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Dispensa Fenomeni di Trasporto Biologico, Università di Pisa, Ingegneria Biomedica 1 27/10/2017 Fenomeni di Trasporto Biologico. Dispensa del corso della professoressa Arti Ahluwalia Università di Pisa, Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica Pagina del corso: http://www.centropiaggio.unipi.it/course/fenomeni-di-trasporto-biologico.html A cura di Alessandro Velletri, sotto la supervisione del docente. Lavoro in corso, si prega di fare presente eventuali errori al docente. (CC BY-NC-SA) (puo’ essere copiato e adattato riconoscendo gli autori, non per scopi di lucro) Indice 1. Introduzione .................................................................................................................................... 3 Concetti Base .......................................................................................................................... 4 1.1.1 Flux, Flow e Flusso........................................................................................................... 4 1.1.2 Euler e Lagrange .............................................................................................................. 5 Nozioni fondamentali: vettori, tensori, divergenza e gradente ............................................. 5 1.2.1 Vettori e Tensori ............................................................................................................. 5 1.2.2 Gradiente e divergenza ................................................................................................... 6 1.2.3 Il Laplaciano, 2 (in Inglese del squared) ...................................................................... 7 1.2.4 Velocità, accelerazione e flusso volumetrico .................................................................. 8 1.2.5 Material Derivative ......................................................................................................... 9 2 Equazione di conservazione di massa, continuità .......................................................................... 9 Stazionarietà: equilibrio – conservazione. .............................................................................. 9 2.1.1 Equazione di conservazione: ......................................................................................... 10 2.1.2 Il sistema vascolare rispetta la legge di continuità. ...................................................... 12 3 Fluidi: Fluidodinamica e reologia .................................................................................................. 13 Idrostatica ............................................................................................................................. 13 3.1.1 Pressione sanguina........................................................................................................ 14 Viscosità ................................................................................................................................ 15 3.2.1 Introduzione .................................................................................................................. 15 3.2.2 Piatti paralleli ................................................................................................................ 16

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    1 27/10/2017

    Fenomeni di Trasporto Biologico.

    Dispensa del corso della professoressa Arti Ahluwalia

    Universit di Pisa, Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica

    Pagina del corso:

    http://www.centropiaggio.unipi.it/course/fenomeni-di-trasporto-biologico.html

    A cura di Alessandro Velletri, sotto la supervisione del docente. Lavoro in corso, si prega di fare

    presente eventuali errori al docente.

    (CC BY-NC-SA)

    (puo essere copiato e adattato riconoscendo gli autori, non per scopi di lucro)

    Indice 1. Introduzione .................................................................................................................................... 3

    Concetti Base .......................................................................................................................... 4

    1.1.1 Flux, Flow e Flusso........................................................................................................... 4

    1.1.2 Euler e Lagrange .............................................................................................................. 5

    Nozioni fondamentali: vettori, tensori, divergenza e gradente ............................................. 5

    1.2.1 Vettori e Tensori ............................................................................................................. 5

    1.2.2 Gradiente e divergenza ................................................................................................... 6

    1.2.3 Il Laplaciano, 2 (in Inglese del squared) ...................................................................... 7

    1.2.4 Velocit, accelerazione e flusso volumetrico .................................................................. 8

    1.2.5 Material Derivative ......................................................................................................... 9

    2 Equazione di conservazione di massa, continuit .......................................................................... 9

    Stazionariet: equilibrio conservazione. .............................................................................. 9

    2.1.1 Equazione di conservazione: ......................................................................................... 10

    2.1.2 Il sistema vascolare rispetta la legge di continuit. ...................................................... 12

    3 Fluidi: Fluidodinamica e reologia .................................................................................................. 13

    Idrostatica ............................................................................................................................. 13

    3.1.1 Pressione sanguina........................................................................................................ 14

    Viscosit ................................................................................................................................ 15

    3.2.1 Introduzione .................................................................................................................. 15

    3.2.2 Piatti paralleli ................................................................................................................ 16

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    Accenno alla reologia ............................................................................................................ 17

    3.3.1 Unita di misura della viscosit ..................................................................................... 19

    Linee di Flusso ....................................................................................................................... 20

    Derivazione legge di Poiseuille. ............................................................................................. 20

    Numero di Reynolds (Re). ..................................................................................................... 24

    3.6.1 Lo strato limite .............................................................................................................. 26

    Equazione di Bernoulli .......................................................................................................... 27

    3.7.1 Pressione statica e cinetica ........................................................................................... 28

    3.7.2 Stenosi, separazione del flusso e aneurisma ................................................................ 29

    Il volo, la scia e flusso vorticoso ............................................................................................ 31

    3.8.1 Flusso sviluppato ........................................................................................................... 32

    Equazione di Navier Stokes. .................................................................................................. 33

    3.9.1 Equazione di Bernoulli e di idrostatica da Navier-Stokes. ............................................ 36

    3.9.2 Equazione di Poiseuille con Navier Stokes. ................................................................... 36

    3.9.3 Derivazione dellequazione di Couette. ........................................................................ 37

    3.9.4 Flusso in un canale rettangolare ................................................................................... 39

    4 Tensione superficiale. ................................................................................................................... 41

    Angolo di contatto e bilancio della tensione superficiale. .................................................... 42

    Capillarit e gocce da una pipetta ......................................................................................... 43

    Legge di Laplace per le gocce ................................................................................................ 45

    5 Flusso di massa ............................................................................................................................. 46

    Introduzione e 1 legge di Fick .............................................................................................. 46

    Seconda legge di Fick ............................................................................................................ 47

    5.2.1 La forma integrale della legge di Fick ............................................................................ 48

    Ordine di reazione ................................................................................................................. 49

    Tempo di diffusione e Stokes-Einstein .................................................................................. 50

    5.4.1 Concentrazioni soluto e solvente .................................................................................. 51

    5.4.2 Concentrazione del sale del mare e mare nel sale ....................................................... 51

    Diffusione e convezione ........................................................................................................ 52

    Trasporto attraverso la membrana cellulare ........................................................................ 54

    5.6.1 Coefficiente di Partizione .............................................................................................. 54

    Esempi di trasporto di massa ................................................................................................ 56

    5.7.1 Applicazione della forma integrale della Legge di Fick: il modello quasi-stazionario ... 56

    5.7.2 Punto sorgente .............................................................................................................. 58

    5.7.3 Consumo di ossigeno .................................................................................................... 59

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    FIGURA 1.1: MOTO BROWNIANO

    1. Introduzione

    I processi che studieremo in questo corso saranno tutti in condizioni di quasi equilibrio (vedremo

    che ci ci permetter di semplificare parecchi problemi). Inoltre consideriamo i sistemi come fluidi o

    soldi continui (non fatte di particelle o quanta discreti), per cui siamo in regime della meccanica del

    continuo.

    In questo corso ci soffermeremo in particolar modo sul trasporto di: Moto Massa Energia.

    Moto: osserveremo il trasporto di fluidi, materiale dovuto ad una spinta di moto, massavelocita

    (vasi, circolazione e fiumi). Sar il primo che tratteremo.

    Massa: ad esempio come diffonder il profumo in una stanza, la concentrazione iniziale verr

    distribuita tramite trasporto in tutta la stanza fino a raggiungere un equilibrio nella concentrazione.

    Energia: parleremo fondamentalmente del trasporto di calore, poich le altre energie non vengono

    trasportate direttamente ma convertite in altre forme (lenergia potenziale si trasforma in energia

    cinetica).

    Suddivideremo inoltre il trasporto di massa in due tipi:

    Trasporto passivo (detto anche Moto diffusivo) e Trasporto forzato (detto anche Moto forzato,

    convettivo o advezione).

    Un esempio di moto passivo quello del profumo descritto precedentemente, dove le molecole di

    profumo ognuna con una propria energia intrinseca KT1 si muovono nellaria secondo un moto

    Browniano. Maggiore sar la temperatura pi velocemente diffonderanno, si diffondono in maniera

    casuale e grazie a Einstein e Brown sappiamo che si diffondono secondo la legge:

    2

    La distanza percorsa proporzionale al tempo di osservazione, pi tempo passa pi vi possibilit di

    spostamento. Invece nel caso di moto convettivo, ovvero avr una velocit di spinta.

    1 K e la costante di Boltzmann. K=1.38e-23 J/.Kelvin. Il prodotto KT e lenergia per molecola. Da notare che la costante di gas, R=K/no. Avogadro ed e espressa in J/(mole.Kelvin)

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    Concetti Base 1.1.1 Flux, Flow e Flusso

    Ogni tipo di trasferimento (o moto) generer un FLUSSO.

    In italiano utilizziamo un unico termine per indicare quello che in inglese viene distinto tra FLUX e

    FLOW.

    Flux verr usato per descrivere qualcosa che si muove in unarea superficiale in

    un tempo t, con che indica massa, energia o quantit di moto a seconda del

    caso.

    2Flux

    m s

    Flow verr usato per intendere il flusso volumetrico (inteso come lacqua in un

    condotto o il sangue nelle arterie) espresso in molti come:

    3mFlow

    s

    Per esempio, il flusso volumetrico del sangue nellaorta e 5 L/min o 8.5.10-5 m3/s..

    Il trasporto causato da delle differenze che si creano nello spazio, identificate come GRADIENTI. In

    particolare, i trasporti che studiamo sono dovute a una variazione di concentrazione, velocit o

    temperatura tra due punti. Maggiore la quantit di quello che si trasporta, maggiore sar il flusso.

    Avremo quindi per il trasporto di:

    Massa: dovuto a differenza di concentrazione (C).

    Energia: dovuto a differenza di temperatura (T).

    Moto: dovuto a differenza di velocit (V).

    Quindi il flusso di queste 3 entita, inteso come flux, sar:

    = entit trasportata FLUSSO GRADIENTE Equazione costitutiva

    NomeEq. costitutiva

    MASSA: M 2

    M

    m s

    cJ D

    x

    FICK

    ENERGIA: 2

    Joule

    m s

    TQ k

    x

    FOURIER

    MOTO: M*v 2

    Mv

    m s

    v

    x

    NEWTON

    FIGURA 1.2 - FLUX

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    5 27/10/2017

    1.1.2 Euler e Lagrange

    Per osservare questi sistemi useremo due metodi:

    Euleriano: osserviamo un sistema da fermi mentre il

    sistema scorre.

    E come se un uomo guardasse un porzione di fiume da

    fermo mentre scorre ed osserva cosa vi entra ed esce.

    Prendendo quindi un blocchetto infinitesimo osserviamo il

    trasporto da fuori a dentro; regime costante e volume costante.

    Useremo questo sistema nei nostri studi in questo corso.

