Fenomeni di Trasporto Biologico

Dispensa Fenomeni di Trasporto Biologico, Università di Pisa, Ingegneria Biomedica

1 27/09/2021

Fenomeni di Trasporto Biologico.

Dispensa del corso della professoressa Arti Ahluwalia

Università di Pisa, Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica

Pagina del corso:

http://www.centropiaggio.unipi.it/course/fenomeni-di-trasporto-biologico.html

A cura di Alessandro Velletri, Elena Bartolini, Camilla Baselli, sotto la supervisione del docente.

Si prega di fare presente eventuali errori al docente.

(CC BY-NC-SA)

(può essere copiato e adattato riconoscendo gli autori, non per scopi di lucro)

http://www.centropiaggio.unipi.it/course/fenomeni-di-trasporto-biologico.html


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Indice

1. Introduzione .............................................................................................................. 4

Concetti Base ................................................................................................................ 5 1.1.1 Flux, Flow e Flusso ............................................................................................................................ 5 1.1.2 Euler e Lagrange ............................................................................................................................... 6

Nozioni fondamentali: vettori, tensori, divergenza e gradente ........................................ 6 1.2.1 Vettori e Tensori ............................................................................................................................... 6 1.2.2 Gradiente e divergenza ..................................................................................................................... 7 1.2.3 Il Laplaciano, ..................................................................................................................................... 8 1.2.4 Velocità, accelerazione e flusso volumetrico .................................................................................... 9 1.2.5 Material Derivative o derivata materiale ........................................................................................ 10

2 Equazione di conservazione di massa, continuità ...................................................... 11

Stazionarietà: equilibrio – conservazione. .................................................................... 11 2.1.1 Equazione di conservazione: ........................................................................................................... 12 2.1.2 Il sistema vascolare rispetta la legge di continuità. ........................................................................ 13

3 Fluidi: Fluidodinamica e reologia.............................................................................. 14

Idrostatica ................................................................................................................... 14 3.1.1 Pressione sanguina ......................................................................................................................... 15

Viscosità ..................................................................................................................... 17 3.2.1 Introduzione ................................................................................................................................... 17 3.2.2 Piatti paralleli .................................................................................................................................. 18

Accenno alla reologia .................................................................................................. 19 3.3.1 Unità di misura della viscosità ........................................................................................................ 21

Linee di Flusso ............................................................................................................. 22

Derivazione legge di Poiseuille. .................................................................................... 22

Numero di Reynolds (Re). ............................................................................................ 26 3.6.1 Lo strato limite ................................................................................................................................ 28

Equazione di Bernoulli ................................................................................................. 29 3.7.1 Pressione statica e cinetica ............................................................................................................. 30 3.7.2 Stenosi, separazione del flusso e aneurisma .................................................................................. 31

Il volo, la scia e flusso vorticoso ................................................................................... 32 3.8.1 Flusso sviluppato ............................................................................................................................ 33

Equazione di Navier Stokes. ......................................................................................... 35 3.9.1 Equazione di idrostatica e di Bernoulli da Navier-Stokes. .............................................................. 38 3.9.2 Equazione di Poiseuille con Navier Stokes. ..................................................................................... 38 3.9.3 Derivazione dell’equazione di Couette. .......................................................................................... 40 3.9.4 Flusso in un canale rettangolare ..................................................................................................... 42 3.9.5 Adimensionalizzazione di Navier Stokes e il numero di Reynolds .................................................. 44

4 Tensione superficiale ............................................................................................... 46

Introduzione ............................................................................................................... 46 4.1.1 Numero di Bond .............................................................................................................................. 46 4.1.2 Misurare ....................................................................................................................................... 47 4.1.3 Angolo di contatto e bilancio della tensione superficiale. .............................................................. 47 4.1.4 Equazione di Young-Dupree. .......................................................................................................... 48

Capillarità e gocce da una pipetta ................................................................................ 49 4.2.1 Legge di Laplace per le gocce .......................................................................................................... 50


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5 Flusso di massa ........................................................................................................ 52

Introduzione e 1° legge di Fick ..................................................................................... 52

Seconda legge di Fick ................................................................................................... 53 5.2.1 La forma integrale della legge di Fick.............................................................................................. 54

Ordine di reazione ....................................................................................................... 55 5.3.1 Equazione di Michaelis-Menten ..................................................................................................... 57

Tempo di diffusione e l’equazione di Stokes-Einstein .................................................... 58 5.4.1 Concentrazioni soluto e solvente ................................................................................................... 59 5.4.2 Concentrazione del sale nel mare e dell’acqua nel mare nel sale .................................................. 59

Diffusione e convezione .............................................................................................. 60 5.5.1 Il numero di Peclet .......................................................................................................................... 60

Diffusione libera di elettroliti ....................................................................................... 62

Trasporto attraverso la membrana cellulare ................................................................ 62 5.7.1 Coefficiente di Partizione ................................................................................................................ 63

Esempi di trasporto di massa ....................................................................................... 65 5.8.1 Applicazione della forma integrale della Legge di Fick: il modello quasi-stazionario ..................... 65 5.8.2 Punto sorgente [Approfondimento] ............................................................................................... 67 5.8.3 Consumo di un nutriente ................................................................................................................ 68

Osmosi ........................................................................................................................ 69

6 Trasporto di energia ................................................................................................ 71

Introduzione ............................................................................................................... 71 6.1.1 Accenno alla regolazione termica negli esseri viventi .................................................................... 71

Meccanismi di trasporto di calore ................................................................................ 72 6.2.1 Conduzione ..................................................................................................................................... 72 6.2.2 Irradiazione. .................................................................................................................................... 73 6.2.3 Convezione. .................................................................................................................................... 73 6.2.4 Cambio di stato, evaporazione per sudorazione. ........................................................................... 74

La Heat equation ......................................................................................................... 74 6.3.1 Equazione caratteristica: derivazione della Heat Equation. ........................................................... 75 6.3.2 Moto forzato ................................................................................................................................... 76 6.3.3 La Bioheat equation ........................................................................................................................ 77 6.3.4 Resistenza termica .......................................................................................................................... 78 6.3.5 Numero di Biot ................................................................................................................................ 79

Esempi di trasferimento di calore ................................................................................ 81 6.4.1 Temperatura dell’uomo senza scambio di energia ......................................................................... 81 6.4.2 Trasferimento di calore da un oggetto caldo ad uno freddo .......................................................... 82 6.4.3 Esempio di raffreddamento di un oggetto immerso in un ambiente freddo ................................. 82

Trasporto di calore nell’uomo ...................................................................................... 83 6.5.1 Riassunto calore perso da un uomo nudo ...................................................................................... 85

7 Uomo standard e riassunto dei 3 trasporti ............................................................... 86

Uomo standard. .......................................................................................................... 86

Riassunto .................................................................................................................... 87


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FIGURA 1-1: MOTO BROWNIANO

1. Introduzione I processi che studieremo in questo corso saranno tutti in condizioni di quasi equilibrio (vedremo che

ciò ci permetterà di semplificare parecchi problemi). Inoltre consideriamo i sistemi come fluidi o solidi

continui (non fatti di particelle o quantità discrete), per cui siamo in regime della meccanica del

continuo.

NB: parliamo di equilibrio e stazionarietà. (Equilibrio somma vettoriale delle forze totali=0;

Stazionario= nessuna variazione in tempo).

In questo corso ci soffermeremo in particolar modo sul trasporto di: Moto , Massa e Energia.

Moto: osserveremo il trasporto di fluidi, di un materiale dovuto ad una spinta di moto;

massa×velocita’ (vasi, circolazione e fiumi). Sarà il primo che tratteremo.

Massa: ad esempio come diffonderà il profumo in una stanza, la concentrazione iniziale verrà

distribuita tramite trasporto in tutta la stanza fino a raggiungere un equilibrio nella concentrazione.

Energia: parleremo fondamentalmente del trasporto di calore, poiché le altre energie non vengono

trasportate direttamente ma convertite in altre forme (l’energia potenziale si trasforma in energia cinetica).

Suddivideremo inoltre il trasporto di massa in due tipi:

Trasporto passivo (detto anche Moto diffusivo) e Trasporto forzato (detto anche Moto forzato,

convettivo o advezione).

Un esempio di moto passivo è quello del profumo descritto precedentemente, dove le molecole di

profumo, ognuna con una propria energia intrinseca K×T 1 si muovono nell’aria secondo un moto

Browniano. Maggiore sarà la temperatura e più velocemente diffonderanno: si diffondono in maniera

casuale e grazie a Einstein e Brown sappiamo che si diffondono secondo la legge: ∆𝑟2 ∝ 𝑡 ∆𝑟 ∝ √𝑡

La distanza percorsa è proporzionale al tempo di osservazione, più tempo passa più vi è possibilità di

spostamento. Invece nel caso di moto convettivo, avrò una velocità �̅� di spinta.

1 K e’ la costante di Boltzmann. K=1.38e-23 J/Kelvin. Il prodotto K×T e’ l’energia per molecola. Da notare che la costante di gas, R=K/(no. Avogadro) ed è espressa in J/(mole.Kelvin).


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Concetti Base

1.1.1 Flux, Flow e Flusso

Ogni tipo di trasferimento (o moto) genererà un FLUSSO.

In italiano utilizziamo un unico termine per indicare quello che in inglese viene distinto tra FLUX e

FLOW.

Flux verrà usato per descrivere qualcosa che attraversa un’area superficiale in un

tempo t, con Φ che indica massa, energia o quantità di moto a seconda del caso.

2Flux

m s

=

Flow verrà usato per intendere il flusso volumetrico (inteso come l’acqua in un condotto o il sangue nelle arterie) è espresso in molti casi come:

3m

Flows

=

Per esempio, il flusso volumetrico del sangue nell’aorta e 5 L/min o 8.5x10-5 m3/s.

Il trasporto è causato da delle differenze che si creano nello spazio, identificate come GRADIENTI. In

particolare, i trasporti che studiamo sono dovuti a una variazione di concentrazione, velocità o

temperatura tra due punti. Maggiore è la quantità di quello che si trasporta, maggiore sarà il flusso.

Avremo quindi il trasporto di:

Massa: dovuto a differenza di concentrazione (C).

Energia: dovuto a differenza di temperatura (T).

Moto: dovuto a differenza di velocità (V).

Quindi il flusso di queste 3 entità, inteso come “flux” sarà:

Φ= entità trasportata FLUSSO GRADIENTE (forza motrice)

Equazione costitutiva

Nome Eq. costitutiva

MASSA: M

2

M

m s − 𝜕𝐶𝜕𝑥

cJ D

x

= −

FICK

ENERGIA: Q (termica)

2

Joule

m s − 𝜕𝑇𝜕𝑥

TQ k

x

= −

FOURIER

MOTO: M*v

2

Mv

m s − 𝜕𝑉𝜕𝑥

v

x = −

NEWTON

NB: Stiamo considerando sistemi unidirezionali.

FIGURA 1.2 - FLUX


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1.1.2 Euler e Lagrange

Esistono due metodi per studiare questi sistemi:

Euleriano: osserviamo un sistema da fermi mentre le

particelle (o l’energia o altro) scorrono.

E’ come se un uomo guardasse un porzione di fiume da fermo mentre scorre ed osserva cosa vi entra ed esce.

Prendendo quindi un blocchetto infinitesimo osserviamo

il trasporto da fuori a dentro; regime quasi stazionario e

volume costante.

NB: Useremo questo sistema nei nostri studi in questo corso.

Lagrangiano: invece di fissare la stessa porzione di fiume da fermi, rincorriamo lo stesso punto

seguendo il torrente. Si tratta quindi di seguire il sistema nel suo “percorso”, fissando una molecola

nello spazio. Computazionalmente e’ più difficile.

Nozioni fondamentali: vettori, tensori, divergenza e gradente

1.2.1 Vettori e Tensori

[Video lezione consigliata di Dan Fleisch “What's a Tensor?”

https://www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw].

Scalare: non ha direzione, non ha verso, ha solo ampiezza.

Vettore: è caratterizzato da ampiezza, direzione e verso (ci posiziona nello spazio).

Tensore: è un’entità matematica che generalizza il concetto di vettore, funzioni e prodotti scalari.; il

tensore indica anche il piano di riferimento. Ad esempio un tensore di 2°grado sarà Fyy, il primo pedice

indica la direzione perpendicolare al piano di riferimento mentre il secondo la direzione di F.

Ipotizzando di avere un cubo (Fig.1.4), osserviamo quali forze agiscono su tutte le facce del cubo,

riassumibili nella matrice dei tensori di sforzo:

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

NB: le colonne sono riferite alla direzione della forza. Le righe

indicano il perpendicolare al piano.

Nello studio del trasporto, utilizziamo la matrice dei tensori

per gli sforzi. I tensori sulla diagonale principale [ xx , yy

, zz ] sono pressioni e sforzi di tensione o

FIGURA 1-3: VOLUME OSSERVATO SECONDO UN SISTEMA

EULERIANO

https://www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw


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compressione, mentre i restanti sono sforzi di taglio. Da notare che la pressione è uno sforzo che

agisce perpendicolare a un piano con direzione verso il piano (cioè la pressione è sempre

compressiva).

Sia lo sforzo che la pressione presentano le stesse dimensioni di una forza per unità di area,

solitamente espressa in [𝑷𝒂] = [𝑵][𝒎]𝟐

Pressione: E’ una forza applicata perpendicolarmente all’area di interesse ed e’ sempre diretta verso il piano. Siccome la direzione e il piano sono definite, viene considerata uno scalare.

Gli sforzi sono classificabili come:

Sforzo di taglio: Avviene lungo una superficie e lo troveremo

spesso scritto come 𝑭𝒕𝒂𝒈𝒍𝒊𝒐𝑨 = 𝝉

Sforzo di trazione: E’ perpendicolare alla superficie. La forza è diretta verso l’esterno.

Sforzo di compressione: E’ perpendicolare alla superficie. La forza è diretta verso l’interno.

1.2.2 Gradiente e divergenza

• Gradiente (GRAD) di uno scalare:

Il gradiente di una funzione scalare è la sua derivata nello spazio, quindi è un vettore che rappresenta

l’ampiezza e la direzione in cui la funzione ha la massima derivata (ovvero delle variazioni maggiori).

Usiamo l’operatore nabla "∇" (in inglese Del) per il gradiente.

f i j k fx y z

= + +

Per esempio, il gradiente di pressione è

, ,p p p p p p

p i j kx y z x y z

= + + =

NB: il gradiente di un vettore è invece un tensore (es. v ).


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• Divergenza (DIV) di un vettore

La divergenza è la somma delle derivate, nello spazio, di un vettore o un tensore. La divergenza di un

vettore e’ uno scalare. La divergenza di un tensore e’ un vettore.

In particolare, la divergenza di un vettore è un campo scalare e rappresenta l’uscita del campo dal

punto (es. campo di velocità). In altre parole, è una misura della quantità di campo che esce

(divergenza positiva +) o entra (divergenza negativa -) da un punto per unità di tempo.

yx zvv v

vx y z

= + +

In forma matriciale: , ,x

yx zy

z

vvv v

vx y z x y z

v

= + +

(scalare)

, ,

, ,

zx zy zz

xx xy xz

yx

yx

yzx

yy yz

xy yxx z zx y zy zz

x y z

x y z x y z x y z

= • =

+ + + + + +

(vettore: si raccolgono i termini con direzione comune)

1.2.3 Il Laplaciano,

Laplaciano 2 (in Inglese “Del squared”). La 2 può essere definita come la divergenza del

gradiente, ovvero come somma della seconda derivata nello spazio.

Più difficile da spiegare in termini fisici, è una misura di quanto è diversa la funzione tra un punto e

l’altro (cioè la seconda derivata!)

Per uno scalare s:

2 2 22

2 2 2.

s s ss s

x y z

= = + +

Per un vettore (es. �̅� ) invece la 2 deve essere definita in ogni direzione.

2 2 22

2 2 2x x x

x x

v v vv v

x y z

= = + +

2 2 2

2

2 2 2

2 2 22

2 2 2

y y y

y y

z z z

z z

v v vv v

x y z

v v vv v

x y z

= = + +

= = + +

Infine il prodotto scalare (o meglio “dot product”) tra un vettore e il gradiente di uno scalare (vettore)

è scritto:


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.x y z

s s sv s v v v

x y z

= + +

(scalare)

Da notare che il “dot product” tra un vettore e il gradiente di un vettore (tensore) è un vettore.

Per esempio, v v è un vettore.

Il Laplaciano ha diverse espressioni per i vari sistemi di riferimento.

Analizziamo ad esempio 2 , con scalare.

In un sistema cartesiano:

2 2 22

2 2 2x y z

= + +

In coordinate sferiche:

22 2

2 2 2 2 2

1 1 1sin

sin sinr

r r r r r

= + +

In questo caso consideriamo solitamente variazioni lungo il raggio, è importante ricordare solo

2 2

2

1r

r r r

= poiché raramente consideriamo variazioni angolari.

In coordinate cilindriche:

2 22

2 2 2

1 1r

r r r r z = + +

In coordinate cilindriche raramente consideriamo variazioni in θ.

1.2.4 Velocità, accelerazione e flusso volumetrico

• Definizione formale di velocità

La velocità è un vettore che dipende da spazio e tempo ( , , z, t)v f x y=

I vettori rossi rappresentano la velocità di ogni punto, mentre quello nero

rappresenta il vettore normale alla superficie.

La velocità media di particelle che attraversano un’area è la media di tutte le

componenti della velocità normale alla superficie, e si scrive così:

1Vmedia

A

v ndAA

= spesso il vettore di velocita’ e’ perpendicolare alla

superficie, per cui: 1

Vmedia

A

vdAA

=

• Flusso volumetrico

Esprimiamo il flusso volumetrico in funzione della velocità media:

VflussoVolumetrico media

A

Q A v ndA= = , cosicché:

3

2m mQ vA m

s s= = =

FIGURA 1.5: VELOCITA;


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Il flusso di massa verrà espresso come * tempo

media

A

massaJ v ndA V

area A

= = =

• Accelerazione

Sapendo che la velocità è funzione di spazio e tempo:

( , , , )v v x y z t= , x y z

dx dy dzv iv jv kv i j k

dt dt dt= + + = + +

La differenziale della velocità è:

Eq. (1)

L’accelerazione è la variazione di velocità sia nello spazio che nel tempo.

In regime Euleriano, se mi fisso su un unico volumetto, devo trattare le variazioni nello spazio

separatamente ma nel Lagrangiano no.

Esprimeremo l’accelerazione dividendo l’Eq. (1) per dt

dv v dx v dy v dz v

dt x dt y dt z dt t

= + + +

.x y z

dv v v v v vv v v v v

dt x y z t t

= + + + = +

v

t

è un termine di accelerazione locale di tipo newtoniano. Invece il termine v v si usa solo per

i fluidi: è un’accelerazione che avviene nello spazio quando cambia lo spazio nel campo di velocità, ad

esempio quando cambiano le sezioni e le forme di tubi.

1.2.5 Material Derivative o derivata materiale

La derivata materiale è la derivata nel tempo di una funzione caratteristica di una particella di fluido

sottoposto ad una velocità. E’ nota anche come derivata Lagrangiana o derivata sostanziale (derivata

nel tempo di una funzione mentre viene seguita una particella di fluido).

Rappresenta la variazione nel tempo di una certa proprietà di una particella fluida che si muove con

una velocità �̅�. Bisogna, quindi, tener conto che la funzione cambia sia nello spazio che nel tempo. Il

"material derivative” collega la descrizione Lagrangiana con quella Euleriana.

(La funzione può essere velocità, densità, temperatura ecc.)

L E

Dv

Dt t

= +

v v v vdv dx dy dz dt

x y z t

= + + +


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NB: Per cui l’accelerazione è la derivata materiale della velocità. L’accelerazione infatti può essere anche scritta come:

dva

dt

dv v Dvv v

dt t Dt

=

= + =

2 Equazione di conservazione di massa, continuità

Stazionarietà: equilibrio – conservazione.

Un sistema stazionario rimane invariante nel tempo pur non essendo completamente fermo (nello

spazio può cambiare).

Un movimento non stazionario è caratterizzato da un’accelerazione mentre i sistemi stazionari sono chiusi e conservativi.

Per quanto riguarda il concetto di conservazione, analizziamo i sistemi cosiddetti conservativi.

Osservando il blocchetto infinitesimale, volume fisso, (Fig.2.1), prestiamo attenzione a ciò che entra e

ciò che esce. Se notiamo un aumento della massa nel tempo vuol dire che è entrato qualcosa e nulla

(o non abbastanza) è uscito. Lo stesso vale per la diminuzione, poco o nulla sarà entrato e qualcosa

sarà uscito.

Potremmo immaginare che dentro a questa “black box” ci sia un sistema chimico che “ipoteticamente” produce massa o la consuma (ipotetico perché sappiamo che la massa non può

essere creata o distrutta). Terremo conto di questo, aggiungendo un termine ipotetico, che comunque

è pari a zero. 𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = = 𝐹𝑙𝑢𝑠𝑠𝑜 𝑑𝑖 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑖𝑛 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑛𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 ∗ 𝐴𝑟𝑒𝑎 − 𝑓𝑙𝑢𝑠𝑠𝑜 𝑑𝑖 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑖𝑛 𝑢𝑠𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑛𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 ∗ 𝐴𝑟𝑒𝑎 ± 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑛𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 Questa è di per sé un’equazione di conservazione. Da notare che l’ultimo termine deve essere=0 perché la massa non può essere prodotta o distrutta.

Dimensionalmente avremo: 𝑚𝑡 = [𝐾𝑔][𝑠]

La variazione di flusso è [𝐾𝑔][𝑚]2[𝑠], quindi per avere un riscontro dimensionale dobbiamo moltiplicare per

l’area [𝑚]2 ottenendo [𝐾𝑔][𝑠] , ovvero flusso per superficie in ingresso e in uscita.

Perciò, a meno del termine di produzione, possiamo rappresentare l’aumento di massa per unità di

tempo con: 𝒅𝑲𝒈𝒅𝒕 = 𝑲𝒈𝒎𝟐𝒔 𝒎𝟐|𝒊𝒏 − 𝑲𝒈𝒎𝟐𝒔 𝒎𝟐|𝒐𝒖𝒕


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2.1.1 Equazione di conservazione:

Consideriamo ora che 𝑚 = 𝜌 ∗ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒, dove ρ indica la densità ed il volume è costante poiché siamo

in regime Euleriano.

