Fenomeni di Trasporto Biologico. - centropiaggio.unipi.it · Dispensa Fenomeni di Trasporto Biologico, Università di Pisa, Ingegneria Biomedica 1 27/10/2017 Fenomeni di Trasporto

Dispensa Fenomeni di Trasporto Biologico, Universit di Pisa, Ingegneria Biomedica

1 27/10/2017

Fenomeni di Trasporto Biologico.

Dispensa del corso della professoressa Arti Ahluwalia

Universit di Pisa, Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica

Pagina del corso:

http://www.centropiaggio.unipi.it/course/fenomeni-di-trasporto-biologico.html

A cura di Alessandro Velletri, sotto la supervisione del docente. Lavoro in corso, si prega di fare

presente eventuali errori al docente.

(CC BY-NC-SA)

(puo essere copiato e adattato riconoscendo gli autori, non per scopi di lucro)

Indice 1. Introduzione .................................................................................................................................... 3

Concetti Base .......................................................................................................................... 4

1.1.1 Flux, Flow e Flusso........................................................................................................... 4

1.1.2 Euler e Lagrange .............................................................................................................. 5

Nozioni fondamentali: vettori, tensori, divergenza e gradente ............................................. 5

1.2.1 Vettori e Tensori ............................................................................................................. 5

1.2.2 Gradiente e divergenza ................................................................................................... 6

1.2.3 Il Laplaciano, 2 (in Inglese del squared) ...................................................................... 7

1.2.4 Velocit, accelerazione e flusso volumetrico .................................................................. 8

1.2.5 Material Derivative ......................................................................................................... 9

2 Equazione di conservazione di massa, continuit .......................................................................... 9

Stazionariet: equilibrio conservazione. .............................................................................. 9

2.1.1 Equazione di conservazione: ......................................................................................... 10

2.1.2 Il sistema vascolare rispetta la legge di continuit. ...................................................... 12

3 Fluidi: Fluidodinamica e reologia .................................................................................................. 13

Idrostatica ............................................................................................................................. 13

3.1.1 Pressione sanguina........................................................................................................ 14

Viscosit ................................................................................................................................ 15

3.2.1 Introduzione .................................................................................................................. 15

3.2.2 Piatti paralleli ................................................................................................................ 16

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Accenno alla reologia ............................................................................................................ 17

3.3.1 Unita di misura della viscosit ..................................................................................... 19

Linee di Flusso ....................................................................................................................... 20

Derivazione legge di Poiseuille. ............................................................................................. 20

Numero di Reynolds (Re). ..................................................................................................... 24

3.6.1 Lo strato limite .............................................................................................................. 26

Equazione di Bernoulli .......................................................................................................... 27

3.7.1 Pressione statica e cinetica ........................................................................................... 28

3.7.2 Stenosi, separazione del flusso e aneurisma ................................................................ 29

Il volo, la scia e flusso vorticoso ............................................................................................ 31

3.8.1 Flusso sviluppato ........................................................................................................... 32

Equazione di Navier Stokes. .................................................................................................. 33

3.9.1 Equazione di Bernoulli e di idrostatica da Navier-Stokes. ............................................ 36

3.9.2 Equazione di Poiseuille con Navier Stokes. ................................................................... 36

3.9.3 Derivazione dellequazione di Couette. ........................................................................ 37

3.9.4 Flusso in un canale rettangolare ................................................................................... 39

4 Tensione superficiale. ................................................................................................................... 41

Angolo di contatto e bilancio della tensione superficiale. .................................................... 42

Capillarit e gocce da una pipetta ......................................................................................... 43

Legge di Laplace per le gocce ................................................................................................ 45

5 Flusso di massa ............................................................................................................................. 46

Introduzione e 1 legge di Fick .............................................................................................. 46

Seconda legge di Fick ............................................................................................................ 47

5.2.1 La forma integrale della legge di Fick ............................................................................ 48

Ordine di reazione ................................................................................................................. 49

Tempo di diffusione e Stokes-Einstein .................................................................................. 50

5.4.1 Concentrazioni soluto e solvente .................................................................................. 51

5.4.2 Concentrazione del sale del mare e mare nel sale ....................................................... 51

Diffusione e convezione ........................................................................................................ 52

Trasporto attraverso la membrana cellulare ........................................................................ 54

5.6.1 Coefficiente di Partizione .............................................................................................. 54

Esempi di trasporto di massa ................................................................................................ 56

5.7.1 Applicazione della forma integrale della Legge di Fick: il modello quasi-stazionario ... 56

5.7.2 Punto sorgente .............................................................................................................. 58

5.7.3 Consumo di ossigeno .................................................................................................... 59


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FIGURA 1.1: MOTO BROWNIANO

1. Introduzione

I processi che studieremo in questo corso saranno tutti in condizioni di quasi equilibrio (vedremo

che ci ci permetter di semplificare parecchi problemi). Inoltre consideriamo i sistemi come fluidi o

soldi continui (non fatte di particelle o quanta discreti), per cui siamo in regime della meccanica del

continuo.

In questo corso ci soffermeremo in particolar modo sul trasporto di: Moto Massa Energia.

Moto: osserveremo il trasporto di fluidi, materiale dovuto ad una spinta di moto, massavelocita

(vasi, circolazione e fiumi). Sar il primo che tratteremo.

Massa: ad esempio come diffonder il profumo in una stanza, la concentrazione iniziale verr

distribuita tramite trasporto in tutta la stanza fino a raggiungere un equilibrio nella concentrazione.

Energia: parleremo fondamentalmente del trasporto di calore, poich le altre energie non vengono

trasportate direttamente ma convertite in altre forme (lenergia potenziale si trasforma in energia

cinetica).

Suddivideremo inoltre il trasporto di massa in due tipi:

Trasporto passivo (detto anche Moto diffusivo) e Trasporto forzato (detto anche Moto forzato,

convettivo o advezione).

Un esempio di moto passivo quello del profumo descritto precedentemente, dove le molecole di

profumo ognuna con una propria energia intrinseca KT1 si muovono nellaria secondo un moto

Browniano. Maggiore sar la temperatura pi velocemente diffonderanno, si diffondono in maniera

casuale e grazie a Einstein e Brown sappiamo che si diffondono secondo la legge:

2

La distanza percorsa proporzionale al tempo di osservazione, pi tempo passa pi vi possibilit di

spostamento. Invece nel caso di moto convettivo, ovvero avr una velocit di spinta.

1 K e la costante di Boltzmann. K=1.38e-23 J/.Kelvin. Il prodotto KT e lenergia per molecola. Da notare che la costante di gas, R=K/no. Avogadro ed e espressa in J/(mole.Kelvin)


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Concetti Base 1.1.1 Flux, Flow e Flusso

Ogni tipo di trasferimento (o moto) generer un FLUSSO.

In italiano utilizziamo un unico termine per indicare quello che in inglese viene distinto tra FLUX e

FLOW.

Flux verr usato per descrivere qualcosa che si muove in unarea superficiale in

un tempo t, con che indica massa, energia o quantit di moto a seconda del

caso.

2Flux

m s

Flow verr usato per intendere il flusso volumetrico (inteso come lacqua in un

condotto o il sangue nelle arterie) espresso in molti come:

3mFlow

s

Per esempio, il flusso volumetrico del sangue nellaorta e 5 L/min o 8.5.10-5 m3/s..

Il trasporto causato da delle differenze che si creano nello spazio, identificate come GRADIENTI. In

particolare, i trasporti che studiamo sono dovute a una variazione di concentrazione, velocit o

temperatura tra due punti. Maggiore la quantit di quello che si trasporta, maggiore sar il flusso.

Avremo quindi per il trasporto di:

Massa: dovuto a differenza di concentrazione (C).

Energia: dovuto a differenza di temperatura (T).

Moto: dovuto a differenza di velocit (V).

Quindi il flusso di queste 3 entita, inteso come flux, sar:

= entit trasportata FLUSSO GRADIENTE Equazione costitutiva

NomeEq. costitutiva

MASSA: M 2

M

m s

cJ D

x

FICK

ENERGIA: 2

Joule

m s

TQ k

x

FOURIER

MOTO: M*v 2

Mv

m s

v

x

NEWTON

FIGURA 1.2 - FLUX


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1.1.2 Euler e Lagrange

Per osservare questi sistemi useremo due metodi:

Euleriano: osserviamo un sistema da fermi mentre il

sistema scorre.

E come se un uomo guardasse un porzione di fiume da

fermo mentre scorre ed osserva cosa vi entra ed esce.

Prendendo quindi un blocchetto infinitesimo osserviamo il

trasporto da fuori a dentro; regime costante e volume costante.

Useremo questo sistema nei nostri studi in questo corso.

Lagrangiano: come se invece di fissare la stessa porzione di fiume da fermi, rincorressimo lo stesso

punto seguendo il torrente. Si tratta quindi di seguire il sistema nel suo percorso, fissare una

molecola. Computazionalmente e pi difficile.

Nozioni fondamentali: vettori, tensori, divergenza e gradente 1.2.1 Vettori e Tensori

Video lezione consigliata di Dan Fleisch What's a Tensor?

https://www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw

Uno scalare non ha direzione, ma solo ampiezza. Un vettore ci posiziona nello spazio,

caratterizzato da ampiezza, direzione e verso. Il tensore invece unentit matematica che

generalizza il concetto di vettore, funzioni e prodotti scalari.; il tensore indica anche il piano di

riferimento. Ad esempio un tensore di 2 grado sar Fyy, il primo pedice indica la direzione

perpendicolare al piano di riferimento mentre il secondo la direzione di F.

Ipotizzando di avere un cubo in 3 (Fig. 1.4), osserviamo quali forze agiscono su tutte le facce del

cubo, riassumibili nella matrice dei tensori

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

.