    Lagrangiano: come se invece di fissare la stessa porzione di fiume da fermi, rincorressimo lo stesso

    punto seguendo il torrente. Si tratta quindi di seguire il sistema nel suo percorso, fissare una

    molecola. Computazionalmente e pi difficile.

    Nozioni fondamentali: vettori, tensori, divergenza e gradente 1.2.1 Vettori e Tensori

    Video lezione consigliata di Dan Fleisch What's a Tensor?

    https://www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw

    Uno scalare non ha direzione, ma solo ampiezza. Un vettore ci posiziona nello spazio,

    caratterizzato da ampiezza, direzione e verso. Il tensore invece unentit matematica che

    generalizza il concetto di vettore, funzioni e prodotti scalari.; il tensore indica anche il piano di

    riferimento. Ad esempio un tensore di 2 grado sar Fyy, il primo pedice indica la direzione

    perpendicolare al piano di riferimento mentre il secondo la direzione di F.

    Ipotizzando di avere un cubo in 3 (Fig. 1.4), osserviamo quali forze agiscono su tutte le facce del

    cubo, riassumibili nella matrice dei tensori

    xx xy xz

    yx yy yz

    zx zy zz

    .

    Nello studio del trasporto, utilizziamo la matrice dei tensori per gli sforzi. I tensori sulla diagonale

    principale [ xx , yy , zz ] sono pressioni e sforzi di tensione o compressione, mentre i restanti

    FIGURA 1-3: VOLUME OSSERVATO SECONDO UN SISTEMA EULERIANO

    FIGURA 1-4: TENSORI APPLICATI AD UN CUBO

    https://www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw

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    sono sforzi di taglio. Da notare che la pressione e uno sforzo che agisce perpendicolare a un piano

    con direzione verso il piano (coie la pressione e sempre compressivo).

    Sia lo sforzo che la pressione presentano le stesse dimensioni di una forza per unit di area,

    solitamente espressa in [] =[]

    []

    La pressione una forza applicata perpendicolarmente allarea di interesse ed e sempre diretta verso il piano. Siccome la direzione e il piano sono definite, viene considerato uno scalare.

    Gli sforzi sono classificabili come:

    Sforzo di taglio: Avviene lungo una superficie e lo troveremo

    spesso scritto come

    =

    Sforzo di trazione perpendicolare alla superficie. La forza diretta verso lesterno.

    Sforzo di compressione perpendicolare alla superficie. La forza diretta verso linterno.

    1.2.2 Gradiente e divergenza

    Gradiente (GRAD) di uno scalare:

    Il gradiente di una funzione scalare e la sua derivata nello spazio. E un vettore che e rappresenta

    lampiezza e direzione in cui la funzione ha la massima derivata.

    Usiamo loperatore nabla (in inglese Del) per il gradiente.

    f i j k fx x x

    Per esempio, il gradiente di pressione e

    , ,p p p p p p

    p i j kx y z x y z

    Invece il gradiente di un vettore e un tensore (es v ).

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    Divergenza (DIV) di un vettore

    La divergenza e la somma delle derivate nello spazio di un vettore. La divergenza di un vettore e un

    campo scalare e rappresenta la uscita del campo dal punto (es. campo di velocita). In altre parole, e

    una misura della quantita di qualcosa che esce (divergenza positiva+) o entra (divergenza negativa-)

    da un punto per unita di tempo.

    yx zvv v

    vx y z

    1.2.3 Il Laplaciano, 2 (in Inglese del squared)

    La 2 puo essere definita come e la divergenza del gradiente. Piu difficile da speigare in termini

    fisici, e una misura di quanto e diversa la funzione tra un punto e laltro (cioe la seconda derivata!)

    2 2 22

    2 2 2.

    s s ss s

    x y z

    Per un vettore invece la 2 deve essere definita in ogni direzione, quindi e piu complicato.

    2 2 22

    2 2 2

    x x x

    x x

    v v vv v

    x y z

    2 2 2

    2

    2 2 2

    2 2 22

    2 2 2

    y y y

    y y

    z z z

    z z

    v v vv v

    x y z

    v v vv v

    x y z

    Infine il prodotto scalare (o meglio dot product) tra un vettore e il gradiente di uno scalare (che e

    sempre vettore) e scritto:

    . x y zs s s

    v s v v vx y z

    , ed e uno scalare.

    Da notare che il dot product tra un vettore e il gradiente di un vettore e un vettore.

    Per esempio, v v e un vettore.

    Il Laplaciano, ovvero 2 , ha delle diverse espressioni per i vari sistemi di riferimento.

    Analizzeremo 2 , con scalare.

    In un sistema cartesiano: 2 2 2

    2 2 2x y z

    In coordinate sferiche:2

    2

    2 2 2 2

    1 1 1sin

    sin sinr

    r r r r r

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    In questo caso consideriamo solitamente variazioni lungo il raggio, importante ricordare solo

    2 2

    2

    1r

    r r r

    poich la parte restante non varia quasi mai

    In coordinate cilindriche:2 2

    2 2 2

    1 1r

    r r r r z

    In coordinate cilindriche raramente consideriamo variazioni in .

    1.2.4 Velocit, accelerazione e flusso volumetrico

    Definizione formale di velocit.

    La velocit un vettore che dipende da spazio e tempo ( , , z, t)V x y . I

    vettori rossi in Figura 1.5 rappresentano la velocit di ogni punto, quello

    nero il vettore normale alla superficie.

    La velocit media lintegrale di tutte le velocit.

    1Vmedia

    A

    v ndAA

    Esprimiamo il flusso volumetrico in funzione della velocit media

    VflussoVolumetrico mediaA

    Q A v ndA cos che

    32m mQ VA m

    s s

    Il flusso di massa verr espresso come * tempo

    media

    A

    massaJ v ndA V

    area

    Accelerazione.

    La velocita e funzione di spazio e tempo.

    ( , , , )v v x y z t , x y zdx dy dz

    v iv jv kv i j kdt dt dt

    La differenziale della velocita e:

    (1)

    v v v vdv dx dy dz dt

    x y z t

    FIGURA 1- 5: VETTORE DI VELOCITA

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    Laccelerazione e la variazione di velocit sia nello spazio che nel tempo. In regime Euleriano devo

    trattare le variazioni nello spazio separatamente ma nel Lagrangiano no. Esprimeremo

    laccelerazione dividendo lEq. 1 per dt

    dv v dx v dy v dz v

    dt x dt y dt z dt t

    x y z

    dv v v v vv v v

    dt x y z t

    Rappresentabile secondo quella che conosciuta come Formula di Newton

    dv va v v

    dt t

    dove

    v

    t

    un termine di accelerazione locale di tipo newtoniano.

    Invece il secondo termine v v si usa solo per i fluidi- unaccelerazione che avviene nello spazio,

    quando cambia lo spazio nel campo di velocit ad esempio quando cambiano le sezioni e le forme di

    tubi.

    1.2.5 Material Derivative

    Il material derivative e la derivata in tempo di una funzione mentre viene seguita una particella di

    fluido. E nota anche come la derivata Lagrangiana o derivata sostanziale e rappresenta la variazione

    nel tempo di una certa propriet di una particella fluida che si muove con velocit. Cioe, bisogna

    fare conto che la funzione cambia sia nello spazio che nel tempo. Il material derivative collega la

    descrizione Lagrangiana con quella Euleriana. La funzione puo essere velocita, densita,

    temperatura ecc.

    Per cui laccelerazione e la derivata materiale della velocita.

    2 Equazione di conservazione di massa, continuit Stazionariet: equilibrio conservazione.

    Un sistema stazionario rimane invariante nel tempo pur non essendo completamente fermo. Un

    movimento non stazionario caratterizzato da unaccelerazione mentre i sistemi stazionari sono

    chiusi e conservativi.

    Analizziamo il concetto di conservazione, sistemi cosiddetti conservativi.

    L E

    Dv

    Dt t

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    Osservando il blocchetto infinitesimale (Fig.2.1), prestiamo attenzione a ci che entra e ci che esce.

    Se notiamo un aumento della massa nel tempo vuol dire che entrato qualcosa e nulla (o non

    abbastanza) uscito.

    Lo stesso vale per la diminuzione, poco o nulla sar entrato e qualcosa sar uscito. Potremmo

    immaginare che dentro a questo black box ci sia un sistema chimico che ipoteticamente produce

    massa o la consuma (ipotetico perche sappiamo che Massa non puo essere creata o distrutta).

    Terremo conto di questo aggiungendo un termine ipotetico, che comunque e pari a zero.

    Questa di per se unequazione di conservazione, dimensionalmente avremo:

    =

    []

    []

    La variazione di flusso []

    []2[] quindi per avere un riscontro dimensionale dobbiamo molteplicare

    per larea []2 ottenendo []

    [], ovvero flusso per superficie in ingresso e in uscita.

    2.1.1 Equazione di conservazione:

    =

    |

    |

    Consideriamo ora che = dove indica la densit ed il volume sar costante poich

    siamo in regime Euleriano.

    Osserviamo quel che entra ed esce dalla faccia x-y

    avremo:

    ( ) ( )x xin x out x x

    mx y z v y z v y z

    t t

    Semplificando e dividendo per x y z :

    ( ) ( )x xin x out x xv v

    t x

    Nel limite di piccole variazioni le diventano d, per cui:

    =

    ()

    Quanto detto estendibile in tutte le dimensioni, perci lequazione di continuit o equazione di

    conservazione di massa verr espressa tramite loperatore nabla come:

    .( ) ( . . )v v vt

    In genere consideriamo di essere in condizioni isotermiche e presenza di fluidi incomprimibili.

    Dunque, trovandoci in un sistema euleriano (volume costante) la densit non varia. Quindi per =

    FIGURA 2-1: VOLUMETTO FISSO

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    potremo estrapolarlo dalla parentesi a destra ed ovviamente dire che la derivata di una

    costante zero 0d

    dt

    e quindi che la divergenza della velocit zero 0V .

    Ci significa che la somma delle velocit che entrano o escono in un punto devono essere uguali a 0.

    Ci perch non possiamo avere n sorgenti di massa, visto che non si crea dal nulla, n consumi di

    massa dal nulla (buchi neri).

    Per esempio, considerando un sistema bidimensionale per semplicita, lequazione di continuita per

    un fluido incomprimibile.

    0yx

    y z

    vvv

    x y

    v v

    y z

    La derivata di velocita lungo x deve essere compensata dalla derivata lungo y.

    E utile esprimere lequazione di continuit usando la derivata materiale della densit .

    .D

    vDt

    Ovviamente e zero per un fluido incomprimibile.

    Osserviamo ora un esempio di sistema chiuso, il sistema vascolare. Presenta un flusso ed

    caratterizzato da un volume costante, poich quel che entra corrisponde a quel che esce a meno di

    condizioni patologiche (es. emorragia), importante anche che non ci siano accumuli.

