1er Clase Dinamica

Dinámica Clásica: Modelado y Simulación

(DING‐30)

Facultad de IngenieríaUniversidad Nacional de Río Cuarto

• Motivación, Introducción• Preliminares,• Vectores,• Funciones vectoriales

24/07/2014 Copyright ® 2014 by Dr. Bruno Roccia. All rights reserved.


Motivación


Breve reseña• Sistema de partículas y cuerpos rígidos

• Cuerpos puramente deformables

• Colecciones híbridas de cuerpos rígidos, cuerpos flexibles y partículas


Breve reseña• Mecánica vectorial (Ecuaciones de Newton‐Euler)

• Mecánica analítica

• Principio de D’Alambert

• Ecuaciones de Lagrange

• Formulación canónica de la mecánica (Hamilton)

• Principio de Hamilton Extendido

• Multibody dynamics, dinámica computacional (Bremer, Mayβer,…)


Breve reseña Definiciones y asunciones

Cinemática: es el estudio del movimiento, es decir, de la evolución de la posición de los objetos en el tiempo, sin tener en cuenta la causa del movimiento.

Cinética: es el estudio de la relación entre las fuerzas y el movimiento. La base de la cinética son las tres leyes de Newton.

Dado que, normalmente, la descripción del movimiento es la parte más compleja en un problema dinámico, la cinemática

debe ser estudiada y entendida rigurosamente antes de iniciar el estudio de la cinética.



Como en cualquier campo de la física matemática, la dinámica de Newton se basa en un conjunto de supuestos. Estos son cuatro:

1. La descripción matemática (modelo) del mundo en el cual objetos físicos se mueven es un espacio Euclideo tres dimensional (3‐D). En un espacio tal, todos los resultados conocidos de la geometría elemental y trigonometría son válidos. Lo teorema de Pitágoras para calcular distancias y el método del paralelogramo para sumar vectores son válidas.




2. En este espacio Euclidio 3‐D, existen marcos de referencia inerciales, definido en base a un conjunto de tres direcciones no colineales utilizadas para definir posiciones en el espacio tridimensional. Un marco inercial (newtoniano, o Galileano) es aquel en la que las leyes de movimiento de Newton son válidas.




3. La masa y el tiempo son cantidades universales; es decir, los valores medidos son los mismos para todos los observadores (en todos los marcos de referencia).




4. Los objetos físicos son cuerpos rígidos o colecciones de cuerpos rígidos. Un cuerpo rígido se define comúnmente como un objeto que tiene masa y no se deforma incluso cuando se aplican fuerzas.



Los supuestos (1) ‐ (3) son pensadas como "leyes" físicas, actualmente consideradas como aproximaciones de ingeniería. De hecho, son de gran precisión para casi todos los problemas de ingeniería. El supuesto (4) también es una aproximación ya que todos los objetos conocidos se deforman bajo la aplicación de fuerzas. Estos supuestos nos permiten construir un modelo matemático; es decir, formular una descripción matemática de una situación física.


Bibliografía• Kane, T.R., Analytical Elements of Mechanics – Vol. 1, AcademicPress, New York, 1959.

• Kane, T.R, Analytical Elements of Mechanics – Vol. 2: Dynamics, Academic Press, New York, 1961.

• Kane, T.R., Dynamics, Holt, Rinehart and Winston Inc., New York, 1968.

• Baruh, H., Analytical Dynamics, McGraw‐Hill Book Company, New York, 1999.

• Tenenbaum, R. A., Fundamentals of Applied Dynamics, Springer‐Verlag, New York, USA, 2004.

• Ardema, M. D., Newton‐Euler Equations, Springer Science, New York, 2005.

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Introducción: vectores• La magnitud, orientación y sentido de un vector se llaman las características de un vector

• La magnitud de un vector se especifica por un número positivo y una unidad que tiene las dimensiones apropiadas.

• La orientación y sentido determinan la dirección de un vector.

• Un vector asociado a un punto P del espacio se llama vector atado (bound vector); de otro modo es un vector libre (free vector).