Osserviamo quel che entra ed esce dalla faccia Δy Δz, (A=∆𝑦 ∗ ∆𝑧), con Vin e Vout in direzione x (con x

positivo andando da sinistra a destra).

Avremo:

( ) ( )x xin x out x x

mx y z v y z v y z

t t

+

= = −

Semplificando e dividendo per x y z :

( ) ( )x xin x out x xv v

t x

+−

=

Nel limite di piccole variazioni le ∆ diventano d, per cui: 𝜕𝜌𝜕𝑡 = − 𝜕(𝜌𝑉𝑥)𝜕𝑥

NB: il segno “-“ è dovuto al fatto che abbiamo sottratto il flusso di uscita (a x+dx) a quello in ingresso

(a x).

Quanto detto è estendibile in tutte le dimensioni, perciò l’equazione di continuità o equazione di

conservazione di massa verrà espressa tramite l’operatore nabla come:

( ) ( )v v vt

= − = − +

In genere consideriamo di essere in condizioni isotermiche e in presenza di fluidi incomprimibili.

Dunque, trovandoci in un sistema euleriano (volume costante), la densità 𝜌 non varia, perciò neanche

la massa. Quindi per 𝜌 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 potremo estrapolarlo dalla parentesi a destra ed ovviamente dire

che la derivata di una costante è zero 0d

dt

= e quindi che la divergenza della velocità è zero

0v =

Ciò significa che la somma delle velocità che entrano e escono in un punto devono essere uguali a 0

(in=out). Ciò perché non possiamo avere né sorgenti di massa, visto che non si crea dal nulla, né

consumi di massa dal nulla (“buchi neri”).

NB: Non possiamo avere maggiore velocità in ingresso rispetto a quella in uscita.

Per esempio, considerando un sistema bidimensionale (per semplicità), l’equazione di continuità per

un fluido incomprimibile è:

0yx

y x

vvv

x y

v v

y x

= + =

= −

La derivata di velocità lungo x deve essere compensata dalla derivata lungo y.

E’ utile esprimere l’equazione di continuità usando la derivata materiale della densità.

FIGURA 2.1: VOLUMETTO FISSO


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Dv v v v v

Dt t

= + = − − = −

(Ovviamente è zero per un fluido incomprimibile, la cui densità non cambia).

Osserviamo ora un esempio di sistema chiuso, il sistema vascolare.

Esso presenta un flusso ed è caratterizzato da un volume costante, poiché quel che entra corrisponde

a quel che esce, a meno di condizioni patologiche (es. emorragia).

NB: E’ importante anche che non ci siano accumuli.

massa che entra per secondo = massa che esce per secondo

in out

massa massa

s s=

Converrà sempre esprimere la massa come

densità×volume cosicché in out

Vol Vol

s s

=

3 3

in out

m m

s s =

e scomponendolo, così da evidenziare un termine di velocità otterremo: 2 2

in out

m mm m

s s = e

potremo scrivere:

in outArea Velocità Area Velocità =

Per le considerazioni successive prenderemo in caso un tratto di vaso (Figura 2.3).

Abbiamo due ingressi con Vin , Vout , A’ e A’’ . Se ρ e’ costante, i flussi in ingresso ed in uscita dovranno

eguagliarsi, cosicché: in outJ J= e in outQ Q= . Ciò significa che in in out outV A V A= e che, essendo A’<A’’

, di conseguenza Vin > Vout.

2.1.2 Il sistema vascolare rispetta la legge di continuità.

Il percorso della circolazione segue uno schema come in Figura 2.4: le arterie si diramano formando

arteriole e infine i capillari. I 5L/min in uscita dall’aorta rientreranno tramite la vena cava (non vero in

caso di emorragie o aneurismi). Possiamo dire che il flusso in uscita dall’aorta corrisponde alla sommatoria del flusso nei capillari.

1

n

aorta capillare

capillare

Q Q=

=

FIGURA 2.2 - SEZIONE VASO

FIGURA 2.3: CONTINUITÀ DEL FLUSSO PER UN SISTEMA

INCOMPRIMIBILE


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Da questa relazione possiamo ricavare una stima del numero di capillari. Sapendo infatti che il

diametro dei globuli rossi è di circa 8µm e che nei capillari essi procedono in fila, strisciando contro le

pareti, anche i capillari avranno un diametro di 68 8 10 m m −= . La lunghezza media di un

capillare è di 1mm e per percorrerlo un globulo rosso impiega 1 secondo.

3110

mm mV

s s

−= =

1

3 33 6 2

9

5min

5 1010 (4 10 )

60

10

n

aorta capillare

capillare

c

c

capillari

Q Q

LVAn

m mn

s s

n

=

−− −

=

=

=

3 Fluidi: Fluidodinamica e reologia

Idrostatica

In questo ambito della fisica i fluidi si trovano in condizioni di staticità, ovvero in cui non c’è

movimento: 0dV

dt= .Essendo il flusso di moto un flusso dovuto al gradiente di velocità, avremo:

0mV

At=

Osserveremo come esempio un bicchiere contenente un liquido con densità che non si muove

(condizione di stazionarietà e velocità =0).

Abbiamo un semplice bilancio di forze in direzione

verticale:

Forza di gravità: mg

Forza di pressione: P e P+dP

NB: Ricordarsi di moltiplicare le pressioni per l’area su cui agiscono e di sostituire per praticità m V= , o

anche meglio m Adz= .

Scriviamo l’equazione per il bilancio di forze in direzione verticale:

FIGURA 3-1: PRESSIONE IDROSTATICA

FIGURA 2-4: SISTEMA VASCOLARE


15 27/09/2021

( )mg P dP A PA+ + = → Adzg PA dPA PA + + = → dzg dP = −

Integrando avremo:

22

1

1

Pz

zP

g dz dP = − → 1 2 2 1( )P P g z z− = −

Potremo concludere che 1 2P P .

NB: P1 è la pressione agente in basso e P2 quella più in alto, rispettivamente in z1 e z2, quindi la pressione

diminuisce all’aumentare dell’altezza.

Proviamo a calcolare la pressione in un bicchiere d’acqua usando la formula P gh= . Ragionare in

m*k*s e ricordare che

2 31000H O

Kg

m =

29.8

mg

s=

210 10h cm m−= =

2

3 21000 *9.8 *10

Kg mP m

m s

−= = Moltiplico e divido per m

298 *

Kg m

ms m= = 21 1 * /N Kg m s=

298

NPa

m= =

3.1.1 Pressione sanguina

Spesso in campo medico, si utilizza come unità di misura per la pressione i millimetri di mercurio

[mmHg]. La pressione sanguigna in un uomo standard è definita da:

• Pressione sistolica 120 mmHg

• Pressione diastolica 80 mmHg

Mediamente quindi e’ 100 mmHg. Da notare che si riferisce ad una pressione relativa alla pressione

atmosferica (760 mmHg oppure 101292 Pa).

Relazione tra pressione atmosferica e densità

Osservazioni: La pressione atmosferica è quella che abbiamo in una colonna alta quanto l’atmosfera (circa 12 km). Non possiamo stimarla con la nostra formula di idrostatica perché la densità dell’aria cambia con l’altezza. Per ricavare un’equazione che descrive come varia la pressione con l’altezza sopra il livello del mare dovremmo sapere come ρ varia con la pressione. Consideriamo quindi la Legge

dei Gas: PV=nRT. Assumendo un peso molecolare medio dell’atmosfera=(g/mol):


16 27/09/2021

0

3

( / )

0

00

( / ) ( / )

( / )

1 ( / )( / ) ln

o

z P g mol gz

RT

P

n moling mol g mol

V m

nP RT

V

Pg mol gdz dP

RT

dP g mol gz Pg mol gdz P P e

RT P RT P

−

=

=

= −

= − → = − → =

a pressione a livello del mare è 760 mmHg, che è analoga alla pressione in una colonna di 760 mm con

del mercurio; è stato scelto il mercurio perché è un elemento molto denso:

313600 13.6mercurio

Kg

m = volte più denso dell’acqua. Per sapere a quanti Pascal corrisponde,

sfrutteremo la formula P gh= .

5

3 213600 *9.8 *0.760 101292 10

Kg mP m Pa Pa

m s= =

NB: 760 mmHg105Pa→ 1mmHg=133Pa.

Osserviamo ora la pressione nel cuore (Figura 3.2):

La pressione nell’aorta, che sta alla nostra sinistra, oscilla fra 120 e 80 mmHg, considereremo quella

media di 100 mmHg (pressione arteriosa).

La pressione nella vena cava, alla nostra destra, è di circa 0 mmHg (pressione venosa).

Calcolare la pressione nella testa e nei piedi di un uomo standard.

Altezza uomo standard: 170 cm, altezza donna standard: 164 cm.

Ipotizzeremo che l’uomo sia in piedi, poiché se fosse supino non potremmo utilizzare la formula

P gh= ,essendo l’altezza dei punti del sistema di nostro interessa circa la stessa.

Sappiamo che la densità del sangue è simile a quella dell’acqua

31021blood

kg

m = ed è più alta perché contiene del ferro nei globuli rossi,

ma noi approssimiamo comunque a 1000 kg.m3. Quello che dovremo fare sarà schematizzare l’uomo come un tubo alto 170cm pieno di sangue.

FIGURA 3-3: UOMO STANDARD

FIGURA 3-2: PRESSIONE NEL CUORE


17 27/09/2021

Pressione testa:

Considero il cuore come elemento 1, quindi:

P1=100mmHg; z1=0m (prendendo il cuore come punto di riferimento), trasformandolo in Pascal

P1=13100Pa.

P2= Ptesta=?; z2=50cm; 213100 1000*9.8*(0.5 0)P− = −

2 8200 63 testa

P P Pa mmHg= =

Pressione piedi:

Considero il cuore come elemento 1, quindi:

P1=100 mmHg; z1=1,2m (prendendo i piedi come punto di riferimento) ;

P2= Ppiedi=?; z2=0cm; 213100 1000*9.8*(0 1.20)P− = −

2 24860 189.77 piedi

P P Pa mmHg= =

I risultati corrispondono a quanto ci saremmo aspettati: la pressione ai piedi è maggiore perché è più

lontana dal cuore e il sangue deve risalire lungo il corpo. Quando si ha la pressione bassa, infatti, gira

la testa perché non vi è una spinta sufficiente per far fluire il corretto ammontare di sangue verso le

parti alte del corpo.

Viscosità

3.2.1 Introduzione

La viscosità è la resistenza di un fluido a muoversi/fluire. Solo i fluidi

hanno viscosità e la esprimiamo con (miu) µ.

Supponiamo di avere un cilindro vuoto (Fig. 3.4) al cui interno è

posto un altro cilindro pieno collegato ad una manovella. Se pongo

un solido nell’intercapedine tra i due cilindri, la forza da applicare per muovere il cilindro interno è proporzionale all’angolo: 𝐹 ∝ 𝜃.

Se invece di un solido utilizzassi un liquido viscoso, le molecole si

appoggerebbero alla parete, perché le molecole nei liquidi tendono

ad appiccicarsi alle superfici. Questa, infatti, è una proprietà dei

fluidi viscosi definita “no-slip”. Se ora proviamo a ruotare il cilindro interno, notiamo che la forza non

è proporzionale all’angolo ma alla velocità angolare; quindi nei fluidi avremo una relazione del tipo: 𝐹 ∝ 𝜃/𝑡

Quindi la differenza tra solido e fluido è, non solo nella dispersione e legami delle molecole, ma anche

dovuta ai diversi attriti.

Possiamo brevemente riassumere le proprietà e le differenze tra liquidi, solidi, gas e tra solidi e

fluidi.

Dall’esempio in Fig. 3.4 infatti possiamo dedurre che i fluidi resistono alla velocità di deformazione

mentre i soldi alla quantità di deformazione. Infatti, un solido resiste a deformazione, mentre un fluido

resiste a scorrimento. Altra differenza: i fluidi non hanno una forma propria.

FIGURA 3-4: CILINDRO


18 27/09/2021

Un’altra differenza è che le molecole dei fluidi si attaccano alle superfici e non scivolano. Questa

proprietà’ e’ nota come “no-slip”.

I fluidi, che dividiamo tra liquidi e gas, presentano ulteriori differenze:

Nei gas le molecole sono abbastanza distanti da non interagire troppo tra loro, mentre nei liquidi,

come l’acqua, ho una forte interazione data dai legami a idrogeno. Anche nei polisaccaridi vi è un

fenomeno analogo tra le lunghe catene intrecciate.

La differenza tra un liquido e un gas e’ che il primo prende la forma del contenitore, ma non il volume,

cioè in condizioni di “quasi” equilibrio, il liquido è incomprimibile e inespandibile.

3.2.2 Piatti paralleli

Osserviamo ora il caso di due superfici (due piatti)

parallele tra loro, separate da un liquido (Fig. 3.5). Il piatto

superiore è fermo, mentre il piatto inferiore si muoverà

con velocità V. Data la condizione di no-slip, le molecole

vicino al piatto inferiore saranno attaccate ad esso e,

come lui, si muoveranno con una velocità V, mentre quelle

vicino al piatto superiore avranno velocità nulla, essendo

il piatto superiore fermo.

In regime stazionario, mantenendo il movimento del piatto inferiore costante V=cost, vedremo che le

molecole adiacenti al piano inferiore, in movimento, interagiranno con quelle soprastanti e

trasmetteranno il moto con piccole perdite.

All’equilibrio avremo un profilo di velocità lineare (Fig. 3.6), dove, appunto, sopra la velocità sarà nulla e sotto costante. Siccome il fluido è appiccicoso, perché’ il piatto si muova con una velocità V,

dobbiamo applicare una forza per vincere l’attrito. La forza applicata dipenderà dall’area del piatto e dalla velocità con cui il piatto viene spostato. È inoltre inversamente proporzionale alla distanza tra i piatti perché più il piatto inferiore è lontano, meno si sente l’attrito.

Analiticamente si ha: 𝐹 ∝ 𝐴𝑉𝑌 . La forza che applico mi dice quanto veloce scorre il fluido. Anche l’area è importante, perché maggiore é l’area di contatto con le molecole, maggiore é la forza necessaria. La

Y è l’altezza del piatto: è inversamente proporzionale alla forza, perché più lontano é il piatto fermo e

meno sento le molecole ferme.

Normalmente scriviamo l’equazione così, esprimendo la forza per unità di area in funzione del

gradiente di velocità: 𝐹𝐴 ∝ 𝑉𝑌.

Entra in gioco la costante di proporzionalità, ovvero la viscosità:𝐹𝐴 = µ 𝑉𝑌 , da cui trarremo la

conclusione che per una viscosità maggiore, necessiteremo di una forza maggiore. È importante

notare che la velocità nel caso da noi analizzato sviluppa lungo x, quindi sarà più corretto scrivere: 𝐹𝐴 = µ 𝑉𝑥𝑌

FIGURA 3-5: EVOLUZIONE DEL PROFILO DI VELOCITÀ

FIGURA 3-6 PROFILO DI VELOCITA’


19 27/09/2021

Inoltre la relazione precedente 𝐹𝐴 ∝ µ 𝑉𝑥𝑌 potrà essere riscritta come: 𝜏 = µ 𝑉𝑥𝑌

Ragionando in termini infinitesimali avremo l’equazione costitutiva (LEGGE DI NEWTON):

𝜏 = −µ 𝑑 𝑉𝑥𝑑 𝑌

Si noti che è stato inserito il segno meno poiché il trasporto è opposto al gradiente di velocità, ovvero

il trasporto di moto va nel verso in cui la V è minore.

NB: Tutti i fluidi che seguono questa legge sono chiamati Fluidi Newtoniani.

Ricordiamo che 𝜏 è lo sforzo di taglio, µ è la viscosità e 𝑑 𝑉𝑥𝑑 𝑌 il gradiente di velocità.

Se invertissimo i due piatti, ponendo quindi in movimento quello superiore mentre quello inferiore

rimane fermo, avremmo pur sempre un meno perché di nuovo la differenza di velocità e il flusso della

quantità di moto sono diretti in verso opposto. (Il gradiente sarà sempre negativo anche nei casi di

trasporto di energia e massa che vedremo in seguito).

A regime abbiamo una distribuzione come in Figura 3.7

(frecce rosse), dovuta anche alla condizione di NO-SLIP che

è il fenomeno per cui le molecole del fluido sono appiccicate

alla parete così che Vliquido alla parete =Vparete.

Lo stesso vale tra uno strato e un altro di molecole: in

questo caso però è più corretto dire che quel che viene

trasferito è il moto e non la velocità.

Accenno alla reologia

La reologia e’ quel ramo della scienza che studia la meccanica dei fluidi non-ideali.

Iniziamo definendo i fluidi ideali: non esistono ma possiamo considerare i fluidi ideali quelli che non

sentono attriti e quindi si muovono insieme alla stessa velocità. Un fluido ideale è: i) incomprimibile,

ii) irrotazionale, iii) inviscido.

Rivediamo il caso delle superfici parallele, una ferma ed una con velocità V, con dentro un liquido (Fig.

3.7). Avevamo osservato la formazione di strati detti lamine che hanno tra loro velocità diverse, ma

che all’interno formano uno strato che ha la stessa velocità. Definiamo lo sforzo di taglio, in questo

caso, come xdV

dy = − .

Con il concetto di tensore è possibile esprimere questa formula come xyx

dV

dy = − . Dove i pedici “yx”

indicano il piano perpendicolare e la direzione di applicazione su cui lo sforzo è applicato. Volessimo

lo sforzo lungo z perpendicolare al piano x scriveremmo z

xz

dV

dx = − .

FIGURA 3-7: FLUSSO LAMINARE


20 27/09/2021

Facendo il grafico del gradiente di velocità con lo sforzo di taglio avremo una retta. La pendenza è

negativa e ci dice quanto è viscoso il liquido, ovvero quanto attrito vi è tra le molecole dello stesso.

Dal grafico accanto possiamo notare che 1 2 3 . A parità di

sforzo yx , il liquido meno viscoso ha un gradiente maggiore perché

è più facile da “spingere”. Mentre quello con attrito maggiore ha un

gradiente inferiore essendo più appiccicoso.

Annoteremo il gradiente di velocità come .

dV

dy = − così che per semplicità avremo = .

I fluidi la cui viscosità non varia con la velocità o meglio, il gradiente di velocità, vengono detti fluidi

Newtoniani.

I fluidi dove al diminuire dello sforzo di taglio aumenta la resistenza allo scorrimento, (ovvero

aumentando lo sforzo il fluido scorre meglio) vengono definiti come pseudo plastici o shear-thinning.

Un fluido tipicamente shear-thinning, oltre al sangue, di cui parleremo dopo, è la pittura. Inizialmente

resistente, sottoposta all’effetto delle setole dei pennelli diventa più facile da muovere cosicché possa

essere stesa sulle superfici dove poi asciugherà velocemente. A livello molecolare succede che le

catene inizialmente intrigate, iniziano a districarsi una volta iniziato a mescolare. Altro esempio sono

le sabbie mobili e il ketchup.

Il comportamento opposto è tipico dei fluidi dilatanti o shear-thickening. Aumentando lo sforzo di

taglio (più lo muovo), aumenta la viscosità e quindi sarà più difficile muoverlo. Tipico esempio è

l’amido di mais.

Ci sono poi materiali fluidi, come la maionese, che iniziano a muoversi superato uno sforzo di taglio

critico: vengono così definiti i fluidi di tipo Bingham, che seguono la legge critico = + .

Mentre ognuno dei fluidi presenta un’equazione diversa, potremmo scrivere un’equazione generale: n = dove n vale:

Il sangue è un fluido di tipo Cassoniano: è una via di mezzo tra un Bingham (infatti presenta un critico

) e un fluido shear-thinning.

L’equazione costitutiva per un fluido di Casson è critico

= + e per un shear-thinning è

1

2 = (si tratta di equazioni empiriche).

Tipo fluido Esponente associato a μ (n)

Fluidi ideali 0

Fluidi newtoniani 1

Thinning n<1

Thickening n>1

FIGURA 3-8: GRAFICO SFORZO DI TAGLIO E

GRADIENTE DI VELOCITÀ


21 27/09/2021

Riepilogo equazioni costitutive:

Fluidi newtoniani: =

Fluidi Pseudoplastici o Shear-Thinning : 1n =

Fluidi Dilatanti o Shear-Thickening:1n =

Fluidi di Bingham: critico = +

Fluidi di Casson:critico

= +

FIGURA 3-9: GRAFICI SFORZO, GRADIENTE DI VELOCITÀ PER LE VARIE CATEGORIE DI FLUIDO

Nel corpo umano i fluidi di nostro interesse sono non-lineari, cioe’ non-Newtoniani. Per esempio:

liquido sinoviale, lacrime, sangue, succhi gastrici, saliva, muco, linfa ecc.

3.3.1 Unità di misura della viscosità

Poniamo momentaneamente la nostra attenzione sui fluidi Newtoniani.

Essi rispondono alla legge dV

dx = − in maniera lineare, non hanno comportamenti anomali e sono

liquidi con basso peso molecolare. Non si presentano shear- thinning o shear-thickening.

Dimensionalmente [ ]

[ ][ ]

FPa

P = = , mentre ∇𝑉 =

2m

s

. Da queste due informazioni ricaviamo che

*Pa s = valido nel sistema MKS. Viene spesso misurata anche in Poise, o meglio centiPoise (cp),

valido nel vecchio sistema CGS.

Considerando che: 2

310H O Pa s −= e 2

1H O

cp =

31 10cp Pa s−=

Dati utili:

6

3

10

4 4 10

1

Air

Blood

Glicerolo

Pa s

cp Pa s

Pa s

−

−

=

= =

=

NB: Al variare della temperatura varia anche la viscosità: nei liquidi, a temperature più elevate, la

viscosità diminuisce e si facilita lo scorrimento delle molecole, perché le catene sono più mobili. Ciò

non vale per i gas, perché all’aumentare della temperatura aumenta anche la viscosità, grazie al fatto

che le molecole hanno più probabilità di interagire tra di loro..