    Flusso di massa che entra = Flusso di massa che esce

    in out

    massa massa

    s s Converr sempre esprimere la

    massa come densitvolume cos che in out

    Vol Vol

    s s

    3 3

    in out

    m m

    s s

    e scomponendolo cos da evidenziare un termine di velocit 2 2

    in out

    m mm m

    s s potremo

    scrivere:

    in outArea Velocit Area Velocit

    Per le considerazioni successive prenderemo in caso un tratto di vaso come quello in Figura 2.3.

    FIGURA 2-2 - SEZIONE VASO

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    12 27/10/2017

    Abbiamo 2 ingressi con Vin , Vout , A e A . Se e costante, i flussi in ingresso ed in uscita dovranno

    eguagliarsi cos che: in outJ J e in outQ Q . Ci significa che in in out outV A V A e che AV .

    2.1.2 Il sistema vascolare rispetta la legge di continuit.

    Il percorso della circolazione segue uno schema come in Figura 2.4, le arterie si diramano formando

    arteriole e infine i capillari. I 5L in uscita dallaorta rientreranno tramite la vena cava, non vero in

    caso di emorragie o aneurismi. Possiamo dire che il flusso in uscita dallaorta corrisponde alla

    sommatoria del flusso nei capillari.

    1

    n

    aorta capillare

    capillare

    Q Q

    Da questa relazione possiamo ricavare una stima del numero di capillari. Sapendo infatti che il

    diametro dei globuli rossi di circa 8m e che nei capillari essi procederanno in fila strisciando

    contro le pareti, anche i capillari avranno un diametro di 68 8 10 m m . La lunghezza

    media di un capillare di 1mm, per percorrerlo un globulo rosso ci impiega 1 secondo.

    31 10mm m

    Vs s

    1

    3 33 6 2

    9

    5min

    5 1010 (4 10 )

    60

    10

    n

    aorta capillare

    capillare

    c

    c

    capillari

    Q Q

    LVAn

    m mn

    s s

    n

    FIGURA 2-3: CONTINUIT DEL FLUSSO PER UN SISTEMA INCOMPRIMIBILE

    FIGURA 2-4: SISTEMA VASCOLARE

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    13 27/10/2017

    3 Fluidi: Fluidodinamica e reologia Idrostatica

    In questo ambito della fisica i fluidi si trovano in condizioni di staticit 0dV

    dt perci 0

    mV

    As

    Osserveremo qui il trasporto di moto, che il pi complesso poich la velocit, come detto

    precedentemente, un vettore, mentre le altre grandezze considerate negli altri trasporti sono

    scalari. Il trasporto di moto quindi rappresentato da un tensore.

    Osserveremo come esempio un liquido in un bicchiere. Non si muove, condizione di stazionariet.

    Abbiamo un semplice bilancio di forze. Il liquido ha

    densit .

    Quali forze agiscono?

    Forza di gravit: mg

    Forza di pressione: P e P+dP

    Ricordarsi di moltiplicare le pressioni per larea

    superficiale su cui agiscono e di sostituire per

    praticit m V , o anche meglio m Adz .

    Scriviamo lequazione per il bilancio di forze in direzione verticale.

    ( )mg P dP A PA Adzg PA dPA PA dzg dP Integrando avremo

    22

    1

    1

    Pz

    zP

    g dz dP 1 2 2 1( )P P g z z Potremo concludere che 1 2P P .

    N.B. P1 la pressione agente in basso e P2 quella pi in alto, rispettivamente in z1 e z2.

    Proviamo a calcolare la pressione in un bicchiere dacqua usando la formula P gh . Ragionare in

    m*k*s e ricordare che

    2 31000H O

    Kg

    m

    29.8

    mg

    s

    210 10h cm m

    2

    3 21000 *9.8 *10

    Kg mP m

    m s

    Moltiplico e divido per m

    298 *

    Kg m

    ms m

    21 1 * /N Kg m s

    298

    NPa

    m

    FIGURA 3.1: PRESSIONE IDROSTATICA

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    14 27/10/2017

    3.1.1 Pressione sanguina

    Spesso in campo medico, si utilizza come unit di misura per la pressione i millimetri di mercurio

    mmHg. La pressione sanguigna in un uomo standard mediamente definita da:

    Pressione sistolica 120 mmHg

    Pressione diastolica 80 mmHg

    La pressione atmosferica quella che abbiamo in una colonna alta quanto latmosfera (Km). Non

    possiamo stimarla con la nostra formula perch la densit dellaria cambia.

    La pressione a livello del mare 760mmHg, che analoga alla pressione in una colonna di 760mm

    con del mercurio; stato scelto il mercurio perch un elemento molto denso:

    313600 13.6mercurio

    Kg

    m volte pi denso dellacqua. Per sapere quanti Pascal sar sfrutteremo la

    formula P gh . 5

    3 213600 *9.8 *0.760 101292 10

    Kg mP m Pa Pa

    m s

    760 mmHg=105 Pa 1 mmHg=131 Pa

    Osserviamo la pressione nel cuore.

    La pressione nellaorta, che sta alla nostra sinistra, oscilla fra 120 e 80, considereremo quella media

    di 100 mmHg (pressione arteriosa). La pressione nella vena cava, alla nostra destra, di circa 0

    mmHg (pressione venosa).

    Calcolare la pressione nella testa e nei piedi di un uomo standard.

    Altezza uomo standard: 170 cm, Altezza donna standard: 164 cm

    Ipotizzeremo che luomo sia in piedi poich fosse supino non potremmo utilizzare la formula

    P gh essendo laltezza dei punti del sistema di nostro interessa circa la stessa.

    FIGURA 3.2: PRESSIONE NEL CUORE

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    15 27/10/2017

    Sappiamo che la densit del sangue simile a quella dellacqua

    31021blood

    kg

    m pi alta perch contiene del ferro nei globuli

    rossi, approssimiamo comunque a 1000 kg.m3. Quello che dovremo

    fare sar schematizzare luomo come un tubo alto 170cm pieno di

    sangue.

    Pressione testa

    Considero il cuore come elemento 1, quindi:

    P1=100 mmHg; z1=0 m , trasformandolo in Pascal P1=13100 Pa.

    P2=Ptesta=?; z2=50c m; 213100 1000*9.8*(0.5 0)P

    2 8200 63 testaP P Pa mmHg

    Pressione piedi

    Considero il cuore come elemento 1, quindi:

    P1=100 mmHg; z1=1,2 m ;

    P2=Ppiedi=?; z2=0 cm; 213100 1000*9.8*(0 1.20)P

    2 24860 189.77 piediP P Pa mmHg

    I risultati corrispondono a quanto ci saremmo aspettati. La pressione ai piedi maggiore perch

    pi lontana dal cuore e il sangue deve risalire lungo il corpo. Quando si ha la pressione bassa gira la

    testa perch non vi una spinta sufficiente per far fluire il corrente ammontare di sangue verso le

    parti alte del corpo.

    Viscosit 3.2.1 Introduzione

    La viscosit la resistenza di un fluido a muoversi/fluire. Solo i fluidi

    hanno viscosit, la esprimiamo con (miu) .

    Supponiamo di avere un cilindro vuoto (Fig. 3.4) al cui interno posto un

    altro cilindro pieno collegato ad una manovella. Se pongo un solido

    nellintercapedine tra i due cilindri, la forza da applicare per muovere il

    cilindro interno proporzionale allangolo .

    Se invece di un solido utilizzassi un liquido, le molecole si appoggiano

    alla parete, perch le molecole nei liquidi tendono ad appiccicarsi alle

    superfici. Se ora provo a ruotare il cilindro interno noto che la forza

    non proporzionale allangolo ma alla velocit, quindi nei fluidi

    avremo una relazione del tipo

    /

    FIGURA 3.4: CILINDRO

    FIGURA 3.3: UOMO STANDARD

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    16 27/10/2017

    Quindi la differenza tra solido e liquido non solo nella dispersione delle molecole, ma anche dovuta

    ai diversi attriti.

    Possiamo brevemente riassumere le proprieta e le differenze tra liquidi, solidi, gas e tra solidi e

    fluidi.

    Un solido resiste a deformazione, mentre un fluido resiste a scorrimento. Dallesempio in Fig. 3.4

    infatti possiamo dedurre che i liquidi resistano alla velocita di deformazione mentre i soldi alla

    quantita di deformazione. Altra differenza: i fluidi non hanno di una forma propria.

    Unaltra differenza che le molecole dei fluidi si attaccano alle superfici e non scivolano. Questa

    propriet e nota come no-slip.

    I fluidi che dividiamo tra liquidi e gas presentano ulteriori differenze.

    Nei gas le molecole sono abbastanza distanti da non interagire troppo tra loro, mentre in liquidi

    come lacqua ho una forte interazione data dai legami a idrogeno, anche nei polisaccaridi vi un

    fenomeno analogo tra le lunghe catene intrecciate.

    La differenza tra un liquido e un gas e che il primo prenda la forma del contenitore ma non il

    volume, cioe in condizioni di quasi equilibrio il liquido incomprimibile e inespandibile.

    3.2.2 Piatti paralleli

    Osserviamo ora il caso di due superfici (due piatti) parallele

    tra loro, separate da un liquido (Fig. 3.5). Il piatto superiore

    fermo, mentre il piatto inferiore si muover con velocit

    V.

    Data la condizione di no-slip, le molecole vicino al piatto

    inferiore saranno attaccate allo stesso e come lui si

    muoveranno con una velocit V, mentre quelle vicino al

    piatto superiore avranno velocit nulla.

    In regime stazionario, mantenendo il movimento del piatto inferiore costante V=cost, vedremo che

    le molecole in movimento interagiranno con quelle accanto sul piano superiore e trasmetteranno il

    moto con piccole perdite.

    Allequilibrio avremo un profilo di velocit lineare (Fig. 3.6), dove appunto

    sopra sar nullo e sotto costante.

    Siccome il fluido e appiccicoso, perch il piatto si muove con una

    velocit V, dobbiamo applicare una forza per vincere lattrito. La

    forza applicata per unit di area del piatto proporzionale al

    gradiente di velocit corrispondente anche alla pendenza della

    retta.

    Analiticamente si ha:

    . La forza che applico mi dice quanto veloce scorre il fluido. Anche

    larea importante, perch maggiore e larea di contatto con le molecole, maggiore e la forza

    FIGURA 3.5: EVOLUZIONE DEL PROFILO DI VELOCIT

    FIGURA 3.6

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    17 27/10/2017

    necessaria. La Y laltezza del piatto, inversamente proporzionale alla forza perch pi lontano e

    il piatto fermo meno sento le molecole ferme.

