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Scambio termico tra due regioni fluide separate da una parete piana pluristrato 0 x x x x x q q bilancio relativo alla strato di spessore x 0 dx dq x 1 x C cost q cost LWq Q x T h q x dx dT k q x x 1 T h T 1 T 3 T c x x x 2 x 3 per x<x 1 e x>x 3 (strati esterni alla parete) per x 1 <x<x 3 (strati interni alla parete) c 3 c 2 3 3 2 23 1 2 2 1 12 1 h h x T T h x x T T k x x T T k T T h q h x 1 h h q T T 12 1 2 x 2 1 k x x q T T 23 2 3 x 3 2 k x x q T T c x c 3 h q T T c 23 2 3 12 1 2 h x c h h 1 k x x k x x h 1 q T T CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIAstudenti.di3.units.it/Fenomeni di Trasporto/Fenomeni di Trasporto 6... · dissipazione di calore e spessore dello strato isolante ... misura

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Scambio termico tra due regioni fluide separate da una parete piana pluristrato

0 xxxxx

qq

bilancio relativo alla strato di spessore x

0dx

dq x

1x Cc o s tq

c o s tL W qQ x

Thq x dx

dTkq x

x1

Th

T1 T2

T3

Tc

x x x2 x3

per xx3 (strati esterni alla parete)

per x1

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

resistenza globale al trasferimento pari alla somma di resistenze in serie

c1iji, ij

ij

h

xchh

1

k

x

h

1qTT

o

xchU

1qTT chox TTUq

Uo: coefficiente globale di scambio termico (overall heat transfer coefficient)

c1iji, ij

ij

ho h

1

k

x

h

1

U

1

ordini di grandezza dei valori di h [BTU/(hr ft2 F)]

convezione naturale

aria acqua

convezione forzata

aria, vapore surriscaldato acqua olio

acqua (ebollizione) vapore (condensazione)

0.1 - 1 1 - 10

5 - 50 50 - 2000 10 - 300

500 - 10000 1000 - 20000

Uo: dipendente dai valori di hc, hh e kij spesso determinato da un solo h (con valore minore)

Scambio termico tra due regioni fluide separate da una parete cilindrica

ocfio

i

o

ih

oochrhh

1

k

r

rln

rh

1rqTT

0 rrrrr

rqrq

Th Tc

0

dr

rqd r1r Cc o s trq c o s tL rq2Q r

ooihihii rqTTrhrq ihhi TThq

ooior rqrdr

dTkrq

i

o

oiiooo

r

rln

TTkrq

foofoo TTrhrq cfocoo TTrhrq

foff TThq cfcc TThq

sommando le differenze di temperatura:

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

ri

Th

Ti To

Tf

Tc

r r ro r3

ocfio

i

o

ih

o

o rhh

1

k

r

rln

rh

1r

U

1

o

ochU

1qTT choo TTUq

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

Dissipazione di calore attraverso un sistema muro-finestra:

valutazione del peso di kj, hi, ho

c m1 0 L w

c m 50L g

wL

gL

F )ftB tu /(h r 0 50k w

F )ftB tu /(h r4 0k g

F )ftB tu /(h r 5 50h 2i

F )ftB tu /(h r1 2 h 2o

C2 3T i

C1 7T o

oi

oi

h

1

k

L

h

1

TTq

5180 .0836 .561 .82

8140q w

)ftB tu /(h r 2

0370 .08304101 .82

8140q g

)ftB tu /(h r 2

wL

aLog

g

a

a

g

g

i

oi

h

1

k

L

k

L

k

L

h

1

TTq

0 .08304107 .5704101 .82

8140q w

c m3 L a F )ftB tu /(h r0 1 3 0k a

5 37q w )ftB tu /(h r2

passaggio a finestra con intercapedine daria

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

qg

qg

qg

Calcolo del coefficiente globale di scambio per un tubo:

valutazione del peso di hie ho rispetto a k

c m 4 5R o K ) W /( m2 0 0 k

Th

Tc

Ri

Ro

c m3 0 R i

1

ii

i

o

ooo

oRh

1

k

R

Rln

Rh

1

R

1U

iiRh

1oUoh ih

K )W /(m 2

ooRh

1

k

R

Rln

i

o

K )W /(m 2 K ) /W(m K ) /W(m K ) /W(m K )W /(m 2

Il ruolo di k ridiventa importante per valori elevati di entrambi i coefficienti di trasmissione termica hie ho