22 27/09/2021

Linee di Flusso

Riprendiamo ora il modello dei piatti mobili, ricordiamo che ci troviamo in condizione di No-slip e che

vi è la creazione di un flusso laminare. Ogni particella segue il suo percorso e non interseca quello delle

molecole adiacenti. Possiamo realizzare dei diagrammi dove vengono rappresentate le linee di flusso,

linee tangenti alla velocità delle particelle.

Per definizione le particelle non possono attraversare le linee di flusso e le linee non possono

intersecarsi (altrimenti una particella avrebbe 2 velocità).

Non siamo in presenza di un flusso turbolento2, è rispettata la legge di continuità, quindi ciò che

entra corrisponde a quel che esce dal sistema.

( )Vt

= −

Nel caso di un fluido incomprimibile Qin=Qout, che, come abbiamo visto, ci permette

di concludere che VinAin= VoutAout.

In un vaso in cui la sezione si riduce potremo

affermare che Vin<Vout. Questo perché le

particelle non possono attraversare le linee.

Quindi nei tratti in cui le linee sono più dense la

velocità aumenta.

Derivazione legge di Poiseuille.

Deriviamo l’equazione di Poiseuille.

Ci permetterà di ricavare facilmente il flusso in un

cilindro fatte delle dovute premesse:

• Flusso stazionario, la velocità non cambia nel

tempo ma può cambiare nello spazio.

(Considerando il sistema in coordinate cilindriche vi è

una simmetria in , quindi le variabili sono z e r).

• Simmetria radiale, cioè simmetria intorno a

r=0.

• Condizione di No-Slip, la velocità alle pareti è 0.

• Tubo infinitamente lungo, fermo e rigido e ipotesi fatte lontane dai bordi.

La stazionarietà implica che il flusso non varia nel tempo.

• Flusso di tipo laminare (cioè non è turbolento).

2Non tratteremo flussi turbolenti, ma è importante definirli: Sono flussi caotici, non laminari (anche se non c’e un’accelerazione, il flusso può essere turbolento). Cioè, le particelle cambiano velocità a caso, non sono vincolate all’attrito con le particelle adiacenti. Un flusso turbolento può essere stazionario se mediato su tempo e spazio (cioè non localmente ma globalmente). Si distingue sostanzialmente dal flusso laminare perché le particelle non hanno un moto facilmente rappresentabile con linee di flusso e essendo caotico e’ difficile da modellare.

FIGURA 3-10: VIN<VOUT

FIGURA 3-11- FLUSSO IN UN CILINDRO


23 27/09/2021

• costdV

dr = −= → . Cioè, fluido Newtoniano.

Tenendo conto di queste condizioni, notiamo che non c’è un’accelerazione.

Possiamo fare un bilancio di forze.

Consideriamo un cilindretto al centro di un cilindro (Fig.3.11), le cui dimensioni saranno dz e dr.

Tenendo conto solo delle forze agenti lungo l’asse z e ignorando la forza di gravità, avremo da un lato

P e dall’altro P+dP, con verso opposto (perche’ son entrambe dirette verso la superficie. La terza forza

da considerare è l’attrito, supponendo che il cilindretto si muova verso destra esso sentirà le altre

molecole ai lati che devono scivolare fra di loro rispetto al cilindretto. Avremo, quindi, uno sforzo di

taglio che si oppone al movimento e che coincide con la forza di attrito.

2 2( ) 2

forze forze

P r P dP r dz r

→=

= + +

Le pressioni vanno moltiplicate per l’area del cilindro (faccia piana). L’attrito è uno sforzo di taglio

agente sulla superficie del cilindro.

2P r 2

P r= 2dP r+ 2dz r +

2

2

dPr dz

dP r

dz

− =

= −

Abbiamo definito l’equazione di Stokes, che esprime un bilancio di forze di un fluido che si muove in

condizioni stazionarie, indipendente dall’equazione costitutiva del fluido.

Considerando il fluido come Newtoniano, come premesso, z

dV

dr = −

− zdV

dr = −

2

dP r

dz

2

dV dP r

dr dz = .

Il valore dP

dz è una variazione di pressione lungo z ed è costante, perché, essendo in condizioni di

stazionarietà e di flusso laminare, il gradiente di pressione non varia, altrimenti avrei spinte diverse e

quindi un’accelerazione. La pressione, invece, varia, non può essere uguale nei due punti, ma varia in

maniera costante.

Basti pensare ad un rubinetto da cui scorre dell’acqua, se ruotiamo la manopola varierà la pressione e il flusso oscillerà. Perché cambiando la pressione varia anche la velocità.

Considerando quindi questo valore come costante, potrò separare le variabili ed integrare. Serviranno

le condizioni al contorno: per il No-Slip la velocità v=0 alle pareti (in r=R).


24 27/09/2021

2

, @ , 02

1

2 2

dP rdV dr r R v

dz

dP rV c

dz

= = =

= +

210

2 2

dP Rc

dz = +

21

2 2

dP Rc

dz = −

2 21( ) ( )

4

dPV r r R

dz = − . Questa è l’equazione che ci permette di capire come varia la velocità

lungo il raggio.

Possiamo scriverla anche come 2 21

( ) ( )4

dPV r R r

dz = − − , non è negativa poiché la derivata della

pressione lungo z è negativa.

Infatti se volessimo spingere un fluido, dovremmo applicare più pressione iniziale e quindi la

variazione risulterebbe negativa, poiché la pressione diminuirà all’aumentare di z.

Vogliamo individuare come varia la velocità rispetto ad r, plottiamo quindi V(r) (Figura 3.12):

L’andamento è di tipo parabolico:

alle pareti la velocità è 0, mentre al

centro la velocità è massima.

2max

1

4

dPV R

dz = −

Il profilo di velocità avrà un andamento parabolico come in Figura 3.12-13.

Ricaviamo ora il flusso volumetrico Q:

VflussoVolumetrico media

A

Q A n VdA= = (integriamo su una sezione circolare poiché

la velocità non è uguale in tutti i punti).

Non considereremo il vettore normale, poiché l’area è già normale al vettore flusso.

2 2 3 2

0 0

1 2( )2 ( )

4 4

R RdP dP

Q r R rdr r R r drdz dz

= − = − =

4 44( )

2 4 2 8

dP R R dPR

dz dz

= − = −

FIGURA 3-13 - PROFILO VELOCITÀ IN UN

CILINDRO RIGIDO

FIGURA 3-12: PROFILO PARABOLICO


25 27/09/2021

4

8

dPQ R

dz

= −

Equazione di Poiseuille.

L’equazione di Poiseuille 4

8

dPQ R

dz

= − esprime il flusso in un condotto cilindrico con le suddette

condizioni iniziali. L’unità di misura è Volume/Tempo (E’ molto usata per fluidi biologici).

La viscosità è al denominatore perché esprime la resistenza o difficoltà allo scorrere del fluido, infatti

se è grande Q sarà piccolo. Il raggio influisce con un fattore elevato alla quarta.

Dipenderà anche dal gradiente di pressione applicato: maggiore è la spinta, maggiore è il volume in

uscita.

dP

dzè difficilmente misurabile; combinando l’equazione di Stokes e quella di Poiseuille possiamo

ricavare un’espressione dello sforzo di taglio alla parete (wall di un tubo.

Eq. Poiseuille :4

8

dPQ R

dz

= −

Eq. Stokes :2

dP r

dz = −

4

3

2

8

4

wall

wall

dP R

dz

dP Q

dz R

Q

R

= −

= −

=

Questa formula serve per stimare il comportamento del sangue nei vasi. Si sottolinea stimare poiché

le formule ricavate sono state trovate grazie a delle ipotesi sul fluido e sul vaso che non sono rispettate

dal sangue poiché il sangue non è un fluido Newtoniano, ma di tipo Casson. Inoltre, il flusso non è

stazionario perché oscilla rispetto al tipo di vaso percorso. Può però essere semplificato come

stazionario per tempi di osservazione lunghi, poiché vi è uniformità nel tempo.

Il flusso nei vasi, ad esempio nell’aorta, non è laminare e i vasi non sono rigidi né infinitamente lunghi,

però l’equazione di Poiseuille è una buona prima approssimazione.

Proviamo a stimare lo sforzo di taglio alla parete dell’aorta:

3 35*105

min 60

L mQ

s

−

= = ; 34 4 10

Bloodcp Pa s −= = ; Raorta=1.5cm; Diametro=3cm;

3 6

3 2 3

34 4*4*10 10

(1.5*1

5*10 80

60 0 ) 60wall

Q

R

− − −

−= = =63.375* 10 −

Pa

0.1257 0.13wall Pa Pa =

(Questo è lo sforzo di taglio massimo nell’aorta. Solitamente diminusice nei vasi piu’ piccoli.


26 27/09/2021

VELOCITA’ MEDIA

La velocità media sarà:

42

2

1 8

8media

A

dPR

Q dP RdzV vdA

A A R dz

−= = = = −

Numero di Reynolds (Re).

Il numero di Reynolds è un valore adimensionale che esprime il rapporto fra le diverse forze in gioco

in un sistema: nello specifico le suddette forze sono le forze inerziali e quelle viscose.

Forze Inerziali Unità di VolumeRe

Forze Viscose Unità di Volume

=

Esprime dunque quanto prevale l’inerzia sull’attrito, ovvero esprime la difficoltà di fermare l’oggetto rispetto a farlo scorrere.

La forza inerziale si esprime come F=m×a che per unità di volume diventa:m a

Vol

Sappiamo che m

Vol= , ovvero è la densità, ed esprimendo l’accelerazione come

2v

L (velocità al

quadrato fratto lunghezza).

2

inerziali

dv m dv vv vF v v

dx Vol dx L L = → = =

La forza viscosa invece è A che per unità di volume diventa 2

L3

L.

Sapendo che dV

dx = − ed esprimendo

dV

dx come

v

L , ovvero l’espressione generale, otterremo

cos 2vis e

vF

L= .

Essendo il numero di Reynolds il rapporto fra le due, sarà vero che:

RevL

=

La velocità dell’oggetto è v, è la densità del fluido, la viscosità dello stesso e L è la lunghezza

caratteristica. Per convenzione, quando studiamo il flusso all’interno di un tubo, L è il diametro,

mentre per un solido che muove in un fluido, L è la lunghezza dell’oggetto lungo la direzione di flusso.

Il numero di Re ci permette di capire quale delle due forze è predominante in un sistema, inoltre serve

per capire se si avrà un flusso laminare, in cui le forse viscose sono importanti, oppure un flusso

lontano da un solido (es. bordi di un cilindro, o un oggetto) in cui il profilo parabolico è trascurabile o

un flusso turbolento in cui l’attrito è trascurabile. Più grande è il numero di Reynolds maggiore è

l’inerzia, più è piccolo Reynolds minore è l’inerzia. Non è necessario il valore preciso de Re, ma solo

l’ordine di grandezza. Se abbiamo due sistemi con lo stesso numero di Reynolds, allora essi hanno una

somiglianza dinamica.


27 27/09/2021

Re<2000: siamo abbastanza sicuri di avere un flusso laminare: vi è la predominanza degli effetti viscosi.

Re>5000: abbiamo un flusso turbolento; l’attrito è quasi trascurabile, si muove tutto più o meno alla

stessa velocità ed è difficile prevedere il comportamento nel mezzo; vi è la predominanza degli effetti

inerziali.

2000<Re<5000: siamo in una zona di transizione in cui sono presenti entrambi i fenomeni.

Questo parametro ci permette di determinare se è possibile applicare le leggi viste prima; così da

capire in che modo si muove un sistema conoscendone densità, viscosità, lunghezza e velocità. Se la

fluidodinamica di 2 sistemi è uguale, essi hanno lo stesso numero di Reynolds. Viceversa, se due

sistemi hanno lo stesso Re, il carattere del flusso dei due sistemi e’ uguale (es. linee di flusso hanno lo

stesso andamento). Questo ci permette di costruire dei modelli di aeroplani e testarli nelle gallerie,

tenendo fermo l’aeroplano e muovendo l’aria intorno. In inglese si dice che i due sistemi hanno

‘dynamic similarity’.

Questo numero è importante perché ci permette anche di capire l’andamento di un corpo quando si

muove in un determinato mezzo. Ad esempio è più facile nuotare in una piscina con acqua rispetto a

una con olio.

In Figura 3.14 consideriamo ad esempio un pesce che nuota: dovrà spostare, e quindi spingere, l’acqua davanti a se’; deve quindi superare la densità dell’acqua che è la forza d’inerzia detta in questo caso pressure drag.

L’altro fenomeno che si presenta è quello dell’attrito, poiché vi è un rallentamento dovuto all’attrito del pesce con l’acqua, detto friction drag.

Il numero di Reynolds è ovviamente una stima,

anche perché spesso la lunghezza

caratteristica non tiene conto della geometria

dell’oggetto. Infatti se abbiamo due oggetti

con la stessa lunghezza ed uno di essi che si

muove come in Fig. 3.15, esso avrà un’inerzia maggiore (dovrà spostare più fluido) e meno

attrito rispetto al caso della Fig. 3.16 in cui ci

sarà maggiore attrito e minore inerzia.

Spesso il numero di Reynolds sarà espresso come

ReVL

= , dove è la viscosità cinematica che corrisponde a

= . Se la viscosità dinamica

nel sistema (c.g.s.) è misurata in Poise e descrive l’attrito, la viscosità cinematica nel sistema (c.g.s.)

è misurata in Stokes.

FIGURA 3-14: - EFFETTI DI PRESSURE DRAG E FRICTION DRAG SU UN

PESCE CHE NUOTA.

FIGURA 3-15 : MENO ATTRITO, PIU’ PRESSURE DRAG

FIGURA 3-16: PIU’ ATTRITO, MENO IL

PRESSURE DRAG


28 27/09/2021

La viscosità dinamica definisce il grado di attrito interno del fluido, mentre quella cinematica può

essere considerata come “l’appiccicosità” e la resistenza al moto del fluido. Inoltre essa tiene conto

anche del peso del corpo di fluido.

Possiamo confrontare il Re per diversi sistemi biologici. Da notare che animali grandi hanno Re alto

mentre quelli piccoli hanno Re basso.

3.6.1 Lo strato limite

Quando parliamo dell’effetto di attrito di un fluido, parliamo dello strato limite. Lo stato limite e’ uno

strato vicino all’oggetto che si muove grazie al No-Slip. Ad esempio nel caso di un pesce che muove

nel mare, le particelle si muovono come il pesce a cui sono attaccate. Il moto viene trasferito in modo

laminare: diminuisce progressivamente finché si arriva in una zona di mare in cui non è più percepibile

l’effetto del moto del pesce (Figura 3.17A).

FIGURA 3-17:STRATO LIMITE. A) PESCE CHE NUOTA. B) CILINDRO CON FLUIDO CHE SCORRE ALL’INTERNO.

In un condotto dove scorre un fluido lo strato limite è la zona adiacente alla parete; se il condotto è

stretto l’attrito si sentirà ovunque, se è largo si sentirà solo ai bordi e non al centro.

Per calcolarlo bisogna prima definirlo: possiamo deciderlo in maniera arbitraria a secondo della

toleranza. Per esempio in Figura 3.17B, è quella zona in cui la velocità è minore di una certa frazione

(es il 10%) di quella del centro mnetre per il pesce e; questa definizione risulta però confusa, perciò

utilizzeremo Reynolds.

Il numero di Reynolds esprimerà la zona in cui vi è una maggioranza di forze viscose, mentre al centro

vi è una maggioranza di forze inerziali.

Ricordiamo che le forze viscose sono cos 2vis e

vF

L= e quelle inerziali

2

inerziali

vF

L

= .

Indichiamo allora con la zona limite e consideriamo che le forze viscose sono una frazione (o

multiplo) delle forze inerziali, esprimendo ciò con il parametro k.

2

2

v vk

L

= .

Esprimiamo in funzione di Reynolds: 2

2

Lv

k v

=

Animale, velocita’ Re

Balena nuota a 10 m/s 300 000 000

Uomo 70 kg nuota a 1 m/s 1 730 000

Falco vola a 30 m/s 1125000

Ape vola a 6 m/s 30

Batterio nuota a 0.01 m/s 0.00001


29 27/09/2021

Occorrerà moltiplicare e dividere per L, cosicché: 2

2

2 Re

L L Lv

L kk v

= =

Potremo dire quindi che Re

L : perciò quando Re diminuisce, lo strato limite ( ) aumenta.

Equazione di Bernoulli

Per analizzare le zone dove l’attrito non è importante, come in grandi masse di fluidi (es. il mare) o

lontani dalle pareti (condotti grandi), parliamo di fluidi ideali, detti meglio, fluidi inviscidi, dove non vi

sono effetti viscosi ( 𝜇 → 0) e quindi ogni singola particella non influisce sul comportamento delle

altre.

Il comportamento fluidodinamico di un fluido inviscido, che sia anche stazionario, è rappresentato

dall’equazione di Bernoulli.

Tracciamo le linee di flusso che indicano il moto: come già visto le particelle sono tangenti e non

possono attraversare le altre linee.

Dal momento in cui consideriamo un fluido stazionario e laminare non vi saranno variazioni di velocità

rispetto al tempo, ma, considerando che il flusso e’ in direzione s, vi saranno componenti di

accelerazione nello spazio:

dva

dt= s

dvv

ds+

L’equazione di Bernoulli esprime un bilancio di forze in questo sistema,

riconducibili a F=ma.

Consideriamo un sistema con un flusso in

una certa direzione: esprimiamo il bilancio

di forze su un volumetto di fluido (Figura

3.19A). Per scomporre le forze sarà utile

considerare i vettori come in Figura 3.19B.

Il

bilancio di forze sarà: dv

F ma mvds

= = , vedremo variazioni di velocità lungo s e

l’effetto della gravità e delle pressioni che agiscono sui lati del volume.

La forza risultante della pressione è: [ ( )]P P dP A− + , dunque dPA− .

FIGURA 3-18: LINEE DI FLUSSO IN CONDOTTO LARGO CON FLUIDO

FIGURA 3-19: A) VOLUMETTO DI FLUIDO, B) COMPONENTI ORIZZONTALI E VERTICALI DI S. N E’ LA NORMALE A S


30 27/09/2021

Il componente della gravità lungo s sarà invece: sinmg − (vedi Fig.3.19B).

sindv

mv dPA mgds

= − −

Essendo il volume costante potremo esprimere m Volume Ads = = , inoltre sindy

ds =

(Fig.30B).

A dsdv

vds

dP A= − A− dsdy

gds

vdv dP gdy = − −

0vdv dP gdy + + = sarà l’equazione differenziale di Bernoulli.

0vdv dP gdy + + = Integrandola otterremo che:

2

costante2

vP gy + + =

Equazione di Bernoulli.

Considerato che rho è una costante, può essere assimilata nel termine costante al secondo membro,

l’equazione sarà: 2

costante2

v Pgy

+ + = .

3.7.1 Pressione statica e cinetica

Sappiamo che il primo membro è una Forza per Area (F/A), moltiplicando e dividendo per L avremo:

F L Energia

Area L Volume = .

Sarà allora corretto vedere l’equazione di Bernoulli come segue:

.Cinetica .Pressione .Potenzialecostante

E E E

Volume Volume Volume+ + =

ciò ci permette di evincere che in un fluido inviscido non si hanno perdite dovute all’attrito. Esso è visto in termini di energia.

Possiamo osservare la formula anche in termini di Pressione:

Pressione Cinetica+Pressione Statica+Pressione Idrostatica=costante

Se ho un fluido in un condotto e metto un manometro per misurare la pressione otterrò dei risultati

diversi a seconda del modo in cui è posizionato il sensore (cioè il manometro), osserveremo i casi 1 e

2 come in Figura 3.20 (A).


31 27/09/2021

Nel caso 1 viene misurata sia la pressione P sia la pressione cinetica 2

2v , poiché, per come è

posizionato, esso “cattura” anche lo scorrere del fluido (il fluido si ferma, v=0 e tutta l’energia per volume viene convertito in una pressione statica). Nel caso 2 esso misura solo la pressione statica del

fluido P. Osservando l’altezza del fluido nelle colonne nei rispettivi casi possiamo affermare che la pressione misurata in 1 è maggiore di quella in 2.

Questo principio viene

sfruttato nel tubo di

Pitot (figura3.20 (B)), che ci permette di conoscere la velocità del fluido conoscendo la differenza

dell’altezza.

Nella configurazione 1 abbiamo che 2

2 1

1

2v P P = − ; 2 1( )

2P P

v−

=

Nel caso di pressione idrostatica ritroveremo la legge trovata in precedenza, poiché l’equazione di Bernoulli si trasforma con v=0 in costanteP gy+ = .

3.7.2 Stenosi, separazione del flusso e aneurisma

Dall’equazione di Bernoulli possiamo trarre tutta una serie di considerazioni notevoli. Considerando

un tubo soggetto a restringimento come in Figura 3.21, potremo dire che:

• La parte centrale non risente di particolari fenomeni;

• Le considerazioni in nero in figura, dove viene specificato che la velocità al centro della

sezione, dove il tubo si restringe, è maggiore che nella parte 1 e 3, dove si ha una sezione più

ampia, derivano dalla legge di continuità e da quella di Bernoulli.

• Trascuriamo il contributo gh perché non vi sono variazioni in altezza.

Per Bernoulli avremo: 2 2 2

1 1 2 2 3 3

1 1 1

2 2 2v P v P v P + = + = +

Osserviamo i primi due termini (area 1 e 2), per la legge di conservazione si ha che:

1 1 2 2Av A v= Sostituiamo v2

2 211 1 1 2

2

1 1( )

2 2

Av P v P

A + = +

2 212 1 1 1

2

1[ ( ) ]

2

AP P v v

A= + − P2 dipende dal rapporto tra A1 e A2.

FIGURA 3-20: - A. TUBO CON SENSORI DI PRESSIONE, B. TUBO DI PITOT


32 27/09/2021

Possiamo quindi dire che è la parete che crea problemi, poiché le considerazioni fatte sono per i fluidi

inviscidi, che sono ideali. Al centro si possono considerare ideali perché non vi è un disturbo causato

dall’attrito (ovvero, e’ minimo) e le molecole muovono per l;inerzia.