    Entra in gioco la costante di proporzionalit, i.e. la viscosit:

    =

    da cui trarremo la conclusione

    che per una viscosit maggiore necessiteremo di una forza maggiore. importante notare che la

    velocit nel caso da noi analizzato sviluppa lungo x, sar pi corretto quindi scrivere:

    =

    Inoltre la relazione precedente

    potr essere riscritta come: =

    Ragionando in termini infinitesimali avremo lequazione costitutiva: =

    Si noti che stato inserito il segno meno poich il trasporto opposto alla differenza, ovvero il

    trasporto di moto va verso dove la V minore.

    Ricordiamo che lo sforzo di taglio, la viscosit e

    il gradiente.

    Se invertissimo i due piatti, ponendo quindi in movimento quello superiore mentre quello inferiore

    rimane fermo, avremmo pur sempre un meno perch ho che la differenza di velocit e il flusso della

    quantit di moto sono diretti in modo opposto. Il gradiente sar sempre negativo anche nei casi di

    trasporto di energia e massa che vedremo in seguito.

    A regime abbiamo una distribuzione come in

    Figura 3.7 (frecce rosse), dovuta anche alla

    condizione di NO-SLIP che il fenomeno per cui

    le molecole del fluido sono appiccicate alla

    parete cos che Vliquido alla parete =Vparete.

    Lo stesso vale tra uno strato e un altro di

    molecole, in questo caso per pi corretto

    dire che quel che viene trasferito il moto e

    non la velocit.

    Accenno alla reologia

    La reologia e quel ramo della scienza che studia la meccanica dei fluidi non-ideali.

    Iniziamo definendo i fluidi ideali: come i gas ideali, non esistano ma possiamo considerare i fluidi

    ideali quelli che non sentono attriti e quindi muovono insieme alla stessa velocit. Un fluido ideale :

    i) incomprimibile, ii) irrotazionale, iii) inviscido.

    Rivediamo il caso delle superfici parallele, una ferma ed una con velocit V, con dentro un liquido

    (Fig. 3.7). Avevamo osservato la formazione di strati detti lamine che hanno tra loro velocit diverse,

    ma allinterno forma dunque uno strato che ha la stessa velocit. Definito lo sforzo di taglio in

    FIGURA 3.7: FLUSSO LAMINARE

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    18 27/10/2017

    questo caso come xdV

    dy , con il concetto di tensore possibile esprimere questa formula

    come xyxdV

    dy . Dove i pedici yx indicano il piano perpendicolare e la direzione di applicazione

    e su cui applicato. Volessimo lo sforzo lungo x perpendicolare al piano z scriveremmo

    zxz

    dV

    dx .

    Facendo il grafico del gradiente di velocit con lo sforzo di taglio avremo una retta. La pendenza

    negativa e ci dice quanto viscoso il liquido, ovvero quanto

    attrito vi tra le molecole dello stesso. Dal grafico accanto

    possiamo notare che 1 2 3 . A parit di sforzo yx , il

    liquido meno viscoso ha un gradiente maggiore perch pi

    facile da spingere. Mentre quello con attrito maggiore ha

    un gradiente inferiore, pi appiccicoso.

    Annoteremo il gradiente di velocit come .

    dV

    dy cos che per semplicit avremo .

    I fluidi la cui viscosit non varia con la velocit (meglio, il

    gradiente di velocit) vengono detti fluidi Newtoniani.

    I fluidi dove aumenta la resistenza allo scorrimento al diminuire dello sforzo di taglio, ovvero

    aumentando lo sforzo il fluido scorre meglio vengono definiti come pseudoplastici o shear thinning.

    Un fluido tipicamente shear-thinning, oltre al sangue di cui parleremo dopo, la pittura. Inizialmente

    resistente, sottoposta alleffetto delle setole dei pennelli diventa pi facile da muovere cos che

    possa essere stesa sulle superfici dove poi asciugher velocemente. A livello molecolare succede che

    le catene inizialmente intrigate, iniziano a districarsi una volta iniziato a mescolare. Altro esempio

    sono le sabbie mobili.

    Il comportamento opposto tipico dei fluidi dilatanti o shear thickening. Aumentando lo sforzo di

    taglio (pi lo muovo), pi difficile diventa muoverlo. Tipico esempio lamido.

    Ci sono poi materiali fluidi come la maionese, che iniziano a muoversi dopo uno sforzo di taglio

    critico, vengono cos definiti i fluidi di tipo Bingham, che seguono la legge critico .

    Mentre ognuno dei fluidi presenta unequazione diversa, potremmo scrivere unequazione generale:

    n dove n varr:

    Tipo fluido Esponente associato a (n) Fluidi ideali 0

    Fluidi newtoniani 1

    Thinning n1

    FIGURA 3.8: GRAFICO SFORZO DI TAGLIO E GRADIENTE DI VELOCIT

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    19 27/10/2017

    Il sangue un fluido di tipo Cassoniano, una via di mezzo tra un Bingham e un fluido shear-

    thinning. Infatti presenta un critico e poi si comporta come un tixotropico. Lequazione costitutiva

    per un fluido di Casson critico e per un tixotropico

    1

    2 (si tratta di equazioni

    empiriche).

    Riepilogo equazioni costitutive:

    Fluidi newtoniani

    Fluidi Pseudoplastici o Shear Thinning 1

    2

    Fluidi Dilatanti o Shear Thickening 2

    Fluidi di Bingham critico

    Fluidi di Casson critico

    FIGURA 3.9: GRAFICI SFORZO, GRADIENTE DI VELOCIT PER LE VARIE CATEGORIE DI FLUIDO

    Nel corpo umano i fluidi di nostro interesse sono non-lineari, cioe non-Newtoniani. Per esempio:

    Liquido sinoviale, Lacrime, Sangue, Succhi gastrici, Saliva, Muco, Linfaecc.

    3.3.1 Unita di misura della viscosit

    Poniamo momentaneamente la nostra attenzione sui fluidi Newtoniani. Essi rispondono alla legge

    dV

    dx in maniera lineare, non hanno comportamenti anomali e sono liquidi con basso peso

    molecolare, non si presentano shear thinning or thickening.

    Dimensionalmente [ ]

    [ ][ ]

    FPa

    P mentre il gradiente di velocit

    2m

    s, da queste due informazioni

    ricaviamo che *Pa s valido nel sistema MKS. Viene spesso misurata anche in Poise, o meglio

    centiPoise (cp).

    Considerando che 2

    310H O Pa s e

    21H O cp

    31 10cp Pa s

    Dati utili:

    6

    3

    10

    4 4 10

    1

    Air

    Blood

    Glicerolo

    Pa s

    cp Pa s

    Pa s

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    20 27/10/2017

    Linee di Flusso

    Riprendiamo ora il modello dei piatti mobili, ricordiamo che ci troviamo in condizione di No-slip e

    che vi la creazione di un flusso laminare. Ogni particella segue il suo percorso e non interseca

    quello delle molecole adiacenti. Possiamo realizzare dei diagrammi dove vengono rappresentate le

    linee di flusso, linee tangenti alla velocit delle particelle. Per definizione le particelle non possono

    attraversare le linee di flusso e le linee non possono intersecare (altrimenti una particella avrebbe 2

    velocita). Non siamo in presenza di un flusso turbolento2, rispettata la legge di continuit, quindi

    ci che entra corrisponde a quel che esce dal sistema.

    Vt

    Nel caso di un fluido incomprimibile Qin=Qout, che come abbiamo visto ci permette

    di concludere che VinAin= VoutAout.

    In un vaso in cui la sezione si riduce potremo

    affermare che Vin

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    21 27/10/2017

    Inoltre, il flusso di tipo laminare (cioe non e turbolente).

    costdV

    dr . Cioe, fluidio Newtoniano.

    Tenendo conto di queste informazioni, notiamo che non c unaccelerazione. Possiamo fare un

    bilancio di forze.

    Consideriamo un cilindretto al centro di un cilindro (Fig.3.11), le cui dimensioni saranno dz e dr.

    Tenendo conto solo delle forze agenti lungo lasse z, ignoriamo la forza di gravit. Avremo da un

    lato P e dallaltro P+dP, con verso opposto. La terza forza da considerare lattrito, supponendo

    che il cilindretto muova verso destra esso sentir le altre molecole ai lati che devono scivolare fra di

    loro.

    2 2( ) 2

    forze forze

    P r P dP r dz r

    Le pressioni vanno moltiplicate per larea del cilindro (faccia piana). Lattrito uno sforzo di taglio

    agente sulla superficie del cilindro.

    2P r 2P r 2dP r 2dz r

    2

    2

    dPr dz

    dP r

    dz

    Abbiamo definito lequazione di Stokes, che esprime un bilancio di forze di un fluido che si muove in

    condizioni stazionarie.

    Considerando il fluido come Newtoniano, come premesso zdV

    dr

    zdV

    dr

    2

    dP r

    dz

    2

    dV dP r

    dr dz Il valore

    dP

    dz una variazione di pressione lungo z, costante. La pressione varia,

    non pu essere uguale nei due punti, ma varia in maniera costante. Ci dovuto allipotesi di

    stazionariet, altrimenti sarebbe presente unaccelerazione. Basti pensare ad un rubinetto da cui

    scorre dellacqua, se ruotiamo la manopola varier la pressione e il flusso osciller. Perch

    cambiando la pressione varia anche la velocit. Considerando quindi questo valore come costante

    potr separare le variabili ed integrare. Serviranno le condizioni al contorno, per il No-Slip la velocit

    alle pareti in r=R v=0.

    0

    2

    , @ , 02

    1

    2 2

    rdP r

    dV dr r R vdz

    dP rV c

    dz

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    22 27/10/2017

    210

    2 2

    dP Rc

    dz

    21

    2 2

    dP Rc

    dz

    2 21( ) ( )4

    dPV r r R

    dz Questa lequazione generale base della fluidodinamica che ci permette

    di capire come varia la velocit lungo il raggio.

    Possiamo scriverla anche come 2 21( ) ( )

    4

    dPV r R r

    dz , non negativa poich la derivata della

    pressione lungo z negativa. Infatti se volessimo spingere un fluido dovremmo applicare pi

    pressione iniziale e quindi la variazione risulterebbe negativa, poich la pressione diminuir

    allaumentare di z.

    Vogliamo individuare come varia la velocit rispetto ad r, plottiamo quindi V(r):

    Landamento di tipo parabolico,

    nella parete 0, al centro la

    velocit massima.

    2

    max

    1

    4

    dPV R

    dz

    Il profilo di velocit avr un andamento parabolico come in Figura 3.12-13.

    Ricaviamo il flusso volumetrico Q.