• El punto P se conoce como punto de aplicación del vector.

• La línea que pasa a través de P y es paralela al vector se llama la línea de acción del vector.


Introducción: notación de vectores• Los vectores se indican por letras en negrita, por ejemplo, a, b, A, B.

• El símbolo ||v|| representa la magnitud del vector v.

• Gráficamente, los vectores se representan por flechas rectas o flechas curvas.

ab

a


Propiedades• Dos vectores a y b son iguales cuando tienen las mismas características. Esto se denota por,

• Cuando un vector v se multiplica por el escalar cero, el resultado es un vector que no tiene una dirección definida y cuya magnitud es igual a cero. Todos los vectores cero se consideran iguales. El símbolo utilizado para denotar un vector cero es 0.

• Un vector cuya magnitud es igual a 1, se llama vector unitario.

a b

ˆ vnv


Suma de vectoresEl vector v1 + v2 se llama resultante de la suma de v1 y v2.

1v

2v

1v2v

1 2v v

2v1v

2 1v v

1 2v v

1v

2v


Suma de vectores: diferenciaLa suma v1 + (–v2) se llama diferencia entre v1 y v2, y se denota por v1 – v2.

1v

2v 1v

2v1 2v v

1v

2 1 v v

1 2 v v

1v

2v 2v


Suma de vectoresSean v1’ y v2’ dos vectores obtenidos por medio de una rotación de un ángulo α de los vectores v1 y v2 en el plano formado por dichos vectores. Entonces la resultante entre v1’ y v2’ es igual al vector obtenido cuando la resultante entre v1 y v2 es rotada a través del ángulo α en plano Π.

1v

2v

1v

2v

1v

1 2v v

1 2 v v

1 2 v v

1v

2v


Suma de vectoresLa resultante de la suma de n vectores vi para i = 1,…,n se denota por,

1

n

ii v

1v

2v

3v

nv

1v

2v

3v

nv1

n

ii v


Componentes de vCada vector puede expresarse como la suma de n vectores (n = 2, 3,...), de los cuales todos menos uno se puede seleccionar arbitrariamente. Cada uno de estos vectores se llama componente de v.

v v v

1v 1v2v

2v3v

3v4v 4v


Componentes de vSi son tres vectores unitarios no paralelas al mismo plano, entonces existen tres escalares únicos v1, v2 y v3 de tal manera que un vector dado v se puede expresar como,

1 2 3ˆ ˆ ˆ, y n n n

v

1 1ˆv n2 2ˆv n

3 3ˆv n

1n̂

2n̂3n̂

3

1

î ii

v

v n


Componentes de v: magnitudSi son tres vectores unitarios mutuamente perpendiculares, la magnitud de v está dada por,

1 2 3ˆ ˆ ˆ, y n n n

2 2 21 2 3v v v v

1n̂ 2n̂

3n̂

3 3ˆv n

2 2ˆv n

1 1ˆv n

A

B C

Dv

1 1 2 2ˆ ˆv vn n


3 componentes de v

2n̂

3n̂

A

B

C

P

Q1n̂

n̂

1v

2v

3v

P

Qv

1v

2v

3v


ProblemaCuatro fuerzas, P, Q, R, y S está aplicadas a una caja y la fuerza Ptiene la magnitud y la dirección que se muestra en el dibujo. Las líneas de acción de las fuerzas Q, R y S son OA, OB y OC respectivamente. Si la resultante de estas cuatro fuerzas es igual a cero ¿cual es la magnitud y sentido de cada una de las fuerzas Q, R y S?

10Pa

R

S

Q

b

c

2n̂

3n̂

1n̂

O

A

B

C


Compon. vL y vP de vUn vector v se puede expresar como la suma de dos componentes, vL y vP, con vL paralela a una línea L y vPperpendicular a L,

L P v v v

v

v

L

1L

Pv

Lv

1L

L


Angulo entre v1 y v2

1v

2v

2v

1v1v

2v

1v

2v

El ángulo entre v1 y v2 se denota por los símbolos (v1, v2) o (v2, v1).