Nel caso fra area 2 e 3 la P3>P2, perciò vi è un inversione di flusso, questo fenomeno di separazione

del flusso crea dei vortici in uscita dalla sezione 2 (in Figura 3.21). La separazione del flusso avviene

ogni talvolta che il gradiente di pressione si forma in opposizione al flusso. Nel caso di una stenosi,

questo può solo portare ad un peggioramento in quanto, la zona luminale a valle della stenosi viene

soggetta a bassi sforzi e ulteriore deposizione di lipidi. Questa tendenza all’ulteriore restringimento può portare all’occlusione del vaso.

Soffermandoci sulla sezione 2 -3 notiamo che vi è un allargamento e non un restringimento come nel

caso 1-2. Questa situazione corrisponde a quel che accade in presenza di un aneurisma, quando la

parete è debole tende a cedere allargandosi. Notiamo che la velocità si riduce e la pressione aumenta,

quindi questo aumento di pressione può portare il vaso a scoppiare perché raggiunge un valore limite,

oltre il quale si ha rottura del vaso.

Questo principio delle sezioni viene sfruttato nel tubo di Venturi.

Inseriamo tre manometri in un tubo come quello in Figura 3.22, registreremo tre altezze e quindi tre

pressioni diverse. In corrispondenza di 1 e 3 saranno più alte rispetto a 2 poiché P1>P2 e P3>P2, quindi

h1>h2 e h2<h3.

Questo fenomeno, grazie alla differenza di

pressione, viene sfruttato per creare il

vuoto (cioè una pressione negativa) in un

condotto.

Il volo, la scia e flusso vorticoso

Quando un corpo solido si muove in un fluido, spinge il fluido in avanti creando una zona di pressione

elevata (relativa alle altre aree), mentre dietro lascia una zona di pressione bassa (Fig. 3.23). Nel caso

di un solido che ha la forma di un’ala, è molto marcata la diminuzione di pressione nella parte

superiore, che dà luogo ad una netta spinta verso l’alto (detta la ‘portanza’). Questa diminuzione è

dovuta al fatto che le linee di flusso sono costrette ad avvicinarsi, per cui la velocità aumenta e, grazie

a Bernoulli, la pressione, rispetto alla zona sotto l’oggetto,diminuisce.


33 27/09/2021

FIGURA 3-21: PORTANZA. PER DYNAMIC SIMILARITY LE PRESSIONI SVILUPPATE SONO LE STESSE SIA CHE SI MUOVE IL FLUIDO CHE IL

SOLIDO.

La scia invece e’ causata quando un oggetto con forma aperta dietro, come in Fig. 3.24, si muove in

un fluido con una certa velocità (elevata). Qui la sfera nella zona anteriore spinge il fluido aumentando

la pressione mentre dietro si crea una zona con pressione più bassa grazie al ‘vuoto’ lasciato dall’oggetto. In questa zona si formano dei vortici. La pressione più bassa viene sfruttata in natura da

gruppi di animali in volo, nuoto o in bici per ridurre il lavoro. Allo stesso tempo la pressione bassa

dietro rallenta il moto dell’oggetto in avanti.

FIGURA 3-22: VORTICI DIETRO UNA SFERA IN CUI IL FLUSSO SI MUOVE DA SINISTRA A DESTRA

Inoltre, risulta una separazione del flusso (le molecole del fluido che sentono l’attrito con il solido tendono a tornare indietro), effetto che diventa sempre più marcato con aumento di Re. Infatti, se la

velocità è molto elevata questo effetto causa l’apparizione di vortici, che rallentano il moto

dell’oggetto solido (per questo le macchine veloci hanno gli alettoni posteriori- riducono questo

effetto).

3.8.1 Flusso sviluppato

Nell’aorta il flusso è turbolento e non laminare. Inoltre è un flusso non sviluppato, ovvero che non

riesce ad avere un andamento Poiseuilliano perché le particelle vicino alla parete non sono ancora

rallentate dall’attrito con essa.

Nell’apertura dell’aorta il sangue esce alla stessa velocità su tutta la sezione: man mano che il fluido

avanza, le particelle centrali avanzano per inerzia poiché non sentono la forza viscosa che


34 27/09/2021

percepiscono quelle vicine alla parete e che rallentano (per la condizione No-Slip). Le Figura 3.25 e

3.26 illustrano come si sviluppa il profilo lungo un tubo fino a raggiungere un flusso sviluppato.

FIGURA 3-23:SVILUPPO DI UN FLUSSO

FIGURA 3-24:PROFILO DI VELOCITA A VARI PUNTI LUNGO IL TUBO IN CORRISPONDENZA ALLE LINEE ROSSE IN FIGURA 3.25. (ALL’INIZIO IL SOFTWARE

NON E’ IN GRADO DI CALCOLARE PRECISAMENTE IL PROFILO)

Questo fenomeno aumenta sempre più e iniziano a rallentare anche gli altri strati. Aumenta sempre

più lo spessore dello strato limite: quando corrisponderà al diametro del tubo, il fluido sarà

completamente sviluppato, cioè parabolico. La lunghezza, misurata dall’imbocco, in cui il fluido risulta completamente sviluppato è detta lunghezza di imbocco. Se il Re<5000, parliamo di flusso

sviluppato completamente Poiseuilliano.

Possiamo ricavare la lunghezza di imbocco facendo un bilancio fra le forze inerziali centrali e le forze

viscose alla parete.

cos 2vis e

vF

L= ;

2

inerziali

vF

L

= . Consideriamo come già fatto in precedenza le forze viscose come una

percentuale di quelle inerziali, 2

2

v vk

L

= . Sappiamo che la lunghezza di imbocco sarà dove

R = quindi 2

RL k v

= . Sarà proporzionale al numero di Reynolds a meno di una costante K

ReL K R= . Per un flusso non turbolento usiamo 0.01ReL r= .

Nell’aorta L è circa 1m e ciò significa che il flusso non è mai sviluppato poiché l’aorta è lunga 20-30

cm. Se il flusso e’ turbolento la lunghezza d’imbocco diminuisce.


35 27/09/2021

Equazione di Navier Stokes.

L’equazione di Navier Stokes è la ”mother equation” per il trasporto di moto. Da questa equazione

possiamo derivare tutte le altre equazioni che abbiamo già visto.

Essa esprime la conservazione di moto.

Consideriamo un fluido incomprimibile in regime Euleriano e definiamo il vettore dello sforzo, ovvero

lo sforzo agente in un punto particolare: F n = dove n è la normale in quel punto.

FIGURA 3-25: A) SFORZI SUL CUBO. B) VOLUME CHIUSO CON COMPONENTE NORMALE DEGLI SFORZI AGENTI SULLA SUPERFICIE

Applichiamo la legge di Gauss per esprimere la forza totale agente su un volume chiuso (Figura 3.27B):

( ) ( )A Vol

n dA dVol = . Scritto cosi e’ chiaro che la divergenza dello sforzo e’ uguale alla

somma delle forze agente su un volume. Infatti:

, ,

xx xy xz

yx yy yz

yx

zx zy zz

xy yy zy yzxz zxx z zx

x y

x y x z xz

z

y y z

=

+ + + +

+ +

Consideriamo adesso gli sforzi solamente agenti in direzione x (primo termine in rosso del vettore

sopra): questo prodotto scalare equivale alla sommatoria delle forze risultanti in direzione x sul

volume:

xForze

Vol =

Quindi, la risultante di forze (la somma in ampiezza e direzione) che risultano dagli sforzi di taglio

agente su un volume di fluido e’ un vettore:

F =

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

=


36 27/09/2021

Con Navier Stokes esprimiamo la velocità di accumulo di moto in un volume fisso come la differenza

tra i flussi di moto in ingressoarea e i flussi di motoarea in uscita:

( )accumulo moto mvma

t t

= =

, quindi Forza F.

Sappiamo che l’accelerazione è: x y z

v v v va v v v

t x y z

= + + +

dv v Dva v v

dt t Dt

= = + =

Descriviamo un sistema tridimensionale per ricavare l’equazione di Navier-Stokes. Le forze che

agiscono sul fluido sono pressioni e sforzi di taglio. Aggiungiamo anche una forza esterna (body force,

BF F = ) per completezza. Un esempio è la gravità, o la spinta dall’ esterno.

In generale il bilancio di forze è

forza data dalla pressione+ forza data dagli sforzi di taglioDv

m mg FDt

= + + B

Che dividendo per il volume diventa:

BFDv

g PDt Vol

= + − −

Conviene analizzare i contributi singolarmente: partiamo dalle pressioni (sempre Pin-Pout) nelle 3 direzioni.

( )| |x xx

x

d mv Pma P P x y z

dt x

= = − +

( )| |

( )| |

y yyy

z zzz

d mv Pma P P y x z

dt y

d mv Pma P P z x y

dt z

= = − +

= = − +

Abbiamo espresso la risultante delle pressioni, che abbiamo moltiplicato per le aree, per ottenere le

forze. Sappiamo che la massa è m x y z= , con x y z volume.

( )accumulo di moto per unita' di tempo =flusso di moto flusso di moto

in out

d mvA A F

dt

− +


37 27/09/2021

Otteniamo dunque:

xx

yy

zz

Dv Pma x y z x y z

Dt x

Dv Pma x y z x y z

Dt y

Dv Pma x y z x y z

Dt z

= = −

= = −

= = −

Dividendo per il volume e ponendo x , y e z 0→ , perché infinitesimi, otterremo:

y x zP P PDv

i j k PDt y x z

= − − − = −

Gradiente di pressione.

Studiamo adesso gli sforzi di taglio considerando per ora solo forze in direzione x ma agente su tutti i

piani:

La somma di sforzi di taglio lungo x sarà:

yx yxzx zxzx zx yx yx

z x y y x z Volz y z y

− + + − + = − −

:

xy zy

yzxz

ForzeVol

yx z

zx y

→ − −

→ − − = −

Unendo i due risultati trovati per pressioni e sforzi di taglio otterremo la forma base di Navier Stokes:

BFDv

gDt Vol

= + + dove P = − −

Per fluidi Newtoniani: d

dx

v = − con tensore e v vettore. Vedendo il tutto in termini più

generici y

xyv

dx

dv = − = − applicato perpendicolarmente a x ma verso y. Quindi:

2( ) ( )v v v = − = − = − ( essendo μ costante lo portiamo fuori dalla derivata)

L’equazione di Navier-Stokes per un fluido Newtoniano sarà:

2DvP g v

Dt = − + +

Si tratta di un’espressione di bilancio di tutte le forze in un fluido Newtoniano. Insieme con l’equazione di continuità ( 0v = ) fornisce una descrizione completa del moto di un fluido nello spazio e nel

tempo con ρ e μ noti: le uniche variabili sono la velocità e la pressione (2 equazioni, 2 variabili).


38 27/09/2021

NB: Solitamente BF

Vol non viene considerato e per un fluido inviscido, essendo μ=0, si avrà:

Dvg P

Dt = −

Questa equazione e’ nota come l’equazione di Euler.

3.9.1 Equazione di idrostatica e di Bernoulli da Navier-Stokes.

Equazione idrostatica

2DVP g V

Dt = − + +

Nel caso di un fluido in cui la velocita’ e zero, abbiamo solo: 0 P g= − + . Se consideriamo un

sistema in cui la gravita’ agisce in direzione z solo e in giu’ (quindi negativo), anche la P deve agire lungo z.

0 z z

P dPg g

z dz

dz g dP

= − − → = −

= −

(nella sola direzione z)

Abbiamo ricavato l’EQUAZIONE IDROSTATICA

Equazione di Bernoulli

Per ridurre l’equazione di Euler all’equazione di Bernoulli si considera che il flusso ha una sola

direzione e dato che non ho accelerazioni nel tempo:

Dvg P

Dt = − → x x

dv Pv g

dx x

= − +

Moltiplicando per dx, cambiando il segno di g perche’ e’ verso giu’ e integrando otterremo

l’equazione di Bernoulli: 2

cost2

x

vvdv dP g dx gx P

= − − → + + =

3.9.2 Equazione di Poiseuille con Navier Stokes.

Eseguiamo un bilancio di forze in condizioni stazionarie in un tubo cilindrico di lunghezza infinita con

pareti rigide (no-slip, v=0 @r=R), orizzontale e in coordinate cilindriche con simmetria radiale. Il fluido

è Newtoniano, e non ci sono variazione della sezione per cui la derivata materiale della velocità è zero:

0DV

P gDt

= = − + −

2VP = ; 0v =

Questa equazione, insieme con l’equazione di continuità per un fluido incomprimibile ( 0v = ),

definiscono il sistema.


39 27/09/2021

Utilizziamo coordinate cilindriche. ( )1 1

0 r zvrv v

vr r z r

= = + +

. Dato che il tubo e’

infinitamente lungo con sezione costante, in condizioni stazionarie non possiamo avere variazione di

velocità in z. Perciò, il secondo termine (come tutti i termini in cui v varia con z nelle equazione

successive), e’ zero. Inoltre, la condizione di simmetria implica che non ci sono variazioni o componenti

di velocità o pressione in . L’equazione di continuità insieme alla condizione di no slip si porta quindi

alla conclusione che vr=0: ( )1

0 0 0r rr r

rv r vv v

r r r

= + = =

Consideriamo adesso il Laplaciano della velocità e gradiente di pressione in tutte le direzioni. Anche

qui quasi tutto va a zero.

Quindi, la pressione varierà soltanto lungo z ( pr

non puo’ essere altro che zero), perciò l’unica

componente sarà P

z

che è costante perche’ gli altri termini dipendono da r, cosicché:

1 zdVdP d

rdz r dr dr

=

. (alle fine della velocità consideriamo le variazioni lungo r con componente

z)3.

Integreremo sfruttando le condizioni a contorno di no-slip e simmetria.

0

1) r=R 0

2) v | | cioè 0

z

zr r

r

v

vv

r+ −

=

→ =

= =

3 NB, tutto e’ piu’ semplice se diciamo che non ci sono variazioni in e sappiamo anche che l’unica componente della velocità è z

v e la pressione varia solo lungo z in modo lineare (altrimenti porterebbe

a non stazionarietà) come in Sezione 3.5!

FIGURA 3-26: CILINDRO DI RIFERIMENTO


40 27/09/2021

Il sistema è simmetrico intorno a r=0, non posso dunque

avere una differenza di v intorno a r=0.

Integrando: 2

zdVdP r

dr d rdz dr

dP r

dz

=

2r

= 1

zdV

cdr

+

C1=0 per la condizione di simmetria. Integriamo ancora per dr:

2

2

2 2

2 2

1

2 2

4 4

z

z

dP rV c

dz

dP r dP RV c c

dz dz

= +

= + → =

2 21( )

4z

dPV r R

dz = − Equazione già trovata precedentemente con il bilancio delle forze.

3.9.3 Derivazione dell’equazione di Couette.

Consideriamo:

• Stazionarietà e flusso laminare;

• Fluido Newtoniano;

• Piatti paralleli e orizzontali infinitamente lunghi e larghi: questo permette di definire la

simmetria in z.

Dell’equazione generica: 2DVP g V

Dt = − + + con 0v = (liquido incomprimibile)

FIGURA 3-27: CILINDRO CON SIMMETRIA IN R IMPLICA NESSUNA VARIAZIONE IN O DERIVATE RISPETTO A R INTORNO A R=0.

FIGURA 3-28: COUETTE, FLUSSO TRA DUE PIATTI PARALLELI

INFINITAMENTE LUNGHI E LARGHI DI CUI UNO E’ MOBILE, MENTRE

L’ALTRO E’ FERMO.


41 27/09/2021

xx

v

t →

xx

vv

x

+

x

y

vv

y

+

x

z

vv

z

+

2

2xvP

x x

= − +

2 2

2 2x xv v

y z

+ + x

g

+

y

y

v

t

→

y

x

vv

x

+

y

y

vv

y

+

y

z

vv

z

+

2

2

yvP

y x

= − +

2

2

yv

y

+

2

2

yv

z

+

yg + 2 2 2

2 2 2z z z z z z z

z x y z z

v v v v v v vPv v v g

t x y z z x y z

→ + + + = − + + + +

o Dato che non abbiamo variazioni lungo z (per simmetria), non consideriamo l’ultima equazione;

o Dato che il sistema è stazionario, possiamo togliere i termini con variazioni nel tempo;

o Dato che i piatti sono paralleli e orizzontali siamo in assenza di gravità, possiamo togliere i

termini con g;

o Per stazionarietà e perché i piatti sono paralleli, non variazioni di sezione lungo x, perciò non

varia la velocità in x.

o Avendo 0 0 0 costy yx z

y

v vv vv v

x y z y

= → + + = → = → =

e siccome a y=0, v=0;

allora sappiamo che 0y

v =

Quindi rimarrà: 2

20xvP

x y

− + =

costanteP

x

− =

NB: P varia solo in x e xv in y. Per questo motivo entrambi termini devono essere costanti. Infatti,

dato che siamo in condizioni di stazionarietà, il gradiente di pressione lungo x è costante, ciò vuol dire

che da P1 a P2 ho una variazione lineare, una spinta uniforme che varia linearmente nello spazio.

Per questo motivo, le derivate parziali possono adesso essere scritte come derivate assolute: 2

20x

d vdP

dx dy

− + =

2

2 1

1

2

x

x

dVdP d

dx dy dy

dP yV c c y

dx

=

= + +

Per risolvere sfrutteremo le condizioni a contorno: 1) y=0 ; V=0

2) y=h ; V=Vp

Per la prima condizione 2 0c = . Per la seconda condizione:

2

1 1

V

2 2

p

p

dP h dP hV c h c

dx h dx = + → = −

Con dovute sostituzioni avremo: ( )21 y( ) V

2x p

PV y y hy

x h = − +

.


42 27/09/2021

Potremmo esprimere il profilo di velocità in modo adimensionale.

( )

2

2

22

( ) 1

V 2 V

( );

V 2 V

x

p p

x

p p

V y dP y y y

dx h h h

V yy h dP

h dx

= − +

= = → = − +

Il numero adimensionale che caratterizza il sistema è2

2 Vp

h dP

dx

.

3.9.4 Flusso in un canale rettangolare

Procederemo ora con la derivazione classica dell’equazione di flusso in un canale rettangolare orizzontale infinitamente lungo tramite Navier-Stokes.

Le condizioni di partenza sono che il flusso deve essere stazionario, laminare e Newtoniano. Le pareti

del condotto devono essere rigide affinché si verifichino le condizioni di No-Slip e il canale

infinitamente lungo. I due piatti devono essere orizzontali e paralleli. Non ci sono variazione di forze

di gravità e forze esterne e supponiamo anche che h<<w, quindi il canale è stretto. Per questo motivo

possiamo trascurare le variazioni di velocità in direzione x.

Dall’equazione generale di Navier-Stokes:

FIGURA 3-30: CANALE RETTANGOLARE

INFINITAMENTE LUNGO E MOLTO STRETTO

La Figura 3.31 mostra come le linee di

flusso vengono distorte dalla retta gialla

(dp/dx=0) quando viene applicato un

gradiente di pressione. E’ importante notare che l’impostazione di un gradiente di pressione (dp/dx) non altera la

condizione di no slip (V=Vp @y=h e V=0

@y=0), e che per un gradiente di pressione

positivo (linee verde e viola) abbiamo una

separazione del flusso.

FIGURA 3-29: COUETTE PER DIVERSI DP/DX MOSTRANDO LA SEPARAZIONE DEL FLUSSO

PER DP/DX>>0


43 27/09/2021

2DVP g V

Dt = − + + .

xx

v

t →

xx

vv

x

+

x x

y z

v vv v

y z

+ +

2

2x

vP

x x

= − +

2 2

2 2x x

v v

y z

+ +

y

y

v

t

→

y

x

vv

x

+

y y

y z

v vv v

y z

+ +

2

2

yvP

y x

= − +

2 2

2 2

y yv v

y z

+ +

o Non abbiamo variazioni in z perché’ w>>h;

o Dato il canale infinitamente lungo e parallelo, non abbiamo variazioni di velocità in x.

o Dato che il sistema è stazionario, non abbiamo variazioni nel tempo.

o Per l’equazione di continuità, xv

x

0 costantey

y

vv

y

+ = → =

.

Quindi rimarrà:

2

2

0

0x

P

y

vP

x y

=

− + =

Da queste equazioni risulta che P varia solo in x e vx varia solo in y; le derivate diventano totali e

entrambi i membri dell’equazione sono constanti, cioe’ il gradiente di pressione lungo x e’ costante.2

2xd vdP

dx dy=

Ricordiamo che il gradiente di pressione è costante anche perché la spinta è costante essendo in

regime stazionario. Per ricavare Vx(y) e Q dobbiamo sfruttare le condizioni al contorno. Per

semplificare i calcoli poniamo y=0 del il nostro sistema di riferimento al centro del canale. L’altezza del canale e’ H come in Figura 3.33.

Condizioni al contorno:

ad v=0 e ad y=0 02

H dvy

dy= → → = (simmetria)

xdvdP d

dx dy dy

=

1x

dvdPy c

dx dy= + Per la condizione di simmetria c1=0

2 2

2 2

22

2 8

1( )

2 4

x

x

dP y dP Hc c

dx dx

dP Hv y y

d

v

x

= + → =

= −

La velocità ha sempre un andamento parabolico che dipende da y, per come abbiamo schematizzato

FIGURA 3-31: - SEZIONE RETTANGOLARE DI ALTEZZA H


44 27/09/2021

il sistema sarà massima al centro quando y=0. Vx sembra essere negativa, ma in realtà ricordiamo

che dP

dx è negativa, altrimenti il fluido non si muoverebbe in quella direzione.

Dal momento che abbiamo assunto H<<w la variazione vx sarà maggiore lungo y rispetto a x infatti la

variazione è molto più repentina lungo y, perciò: x xV V

y x

. Per questo motivo e’ possibile

assumere che la velocita’ varia solo lungo y.

Tale assunzione è valida nel caso in cui H è almeno 10 volte più piccolo di W.

