Fenomeni di Trasporto Biologico. - centropiaggio.unipi.it · Dispensa Fenomeni di Trasporto Biologico, Università di Pisa, Ingegneria Biomedica 1 27/10/2017 Fenomeni di Trasporto

Dispensa Fenomeni di Trasporto Biologico, Università di Pisa, Ingegneria Biomedica

1 27/10/2017

Fenomeni di Trasporto Biologico.

Dispensa del corso della professoressa Arti Ahluwalia

Università di Pisa, Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica

Pagina del corso:

http://www.centropiaggio.unipi.it/course/fenomeni-di-trasporto-biologico.html

A cura di Alessandro Velletri, sotto la supervisione del docente. Lavoro in corso, si prega di fare

presente eventuali errori al docente.

(CC BY-NC-SA)

(puo’ essere copiato e adattato riconoscendo gli autori, non per scopi di lucro)

Indice 1. Introduzione .................................................................................................................................... 3

Concetti Base .......................................................................................................................... 4

1.1.1 Flux, Flow e Flusso........................................................................................................... 4

1.1.2 Euler e Lagrange .............................................................................................................. 5

Nozioni fondamentali: vettori, tensori, divergenza e gradente ............................................. 5

1.2.1 Vettori e Tensori ............................................................................................................. 5

1.2.2 Gradiente e divergenza ................................................................................................... 6

1.2.3 Il Laplaciano, 2 (in Inglese del squared) ...................................................................... 7

1.2.4 Velocità, accelerazione e flusso volumetrico .................................................................. 8

1.2.5 Material Derivative ......................................................................................................... 9

2 Equazione di conservazione di massa, continuità .......................................................................... 9

Stazionarietà: equilibrio – conservazione. .............................................................................. 9

2.1.1 Equazione di conservazione: ......................................................................................... 10

2.1.2 Il sistema vascolare rispetta la legge di continuità. ...................................................... 12

3 Fluidi: Fluidodinamica e reologia .................................................................................................. 13

Idrostatica ............................................................................................................................. 13

3.1.1 Pressione sanguina........................................................................................................ 14

Viscosità ................................................................................................................................ 15

3.2.1 Introduzione .................................................................................................................. 15

3.2.2 Piatti paralleli ................................................................................................................ 16



2 27/10/2017

Accenno alla reologia ............................................................................................................ 17

3.3.1 Unita’ di misura della viscosità ..................................................................................... 19

Linee di Flusso ....................................................................................................................... 20

Derivazione legge di Poiseuille. ............................................................................................. 20

Numero di Reynolds (Re). ..................................................................................................... 24

3.6.1 Lo strato limite .............................................................................................................. 26

Equazione di Bernoulli .......................................................................................................... 27

3.7.1 Pressione statica e cinetica ........................................................................................... 28

3.7.2 Stenosi, separazione del flusso e aneurisma ................................................................ 29

Il volo, la scia e flusso vorticoso ............................................................................................ 31

3.8.1 Flusso sviluppato ........................................................................................................... 32

Equazione di Navier Stokes. .................................................................................................. 33

3.9.1 Equazione di Bernoulli e di idrostatica da Navier-Stokes. ............................................ 36

3.9.2 Equazione di Poiseuille con Navier Stokes. ................................................................... 36

3.9.3 Derivazione dell’equazione di Couette. ........................................................................ 37

3.9.4 Flusso in un canale rettangolare ................................................................................... 39

4 Tensione superficiale. ................................................................................................................... 41

Angolo di contatto e bilancio della tensione superficiale. .................................................... 42

Capillarità e gocce da una pipetta ......................................................................................... 43

Legge di Laplace per le gocce ................................................................................................ 45

5 Flusso di massa ............................................................................................................................. 46

Introduzione e 1° legge di Fick .............................................................................................. 46

Seconda legge di Fick ............................................................................................................ 47

