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  • Flambagem

    PROF. ALEXANDRE A. CURY

    DEPARTAMENTO DE MECNICA APLICADA E COMPUTACIONAL

  • O que e por que estudar?

    Onde ocorre?

    Que fatores influenciam? Como evitar?

    Por que, normalmente, desejvel que a diagonal das trelias estejam sob trao?

    Flambagem

    2RESISTNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF

    Flambagemlocal

  • RESISTNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 3

    FlambagemCarga crtica de Euler (Casos perfeitos carregamento axial)

    Considere-se uma coluna birrotulada, carregada axialmente. Analisando-se os esforos na seo Q, a configurao deequilbrio pode ser escrita como:

    PyxM )(

    EI

    xM

    dx

    yd )(2

    2

    Da teoria da flexo, sabemos que a deflexo (flecha) calculada por:

    EI

    Py

    dx

    yd

    2

    2

    02

    2

    yEI

    P

    dx

    yd02

    2

    2

    ykdx

    yd

    EI

    Pk 2onde

  • RESISTNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 4

    FlambagemCarga crtica de Euler (Casos perfeitos carregamento axial)

    Esta a equao diferencial de equilbrio para a coluna em estudo, sujeita s condies de contorno definidas a partirdos tipos de apoios:

    022

    2

    ykdx

    yd

    0 , Em

    0 ,0 Em

    yLx

    yxA soluo desta EDO dada por: kxBkxAxy cossin)(

    Valendo-se da 1 condio de contorno, tem-se que B=0!

    A 2 condio de contorno, nos fornece: 0sin)( kLALy

  • RESISTNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 5

    FlambagemCarga crtica de Euler (Casos perfeitos carregamento axial)

    Esta equao nos fornece 2 possibilidades de soluo:

    A 1 soluo, evidentemente, no nos atende, pois teramos y(x) = 0!

    0sin)( kLALy

    0sin

    0

    kL

    A

    Para a 2 soluo, temos: 0sin kL ...3,2,1 , nnkL

    SendoEI

    Pk 2

    EI

    P

    L

    n

    2

    L

    nk

    2

    22

    L

    EInPn

    cargas crticas

    e

    x

    L

    nAxy

    sin)(

    configuraes de equilbrio

  • RESISTNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 6

    FlambagemCarga crtica de Euler (Casos perfeitos carregamento axial)

    A carga crtica de Euler se d para n = 1, assim:

    2

    2

    L

    EIPcr

    x

    LAxy

    sin)(

    Para cada valor de n, tem-se um valor recproco da carga crtica e da forma de flambagem.

    menor momento de inrciada seo!

  • RESISTNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 7

    FlambagemCarga crtica de Euler (Casos perfeitos carregamento axial)

    Para outras condies de apoio, deve-se resolver a mesma EDO, modificando-se a expresso M(x) e as condies de contorno.

    Equao geral para a carga crticade Euler:

    2

    2

    e

    crL

    EIP

    flambe LL ou

    comprimento efetivo ou de flambagem

    onde

  • RESISTNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 8

    FlambagemCarga crtica de Euler (Casos perfeitos carregamento axial)

    Ensaio em laboratrio para diferentes condies de apoio:

  • RESISTNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 9

    FlambagemCarga crtica de Euler (Casos perfeitos carregamento axial)

    A tenso crtica pode ser calculada dividindo-se a carga crtica pela rea da seo transversal da coluna:

    AL

    EI

    A

    P

    e

    crcr 2

    2 Mas

    A

    I2 (raio de girao) 2

    22

    e

    crL

    E

    Pode-se definir a relao acima destacada como ndice de esbeltez, dado por:

    eL

    Finalmente, tem-se: Ecr

    2

    menor raio de giraoda seo!

    Curva de Euler

    Pergunta 1: Dadas 2 barras de ao, uma CA-40 e outra CA-50 (igual comprimento, seo transversal e condies de apoio), qual estaria mais propensa a sofrer flambagem?

    Pergunta 2: Caso a coluna no possua eixo de simetria (perfil L, por exemplo), qual valor utilizar para o momento de inrcia?

  • RESISTNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 10

    FlambagemCarga crtica de Euler (Casos perfeitos carregamento axial)

    Importante:

    As equaes anteriormente deduzidas para a cargacrtica de Euler so vlidas somente no regime linearelstico de deformaes!

    Assim, antes de se analisar a possibilidade deflambagem, deve-se verificar se a tenso atuante menor que a tenso de escoamento do material emestudo.

  • RESISTNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 11

    FlambagemEx.1) Sejam os dois perfis mostrados abaixo, ambos possuindo a mesma rea de seo transversal. Qual deles suporta maior carga, antes de flambar? Considere Lef = 3m, E = 105 GPa e e = 70 MPa.