Producto escalar• El producto escalar entre dos vectores v1 y v2 se define como,

• Si v1 es perpendicular a v2, entonces v1 ∙ v2 = 0. Por el contrario si v1 ∙ v2 = 0, v1 no es necesariamente perpendicular a v2. Probar!

• Para dos vectores a y b, y un escalar s se cumple que,

Por lo cual se denota simplemente sa∙b

1 2 1 2 1 2cos , v v v v v v

s s s a b a b a b


Producto escalarEl producto escalar entre vectores es distributivo,

1 1

n n

i ii i

a b a b

a

1b

2b

1 2b b

P

1Q2Q

Q

2

1 21

2

1 21

,ii

ii

a b a b b

a b a b a b

Si con ni para i = 1,2,3 vectores unitarios mutuamente perpendiculares. Mostrar que

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆy a a a b b b a n n n b n n n

1 1 2 2 3 3a b a b a b a b


Producto escalarEvaluación de las componentes vL y vP mediante el producto escalar,

v

PvLv

90º

n̂

L

ˆ ˆL v n v n

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆn n

i ii i

n v n n v n

?

?


Producto vectorialEl producto vectorial entre un vector v1 y un vector v2 se define como,

1 2 1 2 1 2 ˆsin , v v v v v v n

1v

2v

1 2v v

2v

1v

1 2v v

2v

1v

1 2v v


Producto vectorial• Si a es paralelo a b, entonces a x b = 0, pero si a x b = 0, a no

es necesariamente paralelo a b. Probar!

• Para dos vectores cualquiera a y b, y un escalar s, se cumple que,

• El sentido del vector unitario n que aparece en la definición de a x b depende del orden de los factores a y b,

• El producto vectorial es distributivo,

s s s a b a b a b

b a a b

1 1

n n

i ii i

a b a b


Producto vectorial• Probar que,

• Un conjunto de vectores unitarios perpendiculares entre sí se llama dextrógiro (right‐handed) si,

• Si por el contrario, el conjunto de vectores se llama levógiro (left‐handed).

2 a b a b a b

1 2 3ˆ ˆ ˆ n n n

1 2 3ˆ ˆ ˆ n n n


Producto vectorial• Si

entonces,

• Este producto se puede computar, también, de la siguiente forma,

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

ˆ ˆ ˆ ,ˆ ˆ ˆ

a a ab b b

a n n nb n n n

2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3ˆ ˆ â b a b a b a b a b a b a b n n n

1 2 3

1 2 3

1 2 3

ˆ ˆ â a ab b b

n n n

a b


Triple producto escalarEl triple producto escalar se define como,

• Se cumple que,

• Si a, b y c son paralelos a un mismo plano, o si cualesquiera dos vectores a, b, c son paralelos entre si, se cumple que,

, , a b c a b c

, , , , ,

, , , ,

a b c b c a

a b c b a c

, , 0a b c


Triple producto escalar

Volumen

a b c b c a c a b

a c b b a c c b a

a

b

a b

a b c

Vc


Triple producto vectorialDado tres vectores a, b y c, se denomina triple productovectorial a a x (b x c), siendo válida las siguientes relaciones:

w a b c c a b c b a

a c b a b c1

2

c b

ab c

w

Π1 ‐ plano formado por b y cΠ2 ‐ plano formado por a y (b x c)w contenido en Π1

Probar que si a y b son dos vectores se cumple que(a x b)∙(a x b) = (a∙a)(b∙b) – (a∙b)2


Funciones vectorialesSi una o más de las características de un vector v en un marco de referencia R depende de una variable escalar z, ves una función vectorial de z en R; de lo contrario, v se dice que es independiente de z en R (se dice fijo en R).

A B

CD

Op

q

z

P

R


Funciones vectorialesUn vector puede ser función de una variable escalar en un marco de referencia, mientras que se puede ser independiente de esta variable en otro marco de referencia.

zA B

CDq

A'

B'

C'

D'R

'R¿Que pasa si z = π/2?¿y si z = ‐ π/2?