5.2.1 La forma integrale della legge di Fick ............................................................................ 48

Ordine di reazione ................................................................................................................. 49

Tempo di diffusione e Stokes-Einstein .................................................................................. 50

5.4.1 Concentrazioni soluto e solvente .................................................................................. 51

5.4.2 Concentrazione del sale del mare e mare nel sale ....................................................... 51

Diffusione e convezione ........................................................................................................ 52

Trasporto attraverso la membrana cellulare ........................................................................ 54

5.6.1 Coefficiente di Partizione .............................................................................................. 54

Esempi di trasporto di massa ................................................................................................ 56

5.7.1 Applicazione della forma integrale della Legge di Fick: il modello quasi-stazionario ... 56

5.7.2 Punto sorgente .............................................................................................................. 58

5.7.3 Consumo di ossigeno .................................................................................................... 59


3 27/10/2017

FIGURA 1.1: MOTO BROWNIANO

1. Introduzione

I processi che studieremo in questo corso saranno tutti in condizioni di quasi equilibrio (vedremo

che ciò ci permetterà di semplificare parecchi problemi). Inoltre consideriamo i sistemi come fluidi o

soldi continui (non fatte di particelle o quanta discreti), per cui siamo in regime della meccanica del

continuo.

In questo corso ci soffermeremo in particolar modo sul trasporto di: Moto – Massa – Energia.

Moto: osserveremo il trasporto di fluidi, materiale dovuto ad una spinta di moto, massa×velocita’

(vasi, circolazione e fiumi). Sarà il primo che tratteremo.

Massa: ad esempio come diffonderà il profumo in una stanza, la concentrazione iniziale verrà

distribuita tramite trasporto in tutta la stanza fino a raggiungere un equilibrio nella concentrazione.

Energia: parleremo fondamentalmente del trasporto di calore, poiché le altre energie non vengono

trasportate direttamente ma convertite in altre forme (l’energia potenziale si trasforma in energia

cinetica).

Suddivideremo inoltre il trasporto di massa in due tipi:

Trasporto passivo (detto anche Moto diffusivo) e Trasporto forzato (detto anche Moto forzato,

convettivo o advezione).

Un esempio di moto passivo è quello del profumo descritto precedentemente, dove le molecole di

profumo ognuna con una propria energia intrinseca K×T1 si muovono nell’aria secondo un moto

Browniano. Maggiore sarà la temperatura più velocemente diffonderanno, si diffondono in maniera

casuale e grazie a Einstein e Brown sappiamo che si diffondono secondo la legge:

∆𝑟2 ∝ 𝑡

∆𝑟 ∝ √𝑡

La distanza percorsa è proporzionale al tempo di osservazione, più tempo passa più vi è possibilità di

spostamento. Invece nel caso di moto convettivo, ovvero avrò una velocità �̅� di spinta.

1 K e’ la costante di Boltzmann. K=1.38e-23 J/.Kelvin. Il prodotto K×T e’ l’energia per molecola. Da notare che la costante di gas, R=K/no. Avogadro ed e’ espressa in J/(mole.Kelvin)


4 27/10/2017

Concetti Base 1.1.1 Flux, Flow e Flusso

Ogni tipo di trasferimento (o moto) genererà un FLUSSO.

In italiano utilizziamo un unico termine per indicare quello che in inglese viene distinto tra FLUX e

FLOW.

Flux verrà usato per descrivere qualcosa che si muove in un’area superficiale in

un tempo t, con Φ che indica massa, energia o quantità di moto a seconda del

caso.

2Flux

m s

Flow verrà usato per intendere il flusso volumetrico (inteso come l’acqua in un

condotto o il sangue nelle arterie) è espresso in molti come:

3mFlow

s

Per esempio, il flusso volumetrico del sangue nell’aorta e 5 L/min o 8.5.10-5 m3/s..