5000 10 0.0004 0.00255 0.333 5.95

10 5000 0.2 0.00255 0.00067 9.84

8000 5000 0.00025 0.00255 0.00067 576

10 20 0.2 0.00255 0.1667 5.41

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

dissipazione di calore e spessore dello strato isolante

superficie piana

TL WUTUQ oox Iox xUQ

oI

I

w

w

io h

1

k

x

k

x

h

1

U

1

xI crescente dissipazione decrescente

superficie cilindrica

TLR2UTUQ ooor IoIor xRxUQ

resistenza crescente dello strato isolante

Ix

IooIo

Io

w

i

o

iiIoo xRh

1

k

R

xRln

k

R

Rln

Rh

1

xRU

1

y1 y2

xI crescente area di scambio (dissipazione) crescente

(y1)

(y2)

massima dissipazione valore minimo di (y1+ y2 )

per oIIo hkxR

Io xR

rQ

K ) W /(m 10k I

criticit dello spessore di isolante nel caso di tubi sottili

esempio:

K )W /(m 3h 2o c m33xR Io

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

coefficienti individuali di trasmissione termica h e numeri (gruppi adimensionali) usati per il loro calcolo

convezione forzata

k

Dh

k

LhNNusselt

kPr

p Prandtl

DvRe Reynolds

Stanton v

h

G

h

P rR e

NS t

p p

1/3

2/3

HPrR e

NPrS tj fattore di

Colburn

140

w

b

convezione naturale

k

Dh

k

LhNNusselt

kPr

p Prandtl

2

23 TgLGr

Grashof

T

11

TV

T

V

P

T

1 gas

ideali

2

23 TgDGr

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

Vz(x) T(x)-T

convezione naturale

La densit di un fluido funzione della temperatura, in misura maggiore per un gas che per un liquido. Tale dipendenza si misura attraverso il coefficiente di espansione termica .

valori di aria: 0.0034 K-1, alcol etilico: 0.00109 K-1

acqua: 0.00021 K-1, olio: 0.00070 K-1

Differenze di temperatura allinterno di una regione fluida si traducono in differenze di densit che generano moti convettivi rivolti verso lalto, la cui complessit maggiore a ridosso di superfici curve, ancor pi se in sistemi chiusi.

Il trasferimento di calore dovuto ai moti convettivi naturali pu superare in misura importante quello diffusivo molecolare.

Lintensit dello scambio termico varia con lintensit del moto che varia in direzione normale e tangenziale alle superfici del contorno.

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

mm R aAP rG rAN

I valori di A e m dipendono dallintensit del moto convettivo (dal prodotto GrPr, ovvero dal numero di Rayleigh Ra). Nu aumenta pi rapidamente con Ra allaumentare del moto.

mG rN

0 .3 30 .2 50 .2m

mTh 1mTq

Nel caso di moti convettivi naturali il flusso dipende in misura maggiore dalle differenze di temperatura allinterno del fluido.

A parit di Ra (nellintervallo 105107) lo scambio minore sul lato inferiore di una superficie piana orizzontale.

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

R alo g 1 0

R alo g 1 0

N lo g 1 0

N lo g 1 0

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

0.25RaN

0.25RaN

convezione forzata

i

dcba

21 P rR eG zCCN

L

DP rR e

4kL

mGz

p (laminare)

4

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

1

T medie aritmetica e logaritmica

2

TTT 21am

0.672 Gz0.471

Gz0.85

2

1

21ln

T

Tln

TTT

11

0.05

80

1

2

40

eq

3 GrD

D

L

D

0 . 3 3

4 G r0 .0 1 51

670

670

5L

D1125Re

L

DF16

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

4

1

i

dcba

21 P rR eG zCCN

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

0.67Gz0.471

Gz0.853.66Nu

0.330.33am Gr0.151.0Gz1.86N

100L

DPrRe

4

kL

mGz

100L

DPrRe

4

kL

mGz

4

1

i

dcba

21 P rR eG zCCN

0.330.8m PrRe0.023N

2100Re

2100Re

2100Re

Sieder-Tate equation for laminar flow (entrance region)

T medie aritmetica e logaritmica

2

TTT 21am

0.672 Gz0.471

Gz0.85

2

1

21ln

T

Tln

TTT

11

0.05

80

1

2

40

eq

3 GrD

D

L

D

0 . 3 3

4 G r0 .0 1 51

670

670

5L

D1125Re

L

DF16

Condizioni di entrata F

Profilo di velocit pienamente sviluppato 1.4

Brusca contrazione 6

Piegatura netta a 90 7

Piegatura arrotondata a 180 6

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

140

w

b

i

dcba

21 P rR eG zCCN

In condizioni di moto laminare i valori limite di h in tubi e condotti

con flusso di calore costante alla parete possono essere calcolati

facilmente.

