El torque siempre se define con referencia a un punto especfico, e. d., si secambia de posicion ese punto, el torque de cada fuerza puede cambiar.



El torque es directamente proporcional tanto a F como a l y por tanto
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En general, se define el torque de una fuerza como:

=F l (1)



El torque es directamente proporcional tanto a F1 como a l1 y por tanto
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=F l (1)

La unidad es N

m, pero esta combinacion no es J, por que no estrabajo ni energa.



El torque es directamente proporcional tanto a F1 como a l1 y por tanto
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=F l (1)

La unidad es N

m, pero esta combinacion no es J, por que no estrabajo ni energa.

Veremos que es un vector y, por tanto, se debe introducir un nuevoproducto entre dos vectores: F y r.



Sea una fuerza F que se aplica en un punto P descrito por un vector de
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Sea una fuerza Fque se aplica en un punto Pdescrito por un vector deposicion r con respecto al punto elegido O.



Sea una fuerza F que se aplica en un punto P descrito por un vector de
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Sea una fuerza Fque se aplica en un punto Pdescrito por un vector deposicion r con respecto al punto elegido O.

Hay varias formas de calcular la torca de esta fuerza:


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1 Determine el brazo de palanca l y use =F l.



D i l b d l l F l
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2 Calcule el angulo entre los vectores ry F; el brazo de palanca es

r sen[], e. d., =rFsen[]



D i l b d l l F l


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3 Represente F en terminos de una componente radial Frad en la direccionde r y una componente tangencial Ftan perpendicular a r.



1 D t i l b d l l F l


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Tangencial porque si el cuerpo gira, el punto donde actua la fuerza se

mueve en un crculo, y esta componente es tangente a ese crculo.



1 Determine el brazo de palanca l y use F l
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Como Ftan =Fsen[] y. =r(Fsen[]) =Ftanr, la componente Frad notiene torque con respecto a O porque su brazo de palanca con respecto aese punto es cero.



1 Determine el brazo de palanca l y use = F l
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Como Ftan =Fsen[] y. =r(Fsen[]) =Ftanr, la componente Frad notiene torque con respecto a O porque su brazo de palanca con respecto aese punto es cero.

En resumen:=r(Fsen[]) =F(r sen[])

=r F (2)



Ejemplo 1. Calcule el torque (magnitud y direccion) alrededor del punto O
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debido a la fuerza Fen cada una de las situaciones mostradas en la figura. Entodos los casos, la fuerza F y la varilla estan en el plano de la pagina, la varillamide 4,00 m de largo y la fuerza tiene magnitud F = 10, 0 N.



Ejemplo 2. Se aplican tres fuerzas a una rueda con radio de 0,350 m, como se
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indica en la figura. Una fuerza es perpendicular al borde, otra es tangente aeste y la otra forma un angulo de 40, 0 con el radio. Cual es la torca netasobre la rueda debido a estas tres fuerzas para un eje perpendicular a la rueda y

que pasa por su centro?



Contenido
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1 Logros

2 Introduccion

3 Torque


5 Centro de masa



8 Momento angular



El producto vectorial de dos vectores A y B o producto cruz, sed t
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denota:A B



El producto vectorial de dos vectores A y B o producto cruz, sed t


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denota:A B

El producto vectorial es un vector, p. ej., describe el torque, la cantidad demomentum angular, campos magneticos, fuerzas magneticas, entre otrasmagnitudes fsicas.



El producto vectorial de dos vectores A y B o producto cruz, sedenota:


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denota:A B


Para definir el producto vectorial de dos vectores se dibujan los dosvectores con sus colas en el mismo punto, e. .d, los dos vectores estan enun plano



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denota:A B





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denota:A B





Se define el producto vectorial como una cantidad vectorial perpendiculara este plano (es decir perpendicular tanto a A como a B) con una
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a este plano (es decir, perpendicular tanto a A como a B) con unamagnitud igual a AB sen[]:

C=AB sen[]



Se define el producto vectorial como una cantidad vectorial perpendiculara este plano (es decir perpendicular tanto a A como a B) con una
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C=AB sen[]

Se mide el angulo de A hacia B tomando el mas pequeno de los dosangulos posibles, de manera que esta entre 0 y .