Il trasporto è causato da delle differenze che si creano nello spazio, identificate come GRADIENTI. In

particolare, i trasporti che studiamo sono dovute a una variazione di concentrazione, velocità o

temperatura tra due punti. Maggiore è la quantità di quello che si trasporta, maggiore sarà il flusso.

Avremo quindi per il trasporto di:

Massa: dovuto a differenza di concentrazione (C).

Energia: dovuto a differenza di temperatura (T).

Moto: dovuto a differenza di velocità (V).

Quindi il flusso di queste 3 entita’, inteso come flux, sarà:

Φ= entità trasportata FLUSSO GRADIENTE Equazione costitutiva

NomeEq. costitutiva

MASSA: M 2

M

m s −

𝑑𝐶

𝑑𝑥

cJ D

x

FICK

ENERGIA: 2

Joule

m s −

𝑑𝑇

𝑑𝑥

TQ k

x

FOURIER

MOTO: M*v 2

Mv

m s −

𝑑𝑉

𝑑𝑥

v

x

NEWTON

FIGURA 1.2 - FLUX


5 27/10/2017

1.1.2 Euler e Lagrange

Per osservare questi sistemi useremo due metodi:

Euleriano: osserviamo un sistema da fermi mentre il

sistema scorre.

E’ come se un uomo guardasse un porzione di fiume da

fermo mentre scorre ed osserva cosa vi entra ed esce.

Prendendo quindi un blocchetto infinitesimo osserviamo il

trasporto da fuori a dentro; regime costante e volume costante.

Useremo questo sistema nei nostri studi in questo corso.

Lagrangiano: come se invece di fissare la stessa porzione di fiume da fermi, rincorressimo lo stesso

punto seguendo il torrente. Si tratta quindi di seguire il sistema nel suo “percorso”, fissare una

molecola. Computazionalmente e’ più difficile.

Nozioni fondamentali: vettori, tensori, divergenza e gradente 1.2.1 Vettori e Tensori

Video lezione consigliata di Dan Fleisch “What's a Tensor?”

https://www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw

Uno scalare non ha direzione, ma solo ampiezza. Un vettore ci posiziona nello spazio, è

caratterizzato da ampiezza, direzione e verso. Il tensore invece è un’entità matematica che

generalizza il concetto di vettore, funzioni e prodotti scalari.; il tensore indica anche il piano di

riferimento. Ad esempio un tensore di 2° grado sarà Fyy, il primo pedice indica la direzione

perpendicolare al piano di riferimento mentre il secondo la direzione di F.

Ipotizzando di avere un cubo in 3 (Fig. 1.4), osserviamo quali forze agiscono su tutte le facce del

cubo, riassumibili nella matrice dei tensori

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

.

Nello studio del trasporto, utilizziamo la matrice dei tensori per gli sforzi. I tensori sulla diagonale

principale [ xx , yy , zz ] sono pressioni e sforzi di tensione o compressione, mentre i restanti

FIGURA 1-3: VOLUME OSSERVATO SECONDO UN SISTEMA

EULERIANO

FIGURA 1-4: TENSORI APPLICATI AD UN CUBO

https://www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw


6 27/10/2017

sono sforzi di taglio. Da notare che la pressione e’ uno sforzo che agisce perpendicolare a un piano

con direzione verso il piano (coie’ la pressione e’ sempre compressivo).

Sia lo sforzo che la pressione presentano le stesse dimensioni di una forza per unità di area,

solitamente espressa in [𝑷𝒂] =[𝑵]

[𝒎]𝟐

La pressione è una forza applicata perpendicolarmente all’area di interesse ed e’ sempre diretta verso il piano. Siccome la direzione e il piano sono definite, viene considerato uno scalare.

Gli sforzi sono classificabili come:

Sforzo di taglio: Avviene lungo una superficie e lo troveremo

spesso scritto come 𝑭𝒕𝒂𝒈𝒍𝒊𝒐

𝑨= 𝝉

Sforzo di trazione perpendicolare alla superficie. La forza è diretta verso l’esterno.