Nello studio del trasporto, utilizziamo la matrice dei tensori per gli sforzi. I tensori sulla diagonale

principale [ xx , yy , zz ] sono pressioni e sforzi di tensione o compressione, mentre i restanti

FIGURA 1-3: VOLUME OSSERVATO SECONDO UN SISTEMA EULERIANO

FIGURA 1-4: TENSORI APPLICATI AD UN CUBO

https://www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw


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sono sforzi di taglio. Da notare che la pressione e uno sforzo che agisce perpendicolare a un piano

con direzione verso il piano (coie la pressione e sempre compressivo).

Sia lo sforzo che la pressione presentano le stesse dimensioni di una forza per unit di area,

solitamente espressa in [] =[]

[]

La pressione una forza applicata perpendicolarmente allarea di interesse ed e sempre diretta verso il piano. Siccome la direzione e il piano sono definite, viene considerato uno scalare.

Gli sforzi sono classificabili come:

Sforzo di taglio: Avviene lungo una superficie e lo troveremo

spesso scritto come

=

Sforzo di trazione perpendicolare alla superficie. La forza diretta verso lesterno.

Sforzo di compressione perpendicolare alla superficie. La forza diretta verso linterno.

1.2.2 Gradiente e divergenza

Gradiente (GRAD) di uno scalare:

Il gradiente di una funzione scalare e la sua derivata nello spazio. E un vettore che e rappresenta

lampiezza e direzione in cui la funzione ha la massima derivata.

Usiamo loperatore nabla (in inglese Del) per il gradiente.

f i j k fx x x

Per esempio, il gradiente di pressione e

, ,p p p p p p

p i j kx y z x y z

Invece il gradiente di un vettore e un tensore (es v ).


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Divergenza (DIV) di un vettore

La divergenza e la somma delle derivate nello spazio di un vettore. La divergenza di un vettore e un

campo scalare e rappresenta la uscita del campo dal punto (es. campo di velocita). In altre parole, e

una misura della quantita di qualcosa che esce (divergenza positiva+) o entra (divergenza negativa-)

da un punto per unita di tempo.

yx zvv v

vx y z

1.2.3 Il Laplaciano, 2 (in Inglese del squared)

La 2 puo essere definita come e la divergenza del gradiente. Piu difficile da speigare in termini

fisici, e una misura di quanto e diversa la funzione tra un punto e laltro (cioe la seconda derivata!)

2 2 22

2 2 2.

s s ss s

x y z

Per un vettore invece la 2 deve essere definita in ogni direzione, quindi e piu complicato.

2 2 22

2 2 2

x x x

x x

v v vv v

x y z

2 2 2

2

2 2 2

2 2 22

2 2 2

y y y

y y

z z z

z z

v v vv v

x y z

v v vv v

x y z

Infine il prodotto scalare (o meglio dot product) tra un vettore e il gradiente di uno scalare (che e

sempre vettore) e scritto:

. x y zs s s

v s v v vx y z

, ed e uno scalare.

Da notare che il dot product tra un vettore e il gradiente di un vettore e un vettore.

Per esempio, v v e un vettore.

Il Laplaciano, ovvero 2 , ha delle diverse espressioni per i vari sistemi di riferimento.

Analizzeremo 2 , con scalare.

In un sistema cartesiano: 2 2 2

2 2 2x y z

In coordinate sferiche:2

2

2 2 2 2

1 1 1sin

sin sinr

r r r r r


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In questo caso consideriamo solitamente variazioni lungo il raggio, importante ricordare solo

2 2

2

1r

r r r

poich la parte restante non varia quasi mai

In coordinate cilindriche:2 2

2 2 2

1 1r

r r r r z

In coordinate cilindriche raramente consideriamo variazioni in .

1.2.4 Velocit, accelerazione e flusso volumetrico

Definizione formale di velocit.

La velocit un vettore che dipende da spazio e tempo ( , , z, t)V x y . I

vettori rossi in Figura 1.5 rappresentano la velocit di ogni punto, quello

nero il vettore normale alla superficie.

La velocit media lintegrale di tutte le velocit.

1Vmedia

A

v ndAA

Esprimiamo il flusso volumetrico in funzione della velocit media

VflussoVolumetrico mediaA

Q A v ndA cos che

32m mQ VA m

s s

Il flusso di massa verr espresso come * tempo

media

A

massaJ v ndA V

area

Accelerazione.

La velocita e funzione di spazio e tempo.

( , , , )v v x y z t , x y zdx dy dz

v iv jv kv i j kdt dt dt

La differenziale della velocita e:

(1)

v v v vdv dx dy dz dt

x y z t

FIGURA 1- 5: VETTORE DI VELOCITA


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Laccelerazione e la variazione di velocit sia nello spazio che nel tempo. In regime Euleriano devo

trattare le variazioni nello spazio separatamente ma nel Lagrangiano no. Esprimeremo

laccelerazione dividendo lEq. 1 per dt

dv v dx v dy v dz v

dt x dt y dt z dt t

x y z

dv v v v vv v v

dt x y z t

Rappresentabile secondo quella che conosciuta come Formula di Newton

dv va v v

dt t

dove

v

t

un termine di accelerazione locale di tipo newtoniano.

Invece il secondo termine v v si usa solo per i fluidi- unaccelerazione che avviene nello spazio,

quando cambia lo spazio nel campo di velocit ad esempio quando cambiano le sezioni e le forme di

tubi.

1.2.5 Material Derivative

Il material derivative e la derivata in tempo di una funzione mentre viene seguita una particella di

fluido. E nota anche come la derivata Lagrangiana o derivata sostanziale e rappresenta la variazione

nel tempo di una certa propriet di una particella fluida che si muove con velocit. Cioe, bisogna

fare conto che la funzione cambia sia nello spazio che nel tempo. Il material derivative collega la

descrizione Lagrangiana con quella Euleriana. La funzione puo essere velocita, densita,

temperatura ecc.

Per cui laccelerazione e la derivata materiale della velocita.

2 Equazione di conservazione di massa, continuit Stazionariet: equilibrio conservazione.

Un sistema stazionario rimane invariante nel tempo pur non essendo completamente fermo. Un

movimento non stazionario caratterizzato da unaccelerazione mentre i sistemi stazionari sono

chiusi e conservativi.

Analizziamo il concetto di conservazione, sistemi cosiddetti conservativi.

L E

Dv

Dt t


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Osservando il blocchetto infinitesimale (Fig.2.1), prestiamo attenzione a ci che entra e ci che esce.

Se notiamo un aumento della massa nel tempo vuol dire che entrato qualcosa e nulla (o non

abbastanza) uscito.

Lo stesso vale per la diminuzione, poco o nulla sar entrato e qualcosa sar uscito. Potremmo

immaginare che dentro a questo black box ci sia un sistema chimico che ipoteticamente produce

massa o la consuma (ipotetico perche sappiamo che Massa non puo essere creata o distrutta).

Terremo conto di questo aggiungendo un termine ipotetico, che comunque e pari a zero.

Questa di per se unequazione di conservazione, dimensionalmente avremo:

=

[]

[]

La variazione di flusso []

[]2[] quindi per avere un riscontro dimensionale dobbiamo molteplicare

per larea []2 ottenendo []

[], ovvero flusso per superficie in ingresso e in uscita.

2.1.1 Equazione di conservazione:

=

|

|

Consideriamo ora che = dove indica la densit ed il volume sar costante poich

siamo in regime Euleriano.

Osserviamo quel che entra ed esce dalla faccia x-y

avremo:

( ) ( )x xin x out x x

mx y z v y z v y z

t t

Semplificando e dividendo per x y z :

( ) ( )x xin x out x xv v

t x

Nel limite di piccole variazioni le diventano d, per cui:

=

()

Quanto detto estendibile in tutte le dimensioni, perci lequazione di continuit o equazione di

conservazione di massa verr espressa tramite loperatore nabla come:

.( ) ( . . )v v vt

In genere consideriamo di essere in condizioni isotermiche e presenza di fluidi incomprimibili.

Dunque, trovandoci in un sistema euleriano (volume costante) la densit non varia. Quindi per =

FIGURA 2-1: VOLUMETTO FISSO


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potremo estrapolarlo dalla parentesi a destra ed ovviamente dire che la derivata di una

costante zero 0d

dt

e quindi che la divergenza della velocit zero 0V .

Ci significa che la somma delle velocit che entrano o escono in un punto devono essere uguali a 0.

Ci perch non possiamo avere n sorgenti di massa, visto che non si crea dal nulla, n consumi di

massa dal nulla (buchi neri).

Per esempio, considerando un sistema bidimensionale per semplicita, lequazione di continuita per

un fluido incomprimibile.

0yx

y z

vvv

x y

v v

y z

La derivata di velocita lungo x deve essere compensata dalla derivata lungo y.

E utile esprimere lequazione di continuit usando la derivata materiale della densit .

.D

vDt

Ovviamente e zero per un fluido incomprimibile.

Osserviamo ora un esempio di sistema chiuso, il sistema vascolare. Presenta un flusso ed

caratterizzato da un volume costante, poich quel che entra corrisponde a quel che esce a meno di

condizioni patologiche (es. emorragia), importante anche che non ci siano accumuli.

Flusso di massa che entra = Flusso di massa che esce

in out

massa massa

s s Converr sempre esprimere la

massa come densitvolume cos che in out

Vol Vol

s s

3 3

in out

m m

s s

e scomponendolo cos da evidenziare un termine di velocit 2 2

in out

m mm m

s s potremo

scrivere:

in outArea Velocit Area Velocit

Per le considerazioni successive prenderemo in caso un tratto di vaso come quello in Figura 2.3.

FIGURA 2-2 - SEZIONE VASO


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Abbiamo 2 ingressi con Vin , Vout , A e A . Se e costante, i flussi in ingresso ed in uscita dovranno

eguagliarsi cos che: in outJ J e in outQ Q . Ci significa che in in out outV A V A e che AV .