Se define el producto vectorial como una cantidad vectorial perpendiculara este plano (es decir, perpendicular tanto a A como a B) con una
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C=AB sen[]


Cuando A y B son paralelos o antiparalelos, C= 0, e. d., el productovectorial de dos vectores paralelos o antiparalelos siempre es cero.



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p ( , p p )magnitud igual a AB sen[]:

C=AB sen[]



Siempre hay dos direcciones perpendiculares a un plano dado, una a cadalado del plano.



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p ( p p )magnitud igual a AB sen[]:

C=AB sen[]




Se elige la direccion de A B como:

Imagine que gira el vector A sobre la lnea perpendicular hasta alinearlo conB, eligiendo el angulo mas pequeno entre A y B.



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( )magnitud igual a AB sen[]:

C=AB sen[]




Se elige la direccion de A B como:

Imagine que gira el vector A sobre la lnea perpendicular hasta alinearlo conB, eligiendo el angulo mas pequeno entre A y B.

Gire los dedos de su mano derecha sobre la perpendicular, con las puntassenalando en la direccion de la rotacion; el pulgar senalara en la direccion deAB.



Calculo del producto vectorial usando componentes

El producto vectorial de los vectores unitarios es
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p

= = k k= 0

= k k = k =




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= = k k= 0

= k k = k =

Expresando A y B en terminos de sus componentes, se tiene:

A B = (Ax + Ay + Az k) (Bx + By + Bz k)

= Ax Bx + Ax By + Ax Bz k+

= Ay Bx + Ay By + Ay Bz k+

= Azk Bx + Azk By + Az k Bzk




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= = k k= 0

= k k = k =

Expresando A y B en terminos de sus componentes, se tiene:

A B = (Ax + Ay + Az k) (Bx + By + Bz k)

= Ax Bx + Ax By + Ax Bz k+

= Ay Bx + Ay By + Ay Bz k+

= Azk Bx + Azk By + Az k Bzk

En forma compacta:

A B =

k

Ax Ay AzBx By Bz

(3)



Ejemplo 3. Calcule el producto vectorial de los vectores A= 2, 00 + 6, 00 yB = 7, 00 + 14, 00k.
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Solucion

A B =

k

2, 00 6, 00 00 7, 00 14, 00

= 84, 00 + 28 14, 00k





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Solucion

A B =

k

2, 00 6, 00 00 7, 00 14, 00

= 84, 00 + 28 14, 00k

Ejemplo 4. Le dan los vectores A= 5, 0 6, 5 y B = 3, 5 + 7, 0. Untercer vector B esta en el plano xy y es perpendicular a A, y el productoescalar de C con B es 15,0. Con esta informacion, obtenga las componentesdel vector C.



Contenido

1 Logros


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Logros

2 Introduccion

3 Torque


5 Centro de masa


7

Rotacion de un cuerpo rgido sobre un eje movil

8 Momento angular



El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el puntogeometrico que dinamicamente se comporta como si en el estuvieraaplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema
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aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema.



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Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas

puntuales, el centro de masas se puede calcular como:

rCM =

PimiriPimi

= 1

M

Xi

miri (4)



Para un sistema de masas continuo, el centro de masas se calcula como:

rCM = 1Z

r[r]d3r (5)
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rCM =M

ZV

r[r]d r (5)

Experimentalmente se calcula como:




rCM = 1Z

r[r]d3r (5)
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rCM =M

ZV

r[r]d r (5)





rCM = 1Z

r[r]d3r (5)
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rCMM

ZV

r[r]d r (5)




Ejemplo 5. Calcule el el centro de masa de una barra de masa My longitud L,suponiendo que la barra tiene una masa uniforme por unidad de longitud.
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Captulo 9 Dinamica rotacional Logros Introduccion Torque Pro ducto vectorial Centro de masa Torque y aceleracion angular Rotacion de un cuerpo rgido sobre un eje movil Mom

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Solucion

La barra esta alineado alo largo del eje x, portantoyCM =zCM = 0.