Sforzo di compressione perpendicolare alla superficie. La forza è diretta verso l’interno.

1.2.2 Gradiente e divergenza

Gradiente (GRAD) di uno scalare:

Il gradiente di una funzione scalare e’ la sua derivata nello spazio. E’ un vettore che e rappresenta

l’ampiezza e direzione in cui la funzione ha la massima derivata.

Usiamo l’operatore nabla (in inglese Del) per il gradiente.

f i j k fx x x

Per esempio, il gradiente di pressione e’

, ,p p p p p p

p i j kx y z x y z

Invece il gradiente di un vettore e’ un tensore (es v ).


7 27/10/2017

Divergenza (DIV) di un vettore

La divergenza e’ la somma delle derivate nello spazio di un vettore. La divergenza di un vettore e’ un

campo scalare e rappresenta la uscita del campo dal punto (es. campo di velocita’). In altre parole, e’

una misura della quantita’ di qualcosa che esce (divergenza positiva+) o entra (divergenza negativa-)

da un punto per unita’ di tempo.

yx zvv v

vx y z

1.2.3 Il Laplaciano, 2 (in Inglese del squared)

La 2 puo’ essere definita come e’ la divergenza del gradiente. Piu’ difficile da speigare in termini

fisici, e’ una misura di quanto e’ diversa la funzione tra un punto e l’altro (cioe’ la seconda derivata!)

2 2 22

2 2 2.

s s ss s

x y z

Per un vettore invece la 2 deve essere definita in ogni direzione, quindi e’ piu’ complicato.

2 2 22

2 2 2

x x x

x x

v v vv v

x y z

2 2 2

2

2 2 2

2 2 22

2 2 2

y y y

y y

z z z

z z

v v vv v

x y z

v v vv v

x y z

Infine il prodotto scalare (o meglio dot product) tra un vettore e il gradiente di uno scalare (che e’

sempre vettore) e’ scritto:

. x y z

s s sv s v v v

x y z

, ed e’ uno scalare.

Da notare che il dot product tra un vettore e il gradiente di un vettore e’ un vettore.

Per esempio, v v e’ un vettore.

Il Laplaciano, ovvero 2 , ha delle diverse espressioni per i vari sistemi di riferimento.

Analizzeremo 2 , con scalare.

In un sistema cartesiano: 2 2 2

2 2 2x y z

In coordinate sferiche:2

2

2 2 2 2

1 1 1sin

sin sinr

r r r r r


8 27/10/2017

In questo caso consideriamo solitamente variazioni lungo il raggio, è importante ricordare solo

2 2

2

1r

r r r

poiché la parte restante non varia quasi mai

In coordinate cilindriche:2 2

2 2 2

1 1r

r r r r z

In coordinate cilindriche raramente consideriamo variazioni in θ.

1.2.4 Velocità, accelerazione e flusso volumetrico

Definizione formale di velocità.

La velocità è un vettore che dipende da spazio e tempo ( , , z, t)V x y . I

vettori rossi in Figura 1.5 rappresentano la velocità di ogni punto, quello

nero è il vettore normale alla superficie.

La velocità media è l’integrale di tutte le velocità.

1Vmedia

A

v ndAA

Esprimiamo il flusso volumetrico in funzione della velocità media

VflussoVolumetrico media

A

Q A v ndA così che

32m m

Q VA ms s

Il flusso di massa verrà espresso come * tempo

media

A

massaJ v ndA V

area

Accelerazione.

La velocita’ e’ funzione di spazio e tempo.