2.1.2 Il sistema vascolare rispetta la legge di continuit.

Il percorso della circolazione segue uno schema come in Figura 2.4, le arterie si diramano formando

arteriole e infine i capillari. I 5L in uscita dallaorta rientreranno tramite la vena cava, non vero in

caso di emorragie o aneurismi. Possiamo dire che il flusso in uscita dallaorta corrisponde alla

sommatoria del flusso nei capillari.

1

n

aorta capillare

capillare

Q Q

Da questa relazione possiamo ricavare una stima del numero di capillari. Sapendo infatti che il

diametro dei globuli rossi di circa 8m e che nei capillari essi procederanno in fila strisciando

contro le pareti, anche i capillari avranno un diametro di 68 8 10 m m . La lunghezza

media di un capillare di 1mm, per percorrerlo un globulo rosso ci impiega 1 secondo.

31 10mm m

Vs s

1

3 33 6 2

9

5min

5 1010 (4 10 )

60

10

n

aorta capillare

capillare

c

c

capillari

Q Q

LVAn

m mn

s s

n

FIGURA 2-3: CONTINUIT DEL FLUSSO PER UN SISTEMA INCOMPRIMIBILE

FIGURA 2-4: SISTEMA VASCOLARE


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3 Fluidi: Fluidodinamica e reologia Idrostatica

In questo ambito della fisica i fluidi si trovano in condizioni di staticit 0dV

dt perci 0

mV

As

Osserveremo qui il trasporto di moto, che il pi complesso poich la velocit, come detto

precedentemente, un vettore, mentre le altre grandezze considerate negli altri trasporti sono

scalari. Il trasporto di moto quindi rappresentato da un tensore.

Osserveremo come esempio un liquido in un bicchiere. Non si muove, condizione di stazionariet.

Abbiamo un semplice bilancio di forze. Il liquido ha

densit .

Quali forze agiscono?

Forza di gravit: mg

Forza di pressione: P e P+dP

Ricordarsi di moltiplicare le pressioni per larea

superficiale su cui agiscono e di sostituire per

praticit m V , o anche meglio m Adz .

Scriviamo lequazione per il bilancio di forze in direzione verticale.

( )mg P dP A PA Adzg PA dPA PA dzg dP Integrando avremo

22

1

1

Pz

zP

g dz dP 1 2 2 1( )P P g z z Potremo concludere che 1 2P P .

N.B. P1 la pressione agente in basso e P2 quella pi in alto, rispettivamente in z1 e z2.

Proviamo a calcolare la pressione in un bicchiere dacqua usando la formula P gh . Ragionare in

m*k*s e ricordare che

2 31000H O

Kg

m

29.8

mg

s

210 10h cm m

2

3 21000 *9.8 *10

Kg mP m

m s

Moltiplico e divido per m

298 *

Kg m

ms m

21 1 * /N Kg m s

298

NPa

m

FIGURA 3.1: PRESSIONE IDROSTATICA


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3.1.1 Pressione sanguina

Spesso in campo medico, si utilizza come unit di misura per la pressione i millimetri di mercurio

mmHg. La pressione sanguigna in un uomo standard mediamente definita da:

Pressione sistolica 120 mmHg

Pressione diastolica 80 mmHg

La pressione atmosferica quella che abbiamo in una colonna alta quanto latmosfera (Km). Non

possiamo stimarla con la nostra formula perch la densit dellaria cambia.

La pressione a livello del mare 760mmHg, che analoga alla pressione in una colonna di 760mm

con del mercurio; stato scelto il mercurio perch un elemento molto denso:

313600 13.6mercurio

Kg

m volte pi denso dellacqua. Per sapere quanti Pascal sar sfrutteremo la

formula P gh . 5

3 213600 *9.8 *0.760 101292 10

Kg mP m Pa Pa

m s

760 mmHg=105 Pa 1 mmHg=131 Pa

Osserviamo la pressione nel cuore.

La pressione nellaorta, che sta alla nostra sinistra, oscilla fra 120 e 80, considereremo quella media

di 100 mmHg (pressione arteriosa). La pressione nella vena cava, alla nostra destra, di circa 0

mmHg (pressione venosa).

Calcolare la pressione nella testa e nei piedi di un uomo standard.

Altezza uomo standard: 170 cm, Altezza donna standard: 164 cm

Ipotizzeremo che luomo sia in piedi poich fosse supino non potremmo utilizzare la formula

P gh essendo laltezza dei punti del sistema di nostro interessa circa la stessa.

FIGURA 3.2: PRESSIONE NEL CUORE


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Sappiamo che la densit del sangue simile a quella dellacqua

31021blood

kg

m pi alta perch contiene del ferro nei globuli

rossi, approssimiamo comunque a 1000 kg.m3. Quello che dovremo

fare sar schematizzare luomo come un tubo alto 170cm pieno di

sangue.

Pressione testa

Considero il cuore come elemento 1, quindi:

P1=100 mmHg; z1=0 m , trasformandolo in Pascal P1=13100 Pa.

P2=Ptesta=?; z2=50c m; 213100 1000*9.8*(0.5 0)P

2 8200 63 testaP P Pa mmHg

Pressione piedi

Considero il cuore come elemento 1, quindi:

P1=100 mmHg; z1=1,2 m ;

P2=Ppiedi=?; z2=0 cm; 213100 1000*9.8*(0 1.20)P

2 24860 189.77 piediP P Pa mmHg

I risultati corrispondono a quanto ci saremmo aspettati. La pressione ai piedi maggiore perch

pi lontana dal cuore e il sangue deve risalire lungo il corpo. Quando si ha la pressione bassa gira la

testa perch non vi una spinta sufficiente per far fluire il corrente ammontare di sangue verso le

parti alte del corpo.

Viscosit 3.2.1 Introduzione

La viscosit la resistenza di un fluido a muoversi/fluire. Solo i fluidi

hanno viscosit, la esprimiamo con (miu) .

Supponiamo di avere un cilindro vuoto (Fig. 3.4) al cui interno posto un

altro cilindro pieno collegato ad una manovella. Se pongo un solido

nellintercapedine tra i due cilindri, la forza da applicare per muovere il

cilindro interno proporzionale allangolo .

Se invece di un solido utilizzassi un liquido, le molecole si appoggiano

alla parete, perch le molecole nei liquidi tendono ad appiccicarsi alle

superfici. Se ora provo a ruotare il cilindro interno noto che la forza

non proporzionale allangolo ma alla velocit, quindi nei fluidi

avremo una relazione del tipo

/

FIGURA 3.4: CILINDRO

FIGURA 3.3: UOMO STANDARD


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Quindi la differenza tra solido e liquido non solo nella dispersione delle molecole, ma anche dovuta

ai diversi attriti.

Possiamo brevemente riassumere le proprieta e le differenze tra liquidi, solidi, gas e tra solidi e

fluidi.

Un solido resiste a deformazione, mentre un fluido resiste a scorrimento. Dallesempio in Fig. 3.4

infatti possiamo dedurre che i liquidi resistano alla velocita di deformazione mentre i soldi alla

quantita di deformazione. Altra differenza: i fluidi non hanno di una forma propria.

Unaltra differenza che le molecole dei fluidi si attaccano alle superfici e non scivolano. Questa

propriet e nota come no-slip.

I fluidi che dividiamo tra liquidi e gas presentano ulteriori differenze.

Nei gas le molecole sono abbastanza distanti da non interagire troppo tra loro, mentre in liquidi

come lacqua ho una forte interazione data dai legami a idrogeno, anche nei polisaccaridi vi un

fenomeno analogo tra le lunghe catene intrecciate.

La differenza tra un liquido e un gas e che il primo prenda la forma del contenitore ma non il

volume, cioe in condizioni di quasi equilibrio il liquido incomprimibile e inespandibile.

3.2.2 Piatti paralleli

Osserviamo ora il caso di due superfici (due piatti) parallele

tra loro, separate da un liquido (Fig. 3.5). Il piatto superiore

fermo, mentre il piatto inferiore si muover con velocit

V.

Data la condizione di no-slip, le molecole vicino al piatto

inferiore saranno attaccate allo stesso e come lui si

muoveranno con una velocit V, mentre quelle vicino al

piatto superiore avranno velocit nulla.

In regime stazionario, mantenendo il movimento del piatto inferiore costante V=cost, vedremo che

le molecole in movimento interagiranno con quelle accanto sul piano superiore e trasmetteranno il

moto con piccole perdite.

Allequilibrio avremo un profilo di velocit lineare (Fig. 3.6), dove appunto

sopra sar nullo e sotto costante.

Siccome il fluido e appiccicoso, perch il piatto si muove con una

velocit V, dobbiamo applicare una forza per vincere lattrito. La

forza applicata per unit di area del piatto proporzionale al

gradiente di velocit corrispondente anche alla pendenza della

retta.

Analiticamente si ha:

. La forza che applico mi dice quanto veloce scorre il fluido. Anche

larea importante, perch maggiore e larea di contatto con le molecole, maggiore e la forza

FIGURA 3.5: EVOLUZIONE DEL PROFILO DI VELOCIT

FIGURA 3.6


17 27/10/2017

necessaria. La Y laltezza del piatto, inversamente proporzionale alla forza perch pi lontano e

il piatto fermo meno sento le molecole ferme.

Entra in gioco la costante di proporzionalit, i.e. la viscosit:

=

da cui trarremo la conclusione

che per una viscosit maggiore necessiteremo di una forza maggiore. importante notare che la

velocit nel caso da noi analizzato sviluppa lungo x, sar pi corretto quindi scrivere:

=

Inoltre la relazione precedente

potr essere riscritta come: =

Ragionando in termini infinitesimali avremo lequazione costitutiva: =

Si noti che stato inserito il segno meno poich il trasporto opposto alla differenza, ovvero il

trasporto di moto va verso dove la V minore.

Ricordiamo che lo sforzo di taglio, la viscosit e

il gradiente.

Se invertissimo i due piatti, ponendo quindi in movimento quello superiore mentre quello inferiore

rimane fermo, avremmo pur sempre un meno perch ho che la differenza di velocit e il flusso della

quantit di moto sono diretti in modo opposto. Il gradiente sar sempre negativo anche nei casi di

trasporto di energia e massa che vedremo in seguito.