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Solucion

La barra esta alineado alo largo del eje x, portantoyCM =zCM = 0.Sea la masa por uni-dad de longitud, e. d., = M/L (densidad de

masa lineal), por que labarra es uniforme.


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Solucion



Al dividir la barra en elementos de longitud dx, la masa de cada elementosera dm= dx.


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Solucion



Al dividir la barra en elementos de longitud dx, la masa de cada elementosera dm= dx.Por tanto

xCM = 1M

Z xdm= 1

M

Z L

0

xdx= M

x2

2

L0

= L2

2M

= L

2


Contenido

1 Logros
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2 Introduccion

3 Torque


5 Centro de masa



8 Momento angular


Sea un cuerpo compuesto de un gran numero de partculas y elijamoscomo el eje de rotacion el eje z.
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La primera partcula tiene masa m1 y distancia r1 con respecto a este eje.
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La fuerza total F1 que

actua sobre esta partculatiene tres componentes:Una en la direccion radial,F1,rad, otra tangente alcrculo de radio r1 en quese mueve la partcula algirar el cuerpo, F1,tan y laultimaF1z sobre el eje derotacion.





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La fuerza total F1 que

actua sobre esta partculatiene tres componentes:Una en la direccion radial,F1,rad, otra tangente alcrculo de radio r1 en quese mueve la partcula algirar el cuerpo, F1,tan y laultimaF1z sobre el eje derotacion.

De la segunda ley deNewton para la

componente tangencial:

F1,tan =m1a1,tan (6)


Pero se puede expresar a1,tan en terminos de la aceleracion angular z,usando a1,tan =r1z.
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Con esta relacion y multiplicando ambos miembros por r1 se obtiene:
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F1,tanr1 =m1r

2

1z (7)





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F1,tanr1 =m1r

2

1z (7)

PeroF1,tanr1 no es mas que el torque de la fuerza total con respecto al ejede rotacion.






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F1,tanr1 =m1r

2

1z (7)


Las componentes F1,radr1 y F1z no contribuyen al torque alrededor del ejez, pues ninguna tiende a modificar la rotacion de la partcula alrededor de

ese eje, ademas, m1r2

1 es I1, el momento de inercia de la partculaalrededor del eje de rotacion.




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F1,tanr1 =m1r

2

1z (7)





Por tanto:1,z =I1z (8)




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F1,tanr1 =m1r

2

1z (7)PeroF1,tanr1 no es mas que el torque de la fuerza total con respecto al ejede rotacion.




Por tanto:1,z =I1z (8)

Generalizando, para el cuerpo rgido entero, la segunda ley de Newton se

modifica a: CM =ICM (9)



Ejemplo 6. Una caja de 12.0 kg que descansa sobre una superficie horizontalsin friccion esta unida a un peso de 5.00 kg con un alambre delgado y ligeroque pasa por una polea sin friccion. La polea tiene la forma de un disco solidouniforme con masa de 2.00 km y diametro de 0.500 m. Despues de que el
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sistema se libera, calcule a) la tension en el alambre en ambos lados de lapolea, b) la aceleracion de la caja y c) las componentes horizontal y vertical dela fuerza que el eje ejerce sobre la polea.



Contenido

1 Logros
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105/141

2 Introduccion

3 Torque


5 Centro de masa



8 Momento angular



En general, el movimiento de un cuerpo rgido puede representarse comouna combinacion de un movimiento traslacional del centro de masa y otrode rotacion alrededor de un eje que pasa por el centro de masa:
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Para este caso, la energa cinetica del cuerpo es la suma de una parteasociada al movimiento del centro de masa y una parte asociada a larotacion alrededor de un eje que pasa por el centro de masa:

K= 1

2MvCM+

1

2 ICM

2

(10)



Rodamiento sin deslizar
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Rodamiento sin deslizar
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Veamos el movimiento en un sistema de referencia inercial, en el cual lasuperficie sobre la que se rueda esta en reposo.
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El punto de contacto de la rueda con la superficie esta instantaneamenteen reposo para que no resbale.
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La velocidad v

1 del punto de contacto, relativa al CM, debe tener lamisma magnitud pero direccion opuesta que vCM.