( , , , )v v x y z t , x y z

dx dy dzv iv jv kv i j k

dt dt dt

La differenziale della velocita’ e’:

(1)

v v v vdv dx dy dz dt

x y z t

FIGURA 1- 5: VETTORE DI VELOCITA’


9 27/10/2017

L’accelerazione e’ la variazione di velocità sia nello spazio che nel tempo. In regime Euleriano devo

trattare le variazioni nello spazio separatamente ma nel Lagrangiano no. Esprimeremo

l’accelerazione dividendo l’Eq. 1 per dt

dv v dx v dy v dz v

dt x dt y dt z dt t

x y z

dv v v v vv v v

dt x y z t

Rappresentabile secondo quella che è conosciuta come “Formula di Newton”

dv va v v

dt t

dove

v

t

è un termine di accelerazione locale di tipo newtoniano.

Invece il secondo termine v v si usa solo per i fluidi- è un’accelerazione che avviene nello spazio,

quando cambia lo spazio nel campo di velocità ad esempio quando cambiano le sezioni e le forme di

tubi.

1.2.5 Material Derivative

Il material derivative e’ la derivata in tempo di una funzione mentre viene seguita una particella di

fluido. E’ nota anche come la derivata Lagrangiana o derivata sostanziale e rappresenta la variazione

nel tempo di una certa proprietà di una particella fluida che si muove con velocità. Cioe’, bisogna

fare conto che la funzione cambia sia nello spazio che nel tempo. Il material derivative collega la

descrizione Lagrangiana con quella Euleriana. La funzione puo’ essere velocita’, densita’,

temperatura ecc.

Per cui l’accelerazione e’ la derivata materiale della velocita’.

2 Equazione di conservazione di massa, continuità Stazionarietà: equilibrio – conservazione.

Un sistema stazionario rimane invariante nel tempo pur non essendo completamente fermo. Un

movimento non stazionario è caratterizzato da un’accelerazione mentre i sistemi stazionari sono

chiusi e conservativi.

Analizziamo il concetto di conservazione, sistemi cosiddetti conservativi.

L E

Dv

Dt t


10 27/10/2017

Osservando il blocchetto infinitesimale (Fig.2.1), prestiamo attenzione a ciò che entra e ciò che esce.

Se notiamo un aumento della massa nel tempo vuol dire che è entrato qualcosa e nulla (o non

abbastanza) è uscito.

Lo stesso vale per la diminuzione, poco o nulla sarà entrato e qualcosa sarà uscito. Potremmo

immaginare che dentro a questo “black box” ci sia un sistema chimico che “ipoteticamente” produce

massa o la consuma (ipotetico perche’ sappiamo che Massa non puo’ essere creata o distrutta).

Terremo conto di questo aggiungendo un termine ipotetico, che comunque e’ pari a zero.

𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎

𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜≡ 𝐹𝑙𝑢𝑠𝑠𝑜 𝑑𝑖 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑑𝑖 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑛𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 ∗ 𝐴𝑟𝑒𝑎 −

𝑓𝑙𝑢𝑠𝑠𝑜 𝑑𝑖 𝑢𝑠𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑖 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑛𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 ∗ 𝐴𝑟𝑒𝑎 ±

±𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑛𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜

Questa è di per se un’equazione di conservazione, dimensionalmente avremo: 𝑚

𝑡=

[𝐾𝑔]

[𝑠]

La variazione di flusso è [𝐾𝑔]

[𝑚]2[𝑠] quindi per avere un riscontro dimensionale dobbiamo molteplicare

per l’area [𝑚]2 ottenendo [𝐾𝑔]

[𝑠], ovvero flusso per superficie in ingresso e in uscita.

2.1.1 Equazione di conservazione:

𝒅𝑲𝒈

𝒅𝒕 =

𝑲𝒈

𝒎𝟐𝒔𝒎𝟐|𝒊𝒏 −

𝑲𝒈

𝒎𝟐𝒔𝒎𝟐|𝒐𝒖𝒕

Consideriamo ora che 𝑚 = 𝜌 ∗ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 dove ρ indica la densità ed il volume sarà costante poiché

siamo in regime Euleriano.

