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Resistência dos Materiais - Flambagem
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04/08/2014
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONASFACULDADE DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Resistência II – Flambagem
Aula Expositiva Baseada e com Figuras Retiradas do Livro
Resistência dos Materiais / BEER E JOHNSTON
Estabilidade de Estruturas
uA
P σσ ≤=
espAE
PL δδ ≤=
Estabilidade de Estruturas
( )flambagem de momento
22
momento 2
=∆=∆
=∆
θθ
θL
PsenL
P
K
( )
L
KPP
KL
P
cr4
22
=<
∆<∆ θθ
Estabilidade de Estruturas
( )
θθ
θθ
sin4
2sin2
==
=
crP
P
K
PL
KL
P
• Se sinθ < θ , para a estrutura assumida é apenas possível se P > Pcr.
Fórmula de Euler para barras bi-rotulada
02
2
2
2
=+
−==
yEI
P
dx
yd
yEI
P
EI
M
dx
yd
( )( )2
2
2
22
2
2
rL
E
AL
ArE
A
P
L
EIPP
cr
cr
ππσσ
π
==>=
=>
( )
( )
esbeltez de ndice
crítica ensão 2
2
2
22
2
2
ír
L
trL
E
AL
ArE
A
P
A
PL
EIPP
cr
crcr
cr
=
==
=
=>=
=>
π
πσ
σσ
π
• Para cargas centradas
Fórmula de Euler para barras bi-rotulada
04/08/2014
2
Instabilidade Global• A carga de compressão atinge o valor que causa a instabilidade • Análise do caso fundamental: barra ideal (sem imperfeições)
“Coluna de Euller” (1744; 1759): Material elástico-linear
Extensão da fórmula de Euler
( )eequivalent ocompriment 2
2
2
2
2
==
=
=
LL
rL
E
L
EIP
e
e
cr
ecr
πσ
π
Extensão da Fórmula de Euler Exemplo
Uma coluna de comprimento L e seção transversal retangular está engastadaem B e tem uma carga centrada aplicada em A. Duas barras rotuladas restringemo deslotamento na direção y em A, permitindo apenas movimento vertical edeslocamento horizontal no eixo z.
a) Determine a relaçãoa/bdos dois lados da seção transversal de maior eficienciacontra flambagem da coluna.
b) Dimensionar a seção transversal mais eficiente para a coluna.
L = 500 mm
E = 70 GPa
P = 20 kN
FS = 2.5
• Plano XY:
127.0
1212
,
23121
2
a
L
r
L
ar
a
ab
ba
A
Ir
z
ze
zz
z
=
====
• Plano xz:
12/2
1212
,
23121
2
b
L
r
L
br
b
ab
ab
A
Ir
y
ye
yy
y
=
====
• Melhor eficiência:
27.0
12/2
127.0
,,
=
=
=
b
a
b
L
a
L
r
L
r
L
y
ye
z
ze
35,0=b
a
Exemplo Exemplo
L = 500 mm
E = 70 GPa
P = 20 kN
FS = 2.5
a/b = 0,35
• Dimensionamento:
( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )2
62
2
62
2
2
cr
cr
46,3
²/10.70
0,35
50
46,3
10.70
0,35
50
50205.2
46,3
12
5,02
12
2
b
mkN
bb
kN
brL
E
bbA
P
kNPFSP
bbb
L
r
L
e
cr
cr
y
e
π
ππσ
σ
=
==
==
===
===
cmba
cmb
39,135,0
47,3
===
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3
Exercício
( )2
2
rL
E
e
cr
πσ =
Exercício
( )2
2
rL
E
e
cr
πσ =
Exercício
( )2
2
rL
E
e
cr
πσ =
Qual a carga máxima que suporta uma coluna de aço, sabendo-se que a seção da mesma é de 5x15 cm e a altura de: 7m, 4m e 1,4m. E = 200GPa
Carregamento Excêntrico; Secante
2
2
max
2
2
12
sece
crcr L
EIP
P
Pey
EI
PePy
dx
yd
ππ =
−
=
−−=
• Linhas ElásticaP = Pcr
• Tensão Máxima
( )
+=
++=
r
L
EA
P
r
ec
A
P
r
cey
A
P
e
2
1sec1
1
2
2max
maxσ
+==r
L
EA
P
r
ec
A
P eY 2
1sec1
2max σσ
Carregamento Excêntrico; Secante Projeto de Pilares com Cargas Excêntricas
admI
Mc
A
P σ≤+
( ) ( ) 1≤+momentoadmcentradaadm
IMcAP
σσ
I
Mc
A
Pmomentocentrada
+=
+=
maxσ
σσσ
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4
Exemplo
Uma coluna uniforme tem comprimento de 8-ft e seção quadrada de lado 4 in.
a) Utilizando a fórmula de Euler e fator de segurança de 2, determine o valor máximode P e a tensão normal máxima.
b) Admitindo a força P máxima calculada ema) com e=0,75in, determine o máximodeslocamento de flambagem no topo da barra e a máxima tensão normal. .psi1029 6×=E
Exemplo
( ) in. 192 ft 16ft 82 ===eL
( )( )( )
kips 1.62
in 192
in 0.8psi 10292
462
2
2
=
×== ππ
ecr
L
EIP
2in 3.54
kips 1.312
kips 1.62
==
==
A
PFS
PP
adm
cradm
σ
kips 1.31=admP
ksi 79.8=σ
Exemplo
in. 939.0=my
( )
−
=
−
=
122
secin 075.0
12
sec
π
πcr
m P
Pey
( )( )( )
+=
+=
22sec
in 1.50
in 2in 75.01
in 3.54
kips 31.1
2sec1
22
2
π
πσcr
m P
P
r
ec
A
P
ksi 0.22=mσ
Exercício
+=
r
L
EA
P
r
ec
A
P e
2
1sec1 2maxσ
Um poste de madeira de 220 mm de diâmetro está livre em seu topo A e engastadoem sua base B. Para o tipo de madeira usada E = 12 GPa. Adotando uma carga P = 10kN,determinar o maior valor de tensão.