Per contro, quando i profili radiali di T non sono completamente

sviluppati, h funzione della lunghezza di percorso L (il che si

riflette nella definizione del numero di Graetz). Gz compare nel

calcolo di h per moto laminare in tubi orizzontali e in condotti

rettangolari.

In condizioni di moto laminare pu essere importante il contributo

dei moti convettivi naturali, come nel caso di tubi orizzontali a

sezione circolare (4), rettangolare o anulare (3).

0 . 3 33 30a m G r1 5001G z8 61N moto laminare in tubi orizzontali ad alti Gz

contributo convezione naturale

3 30

a m R eN

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

0.67Gz0.471

Gz0.85

6 63N lm .

moto laminare in tubi orizzontali

3 30

lm R eN . G z

3 .6 6N lm 0G z

1

2

i

dcba

21 P rR eG zCCN

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

0 . 3 33 30a m G r1 5001G z8 61N moto laminare in tubi orizzontali ad alti Gz

contributo convezione naturale

3 30

a m R eN

0.67Gz0.471

Gz0.85

6 63N lm .

moto laminare in tubi orizzontali

3 30

lm R eN . G z

3 .6 6N lm 0G z

Nu

Gz

1

2

1

2

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

In condizioni di moto turbolento entro tubi lisci vale la relazione di Sieder-Tate

Lincremento di scambio termico legato alla rugosit tenuto in conto attraverso il corrispondente incremento del coefficiente dattrito f

sm

rsmr

f

fNN

80R eN

Nel caso di tubi corti (L/D

Esercizio

Calcolare la lunghezza di uno scambiatore tubolare, necessaria a riscaldare una corrente di aria (a pressione atmosferica, portata 31.7 kg/hr) da 20C a 110C, usando un tubo di diametro interno pari a 50.8 mm (temperatura costante alla parete To=120C).

C6 5 a h r )k g / ( m0 7 3 0

C652

TTT b2b1b

p Ck c a l / ( k g 2 4 10

Cmk c a l /(h r0 2 3 0k a

C1 2 0 a h r )k g / ( m0 8 2 0 9840

0820

07300.14

6980k

P r

p

10900073005080143

7314

D

W4

S

DWDvR e

Nellipotesi di L/D>60

1/3

2/3

HPrR e

NPrS tj 2-0R e0 2 30

2/32

lm

2/3

lmH Pr

4W

D

hk

k4W

D

k

Dhj

p

p p

da un bilancio macroscopico

lmlmb 1b 2 ThLDTTW p

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

0 . 3 380a m P rR e0 2 30N Nu m

1 2 8 .4L /D

1/3H PrRe

Nuj -0.2Re0.023

C9 0TT b 1b 2

lmbo

b2o2

b1o1

b2o2b1o1lm TT

TT

TTln

TTTTT

003520R e0230P r4L

D

TT

TT 0.2-2/3

lmbo

b1b2

C139

10

100ln

10100TT lmbo

m6 .5 3 L

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

2/32

lm Pr4W

Dh

p

Flusso esterno ai tubi (in scambiatori) e scambio termico

Il flusso pu essere parallelo allasse del tubo, normale ad esso o misto.

Flusso parallelo

Si adottano le relazioni valide per flusso interno ai tubi, usando il diametro equivalente al posto di D.

Flusso normale (a tubi singoli)

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

Re < 1

Re > 5000

Re 4

Re = 60 5000

Re 40

Flusso esterno ai tubi (in scambiatori) e scambio termico

5 200 . 3 R e5 603 50P rN

Il flusso pu essere parallelo allasse del tubo, normale ad esso o misto.

Flusso parallelo

Si adottano le relazioni valide per flusso interno ai tubi, usando il diametro equivalente al posto di D.

Flusso normale (a tubi singoli)

La dimensione caratteristica in Pr e Re il diametro esterno del tubo Do.

0 . 3 360 P rR e3 30N

Flusso normale (in banco di tubi)

Flusso misto (in banco di tubi)

Il banco di tubi di uno scambiatore (shell and tube exchanger) solitamente provvisto di setti (baffled tube bank) e quindi il flusso lato mantello un misto (combinazione di crossflow e parallel flow).

