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FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO trasferimento di quantità di moto, di calore e di materia (momentum, heat, mass transfer) processi comuni in campo industriale, biologico/medico, ambientale/geologico esempi moto di fluidi in tubazioni o intorno ad oggetti (moti interni, moti esterni) scambio di massa attraverso pareti cellulari e membrane fenomeni meteorologici su scala regionale e planetaria moti convettivi terrestri

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  • FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO

    trasferimento di quantit di moto, di calore e di materia (momentum, heat, mass transfer)

    processi comuni in campo industriale, biologico/medico, ambientale/geologico

    esempi moto di fluidi in tubazioni o intorno ad oggetti

    (moti interni, moti esterni) scambio di massa attraverso pareti cellulari e membrane fenomeni meteorologici su scala regionale e planetaria

    moti convettivi terrestri

  • FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO

  • FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO

    RBC RBC membrane Plasma film around RBC Plasma Plasma film adiacent to capillary wall Endotelium Tissue

    A B C D E F G

  • FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO

    controlled drug release system

  • FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO

  • FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO

    http://www.metoffice.com/research/nwp/numerical/physics/images/convection_tn.gif

  • FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO

    trasferimento di quantit di moto, di calore e di materia (momentum, heat, mass transfer)

    processi comuni in campo industriale, biologico/medico, ambientale/geologico

    meccanismi simili su scala molecolare (analogie fisiche intrinseche)

    forze motrici: differenze di concentrazione Dci gradienti di concentrazione ci

    effetti risultanti: flussi del componente i

    processi risultanti da differenti valori di grandezze (velocit, temperatura, concentrazioni)

    allinterno di una regione, tra due regioni o fasi contigue

    esempi moto di fluidi in tubazioni o intorno ad oggetti

    (moti interni, moti esterni) scambio di massa attraverso pareti cellulari e membrane fenomeni meteorologici su scala regionale e planetaria

    esempio: diffusione di massa allinterno di una regione gassosa (emissioni di inquinanti) permeazione di principi attivi in applicazioni transdermali assorbimento di gas in fasi liquide o di idrogeno in metalli

  • FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO

    scelta dellespressione delle forze motrici: Dci o ci : scelta dellapproccio analitico

    Dci approccio ingegneristico convenzionale (rate process approach)

    coefficienti di trasferimento e correlazioni empiriche per il calcolo del trasferimento globale

    leggi costitutive: equazioni differenziali simili (analogie formali sul piano matematico)

    ci approccio fondamentale molecolare (transport approach)

    propriet di trasporto e leggi costitutive

    possibilit di calcolo delle condizioni locali (profili di velocit, temperatura, concentrazione)

    possibilit di analisi di processi simultanei di trasporto

    possibilit di impiego nellanalisi di nuove tecnologie

  • FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO

    diffusione di H2 in un metallo:

    profili di concentrazione di H2 nel metallo a tempi differenti

    Dc costante nel tempo

    flusso variabile nel tempo

    k variabile nel tempo

    flusso = k Dc

    H2

    co

    cb

    Dc = co-cb

    metallo

    c variabile nel tempo

    flusso variabile nel tempo D costante nel tempo

    flusso = -D c

    H2 metallo transport approach

    rate process approach

    scelta dellespressione delle forze motrici: Dci o ci : scelta dellapproccio analitico

  • MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO

    trasporto convettivo - trasporto molecolare

    dipendente indipendente

    dal moto di insieme del fluido

    trasporto convettivo : trasporto simultaneo di massa, quantit di moto, energia

    trasporto efficace, legato alla velocit del fluido, importante lontano dai contorni del sistema

    trasporto convettivo:

    complessit dellanalisi legata alla complessit del moto

    miscelazione di due fluidi dissoluzione di sali

    raffreddamento di un corpo caldo

    dipendente da:

    natura del moto (forze motrici, applicate o inerenti), velocit (moti laminari, moti turbolenti) contorni semplici, regolari o irregolari propriet (struttura) del fluido

    differente efficacia dei processi di trasporto in assenza o in presenza di un moto impresso

    (interno o esterno)

  • MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO

    esempio di trasporto molecolare in assenza di meccanismi convettivi : trasporto di energia (calore) in solidi

    fattore di proporzionalit: propriet inerente del materiale di trasportare energia (calore)

    su scala molecolare:

    energia tempo

    DT, S, 1

    l

    S

    l

    T1 (> T2) T2

    q

    conducibilit termica k

    k = 380 W / m . K (rame) 0.04- 0.13 W / m . K (legno)

    conducibilit termica k legata a meccanismi molecolari (moti traslazionale, vibrazionale, rotazionale)

    alla struttura microscopica (cristallina/amorfa) in solidi

    trasporto convettivo e trasporto molecolare possono coesistere in fluidi

    e avere direzioni uguali o differenti

    differenti velocit di trasporto

    trasporto convettivo trasporto molecolare

  • MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO

    conducibilit termica k di materiali

    conducibilit termica k di elementi

  • MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO

    conducibilit termica k di materiali (W m-1 K-1)

    conducibilit termica k di elementi

  • MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO

    conducibilit termica k di elementi

    //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/32/Ionization_energies.svg

  • MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO

    conducibilit termica k di elementi

  • FORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTO

    processo di trasporto molecolare tra punti / regioni diverse di uno stesso sistema / fase

    oppure di sistemi / fasi diverse comunicanti tra loro attraverso una parete / interfaccia permeabile al processo

    trasporto molecolare di energia (calore) prodotto da condizioni di non equilibrio termico

    velocit di trasporto molecolare in direzione x da alta T a bassa T

    velocit di trasporto dipendente da

    differenza di temperatura DT e distanza Dx

    DT 0

    dalla velocit di trasporto dipendono:

    le dimensioni dellapparecchiatura destinata allo scambio termico (condizione di progetto)

    la capacit di scambio termico di unapparecchiatura esistente (condizione di verifica)

    T grandezza misurabile e controllabile

  • FORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTO

    trasporto molecolare di materia prodotto da condizioni di non equilibrio chimico:

    velocit di trasporto molecolare della specie i in direzione x

    da alto potenziale chimico mi a basso potenziale mi

    velocit di trasporto dipendente da differenza di potenziale Dmi e distanza Dx

    Dmi 0

    mi grandezza di riferimento necessaria in presenza di pi cause fisiche del trasporto di materia

    (effetti di concentrazione, temperatura, pressione)

    in termini volumetrici

    densit di massa ri o densit (concentrazione) molare ci

    in termini relativi

    frazione di massa wi o frazione molare xi

    V

    m ii r

    V

    nc ii

    rr

    wi

    ii

    i

    ii

    c

    cx

    mi grandezza non misurabile (direttamente)

    sostituzione con concentrazioni

    ijij nnP ,T ,nnV,S ,n

    G

    n

    U

    ii

    i

  • FORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTO

    due direzioni distinte

    della velocit (z) e del trasporto di quantit di moto (x)

    trasporto molecolare di quantit di moto (mv, ) da regione di alta velocit v a regione di bassa v

    vm

    grandezza vettoriale (non scalare) vm

    z

    x v

    alta v

    bassa v

    rappresentazione formale pi complessa

    (ricorso a grandezze tensoriali)

    per tener conto delle due direzioni

  • FLUSSI

    flusso FL di una propriet estensiva L: quantit di L che attraversa una sezione unitaria

    nellunit di tempo

    trasporto molecolare flusso diffusivo trasporto convettivo flusso convettivo

    A

    L .

    dt

    dLL

    portata di L attraverso la sezione A normale

    alla direzione del trasporto

    AF

    LL

    V

    LL rconcentrazione volumetrica di L:

    AvV portata volumetrica:

    vA

    VF LLL rr

    flusso convettivo di L

    attraverso la sezione A

    vF LL rflusso convettivo di L in un punto

    flusso FL : grandezza vettoriale (FL o ) FL

  • CONCENTRAZIONI VOLUMETRICHE E FLUSSI

    energia cinetica

    concentrazione

    volumetrica

    2

    2

    2

    12

    1

    vV

    mvr

    flusso convettivo

    in direzione x

    xvv r2

    2

    1

    entalpia

    )(

    0TTcHV

    Hmp rr xp vTTc r )(

    0

    massa (specie A)

    AA c,r xAxA vcv ,r

    xx v

    V

    m vr

    quantit di moto (momento)

    xx vv r )(

    y

    yv

    V

    m vr xy vv r )(

    zz v

    V

    m vr xz vv r )(

    flusso diffusivi equazioni costitutive

    del trasporto molecolare

  • EQUAZIONI COSTITUTIVE

    relazione valida per ogni Dx

    Ax

    Dx

    T1 T2

    flusso in direzione opposta al gradiente di temperatura

    relazioni matematiche tra flussi diffusivi e forze motrici su scala molecolare (puntuale)

    trasporto molecolare di energia (calore) osservazioni di Fourier

    x

    TAkQ x

    D

    D

    x

    Qx

    Tkq

    D

    D

    flusso

    di calore

    Dx 0

    dx

    dTkq

    flusso orientato

    da alta T (T1) a bassa T (T2) 0

    dx

    dT

    Tkqd x

    d Tkq x

    legge di Fourier (estensibile in termini vettoriali)