A regime abbiamo una distribuzione come in

Figura 3.7 (frecce rosse), dovuta anche alla

condizione di NO-SLIP che il fenomeno per cui

le molecole del fluido sono appiccicate alla

parete cos che Vliquido alla parete =Vparete.

Lo stesso vale tra uno strato e un altro di

molecole, in questo caso per pi corretto

dire che quel che viene trasferito il moto e

non la velocit.

Accenno alla reologia

La reologia e quel ramo della scienza che studia la meccanica dei fluidi non-ideali.

Iniziamo definendo i fluidi ideali: come i gas ideali, non esistano ma possiamo considerare i fluidi

ideali quelli che non sentono attriti e quindi muovono insieme alla stessa velocit. Un fluido ideale :

i) incomprimibile, ii) irrotazionale, iii) inviscido.

Rivediamo il caso delle superfici parallele, una ferma ed una con velocit V, con dentro un liquido

(Fig. 3.7). Avevamo osservato la formazione di strati detti lamine che hanno tra loro velocit diverse,

ma allinterno forma dunque uno strato che ha la stessa velocit. Definito lo sforzo di taglio in

FIGURA 3.7: FLUSSO LAMINARE


18 27/10/2017

questo caso come xdV

dy , con il concetto di tensore possibile esprimere questa formula

come xyxdV

dy . Dove i pedici yx indicano il piano perpendicolare e la direzione di applicazione

e su cui applicato. Volessimo lo sforzo lungo x perpendicolare al piano z scriveremmo

zxz

dV

dx .

Facendo il grafico del gradiente di velocit con lo sforzo di taglio avremo una retta. La pendenza

negativa e ci dice quanto viscoso il liquido, ovvero quanto

attrito vi tra le molecole dello stesso. Dal grafico accanto

possiamo notare che 1 2 3 . A parit di sforzo yx , il

liquido meno viscoso ha un gradiente maggiore perch pi

facile da spingere. Mentre quello con attrito maggiore ha

un gradiente inferiore, pi appiccicoso.

Annoteremo il gradiente di velocit come .

dV

dy cos che per semplicit avremo .

I fluidi la cui viscosit non varia con la velocit (meglio, il

gradiente di velocit) vengono detti fluidi Newtoniani.

I fluidi dove aumenta la resistenza allo scorrimento al diminuire dello sforzo di taglio, ovvero

aumentando lo sforzo il fluido scorre meglio vengono definiti come pseudoplastici o shear thinning.

Un fluido tipicamente shear-thinning, oltre al sangue di cui parleremo dopo, la pittura. Inizialmente

resistente, sottoposta alleffetto delle setole dei pennelli diventa pi facile da muovere cos che

possa essere stesa sulle superfici dove poi asciugher velocemente. A livello molecolare succede che

le catene inizialmente intrigate, iniziano a districarsi una volta iniziato a mescolare. Altro esempio

sono le sabbie mobili.

Il comportamento opposto tipico dei fluidi dilatanti o shear thickening. Aumentando lo sforzo di

taglio (pi lo muovo), pi difficile diventa muoverlo. Tipico esempio lamido.

Ci sono poi materiali fluidi come la maionese, che iniziano a muoversi dopo uno sforzo di taglio

critico, vengono cos definiti i fluidi di tipo Bingham, che seguono la legge critico .

Mentre ognuno dei fluidi presenta unequazione diversa, potremmo scrivere unequazione generale:

n dove n varr:

Tipo fluido Esponente associato a (n) Fluidi ideali 0

Fluidi newtoniani 1

Thinning n1

FIGURA 3.8: GRAFICO SFORZO DI TAGLIO E GRADIENTE DI VELOCIT


19 27/10/2017

Il sangue un fluido di tipo Cassoniano, una via di mezzo tra un Bingham e un fluido shear-

thinning. Infatti presenta un critico e poi si comporta come un tixotropico. Lequazione costitutiva

per un fluido di Casson critico e per un tixotropico

1

2 (si tratta di equazioni

empiriche).

Riepilogo equazioni costitutive:

Fluidi newtoniani

Fluidi Pseudoplastici o Shear Thinning 1

2

Fluidi Dilatanti o Shear Thickening 2

Fluidi di Bingham critico

Fluidi di Casson critico

FIGURA 3.9: GRAFICI SFORZO, GRADIENTE DI VELOCIT PER LE VARIE CATEGORIE DI FLUIDO

Nel corpo umano i fluidi di nostro interesse sono non-lineari, cioe non-Newtoniani. Per esempio:

Liquido sinoviale, Lacrime, Sangue, Succhi gastrici, Saliva, Muco, Linfaecc.

3.3.1 Unita di misura della viscosit

Poniamo momentaneamente la nostra attenzione sui fluidi Newtoniani. Essi rispondono alla legge

dV

dx in maniera lineare, non hanno comportamenti anomali e sono liquidi con basso peso

molecolare, non si presentano shear thinning or thickening.

Dimensionalmente [ ]

[ ][ ]

FPa

P mentre il gradiente di velocit

2m

s, da queste due informazioni

ricaviamo che *Pa s valido nel sistema MKS. Viene spesso misurata anche in Poise, o meglio

centiPoise (cp).

Considerando che 2

310H O Pa s e

21H O cp

31 10cp Pa s

Dati utili:

6

3

10

4 4 10

1

Air

Blood

Glicerolo

Pa s

cp Pa s

Pa s


20 27/10/2017

Linee di Flusso

Riprendiamo ora il modello dei piatti mobili, ricordiamo che ci troviamo in condizione di No-slip e

che vi la creazione di un flusso laminare. Ogni particella segue il suo percorso e non interseca

quello delle molecole adiacenti. Possiamo realizzare dei diagrammi dove vengono rappresentate le

linee di flusso, linee tangenti alla velocit delle particelle. Per definizione le particelle non possono

attraversare le linee di flusso e le linee non possono intersecare (altrimenti una particella avrebbe 2

velocita). Non siamo in presenza di un flusso turbolento2, rispettata la legge di continuit, quindi

ci che entra corrisponde a quel che esce dal sistema.

Vt

Nel caso di un fluido incomprimibile Qin=Qout, che come abbiamo visto ci permette

di concludere che VinAin= VoutAout.

In un vaso in cui la sezione si riduce potremo

affermare che Vin


21 27/10/2017

Inoltre, il flusso di tipo laminare (cioe non e turbolente).

costdV

dr . Cioe, fluidio Newtoniano.

Tenendo conto di queste informazioni, notiamo che non c unaccelerazione. Possiamo fare un

bilancio di forze.

Consideriamo un cilindretto al centro di un cilindro (Fig.3.11), le cui dimensioni saranno dz e dr.

Tenendo conto solo delle forze agenti lungo lasse z, ignoriamo la forza di gravit. Avremo da un

lato P e dallaltro P+dP, con verso opposto. La terza forza da considerare lattrito, supponendo

che il cilindretto muova verso destra esso sentir le altre molecole ai lati che devono scivolare fra di

loro.

2 2( ) 2

forze forze

P r P dP r dz r

Le pressioni vanno moltiplicate per larea del cilindro (faccia piana). Lattrito uno sforzo di taglio

agente sulla superficie del cilindro.

2P r 2P r 2dP r 2dz r

2

2

dPr dz

dP r

dz

Abbiamo definito lequazione di Stokes, che esprime un bilancio di forze di un fluido che si muove in

condizioni stazionarie.

Considerando il fluido come Newtoniano, come premesso zdV

dr

zdV

dr

2

dP r

dz

2

dV dP r

dr dz Il valore

dP

dz una variazione di pressione lungo z, costante. La pressione varia,

non pu essere uguale nei due punti, ma varia in maniera costante. Ci dovuto allipotesi di

stazionariet, altrimenti sarebbe presente unaccelerazione. Basti pensare ad un rubinetto da cui

scorre dellacqua, se ruotiamo la manopola varier la pressione e il flusso osciller. Perch

cambiando la pressione varia anche la velocit. Considerando quindi questo valore come costante

potr separare le variabili ed integrare. Serviranno le condizioni al contorno, per il No-Slip la velocit

alle pareti in r=R v=0.

0

2

, @ , 02

1

2 2

rdP r

dV dr r R vdz

dP rV c

dz


22 27/10/2017

210

2 2

dP Rc

dz

21

2 2

dP Rc

dz

2 21( ) ( )4

dPV r r R

dz Questa lequazione generale base della fluidodinamica che ci permette

di capire come varia la velocit lungo il raggio.

Possiamo scriverla anche come 2 21( ) ( )

4

dPV r R r

dz , non negativa poich la derivata della

pressione lungo z negativa. Infatti se volessimo spingere un fluido dovremmo applicare pi

pressione iniziale e quindi la variazione risulterebbe negativa, poich la pressione diminuir

allaumentare di z.

Vogliamo individuare come varia la velocit rispetto ad r, plottiamo quindi V(r):

Landamento di tipo parabolico,

nella parete 0, al centro la

velocit massima.

2

max

1

4

dPV R

dz

Il profilo di velocit avr un andamento parabolico come in Figura 3.12-13.

Ricaviamo il flusso volumetrico Q.

VflussoVolumetrico mediaA

Q A nVdA Non considereremo il vettore normale,

poich larea gi normale al vettore flusso.

2 2 3 2

0 0

1 2( )2 ( )

4 4

R RdP dP

Q r R rdr r R r drdz dz

4 44( )

2 4 2 8

dP R R dPR

dz dz

4

8

dPQ R

dz

Equazione di Poiseuille.

FIGURA 3.13 - PROFILO VELOCIT IN UN CILINDRO RIGIDO

FIGURA 3.12: PROFILO PARABOLICO


23 27/10/2017

Lequazione di Poiseuille 4

8

dPQ R

dz

esprime il flusso in un condotto cilindrico con le

suddette condizioni iniziali. Lunit di misura Volume/Tempo.