Le velocit di massa Gc e Gp dei due flussi sono calcolate in base al layout del fascio tubiero e alla spaziatura tra i setti e servono al calcolo della velocit di massa G (media geometrica di Gc e Gp)

al calcolo di Re e quindi di Nu (equazione di Donohue):

pcGGG

0 . 3 360 P rR e20N

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

flusso intorno a una sfera

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

2/30.5

0.250.4Re0.06Re0.4

Pr

2-Nu

Re

0.250.4Pr

2-Nu

2/350

0.250.4Re0.06Re0.4

Pr

Nu

.

0.250.4Pr

Nu

Re

Flusso normale (a tubi singoli)

Scambiatore di calore a doppio tubo

E la pi semplice tipologia di scambiatore del tipo a tubi e mantello: un tubo coassiale a un altro tubo che esterno a esso e ne costituisce il mantello.

Un fluido scorre nel tubo interno (tube), laltro nella camicia esterna (annulus), in equicorrente (cocurrent) o controrrente (countercurrent) al primo.

configurazioni mirate a ridurre lo spazio occupato

equicorrente controrrente

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

configurazione in equicorrente

condizioni: stato stazionario, moto turbolento

dz

1 2

variazioni di energia cinetica e potenziale trascurabili

hh Q ^ ^

cc Q ^ ^

perdite di calore (allesterno) trascurabili

ch QQ

^ ^

c1c2ccpccc QT-TcWW

^ ^

variazioni entalpiche specifiche dei due fluidi pari alle quantit di calore cedute o ricevute (allaltro o dallaltro fluido)

h1h2hhphhh QT-TcWW

^ ^

1c2ccpc2h1hhph

T-TcWT-TcW

dal bilancio macroscopico si determina la portata o la temperatura incognita

1c2h1hch,T,T,W,W

2c

2c

2h

1h

1c

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

obiettivo del calcolo di progetto: determinazione della area di scambio termico dello scambiatore

(area della superficie che separa le correnti calda e fredda)

^

hcoohhhph T-Td zR2UQdd cW

dal bilancio macroscopico in forma differenziale

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

dz

1 2

^

^

hph

oo

hc

h

cW

dzR2U

T-T

d

^

cpc

oo

ch

c

cW

dzR2U

T-T

d

dzR2

cW

1

cW

1U

T-T

T-do

cpchph

o

ch

ch

^

^

Uo indipendente da z

LR2cW

1

cW

1U

T-T

T-Tln o

cpchph

o

2c2h

1c1h

^

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

^

dai bilanci relativi alle due correnti:

c

1h2h

h

1h2h

hphQ

T-T

Q

T-T

cW

1

c

1c2c

cpcQ

T-T

cW

1^

^

c

1c1h2c2h

cpchphQ

T-TT-T

cW

1

cW

1

^

1c1h

2c2h

1c1h2c2hooc

T-T

T-Tln

T-TT-TLR2UQ

Larea di scambio termico si ricava da

lmchooc

T-TLR2UQ

ch -T

2c

2h

1h

1c

equicorrente

2c

2h

1h

1c

controcorrente

1ch

1ch

2ch

2ch

fortemente dipendente da z ch -T

quasi indipendente da z

Tc uscente sempre minore di Th uscente

Tc uscente pu superare Th uscente

< > 2h2c TT < 2h1c TT

Tlm maggiore in controcorrente

a parit di calore scambiato minore area di scambio

a parit di area di scambio maggiore calore scambiato

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

3 6 0

3 4 0

3 0 0

3 1 6

3 6 0

3 0 0

3 4 0

3 1 6

Tlm = 39.3K Tlm = 41.9K

Uo = 20 kW/(m2K)

A = 2.13 m2 A = 2.0 m2

= 1673 kW Q

Valori del coefficiente globale di scambio in scambiatori

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

Tipologie di scambiatori

scambiatore a doppio tubo

scambiatore a fascio tubiero e mantello

scambiatore a piastre

i fluidi scorrono in due tubi coassiali, uno interno e uno esterno

un fluido passa all'interno di tubi, solitamente a sezione circolare, e l'altro all'esterno dei tubi stessi, in una camera (mantello)

i due fluidi lambiscono i lati opposti di una lamiera, solitamente corrugata o piana con l'inserimento di turbolatori,

in camere alternate e tra loro isolate

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c7/Tubular_heat_exchanger.png

scambiatore roll-bond

scambiatore a spirale

scambiatore a pacco alettato

i canali di un lato sono interni ad una lamiera monoblocco, mentre nell'altro lato si ha un fluido, solitamente stazionario

i due fluidi passano ai lati opposti di una lamiera, di solito liscia, in camere singole di grande lunghezza, avvolte a spirale

uno dei fluidi passa all'interno di tubi, solitamente a sezione circolare, e l'altro (gassoso) attraverso il pacco alettato all'esterno dei tubi