    VflussoVolumetrico mediaA

    Q A nVdA Non considereremo il vettore normale,

    poich larea gi normale al vettore flusso.

    2 2 3 2

    0 0

    1 2( )2 ( )

    4 4

    R RdP dP

    Q r R rdr r R r drdz dz

    4 44( )

    2 4 2 8

    dP R R dPR

    dz dz

    4

    8

    dPQ R

    dz

    Equazione di Poiseuille.

    FIGURA 3.13 - PROFILO VELOCIT IN UN CILINDRO RIGIDO

    FIGURA 3.12: PROFILO PARABOLICO

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    23 27/10/2017

    Lequazione di Poiseuille 4

    8

    dPQ R

    dz

    esprime il flusso in un condotto cilindrico con le

    suddette condizioni iniziali. Lunit di misura Volume/Tempo.

    La viscosit al denominatore perch esprime la resistenza o difficolt a scorrere del fluido, infatti

    se grande Q sar piccolo. Il raggio influisce con un fattore elevato alla quarta.

    Dipender anche dal gradiente di pressione applicato, maggiore la spinta, maggiore il volume in

    uscita.

    dP

    dz difficilmente misurabile, combinando lequazione di Stokes e quella di Poiseuille possiamo

    ricavare unespressione dello sforzo di taglio alla parete di un tubo.

    Eq. Poiseuille 4

    8

    dPQ R

    dz

    Eq. Stokes

    2

    dP r

    dz

    4

    3

    2

    8

    4

    wall

    wall

    dP R

    dz

    dP Q

    dz R

    Q

    R

    o

    Questa formula serve per stimare il comportamento del sangue nei vasi. Si sottolinea stimare poich

    le formule ricavate sono state trovate grazie a delle ipotesi sul fluido e sul vaso che non sono

    rispettate dal sangue:

    Il sangue non un fluido Newtoniano, ma di tipo Casson. Inoltre, il flusso non stazionario perch

    oscilla rispetto al tipo di vaso percorso. Pu per essere semplificato come stazionario per tempi di

    osservazione lunghi, poich vi uniformit nel tempo.

    Il flusso nei vasi, ad esempio laorta, non laminare e i vasi non sono rigidi n infinitamente lunghi.

    Per lequazione di Poiseuille e una buona prima approssimazione.

    Proviamo a stimare lo sforzo di taglio alla parete dellaorta:

    3 35*105

    min 60

    L mQ

    s

    ; 34 4 10Blood cp Pa s ; Raorta=1.5cm; Diametro=3cm;

    3 6

    3 2 3

    34 4*4*10 10

    (1.5*1

    5*10 80

    60 0 ) 60wall

    Q

    R

    63.375* 10 Pa

    0.1257 0.13wall Pa Pa

    La velocit media sar:

    4

    2

    2

    1 8

    8media

    A

    dPR

    Q dP RdzV vdA

    A A R dz

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    24 27/10/2017

    Numero di Reynolds (Re).

    Il numero di Reynolds un valore adimensionale che esprime il rapporto fra le diverse forze in gioco

    in un sistema, nello specifico le suddette forze sono le forze inerziali e quelle viscose.

    Forze Inerziali Unit di VolumeRe

    Forze Viscose Unit di Volume

    Esprime dunque quanto prevale linerzia sullattrito, ovvero esprimere la difficolt di fermare

    loggetto rispetto a farlo scorrere.

    La forza inerziale si esprime come F=ma che moltiplicata per lunit di volume diventa: m a

    V

    Sappiamo che m

    V la densit ed esprimendo a come

    2v

    L (velocit al quadrato fratto lunghezza)

    otteniamo 2

    inerziali

    vF

    L

    .

    La forza viscosa invece A che moltiplicata per unit di volume diventa 2L

    3L

    .

    Sapendo che dV

    dx ed esprimendo

    dV

    dx come

    v

    L ovvero lespressione generale, otterremo

    cos 2vis e

    vF

    L .

    Essendo il numero di Reynolds il rapporto fra le due, sar vero che:

    RevL

    La velocit delloggetto v, la densit del fluido, la viscosit dello stesso e L la lunghezza

    caratteristica. Per convenzione, in caso quando studiamo il flusso allinterno di un tubo la L il

    diametro e per un solido che muove in un fluido, L e la lunghezza delloggetto lungo la direzione di

    flusso.

    Il numero di Re ci permette di capire quale delle due forze predominante in un sistema, inoltre

    serve per capire se si avr un flusso laminare, in cui le forse viscose sono importanti, oppure un

    flusso turbolento in cui lattrito trascurabile. Pi grande il numero di Reynolds maggiore

    linerzia, pi piccolo Reynolds minore linerzia. Non e necessario il valore preciso de Re, ma solo

    lordine di grandezza.

    Re5000 flusso turbolento, lattrito quasi trascurabile si muove tutto pi o meno alla stessa

    velocit, difficile prevedere il comportamento in between nel mezzo; vi la predominanza degli

    effetti inerziali

    2000

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    25 27/10/2017

    Questo parametro ci permette di determinare se possibile applicare le leggi viste prima; cos da

    capire in che modo si muove un sistema conoscendone densit, viscosit, lunghezza e velocit. Se la

    fluidodinamica di 2 sistemi e uguale hanno lo stesso numero di Reynolds. Vice versa, se due sistemi

    hanno lo stesso Re, il carattere del flusso (es. linee di flusso hanno lo stesso andamento) dei due

    sistemi e uguale. Sapendo questo ci permette di costruire dei modelli di areoplani e testarli nelle

    gallerie, tenendo fermo laeroplano e muovendo laria intorno. In inglese si dice che i due sistemi

    hanno dynamic similarity.

    Questo numero importante perch

    permette anche di capire che andamento

    avr un corpo quando si muove in un

    determinato mezzo. Ad esempio pi

    facile nuotare in una piscina con acqua

    rispetto a una con olio.

    Consideriamo ad esempio un pesce che

    nuota, dovr spostare e quindi spingere

    lacqua davanti a se; deve quindi superare

    la densit dellacqua che la forza dinerzia detta in questo caso pressure drag. Laltro fenomeno

    che si presenta quello dellattrito, poich vi un rallentamento dovuto allattrito del pesce con

    lacqua, detto friction drag.

    Il numero di Reynolds ovviamente una stima, anche perch spesso la lunghezza caratteristica non

    tiene conto della geometria delloggetto.

    Infatti se abbiamo due oggetti con la stessa lunghezza,

    con uno che si muove come in Fig.3.16, esso avr

    uninerzia maggiore (dovr spostare pi fluido) e meno

    attrito.

    Mentre nel caso in Fig.3.17 ci sar maggiore attrito e

    minore inerzia.

    Spesso il numero di Reynolds sar espresso come ReVL

    , dove la viscosit cinematica che

    corrisponde a

    . Se la viscosit dinamica nel sistema (c.g.s.) misurata in Poise e descrive

    lattrito, la viscosit cinematica nel sistema (c.g.s.) misurata in Stokes. La viscosita dinamica

    definisce il grado di attrito interno del fluido, mentre quella cinematica puo essere considerato

    come lappiccicosit e la resistenza al moto del fluido.

    FIGURA 3.14: - EFFETTI DI PRESSURE DRAG E FRICTION DRAG SU UN PESCE CHE NUOTA.

    FIGURA 3.15

    FIGURA 3.16

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    26 27/10/2017

    Possiamo confrontare il Re per diversi sistemi biologici. Da notare che animali grandi hanno Re alto

    mentre quelli piccoli hanno Re basso.

    Re

    Balena nuota a 10 m/s 300 000 000

    Uomo 70 kg nuota a 1 m/s 1 730 000

    Falco vola a 30 m/s 1 125 000

    Ape vola a 6 m/s 30

    Batterio nuota a 0.01 m/s 0.00001

    3.6.1 Lo strato limite

    Quando parliamo delleffetto di attrito di un fluido, parliamo dello strato limite. Lo stato limite e

    uno strato vicino alloggetto che muove grazie al No-Slip. Ad esempio nel caso di un pesce che

    muove nel mare, le particelle si muovono come il pesce a cui sono attaccate. Il moto viene trasferito

    laminar mene, man mano diminuisce finch si arriva in una zona di mare in cui non pi percepibile

    leffetto del pesce.

    FIGURA 3.17 :STRATO LIMITE

    In un condotto dove scorre un fluido lo strato limite la zona adiacente alla parete; se il condotto

    stretto lattrito si sentir ovunque, se largo si sentir solo ai bordi e non al centro.

    Per calcolarlo bisogna prima definirlo, quella zona in cui la velocit il 99% di quella delloggetto;

    questa definizione risulta per confusa, perci utilizzeremo Reynolds.

    Il numero di Reynolds esprimer la zona in cui vi una maggioranza di forze viscose, mentre al

    centro vi una maggioranza di forze inerziali.

    Ricordiamo che le forze viscose sono cos 2vis ev

    FL

    e quelle inerziali 2

    inerziali

    vF

    L

    .

    Indichiamo allora con la zona limite e consideriamo che le forze viscose sono una percentuale delle forze inerziali, esprimendo ci con il parametro k .

    2

    2

    v vk

    L

    .

    Esprimiamo in funzione di Reynolds: 2

    2

    Lv

    k v

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    27 27/10/2017

    Occorrer moltiplicare e dividere per L, cos che: 2

    2

    2 Re

    L L Lv

    L kk v

    Potremo dire quindi che Re

    L , perci quando Re diminuisce, lo strato limite ( ) aumenta.

    Equazione di Bernoulli

    Per analizzare le zone dove lattrito non importante, come in grandi masse di fluidi (es. il mare) o

    lontani dalle pareti (condotti grandi), parliamo di fluidi ideali detti meglio fluidi inviscidi, dove non vi

    sono effetti viscosi, ogni singola particella non influisce sul comportamento delle altre.

    Il comportamento fluidodinamico di un fluido inviscido, che sia anche stazionario, rappresentato

    dallequazione di Bernoulli.

    Tracciamo le linee di flusso che indicano il moto, come gi visto le particelle sono tangenti e non

    possono attraversare le altre linee.

    Dal momento che consideriamo un

    fluido stazionario non vi saranno

    variazioni di velocit rispetto al

    tempo, ma vi saranno componenti di

    accelerazione nello spazio:

    dva

    dt x

    dvv

    dx

    Lequazione di Bernoulli esprime un

    bilancio di forze in questo sistema,

    riconducibili a F=ma.

    Consideriamo un sistema con un flusso in una certa direzione, esprimiamo il bilancio di forze su un

    volumetto di fluido cos come in Figura 3.20A. Per scomporre le forze sar utile considerare i vettori

    come in Figura 3.20B.