La viscosit al denominatore perch esprime la resistenza o difficolt a scorrere del fluido, infatti

se grande Q sar piccolo. Il raggio influisce con un fattore elevato alla quarta.

Dipender anche dal gradiente di pressione applicato, maggiore la spinta, maggiore il volume in

uscita.

dP

dz difficilmente misurabile, combinando lequazione di Stokes e quella di Poiseuille possiamo

ricavare unespressione dello sforzo di taglio alla parete di un tubo.

Eq. Poiseuille 4

8

dPQ R

dz

Eq. Stokes

2

dP r

dz

4

3

2

8

4

wall

wall

dP R

dz

dP Q

dz R

Q

R

o

Questa formula serve per stimare il comportamento del sangue nei vasi. Si sottolinea stimare poich

le formule ricavate sono state trovate grazie a delle ipotesi sul fluido e sul vaso che non sono

rispettate dal sangue:

Il sangue non un fluido Newtoniano, ma di tipo Casson. Inoltre, il flusso non stazionario perch

oscilla rispetto al tipo di vaso percorso. Pu per essere semplificato come stazionario per tempi di

osservazione lunghi, poich vi uniformit nel tempo.

Il flusso nei vasi, ad esempio laorta, non laminare e i vasi non sono rigidi n infinitamente lunghi.

Per lequazione di Poiseuille e una buona prima approssimazione.

Proviamo a stimare lo sforzo di taglio alla parete dellaorta:

3 35*105

min 60

L mQ

s

; 34 4 10Blood cp Pa s ; Raorta=1.5cm; Diametro=3cm;

3 6

3 2 3

34 4*4*10 10

(1.5*1

5*10 80

60 0 ) 60wall

Q

R

63.375* 10 Pa

0.1257 0.13wall Pa Pa

La velocit media sar:

4

2

2

1 8

8media

A

dPR

Q dP RdzV vdA

A A R dz


24 27/10/2017

Numero di Reynolds (Re).

Il numero di Reynolds un valore adimensionale che esprime il rapporto fra le diverse forze in gioco

in un sistema, nello specifico le suddette forze sono le forze inerziali e quelle viscose.

Forze Inerziali Unit di VolumeRe

Forze Viscose Unit di Volume

Esprime dunque quanto prevale linerzia sullattrito, ovvero esprimere la difficolt di fermare

loggetto rispetto a farlo scorrere.

La forza inerziale si esprime come F=ma che moltiplicata per lunit di volume diventa: m a

V

Sappiamo che m

V la densit ed esprimendo a come

2v

L (velocit al quadrato fratto lunghezza)

otteniamo 2

inerziali

vF

L

.

La forza viscosa invece A che moltiplicata per unit di volume diventa 2L

3L

.

Sapendo che dV

dx ed esprimendo

dV

dx come

v

L ovvero lespressione generale, otterremo

cos 2vis e

vF

L .

Essendo il numero di Reynolds il rapporto fra le due, sar vero che:

RevL

La velocit delloggetto v, la densit del fluido, la viscosit dello stesso e L la lunghezza

caratteristica. Per convenzione, in caso quando studiamo il flusso allinterno di un tubo la L il

diametro e per un solido che muove in un fluido, L e la lunghezza delloggetto lungo la direzione di

flusso.

Il numero di Re ci permette di capire quale delle due forze predominante in un sistema, inoltre

serve per capire se si avr un flusso laminare, in cui le forse viscose sono importanti, oppure un

flusso turbolento in cui lattrito trascurabile. Pi grande il numero di Reynolds maggiore

linerzia, pi piccolo Reynolds minore linerzia. Non e necessario il valore preciso de Re, ma solo

lordine di grandezza.

Re5000 flusso turbolento, lattrito quasi trascurabile si muove tutto pi o meno alla stessa

velocit, difficile prevedere il comportamento in between nel mezzo; vi la predominanza degli

effetti inerziali

2000


25 27/10/2017

Questo parametro ci permette di determinare se possibile applicare le leggi viste prima; cos da

capire in che modo si muove un sistema conoscendone densit, viscosit, lunghezza e velocit. Se la

fluidodinamica di 2 sistemi e uguale hanno lo stesso numero di Reynolds. Vice versa, se due sistemi

hanno lo stesso Re, il carattere del flusso (es. linee di flusso hanno lo stesso andamento) dei due

sistemi e uguale. Sapendo questo ci permette di costruire dei modelli di areoplani e testarli nelle

gallerie, tenendo fermo laeroplano e muovendo laria intorno. In inglese si dice che i due sistemi

hanno dynamic similarity.

Questo numero importante perch

permette anche di capire che andamento

avr un corpo quando si muove in un

determinato mezzo. Ad esempio pi

facile nuotare in una piscina con acqua

rispetto a una con olio.

Consideriamo ad esempio un pesce che

nuota, dovr spostare e quindi spingere

lacqua davanti a se; deve quindi superare

la densit dellacqua che la forza dinerzia detta in questo caso pressure drag. Laltro fenomeno

che si presenta quello dellattrito, poich vi un rallentamento dovuto allattrito del pesce con

lacqua, detto friction drag.

Il numero di Reynolds ovviamente una stima, anche perch spesso la lunghezza caratteristica non

tiene conto della geometria delloggetto.

Infatti se abbiamo due oggetti con la stessa lunghezza,

con uno che si muove come in Fig.3.16, esso avr

uninerzia maggiore (dovr spostare pi fluido) e meno

attrito.

Mentre nel caso in Fig.3.17 ci sar maggiore attrito e

minore inerzia.

Spesso il numero di Reynolds sar espresso come ReVL

, dove la viscosit cinematica che

corrisponde a

. Se la viscosit dinamica nel sistema (c.g.s.) misurata in Poise e descrive

lattrito, la viscosit cinematica nel sistema (c.g.s.) misurata in Stokes. La viscosita dinamica

definisce il grado di attrito interno del fluido, mentre quella cinematica puo essere considerato

come lappiccicosit e la resistenza al moto del fluido.

FIGURA 3.14: - EFFETTI DI PRESSURE DRAG E FRICTION DRAG SU UN PESCE CHE NUOTA.

FIGURA 3.15

FIGURA 3.16


26 27/10/2017

Possiamo confrontare il Re per diversi sistemi biologici. Da notare che animali grandi hanno Re alto

mentre quelli piccoli hanno Re basso.

Re

Balena nuota a 10 m/s 300 000 000

Uomo 70 kg nuota a 1 m/s 1 730 000

Falco vola a 30 m/s 1 125 000

Ape vola a 6 m/s 30

Batterio nuota a 0.01 m/s 0.00001

3.6.1 Lo strato limite

Quando parliamo delleffetto di attrito di un fluido, parliamo dello strato limite. Lo stato limite e

uno strato vicino alloggetto che muove grazie al No-Slip. Ad esempio nel caso di un pesce che

muove nel mare, le particelle si muovono come il pesce a cui sono attaccate. Il moto viene trasferito

laminar mene, man mano diminuisce finch si arriva in una zona di mare in cui non pi percepibile

leffetto del pesce.

FIGURA 3.17 :STRATO LIMITE

In un condotto dove scorre un fluido lo strato limite la zona adiacente alla parete; se il condotto

stretto lattrito si sentir ovunque, se largo si sentir solo ai bordi e non al centro.

Per calcolarlo bisogna prima definirlo, quella zona in cui la velocit il 99% di quella delloggetto;

questa definizione risulta per confusa, perci utilizzeremo Reynolds.

Il numero di Reynolds esprimer la zona in cui vi una maggioranza di forze viscose, mentre al

centro vi una maggioranza di forze inerziali.

Ricordiamo che le forze viscose sono cos 2vis ev

FL

e quelle inerziali 2

inerziali

vF

L

.

Indichiamo allora con la zona limite e consideriamo che le forze viscose sono una percentuale delle forze inerziali, esprimendo ci con il parametro k .

2

2

v vk

L

.

Esprimiamo in funzione di Reynolds: 2

2

Lv

k v


27 27/10/2017

Occorrer moltiplicare e dividere per L, cos che: 2

2

2 Re

L L Lv

L kk v

Potremo dire quindi che Re

L , perci quando Re diminuisce, lo strato limite ( ) aumenta.

Equazione di Bernoulli

Per analizzare le zone dove lattrito non importante, come in grandi masse di fluidi (es. il mare) o

lontani dalle pareti (condotti grandi), parliamo di fluidi ideali detti meglio fluidi inviscidi, dove non vi

sono effetti viscosi, ogni singola particella non influisce sul comportamento delle altre.

Il comportamento fluidodinamico di un fluido inviscido, che sia anche stazionario, rappresentato

dallequazione di Bernoulli.

Tracciamo le linee di flusso che indicano il moto, come gi visto le particelle sono tangenti e non

possono attraversare le altre linee.

Dal momento che consideriamo un

fluido stazionario non vi saranno

variazioni di velocit rispetto al

tempo, ma vi saranno componenti di

accelerazione nello spazio:

dva

dt x

dvv

dx

Lequazione di Bernoulli esprime un

bilancio di forze in questo sistema,

riconducibili a F=ma.

Consideriamo un sistema con un flusso in una certa direzione, esprimiamo il bilancio di forze su un

volumetto di fluido cos come in Figura 3.20A. Per scomporre le forze sar utile considerare i vettori

come in Figura 3.20B.

FIGURA 3.18: LINEE DI FLUSSO IN CONDOTTO LARGO CON FLUIDO INVISCIDO

FIGURA 3.19: A) VOLUMETTO DI FLUIDO, B) COMPONENTI ORIZZONTALI E VERTICALI DI S


28 27/10/2017

Il bilancio di forze sar: dv

F ma mvds

vedremo variazioni di velocit lungo s,

leffetto della gravit e delle pressioni che agiscono sui lati del volume.