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

http://3.bp.blogspot.com/_QgQkmyCHz1Q/RmWG-ZSiTdI/AAAAAAAAAiE/gqPDNg7r7HA/s1600-h/file20130_1_Spiral-X3DX.gif

Scambiatori a fascio tubiero shell and tube heat exchangers

esistono configurazioni differenti per numero di passaggi lato tubi e passaggi lato mantello

scambiatore 1-1: 1 passaggio lato mantello, 1 passaggio lato tubi

scambiatore 1-2: 1 passaggio lato mantello, 2 passaggi lato tubi

un maggior numero di passaggi lato tubi comporta una maggior velocit del fluido e un maggior coefficiente di trasmissione hi

luso di setti lato mantello comporta una maggior velocit del fluido e uniformit delle condizioni di flusso e di scambio

un maggior numero di passaggi comporta maggiori perdite di carico

setti e passaggi multipli comportano la coesistenza di condizioni di flusso normale e parallelo (lato mantello), controcorrente e equicorrente (lato tubi)

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

Calcolo dei coefficienti di trasmissione termica via Nu

Gc dipende dalla spaziatura dei setti B, dal diametro interno del Ds, dal passo del fascio tubiero PT e dalla spaziatura tra i tubi c

lato tubi: valgono le relazioni per tubi singoli; numero di tubi NT e numero di passaggi pT sono i fattori che contano.

A parit di portata, la velocit del fluido proporzionale a pT/NT

lato mantello: la velocit del fluido determinata dalla sezione libera di passaggio che dipende da layout dei tubi e spaziatura dei setti (vedi paragrafo prec.)

Vale la relazione di Donohue

Re si calcola con riferimento al diametro esterno dei tubi Do e alla velocit di massa G (media geometrica dei valori in flusso normale e in flusso parallelo)

pcGGG

0 . 3 360 P rR e20N

o

DGRe

top view side view

B

Ds

PT

c

baffle

baffle window

c'P

DB

m

c'BN

m

A

mG

T

s

s

T

s

c

sc

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

Il flusso parallelo passa per la baffle window; larea libera data da

FT fattore correttivo legato alla specifica combinata di passaggi (lato mantello/lato tubo) e calcolato empiricamente sulla base di due parametri, R e S

scambiatore

1-2

2TT2sBfp DND4fA

0 .2fB

Tlm (come per scambiatore doppio tubo in controcorrente)

icoh

ocih

icohocih

lm

T-T

T-Tln

T-TT-TT

Tlmoc FTAUQ

icoc

ohih

T-T

T-TR

icih

icoc

T-T

T-TS

R

S

FT

R: fattore legato al rapporto delle capacit termiche dei fluidi (caldo/freddo) S: fattore legato al rapporto tra calore effettivo assorbito dal fluido freddo e calore massimo assorbibile ( )

ihocTT

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

hph

cpc

cW

cW

diagrammi del fattore correttivo FT per differenti configurazioni

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

1 2+ 2 4+

3 6+ 4 8+

6 12+ cross flow

cross flow cross flow

Scelta progettuale di scambiatori a fascio tubiero per un carico termico assegnato:

combinazione ottimale di diametro e numero dei tubi e numero di passaggi lato tubo

in funzione di coefficienti di trasferimento, perdita di carico e area di scambio

Esempio per il caso di moto turbolento (lato tubi) e di resistenza al trasferimento concentrata sul lato tubi (Uo hT)

0.8T80TT vDR e

k

DhN . 0.2

T

80

TD

vh

.

T

2

T

T

T

2

T

T

ND

p

N4

D

pVv

DT: diametro dei tubi NT: numero di tubi pT : numero di passaggi (lato tubi)

0.8

T

T

1.8

T

TN

p

D

1h

20-

2

T R ev

P

2L

Df .

T

2-02

D

RevP

.

1.8

T

T

4.8

TN

p

D

1P

La perdita di carico P dipende da pT, NT e, sopratutto, da DT in misura molto maggiore del coefficiente di trasferimento hT

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA

TT

TlmT

s LDNFTh

QA

fattore determinante per As e dipendente da

NT, DT, pT

L

Q

FTh

1DN

TlmT

TT

calcolo iterativo

perdita di carico P fortemente dipendente da DT

(criterio di scelta di DT )

scelta di pT per massimizzare hT compatibilmente con incremento di P

e riduzione di FTTml

NT derivabile da hT,,FTTml.e DT

(criterio di scelta di pT )

verifica su hT

CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI ENERGIA