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La velocidad v


Si el radio de la rueda es R y su rapidez angular alrededor del centro demasa es , la magnitud de v1 es R: tener

vCM =R (11)

La velocidad de un punto en la rueda es la suma vectorial de vCM y lavelocidad del punto relativa al CM.




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La velocidad v



vCM =R (11)


As, los puntos 1 (de contacto) esta momentaneamente en reposo, el 2(parte superior) se mueve hacia adelante con el doble de la rapidez delCM, 2 y 4 (a los lados) tienen velocidades a 45 con la horizontal.




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La velocidad v



vCM =R (11)


As, los puntos 1 (de contacto) esta momentaneamente en reposo, el 2(parte superior) se mueve hacia adelante con el doble de la rapidez delCM, 2 y 4 (a los lados) tienen velocidades a 45 con la horizontal.

En un instante dado, se puede pensar que la rueda gira alrededor de uneje de rotacion instantaneo que pasa por el punto de contacto con elsuelo: rodar sin deslizar.



La velocidad angular es la misma para este eje que para un eje que pasapor el centro de masa; un observador en el CM ve que el borde da elmismo numero de rpm, como un observador en el borde ve que el centrode masa da alrededor de el.
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1 2
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La energa cinetica de la rueda es K= 2I1 , donde I1 es el momento deinercia de la rueda alrededor de un eje que pasa por el punto 1.




1 2
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Por el teorema de los ejes paralelos, I1 =ICM+ MR2, donde Mes la

masa total de la rueda e ICMes el momento de inercia con respecto a uneje que pasa por el centro de masa.




1 2
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Por el teorema de los ejes paralelos, I1 =ICM+ MR2, donde Mes la

masa total de la rueda e ICMes el momento de inercia con respecto a uneje que pasa por el centro de masa.

La energa cinetica de la rueda sera:

K = 1

2I1

2 = 1

2ICM

2 +1

2MR22

= 1

2ICM

2 +1

2Mv2CM (12)


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Contenido

1 Logros

2 Introduccion
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3 Torque


5 Centro de masa



8 Momento angular



Los seguidores de Aristoteles crean, como el, en la Tierra como centro deun universo estatico de esferas concentricas en rotacion.
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Ptolomeo ideo un sistema de planetas clasicos que se movan en uncrculo (epiciclo) centrado sobre otro crculo (deferente), el cual, a su vez,

t b t d l Ti
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126/141

estaba centrado en la Tierra.




Ptolomeo ideo un sistema de planetas clasicos que se movan en uncrculo (epiciclo) centrado sobre otro crculo (deferente), el cual, a su vez,

t b t d l Ti
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127/141

estaba centrado en la Tierra.



Copernico se entero de la noticia del exito de Colon a Las Indias y sabaque la Tierra era redonda.
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Hizo una idea revolucionaria: La Tierra gira alrededor del sol.
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Hizo una idea revolucionaria: La Tierra gira alrededor del sol.
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Kepler intenta afinar el sistema de Copernico e idea un sistema complicadode esferas centradas.
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132/141



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Heredo los datos de Tycho Brahe y establece tres leyes:



1 Todos los planetas se desplazan alrededor del sol siguiendo orbitaselpticas. El sol esta en uno de los focos de la elipse.
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134/141



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135/141



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136/141

2 El radio vector que une un planeta y el sol barre areas iguales en tiemposiguales.



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2 El radio vector que une un planeta y el sol barre areas iguales en tiemposiguales.



De la segunda ley, calculemos el area que barre en un determinado tiempo,que es aproximadamente a un triangulo:

A= 1

2r(v sen[])
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A= 1

2r(v sen[])

Si se tiene en cuenta la masa del planeta, se tiene:
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2Am= r(mv) sen[] =rp sen[] = cte




A= 1

2r(v sen[])

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Definiendo una nueva cantidad fsica como

L=r p (13)

L:cantidad de movimento angularomomentum angular.




A= 1

2r(v sen[])

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Definiendo una nueva cantidad fsica como

L=r p (13)

L:cantidad de movimento angularomomentum angular.

Derivemos esta cantidad:

dL

dt =

d(r p)

dt

= drdt

p + r dpdt

=

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Clase 20 Dinamica Rotacional (2)