Cap tulo 1 - Flambagem de ) · PDF fileC A P Í T U L O 1 FLAMBAGEM UERJ – FEN – ESTR - Resistência dos Materiais IV – Luciano Lima 1. Introdução O que leva à falha de uma

C A P T U L O 1 FLAMBAGEM
UERJ FEN ESTR - Resistncia dos Materiais IV Luciano Lima
1. Introduo
O que leva falha de uma estrutura?
Um engenheiro sempre deve considerar possveis modos de falha ao projetar uma estrutura. Algumas delas so:
O escoamento em tenses baixas;
As deformaes e deflexes; e
A fadiga provocada por ciclos de carregamentos repetidos.
Para evitar os tipos de falha mencionados acima, devem ser considerados critrios de projeto baseados em resistncia (tenso) e rigidez (deflexo).
Este captulo, porm, aborda como tema principal outro modo importante de falha: a flambagem.
Um exemplo tpico desse fenmeno pode ser observado ao se aplicar uma carga axial a uma rgua (Figura 1). Outro exemplo clssico envolve uma trelia com duas barras, sendo que uma est submetida compresso e outra a trao (Figura 2).
Figura 1 - Carga axial elemento esbelto
Figura 2 - Trelia de duas barras
Nesses dois exemplos, pesos so adicionados at que seja atingida uma determinada carga: o do elemento sob compresso. Aps esse limite, o elemento subitamente deflete lateralmente sob a carga compressiva axial.
Anteriormente, na anlise de deformaes axiais, considerava-se que,
mesmo sob carregamento compressivo, o elemento que sofria carregamento

2 CAPTULO 1 FLAMBAGEM
axial permanecia reto e as nicas deformaes possveis eram a reduo ou o
alongamento do elemento na direo longitudinal.
Porm, estudos aprofundados observaram que a partir de um determinado valor em carregamentos axiais de compresso, a rgua ou a barra comprimida da trelia no permanecem mais retas, ou seja, defletem lateralmente de modo sbito, como uma viga. Esta deflexo lateral ocasionada pela compresso axial denominada flambagem.
Falhas por flambagem so freqentemente sbitas e catastrficas, por isso, a sua preveno de grande importncia.
2. Estabilidade de Estruturas
Todo e qualquer problema de Engenharia Civil envolve equilbrio. Neste captulo, necessrio definir os tipos de equilbrio associados a diferentes formas de estabilidade.
Este conceito pode ser demonstrado muito claramente considerando-se o equilbrio de uma esfera sobre trs superfcies diferentes.
Figura 3 - Tipos de equilbrio
A Figura 3 apresenta trs situaes em que a esfera est em equilbrio, ou seja,
, e . Na primeira parte da Figura 3, a esfera encontra-
se em equilbrio estvel, pois, seja qual for o deslocamento provocado nela, quando solta, a esfera retornar sempre posio de equilbrio no fundo do vale.
No ltimo quadro da Figura 3, apesar da esfera estar na posio de equilbrio, qualquer deslocamento aplicado a ela far com que ela se afaste cada vez mais da posio de equilbrio inicial, o que caracteriza um equilbrio instvel.
E, finalmente no meio da Figura 3, a esfera encontra-se sobre uma superfcie perfeitamente plana, na qual se obtm uma configurao de equilbrio neutro. Se a esfera for ligeiramente deslocada para qualquer um dos lados, ela no tem tendncia
= 0Fx = 0Fy = 0M

a se mover nem para a posio original, nem para um ponto alm. Com isso, aps esse evento, a esfera estar em equilbrio, novamente, numa posio deslocada da original.
2.1. Aplicao do equilbrio a elementos submetidos compresso
Deseja-se dimensionar a coluna AB de comprimento que vai suportar a carga P conforme apresentado na Figura 4 a seguir. O elemento AB tido como perfeitamente reto e rgido e considera-se que no h frico no pino em A e que a carga P aplicada no eixo do elemento.
Inicialmente, poderamos concluir que a coluna estaria bem dimensionada se a
rea A da seo transversal fosse escolhida de modo que o valor da tenso ( ) em qualquer ponto da barra esteja abaixo da tenso admissvel do material utilizado e se a deformao ( ) se mantiver dentro das especificaes recomendadas.
No entanto, o fenmeno de flambagem pode ocorrer na barra. Ao aplicar a fora P; em vez de permanecer com o seu eixo retilneo, a coluna se torna subitamente encurvada. Quando isso ocorrer, sob um carregamento especificado no clculo, significa que a coluna no foi dimensionada corretamente.
Figura 4 Barra submetida compresso
Na Figura 4 no ponto A, observa-se uma mola com constante elstica .. Ao ser provocado um deslocamento na barra, a mola produz em A um momento de restaurao que tende a retornar o elemento sua posio original. Este momento em A proporcional ao ngulo de deflexo do elemento AB em relao vertical.
. Equao 1