    FIGURA 3.18: LINEE DI FLUSSO IN CONDOTTO LARGO CON FLUIDO INVISCIDO

    FIGURA 3.19: A) VOLUMETTO DI FLUIDO, B) COMPONENTI ORIZZONTALI E VERTICALI DI S

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    28 27/10/2017

    Il bilancio di forze sar: dv

    F ma mvds

    vedremo variazioni di velocit lungo s,

    leffetto della gravit e delle pressioni che agiscono sui lati del volume.

    La forza risultante della pressione [ ( )]P P dP A , dunque dPA . Il componente della gravit

    lungo s sar invece sinmg (vedi Fig.3.20B).

    sindv

    mv dPA mgds

    Essendo il volume costante potremo esprimere m Volume Ads , inoltre sindy

    ds

    (Fig.30B).

    A dsdv

    vds

    dP A A dsdy

    gds

    vdv dP gdy Presentata come segue 0vdv dP gdy sar lequazione differenziale

    di Bernoulli.

    0vdv dP gdy Integrandola otterremo che:

    2

    costante2

    vP gy Equazione di Bernoulli.

    Considerato che rho una costante, pu essere assimilata nel termine costante al secondo membro,

    lequazione sar: 2

    costante2

    v Pgy

    .

    3.7.1 Pressione statica e cinetica

    Sappiamo che il primo membro una Forza per Area (F/A), moltiplicando e dividendo per L avremo:

    F L Energia

    Area L Volume sar allora corretto vedere lequazione di Bernoulli come segue:

    . .Pressione .Potenzialecostante

    E Cinetica E E

    Volume Volume Volume ci ci permette di evincere che in un fluido

    inviscido non si hanno perdite dovute allattrito. Esso visto in termini di energia.

    Possiamo osservare la formula anche in termini di Pressione:

    Pressione Cinetica+Pressione Statica+Pressione Idrostatica=costante

    Se ho un fluido in un condotto e metto un manometro per misurare la pressione otterr dei risultati

    diversi a seconda del modo in cui posizionato il sensore (cioe manometro), osserveremo i casi 1 e

    2 come in Figura 3.21. Nel caso 1 viene misurata sia la pressione P sia la pressione cinetica 2

    2

    v ,

    poich per come posizionato esso cattura anche lo scorrere del fluido. Nel caso 2 esso misura

    solo la pressione statica del fluido P. f

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    29 27/10/2017

    Osservando laltezza del fluido nelle colonne nei rispettivi casi possiamo affermare che la pressione

    misurata in 1 maggiore di quella in 2.

    Questo principio viene sfruttato nel tubo di Pitot, che ci permette di conoscere la velocit del fluido

    conoscendo la differenza dellaltezza.

    Nella configurazione 1 abbiamo che 2

    2 1

    1

    2v P P ; 2 1

    ( )2

    P Pv

    Nel caso di idrostatica ritroveremo la legge trovata in precedenza, poich lequazione di Bernoulli si

    trasforma con v=0 in costanteP gy .

    3.7.2 Stenosi, separazione del flusso e aneurisma

    Dallequazione di Bernoulli possiamo trarre tutta una serie di considerazioni notevoli. Considerando

    un tubo soggetto a restringimento come in Figura 3.22, potremo dire che:

    La parte centrale non risente di particolari fenomeni.

    Le considerazioni in nero in figura, dove viene specificato che la velocit, al centro della sezione dove

    il tubo si restringe, maggiore che nella parte 1 e 3 dove si ha una sezione pi ampia, deriva dalla

    legge di continuit e da quella di Bernoulli. Trascuriamo il contributo gh perch non vi sono

    variazioni in altezza.

    Per Bernoulli avremo: 2 2 2

    1 1 2 2 3 3

    1 1 1

    2 2 2v P v P v P

    Osserviamo i primi due termini (area 1 e 2), per la legge di conservazione si ha che:

    1 1 2 2Av A v Sostituiamo v2

    2 21

    1 1 1 2

    2

    1 1( )

    2 2

    Av P v P

    A

    2 212 1 1 1

    2

    1[ ( ) ]

    2

    AP P v v

    A P2 dipende dal rapporto tra A1 e A2.

    FIGURA 3.20: - A. TUBO CON SENSORI DI PRESSIONE, B. TUBO DI PITOT

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    30 27/10/2017

    Possiamo quindi dire che la parete che crea problemi, poich le considerazioni fatte sono per i

    fluidi inviscidi che sono ideali. Al centro si possono considerare ideali perch non vi un disturbo

    causato dallattrito e il gradiente di pressione spinge le molecole.

    Nel caso fra area 2 e 3 la P3>P2, perci vi un inversione di flusso, questo fenomeno di separazione

    del flusso crea dei vortici in uscita dalla sezione 2 (in Figura 3.22). La separazione del flusso avviene

    ogni talvolta che il gradiente di pressione si forma in opposizione al flusso. Nel caso di una stenosi,

    questo puo solo portare ad un peggioramento in quanto la zona luminale a valle della stenosi viene

    soggetta a bassi sforzi e ulteriore deposizione di lipidi. Questa tendenza allulteriore restringimento

    che pu portare allocclusione del vaso.

    Soffermandoci sulla sezione 2 e 3 notiamo che vi un allargamento e non un restringimento come

    nel caso 1-2. Questa situazione corrisponde a quel che accade in presenza di un Aneurisma, quando

    la parete debole tende a cedere allargandosi. Notiamo che la velocit si riduce e la pressione

    aumenta, quindi questo aumento di pressione pu portare il vaso a scoppiare perch vi un limite di

    rottura. Tale limite ricavabile dal rapporto 1

    2

    A

    A, se 2 1A A

    il rapporto tende a 0 e avremo una pressione cos alta da far scoppiare il vaso.

    Questo principio delle sezioni viene sfruttato nel tubo di Venturi.

    Inseriamo tre manometri in un vaso

    come quello in Figura 3.23,

    registreremo tre altezze e quindi tre

    pressioni diverse. In corrispondenza

    di 1 e 3 saranno pi alte rispetto a 2

    poich P1>P2 e P3>P2, quindi h1>h2

    e h2

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    31 27/10/2017

    Il volo, la scia e flusso vorticoso

    Quando un corpo solido si muove in un fluido, spinge il fluido in avanti creando una zona di

    pressione elevata (relativa alle altre aree), mentre dietro lascia una zona di pressione bassa (Fig.

    3.24). Nel caso di un solido che ha la forma di unala, molto marcata la diminuzione di pressione

    nella parte superiore, che d luogo ad una netta spinta in su (detto la portanza). Questa

    diminuzione dovuta al fatto che le linee di flusso sono costrette a avvicinarsi per cui la velocit

    aumenta e, grazie al Bernoulli, la pressione, rispetto alla zona sotto loggetto, diminuisce.

    FIGURA 3.23: PORTANZA. PER DYNAMIC SIMILARITY LE PRESSIONI SVILUPPATE SONO LE STESSE SIA CHE SI MUOVE IL FLUIDO CHE IL SOLIDO

    La scia invece e causata quando un oggetto con forma aperta dietro, come in Fig. 3.25, si muove in

    un fluido con una certa velocit (elevata). Qui la sfera nella zona anteriore spinge il fluido

    aumentando la pressione mentre dietro si crea una zona con pressione pi basso grazie al vuoto

    lasciato dalloggetto. La pressione pi bassa viene sfruttata in natura da gruppi di animali in volo,

    nuoto o in bici per ridurre il lavoro.

    FIGURA 3.24: VORTICI DIETRO UNA SFERA IN CUI IL FLUSSO SI MUOVE DA SINISTRA A DESTRA

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    32 27/10/2017

    Inoltre, risulta in una separazione del flusso (le molecole del fluido che sentono lattrito con il solido

    tendono a tornare indietro), effetto che diventa sempre pi marcato con aumento di Re. Infatti, se la

    velocit e molto elevata questo effetto causa lapparenza di vortici, che rallentano il moto del

    oggetto solido (per questo le macchine veloci hanno gli alettoni posteriori).

    3.8.1 Flusso sviluppato

    Nellaorta il flusso turbolento e non laminare. Inoltre un flusso non sviluppato, ovvero che non

    riesce ad avere un andamento Poiseuilliano perch le particelle vicino alla parete non sono ancora

    rallentate dallattrito con essa.

    Nellapertura dellaorta il sangue esce alla stessa velocit, man mano che il fluido avanza le particelle

    centrali avanzano per inerzia poich non sentono la forza viscosa che percepiscono quelle vicine alla

    parete e che rallentano (per la condizione No-Slip).

    FIGURA 3.25: ANDAMENTO SVILUPPO DI UN FLUSSO

    Questo fenomeno aumenta sempre pi e iniziano a rallentare anche gli altri strati. Man mano

    aumenta lo spessore dello strato limite (linea rossa in figura, che rappresenta la zona in cui le forze

    viscose sono significative), quando corrisponder al diametro del tubo il fluido sar completamente

    sviluppato, cio parabolico. La lunghezza, misurata dallimbocco, in cui il fluido risulta

    completamente sviluppato detta lunghezza di imbocco. Se il Re

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    33 27/10/2017

    Equazione di Navier Stokes.

    Lequazione di Navier Stokes e la mother equation per il trasporto di moto. Da questa equazione

    possiamo da essa derivare tutto le altre equazioni che abbiamo gia visto. Esprime la conservazione

    di moto. A parole:

    ( )accumulo di moto per unita' di tempo =flusso di moto flusso di moto

    in out

    d mvA A F

    dt

    Consideriamo un fluido in moto che sia incomprimibile. Essendo il fluido incomprimibile la

    divergenza della velocit sar pari a 0.

    Lequazione di conservazione della massa o di continuit per un fluido incomprimibile

    0 0v vt

    Sappiamo che laccelerazione : x y z

    v v v va v v v

    t x y z

    dv v Dva v v

    dt t Dt

    Laumento di moto sar rispetto allunit di tempo e quindi lespressione sar ( )mv

    Ft

    analoga a

    F=ma. Se la forza in ingresso uguale a quella in uscita non avr unaccelerazione, altrimenti avr un

    aumento di moto.

    Descriviamo un sistema bidimensionale per ricavare lequazione di Navier-Stokes. Le forze che

    agiscono sul fluido sono pressioni e sforzi di taglio. Aggiungiamo anche una forza esterna (body

    force) per completezza. Un esempio e gravit, o spinta da esterno.

    xArea

    y

    *x y Volume

    Forze:

    Sforzi (di taglio o altri)Area

    Pressioni Area

    Body Force (forze esterne, es. gravit)

    Conviene analizzare i contributi singolarmente, partiamo dalle pressioni, sempre Pin-Pout, nelle 2 direzioni.

