Flambagem Fundamentos

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Flambagem por CompressoConceito de estabilidade do equilbrio. De forma bastante comum ocorrer confuso entre o que equilbrio e o que estabilidade. Uma estrutura pode ser instvel estando em equilbrio. Tome, por exemplo, um lpis apontado e tente coloca-lo apoiado em um plano horizontal apoiado pela ponta. Nesta situao, embora ele esteja em equilbrio, este muito instvel. Quando se apia o lpis pela base, o equilbrio estvel. Isto pode ser observado na figura 1P P

Figura 1 Equilbrio estvel e instvel Em geral, o equilbrio de uma estrutura pode ser classificado como: estvel; instvel ou indiferente. Um modo bastante simples de observar este fato analisar as trs situaes de equilbrio apresentadas na figura 2.Q Q Q

a

b

c

Figura 2 Situaes de equilbrio A situao a representa o equilbrio indiferente. Nela, ao se aplicar a fora Q na esfera, que est sobre um plano, representado pela linha horizontal, ocorrer uma nova posio de equilbrio, semelhante a esta em um outro ponto qualquer do plano. Na situao b, o equilbrio instvel. A fora Q promove um deslocamento na esfera que rola sobre a superfcie no existindo mais a possibilidade de retorno a esta posio de equilbrio. Uma estrutura com este tipo de equilbrio no suporta perturbaes de nenhuma natureza. Na situao c, o equilbrio estvel. A fora Q promove um deslocamento na esfera que rola sobre a superfcie oscilando em torno da posio de equilbrio inicial.

Conceito de Carga Crtica Ao ser projetado, um elemento deve satisfazer as condies de resistncia, deslocamentos limites e estabilidade. Alguns elementos podem estar submetidos a cargas compressivas, e se esses elementos forem longos ou esbeltos, o carregamento pode ser suficientemente elevado para causar uma instabilidade lateral. Especificamente, elementos longos e esbeltos sujeitos a cargas axiais compressivas so chamados de colunas e seus deslocamentos laterais so caracterizados atravs do fenmeno conhecido como flambagem. A carga axial mxima que uma coluna pode suportar quando atinge a iminncia de flambar chamada de carga crtica, Pcr. A capacidade de uma coluna suportar uma carga aumenta com o aumento do momento de inrcia (J ou I )da seo transversal. Assim, as colunas eficientes so projetadas de forma que a maior parte da rea da seo transversal seja afastada, tanto possvel, de seus eixos principais centrides. Esta a razo pela qual as sees tubulares so mais econmicas que as sees macias. tambm importante lembrarmos que uma coluna flambar relativamente ao eixo principal da seo transversal com o menor momento de inrcia (eixo mais fraco). Por exemplo, uma coluna com seo transversal retangular, veja figura abaixo, flambar em relao ao eixo b - b e no em relao ao eixo a - a.

Conseqentemente, os Tecnlogos aos dimensionar as sees transversais dos elementos estruturais procuram atender condio de momentos de inrcia idnticos em todas as direes. Assim, do ponto de vista geomtrico, os tubos circulares so excelentes colunas. A equao de flambagem para colunas apoiadas em rtulas ou pinos pode ser escrita sob a forma da ao de Eler:

ao de Eler A carga uma fora normal de compresso, o mdulo da tenso normal desenvolvida nos pontos das sees transversais da barra prismtica := onde A a rea da seo transversal da barra. A esta tenso se d o nome de Tenso de Flambagem que indicada por fl. Pcrit A (0)

fl =

Pcrit A

(1)

A tenso de flambagem , portanto a tenso que muda o estado de equilbrio da barra, ou seja, com tenses iguais a este valor o equilbrio instvel. Fazendo o valor da carga crtica, encontrado por Euller a expresso, ento tem-se:2 E l2 fl = A fl = 2 E (2) l2 A

Sabendo-se que o raio de girao de uma figura (i) igual a:

i=a expresso 2 fica:

A

i2 =

(3) A

fl =

2 E i2 (4) l2

Observe-se que na expresso 4 l o comprimento da barra e i uma propriedade de sua seo transversal. Podemos escrever esta expresso ento como:2 E fl = l2 i2

fl =

2 E l i2

(5)

Na expresso 5, o quociente pela letra (lmbda).

l chamado de ndice de Esbeltez da barra e indicado i

=

l (6) i

O ndice de esbeltez uma medida relativa entre o comprimento da barra e sua seo transversal. Uma barra esbelta quando seu comprimento grande perante sua seo transversal. Assim, a expresso 5 fica: fl = 2 E (7) 2