Ricaviamo adesso il flusso A

Q VdA=

2 2 2 2 3

0

3

1 1 1 4( ) ( ) ( )

2 2 2 3

1

12

w H H H

x

H H H

dP dP dPQ V y dydz w y H dy w y H dy w H

dx dx dx

dP wL

dx

− − −

= = − = − = − =

= −

Il flusso sarà fortemente dipendente da 3

Q H w nel caso di geometria rettangolare, così come in

un condotto cilindrico sarà 4

Q R (4

8

P RQ

L

= ). In questo caso potremo dire che è l’altezza che

domina le forze di attrito.

3.9.5 Adimensionalizzazione di Navier Stokes e il numero di Reynolds

2DvP g v

Dt = − + +

Adimensionalizziamo guardando solo una direzione. Ci interessano in particolare i termini che

descrivono l’accelerazione in condizioni stazionari e la viscosita’.

dv d dvv

dx dx dx =

equazione base.

Per adimensionalizzare devo trasformare v e x in variabili adimensionali. Possiamo dire che la velocita’ caratteristica del sistema e’ u e la lunghezza caratteristica e’ L.

FIGURA 3-32: IN ROSSO VARIAZIONE LUNGO Y, IN NERO VARIAZIONE LUNGO X


45 27/09/2021

2

2

,

, ,

Equazione adimensionale

x v

L u

x L v u dx d L dv ud

dv d d dv dv d u

dx d dx d dx d L

d u d d uu

d L d L d L

uL d d

d d

= =

= = → = =

= → =

=

→ =

Il parametro adimensionale che caratterizza il sistema (in parentesi) e’ il numero di Reynolds.


46 27/09/2021

4 Tensione superficiale

Introduzione

La tensione superficiale è quella forza che rende la superficie di un liquido come una pellicola elastica

tesa. La tensione agisce tangenzialmente alla superficie. Le forze che tengono unite le molecole simili

tra di loro sono le forze coesive, in inglese “like likes like” ovvero che “a chi si somiglia piace stare

insieme”. Ad esempio, nel caso dell’acqua le molecole sono fortemente attratte fra loro e tendono a

non separarsi grazie ai legami ad idrogeno fra esse.

Dimensionalmente, esprimeremo la tensione superficiale come una forza su lunghezza o un’energia

per area: 2

N J

m m = =

Le due unità di misura sono uguali, infatti, moltiplicando e dividendo per metro si ottiene

[ ]F m lavoro J = e al denominatore 2m m m = . Queste due unità sono entrambe valide perché

si hanno due definizioni di tensione superficiale:

Forza superficiale di un liquido per unità di lunghezza =Energia o lavoro necessario per creare un’unità d’area di superficie liquido.

Il liquido con maggior tensione superficiale è il mercurio infatti =487 mN/m (milliNewton su metro),

segue l’acqua pura con un valore di =72 mN/m a temperatura ambiente.

Ricordiamo che, anche se non viene sempre specificato, la tensione superficiale è riferita ad uno

specifico mezzo. Questo perché ad esempio se ho aria secca o aria umida la tensione superficiale

risulta diversa, nello specifico risulta maggiore con l’aria umida, perché è ricca di particelle di acqua.

NB: I due valori di γ sopra citati si riferiscono alle tensioni superficiali rispetto ad aria secca a 20°C.

4.1.1 Numero di Bond

Come già detto, si dice tensione superficiale perché si manifesta solo in superficie e non all’interno. Poiché all’interno le varie forze si bilanciano, mentre fuori vi è uno sbilanciamento di forze che attrae le molecole verso l’interno creando una tensione. I liquidi tendono a minimizzare l’energia superficiale. Questo è il motivo per cui, in assenza di altre forze dominanti, le gocce sono sferiche,

poiché le e questa è la forma che ha minore superficie rispetto al volume.

Le forze di tensione superficiale sono importanti in sistemi in cui le dimensioni caratteristiche sono

piccole, e le forze di tensione superficiale predominano sulle forze di gravità. Per mettere in

relazione l’entità delle due forze si utilizza un numero adimensionale detto numero di Bond.

3

2

Forza di gravità

Bond=Forza di tensione superficiale

m g L g

L glunghezza L L

lunghezza

= = =

Se il numero di Bond è maggiore di 1 allora la forza di gravità è maggiore della tensione superficiale e

le gocce tendono a essere meno sferiche e più allungate.

L’inverso del numero di Bond è il numero di Jesus. Perché, ad esempio, gli insetti che riescono a

camminare sull’acqua hanno un valore della forza di gravità (dovuto ad una massa molto piccola)


47 27/09/2021

inferiori a quelli della tensione superficiale, che in termini matematici si traduce con Bo<1 e Jesus>1

poiché 1

JesusBond

= . Se Bo>1, l’insetto affonda; se Bo<1, l’insetto galleggia.

4.1.2 Misurare

La tensione superficiale può essere calcolata

sperimentalmente nel seguente modo: Prendo un filo

metallico immerso in acqua a cui collego un trasduttore di

forza. Tirando il filo di pochissimo, le molecole d’acqua rimarranno attaccate creando un velo d’acqua che verrà a creare una nuova area d’acqua: E F x= con x spessore

in mm.

Sappiamo che la forza sarà proporzionale alla lunghezza del filo e la costante di proporzionalità sarà la

nostra tensione superficiale.

: F F=

E=

L L

L x A

→ =

Il piatto di Wilhelmy

Un altro modo per misurare la tensione superficiale è attraverso una lamina

(o piatto di Wilhelmy) in un fluido collegata ad un trasduttore. Facciamo un

bilancio di forze:

0 F forza di Archimede

2( )cos forza che misura il trasduttore

F= =perimetro totale del piatto

2 cos

A P A

A P

misurata

F F F

L D F F

ll

+ + = =

+ = − +

→

4.1.3 Angolo di contatto e bilancio della tensione superficiale.

L’angolo di contatto descrive l’angolo che si forma tra una superficie e un liquido (Fig. 4.3). E’ sempre misurato nel liquido o tangenziale alla superfice del liquido. Quando una goccia di acqua viene posta

su una superficie di teflon, adotta una forma rotonda, mentre su

una superficie di vetro pulito la forma è più piatta. Il vetro è

idrofilico, cioè attrae le molecole di acqua (c’è un’adesione tra le

molecole di vetro e acqua), mentre il teflon è idrofobico. Se invece

il vetro è sporco, ad esempio di residui di grasso, l’area di adesione sarebbe notevolmente ridotta rendendola poco aderente

(idrofobicità). Nei due casi quel che cambia è l’angolo di contatto .

FIGURA 4-1:TRASDUTTORE CON ELEMENTO

METALLICO PARZIALMENTE IMMERSO IN ACQUA

FIGURA 4.3:GOCCIA DI ACQUA SU

VETRO (NON MOLTO PULITO)

FIGURA 4-2: PIATTO DI WILHELMY


48 27/09/2021

FIGURA 4-4: ANGOLO DI CONTATTO PER UNA GOCCIA DI ACQUA SU UN MATERIALE IDROFOBICO E IDROFILICO

L’angolo è definito come l’angolo tra la superficie e la linea tangente alla goccia.

Le forze tra due materiali diversi sono dette di adesione.

Se l’angolo di contatto è compreso nell’intervallo [0°-90°] la superficie è bagnabile(idrofila) e la forza

di adesione è maggiore di quella di coesione, mentre, se è compreso tra 90° e 180° la superficie non è

bagnabile (idrofoba) e le forze di adesione sono minori di quelle di coesione.

Quando parliamo di tensione superficiale ci riferiamo alla relazione tra fluido e ambiente. A volte si

sfrutta l’esperimento di un materiale immerso in acqua sotto cui viene soffiata una bollicina d’aria.

FIGURA 4-5 - MATERIALI IMMERSI IN ARIA CON BOLLA DI ACQUA E IN ACQUA CON BOLLA D’ARIA

Anche qui abbiamo delle tensioni superficiali ma l’ambiente è diverso. Se osservo una goccia su due

materiali diversi, come teflon (idrofobico) e vetro pulito (idrofilo), noto che la goccia assume forme

diverse.

4.1.4 Equazione di Young-Dupree.

Rifacendo l’esperimento in acqua come spiegato precedentemente noteremo delle forme diverse. Nel

caso del vetro, che è molto affine all’acqua, la bolla si compatterà per permettere un maggior contatto

di acqua con il vetro.

Preferiamo misurare in acqua, perché sul materiale la goccia tende ad evaporare. Prendendo il caso

della goccia su vetro di prima facciamo il bilancio di forze di tensione superficiale (dirette sempre dal

punto di contatto e tangente alla la superficie), ottenendo: cos

cos

GA WG WA

WG GA WA

= +

= −


49 27/09/2021

L’angolo di contatto viene utilizzato per caratterizzare la bagnabilità dei materiali. È importante usare

gocce piccole, in cui le forze predominanti sono quelle di tensione superficiale.

Capillarità e gocce da una pipetta

Quando un capillare viene inserito in acqua, l’acqua sale nel tubicino per tensione superficiale,

soprattutto se il tubo è idrofilo, poiché l’acqua preferisce stare a contatto con il tubo piuttosto che

con l’aria. Quindi sono le forze adesive tra vetro e acqua che fanno salire il liquido.

Ciò succede finché la forza peso dell’acqua dentro il tubicino è uguale alla forza di tensione

superficiale.

Nel caso del mercurio, che non aderisce alle superfici avremo un comportamento inverso, perché

è molto elevata e mercurio e’ molto denso (=13600 kg/m3). Osserviamo l’equilibrio del caso

dell’acqua:

Se vogliamo ricavare la pressione, sfruttiamo l’equazione di idrostatica.

P gh g = =4 cos

d g

4cos

d

=

Di solito viene considerato un angolo θ pari a zero, per cui: 4

Pd

=

Si evince che l’altezza è inversamente proporzionale al diametro, perciò è influente poiché la

quantità di fluido è piccola.

Esercizio:

Consideriamo un capillare e facciamo i calcoli riportati sopra nel caso in cui

3

mN d=300μm; γ=72 ; =1000

m

Kg

m

FIGURA 4-7: -A CAPILLARE PARZIALMENTE IMMERSO IN ACQUA, B) - CAPILLARE PARZIALMENTE IMMERSO IN MERCURIO

2

: : Lcos dcos4

g

dF mg h g F

h

= =

2d

4g = d cos

4 cos4 cos

.LD

hdg N Bond

= =


50 27/09/2021

3

6

3

6

4 72 100.098 9.8

300 10 9.8 1000

4 72 10960 7.33

300 10

h m cm

P Pa mmHg

−

−

−

−

= = =

= = =

Osserviamo il fenomeno di una goccia che esce dal contagocce di una pipetta, ad esempio per le

medicine. Infatti alcune medicine vengono dosate a gocce proprio perché la grandezza non è casuale

ma è sempre la stessa, poiché dipende dalla tensione superficiale. Nel momento in cui si forma la

goccia essa rimane coesa alla pipetta finché la forza di gravità bilancia la tensione superficiale, poi

cade.

Forza gravità:

3

34

3 2 6goccia gocciam g gV g g

= = =

Forza tensione superficiale: cos cosL d =

Il parametro L indica il contatto, ovvero la circonferenza del tubo: d .

Nel momento in cui la goccia si stacca =0.

g 3

6 =

3 6

d

d

g

=

Nella realtà la goccia è leggermente più piccola del valore teorico perché quando cade rimangono

alcune molecole attaccate al tubo: aggiungeremo quindi un fattore di correzione anche detto Fudge

Factor: 80%reale teorica =

4.2.1 Legge di Laplace per le gocce

Nel caso delle gocce la tensione superficiale è bilanciata dalla pressione interna, questo accade solo

per piccolissime quantità di fluido.

Ipotizziamo di sezionare a metà una goccia ed effettuiamo il bilancio di forze:

γe i

AP L P A

+ =2

r γ2e

P r+i

P = 2r

2γ

2γ

i eP P

r

Pr

− =

=

L’equazione di Laplace mette in relazione la pressione interna e il raggio di una

goccia. Più piccolo è il raggio, maggiore sarà la pressione interna. Inoltre, per

formare una sfera più piccola ci vuole una maggiore pressione (Pi).

FIGURA 4-9–SEZIONE DI

UN GOCCIA

FIGURA 4-8: GOCCIA DA UNA PIPETTA


51 27/09/2021

Embolia gassosa:

Ciò è di rilevante importanza negli alveoli, poiché, quando si espandono, aumentano il volume e la

pressione si riduce. Più piccolo è l’alveolo, più forza sarà necessaria perché dipende da r. Questo

processo è regolato da un surfattante a base di fosfolipidi, che riduce la tensione superficiale per

rendere possibile la respirazione. La concentrazione di surfattante presente è inversamente

proporzionale alla grandezza del singolo alveolo, così il basso valore di γ è compensato dal raggio

piccolo. I neonati prematuri necessitano di ausilio esterno per respirare poiché soffrono di mancanza

di surfattante e non hanno una forza sufficiente per fare espandere gli alveoli (sindrome di stress

respiratorio neonatale).

'''

3 4 2 1 ''

22

2 3

1 4 ''

' ''1 4

' ''1 4

1 1( ) ( ) 2

'

essendo nella stessa bolla

1 12

'

se P e avremo un embolo simmetrico

se P > > e avremo un embolo asimmetr

RR

P P P PR R

P P

P PR R

P R R

P R R

− − − = −

=

− = −

• = =

• ico

FIGURA 4-10: EMBOLI


52 27/09/2021

5 Flusso di massa

Introduzione e 1° legge di Fick

Le considerazioni sul trasporto di massa derivano dall’equazione di continuità. Essenzialmente, la conservazione di massa si riferisce alla massa totale di un sistema, mentre, i fenomeni di trasporto di

massa considerano una specie particolare. Quelli che trattiamo noi sono solo validi per specie diluite.

Il flusso di massa è un vettore già definito in termini di velocità e densità (Sezione 1.2.4). Per quanto

riguarda una specie molecolare, il flusso totale della specie B sarà la somma di massa di ogni molecola

B ×velocità diviso il volume medio per molecola, cioè:

1 1

* tempo

= = = = N

BB media B B i

iA

massaj v ndA V m v

area A vol N

Il flusso è di massa (della specie), espressa come 2/ ( )massa m s . La velocità della molecola dipende

dal suo moto, ed è la somma della velocità ‘libera’ (Browniano) ed eventualmente anche di quella

forzata, dovuta per esempio a un gradiente di pressione (moto convettivo). Aggiungeremo un termine

specifico per la parte convettiva nella Sezione 5.5.

La velocità media è la somma vettoriale di tutte le velocità diviso il numero di molecole B.

1 = → =N

Bmedia i B B Bmedia

i

V v j VN

A questo punto possiamo scrivere il flusso massico totale di un sistema che contiene più specie:

... ... = + + + = + + +A B C A Amedia C Cmedia B Bmediaj j j j V V V

cioè:

( )Flusso di massa= Flusso di massa molecolare

Spesso faremo riferimento a molecole o moli. Per esprimere in moli usiamo il peso molecolare:

moli=massa (in g)/Peso molecolare

Sarà quindi sufficiente dividere per il peso molecolare per ottenere la conversione.

/ / / ... ...

...

= + + + = + + +

= + + +

A BA mol A B mol B C molC Amedia Cmedia Cmedia

mol A mol B mol

A Amedia B Bmedia C Cmedia

CJ j P j P j P V V V

P P P C

C V C V C V

Allora J maiuscolo è il flusso espresso come moli per unità di area e tempo.

Il flusso di molare ‘libero’ è un fenomeno di trasporto regolato dalla legge di Fick, nello specifico dalla

prima legge di Fick, che esprime l’equazione costitutiva per una specie diluita, con concentrazione C.

CJ D D C

x

= − = −

Con J indichiamo il flusso molare, ed e’ un vettore, D è una costante di diffusione e C è il gradiente

di concentrazione della specie in considerazione (scritto così abbiamo supposto D costante). Il segno


53 27/09/2021

negativo della formula fa riferimento al gradiente, poiché il flusso andrà da zone con maggiore

concentrazione a zone con minore concentrazione.

1 2

1 2

c cC

x x x

−=

−

Il moto delle molecole è di tipo Browniano, ovvero avremo una diffusione non forzata di tipo

randomico. In presenza di una differenza di concentrazione nello spazio, le molecole si diffondono per

massimizzare l’entropia, che è sinonimo di disordine. All’inizio le molecole sono tutte concentrate in

una zona, poi diffondono massimizzando l’entropia, mescolandosi.

Seconda legge di Fick

Immaginiamo adesso un sistema con volume fisso, in condizioni stazionarie, in cui vale la legge di

conservazione di massa e in cui la concentrazione della specie C varia. Significa che la massa totale del

sistema è costante, ma la concentrazione di C può variare (cambia il numero di molecole).

A parole, la velocità di aumento di moli di C

(moli/tempo) è’ uguale al numero di moli di C che entrano per secondo meno il numero di moli di C

che escono per secondo. Considerando solo direzione x:

Aumento di molecole C

per unità di tempo +

= −

in outx x x

J A J A

Dal momento che, dal punto di vista molecolare, potremmo avere una reazione chimica in cui C viene

trasformato cosicché la concentrazione di quella data molecola vari, si aggiunge una variabile di

produzione (+P) ed una di riduzione dovuta a reazioni di consumo (-R).

Molecole prodotte (o ridotte)

s, e lo aggiungeremo all’espressione sopra.

Ricordiamo però che vi deve essere un bilancio di massa totale.

La concentrazione è definita come: n°moli

Concentrazione= xA

. Noi vogliamo osservare l’aumento di

concentrazione nel tempo.

n°moliAumento Concentrazione nel tempo=

x A t x A+

− =

in outx x x

J A J A.

Dividendo per x A esprimeremo l’equilibrio non più come un aumento o diminuzione di molecole ma di concentrazione. In questo caso stiamo trascurando le eventuali +P e –R.

x

−=

xin xoutJ JdC

dt

FIGURA 5-1: VOLUME FISSO SOTTOPOSTO A FLUSSO DI

MOLECOLE IN INGRESSO E USCITA IN DIREZIONE X.


54 27/09/2021

Per 0x → ovvero volume e distanza infinitesima, otterremo la seconda legge di Fick: C J

t x

= −

Ricordiamo ancora una volta che la legge di conservazione (continuita’) vale solo per la massa e non

per specie molecolari in un sistema multicomponente.

Combinando la 1° legge di Fick si ottiene la 2° legge di Fick per una specie con D constante.

2

2

2( ) ( )

C C CD D

t x x x

CJ D C D C

t

= − − =

= − = − − =

(se D varia nello spazio bisogna aggiungere un termine)

NB: Se siamo in condizioni stazionarie / 0 =C t e il Laplaciano della concentrazione è zero. In

questo caso, in coordinate Cartesiane unidimensionali (in solo x) sia il flusso che il gradiente sono

costanti.

2

20 costante

C C C CD D D J

t x x x x

= − − = = → − = =

In coordinate sferiche (simmetriche) la condizione di stazionarietà implica un flusso proporzionale a 1/r2:

2 2

2

20 costante

C D CD C r

t r r r

C Cr

t r

= =

= → =

Generalizzando e introducendo i termini di consumo e produzione:

2CD C P R

t

= + −

5.2.1 La forma integrale della legge di Fick

Per esprimere la forma integrale ci sono due modi:

1. Considero un volume fisso con concentrazione che cambia punto a punto: ci sono flussi che

entrano ed escono dalla superficie. Ad ogni punto definiamo

numero di molecole che passano per quel punto al secondoJ ndA =

moli tot che entrano per Gauss

A Vol

J ndA JdVols

= − = −

Nel caso particolare in cui:

• Flusso sempre normale alla superficie

• Flusso costante

Possiamo scrivere che:


55 27/09/2021

moli tot che entrano

moli moli tot che entranosiccome C=

Vol A

JAs

dCdVol JdA

Vol s dt

= −

= = −

dCVol JA

dt→ = −

2. Prendiamo l’equazione di Fick C t J = − e integriamola sul volume:

olume olume

Vol Vol

CdV JdV

t

= −

e ricordando la legge di Gauss

V A

dV dA = , esprimeremo il nostro integrale sul volume chiuso come uno di superficie:

olumeJdV J dA JA− → − = − .

Il flusso è perpendicolare alla superficie

Se consideriamo un flusso costante, anche / C t è costante:

olume

Vol

CdV JdA

t

= −

, per cui olume

CV JA

t

= −

= − olumeVdCJ

dt A

Quindi un flusso costante che esce da un volume chiuso comporta una

diminuzione con rate costante di concentrazione nel volume. Non

avremmo potuto fare questa assunzione senza l’ipotesi che J fosse costante nell’area. Quest’espressione viene ad esempio usata in ambito fisiologico, per calcolare la variazione in un dato ambiente di concentrazioni.

Ordine di reazione

Come abbiamo già osservato la concentrazione scalare, dipende dalle due leggi di Fick e crea un

gradiente di flusso (un vettore) in un volume Euleriano. Teniamo ora in considerazione i termini che

indicano le reazioni chimiche di produzione e reazione.

2CD C P R

t

= + −

Se consideriamo solo la parte di reazione (o consumo):

dCR

dt= −

FIGURA 5-2: CONCETTO DI FLUSSO

COSTANTE DA UN VOLUME FISSO


56 27/09/2021

Se ho una reazione A B→ la velocità della reazione è dc concentrazione

dt s= .

Perciò .B .Aconc conc

s s= − ; Velocità con cui aumenta B = Velocità con cui diminuisce A .

Quando la velocità della reazione è costante nel tempo e indipendente dalla concentrazione, allora si

tratterà di una reazione di ordine 0 : 0 3

moli

dA dBA K

dt dt m s

− = = (velocità costante).

Ciò vuol dire che l’aumento della concentrazione sarà lineare nel

tempo

B Kt = +

dove è una costante di integrazione. Ipotizzando che a t=0, B=0,

avremo che la costante di integrazione 0 = .

FIGURA 5-3: REAZIONE DI ORDINE ZERO

Quando la velocità dipende dalla concentrazione di una delle specie, 1 1 dA dt K A K s− = → ,

allora si è in presenza di una reazione di primo ordine .