    conducibilit termica k: propriet di trasporto del materiale

  • EQUAZIONI COSTITUTIVE

    serbatoio

    ad alta concentrazione di A serbatoio

    a bassa concentrazione di A

    diffusione

    x

    xDcJ AA mxA D

    D flusso diffusivo di A

    Dx 0

    x

    Ax

    dx

    dxDcJ AA mxA

    in direzione opposta al gradiente di concentrazione

    flusso orientato da alta xA a bassa xA

    0dx

    dx A

    legge di Fick (estendibile in termini vettoriali)

    diffusivit o coefficiente di diffusione DAm: propriet di trasporto del materiale

    propriet di miscela (A m)

    d x

    d cD

    d x

    d xDcJ AA m

    AA mxA

    a c costante

    AAA cxcJ A mA m DD

    trasporto molecolare di materia osservazioni di Fick e di Graham

    //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/Adolf_Fick_8bit_korr_klein1.jpg

  • EQUAZIONI COSTITUTIVE

    trasporto molecolare di quantit di moto osservazioni di Newton

    in direzione opposta al gradiente di velocit

    z

    x v

    alta v

    bassa v

    trasporto di quantit di moto secondo z in direzione x

    da strati ad alta vz a bassa vz

    0v

    dx

    d z

    legge di Newton, valida per fluidi semplici (Newtoniani) (indipendente dalle condizioni di moto e dal tempo)

    viscosit m: propriet di trasporto del materiale

    dx

    d zx z

    vm

    xz flusso di quantit di moto (sforzo tangenziale)

    primo indice: direzione del trasporto di quantit di moto

    secondo indice: direzione del moto

    legge di Newton generalizzabile in forma tensoriale

    vm

  • ANALOGIE

    equazioni costitutive (Fourier, Newton, Fick)

    riscrittura delle leggi di Newton e di Fourier

    n viscosit cinematica, a diffusivit termica

    )v()v(

    v zzx z

    d x

    dv

    d x

    d

    d x

    d z

    flusso

    gradiente propriet di trasporto =

    Ohm forza motrice

    resistenza flusso =

    d x

    d cJ AA mxA D

    : concentrazioni volumetriche zvr Tc pr Ac

    : diffusivit A mD,,v a

    A mD diffusivit (di materia)

    significato analogo, stesse dimensioni ( L2/ t ) confrontabili numericamente

    numeri caratteristici: Prandtl, Schmidt

    )(c()c(c

    kkq 0pp

    p

    x TTd x

    dT

    d x

    d

    d x

    d T

    Pr n / a

    Sc n / DAm

  • ESTENSIONI E GENERALIZZAZIONI

    equazioni costitutive in coordinate sferiche e cilindriche

    dr

    d zrz

    vm

    dr

    dTkq r

    dr

    dcDJ AA mA r

    componente radiale in coordinate sferiche e cilindriche

    z

    x

    y

    z

    r

    r

    F

    equazioni costitutive in forma generalizzata (vettoriale e tensoriale)

    AA mAA m cDxDcJ Tkq

    vettori (tre componenti) Jqtensore (nove componenti)

    operatore

    k

    zj

    yi

    x

    : vettore (tre componenti)

    operatore

    gradiente di grandezza scalare vettore

    gradiente di grandezza vettoriale tensore

    divergenza di grandezza vettoriale

    scalare

    TAc

    v

    (in coordinate cartesiane)

    vm

    )vv( T

    v

  • OPERATORE GRADIENTE

    z

    k

    zj

    yi

    x

    coordinate cartesiane

    k

    zj

    ri

    r

    1

    coordinate cilindriche

    k

    rj

    ri

    r sin

    11

    coordinate sferiche

    z

    x

    y

    z

    r

    r

    F

  • STATI STAZIONARI E NON

    stati stazionari

    (grandezze indipendenti dal tempo)

    v

    z

    x

    xv z

    xv z lineare in stato stazionario

    F

    per costante nel tempo F

    A

    Fxz costante nel tempo e nello strato piano

    (flusso di quantit di moto costante)

    evoluzione della distribuzione di velocit nel tempo

    verso il profilo lineare (gradiente di velocit costante)

    t1 t2> t1 t

    evoluzione analoghe in geometrie analoghe

    per la distribuzione delle temperature e delle concentrazioni

    F

  • LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI

    applicazione dei principi di conservazione di energia, di materia e di quantit di moto

    bilanci di energia, di materia e di quantit di moto per volumi di controllo finiti

    bilanci di energia, di materia e di quantit di moto in un punto (equazioni differenziali)