Funciones vectorialesSi v es una función vectorial de una variable escalar z en un marco de referencia R y ni, i = 1, 2, 3, son vectores unitarios (no paralelos al mismo plano) fijos en R,

• los vi, i = 1 , 2, 3 son funciones escalares de z que caracterizan el comportamiento de v en R,

• los vectores unitarios pueden ser funciones vectoriales de z en un segundo marco de referencia R’,

• si este es el caso, los ni no afectan el comportamiento de v en R,

• pero si afectan el comportamiento de v en R’.


Funciones vectoriales

1 22 ˆ ˆ2 1 3sin 2z z

F n n


Funciones vectoriales

zA B

CD

A'

B'

C'

D'

R

'R

1n̂2n̂

A B

D CR

2 0ˆ

zn

1 0ˆ

zn

24

ˆz

n

14

ˆz

n

A B

D CR

0zF

4z

F

3

3

A' B'

D' C''R

2 0ˆ

zn

1 0ˆ

zn

24

ˆz

n

14

ˆz

n


Funciones vectoriales• Si v es independiente de una variable z en un marco de

referencia R, las medidas vi, cuando v se expresa en términos de vectores unitarios fijos en R, son independientes de z,

• Por el contrario, si las medidas vi, cuando v se expresa en términos de vectores unitarios fijos en un marco de referencia R son constantes, entonces v es independiente de z en R,

• Dos funciones vectoriales v1 y v2 de la misma variable zson iguales en el intervalo z1 ≤ z ≤ z2 si y sólo si los valores de v1 y v2 tienen características idénticas para cada z en este intervalo.


Funciones vectoriales• El resultado de una operación que implica dos o más

valores de una función vectorial (o valores de varias funciones vectoriales de la misma variable, correspondiente a valores distintos de la variable independiente) depende del marco de referencia en el que se realiza la operación,

• El resultado de una operación que involucra solo un valor de una función vectorial (o valores de varias funciones vectoriales de la misma variable, correspondiente a un único valor de esta variable independiente) es independiente del marco de referencia en el que se realiza la operación.


Funciones vectoriales: 1ra derivadaDada una función vectorial v de una variable escalar z en un marco de referencia R, la primer derivada de v con respecto a z en R se representa por,

y se define como,

donde son vectores unitarios, no paralelos al mismo plano y fijos a R.

Rddzv

3

1

ˆR

ii

i

dvddz dz

v n

v

R

1n̂2n̂

3n̂

ˆ in


Funciones vectoriales: 1ra derivadaLa derivada de una función vectorial en un marco de referencia R puede expresarse en términos de vectores unitarios fijos en cualquier otro marco de referencia R’.

1

2

1

1

1 1 2

6 ˆ ,

6 ˆ ˆ ˆ ˆ, recordando que c

6 6ˆ ˆcos si

os s

n

in ,R

R

z

d z zdzddz

z z

v n

v n n n

v n n

n


Funciones vectoriales: 2da derivadaLa primera derivada de una función vectorial con respecto a una variable z en un marco de referencia R es, en general, una función vectorial de z, tanto en R y en cualquier otro marco de referencia R’, y puede ser diferenciada nuevamente con respecto a z en R o R’,

Repitiendo el proceso se obtienen derivadas de orden superior,

' 2

2,R R Rd d ddz dz dz

v v

2 '

2

R R Rd d ddz dz dz

v


Derivada de la sumaLa primera derivada con respecto a una variable z en un marco de referencia R de la resultante de los vectores vi, i = 1, 2,. . . , n, es igual a la resultante de la primeras derivadas con respecto a z en R de estos vectores.

Si,

Se cumple que,

1 2 3 ... n v v v v v

1 1

RR n ni

ii i

dddz dz

vv

?