Questa reazione dipende da quanto reagente abbiamo a disposizione; la concentrazione aumenta in

maniera esponenziale.

dAA

dt ;

1 con -k= costante

dAkA

dt t= −

integro ln cost ktdAkdt A kt A e

A

−= − → = − + → =

FIGURA 5-4: REAZIONE DI 1° ORDINE

Una reazione di secondo ordine dipenderà da due concentrazioni: dAK A B

dt=

Esistono anche reazioni di ordine superiore.


57 27/09/2021

5.3.1 Equazione di Michaelis-Menten

La maggior parte delle reazioni biomediche segue però

la legge di Michaelis-Menten.

max

max

max

se C<<K Ordine 1

se C>>K Ordine 0

m

m

m

m

v CdC

dt K C

vdCA

dt K

dCv

dt

=+

• =

• =

Km e’ la costante di Michaelis Menten per la reazione e corrisponde alla concentrazione quando la

velocita’ (vmax/2)e meta della velocita massima (vmax).

→ Derivazione dell’equazione di Michaelis-Menten

Consideriamo una generica reazione catalizzata da enzimi: 𝐸 + 𝑆 ⇆ 𝐸𝑆 ⇆ 𝐸 + 𝑃

In cui E rappresenta la concentrazione dell’enzima, S la concentrazione di substrato e P la concentrazione di prodotto. Secondo questo meccanismo, la reazione enzimatica prevede una prima

reazione di associazione tra E e S a formare il complesso ES, seguita da una seconda reazione in cui il

complesso si dissocia rilasciando l’enzima libero e il prodotto.

Sotto l’ipotesi di quasi equilibrio, il complesso enzima substrato è considerato in equilibrio con l’enzima libero e il substrato: tale situazione di equilibrio non è disturbata dalla formazione del prodotto. Questo vuol dire che la velocità di formazione del prodotto a partire dal complesso è più

piccola rispetto alla velocita con cui il complesso si scinde a formare E e S. Possiamo pertanto scrivere

considerare la seconda reazione come irreversibile e riscrivere la reazione come: 𝐸 + 𝑆 ⇆ 𝐸𝑆 ⟶ 𝐸 + 𝑃

Ogni reazione è caratterizzata da: A) una costante specifica della velocità diretta (da E+S a ES) Kf, B)

una costante specifica della velocità inversa (da ES a E+S) Kr e C) la costante specifica della reazione

catalitica KCAT.

Date tali costanti, possiamo scrivere le equazioni differenziali che descrivono la dinamica di enzima,

substrato, complesso e prodotto: 𝑑𝐸𝑑𝑡 = −𝐾𝑓 𝐸 𝑆 + 𝐾𝑟 𝐸𝑆 + 𝐾𝐶𝐴𝑇 𝐸𝑆 𝑑𝑆𝑑𝑡 = −𝐾𝑓 𝐸 𝑆 + 𝐾𝑟 𝐸𝑆 𝑑𝐸𝑆𝑑𝑡 = −𝐾𝑓 𝐸 𝑆 − 𝐾𝑟 𝐸𝑆 − 𝐾𝐶𝐴𝑇 𝐸𝑆 𝑑𝑃𝑑𝑡 = 𝐾𝐶𝐴𝑇 𝐸𝑆

FIGURA 5-5: REAZIONE MICHAELIS MENTEN


58 27/09/2021

All’istante iniziale la concentrazione di enzima E0 = E + ES (cioè l’enzima è in parte libero, in parte associato al complesso).

In condizioni di equilibrio termico, la velocita di produzione di complesso è uguale alla velocità di

scissione del complesso in enzima libero e substrato: 𝐾𝑓 𝐸 𝑆 = 𝑘𝑟 𝐸𝑆 𝐾𝑓 (𝐸0 − 𝐸𝑆) 𝑆 = 𝑘𝑟 𝐸𝑆

Da cui derivo 𝐸𝑆 = 𝐸0 𝑆𝑆 + 𝑘𝑟𝑘𝑓

A questo punto, definendo la costante di dissociazione per il complesso enzima-substrato KM,

otteniamo 𝐸𝑆 = 𝐸0 𝑆𝑆 + 𝑘𝑀

Possiamo quindi calcolare la velocità di formazione del prodotto 𝑣 = 𝑑𝑃𝑑𝑡 = 𝑘𝐶𝐴𝑇 𝐸𝑆 = 𝑘𝐶𝐴𝑇 𝐸0 𝑆𝑆 + 𝑘𝑀 = 𝑉𝑀𝐴𝑋 𝑆𝑆 + 𝑘𝑀

Tempo di diffusione e l’equazione di Stokes-Einstein

Osserviamo D, la costante di diffusione: ricordiamo intanto che per passare da moli a molecole bisogna

dividere per il numero di Avogadro, però conviene sempre ragionare in moli. Le unità di misura di D

sono m2/s.

Il coefficiente di diffusione è specificato per ogni mezzo. La costante di diffusione di ossigeno

molecolare nell’aria a 20°C e’. Se un materiale diffonde in un mezzo diverso, la D sarà ovviamente

diversa.

Ad esempio, l’acqua è più densa dell’aria:

2

9 2 in acqua 3 10OD m s

−= → 1000 volte più piccolo

Indichiamo anche il tempo caratteristico di diffusione: 2 2distanza L

tD D

= =

La D può essere stimata dall’equazione di Stokes-Einstein che considera la diffusione di una molecola

sferica con raggio r. Dato che la maggior parte delle molecole non sono sferiche, consideriamo un

raggio equivalente, noto come il raggio di Stokes o, quando si tratta di diffusione in acqua ‘raggio idrodinamico’.

K= costante di Boltzmann 1.38054×10-23J

K; T= temperatura in Kelvin;

KT= energia termica, = viscosità del mezzo.

Ad esempio, ossigeno nell’acqua a 37° C ha un Stokes radius di circa 121 pm.


59 27/09/2021

239 2

12 3

1.38 10 3101.88 10 m/s

6 6 121 10 10

−−

− −

= = =

KT

Dr

5.4.1 Concentrazioni soluto e solvente

In un bicchiere di acqua con un cucchiaio di sale in un lato, anche senza mescolare, avremo un flusso

di acqua verso il sale e un flusso di sale nel resto del bicchiere, per cui il flusso massico totale sarà zero.

Però, di solito, ci riferiamo al flusso di una specie sola (sempre quella meno concentrata), che

ovviamente non deve essere nullo.

Consideriamo un beaker d’acqua e inseriamo un colorante o

inchiostro: le molecole si muoveranno finché tutta la

bacinella sarà colorata.

2dCD C

dt= =0

Il flusso in acqua sarà: 21 H O/coloreJ

CD

x

=

D è la costante di diffusione dell’acqua nell’inchiostro, è uguale per le due specie poiché, la costante

di diffusione di A in B è uguale a quella di B in A. Infatti avremo un flusso d’acqua di inchiostro che

bilancia J1.

2 22 colore/H O H O/coloreJ

= − =

acquacoloreCC

D Dx x

5.4.2 Concentrazione del sale nel mare e dell’acqua nel mare nel sale

Calcoliamo la concentrazione d’acqua in un litro d’acqua in moli.

21 di H 1L O Kg→ Il peso molecolare dell’acqua è: 2H 18O

PM =

2H

100055.5

18O

M moliC

L L

= =

2

3H 3

55.5 10O

moliC

m

=

Calcoliamo la concentrazione di sale nel mare sapendo che salt 0.6MC = . Quindi in un beaker C

del sale va da 0.6 a 0 M tra due punti estremi, nel caso dell’acqua da 55.5 a 55.5-0.6=54.9 M tra gli

stessi due punti. Per questo ci interessa la variazione di concentrazione del soluto, perché è più facile

da misurare/percepire. Quando parliamo di trasporto di massa è sempre riferito a flusso del soluto,

anche se abbiamo anche il flusso del solvente nella direzione inversa.

FIGURA 5-6: FLUSSO DI INCHIOSTRO E DI ACQUA


60 27/09/2021

Diffusione e convezione

Quando le molecole si muovono in maniera randomica, esse sono regolate dal fenomeno della

diffusione. La diffusione libera massimizza l’entropia; possiamo però forzare il moto di alcune

molecole imponendo una forza esterna come un campo di moto: è questo il caso della convezione o

piu’ correttamente advezione4. Consideriamo un modello con entrambi i fenomeni.

Intanto ricordiamo che il flusso di massa per una specie molecolare in generale è dato da:

= =

media media

mol

J V CVP

(Per ricordare che e’ un vettore, v e’ scritto come V . J Può essere diviso in due parti:

1) Flusso diffusivo = − DJ D C

2) Flusso convettivo ( ) ( ) 3

moli Velocità concentrazione = VC

CJ

m s

=

Ricaviamo la seconda legge di Fick considerando entrambi i flussi e supponendo D constante.

( ) ( )VCC D

CJ J J D C

t

= − = − + = − −

2(V C+C V)+DC

Ct

= −

Dato che trattiamo sempre fluidi incomprimibili, la divergenza della velocità è zero:

2D V C R/PC

Ct

= −

oppure

2D R/PDC

CDt

=

5.5.1 Il numero di Peclet

Analizziamo ora il profilo di concentrazione in condizioni stazionarie, in coordinate cartesiane

unidirezionali considerando sia la diffusione libera che la convezione:

2

2 xx

C J d C C C vCv D v C

t x x x x x x

= − = − − + = − +

Consideriamo un sistema in cui il flusso diffusivo e convettivo si oppongono. Il flusso convettivo è in

direzione x.

@ x=0; C=0;

@ x=L; C=C ;L

Verifichiamo:

4 Viene usato quasi sempre il termine convezione, che e’ piu’ correttamente associato con calore. Advezione, sarebbe il movimento di molecole causato da una velocita; imposta esterna.

FIGURA 5-7: SISTEMA DI RIFERIMENTO


61 27/09/2021

2

20xVC C

x D x

− =

2 0 0x x

V V

D D → − = → − =

0; ;xV

D → = =

C(x) Ae xV

xD B= + . Applicando la prima condizione al contorno:

0 A=-B

C( ) e (e 1)x xV V

L LD D

A B

x A A A

+ = → = − = −

C =A(e 1)

C

(e 1)

C C C( ) e e 1

(e 1) (e 1) (e 1)

x

x

x x

x x x

VL

DL

L

VL

D

V Vx x

L L LD DV V V

L L LD D D

A

C x

−

=−

= − = −

− − −

L’equazione si può scrivere in una forma adimensionale e più compatta indicando il numero di Peclet.

Adimensionalizzazione:

0

0 0

0

0 0

2 2

2 2

,

, ,

x C

L C

x L C C dx d L dC d C

CdC d d dC dC d

dx d dx d dx d L

C Cd d dv D

d L d L d L

d d Lv d dvL D

d d D d d

= =

= = → = =

= → =

=

→ = = =

2

tdiffusionex

convezione

x

LV DPe L

LD t

V

= = = cosicché: ( ) 1

1

Pex

L

Pe

L

C x e

C e

−=

−.

Il numero di Peclet indica quale dei due tipi di moto prevale:

o Se Pe<1 il tempo di diffusione è minore del tempo di convezione, perciò prevale il moto

diffusivo, e le molecole tendono a spostarsi verso x=0.

o Se Pe 0→ abbiamo un andamento lineare perché c’è solo la diffusione.

Mano a mano che aumenta Pe, la diffusione diventa sempre meno importante. Nel limite di

Pe→abbiamo una discontinuità perché, data l’elevata velocità, tutte le molecole sono spinte verso x=L.

FIGURA 5-8 - NUMERO DI PECLET


62 27/09/2021

Diffusione libera di elettroliti

L’equazione di Fick è il più semplice dei fenomeni di trasporto. Esso è, infatti, un processo passivo che avviene contro gradiente di concentrazione, nell’ipotesi che soluto non sia un elettrolita, cioè non presenti cariche ioniche quando in soluzione.

La diffusione libera di elettroliti è infatti più complessa di quella dei non elettroliti. Le due differenze

piu importanti sono:

a) i soluti carichi sono soggetti a forze elettriche, quindi la forza motrice del trasporto non sarà il

potenziale chimico, quindi la differenza di concentrazione, ma il potenziale elettrochimico, cioe’ il flusso di ioni sotto l’influenza sia del gradiente di concentrazione sia di un campo elettrico.

b) una soluzione stabile di elettroliti contiene almeno un anione e un catione (uno ione positivo e

uno negativo), quindi ci sono sempre almeno due specie di soluti.

L’equazione che descrive i fenomeni di elettrodiffusione e’ nota come Equazione di Nernst-Planck: 𝜕𝑐𝜕𝑡 = −∇ ∙ 𝐽 = −∇ ∙ (J𝐷 + J𝐶 + J𝐸) = −∇ ∙ [D∇c − v̅c + 𝐷𝑧𝑒𝑘𝐵𝑇 𝑐 (∇𝜑 + 𝜕𝐴𝜕𝑡 )]

In cui JE e’ il flusso dovuto al campo elettrico o magnetico. Questa volta la specie chimica ha una

carica elettrica, quindi e’ un ione, z e’ la carica dello ione, e e’ la carica elementare, T e’ la temperatura, kB e’ lacostante di Boltzman, v il vettore della la velocita’ del fluido, 𝜑 il potenziale

elettrico e A il vettore di potenziale magnetico. Nel caso di assenza di termini convettivi ( v = 0) e in

condizioni elettrostatiche, l’equazione che si ottiene è: 𝜕𝑐𝜕𝑡 = −∇ [D∇c + 𝐷𝑧𝑒𝑘𝐵𝑇 𝑐 (∇𝜑)]

Si noti che, nel caso in cui la specie chimica non presenti cariche libere, l’equazione di Nernst-Planck

coincide con l’equazione di Fick.

Trasporto attraverso la membrana cellulare

La membrana cellulare à composta da un doppio strato di lipidi (fosfolipidi), con teste idrofile e code

idrofobe, intervallato da proteine di membrana tra cui le acquaporine, i recettori a canale e le pompe

ioniche. Possiamo distinguere diverse modalità di trasporto:

i. Trasporto passivo. Il passaggio di sostanze attraverso la membrana cellulare è

essenzialmente regolato dalla diffusione attraverso la parete lipidica grazie a gradienti di

concentrazione. Riescono a passare con facilità solo molecole piccole piuttosto

idrofobiche e di piccole dimensioni, come ossigeno, anidride carbonica e steroidi.

ii. Trasporto facilitato. Le sostanze idrofiliche non possono passare la parete doppio lipidica

perché tendono ad essere insolubili nella zona centrale della membrana. Per facilitare il

trasporto di molecole idrofiliche esistono vari tipi di proteine di membrana, ad esempio

le acquaporine che modulano il passaggio di acqua. La famiglia di trasportatori di

molecole di glucosio sono le GLUT (di cui quello sensibile all’insulina è il GLUT4).


63 27/09/2021

iii. Trasporto attivo. Alcune specie, tra cui i più noti Na+ e K+ , vengono trasportate contro un

gradiente di concentrazione. La cellula utilizza le sue risorse energetiche (ATP) per

mantenere una concentrazione di K citoplasmica maggiore di quella extra-cellulare.

5.7.1 Coefficiente di Partizione

Come accennato, anche il livello di solubilità di una molecola condiziona la

facilità di trasporto. Se ad esempio versiamo del sale in olio e in acqua,

sappiamo che il sale è molto solubile in acqua perché è polare, perciò la

concentrazione di sale sarà diversa nei due ambienti e quindi (Fig. 5.10)

Analogo discorso può essere fatto in aria e in acqua per quanto riguarda

l’ossigeno.

La differenza di concentrazione fra due ambienti può essere

determinata tramite il coefficiente di partizione:

A

AB

B

C

C = Costante (perché devo avere equilibrio) e adimensionale.

Questo coefficiente dipende da:

• Tipi di Molecole;

• La natura della due fasi;

• La temperatura.

Nel caso dell’ossigeno che si scioglie nell’aria e nell’acqua abbiamo una costante molto simile: costante di Henry, H. In questo caso la concentrazione di gas nell’aria viene espressa come una pressione parziale. E’ quindi l’equivalente di perché’ concettualmente è la concentrazione di un gas diviso la concentrazione del gas in un altro mezzo. H viene espressa in diversi modi e con differenti

unita’ di misura. Bisogna stare attenti a come viene definito e che unita’ vengono usate.

FIGURA 5.10: SISTEMA CON UNA

FASE D'ACQUA E UNA D'OLIO.

2

2

2

2

2

2

(O nell'aria) * ;Oppure H=mmHg

[ ]

[ ] ;Oppure H=

(O nell'aria) * mmHg

p

H O

H O

p

P L atm LH

CO mol mol

CO mol molH

P L atm L

=

=


64 27/09/2021

Ipotizziamo ora di voler misurare la concentrazione all’interno della membrana fosfolipidica, ma possiamo misurare solo la concentrazione dentro e fuori. Inoltre, consideriamo che lo spessore della

membrana sia molto piccolo, per cui i rispettivi volumi citoplasmici ed extracellulari siano molto grandi

con concentrazione costante nello spazio. In condizioni stazionarie, la differenza di concentrazione

attraverso la membrana è costante per cui il gradiente è lineare.

La membrana cellulare confinerà con acqua, perciò la concentrazione nella membrana nelle zone

adiacenti al liquido saranno:

21 21 MC

M MA MAC C C = =

21 MC C C poiché c’è il passaggio da diversi ambienti.

Per la condizione di stazionarietà 2

20

dC CD

dt x

= =

, per cui il gradiente è una retta.

1 1M AMC C= ; 2 2M AMC C= ; C

J Dx

= −

Anche J

D− è costante visto che

dC

dx è costante cost

dC J

dx D→ = − = .

Dovendo ricavare 1 2( ) ( ,C , )C x f C= , è possibile ricavare la concentrazione in ogni punto della

membrana, conoscendo la concentrazione fuori e dentro la membrana e il coefficiente di partizione,

ovvero l’andamento di CM in funzione della lunghezza della membrana.

( ) (costante di integrazione) J

C x x KD

= − + 1

2

x=0 C=

C=

AM

AM

C

x L C

→= →

Condizioni al contorno

1 1C ( ) CAM AM

JK C x x

D = → = − +

Dato JC

Dx

= −

2 1

2 1 1 21 1

( )

( ) ( )( ) C C

AM

AM AMAM AM

C CJ C

D x L

C C x C C xC x

L L

−− = =

− −

= + = −

FIGURA 5-9 - ANDAMENTO DELLA

CONCENTRAZIONE IN UNA MEMBRANA

CELLULARE


65 27/09/2021

( )1 2C C D DJ C

L L

− = =

Dove D

L

è costante ed è chiamata permeabilità della membrana ; vale la seguente regola:

MA

AM

DD

L L

=

La permeabilità è misurata in m/s, stessa unità di misura della velocità, infatti esprime quanto è

efficace la membrana per trasportare una certa molecola. Cambia tantissimo da molecola a molecola

e da cellula a cellula ed è una proprietà non-costitutiva, perché dipende dallo spessore della

membrana, dal coefficiente di diffusione e dal coefficiente di partizione (caratteristiche fisiche/qualità

della membrana). (Vedere anche Sezione 6.3.4)

Esempi di trasporto di massa

5.8.1 Applicazione della forma integrale della Legge di Fick: il modello quasi-stazionario

Consideriamo l’esempio di due compartimenti separati da una membrana cellulare, con C1> C2. Dato

che la membrana è molto sottile, non è possibile misurare la concentrazione nella membrana.

Vorremmo sapere come varia la concentrazione nei due compartimenti, considerando che nella

membrana il gradiente di concentrazione (e quindi il flusso) rimanga costante. Possiamo fare questa

assunzione di quasi-stazionarietà perché, essendo molto sottile, il tempo di diffusione nella membrana

è molto minore del tempo di variazione delle concentrazioni nei volumi. Ciò significa che posso

considerare condizioni stazionarie nella membrana con un flusso costante pari a:

( )1 2 J= ( ) ( )D

C t C tL

−

Facciamo delle assunzioni:

• i 2 volumi sono uguali (V1=V2).

• Sapendo che il sistema è chiuso, potremo dire che il numero di molecole è costante.

• Come già detto, siccome il sistema è quasi stazionario, C1 e C2 cambiano nel tempo, ma non

nello spazio.

Vogliamo trovare un’equazione di conservazione, essendo il sistema chiuso:

1 1 2 2t m mN V C V C V C= + + Per la sottigliezza della membrana e per la condizione di quasi

stazionarietà, sia il tempo trascorso nella membrana che il numoero di molecole nella membrana ad

ogni istante sono trascurabili e quindi l’ultimo termine è trascurabile.

FIGURA 5-12: VARIAZIONE DI CONCENTRAZIONE

IN UN SISTEMA DI 2 VOLUMI SEPARATI DA UNA

MEMBRANA SOTTILE


66 27/09/2021

1 2 1 2

10

( ) Vt

t

N C C V V V

N C V

= + = =

=

La condizione iniziale è:

2 1 01

1 1 2 2 01 1

2 01 1

@ t=0, C 0,

( ) ( ) (t. iniziale)

C ( ) ( )

t

C C

N V C t V C t C V

t C C t

= =

= + =

= −

1 2

1 22 1

0 0 conservazione

( ( ) ( ))

tdN dC dC

dt dt dt

dC dC DV V JA C t C t A

dt dt L

= = + = →

− = = = − −

JA olume

CV

t

= −

e ricombinando tutti i risultati in funzione di C1(t):

( )11 01 1

( )( ) ( )olumeVC t D

C t C C tt A L

− = − +

( )11 01

( )2 ( )olumeVC t DC t C

t A L

− = −

( )1

1 01

( )

2 ( ) olume

C t D At

C t C L V

= −

−

Integrando ( )

0

1

1 01 0

( )

2 ( )

C t

olumeC

C t D At

C t C L V

= −

−

2

011( ) 1 ;

2 2olume

D At

L V olumeC LVC t e

D A

− = + =

(Figura 5.13)

Il rapporto olume

AV non si divide per non confonderlo con la lunghezza caratteristica dei volumi. L è la

lunghezza della membrana.

Il modello è valido solo se il tempo di diffusione nella membrana è molto minore del tempo

caratteristico del sistema (esponente dell’equazione sopra).