Esta expresso conhecida como Equao de Eler. OBS:1. A tenso de flambagem um valor de tenso que, se atingido, muda o estado de equilbrio da barra, isto ; a barra flamba. 2. Para que em uma barra no ocorra a flambagem, o valor de tenso desenvolvida pela fora de compresso atuante, deve ser menor que o da tenso de flambagem. Isto : = onde fl = fl (9) s P fl (8) A

e s o coeficiente de segurana que se deseja usar. 3. O estudo do raio de girao de grande importncia j que, se no existir restrio a barra tende a flambar de maneira que a seo gire em torno do eixo central de inrcia de menor momento e, portanto, de menor raio de girao 4. A mudana na forma de apoio da barra, provoca alterao na soluo da expresso 3. Esta alterao, pode ser expressa por meio do ndice de esbeltez. 5. A forma geral do ndice de esbeltez : =k l (10) i

onde k um coeficiente que depende da forma de apoio da barra.

6. Os valores de k para diferentes formas de apoio so as mostradas na figura 4.k=2

k = 0 ,7

k=1

k = 0 ,5

Figura 4 Coeficientes k para diferentes formas de apoio.

Flambagem Elstica e Flambagem Inelstica. A expresso 7 mostra que a tenso de flambagem funo do ndice de esbeltez da barra. Com ela, possvel traar o grfico da figura 5.1400,0 1200,0 1000,0 800,0 600,0 400,0 200,0 0,0 0 50 100 150 200 250 f l (Mpa)

Figura 5 Grfico da tenso de flambagem em funo do ndice de esbeltez para E=200GPa. Pela figura 5 possvel observar que barras com esbeltez muito pequena necessitam de uma tenso muito grande para que ocorra a flambagem. Deve-se levar em conta tambm que, as expresses at aqui obtidas possuem como premissa a validade da lei de Hooke. Esta lei tem validade desde que a tenso no ultrapasse a tenso limite de proporcionalidade do material (p). Assim, a equao de Eler possui validade para tenses abaixo de p.

p

Validade da equao de Eler

limFigura 6 Grfico da tenso de flambagem em funo do ndice de esbeltez mostrando a validade da Equao de Eler. Na figura 6 est indicado o valor para onde a tenso necessria para a flambagem p. A este valor, se d o nome de ndice de esbeltez limite e se indica por lim. A primeira vista, se pode imaginar que barras com esbeltez menor que o limite no apresenta o fenmeno da flambagem. Isto no verdade, estas barras tambm podem apresentar flambagem. Para barras com ndice de esbeltez muito pequeno, a falha por compresso pode ocorrer antes da mudana de estado de equilbrio. As equaes que traduzem estes efeitos no podem estar baseadas na Lei de Hooke, j que a tenso desenvolvida maior que a tenso limite de proporcionalidade. Assim, feita uma distino entre a flambagem que segue a equao de Eler chamada de Flambagem Elstica e a que no segue chamada de Flambagem Inelstica. Como j foi mencionada, a flambagem elstica segue a equao de Eler, j a flambagem inelstica segue outro padro de comportamento. O padro de comportamento da flambagem inelstica muito dependente do material e os resultados possuem uma grande disperso. Algumas equaes de aproximao so usadas para traduzir este comportamento. Uma das importantes aproximaes foi feita por Tetmajer que aproxima o comportamento funo:

fl = a b + c2 (11)onde a; b e c so constantes que dependem do material da barra. A tabela 1 mostra os valores das constantes para alguns materiais.

Tabela 1 Constantes a; b e c para alguns materiais para tenses em MPa.Material Ao st 37 Ao st 50 Ferro Fundido Madeira Ao ao Niquel Alumniolim

a

b

c 0 0

105 89 80 100 86 66

303 1,16 329 0,63

764 12,2 0,05 287 0,20 461 2,34 139 0,89 0 0 0

Uma outra aproximao importante foi feita por Telmaco V. Langendonck, que prope o comportamento como sendo uma parbola com vrtice na tenso limite de escoamento (e). A figura 7 representa este comportamento.

e pAproximao por uma parbola

limValidade da equao de Eler

Figura 7 Grfico mostrando a validade da Equao de Eler e a aproximao pela parbola. A equao proposta por Telmaco, para uma barra com um ndice de esbeltez menor que limite :

fl = e

e p 2 lim

2 (12)

As aproximaes que aqui so apresentadas no so as nicas existentes. Muitas outras so aceitas e para o dimensionamento de pilares existem normas, como as da AISC e a NBR 8800, que usam outras descries matemticas. De uma maneira geral, se pode dizer que quando a flambagem for elstica, a equao a ser usada a Equao de Eler. Quando ela for inelstica se pode usar uma das aproximaes.

EXEMPLO DE CALCULO