La forza risultante della pressione [ ( )]P P dP A , dunque dPA . Il componente della gravit

lungo s sar invece sinmg (vedi Fig.3.20B).

sindv

mv dPA mgds

Essendo il volume costante potremo esprimere m Volume Ads , inoltre sindy

ds

(Fig.30B).

A dsdv

vds

dP A A dsdy

gds

vdv dP gdy Presentata come segue 0vdv dP gdy sar lequazione differenziale

di Bernoulli.

0vdv dP gdy Integrandola otterremo che:

2

costante2

vP gy Equazione di Bernoulli.

Considerato che rho una costante, pu essere assimilata nel termine costante al secondo membro,

lequazione sar: 2

costante2

v Pgy

.

3.7.1 Pressione statica e cinetica

Sappiamo che il primo membro una Forza per Area (F/A), moltiplicando e dividendo per L avremo:

F L Energia

Area L Volume sar allora corretto vedere lequazione di Bernoulli come segue:

. .Pressione .Potenzialecostante

E Cinetica E E

Volume Volume Volume ci ci permette di evincere che in un fluido

inviscido non si hanno perdite dovute allattrito. Esso visto in termini di energia.

Possiamo osservare la formula anche in termini di Pressione:

Pressione Cinetica+Pressione Statica+Pressione Idrostatica=costante

Se ho un fluido in un condotto e metto un manometro per misurare la pressione otterr dei risultati

diversi a seconda del modo in cui posizionato il sensore (cioe manometro), osserveremo i casi 1 e

2 come in Figura 3.21. Nel caso 1 viene misurata sia la pressione P sia la pressione cinetica 2

2

v ,

poich per come posizionato esso cattura anche lo scorrere del fluido. Nel caso 2 esso misura

solo la pressione statica del fluido P. f


29 27/10/2017

Osservando laltezza del fluido nelle colonne nei rispettivi casi possiamo affermare che la pressione

misurata in 1 maggiore di quella in 2.

Questo principio viene sfruttato nel tubo di Pitot, che ci permette di conoscere la velocit del fluido

conoscendo la differenza dellaltezza.

Nella configurazione 1 abbiamo che 2

2 1

1

2v P P ; 2 1

( )2

P Pv

Nel caso di idrostatica ritroveremo la legge trovata in precedenza, poich lequazione di Bernoulli si

trasforma con v=0 in costanteP gy .

3.7.2 Stenosi, separazione del flusso e aneurisma

Dallequazione di Bernoulli possiamo trarre tutta una serie di considerazioni notevoli. Considerando

un tubo soggetto a restringimento come in Figura 3.22, potremo dire che:

La parte centrale non risente di particolari fenomeni.

Le considerazioni in nero in figura, dove viene specificato che la velocit, al centro della sezione dove

il tubo si restringe, maggiore che nella parte 1 e 3 dove si ha una sezione pi ampia, deriva dalla

legge di continuit e da quella di Bernoulli. Trascuriamo il contributo gh perch non vi sono

variazioni in altezza.

Per Bernoulli avremo: 2 2 2

1 1 2 2 3 3

1 1 1

2 2 2v P v P v P

Osserviamo i primi due termini (area 1 e 2), per la legge di conservazione si ha che:

1 1 2 2Av A v Sostituiamo v2

2 21

1 1 1 2

2

1 1( )

2 2

Av P v P

A

2 212 1 1 1

2

1[ ( ) ]

2

AP P v v

A P2 dipende dal rapporto tra A1 e A2.

FIGURA 3.20: - A. TUBO CON SENSORI DI PRESSIONE, B. TUBO DI PITOT


30 27/10/2017

Possiamo quindi dire che la parete che crea problemi, poich le considerazioni fatte sono per i

fluidi inviscidi che sono ideali. Al centro si possono considerare ideali perch non vi un disturbo

causato dallattrito e il gradiente di pressione spinge le molecole.

Nel caso fra area 2 e 3 la P3>P2, perci vi un inversione di flusso, questo fenomeno di separazione

del flusso crea dei vortici in uscita dalla sezione 2 (in Figura 3.22). La separazione del flusso avviene

ogni talvolta che il gradiente di pressione si forma in opposizione al flusso. Nel caso di una stenosi,

questo puo solo portare ad un peggioramento in quanto la zona luminale a valle della stenosi viene

soggetta a bassi sforzi e ulteriore deposizione di lipidi. Questa tendenza allulteriore restringimento

che pu portare allocclusione del vaso.

Soffermandoci sulla sezione 2 e 3 notiamo che vi un allargamento e non un restringimento come

nel caso 1-2. Questa situazione corrisponde a quel che accade in presenza di un Aneurisma, quando

la parete debole tende a cedere allargandosi. Notiamo che la velocit si riduce e la pressione

aumenta, quindi questo aumento di pressione pu portare il vaso a scoppiare perch vi un limite di

rottura. Tale limite ricavabile dal rapporto 1

2

A

A, se 2 1A A

il rapporto tende a 0 e avremo una pressione cos alta da far scoppiare il vaso.

Questo principio delle sezioni viene sfruttato nel tubo di Venturi.

Inseriamo tre manometri in un vaso

come quello in Figura 3.23,

registreremo tre altezze e quindi tre

pressioni diverse. In corrispondenza

di 1 e 3 saranno pi alte rispetto a 2

poich P1>P2 e P3>P2, quindi h1>h2

e h2


31 27/10/2017

Il volo, la scia e flusso vorticoso

Quando un corpo solido si muove in un fluido, spinge il fluido in avanti creando una zona di

pressione elevata (relativa alle altre aree), mentre dietro lascia una zona di pressione bassa (Fig.

3.24). Nel caso di un solido che ha la forma di unala, molto marcata la diminuzione di pressione

nella parte superiore, che d luogo ad una netta spinta in su (detto la portanza). Questa

diminuzione dovuta al fatto che le linee di flusso sono costrette a avvicinarsi per cui la velocit

aumenta e, grazie al Bernoulli, la pressione, rispetto alla zona sotto loggetto, diminuisce.

FIGURA 3.23: PORTANZA. PER DYNAMIC SIMILARITY LE PRESSIONI SVILUPPATE SONO LE STESSE SIA CHE SI MUOVE IL FLUIDO CHE IL SOLIDO

La scia invece e causata quando un oggetto con forma aperta dietro, come in Fig. 3.25, si muove in

un fluido con una certa velocit (elevata). Qui la sfera nella zona anteriore spinge il fluido

aumentando la pressione mentre dietro si crea una zona con pressione pi basso grazie al vuoto

lasciato dalloggetto. La pressione pi bassa viene sfruttata in natura da gruppi di animali in volo,

nuoto o in bici per ridurre il lavoro.

FIGURA 3.24: VORTICI DIETRO UNA SFERA IN CUI IL FLUSSO SI MUOVE DA SINISTRA A DESTRA


32 27/10/2017

Inoltre, risulta in una separazione del flusso (le molecole del fluido che sentono lattrito con il solido

tendono a tornare indietro), effetto che diventa sempre pi marcato con aumento di Re. Infatti, se la

velocit e molto elevata questo effetto causa lapparenza di vortici, che rallentano il moto del

oggetto solido (per questo le macchine veloci hanno gli alettoni posteriori).

3.8.1 Flusso sviluppato

Nellaorta il flusso turbolento e non laminare. Inoltre un flusso non sviluppato, ovvero che non

riesce ad avere un andamento Poiseuilliano perch le particelle vicino alla parete non sono ancora

rallentate dallattrito con essa.

Nellapertura dellaorta il sangue esce alla stessa velocit, man mano che il fluido avanza le particelle

centrali avanzano per inerzia poich non sentono la forza viscosa che percepiscono quelle vicine alla

parete e che rallentano (per la condizione No-Slip).

FIGURA 3.25: ANDAMENTO SVILUPPO DI UN FLUSSO

Questo fenomeno aumenta sempre pi e iniziano a rallentare anche gli altri strati. Man mano

aumenta lo spessore dello strato limite (linea rossa in figura, che rappresenta la zona in cui le forze

viscose sono significative), quando corrisponder al diametro del tubo il fluido sar completamente

sviluppato, cio parabolico. La lunghezza, misurata dallimbocco, in cui il fluido risulta

completamente sviluppato detta lunghezza di imbocco. Se il Re


33 27/10/2017

Equazione di Navier Stokes.

Lequazione di Navier Stokes e la mother equation per il trasporto di moto. Da questa equazione

possiamo da essa derivare tutto le altre equazioni che abbiamo gia visto. Esprime la conservazione

di moto. A parole:

( )accumulo di moto per unita' di tempo =flusso di moto flusso di moto

in out

d mvA A F

dt

Consideriamo un fluido in moto che sia incomprimibile. Essendo il fluido incomprimibile la

divergenza della velocit sar pari a 0.

Lequazione di conservazione della massa o di continuit per un fluido incomprimibile

0 0v vt

Sappiamo che laccelerazione : x y z

v v v va v v v

t x y z

dv v Dva v v

dt t Dt

Laumento di moto sar rispetto allunit di tempo e quindi lespressione sar ( )mv

Ft

analoga a

F=ma. Se la forza in ingresso uguale a quella in uscita non avr unaccelerazione, altrimenti avr un

aumento di moto.

Descriviamo un sistema bidimensionale per ricavare lequazione di Navier-Stokes. Le forze che

agiscono sul fluido sono pressioni e sforzi di taglio. Aggiungiamo anche una forza esterna (body

force) per completezza. Un esempio e gravit, o spinta da esterno.

xArea

y

*x y Volume

Forze:

Sforzi (di taglio o altri)Area

Pressioni Area

Body Force (forze esterne, es. gravit)

Conviene analizzare i contributi singolarmente, partiamo dalle pressioni, sempre Pin-Pout, nelle 2 direzioni.

( )[ | | ]x x xx

x

d mvma P P y

dt

FIGURA 3.26: VOLUME (2D) SOGGETTO A SFORZI


34 27/10/2017

( )[ | | ]y y yy

y

d mvma P P x

dt

Abbiamo espresso la risultante delle pressioni, che abbiamo moltiplicato per le aree per ottenere le

forze. Sappiamo che la massa m x y con x y il volume.