2

2 2olume olumeV L VL

LD D A A →

Ovvero, la lunghezza della membrana è molto minore della lunghezza dei volumi (le aree sono uguali).


67 27/09/2021

FIGURA 5-13: ANDAMENTO DELLE CONCENTRAZIONI

5.8.2 Punto sorgente [Approfondimento]

Uno dei modelli classici del trasporto di massa e’ la diffusione da un punto sorgente; riguarda infatti

l’andamento della concentrazione di una molecola nello spazio e nel tempo quando in un determinato punto a t=0 viene deposto una determinata quantità di moli Mo della molecola. Viene applicata la

conservazione di massa (o numero di moli).

Consideriamo un sistema adimensionale, in cui le variazioni sono solo in x e t.La concentrazione e’ in mol/m.

Le condizioni al contorno e di conservazione sono:

0

0

@ 0, 0 ( ,0) 0

@ 0, , ( , ) 0

( , ) 2 ( , )

t x C x

t x C t

C x t dx M C x t dx

+ +

−

= → = → =

= =

L’equazione e’ la solita…

2

2

C CD

t x

=

La soluzione e’: 2

4( , )4

x

o DtM

C x t eDt

−=

In coordinate sferiche, in condizione di simmetria, lo stesso ragionamento ci da:

2

43/2

( , )8( )

r

o DtM

C r t eDt

−=

In figura viene riportato l’andamento del profilo di concentrazione lungo x in funzione del tempo. Via

via che passa il tempo la sostanza diluisce nello spazio. Modelli di questo tipo vengono utilizzati per

predire la concentrazione di inquinanti e traccianti.


68 27/09/2021

FIGURA 5-10: ANDAMENTO DELLA CONCENTRAZIONE PER PUNTO SORGENTE IN COORDINATE CARTESIANE (X).

5.8.3 Consumo di un nutriente

Consideriamo come esempio di diffusione e reazione il consumo di glucosio all’interno di uno sferoide cellulare.

Per un sistema sferico il Laplaciano è

22 2

2 2 2 2

1 1 1sin

sin sin

C C CC r

r r r r r

= + +

Non considereremo gli ultimi due termini perché il sistema è simmetrico, e ci poniamo in condizioni

stazionarie. Infine, supponiamo un consumo di zero ordine.

2

2

C D Cr K

t r r r

= − siccome 0

dC

dt= la concentrazione varia solo in r.

2

2

D d dCK r

r dr dr

=

Le condizioni al contorno sono:

0@ , C=C

@ 0, 0

r R

dCr

dr

=

= =

FIGURA 5-11: SFEROIDE CELLULARE

Quest’ultimo è la condizione di simmetria. La condizione di simmetria è molto importante poiché non

avendo considerato variazioni in ed in , il glucosio deve diffondere simmetricamente ovunque,

per questo al centro il gradiente è nullo.


69 27/09/2021

2 2

2

dC Kd r r dr

dr D

r

=

3

1 1

22

2 2 0

2 20

, 0 per simmetria3

C=6 6

( ) ( )6

dC K rl l

dr D

Kr Kl l C R

D D

KC r C r R

D

= + =

+ → = −

= + −

Osmosi

Una forma particolare di trasporto di massa è l’osmosi, che consiste nel movimento di un solvente attraverso una membrana semipermeabile (con pori piccoli). Il solvente più noto è l’acqua, anche se l’osmosi avviene anche in altri fluidi.

L’esempio classico del fenomeno, viene illustrato con un tubo a U, in cui una membrana semipermeabile separa acqua pura da una soluzione acquosa (es NaCl, con concentrazione pari a

quella del mare, 0.6 M). All’equilibrio, la colonna di acqua salina (a destra in Figura 5.11) sale, perché le molecole di H20 attraversano la membrana dalla colonna a sinistra, poiché hanno un potenziale

chimico più elevato (spiegazione termodinamica). Si dice che le molecole vanno nel compartimento in

cui la concentrazione di H20 è minore. Questa spiegazione è scorretta, infatti lo spostamento, come

già detto, è dovuto a una maggiore potenza chimica di acqua e una maggiore pressione di molecole di

H20 sulla membrana rispetto a NaCl+H20. La presenza di un soluto nell’acqua diminuisce i legami tra le molecole, diminuendo così la potenza chimica del solvente puro. Questo spostamento genera anche

energia meccanica, che può essere utilizzato e trasformato. Raggiunto l’equilibrio, la differenza di

altezza corrisponde alla pressione osmotica: sarebbe la pressione che bisogna applicare alla colonna

destra per assicurare che H20 non passi da sinistra a destra. Anche se la pressione maggiore è quella

dell’acqua pura, si parla della pressione osmotica della soluzione NaCl+H20.

Importante notare che la pressione osmotica non dipende dal tipo di molecola, ma dal numero di moli.

La pressione osmotica, , è data dall’equazione di Vant-Hoff.

CRT =

FIGURA 5-12 – OSMOSI: RAGGIUNTO L’EQUILIBRIO LA COLONNA A DESTRA SALE


70 27/09/2021

R=8.31 J/mol.K, T in Kelvin, C = differenza di concentrazione di soluto tra i 2 compartimenti in

moli/m3.

Nel caso di sale a 0.6M, la concentrazione sarebbe 0.6 M per Na+ + 0.6 M per Cl-.

3

3(0.6 0.6) 10 310 8.31

.

mol JK

m mol K = + =3.09.106 Pa.

Quando si tratta di ambienti biologici (ad esempio cellula e spazio extracellulare) si possono

distinguere tre tipi di soluzione, in base alla concentrazione di soluto e quindi la pressione osmotica

rispetto ad una soluzione di riferimento. Il passaggio dell’acqua attraverso una membrana posta tra due ambienti dipenderà dal tipo di soluzione.

• SOLUZIONE ISOTONICA: La pressione osmotica fuori e dentro la cellula/organismo è la stessa

(soluzione fisiologica).

• SOLUZIONE IPERTONICA: La concentrazione di molecole esterna (o nella soluzione di

riferimento) è maggiore di quella interna, perciò la pressione osmotica dell’ambiente è

maggiore. Nel caso di una cellula, l’acqua esce dalla cellula e si “raggrinzisce”. • SOLUZIONE IPOTONICA: La concentrazione di molecole nell’ambiente o di riferimento è

minore. Per esempio quando la pressione osmotica esterna è minore rispetto a quella interna

di una cellula. L’acqua entra nella cellula e la membrana si “gonfia” (può arrivare anche a scoppiare). Questo per le cellule dei mammiferi.

NB: Le piante non hanno membrane mobili, bensì hanno una parete rigida ricca di cellulosa e non

possono cambiare forma. Quando la pianta è in ambiente secco l’acqua esce fuori, ma la cellula non cambia forma, diventa solo “flaccida” (si dice che si plasmorizza).

Nel nostro corpo l’osmosi è molto importante per mantenere l’omeostasi del corpo.

L’eccesso di pressione che porta ad un’eccessiva idratazione dei tessuti viene detto EDEMA (accumulo

di particelle nella parte terminale dei vasi perché l’acqua non ritorna).


71 27/09/2021

6 Trasporto di energia

Introduzione

Il trasporto di energia è fondamentalmente il trasporto di calore, poiché (in quasi tutti i casi) le altre

energie possono essere convertite ma non trasportate. Il trasporto di calore può essere libero

(irreversibile) o forzato (può anche essere reversibile, ma con un costo energetico). Il trasporto libero

di energia risulta in un aumento di entropia. Infatti troveremo diverse analogie tra il trasporto di massa

e quello di calore.

Utilizzeremo equazioni simili a quelle già viste; parleremo di certi parametri che esprimeremo così:

calore = J Joule

=calore/s =J/s= W Watts

Q

Q

=

2 2Q J m s W m= = , che sarebbe il termine per il flusso di calore, analogo ai flussi già visti e come loro

avrà la sua equazione costitutiva.

La velocità di accumulo di energia per unità di volume è:

3 3 3= calore = J = Q m s m s W m

Definiamo il calore specifico come la quantità di energia che serve per aumentare di 1 K un materiale

di 1 Kg. Per l’acqua c o cp =4200 J/(kg.K) a 20°C. Infatti dato che acqua come altri liquidi è

incomprimibile, il calore specifico e’ costante in condizioni isotermiche indipendente dalla pressione o volume.

NB. va bene anche °C perché in questo caso è un aumento di temperatura e non la temperatura

assoluta.

Q mcdT VcdT= = Questo è l’aumento di calore nel materiale (J).

vQ cdT= Indica invece l’aumento di calore per unità di volume (J/m3).

dTQ mc

dt= Aumento di calore per secondo (W)

Esistono quattro modi per il trasporto di calore: conduzione, irradiazione, cambio di stato

(evaporazione) e convezione. L’evaporazione è considerata una forma di trasporto di calore e,

nell’uomo, è un meccanismo di scambio energetico importante (la sudorazione). In questo capitolo il

trasporto del calore viene considerato dal punto di vista teorico e considerando lo scambio di energia

tra essere viventi e il loro ambiente.

6.1.1 Accenno alla regolazione termica negli esseri viventi

La termoregolazione è la capacità di un animale di regolare la temperatura. Esistono diversi tipi di

termoregolazione:

• Omeotermia: temperatura corporea costante che non dipende dall’ambiente, es. mammiferi

(sangue caldo). Gli animali appartenenti a questo gruppo devono continuamente generare

calore, consumando energia per permettere a proteine ed enzimi di lavorare sempre alla

temperatura ottimale. Sono sempre attivi/svegli.

• Pecilotermia: temperatura corporea costante ma variabile in diversi periodi che cambia con

l’ambiente (sangue freddo). A temperature basse sono meno attivi.


72 27/09/2021

• Eterotermia: Possono essere entrambi, hanno la capacità di passare da sangue caldo a sangue

freddo, es. animali che vanno in letargo (es. Orso).

Nel caso degli omeotermici, la temperatura del corpo, e soprattutto degli organi interni, deve essere

mantenuta costante (mammiferi a 37C), per garantire il funzionamento degli organi metabolici

interni (cervello, cuore, fegato); anche piccole variazioni possono compromettere le reazioni

enzimatiche. La temperatura viene regolata dall’ipotalamo che controlla (attraverso sensori) e

modula (attraverso il rilascio di segnali elettrici o di ormoni dalle ghiandole endocrine) le attività di

vasocostrizione (shutdown) e vasodilatazione ( che provoca un aumento della radiazione), i brividi

(contrazioni muscolari che scaldano), la sudorazione, la pelle d’oca (contrazioni della pelle che intrappolano aria, la quale fa da isolante) e la regolazione del metabolismo.

La pelle è l’organo più importante per il mantenimento della temperatura, infatti è un dissipatore di calore: è un organo molto esteso, ha un’area di 1.7m2, di cui quella utile per lo scambio vale 1.4m2. E’ un organo ricco di capillari, alimentati dalle arteriole, le quali regolano la quantità di sangue e in tal

modo anche la temperatura.

L’uomo è più sensibile al caldo che al freddo, infatti può sopravvivere con una temperatura corporea

media fino a 24°C, mentre, superati i 42°C va incontro a morte.

ISOTERME

Le isoterme sono linee di temperatura uguali e, nel caso in cui l’uomo si trova in ambiente caldo, sono superficiali (ha uno scambio termico molto efficacie: vasodilatazione). Quando, invece, è in ambiente

freddo, le isoterme a 37°C si trovano nella parte centrale, perché devono essere riscaldati gli organi

più interni, soprattutto cuore e cervello (vasocostrizione).

NB: In condizioni di riposo il corpo genera 86 J/s (metabolismo basale). I muscoli possono aumentare

la produzione di calore fino a 40 volte.

Meccanismi di trasporto di calore

6.2.1 Conduzione

La conduzione avviene grazie al contatto tra 2 oggetti. Il calore viene trasferito per vibrazioni

molecolari. L’equazione costitutiva per il trasporto del calore quando viene scambiato per conduzione

è:

Q k T= − (equazione di Fourier) dove k è il coefficiente di conducibilità termica del materiale e T sta

per la temperatura.

Il coefficiente di conducibilità termica2

( )

J J

kelvin

Q m Wk

T m s K msK mK

= = = =

Tipicamente i valori di k variano molto, dobbiamo ricordare quello dell’acqua (0.6 W/mK). Invece la

conducibilità termica del tessuto adiposo è 0.2 W/mK, quello del muscolo è circa 0.46 W/mK, mentre

quello per la pelle è circa 0.3 W/mK.

I metalli avranno k molto elevati (esempio il ferro, 1000 W/mK); mentre i gas hanno k molto bassi

(aria, k=0.01 W/mK).


73 27/09/2021

6.2.2 Irradiazione.

L’irradiazione è lo scambio di calore tramite l’emissione di fotoni. È diverso dalla conduzione per vari

motivi: la conduzione ha bisogno di un mezzo di propagazione, mentre la radiazione no. Inoltre, la

conduzione avviene per contatto tra le molecole ed è la conseguenza del trasferimento di energia

(meccanica) dalle vibrazioni molecolari termiche. Invece, nella radiazione queste vibrazioni vengono

trasformate in energia elettromagnetica, risultando in un rilassamento della molecola. L’equazione

per il trasferimento di energia per radiazione è data dalla legge di Stefan-Boltzmann, considerando

che la radiazione totale è la differenza tra il calore emesso e quello ricevuto dall’ambiente.

4 4( )c a

Q T T= − ε è l’emissività: il valore va da 0 a 1 e indica la frazione di energia trasferita in forma di radiazione.

Dipende dalla lunghezza d’onda e per corpi neri vale 1. σ è la costante di Stefan-Boltzmann pari a 5.67.10-8 W/(m2.K4).

La T è sempre espressa in Kelvin5.

Il corpo umano (nudo) è un quasi-perfetto emettitore di radiazione termica (cioè nelle lunghezze

d’onde infrarosse), con un valore di ε=0.97. Ciò implica che siamo dei corpi neri nell’infrarosso e

questo è dovuto al fatto che il corpo mantiene una temperatura costante di 37 ℃. I vestiti infatti

riducono l’emissione di infrarosso.

È interessante vedere la differenza tra un’immagine con camera infrarosso di un orso polare e un

uomo/donna: gli orsi polari hanno la stessa temperatura interna di 37 ℃ ma sono molto bene isolati

grazie allo strato di grasso e grazie ai peli. Nella figura 6.1 si nota anche le zone più calde della donna.

FIGURA 6-1: THERMOGRAFIA DI UN ORSO POLARE E UNA DONNA NUDA.

6.2.3 Convezione.

La convezione avviene solo nei fluidi e può essere libera/naturale o forzata. Quella libera è dovuta a

cambiamenti di densità di un fluido quando si riscalda o si raffredda. Può essere vista anche come una

forma di diffusione perché il fluido più caldo, che è meno denso, ha una minore concentrazione

rispetto al fluido freddo, più denso (e quindi più concentrato), il quale diffonde verso la zona meno

densa. Invece quella forzata è dovuta al moto del fluido, propulsata con una fonte di energia esterna

(o differenza di pressione ecc). Spesso però i due fenomeni avvengono insieme.

5 Il ℃ può essere usato solo quando la temperatura è una differenza (cioè ∆T)


74 27/09/2021

La convezione può essere descritta dalla legge empirica di raffreddamento di Newton ( )c a

Q h T T= − .

Il coefficiente di convezione h è molto variabile, perché dipende da vari fattori ambientali e dalla

natura dei materiali ed è quindi un numero empirico. Ci sono diversi testi classici che riportano i valori

di h per l’uomo in diverse posizioni e con diverse modalità di ventilazione. Le unità di misura di h sono

W/m2K.

Espressa come Q invece si ha: ( )c a

Q Ah T T= − .

Nel caso di un corpo nudo soggetto a convezione libera, h 2.46 W m-2K-1

Per un corpo nudo soggetto a convezione forzata, si può fare riferimento a valori sperimentali

disponibili in letteratura.

6.2.4 Cambio di stato, evaporazione per sudorazione.

Infine, in un essere vivente bisogna considerare anche il trasferimento di calore dal corpo dovuto al

cambio di stato. Quando avviene un trasferimento di questo tipo non viene percepito un cambio di

temperature nel corpo e per questo motivo viene chiamato “insensibile”. Al contrario, le altre forme

di trasferimento di calore, che sono accompagnate da una variazione di temperatura, sono “sensibili”.

; ;m

Q mL Q LA

= =

Dove L=calore latente, calore necessario per cambiare lo stato di 1Kg da liquido a gas o da solido a

liquido [J/kg]. Il calore latente è costante ad una certa temperatura T;

m dm dt= è la variazione di massa che nel tempo evapora [Kg/s];

A è l’area della superficie dove avviene il cambio di stato.

L per l’acqua a 37°C corrisponde a 2423000 J/kg o 2423 KJ/kg. Questo vuole dire che per trasformare

1 kg di acqua da liquido a vapore a 37°C ci vuole molta energia. E’ da notare che non è necessario

essere a 100 °C per cui avvenga una trasformata di fase da acqua liquido a vapore. Il valore di L per la

fusione di acqua (da solido a liquido) at 0°C e’ 334000 J/kg o 334 KJ/kg.

La Heat equation

Rispetto all’esempio del flusso di massa in cui si aveva il concetto del coefficiente di partizione, nel flusso di calore non esiste una grandezza analoga. Se abbiamo due materiali confinanti a due

temperature diverse a 0°C e 100°C, non vi è un immediato passaggio lineare di calore, però a regime

si crea un gradiente lineare. Quindi a regime si crea una continuità di flusso.


75 27/09/2021

Data questa continuità di flusso possiamo scrivere: 1 2

1 2

dT dTk k

dx dx=

Il calore è quindi sempre trasportato. Nel caso di trasporto per conduzione, nel punto di contatto la

temperatura è uguale (cioè abbiamo anche la continuità della temperatura).

Due oggetti che hanno lo stesso gradiente di temperatura ma k diverso avranno un flusso di calore

diverso. L’oggetto con il k alto (quindi una migliore conducibilità) avrà un flusso maggiore. (

Invece se prendiamo due materiali, uno isolante (es. silicone) e l’altro conduttore (es. acciaio) con la

stessa grandezza e temperatura ad un estremo, ciò che notiamo è che il silicone avrà un gradiente più

ripido rispetto all’acciaio. Infatti, un conduttore ideale ha un gradiente quasi orizzontale (Fig 6.2).

6.3.1 Equazione caratteristica: derivazione della Heat Equation.

Per derivare la Heat Equation, consideriamo il bilancio di energia in un volume fisso e la direzione x.

Il sistema in figura avrà un flusso di calore in ingresso ed un flusso di energia (calore) in uscita. Inoltre si possono avere fonti interne di energia nel sistema, ad esempio nell’uomo è il metabolismo basale. Si indica con genQ , ovvero la quantità di energia generata per secondo, J/s. Parte dell’energia del sistema viene spesso donata all’ambiente esterno come lavoro utile W, che per coerenza definiremo

come una potenza W . Un esempio è un uomo che solleva un peso: W=mgh. Quando invece viene

fatto un lavoro sul sistema (es. il peso viene spostato in alto), W è positivo.

Possiamo quindi scrivere l’equazione di conservazione tramite il seguente bilancio:

IN OUT GEN

Aumento di calore nel volume=Flusso A - Flusso A + Q - W

tempo

(Per convertire un flusso che è 2

J

m s

in J

s

basta moltiplicare per la superficie che attraversa).

Considerando solo i flussi:

( )x x x

TcVol Q Q A

t +

= −

Sapendo che Vol xA= avremo ( )x x xQ QT

ct x

+−=

Per 0x → :

FIGURA 6-2: SISTEMA EULERIANO CON FLUSSI DI ENERGIA, POTENZA GENERATA E LAVORO ESTERNO/TEMPO


76 27/09/2021

T Qc

t x

= −

Ricordando l’equazione costitutiva T

Q Kx

= −

T Tc K

t x x = − −

.

Dato che K è costante: 2

2

T Tc K

t x

=

. Le unità di misura di questa equazione sono calore/volume.

Infine, dividendo per c e generalizzando in tutte le direzioni:

Notiamo che è analogo agli altri trasporti. In particolare, /K c è noto come la diffusività termica,

ovvero esprime l’efficacia del trasporto di calore [m^2/s] e analogamente al trasporto di massa, il

tempo caratteristico di conduzione = 2 /L c K .

Per completezza possiamo scrivere anche Gen

Q W+ − per unità di tempo e volume. Ricordando che i

termini sono stati divisi per il volume e la densità e il calore specifico.

2 GendT K Q W

Tdt c V c V c

= + −

Q /volume si indica con 3

JQ

m s= (nel volume)

2T K Q WT

t c c c

= + −

Anche qui notiamo l’analogia all’equazione di Navier-Stokes e alla seconda legge di Fick.

Per completezza aggiungiamo i termini dovuti alla convezione libera e radiazione (V=volume).

2 4 4( ) ( )c c

T K Q W hA AT T T T T

t c c c V c V c

= + − − − − −

6.3.2 Moto forzato

Nel caso in cui in un sistema vi sia, oltre al flusso di calore per conduzione, un moto forzato di calore,

esso sarà analogo al comportamento per la convezione e la diffusione nel trasporto di massa (sezione

5.5). Nel complesso il flusso di energia sarà dato dal flusso di calore per conduzione e da un’energia

(anche termica) per unità di volume trasportata a velocitàV :

Q K T V= − +

Considerando solo variazioni in x, l’aumento di energia termica per unità di volume è quindi come

prima: ( )

, lim 0x x xQ QT Q

c xt x x

+− −= → =

. In tutte le direzioni: .

Tc Q

t

= −

2T KT

t c

=


77 27/09/2021

2. ( )Q K T V V − = − + .

Dato che la divergenza della velocità è zero, rimane solo il termine V nella parentesi.

Considerando solo l’energia termica per unità di volume:

c T = , perciò c T =

Per la variazione di temperatura nel tempo avremo quindi: 2T KT V T

t c

= −

Analogo al trasporto di massa 2 .

CD C V C

t

= −

(oppure 2DT KT

Dt c= )

6.3.3 La Bioheat equation

La bioheat equation comprende un termine aggiuntivo dovuto al riscaldamento di un tessuto grazie al

flusso sanguigno alla heat equation. E’ stata proposta da uno scienziato Americano, Pennes (1948).