• Dada una variable z, una función vectorial v de z en un marco de referencia R, y una función escalar s de z,

• Dadas dos funciones vectoriales v1 y v2 de una variable zen un marco de referencia R,


Derivada del producto

R Rd ds ds sdz dz dz

v v v Probar!

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

,R R

R R R

d d ddz dz dzd d d

dz dz dz

v v v v v v

v v v v v vProbar!


Derivada de funciones implícitasSi v es una función vectorial de una variable escalar z en un marco de referencia R y z es una función de la variable escalar t, se tiene que,

R Rd d dzdt dz dt

v v

1

1

16 ˆ ,

z 2

6 ˆ 2

ˆ12

,R R

z

td d dzdt dz dt

v n

v v

n

n


Derivada: n(z) a un K fijo en RSi un vector unitario n es una función de una variable escalar z en un marco de referencia R, y n permanece perpendicular a una línea K fija en Rmientras z varía, entonces,

ˆ ˆ ˆRd ddt dz

n k nR

k̂ K

L

Ln̂

Donde θ es el desplazamiento angularde una línea L que es paralela a n,respecto de una línea L’ fija en R yperpendicular a la línea K.


Problema

A

B

c

a

b

A y B representan dos placas rectangulares conectados por una bisagra, φ el desplazamiento angular de A respecto a B, considerado como positivo para la configuración mostrada,

Determinar la derivada temporal de a en B y de b en A.

1 sin2 2

t


Problema

P

n̂k̂

E

OA representa una recta perpendicular a la superficie de la tierra E. OP es una barra rígida que puede rotar respecto del punto O en un plano vertical fijo a E. Suponga que la barra rota en el sentido de las agujas del reloj completando 10 revoluciones por segundo en forma uniforme.

Determinar la primer derivada temporal de n en E, para la barra pasando por sus dos posiciones verticales y sus dos posiciones horizontales.

ˆ es un vectorunitario paraleloa OP

n

O

A


Problema

c

n̂

D representa un disco circular el cual gira sobre una trayectoria circular C de tal manera que en cierto instante t*, dθ/dt = ‐5 rad/seg. θ es el desplazamiento angular de una recta d fija en Drelativo a una recta c fija en C y Ay B son puntos fijos en D.

Determinar la primer derivada temporal en t* del vector posición p de A relativo a B en el marco de referencia C.

D

A

B

k̂ d

C

3


Teorema Taylor: funciones vectorialesSi v es una función vectorial de una variable escalar z en un marco de referencia R, la diferencia en R entre v(z* + h) y v(z*), donde z* es un valor particular de z y h es una cantidad escalar, se puede expresar en término de las derivadas de v con respecto a z en R como,

2 2

2* ** *

...1! 2!

R RR

z h zz z

h d h ddz dz

v vv v


Vector tangente a una curvaSi una curva C está fija en un marco de referencia R y T es una recta T tangente a C en un punto P, entonces existe un vector unitario τ paralelo a T llamado vector tangente de Cen P dado por,

ˆ

pτp O

P

1P

p

1p1c

T

τ̂

C

R

donde p es el vector posición de P respecto a un punto fijo 0 en R y la prima denota derivada con respecto a z en R, siendo zcualquier variable escalar tal que la posición de P en C depende de z.


Vector tangente a una curva• El sentido de un vector tangente , depende de la

elección de la variable escalar que gobierna la posición de P en C. Esta es la razón por la cual se habla de un en lugar de el vector tangente a una curva.

• Si la variable escalar que gobierna la posición de P en C es s, el desplazamiento de la longitud de arco de P con respecto a un punto fijo en P0 en C, un vector tangente de C en P que apunta en la dirección en la que P se mueve cuando s aumenta algebraicamente, está dado por,

τ̂

ˆRdds

pτ

τ̂


Vector binormal a una curvaSi una curva C está fija en un marco de referencia R y B es una recta binormal a C en un punto P, entonces existe un vector unitario β paralelo a B llamado vector binormal de Cen P dado por,

ˆ

p pβp p O

P

1P

p1p 1c

B

C

R

donde p es el vector posición de P respecto a un punto fijo 0 en R y la prima denota derivada con respecto a z en R, siendo zcualquier variable escalar tal que la posición de P en C depende de z.