    [ input ]-[ output ]+[ sources ]-[ sinks ]=[ accumulation ]

    equazione di conservazione

    da applicare ad un volume di controllo

    scelta agevole del volume di controllo in condizioni di trasporto monodimensionale

    flusso z

    x

    y

    Lx Ly

    Dz r

    r+Dr flusso

    Dz

    flusso D

    Lz

    flusso

    Dr

  • LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI

    [ input ] e [ output ] risultano dal prodotto dei flussi molecolari e convettivi

    che attraversano le superfici del volume di controllo per le corrispondenti aree

    [ input ] e [ output ] corrispondono, rispettivamente, ai flussi entranti e uscenti attraverso le superfici

    seguendo la direzione positiva del sistema di coordinate indipendentemente dalla direzione del flusso reale

    [ sources ] e [ sinks ] sono i termini legati a processi di generazione e di consumo

    uniformi allinterno del volume di controllo

    (termini di generazione positiva e negativa) reazione esotermica ed endotermica

    VHR A DD

    HD

    AR velocit di reazione della specie A (moli di A reagenti per unit di volume e di tempo)

    calore di reazione riferito alla specie A energia per moli di A reagenti

    (endotermico: negativo, esotermico: positivo)

    [ accumulation ] = 0 stato stazionario

    VR A D

    [ input ]-[ output ]+[ sources ]-[ sinks ]=[ accumulation ]

    equazione di conservazione

    da applicare ad un volume di controllo

  • RISOLUZIONE DEI PROBLEMI: ELEMENTI NECESSARI

    elementi necessari per la risoluzione dei problemi di trasporto di energia, di materia e di quantit di moto

    e procedura di risoluzione

    equazioni di bilancio (equazioni differenziali)

    (principi di conservazione)

    equazioni costitutive (equazioni differenziali)

    (comportamento dei materiali e valori delle propriet di trasporto)

    condizioni al contorno e condizioni iniziali (particolarizzazione del problema)

    (dalla soluzione generale a quella particolare)

    combinazione dellequazione di bilancio e dellequazione costitutiva:

    equazione per la risoluzione del problema (equazione differenziale)

    soluzione generale attraverso integrazione/i

  • CONDIZIONI AL CONTORNO

    esemplificazione per un problema di trasporto di energia in stato stazionario

    problema del riscaldamento della guaina

    calcolo della distribuzione di T

    filo elettrico con guaina esterna

    LR

    flusso

    2R2 2R1

    r

    z

    TF

    Condizioni del sistema (assunzioni, semplificazioni): temperatura del filo costante in direzione z

    temperatura alla parete interna della guaina (R1) eguale alla temperatura del filo TH

    temperatura alla parete esterna (R2) eguale alla temperatura del fluido TF

    0)( dr

    dTr

    dr

    d

    dal bilancio di energia in direzione radiale allinterno della guaina

  • CONDIZIONI AL CONTORNO

    0)(22 D D

    Lrrqr Lqrrrrr

    r

    z

    r+Dr r

    L

    [ input ] - [ output ] = 0

    0)(

    D

    DD

    r

    qrrrqrrrrr

    0rrqdr

    d

    dr

    dTkq r

    0)( dr

    dTkr

    dr

    d

    0)( dr

    dTr

    dr

    dk costante

    due integrazioni : due costanti (C1, C2) da determinare

    per ricavare la soluzione specifica

    due condizioni al contorno del sistema (guaina)

    1Rrp e rTT H

    2Rrp e rTT F

    21 ln CrCT

    1

    1

    2

    ln

    lnR

    r

    R

    R

    TTTT FHH

    21 RrRp e r

  • CONDIZIONI AL CONTORNO

    condizioni al contorno: due valori di temperatura

    altre condizioni al contorno

    nei problemi di trasporto di energia (calore)

    riguardanti il flusso:

    b) caso di perfetto isolamento

    a) flusso costante al contorno

    22

    Rrp e rc o s t a n t eqRr

    22

    Rrp e r0qRr

    profilo di temperatura

    nella guaina

    r

    R

    R

    TTk

    dr

    dTkq FH

    1

    ln1

    2

    cost

    ln

    22Q

    1

    2

    R

    R

    TTkLqrL FH

    TF

    TH

  • CONDIZIONI AL CONTORNO

    condizioni al contorno tipiche dei problemi di trasporto

    di energia, di materia, di quantit di moto

    quantit di moto

    energia

    materia

    costdx

    dTkq

    i

    i

    sulle variabili sui flussi

    0iqperfetto isolamento

    (adiabaticit)

    costdx

    dcDJ

    i

    A

    iA

    0iA

    Jimpermeabilit

    da velocit di reazione alla superficie

    (catalisi eterogenea)

    costdx

    d

    i

    i j mjv

    ii xi jxi j

    allinterfaccia tra due fluidi

    0 i jallinterfaccia gas/liquido

    c o s tT

    superfici isoterme

    c o s tc A

    equilibrio

    allinterfaccia

    c o s tj vvelocit dei contorni mobili

    (assenza di slittamento)

    0j vcontorni fissi

    (assenza di slittamento)