    ( )[ | | ]x x xx

    x

    d mvma P P y

    dt

    FIGURA 3.26: VOLUME (2D) SOGGETTO A SFORZI

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    34 27/10/2017

    ( )[ | | ]y y yy

    y

    d mvma P P x

    dt

    Abbiamo espresso la risultante delle pressioni, che abbiamo moltiplicato per le aree per ottenere le

    forze. Sappiamo che la massa m x y con x y il volume.

    Otteniamo dunque:

    |

    |

    x xxx

    y yyy

    Dvma x y dP y

    Dt

    Dvma x y dP x

    Dt

    Dividendo per x e y e ponendo x e y 0 perch infinitesimi, otterremo:

    y xP PDv

    i j PDt y x

    Gradiente di pressione.

    Consideriamo ora un contributo della body gF mg x yg

    Aggiungendola allespressione precedente dovremmo indicarla con yg che per convenzione

    indicheremo con g 3. Dovremo anche tenere conto di eventuali forze esterne, perci

    aggiungeremo un termine di forza generico F (body Force). La gravit spesso viene incorporato nella

    F.

    Avremo quindi: Dv

    P g FDt

    Studiamo adeso gli sforzi:

    Si hanno quattro sforzi lungo le pareti, i tensori bidimensionali saranno due lungo y e due lungo x. In

    un fluido xy yx , gli sforzi di direzioni diverse sono uguali perch si dice che un fluido e

    irrotazionale e non riesce a ruotare intorno a un punto. Quindi i tensori sono simmetrici.

    Consideriamo sempre laccumulo di moto nel sistema e dunque per ottenere la forza moltiplichiamo

    gli sforzi per larea.

    Forze lungo y e lungo x:

    ( | | ) ( | | )

    ( | | ) ( | | )

    y y y xy x xy x x yy y yy y yin out

    x x x yx y yx y y xx x xx x xin out

    F F F y x

    F F F x y

    Danno luogo ad unaccelerazione

    3 Per convenzione il segno di g viene messo dopo che si decide il sistema di riferimento.

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    35 27/10/2017

    ( | | ) ( | | )

    ( | | ) ( | | )

    ( | | ) ( | | )

    ( | | ) ( | | )

    yx y yx y y xx x xx x x

    x

    yx y yx y y xx x xx x x

    x

    xy x xy x x yy y yy y y

    y

    yy y yy y y xy x xy x x

    y

    Dvx y x y

    Dt

    Dv

    Dt y x

    Dvx y y x

    Dt

    Dv

    Dt y x

    Con x e y 0 perch infinitesimi, otterremo:

    yx xx

    x

    Dv

    Dt y x

    ,

    xy yy

    y

    Dv

    Dt x y

    Cioe

    Dv

    Dt

    Abbiamo ottenuto la divergenza di un tensore, che ben diversa dalla divergenza di un vettore

    perch (in questo caso 2D) un vettore a due elementi4. Unendo tutti i bilanci di forze avremo che:

    DvP g F

    Dt

    Sappiamo che i nostri sistemi sono Newtoniani d

    dx

    v con tensore e v vettore.

    Vedendo il tutto in termini pi generici xyxdy

    dV applicato perpendicolarmente a y ma verso x.

    Quindi dato che nella formula abbiamo facciamo delle derivate, sar come se facessimo la derivata seconda della velocit, cio:

    v

    x xx

    Per cui in generale, per un fluido Newtoniano5:

    2v

    Lequazione di Navier-Stokes sar: 2DV

    P g VDt

    4 ,yx xy yyxx

    x yy x x y

    5 Mancano alcuni passaggi, per gli interessati una descrizione piu completa e in Bird &Lightfoot.

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    36 27/10/2017

    Si tratta di unespressione di bilancio di tutte le forze in un fluido Newtoniano. Insieme con

    lequazione di continuit fornisce una descrizione completa del moto di un fluido nello spazio e nel

    tempo con e noto, le uniche variabili sono la velocita e la pressione (2 equazioni, 2 variabili).

    3.9.1 Equazione di Bernoulli e di idrostatica da Navier-Stokes.

    Bernoulli

    Lequazione di Euler e un caso speciale del Navier Stokes, per un fluido inviscido.

    DVP g

    Dt

    Per ridurre lequazione di Euler allequazione di Bernoulli si considera che il flusso ha una sola

    direzione e accelerazione e solo nello spazio.

    x

    dv dPv g

    dx dx

    Moltiplicando per dx, cambiando il segno di g e integrando otterremo lequazione di Bernoulli:

    VdV dP g dx

    Equazione di idrostatica da Navier-Stokes:

    Abbiamo ununica direzione e V=0, g e sempre negativo.

    0P g 0zdP

    gdz

    zg dz dP

    3.9.2 Equazione di Poiseuille con Navier Stokes.

    Eseguiamo un bilancio di forze in condizioni stazionarie in un

    tubo cilindrico, orizzontale e in coordinate cilindriche con

    simmetria radiale. Il fluido e Newtoniano:

    2 2

    2 1 2P r P r dz zdV

    dr

    0DV

    P gDt

    2VP

    Utilizziamo coordinate cilindriche e sappiamo anche che lunica componente della velocita e zV per

    cui possiamo scrivere: 2

    2

    2 2

    1 1z zz

    V VV r

    r r r r

    2

    2

    zV

    z

    non ci sono variazioni in .

    FIGURA 3.27: - VOLUME INFINITESIMALE DI FLUIDO IN UN CILINDRO

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    37 27/10/2017

    La pressione varier soltanto lungo z, perci lunica componente sar P

    z

    che costante, cos che:

    1 zdVdP d rdz r dr dr

    della velocit consideriamo le variazioni lungo r con componente z.

    Integreremo sfruttando le condizioni a contorno di no-slip e simmetria.

    0

    1) r=R V 0

    2) | | cio 0

    z

    zr r

    r

    VV V

    r

    Il sistema simmetrico intorno a r=0, non posso dunque

    avere una differenza di V intorno a r=0.

    Integrando: 2

    zdVdP r dr d rdz dr

    dP r

    dz

    2r

    1

    zdV cdr

    C1=0 per la condizione di simmetria. Integriamo ancora per dr:

    2

    2

    2 2

    2 2

    1

    2 2

    4 4

    z

    z

    dP rV c

    dz

    dP r dP RV c c

    dz dz

    2 21 ( )4

    z

    dPV r R

    dz Equazione gi trovata precedentemente con il bilancio delle forze.

    3.9.3 Derivazione dellequazione di Couette.

    Consideriamo due piatti paralleli con area infinita, uno dei quali in movimento, e una differenza di

    pressione fra P1 e P2. Il fluido tra i patti e Newtoniano e il sistema e stazionario con flusso laminare.

    Non avremo accelerazione, dellequazione generica: 2DV

    P g VDt

    rimarr soltanto: 20 P V

    FIGURA 3.28: CILINDRO

    FIGURA 3.29: COUETTE, FLUSSO TRA DUE PIATTI DI CUI UNO E MOBILE

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    38 27/10/2017

    2P V

    Scriviamo le 3 equazioni che rappresentano i componenti del gradiente di pressione nelle tre

    direzioni:

    2 2 2

    2 2 2

    x x xV V VP

    x x y z

    2 2 2

    2 2 2

    y y yV V VP

    y x y z

    2 2 2

    2 2 2

    z z zV V VP

    z x y z

    Dato che non abbiamo variazioni lungo y e z, non consideriamo le ultime due equazioni.

    Osserviamo la prima equazione: anche le derivative di Vx lungo x e z sono nulle perche Vx varia solo

    lungo y.

    2

    2

    xVP

    x x

    2 2

    2 2

    x xV V

    y z

    2

    2

    xVP

    x y

    Dato che siamo in condizioni di stazionariet, il gradiente di pressione lungo x costante, ci vuol

    dire che da P1 a P2 ho una variazione lineare, una spinta uniforme che varia linearmente nello spazio.

    Per questo motivo, le derivate parziali possono adesso essere scritte come derivate assolute, es. dP

    dx

    2

    2

    2

    2 1

    1

    1

    2

    x

    x

    x

    d VdP

    dx dy

    dVdP d

    dx dy dy

    dP yV c c y

    dx

    Per risolvere sfrutteremo le condizioni a contorno: 1) y=0 ; V=0

    2) y=h ; V=Vp

    Per la prima condizione 2 0c .

    Per la seconda condizione: 2

    2 2

    V

    2 2

    p

    p

    dP h P hV c c

    dx h x

    2

    1( )2

    x

    P hV x c

    x

    Con dovute sostituzioni avremo: 21 y

    ( ) V2

    x p

    PV x y hy

    x h

    .

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    Potremmo esprimere il profilo di velocita in modo adimensionale.

    2( ) 1

    V 2 V

    x

    p p

    V x dP yy hy

    dx h

    3.9.4 Flusso in un canale rettangolare

    Procederemo ora con la derivazione classica dellequazione di flusso in un canale rettangolare

    orizzontale infinitamente lungo tramite Navier-Stokes.

    Le condizioni di partenza sono che il flusso deve essere stazionario, laminare e Newtoniano. Il

    condotto deve essere rigido affinch si verifichino le condizioni di No-Slip e infinitamente lungo. Non

    abbiamo forze di gravit e forze esterne, supponiamo anche che h

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    40 27/10/2017

    Tale assunzione valida nel caso in cui H almeno 10 volte pi piccolo di W. Quindi potremo

    affermare che: 2

    2

    zVdP

    dz y

    Ricordiamo che il gradiente di pressione costante perch la spinta costante essendo in regime

    stazionario. Per ricavare Vz(y) e Q dobbiamo sfruttare le condizioni al contorno. Per semplificare i

    calcoli poniamo il nostro sistema di riferimento ad 2

    H.

    v=0 e ad y=0 02

    H dVad y

    dy

    zdVdP d

    dz dy dy

    1zdVdP y c

    dz dy Per la condizione di simmetria c1=0

    2 2

    2 2

    22

    2 8

    1

    2 4

    z

    z

    dP y dP HV c c

    dz dz

    dP HV y

    dz

    La velocit ha sempre un andamento parabolico che dipende da y, per come abbiamo schematizzato

    il sistema sar massima al centro quando y=0. Vz sembra essere negativa, ma in realt ricordiamo

    che dP

    dz negativa altrimenti il fluido non si muoverebbe in quella direzione. Ricaviamo adesso il

    flusso A

    Q VdA

    2 22 2 22 2

    0 0

    2 2 2

    3 2 3 23

    1 1

    2 4 2 4

    3

    2 12 4 2 12 12

    H H H

    W W

    z

    H H H

    dP H dP HV dxdy y dxdy W y dy

    dz dz

    W dP H H W dP H H W dPH

    dz dz dz

    Q

    Il flusso sar fortemente dipendente da 3Q H W nel caso di geometria rettangolare, cos come in

    un condotto cilindrico sar 4Q R . In questo caso potremo dire che laltezza che domina le forze

    di attrito.