Ao girar a barra de um ngulo muito pequeno, o momento provocado pela fora dado por:
Equao 2
Ou seja, para diferentes valores de e de tem-se situaes de equilbrio distintas. Combinando-se as duas equaes anteriores, os sistemas tm as seguintes condies para os equilbrios estvel, neutro e instvel:
Estvel
! < # $%&' < () . '
Neutro
! # $%&' () . '
Instvel
! > # $%&' > (). '
Equao 3
Em Engenharia Civil, lidamos, apenas, com pequenas deformaes, ou seja, tende a zero. E quando o ngulo pequeno, e a Equao 3 tem os seguintes desdobramentos:
Estvel
< ,- Neutro
,- Instvel
> ,-
Equao 4
Onde:
Equao 5
A carga que define a transio entre o equilbrio estvel e o equilbrio instvel a chamada carga crtica . A perda de estabilidade do equilbrio chamada de flambagem, de modo que tambm chamamos de carga crtica de flambagem.
Para ilustrar adequadamente a relao entre a carga aplicada e a estabilidade do sistema estrutural, observemos o diagrama de equilbrio apresentado na Figura 5 abaixo. Trata-se de um grfico de carga P versus o ngulo de deflexo . O ponto B, onde o diagrama de equilbrio se divide, chamado de ponto de bifurcao. Exatamente no ponto B, onde ,-, o equilbrio do elemento neutro.
Na configurao vertical, ou seja, ' 0, representada pela linha tracejada, obtm-se uma situao de equilbrio instvel acima do ponto B; e uma situao estvel abaixo dele. Configuraes alternativas de equilbrio estvel ocorrem ao longo das curvas BC e BC, com ' 0.

Figura 5 Diagrama de Equilbrio
3. Frmula de Euler para colunas com extremidades articuladas
No exemplo da Figura 4, observou-se o comportamento de uma barra rgida associada a uma mola de toro quando submetida compresso. Em casos reais, as colunas possuem uma flexibilidade atribuda ao material e no respondem como o exemplo citado acima. Para nos aproximarmos da realidade, analisemos atravs da Figura 6 uma coluna ideal com pinos em suas extremidades.
Figura 6 - Coluna Ideal
Para a simplificao do modelo, algumas hipteses so consideradas:

i. Inicialmente, a coluna perfeitamente reta;
ii. O material que a compe tem comportamento linear elstico;
iii. Os pinos das extremidades passam pelo centride da seo transversal;
iv. A coluna tem liberdade para girar pelos pinos sem que haja frico, assim, as restries desses apoios so equivalentes quelas de uma viga bi-apoiados;
v. A coluna simtrica em relao ao plano xy e qualquer deflexo lateral da coluna ocorrer neste plano; e
vi. A coluna recebe uma fora axial compressiva P aplicada atravs do pino superior.
3.1. Configurao Flambada
Analisando os valores atribudos a essa carga:
< Equilbrio estvel: a coluna permanecer reta e seu comprimento ser reduzido. A tenso axial uniforme e regida
pela equao: .
Equilbrio neutro
Para determinar da carga crtica e a configurao da coluna flambada, deve-se determinar o valor da carga quando a coluna estiver ligeiramente fletida e em condio de equilbrio.
3.2. Equilbrio de Colunas Flambadas
Analisando o diagrama de corpo livre da Figura 6, obtm-se:

1
01 0 3 0 0 ,5 0 06 0 7 0
Como 0, tem-se: 9:; ; ?@"; onde @" B@ B> . Substituindo-se na equao acima o 9>; da Equao 6, tem-se:
?@" ;
DE="9:; F =9:; G Equao 7
Est a equao diferencial que governa a deformada de uma coluna com extremidades em pino. Trata-se de uma equao diferencial ordinria, homognea, linear e de segunda ordem.
As condies de contorno para um elemento vinculado por pinos so:
=9G; G; e =9; G Equao 8
A presena do termo =9:; na Equao 7 significa que no se pode integrar duas vezes a equao para se obter a soluo. De fato, apenas quando DE for constante, existir uma soluo simples para esta equao. Sendo assim, a Equao 7 uma equao diferencial ordinria com coeficientes constantes.
A Equao 7 pode ser reescrita dividindo-se todos os termos por DE:
1 9>; considerado positivo quando h compresso nas fibras na direo positiva de y.

="9:; F =9:; DE G Equao 9
Adotando-se H /DE, tem-se: ="9:; F H=9:; G Equao 10
A soluo geral desta equao homognea :
=9:; JKH9:; F JLH9:; Equao 11
Deseja-se encontrar um valor para H e conhecer as constantes de integrao JK e JL, tal que as d

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