Flambagem de Pilares

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Captulo 1 - Flambagem de Colunas1.1. Introduo

Em que se constitui a falha de uma estrutura? Como um engenheiro, voc deve considerar diversos modos de falha possveis quando estiver projetando uma estrutura. Tenses baixas Evitar o escoamento

Controle de deformaes, deflexes. Ciclos de carregamentos repetidos Falha por fadiga

Para evitar os tipos de falha acima, critrios de projeto baseados na resistncia (Tenso) e regidez (deflexo) devem ser levados em considerao. Neste captulo ser considerado outro modo importante de falha, a Flambagem. Um exemplo tpico do fenmeno de flambagem pode ser observado ao se aplicar uma carga axial a uma rgua. Outro exemplo clssico considera uma trelia com duas barras, sendo uma submetida a compresso e outra a trao.

Pesos so adicionados at que seja atingida uma carga, Pcrtico, no elemento sob compresso, e o elemento subitamente deflete lateralmente sob a carga compressiva axial. Anteriormente, na anlise de deformaes axiais, considerava-se que, mesmo sob carregamento compressivo, o elemento que sofria deformao axial permanecia reto e que a nica deformao era a reduo ou o aumento do comprimento do elemento.

1

Porm, em algum valor da carga axial de compresso, a rgua ou a barra comprimida da trelia, no permanece mais reta, ou seja, deflete lateralmente de modo sbito, fletindo como uma viga. Esta deflexo lateral devida compresso axial denominada Flambagem. Falhas por flambagem so freqentemente sbitas e catastrficas, o que faz com que seja ainda mais importante preveni-la.

1.2. Estabilidade das Estruturas

Todo e qualquer problema da engenharia sempre envolve equilbrio. Neste instante, torna-se necessrio definir o tpico relativo a equilbrio e considerar a estabilidade do equilbrio. Este conceito pode ser demonstrado muito facilmente, considerando-se o equilbrio de uma bola sobre trs superfcies diferentes.

Nas trs situaes, a bola est em equilbrio, ou seja,

Fx = 0 , Fy = 0

e

M = 0 . Na primeira figura, a bola encontra-se em equilbrio estvel porque se elafor ligeiramente deslocada para um dos lados e, ento for solta, ela voltar para a posio de equilbrio no fundo do vale. Na terceira figura, apesar da bola estar na posio de equilbrio, qualquer deslocamento aplicado mesma far com que a bola s afaste cada vez mais da posio de equilbrio inicial caracterizando um equilbrio instvel. Finalmente, se a bola estiver sobre uma superfcie perfeitamente plana, ela est em uma configurao de equilbrio neutro. Se ela for deslocada ligeiramente para qualquer um dos lados, ela no tem tendncia de se mover, seja para mais longe, seja na posio original. Pois ela, da mesma forma que na posio original, ela est em equilbrio na posio 2

deslocada.

1.2.1. Aplicao do Equilbrio a elementos sobre compresso

Deseja-se dimensionar a coluna AB de comprimento L que vai suportar a carga P conforme apresentado na figura a seguir. O elemento AB considerado perfeitamente reto e rgido, e considera-se que no h frico no pino em A. Considera-se tambm que a carga P aplicada no eixo do elemento. Inicialmente, poderamos concluir que a coluna estaria bem dimensionada se a rea A da seo transversal fosse escolhida de modo que o valor de = P / A da tenso em qualquer ponto da barra fique abaixo da tenso admissvel material utilizado e se a deformao especificaes recomendadas. No entanto, pode ocorrer o fenmeno de flambagem quando a fora P aplicada; em vez de permanecer com o seu eixo retilneo, a coluna se torna subitamente bastante encurvada. claro que uma coluna que flamba sob um carregamento especificado no clculo no est dimensionada corretamente.

adm

do

= PL / AE

se mantiver dentro das

A mola em A tem uma constante de mola K, de modo que ela produz em A um momento de restaurao MAr que tende a retornar o elemento sua posio original. Este momento em A proporcional ao ngulo de deflexo do elemento AB em relao vertical. MAr = K .

(1)

Resta saber para quais valores de P a configurao vertical est em equilbrio 3

estvel? Neutro? Instvel? Ao girar a barra de um ngulo fora P dado por:

,

muito pequeno, o momento provocado pela

MAp = P.L.sen

(2)

Sendo assim, os sistemas tem os seguintes requisitos para equilbrio estvel, neutro e instvel. P.L.sen < K . P.L.sen = K . P.L.sen > K . (3)

Estvel: MAp< MAr Neutro: MAp= MAr Instvel: MAp> MAr

Como o interesse pelo comportamento do sistema na, e muito prximo a, configurao vertical faz-se

0 nas equaes (3) e usando-se a aproximao

sen (para ngulos pequenos), tem-se: Estvel: P < PCR Neutro: P = PCR (4) Instvel: P >PCR A carga na qual a transio do equilbrio estvel para o equilbrio instvel ocorre chamada carga crtica, PCR. Esta perda de estabilidade do equilbrio chamada de flambagem, de modo que tambm chamamos PCR de carga de flambagem. Um modo adequado de se ilustrar a relao entre a carga aplicada e a estabilidade do sistema estrutural o diagrama de equilbrio. Trata-se de um grfico de carga P versus o ngulo de deflexo onde PCR = K/L (5)

. O ponto denominado B, onde o diagrama = 0, mostrada tracejada) uma

de equilbrio se bifurca, chamado de ponto de bifurcao. Acima do ponto de bifurcao, a configurao vertical (ou seja,

configurao de equilbrio instvel; mas existem configuraes alternativas de equilbrio estvel ao longo das curvas BC e BC, com onde P = PCR , o equilbrio neutro.