2c2p 2P


ProblemaConsidere una línea recta AC dibujada en una hoja rectangular de papel ABCD. El papel se dobla con el fin de formar un cilindro circular de radio a/π, la línea AC se transforma en la hélice circular H.

P

z

A B

CD

1P

2a

2b P2b

1PA

Da

k̂

n̂

H

z

o


Vector binormal a una curva• Los vectores son perpendiculares entre sí, este

resultado se puede comprobar evaluando .

• Si la variable escalar que gobierna la posición de P en C es nuevamente s, el desplazamiento de la longitud de arco de P con respecto a un punto fijo en P0 en C. está dado por,

ˆˆ y τ β

2

2

2

2

ˆ

R R

R

d dds ds

dds

p p

βp

β̂

ˆˆ τ β

Probar!


Vector normal a una curvaSi y son los vectores tangente y binormal a una curva Cen un punto P, entonces existe un vector unitario llamado vector normal de C en P dado por,

y tienen los sentidos obtenidos mediante el uso de la misma variable z en las expresiones dadas anteriormente.

ˆˆ ˆ ν β τ

τ̂ β̂ν̂

τ̂ β̂


Vector normal a una curvaUna expresión alternativa para el vector normal principal es:

Si las derivadas son hechas con respecto a la variable que mide la longitud de arco, s, el vector normal está dado por,

ˆ

p p p

νp p p

ν̂

2

2

2

2

ˆ

R

R

ddsdds

p

νp Probar!


Curvatura de una curvaEl vector posición ρ del centro de curvatura de una curva Cen un punto P de C, con respecto a P, se llama vector de radio de curvatura de C en P, y está dado por

donde p es el vector posición de P respecto a un punto fijo Oen un marco de referencia R en la que C está fijo, las primas denotan diferenciación con respecto a z en R, y z es cualquier variable escalar tal que la posición de P en Cdepende de z.

2

2

pρ p p p

p p


Curvatura de una curva• El vector radio de curvatura ρ de una curva C en un punto

P tiene la misma dirección que el vector normal de C en P y por lo tanto se puede expresar como,

donde ρ es una cantidad positiva llamada radio de curvatura de C en P.

• En términos de s, ρ y ρ se pueden expresar como,

ˆρ ν

ν̂

22 2 2

2 2 2/ y 1 /R R Rd d dds ds ds

p p pρ


Las fórmulas de Serret‐FrenetLos derivadas de los vectores con respecto a sestán dadas por,

donde ρ es el radio de curvatura y λ es la torsión de la curva C en el punto P, dada por

ˆ ˆˆ 1 1ˆˆ ˆ ˆ, , y R R Rd d dds ds ds

τ β νν ν β τ

ˆ ˆˆ , y τ β ν

2 32

2 3, ,R R Rd d dds ds ds

p p pρ


Cinemática• Es importante entender el concepto de velocidad de un

punto y velocidad angular de un cuerpo rígido.

• Estas cantidades son función, generalmente, de la variable escalar tiempo, t.

• Cuando se utilizan métodos avanzados en mecánica, la velocidad de un punto y la velocidad angular se escriben en término de más de una variable escalar, por ejemplo, las llamadas coordenadas generalizadas, sus derivadas y el tiempo.


Marcos de referenciaConsidere un punto P libre de moverse sobre la superficie de una esfera rígida.

P

p

1q

2qo

RLa esfera R, como cualquier cuerpo rígido, puede ser considerado como un marco de referencia (los marcos de referencia no deben confundirse con los sistemas de coordenadas). Muchos sistemas de coordenadas se pueden adherir a un marco de referencia dado. Si p es el vector de posición del punto P con respecto al centro o de R, y q1 y q2 son los ángulos definidos en la figura, p es una función vectorial de q1y q2 en R.


Marcos de referencia

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