    FIGURA 3.32: - SEZIONE RETTANGOLARE DI ALTEZZA H

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    4 Tensione superficiale.

    La tensione superficiale quella forza che rende la superficie di un liquido come una pellicola

    elastica tesa. La tensione agisce tangenzialmente alla superficie. Le forze che tengono unite le

    molecole simili tra di loro sono le forze coesive, in inglese like likes like ovvero che a chi si somiglia

    piace stare insieme. Ad esempio nel caso dellacqua le molecole sono fortemente attratte fra loro e

    tendono a non separarsi grazie ai legami ad idrogeno fra le molecole.

    Dimensionalmente esprimeremo la tensione superficiale come una forza su lunghezza o unenergia

    per area: 2

    N J

    m m

    Le due unit di misura sono uguali, infatti moltiplicando e dividendo per metro si ottiene

    [ ]F m lavoro J e al denominatore 2m m m . Queste due unit sono entrambe valide perch

    si hanno due definizioni di tensione superficiale:

    Forza di un liquido per unit di lunghezza =Energia o lavoro necessario per creare ununit darea del

    liquido.

    Il liquido con maggior tensione superficiale il mercurio infatti 487mN

    m (milliNewton su

    metro), segue lacqua pura con un valore di 72mN

    m . Ricordiamo che, anche se non viene

    sempre specificato la tensione superficiale riferita ad uno specifico mezzo. Questo perch ad

    esempio se ho aria secca o aria umida la tensione superficiale risulta diversa, nello specifico

    maggiore con laria umida perch ricca di particelle di acqua. I due valori di sopra citati si

    riferiscono alle tensioni superficiali rispetto ad aria secca.

    Come gi detto, si dice tensione superficiale perch si manifesta solo in superficie e non allinterno.

    Poich allinterno le varie forze si bilanciano, mentre fuori vi uno sbilanciamento di forze che attrae

    le molecole verso linterno creando una tensione. Questo il motivo per cui, in assenza di altre forze

    dominanti, le gocce sono sferiche, poich questa la forma che ha minore superficie rispetto

    allarea.

    Le forze di tensione superficiale sono importanti in sistemi in cui le dimensioni caratteristiche sono

    piccole, e le forze di tensione superficiale predominano sulle forze di gravita. Per mettere in

    relazione lentita delle due forze si utilizza un numero adimensionale detto numero di Bond.

    3

    2

    Forza di gravit

    Bond=Forza di tensione superficiale

    m g L gL glunghezza L L

    lunghezza

    Se il numero di Bond maggiore di 1 allora la forza di gravit maggiore della tensione superficiale e

    le gocce tendono a essere meno sferiche e piu allungate.

    Linverso del numero di Bond il numero di Jesus. Perch ad esempio gli insetti che riescono a

    camminare sullacqua hanno un valore della forza di gravit (dovuto ad una massa molto piccola)

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    42 27/10/2017

    inferiori a quelli della tensione superficiale, che in termini matematici si traduce con Bo1

    poich 1

    JesusBond

    .

    La tensione superficiale pu essere calcolata sperimentalmente nel seguente modo:

    Prendo un filo metallico immerso in acqua

    cui collego un trasduttore di forza. Tirando

    il filo di pochissimo le molecole dacqua

    rimarranno attaccate creando un velo

    dacqua che verr a creare una nuova area

    dacqua: E F x con x spessore in

    mm.

    Sappiamo che la forza sar proporzionale

    alla lunghezza del filo e la costante di

    proporzionalit sar la nostra tensione

    superficiale.

    : F F=

    E=

    L L

    L x A

    Angolo di contatto e bilancio della tensione superficiale.

    Langolo di contatto descrive appunto langolo che si forma tra una superficie e un liquido (Fig. 4.3).

    E sempre misurato nel liquido o tangenziale alla superfice del liquido

    Quando una goccia di acqua viene posta su una superficie di teflon

    adotta una forma rotonda, mentre su una superficie di vetro pulito

    la forma e piu piatta. Il vetro e idrofilico, cioe attrae le molecole

    di acqua (ce unadesione tra le molecole di vetro e acqua), mentre

    il teflon e idrofobico.

    Se invece il vetro e sporco, ad esempio di residui di grasso larea di

    adesione sarebbe notevolmente ridotta rendendola poco aderente

    (idrofobicit). Nei due casi quel che cambia langolo di contatto

    Langolo e definito come langolo tra la superficie e la linea tangente

    FIGURA 4.3: ANGOLO DI CONTATTO PER UNA GOCCIA DI ACQUA SU UN MATERIALE IDROFOBICO E IDROFILICO

    FIGURA 4.1: TRASDUTTORE CON ELEMENTO METALLICO PARZIALMENTE IMMERSO IN ACQUA

    FIGURA 4.2: GOCCIA DI ACQUA SU VETRO (NON MOLTO PULITO)

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    43 27/10/2017

    Le forze tra due materiali diversi sono dette di adesione.

    Quando parliamo di tensione superficiale ci riferiamo alla relazione tra fluido e ambiente. A volte si

    sfrutta lesperimento di un materiale immerso in acqua sotto cui viene soffiata una bollicina daria.

    FIGURA 4.4 - MATERIALI IMMERSI IN ACQUA E BOLLA DARIA

    Anche qui abbiamo delle tensioni superficiali ma lambiente diverso. Se osservo una goccia su 2

    materiali diversi, come teflon (idrofobico) e vetro pulito (idrofilo) noto che la goccia assume forme

    diverse.

    FIGURA 4.5 - MATERIALI IDROFILI E IDROFOBI CON GOCCIA D'ACQUA

    Rifacendo lesperimento in acqua come spiegato precedentemente noteremo delle forme diverse.

    Nel caso del vetro, che molto affine allacqua, la bolla si compatter per permettere un maggior

    contatto di acqua con il vetro.

    Preferiamo misurare in acqua perch sul materiale la goccia tende ad evaporare. Prendendo il caso

    della goccia su vetro di prima facciamo il bilancio di forze di tensione superficiale ottenendo:

    Equazione di Young-Dupree.

    cos

    cos

    GA WG WA

    WG GA WA

    FIGURA 4.6 - BILANCIO DI FORZE DI TENSIONE SUPERFICIALE

    Langolo di contatto viene utilizzato per caratterizzare la bagnabilit di materiali. importante usare

    gocce piccole, in cui le forze predominanti sono quelle di tensione superficiale.

    Capillarit e gocce da una pipetta

    Quando un capillare viene inserito in acqua, lacqua sale nel tubicino per tensione superficiale

    soprattutto se il tubo idrofilo poich lacqua preferisce stare a contatto con il tubo che con laria.

    Quindi sono le forze adesive tra vetro e acqua che fanno salire il liquido.

    Ci succede finch la forza peso dacqua dentro il tubicino uguale alla forza di tensione superficiale

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    44 27/10/2017

    Nel caso del mercurio, che non aderisce ai superfici avremo un comportamento inverso perch

    molto elevata. Osserviamo lequilibrio del caso con lacqua:

    Se vogliamo ricavare la pressione sfruttiamo lequazione di idrostatica.

    P gh g 4 cos

    d g

    4cos

    d

    Di solito viene considerato un angolo pari a zero, per cui: 4

    Pd

    Si evince che laltezza inversamente proporzionale al diametro perci influente poich la

    quantit di fluido e piccola.

    Esercizio:

    Consideriamo un capillare e facciamo i calcoli riportati sopra nel caso in cui

    3

    mN d=300m; =72 ; =1000

    m

    Kg

    m

    3

    6

    3

    6

    4 72 100.098 9.8

    300 10 9.8 1000

    4 72 10960 7.33

    300 10

    h m cm

    P Pa mmHg

    Osserviamo il fenomeno di una goccia che esce dal contagocce di una pipetta, ad esempio per le

    medicine. Infatti alcune medicine vengono dosate a gocce proprio perch la grandezza non casuale

    ma sempre la stessa poich dipende dalla tensione superficiale. Nel momento in cui si forma la

    goccia essa rimane coesa alla pipetta finch la forza di gravit bilancia la tensione superficiale. Poi

    cadde.

    FIGURA 4.7: -A CAPILLARE PARZIALMENTE IMMERSO IN ACQUA, B) - CAPILLARE PARZIALMENTE IMMERSO IN MERCURIO

    2

    : : Lcos dcos4

    g

    dF mg h g F

    h

    2d

    4g d cos

    4 cos4 cos

    .

    LDhdg N Bond

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    45 27/10/2017

    Forza gravit:

    3

    34

    3 2 6goccia gocciam g gV g g

    Forza tensione superficiale: cos cosL d Il parametro L indica il

    contatto ovvero la circonferenza del tubo d .

    Nel momento in cui la goccia si stacca =0

    g

    3

    6

    3 6

    d

    d

    g

    Nella realt la goccia leggermente pi piccola del valore teorico perch quando cade rimangono

    alcune molecole attaccate al tubo, aggiungeremo quindi un fattore di correzione anche detto Fudge

    Factor: 80%reale teorica

    Legge di Laplace per le gocce

    Nel caso delle gocce la tensione superficiale bilanciata dalla pressione interna, questo accade solo

    per piccolissime quantit di fluido. Ipotizziamo di sezionare a met una goccia ed effettuiamo il

    bilancio di forze:

    e iAP L PA

    2r 2eP r iP 2r

    2

    2

    i eP Pr

    Pr

    Lequazione di Laplace mette in relazione la pressione interna e il raggio di

    una goccia. Pi piccolo il raggio, maggiore sar la pressione interna.

    Inoltre, per formare una sfera piu piccola ci vuole una maggiore pressione

    (Pi).

    Ci di rilevante importanza negli alveoli, poich quando si espandono aumentano il volume e la

    pressione si riduce. Pi piccolo lalveolo pi forza sar necessaria perch dipende da r. Questo

    processo regolato da un surfattante a base di fosfolipidi, che riduce la tensione superficiale per

    rendere possibile la respirazione. La concentrazione di surfattante presente e inversamente

    proporzionale alla grandezza del singolo alveolo, cosi il basso valore di e compensato dal raggio

    piccolo. I neonati prematuri necessitano di ausilio esterno per respirare poich soffrono di mancanza

    di surfattante e non hanno una forza sufficiente per fare espandere gli alveoli (sindrome di stress

    respiratorio neonatale).

    FIGURA 4.9 SEZIONE DI UN GOCCIA

    FIGURA 4.8: GOCCIA DA UNA PIPETTA