0. Exatamente no ponto B,

4

1.3. Frmula de Euler para colunas com extremidades articuladas

Para investigar a estabilidade de colunas reais com flexibilidade distribuda, em contraste com o elemento rgido com a mola de toro utilizado anteriormente, utilizase agora uma coluna ideal terminada em um pino, como mostrado na figura a seguir.

Algumas hipteses simplificadoras devem ser mencionadas:

A coluna perfeitamente reta inicialmente e feita de um material linear elstico; A coluna est livre para girar, em suas extremidades, ao redor de pinos sem frico; isto , a coluna tem as restries de uma viga com apoio simples e os pinos passam pelo centride da sesso transversal; A coluna simtrica em relao ao plano xy e qualquer deflexo lateral da 5

coluna ocorre neste plano; A coluna carregada por uma fora axial compressiva P aplicada pelos pinos.

1.3.1 Configurao Flambada

Se P < PCR => A coluna permanecer reta e ter seu comprimento reduzido sob uma tenso axial uniforme(compressiva)

= P / A (equilbrio estvel)Se P = PCR => Configuraes vizinha tambm satisfazem o equilbrio (equilbrio neutro)

Para determinar da carga crtica, PCR, e a forma da coluna flambada, determina-se o valor da carga P tal que a forma(ligeiramente) fletida da coluna esteja em uma condio de equilbrio.

1.3.2 Equilbrio de Colunas Flambadas Primeiramente, usando-se o diagrama de corpo livre da figura, obtm-se,

V = 0 MB

Ax = P Ay = 0 By = 0

=0

H =0

Considera-se momento M(x) positivo quando produz

compresso nas fibras a y+.

Fazendo-se

MA = 0 , tem-se,(6)

M(x) = - P.v(x)

Do estudo da flexo de vigas, obtm-se a equao momento curvatura E.I.v = M , onde v = d2v / ordem (Equao diferencial de 2 ordem).

6

Substituindo-se a equao (6) na equao acima, tem-se:

E.I.v(x) = - P. v(x) ou

E.I.v(x) + P. v(x) = 0

(7)

Est a equao diferencial que governa a forma deformada de uma coluna terminada em um pino.Trata-se de uma equao diferencial ordinria, homogenia, linear e de segunda ordem. As condies de contorno para um elemento terminado em um pino so:

v(0) = 0

e

v(L) = 0

(8)

A presena do termo v(x) na equao (7) significa que no se pode integrar duas vezes a equao para se obter a soluo. De fato, apenas quando EI=constante existe uma soluo simples para esta equao. Sendo assim, a equao (7) uma equao diferencial ordinria com coeficientes constantes. A equao (7) pode ser reescrita dividindo-se todos os termos por EI,

v" ( x) +

P v( x) = 0 EI2

(9)

Adotando-se = P/EI , tem-se, v"(x) + v(x) = 02

(10)

A soluo geral desta equao homogenia : v(x) = C1 sen(x) + C2 cos x

(11)

Deseja-se encontrar um valor de e para as constantes de integrao C1 e C2, tal que as duas condies de contorno apresentadas em (8) sejam satisfeitas.

v(0) = 0

0

1 C2 = 0

v(0) = C1 sen (0) + C2 cos (0) = 0

7

v(L) = 0

0 C1 sen .L = 0

v(L) = C1 sen (L) + C2 cos (L) = 0

Obviamente que, se C1 = C2 = 0, a deflexo v(x) ser zero em todos os pontos e apenas obtm-se a configurao retilnea original. Como se deseja uma configurao de equilbrio alternativa, figura (b), deve-se tomar um valor de que satisfaa a equao com C1 0, ou seja, deve satisfazer a equao caracterstica:

sen (n . L) = 02

n n = L

, n = 1, 2, 3, ...

como = P/EI, tem-se: Pn = n2.2 EI L2 Pn = n2.2 EI L2

(12)

A funo que representa a forma da coluna deformada chamada Modo de Flambagem, ou Modo de Forma. A constante C, que a direo(o sinal) e a amplitude de deflexo arbitrria, mas ela deve ser pequena. O valor de P no qual a flambagem vai realmente ocorrer obviamente o menor valor dado pela equao (12), ou seja, n = 1.

Pcr = n2.2 EI L2

Carga de Flambagem de Euler.

(13)

E o modo de flambagem correspondente :

v(x) = C sen

.x L

Modos de Flambagem

(14)

8

(a) modo 1

(b) modo 2

(c) modo 3

A carga crtica para uma coluna ideal conhecida como a carga de flambagem de Euler, devido ao famoso matemtico suo Leonhard Euler (17071783