Otteniamo dunque:

|

|

x xxx

y yyy

Dvma x y dP y

Dt

Dvma x y dP x

Dt

Dividendo per x e y e ponendo x e y 0 perch infinitesimi, otterremo:

y xP PDv

i j PDt y x

Gradiente di pressione.

Consideriamo ora un contributo della body gF mg x yg

Aggiungendola allespressione precedente dovremmo indicarla con yg che per convenzione

indicheremo con g 3. Dovremo anche tenere conto di eventuali forze esterne, perci

aggiungeremo un termine di forza generico F (body Force). La gravit spesso viene incorporato nella

F.

Avremo quindi: Dv

P g FDt

Studiamo adeso gli sforzi:

Si hanno quattro sforzi lungo le pareti, i tensori bidimensionali saranno due lungo y e due lungo x. In

un fluido xy yx , gli sforzi di direzioni diverse sono uguali perch si dice che un fluido e

irrotazionale e non riesce a ruotare intorno a un punto. Quindi i tensori sono simmetrici.

Consideriamo sempre laccumulo di moto nel sistema e dunque per ottenere la forza moltiplichiamo

gli sforzi per larea.

Forze lungo y e lungo x:

( | | ) ( | | )

( | | ) ( | | )

y y y xy x xy x x yy y yy y yin out

x x x yx y yx y y xx x xx x xin out

F F F y x

F F F x y

Danno luogo ad unaccelerazione

3 Per convenzione il segno di g viene messo dopo che si decide il sistema di riferimento.


35 27/10/2017

( | | ) ( | | )

( | | ) ( | | )

( | | ) ( | | )

( | | ) ( | | )

yx y yx y y xx x xx x x

x

yx y yx y y xx x xx x x

x

xy x xy x x yy y yy y y

y

yy y yy y y xy x xy x x

y

Dvx y x y

Dt

Dv

Dt y x

Dvx y y x

Dt

Dv

Dt y x

Con x e y 0 perch infinitesimi, otterremo:

yx xx

x

Dv

Dt y x

,

xy yy

y

Dv

Dt x y

Cioe

Dv

Dt

Abbiamo ottenuto la divergenza di un tensore, che ben diversa dalla divergenza di un vettore

perch (in questo caso 2D) un vettore a due elementi4. Unendo tutti i bilanci di forze avremo che:

DvP g F

Dt

Sappiamo che i nostri sistemi sono Newtoniani d

dx

v con tensore e v vettore.

Vedendo il tutto in termini pi generici xyxdy

dV applicato perpendicolarmente a y ma verso x.

Quindi dato che nella formula abbiamo facciamo delle derivate, sar come se facessimo la derivata seconda della velocit, cio:

v

x xx

Per cui in generale, per un fluido Newtoniano5:

2v

Lequazione di Navier-Stokes sar: 2DV

P g VDt

4 ,yx xy yyxx

x yy x x y

5 Mancano alcuni passaggi, per gli interessati una descrizione piu completa e in Bird &Lightfoot.


36 27/10/2017

Si tratta di unespressione di bilancio di tutte le forze in un fluido Newtoniano. Insieme con

lequazione di continuit fornisce una descrizione completa del moto di un fluido nello spazio e nel

tempo con e noto, le uniche variabili sono la velocita e la pressione (2 equazioni, 2 variabili).

3.9.1 Equazione di Bernoulli e di idrostatica da Navier-Stokes.

Bernoulli

Lequazione di Euler e un caso speciale del Navier Stokes, per un fluido inviscido.

DVP g

Dt

Per ridurre lequazione di Euler allequazione di Bernoulli si considera che il flusso ha una sola

direzione e accelerazione e solo nello spazio.

x

dv dPv g

dx dx

Moltiplicando per dx, cambiando il segno di g e integrando otterremo lequazione di Bernoulli:

VdV dP g dx

Equazione di idrostatica da Navier-Stokes:

Abbiamo ununica direzione e V=0, g e sempre negativo.

0P g 0zdP

gdz

zg dz dP

3.9.2 Equazione di Poiseuille con Navier Stokes.

Eseguiamo un bilancio di forze in condizioni stazionarie in un

tubo cilindrico, orizzontale e in coordinate cilindriche con

simmetria radiale. Il fluido e Newtoniano:

2 2

2 1 2P r P r dz zdV

dr

0DV

P gDt

2VP

Utilizziamo coordinate cilindriche e sappiamo anche che lunica componente della velocita e zV per

cui possiamo scrivere: 2

2

2 2

1 1z zz

V VV r

r r r r

2

2

zV

z

non ci sono variazioni in .

FIGURA 3.27: - VOLUME INFINITESIMALE DI FLUIDO IN UN CILINDRO


37 27/10/2017

La pressione varier soltanto lungo z, perci lunica componente sar P

z

che costante, cos che:

1 zdVdP d rdz r dr dr

della velocit consideriamo le variazioni lungo r con componente z.

Integreremo sfruttando le condizioni a contorno di no-slip e simmetria.

0

1) r=R V 0

2) | | cio 0

z

zr r

r

VV V

r

Il sistema simmetrico intorno a r=0, non posso dunque

avere una differenza di V intorno a r=0.

Integrando: 2

zdVdP r dr d rdz dr

dP r

dz

2r

1

zdV cdr

C1=0 per la condizione di simmetria. Integriamo ancora per dr:

2

2

2 2

2 2

1

2 2

4 4

z

z

dP rV c

dz

dP r dP RV c c

dz dz

2 21 ( )4

z

dPV r R

dz Equazione gi trovata precedentemente con il bilancio delle forze.

3.9.3 Derivazione dellequazione di Couette.

Consideriamo due piatti paralleli con area infinita, uno dei quali in movimento, e una differenza di

pressione fra P1 e P2. Il fluido tra i patti e Newtoniano e il sistema e stazionario con flusso laminare.

Non avremo accelerazione, dellequazione generica: 2DV

P g VDt

rimarr soltanto: 20 P V

FIGURA 3.28: CILINDRO

FIGURA 3.29: COUETTE, FLUSSO TRA DUE PIATTI DI CUI UNO E MOBILE


38 27/10/2017

2P V

Scriviamo le 3 equazioni che rappresentano i componenti del gradiente di pressione nelle tre

direzioni:

2 2 2

2 2 2

x x xV V VP

x x y z

2 2 2

2 2 2

y y yV V VP

y x y z

2 2 2

2 2 2

z z zV V VP

z x y z

Dato che non abbiamo variazioni lungo y e z, non consideriamo le ultime due equazioni.

Osserviamo la prima equazione: anche le derivative di Vx lungo x e z sono nulle perche Vx varia solo

lungo y.

2

2

xVP

x x

2 2

2 2

x xV V

y z

2

2

xVP

x y

Dato che siamo in condizioni di stazionariet, il gradiente di pressione lungo x costante, ci vuol

dire che da P1 a P2 ho una variazione lineare, una spinta uniforme che varia linearmente nello spazio.

Per questo motivo, le derivate parziali possono adesso essere scritte come derivate assolute, es. dP

dx

2

2

2

2 1

1

1

2

x

x

x

d VdP

dx dy

dVdP d

dx dy dy

dP yV c c y

dx

Per risolvere sfrutteremo le condizioni a contorno: 1) y=0 ; V=0

2) y=h ; V=Vp

Per la prima condizione 2 0c .

Per la seconda condizione: 2

2 2

V

2 2

p

p

dP h P hV c c

dx h x

2

1( )2

x

P hV x c

x

Con dovute sostituzioni avremo: 21 y

( ) V2

x p

PV x y hy

x h

.


39 27/10/2017

Potremmo esprimere il profilo di velocita in modo adimensionale.

2( ) 1

V 2 V

x

p p

V x dP yy hy

dx h

3.9.4 Flusso in un canale rettangolare

Procederemo ora con la derivazione classica dellequazione di flusso in un canale rettangolare

orizzontale infinitamente lungo tramite Navier-Stokes.

Le condizioni di partenza sono che il flusso deve essere stazionario, laminare e Newtoniano. Il

condotto deve essere rigido affinch si verifichino le condizioni di No-Slip e infinitamente lungo. Non

abbiamo forze di gravit e forze esterne, supponiamo anche che h


40 27/10/2017

Tale assunzione valida nel caso in cui H almeno 10 volte pi piccolo di W. Quindi potremo

affermare che: 2

2

zVdP

dz y

Ricordiamo che il gradiente di pressione costante perch la spinta costante essendo in regime

stazionario. Per ricavare Vz(y) e Q dobbiamo sfruttare le condizioni al contorno. Per semplificare i

calcoli poniamo il nostro sistema di riferimento ad 2

H.

v=0 e ad y=0 02

H dVad y

dy

zdVdP d

dz dy dy

1zdVdP y c

dz dy Per la condizione di simmetria c1=0

2 2

2 2

22

2 8

1

2 4

z

z

dP y dP HV c c

dz dz

dP HV y

dz

La velocit ha sempre un andamento parabolico che dipende da y, per come abbiamo schematizzato

il sistema sar massima al centro quando y=0. Vz sembra essere negativa, ma in realt ricordiamo

che dP

dz negativa altrimenti il fluido non si muoverebbe in quella direzione. Ricaviamo adesso il

flusso A

Q VdA

2 22 2 22 2

0 0

2 2 2

3 2 3 23

1 1

2 4 2 4

3

2 12 4 2 12 12

H H H

W W

z

H H H

dP H dP HV dxdy y dxdy W y dy

dz dz

W dP H H W dP H H W dPH

dz dz dz

Q

Il flusso sar fortemente dipendente da 3Q H W nel caso di geometria rettangolare, cos come in

un condotto cilindrico sar 4Q R . In questo caso potremo dire che laltezza che domina le forze

di attrito.

