FLAMBAGEM Definio de Flambagem - EcivilUFES 2008 Observa-se que a flambagem ocorre somente quando o corpo est submetido a tenses normais de compresso. Concluso: No h flambagem

  • View
    228

  • Download
    6

Embed Size (px)

Text of FLAMBAGEM Definio de Flambagem - EcivilUFES 2008 Observa-se que a flambagem ocorre somente quando o...

  • Verso 2008

    FLAMBAGEM

    Definio de Flambagem

    Denomina-se flambagem a perda de estabilidade de um corpo solicitado, caracterizada pelo aparecimento de deformaes, a princpio, incompatveis com o estado de tenso.

    Aps o surgimento das deformaes inusitadas, o corpo converge rapidamente ao estado de ruptura, sob um pequeno acrscimo da solicitao.

    Exemplos:a) Barra Comprimida: deformaes tpicas da toro e da flexo

    N Ny

    Figura 01

    b) Barra Torcida: deformaes tpicas da flexo

    T T

    Figura 02

    c) Barra Fletida: deformaes tpicas da toro associadas s de flexo fora do plano de carregamento (flexo lateral)

    yMx Mx z

    x y

    x z x

    Figura 03

    FLAMBAGEM

    1

    VinciusHighlight

  • Verso 2008

    Observa-se que a flambagem ocorre somente quando o corpo est submetido a tenses normais de compresso.Concluso: No h flambagem se as tenses nas sees transversais de uma barra

    so s de trao.

    O estudo da flambagem muito extenso. Estudaremos, aqui, apenas os casos de maior interesse prtico:a) Flambagem de Barras Comprimidasb) Flambagem de Barras Fletidasc) Flambagem de Chapas Comprimidas e Fletidas

    Tipos de Flambagem:

    a) Flambagem por Flexo: a barra apresenta deformaes tpicas da flexo;b) Flambagem por Toro: a barra apresenta deformaes tpicas da toro;c) Flambagem por Flexo-Toro (caso geral): a barra apresenta, simultaneamente,

    deformaes tpicas da flexo e da toro.

    Observao:Dependendo do tipo de solicitao, de seo transversal e dos vnculos (apoios) da barra, pode ocorrer qualquer dos trs tipos de flambagem.

    A flambagem pode ainda ser elstica ou inelstica. A primeira ocorre sob tenses inferiores ao limite de proporcionalidade p do material. A segunda, sob tenses superiores a este limite. O comportamento dos corpos na flambagem elstica difere do comportamento na flambagem inelstica. Portanto, o estudo da flambagem deve ser feito separadamente para cada caso.

    Denominaremos cr a tenso normal de compresso sob a qual a barra "flamba" - tenso crtica de flambagem.

    Se cr p flambagem elsticaSe cr > p flambagem inelstica

    Mtodo Clssico para a Anlise da Flambagem:1) Considera-se inicialmente o sistema sem as deformaes incompatveis;2) Introduz-se arbitrariamente uma deformao incompatvel, porm observada no

    fenmeno da flambagem;3) Analisa-se o sistema assim modificado, no sentido de se determinar os esforos

    que provocariam o fenmeno teoricamente inusitado.

    FLAMBAGEM

    2

    VinciusHighlight

    VinciusHighlight

    VinciusHighlight

  • Verso 2008

    Para melhor compreenso do fenmeno, consideremos o modelo:

    Para uma determinada fora P as barras AC e BC continuam alinhadas. Imaginemos que seja dado um deslocamento no ponto C, de tal forma que a barra BC e a barra AC formem um pequeno ngulo () com a vertical.

    Nestas condies, o sistema voltar sua posio inicial de equilbrio ou continuar se movendo com o ponto C' se afastando do ponto C. No primeiro caso o equilbrio estvel e no segundo, instvel.

    FLAMBAGEM

    3

    L/2

    L/2

    Mola espiral comconstante de toro k

    A

    B

    C

    A

    B

    C

    P

    C'

    2

  • Verso 2008

    Analisemos a barra AC

    o momento provocado pelas foras P tendem a afastar a barra de sua posio inicial (alinhadas entre si) enquanto que o momento Mmola tende a levar as barras de volta sua posio inicial.

    M PPPL

    2sen e M mola=k . 2 .

    Se MPP > Mmola a barra se afasta da posio vertical e o sistema instvel.

    Se MPP < Mmola a barra tente a voltar posio inicial e o sistema estvel.

    O valor da fora P para o qual os momentos se igualam chamado de carga crtica

    PcrL2sen=k . 2 se,

    P < Pcr sistema estvel

    Pcr=4 . k

    L

    sen

    P > Pcr sistema instvel

    Como pequeno, sen

    P cr=4 . k

    L

    Imaginemos agora P > PcrNeste caso, o sistema se afasta da vertical e atinge, aps algumas oscilaes,

    uma nova configurao de equilbrio para algum valor de .

    PL2sen=k . 2

    P . L4 .k

    =

    sen

    se positivo, ento sen < , o que resulta em

    P . L4 . k

    1 PP cr

    FLAMBAGEM

    4

    L/2

    Mmola

    P

    A

    P

  • Verso 2008

    Flambagem de Barras Comprimidas

    Flambagem por FlexoFlambagem Elstica - Problema de Euler (sc. XVIII):

    A) Barra Birrotulada: y y

    y x N N z

    zL seo transversal

    Figura 04

    Consideramos, inicialmente, o sistema sem deformaes incompatveis com o estado de tenso. A seguir, introduzimos deformaes tpicas da flexo (flecha y). O eixo de flexo , portanto, o eixo x. A equao diferencial da linha elstica, ento,

    1=

    M xE . I x

    onde o raio de curvatura da linha elstica (1/ a curvatura)Mx = -N.y o momento fletor numa seo genrica distante z do apoio

    esquerdoE.Ix a rigidez flexo relativa ao eixo de flexo x

    A curvatura 1/ dada por1=

    y ' '

    1 y ' 32

    y ' ' ,

    se as deformaes so pequenas (y2 desprezvel na presena da unidade).