    40 mm

    60 mm

    45 mm

    60 mm

    a) b)

  • RESISTNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 12

    FlambagemEx.2) A seo transversal de uma coluna de comprimento efetivo L pode ser construda a partir do arranjo de 3 tbuas demesmas dimenses, conforme mostram as figuras abaixo. Qual arranjo mais eficiente em relao ocorrncia deflambagem?

    a) b)

    d/3

    d

    d

    d

    d/3

  • RESISTNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 13

    FlambagemCarga excntrica (Casos imperfeitos)

    Considere-se uma coluna birrotulada, carregada fora do eixo, com uma excentricidade e. De forma similar ao casoanterior, a configurao de equilbrio pode ser escrita como:

    )()( yePxM

    EI

    xM

    dx

    yd )(2

    2

    Da teoria da flexo, sabemos que a deflexo (flecha) calculada por:

    EI

    yeP

    dx

    yd )(2

    2

    EI

    Pey

    EI

    P

    dx

    yd

    2

    2

    ekykdx

    yd 222

    2

    EI

    Pk 2onde

  • RESISTNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 14

    FlambagemCarga excntrica (Casos imperfeitos)

    Esta a equao diferencial de equilbrio para a coluna em estudo, sujeita s condies de contorno definidas a partirdos tipos de apoios.

    ekykdx

    yd 222

    2

    0 , Em

    0 ,0 Em

    yLx

    yxA soluo desta EDO dada por: ekxBkxAxy cossin)(

    A partir das condies de contorno, chega-se a equao da linha elstica de flambagem:

    1cossin

    2tan)( kxkx

    kLexy

  • RESISTNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 15

    FlambagemCarga excntrica (Casos imperfeitos)

    de maior interesse, porm, conhecer o valor da mxima deflexo que ocorre em x = L/2 (a meia altura):

    1

    2sec1

    2cos

    2sin

    2tan)2(max

    kLe

    kLkLkLeLy

    EI

    Pk Substituindo na expresso acima, vem:

    1

    2secmax

    L

    EI

    Pe

    possvel reescrever a equao acima em funo da carga crtica de Euler:

    1

    2secmax

    crP

    Pe

    2

    2

    2

    2

    LPEI

    L

    EIP

    cr

    cr

    12

    sec

    2

    2max

    L

    LP

    Pe

    cr

    O que acontece se a carga externa P for igual carga crtica? E, se P=2P, =2?

  • RESISTNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 16

    FlambagemMximo momento fletor

    O mximo momento fletor tambm ocorre em x = L/2 (a meia altura) e pode ser calculado por:

    2sec)()2( maxmax

    LkPeePLMM

    EI

    Pk Substituindo na expresso acima, vem:

    crP

    PPeM

    2secmax

  • RESISTNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 17

    FlambagemMxima tenso normal

    A mxima tenso normal tambm ocorre em x = L/2 (a meia altura) e pode ser calculada pela teoria da flexo composta:

    W

    M

    A

    P maxmax

    c

    IW onde o mdulo de resistncia a flexo e c distncia entre a fibra analisada e a LN da seo.

    Substituindo o valor de Mmax na expresso acima, tem-se:

    EA

    PLec

    A

    P

    2sec1

    2maxEquao da secante

    ndice de excentricidade

  • RESISTNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 18

    FlambagemO grfico abaixo mostra as diversas situaes representadas pela Equao da Secante.

    Importante:

    E se as condies de apoio forem diferentes do caso rtula-rtula?

    Nesse caso, basta substituir a varivel L por Le nasequaes.

    Mas, ateno! Essa substituio correta somente para acondio engaste-livre.

    Para a condio engaste-rtula, uma nova EDO dever serformulada (com condies de contorno especficas)

    Para a condio engaste-engaste, estas anlisessimplesmente no fazem sentido! Por qu?

  • RESISTNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 19

    FlambagemEx.3) Uma carga P = 37 kN aplicada excentricamente (e = 1,2 mm) a uma coluna de ao de 32 mm de dimetro e 1,2 m de comprimento. Pede-se determinar: a) a mxima deflexo lateral, b) a mxima tenso normal. Adotar E = 200 GPa.

    Ex.4) Seja um tubo circular de lato de 2,8 m de comprimento, conforme mostrado abaixo. Sobre ele, aplica-se uma P com excentricidade e = 5 mm. Adotando E = 120 GPa, determine: a) o valor da carga P de forma que a mxima deflexo lateral seja igual a 5 mm; b) o valor da mxima tenso normal.

    108 mm

    120 mm