FIGURA 3.32: - SEZIONE RETTANGOLARE DI ALTEZZA H


41 27/10/2017

4 Tensione superficiale.

La tensione superficiale quella forza che rende la superficie di un liquido come una pellicola

elastica tesa. La tensione agisce tangenzialmente alla superficie. Le forze che tengono unite le

molecole simili tra di loro sono le forze coesive, in inglese like likes like ovvero che a chi si somiglia

piace stare insieme. Ad esempio nel caso dellacqua le molecole sono fortemente attratte fra loro e

tendono a non separarsi grazie ai legami ad idrogeno fra le molecole.

Dimensionalmente esprimeremo la tensione superficiale come una forza su lunghezza o unenergia

per area: 2

N J

m m

Le due unit di misura sono uguali, infatti moltiplicando e dividendo per metro si ottiene

[ ]F m lavoro J e al denominatore 2m m m . Queste due unit sono entrambe valide perch

si hanno due definizioni di tensione superficiale:

Forza di un liquido per unit di lunghezza =Energia o lavoro necessario per creare ununit darea del

liquido.

Il liquido con maggior tensione superficiale il mercurio infatti 487mN

m (milliNewton su

metro), segue lacqua pura con un valore di 72mN

m . Ricordiamo che, anche se non viene

sempre specificato la tensione superficiale riferita ad uno specifico mezzo. Questo perch ad

esempio se ho aria secca o aria umida la tensione superficiale risulta diversa, nello specifico

maggiore con laria umida perch ricca di particelle di acqua. I due valori di sopra citati si

riferiscono alle tensioni superficiali rispetto ad aria secca.

Come gi detto, si dice tensione superficiale perch si manifesta solo in superficie e non allinterno.

Poich allinterno le varie forze si bilanciano, mentre fuori vi uno sbilanciamento di forze che attrae

le molecole verso linterno creando una tensione. Questo il motivo per cui, in assenza di altre forze

dominanti, le gocce sono sferiche, poich questa la forma che ha minore superficie rispetto

allarea.

Le forze di tensione superficiale sono importanti in sistemi in cui le dimensioni caratteristiche sono

piccole, e le forze di tensione superficiale predominano sulle forze di gravita. Per mettere in

relazione lentita delle due forze si utilizza un numero adimensionale detto numero di Bond.

3

2

Forza di gravit

Bond=Forza di tensione superficiale

m g L gL glunghezza L L

lunghezza

Se il numero di Bond maggiore di 1 allora la forza di gravit maggiore della tensione superficiale e

le gocce tendono a essere meno sferiche e piu allungate.

Linverso del numero di Bond il numero di Jesus. Perch ad esempio gli insetti che riescono a

camminare sullacqua hanno un valore della forza di gravit (dovuto ad una massa molto piccola)


42 27/10/2017

inferiori a quelli della tensione superficiale, che in termini matematici si traduce con Bo1

poich 1

JesusBond

.

La tensione superficiale pu essere calcolata sperimentalmente nel seguente modo:

Prendo un filo metallico immerso in acqua

cui collego un trasduttore di forza. Tirando

il filo di pochissimo le molecole dacqua

rimarranno attaccate creando un velo

dacqua che verr a creare una nuova area

dacqua: E F x con x spessore in

mm.

Sappiamo che la forza sar proporzionale

alla lunghezza del filo e la costante di

proporzionalit sar la nostra tensione

superficiale.

: F F=

E=

L L

L x A

Angolo di contatto e bilancio della tensione superficiale.

Langolo di contatto descrive appunto langolo che si forma tra una superficie e un liquido (Fig. 4.3).

E sempre misurato nel liquido o tangenziale alla superfice del liquido

Quando una goccia di acqua viene posta su una superficie di teflon

adotta una forma rotonda, mentre su una superficie di vetro pulito

la forma e piu piatta. Il vetro e idrofilico, cioe attrae le molecole

di acqua (ce unadesione tra le molecole di vetro e acqua), mentre

il teflon e idrofobico.

Se invece il vetro e sporco, ad esempio di residui di grasso larea di

adesione sarebbe notevolmente ridotta rendendola poco aderente

(idrofobicit). Nei due casi quel che cambia langolo di contatto

Langolo e definito come langolo tra la superficie e la linea tangente

FIGURA 4.3: ANGOLO DI CONTATTO PER UNA GOCCIA DI ACQUA SU UN MATERIALE IDROFOBICO E IDROFILICO

FIGURA 4.1: TRASDUTTORE CON ELEMENTO METALLICO PARZIALMENTE IMMERSO IN ACQUA

FIGURA 4.2: GOCCIA DI ACQUA SU VETRO (NON MOLTO PULITO)


43 27/10/2017

Le forze tra due materiali diversi sono dette di adesione.

Quando parliamo di tensione superficiale ci riferiamo alla relazione tra fluido e ambiente. A volte si

sfrutta lesperimento di un materiale immerso in acqua sotto cui viene soffiata una bollicina daria.

FIGURA 4.4 - MATERIALI IMMERSI IN ACQUA E BOLLA DARIA

Anche qui abbiamo delle tensioni superficiali ma lambiente diverso. Se osservo una goccia su 2

materiali diversi, come teflon (idrofobico) e vetro pulito (idrofilo) noto che la goccia assume forme

diverse.

FIGURA 4.5 - MATERIALI IDROFILI E IDROFOBI CON GOCCIA D'ACQUA

Rifacendo lesperimento in acqua come spiegato precedentemente noteremo delle forme diverse.

Nel caso del vetro, che molto affine allacqua, la bolla si compatter per permettere un maggior

contatto di acqua con il vetro.

Preferiamo misurare in acqua perch sul materiale la goccia tende ad evaporare. Prendendo il caso

della goccia su vetro di prima facciamo il bilancio di forze di tensione superficiale ottenendo:

Equazione di Young-Dupree.

cos

cos

GA WG WA

WG GA WA

FIGURA 4.6 - BILANCIO DI FORZE DI TENSIONE SUPERFICIALE

Langolo di contatto viene utilizzato per caratterizzare la bagnabilit di materiali. importante usare

gocce piccole, in cui le forze predominanti sono quelle di tensione superficiale.

Capillarit e gocce da una pipetta

Quando un capillare viene inserito in acqua, lacqua sale nel tubicino per tensione superficiale

soprattutto se il tubo idrofilo poich lacqua preferisce stare a contatto con il tubo che con laria.

Quindi sono le forze adesive tra vetro e acqua che fanno salire il liquido.

Ci succede finch la forza peso dacqua dentro il tubicino uguale alla forza di tensione superficiale


44 27/10/2017

Nel caso del mercurio, che non aderisce ai superfici avremo un comportamento inverso perch

molto elevata. Osserviamo lequilibrio del caso con lacqua:

Se vogliamo ricavare la pressione sfruttiamo lequazione di idrostatica.

P gh g 4 cos

d g

4cos

d

Di solito viene considerato un angolo pari a zero, per cui: 4

Pd

Si evince che laltezza inversamente proporzionale al diametro perci influente poich la

quantit di fluido e piccola.

Esercizio:

Consideriamo un capillare e facciamo i calcoli riportati sopra nel caso in cui

3

mN d=300m; =72 ; =1000

m

Kg

m

3

6

3

6

4 72 100.098 9.8

300 10 9.8 1000

4 72 10960 7.33

300 10

h m cm

P Pa mmHg

Osserviamo il fenomeno di una goccia che esce dal contagocce di una pipetta, ad esempio per le

medicine. Infatti alcune medicine vengono dosate a gocce proprio perch la grandezza non casuale

ma sempre la stessa poich dipende dalla tensione superficiale. Nel momento in cui si forma la

goccia essa rimane coesa alla pipetta finch la forza di gravit bilancia la tensione superficiale. Poi

cadde.

FIGURA 4.7: -A CAPILLARE PARZIALMENTE IMMERSO IN ACQUA, B) - CAPILLARE PARZIALMENTE IMMERSO IN MERCURIO

2

: : Lcos dcos4

g

dF mg h g F

h

2d

4g d cos

4 cos4 cos

.

LDhdg N Bond


45 27/10/2017

Forza gravit:

3

34

3 2 6goccia gocciam g gV g g

Forza tensione superficiale: cos cosL d Il parametro L indica il

contatto ovvero la circonferenza del tubo d .

Nel momento in cui la goccia si stacca =0

g

3

6

3 6

d

d

g

Nella realt la goccia leggermente pi piccola del valore teorico perch quando cade rimangono

alcune molecole attaccate al tubo, aggiungeremo quindi un fattore di correzione anche detto Fudge

Factor: 80%reale teorica

Legge di Laplace per le gocce

Nel caso delle gocce la tensione superficiale bilanciata dalla pressione interna, questo accade solo

per piccolissime quantit di fluido. Ipotizziamo di sezionare a met una goccia ed effettuiamo il

bilancio di forze:

e iAP L PA

2r 2eP r iP 2r

2

2

i eP Pr

Pr

Lequazione di Laplace mette in relazione la pressione interna e il raggio di

una goccia. Pi piccolo il raggio, maggiore sar la pressione interna.

Inoltre, per formare una sfera piu piccola ci vuole una maggiore pressione

(Pi).

Ci di rilevante importanza negli alveoli, poich quando si espandono aumentano il volume e la

pressione si riduce. Pi piccolo lalveolo pi forza sar necessaria perch dipende da r. Questo

processo regolato da un surfattante a base di fosfolipidi, che riduce la tensione superficiale per

rendere possibile la respirazione. La concentrazione di surfattante presente e inversamente

proporzionale alla grandezza del singolo alveolo, cosi il basso valore di e compensato dal raggio

piccolo. I neonati prematuri necessitano di ausilio esterno per respirare poich soffrono di mancanza

di surfattante e non hanno una forza sufficiente per fare espandere gli alveoli (sindrome di stress

respiratorio neonatale).

FIGURA 4.9 SEZIONE DI UN GOCCIA

FIGURA 4.8: GOCCIA DA UNA PIPETTA

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