In questo caso il calore/secondo guadagnato dal tessuto è uguale a quello perso/secondo dal sangue

(vedi anche esempio 6.4.2).

2 ....

aumento di calore (flusso di calore ingresso - flusso di calore uscita)A

m

m ( )

t tgen

t t blood in blood outblood blood

t t blood bloodin bloodoutblood bl

Tc K T

t

s

dTc c T c T

dt

dTc c T T

dt

Q W

m m

m m

•• ••

• •

• •

= + − +

=

= −

= − = = cost per continuità di flussoood

Vol

t

FIGURA 6-3: BIOHEAT EQUATION PER UN

TESSUTO PERFUSO DA UN VASO


78 27/09/2021

( )

( )

bt t t b b bloodin bloodout

bb b bloodin bloodout

blood

t t t

VolTVol c c T T

t t

Volc T T

T t w Tt Vol c

= −

−= =

Dividendo per il volume del tessuto, Volt otteniamo la bioheat equation di Pennes in termine di w che

è la velocità di perfusione del tessuto (m3/s di sangue per m3 di tessuto perfuso). La velocità di

perfusione dipende da quanto è vascolarizzato il tessuto e quanto i vasi siano dilatati o costretti.

flusso di sangue Fattore di Vascolarizzazione

volume di tessutow =

( )t t b b bloodin bloodout

Tc c w T T

t

= −

t b

se ( )b b bloodin bloodout

t t

c w T TT

t c

−=

Mettendo tutti i termini utili per un sistema biologico (senza però considerare radiazione,

evaporazione ed altro) otteniamo (in W/m3):

2( )t t b b bloodin bloodout gen

T dTc c w T T K T Q W

t dt

= − + + −

6.3.4 Resistenza termica

Analizziamo la conduzione di calore in un sistema con due materiali diversi e supponiamo che questi

due materiali siano disposti in serie.

FIGURA 6-4: CONCETTO DI RESISTENZA TERMICA. DUE MATERIALI IN SERIE

Siamo in uno stato stazionario e il sistema è cartesiano:

2

20 cost

T d T dTK

t dx dx

= = =

Questo implica che abbiamo anche un flusso costante: costQ••

=


79 27/09/2021

Inoltre le temperature a contatto sono uguali:

1 2 1

1 2

1 1 0 2 1

1 2

1 1 1 0 2 2 1

1 2

2 1 1 2 1 0 1 2 1 2 1

1 2 1 1 2 2 1 0 1 2

2 1 01

@x=

continuità del flusso e della temperatura

( ) ( )

( )

L

L

L

L

T T

dT dTQ K K

dx dx

K T T K T TQ

K T K T K T K TQ

K T K T K T K T

T K K K T K T

K TT

••

••

••

=

= − = −

− −= − = −

− + − += =

− + = − +

− − = − −

= 1 2

2 1 1 2

2 1 0 1 22 1 20

2 2 1 1 2 2 1 1 2

1 2

0

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

( )

adesso sostituiamo

( )( )

dividiamo e moltiplichiamo per

( )

L

LL L

L

K T

K K

K T K TK K KQ T T T

K K K K

K K

T T T TQ

R R

K K K K

••

••

++

+= − − = − + +

− = = =

++ +

Dove K

è la resistenza termica: il denominatore è la somma delle resistenze termiche (R) dei due

materiali in serie.

In analogia con il trasporto di massa possiamo fare riferimento alla resistenza al passaggio di una

membrana. Infatti la resistenza diffusiva di diverse membrane poste in serie e’ data dalla somma delle resistenze individuali.

2 1

2 2 1 1

tot

C CJ

R

D D

= =

+ 2 1

2 2 1 1

totRD D

= +

6.3.5 Numero di Biot

Nel seguente esempio consideriamo un

materiale in cui una parte sta a 0°C, ad esempio

è in contatto con un blocco di ghiaccio, con cui

scambia calore per conduzione, e l’altra estremità è in contatto con vapore a 100°C, dove

il calore viene scambiato per convezione.

La K è la costante di conducibilità.

Dobbiamo dunque valutare l’andamento della temperatura nella zona L. FIGURA 6-5: TRASPORTO TRAMITE CONDUZIONE E CONVEZIONE


80 27/09/2021

Inizialmente si ha T0 che è zero gradi per continuità (condizione di conduzione), alla fine abbiamo TL.

Se TL fosse una temperatura a conduzione sarebbe anche essa 100°C, ma siccome la trasmissione

avviene per convezione TL non sarà necessariamente 100°C. Infatti, in questo sistema l’incognita e’ TL.

Eguagliamo i flussi di conduzione e convezione:

cost = ( )L A

dTQ K h T T

dx= − = − (il flusso di calore va da destra a sinistra).

Consideriamo le condizioni stazionarie, quindi 0dT

dt= , ciò implica che il gradiente di temperatura sia

costante.

(F è una costante integrativa)

dxQ KdT

xQ KT F

= −

= − +

Le condizioni al contorno saranno che @ x=0; T=T0 perciò: 0 0F=KT ( T )xQ K T→ = − −

0KTQ

KT

x x= − + Questa è l’equazione del flusso di calore per la prima parte.

Ricaviamo adesso quella per la parte convettiva. Anch’essa presenta continuità di flusso poiché si

possono eguagliare i termini dei due fenomeni 0KT

Q ( )L A

KTh T T

x x= − + = −

Sfruttiamo l’altra condizione al contorno e troviamo un’equazione che dipenda solo da T0,L,TA,h,K.

@ x=L; T=TL

0

0

00

KT

1

LL A

L A

AAL

KThT hT

L L

KTKT h hT

L L

hLT TKT hT L KThLK hL

K

− = − + −

− + = +

++= =

+ +

Sostituendo nell’equazione di flusso avremo 0( )

1

Ah T T

QhL

K

−=

+

Questo è l’andamento del flusso di calore nella zona L. Il parametro hL

K è detto numero di Biot. Esso

è un numero adimensionale caratteristico del sistema. E’ il rapporto fra il tempo caratteristico della

conduzione e della convezione, oppure il rapporto tra la resistenza alla conduzione e la resistenza alla

convezione.

2conduzione

convezione

t /Biot=

t /cond

conv

RcL k

cL h R

= =


81 27/09/2021

Tale rapporto ci permette di capire cosa prevale sul sistema. Perciò l’equazione precedente sarà

presentata nella forma: 0( )

1Ah T T

QBiot

−=

+ mentre

0

1A

L

T T BiotT

Biot

+=

+

Se il numero di Biot 1 (K alto) , si ha che convezionet tconduzione

. Lo scambio è quindi limitato dalla

convezione, il flusso di calore dipenderà da questa perché 0Biot → ed è come se rimanesse solo il

termine convettivo. Inoltre TL→T0. Significa che il blocco di materiale è un buon conduttore e

raggiunge la stessa temperatura interna per conduzione.

Se il numero di Biot 1 (K basso) e se 0T è trascurabile, il flusso di calore è dominato dal termine

conduttivo per il ragionamento inverso fatto sopra. Inoltre TL→TA, perché la convezione avviene più

velocemente rispetto alla conduzione. Questo significa che il blocco di materiale è un cattivo

conduttore.

Qui parliamo di 2 fenomeni che avvengono in serie (uno di seguito all’altro, non in contemporanea), a differenza dell’esempio fatto in Sezione 5.5. Infatti il tempo totale del processo di trasferimento del

calore viene determinato dal fenomeno che ha il tempo caratteristico più lungo (processo dominante).

Esempi di trasferimento di calore

6.4.1 Temperatura dell’uomo senza scambio di energia

Consideriamo ora un uomo (standard) in una stanza chiusa a 37°C, ciò

vuol dire che non può scambiare calore con l’ambiente perché non abbiamo una differenza di temperatura. L’aria della stanza è satura di acqua, il che inibisce anche l’evaporazione. Ciò vuol dire che l’equazione

di calore sarà: 2gen

p

QdTc K T

dt Vol = +

W

Vol−

Non fa lavoro e l’unico flusso di calore è dovuto a quello generato. Ciò

vuol dire che il calore che genera il suo metabolismo va ad aumentare la

sua temperatura interna.

86 metabolismo basalep

dT Jmc

dt s

=

23600 di solito però usiamo 4200p pH O

J Jc c

C Kg Kg

= =

860.0035 1.3 C all'ora

68 3600

dT C

dt s

= =

Quindi il solo metabolismo basale ci riscalda di 1.3°C all’ora. La temperatura mortale è di 43°C

(comunque risulta un danno cerebrale molto severo, mentre a 45°C la morte è certa), raggiunta dopo

4-5 ore. L’uomo è in grado di contrastare meglio il freddo (con la vasocostrizione e altri meccanismi),

piuttosto che il caldo (che compromette in maniera irreversibile le funzioni cellulari).

FIGURA 6-6 - UOMO STANDARD IN STANZA

CHIUSA


82 27/09/2021

6.4.2 Trasferimento di calore da un oggetto caldo ad uno freddo

Consideriamo ora una persona che ha freddo (Testerna=4°C). La curva isoterma di 37°C si restringerà al

“core” (parte interna dove sono presenti gli organi da mantenere a temperatura fisiologica),

consequenzialmente le zone esterne saranno più fredde, circa 24°C.

Consideriamo ora che per scaldarsi beva 100ml di tè a 85°C. Se assume questa bevanda, quanto sarà

la temperatura del corpo?

L’acqua si raffredda e il corpo si riscalda, potremo fare un’equazione dove diciamo che:

Calore perso dall'acqua= Calore guadagnato dall'uomo

macquaacqua pc ( )=m

uomoacqua f uomo pT T c− ( ) f uomoT T−

NB: Il calore specifico è circa lo stesso perché l’uomo è composto dal 70% di acqua.

( )m T -m T =m T -m T T m T m Ta a a f u f u iu f u a a a u ium m→ + = +

( )m T m T 70 36 0.1 80

35.96 3670 0.1

a a u uf

u a

T C Cm m

+ + = = =

+ +.

Perciò bere un bicchiere di tè non cambia nulla, è più una cosa psicologica.

6.4.3 Esempio di raffreddamento di un oggetto immerso in un ambiente freddo

Analizziamo adesso un modello in cui un oggetto con una certa massa viene messo in un ambiente

infinitamente grande e cede calore tramite convezione.

Consideriamo che all’interno dell’oggetto la temperatura non cambi localmente e quindi non vi siano

gradienti di temperatura interni. Esso può essere considerato un conduttore (K alta, Biot basso).

Consideriamo quindi questo caso nel nostro esercizio, per poter dire che la perdita è dovuta solo alla

convezione.

La quantità di calore al secondo sarà uguale alla quantità di calore acquisita dall’ambiente, che in termini di flusso sarà equivalente a scrivere: calore perso per secondo= flusso di calore

convettivoarea:

( ) m= Vp c

dTQ mc hA T T

dt= = − −

V ( )p

hA dTdt

c T t T

= −−

00V ( )

t T

p T

hA dTdt

c T t T

= −−

0

ln( ( ) )V T

T

p

hAt T t T

c = − −

0 0

ln V

− = −= − − − =

finale

p iniziale

T T TT ThAt

c T T T T T

FIGURA 6-7: TITANIC


83 27/09/2021

V

( )

−

= p

hAt

c

finale inizialeT T e

Caduta Variazione iniziale per

di temperatura un fattore esponenziale

=

−

= t

finale inizialeT T e

V=tempo caratteristico del sistema=

pc

hA

Possiamo avere una caduta molto lenta quando è

grande, ad esempio un sistema con un grande volume,

o una caduta veloce per piccoli.

Maggiore è la capacità termica, più è lento il

raffreddamento. Maggiore è h (termine convettivo), più è

veloce il raffreddamento.

Trasporto di calore nell’uomo

L’essere umano è omeotermo, a temperatura costante. La temperatura dell’uomo standard è circa 36-37°C. Abbiamo questa temperatura perché gli enzimi del nostro corpo funzionano meglio a 36.2°C.

Aumenti o diminuzioni della temperatura comportano disfunzioni metaboliche. Gli organi metabolici

principali sono cervello, cuore e fegato. Il cervello consuma elevate quantità di glucosio e non riposa

mai, così come il cuore. Il fegato riposa quando non mangiamo. La quantità di calore prodotta dal

corpo varia rispetto a quando facciamo attività fisica, dove produciamo addirittura 40 volte calore in

più che in condizioni basali (86 J/s).

Il calore generato va disperso, l’organo principale per lo scambio di calore e la regolazione è la pelle, che funge anche da schermo con l’esterno, proteggendoci da agenti patogeni. Ha dei recettori di

temperatura e presenta una fitta rete di capillari superficiale (capillari dermali) che gestiscono lo

scambio di calore. Questi capillari, comandati dai muscoli, possono essere ristretti per ridurre lo

scambio di sangue e di calore. Quando abbiamo caldo si allargano e lo scambio è facilitato.

La superficie è di 1.7 m2 ma di solito consideriamo 1.4 m2 perché alcune parti, come ascelle ed inguine,

non scambiano calore.

Nell’uomo vi sono delle zone isoterme descritte dalle curve isoterme (Figura 6.10). Quando diciamo

che la temperatura dell’uomo è di 37°C ci riferiamo alla temperatura interna al corpo, ovvero quella del “core” che comprende gli organi che devono fisiologicamente stare a quella temperatura. Alle

estremità, se fuori ci saranno ad esempio 0°C, avremo una temperatura di 20°C. Quando fa caldo, le

isoterme si espandono e quando fa freddo si restringono: ciò è dovuto alla vasocostrizione e

vasodilatazione (che è gestita dall’ipotalamo). Inoltre quando abbiamo freddo il nostro metabolismo

basale viene ridotto così da disperdere meno calore.

FIGURA 6-8 - CADUTA DI TEMPERATURA


84 27/09/2021

Un altro strumento per combattere il freddo di cui il nostro corpo è a

disposizione, è il così detto fenomeno della pelle d’oca. Ci permette di creare delle piccole “tasche” d’aria che intrappolano l’aria riducendo lo scambio di calore con l’aria fredda.

Un meccanismo per quando abbiamo caldo e bisogna perdere calore

è la sudorazione. Il calore per fare evaporare l’acqua è preso dal corpo (insensibile). Altri metodi sono

l’irradiazione e la conduzione.

L’uomo è definito come un corpo nero, un corpo in grado di assorbire ed emettere ogni lunghezza

d’onda nell’infrarosso (IR). L’emissività è indipendente dal colore della pelle ed è di 0.97 per lunghezze

d’onda IR da 0.7 a 100 μm . La melanina assorbe UV e non IR. Siamo buoni assorbitori dell’infrarosso perché siamo fatti di H2O, che è un ottimo assorbitore di I.R. infatti la terra si riscalda anche perché

l’atmosfera è ricca di acqua. L’altro motivo è che la lunghezza d’onda dell’infrarosso è di circa l’ordine dei micron μm , che è la stessa grandezza della micro rugosità del nostro corpo.

Per la perdita di calore sono fondamentali anche le perdite insensibili (cioè associate a un

cambiamento di fase). Una delle più importanti è la diffusione di acqua dal corpo attraverso la pelle.

Infatti, la pelle è da considerare anche una barriera di passaggio diffusivo di acqua dal corpo (70% H20)

all’ambiente (quasi 0% H20). L’altra perdita insensibile è coinvolta nella respirazione, ed è dovuta al

fatto che l’aria che inspiriamo è più asciutta di quella espirata. Quindi il corpo si raffredda quando

l’acqua nei polmoni si trasforma in vapore di acqua espirata.

Inoltre, durante la respirazione ci sono anche perdite insensibili. Quando inspiriamo l’aria fredda si mischia con quella nei polmoni e quando espiriamo l’aria uscente è calda. La differenza di temperatura

è presa dal nostro corpo. La perdita è in parte controllabile: chiudendo la bocca, respireremo con il

naso. Le vie nasali sono più lunghe e contengono peli quindi l’aria esterna non arriva fredda come è entrata.

Una stima delle perdite di calore di un uomo standard nudo e a riposo è presentata nei lucidi

(http://www.centropiaggio.unipi.it/course/fenomeni-di-trasporto-biologico), che sono da

accompagnare a queste dispense.

FIGURA 6-9 - ISOTERME UOMO

FIGURA 6-10 - PELLE D'OCA


85 27/09/2021

6.5.1 Riassunto calore perso da un uomo nudo

Si considera il caso di un uomo standard nudo a riposo in un ambiente di

29°C all’ombra. Non ci sono fonti di calore esterne.

La radiazione è regolata dalla formula ( )4 4r r s

Q A T T = − e ha un peso

di circa il 40% sul BMR ed è infatti la fonte principale di scambio per un

corpo nudo. I vestiti riducono sensibilmente questa perdita, come anche

i peli (che in anni di evoluzione in presenza di vestiti quasi non

possediamo più come specie).

La conduzione, calcolata al suolo come unico punto di contatto, consuma

il 6% del BMR cond d

dTQ k A

dt= − .

La convezione è regolata da ( )c c c s aQ k A T T= − che è causa di una perdita di calore di circa il 27%

L’evaporazione si dividerà in perdite per diffusione, sudorazione e respirazione.

La diffusione di acqua attraverso la pelle, dovuta alla differenza di concentrazione di acqua tra esterno

e interno del corpo, è una perdita insensibile.

Regolata da water

Q m H= la pelle traspira circa 350ml di acqua al giorno, H è il calore latente di

evaporazione dell’acqua a circa 30°C e ammonta a 2423KJ

HKg

= . In definitiva

350 24230009.8

1000 24 3600d

JQ

s

= =

ammonta a circa l’11% del BMR.

La sudorazione sarebbe regolata da 2423000s w

Q m= ma in questo esempio, relativo a un uomo a

riposo, non ci sono perdite di calore per evaporazione del sudore.

La respirazione si divide in sensibile, dovuta alla variazione di temperatura tra aria inspirata ed espirata

ed è la differenza di energia interna tra aria ispirata ed espirata.

( ) ( )se a a es is w w es is

Q m C T T m C T T= − + − . Considerando un ambiente quasi privo di acqua ( 0wm = )

da questa ricaviamo un consumo del 1.2% del BMR.

Infine il calore latente di evaporazione dovuto all’evaporazione di acqua dei polmoni nell’aria espirata sarà Q ( )

la w out inH W W= − , dove W indica la massa di acqua espirata ed inspirata per secondo e

sfrutta il 14% del BMR.

Per un corpo all’equilibrio, senza “input” di energia, che non aumenta di peso o temperatura, il calore perso deve essere uguale al metabolismo, infatti tutti i meccanismi di scambio sommati sono uguali a

circa 86 W.

FIGURA 6-11 - PERDITE DI CALORE IN

UOMO STANDARD A RIPOSO


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7 Uomo standard e riassunto dei 3 trasporti

Uomo standard.

I valori dei parametri fisiologici di ogni uomo si distribuiscono attorno al modello di “uomo standard”, ovvero il modello preso appunto come standard per le applicazioni scientifiche. Il modello in questione

è standardizzato sul modello americano che non tiene conto di differenze nelle varie etnie.

Ovviamente non considera le importanti differenze tra uomo e donna; esiste infatti un modello

parallelo di donna standard. La “Donna Standard” è meno utilizzato, per l’altezza considereremo 1.65

m ed un peso di 58 Kg (più grassa della donna italiana media).

Importanti parametri da ricordare sono:

Età 25 anni Altezza 1.73m Peso 70Kg Uscita cardiaca 5L/min Acqua 42Kg (70%) Grasso 12Kg Metabolismo basale 86J/s Respiri 12min Battito cardiaco 60 min Massa muscolare 30Kg Temperatura 37°C

Volume sangue 5L Pressione sanguigna 120-80mmHg Produzione CO2 208 ml/min Spazio morto 0.15 L Consumo di O2 260 ml/min Temperatura pelle 34°C Area superficiale 1.85m2 Tidal volume 0.5 Capacità totale polmone 6L Capacità vitale/alveolare 4.8L

Il metabolismo basale, BMR (basal metabolic rate), dell’uomo standard è un valore che indica il fabbisogno metabolico minimo, ovvero l’energia necessaria a far funzionare il corpo nelle sue attività

vitali in uno stato di riposo, come da tabella vediamo che il valore è circa 100 J/s, che si riferisce

all’energia sufficiente per mantenerci in vita in condizioni di riposo. I fattori che influenzano il BMR

sono vari, tra cui l’altezza, l’età, la febbre, lo stress e la composizione corporea. Uno dei maggior

consumatori di energia è il cervello (il solo atto di pensare e leggere questa dispensa brucia calorie!).

Indice di massa corporea, BMI (Body Mass Index).

Parametro che quantifica il peso per unità di superficie: è un concetto analogo alla densità superficiale.

Ci indica quanto più vicini siamo ad una sfera, poichè con peso ed altezza valutiamo quanto una

persona è “tonda”.

Possiamo approssimare l’uomo ad un cilindro per fare questo tipo di valutazione.

2 2 2

[ ]

[ ]

W Kg HA ABMI

H m H H

= = =

BMI<18 Troppo magro;

BMI>25 Grasso;

BMI>30 Obeso.

FIGURA 7-1: CONCETTO DEL BMI


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Riassunto

Flusso di Eq. Costitutiva

Conservazione

Massa 2

moli

m s

J D C= − 2DC

D CDt

=

Moto 2

mv

m s

V = − 2DVV

Dt

=

Energia 2

J

m s

Q K T= − 2

p

DT KT

Dt c=

Ricordiamo che le seconde derivate si trovano considerando il bilancio della conservazione in un

sistema.

Notiamo una notevole differenza fra il caso del moto perché la v ci dà un tensore mentre C e Tsono la derivata nello spazio di uno scalare e quindi vettori. Questo rende il trasporto di moto un po’ più complicato.

Le equazioni di conservazione e continuita’ per un fluido incomprimibile e Newtoniano sono:

2

.BFDv P

g vDt vol

−= + + +

2 4 4( ) ( )c c

DT K Q W hA AT T T T T

Dt c c c V c V c

= + − − − − −

2D R/PDC

CDt

=

0 0D

vDt

= =

The end

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Fenomeni di Trasporto Biologico