    Assim, temos

    y ' '=N . yE . I x

    =k . y ou y ' 'k . y=0 ,

    onde k=N

    E . I x.

    A soluo desta equao

    y=C1 . sen k.z C2 cosk.z ,

    FLAMBAGEM

    5

    VinciusHighlight

    VinciusHighlight

    VinciusHighlight

    VinciusHighlight

    VinciusHighlight

  • Verso 2008

    onde C1 e C2 so constantes de integrao.

    A obteno destas constantes feita atravs das condies de contorno do problema que so, no caso, condies de apoio da viga, isto :

    y = 0 em z = 0 C2 = 0y = 0 em z = L C1 sen (kL) = 0 C1 = 0 ou kL = n.

    onde n um inteiro

    Da primeira soluo, C1 = 0, conclumos que y = 0 e, portanto, a barra no flete. Esta soluo no nos interessa. Contradiz o pressuposto.

    Da segunda, k . L=n . , conclumos que k= n.L . De k=N

    E . I xe k=

    n.L ,

    conclumos queN=

    n . . E . I xL

    so as cargas de compresso que provocam a flambagem por flexo numa barra birrotulada.

    A carga mnima (n = 1) a carga de interesse prtico e denominada Carga Crtica de Flambagem Elstica, j que consideramos, na deduo, o regime elstico. Assim,

    N cr= . E . I x

    L.

    Concluses:a) quanto mais rgida a barra, maior ser Ncr (Ncr E.Ix) e, portanto, menos susceptvel a barra flambagem;b) a flexo se dar no plano de menor inrcia (Ncr ser to menor quanto for Ix); logo, Ix = Imin (momento de inrcia mnimo da seo);c) quanto maior o comprimento da barra, menor ser Ncr e, portanto, mais susceptvel a barra flambagem.

    Destas concluses podemos definir um ndice para medir a susceptibilidade da barra flambagem:

    N cr= . E . I min

    LA

    A= E . A. rmin

    L,

    onde r min= I minA o raio de girao mnimo da seo.A carga crtica fica, ento,

    FLAMBAGEM

    6

    VinciusHighlight

    VinciusHighlight

    VinciusHighlight

    VinciusHighlight

    VinciusHighlight

  • Verso 2008

    N cr= . E . A2

    ,

    onde E.A a rigidez axial da barra e =L

    r min o chamado ndice de esbeltez da

    barra.

    O ndice de esbeltez mede a susceptibilidade flambagem pois quanto maior o comprimento da barra e menor o raio de girao da seo, mais esbelta ser a barra e, naturalmente, maior ser .

    A tenso crtica de flambagem elstica da barra ser

    cr=N crA

    ou cr= . E . A

    Assim, a curva cr x uma hiprbole. cr

    Figura 05

    Observao:A equao da deformada y=C1 . sen kz =C1 . sen . zL Em z= L2 , y=C 1. sen

    2=C1 = flecha mxima

    yC1 senide

    N N z

    B) Caso Geral (quaisquer condies de apoio):

    A equao diferencial da linha elstica ser

    y ' 'k . y= f 1 z ,

    cuja soluo ser

    y=C1 . sen kz C2 cos kz f 2 z ,

    onde f1(z) e f2(z) dependem das condies de apoio (reaes de apoio) da viga.FLAMBAGEM

    7

  • Verso 2008

    Para as diversas possibilidades de apoio temos as seguintes condies de contorno:

    a) y y = 0 em z = 0 z

    L y = 0 em z = L

    b) y y = 0 em z = 0 z

    L y = 0 em z = 0 (y = rotao)

    c) y y = y = 0 em z = 0 z

    L y = 0 em z = L

    d) y y = y = 0 em z = 0 z

    L y = y = 0 em z = L

    e) y y = 0 em z = 0 z

    L y = 0 em z = L

    f) y y = y = 0 em z = 0 z

    L y = 0 em z = L

    g) y y = 0 em z = 0 z

    L y = y = 0 em z = L

    h) y y = y = 0 em z = 0 z

    L y = y = 0 em z = L

    Resolvendo para cada conjunto, temos:

    N cr= . E . A2

    ,

    onde =L flr min

    ,L fl=K . L o comprimento de flambagem da barra e

    K o parmetro de flambagem da barra.Valores de K:

    FLAMBAGEM

    8

    VinciusHighlight

    VinciusHighlight

  • Verso 2008

    Condies de Apoio - Caso Valor de Ka 1,0b 2,0c 0,7d 0,5e 2,0f 1,0g 0,7h 0,5

    Notar que para as barras deslocveis (casos b, e, f), K 1 e para as barras indesloc-veis (casos a, c, d, g, h), K 1.

    O valor de K , na verdade, o percentual do comprimento L da barra, correspondente a uma senide.

    Ex.: K = 1,0

    L

    K = 2,0L L

    K = 0,70,7LL

    Observao:Conclumos, no estudo da barra birrotulada que a flexo se dar no plano de menor inrcia. Porm, se as condies de apoio nos planos principais forem diferentes, isto pode no ocorrer.

    y x z z

    Lx Ly

    Lflx = Kx.Lx e Lfly = Ky.Ly

    Como Kx Ky, ento Lflx Lfly.

    Os ndices de