Osserviamo quel che entra ed esce dalla faccia Δx-Δy

avremo:

( ) ( )x xin x out x x

mx y z v y z v y z

t t

Semplificando e dividendo per x y z :

( ) ( )x xin x out x xv v

t x

Nel limite di piccole variazioni le ∆ diventano d, per cui: 𝜕𝜌

𝜕𝑡= −

𝜕(𝜌𝑉𝑥)

𝜕𝑥

Quanto detto è estendibile in tutte le dimensioni, perciò l’equazione di continuità o equazione di

conservazione di massa verrà espressa tramite l’operatore nabla come:

.( ) ( . . )v v vt

In genere consideriamo di essere in condizioni isotermiche e presenza di fluidi incomprimibili.

Dunque, trovandoci in un sistema euleriano (volume costante) la densità 𝜌 non varia. Quindi per 𝜌 =

FIGURA 2-1: VOLUMETTO FISSO


11 27/10/2017

𝑐𝑜𝑠𝑡 potremo estrapolarlo dalla parentesi a destra ed ovviamente dire che la derivata di una

costante è zero 0d

dt

e quindi che la divergenza della velocità è zero 0V .

Ciò significa che la somma delle velocità che entrano o escono in un punto devono essere uguali a 0.

Ciò perché non possiamo avere né sorgenti di massa, visto che non si crea dal nulla, né consumi di

massa dal nulla (“buchi neri”).

Per esempio, considerando un sistema bidimensionale per semplicita’, l’equazione di continuita’ per

un fluido incomprimibile.

0yx

y z

vvv

x y

v v

y z

La derivata di velocita’ lungo x deve essere compensata dalla derivata lungo y.

E’ utile esprimere l’equazione di continuità usando la derivata materiale della densità .

.D

vDt

Ovviamente e’ zero per un fluido incomprimibile.

Osserviamo ora un esempio di sistema chiuso, il sistema vascolare. Presenta un flusso ed è

caratterizzato da un volume costante, poiché quel che entra corrisponde a quel che esce a meno di

condizioni patologiche (es. emorragia), è importante anche che non ci siano accumuli.

Flusso di massa che entra = Flusso di massa che esce

in out

massa massa

s s Converrà sempre esprimere la

massa come densità×volume così che in out

Vol Vol

s s

3 3

in out

m m

s s

e scomponendolo così da evidenziare un termine di velocità 2 2

in out

m mm m

s s potremo

scrivere:

in outArea Velocità Area Velocità

Per le considerazioni successive prenderemo in caso un tratto di vaso come quello in Figura 2.3.

FIGURA 2-2 - SEZIONE VASO


12 27/10/2017

Abbiamo 2 ingressi con Vin , Vout , A’ e A’’ . Se ρe’ costante, i flussi in ingresso ed in uscita dovranno

eguagliarsi così che: in outJ J e in outQ Q . Ciò significa che in in out outV A V A e che A’<A’’ e di

conseguenza V’>V’’ .

2.1.2 Il sistema vascolare rispetta la legge di continuità.

Il percorso della circolazione segue uno schema come in Figura 2.4, le arterie si diramano formando

arteriole e infine i capillari. I 5L in uscita dall’aorta rientreranno tramite la vena cava, non vero in

caso di emorragie o aneurismi. Possiamo dire che il flusso in uscita dall’aorta corrisponde alla

sommatoria del flusso nei capillari.

1

n

aorta capillare

capillare

Q Q

Da questa relazione possiamo ricavare una stima del numero di capillari. Sapendo infatti che il

diametro dei globuli rossi è di circa 8µm e che nei capillari essi procederanno in fila strisciando

contro le pareti, anche i capillari avranno un diametro di 68 8 10 m m . La lunghezza

media di un capillare è di 1mm, per percorrerlo un globulo rosso ci impiega 1 secondo.

3110

mm mV

s s

1

3 33 6 2

9

5min

5 1010 (4 10 )

60

10

n

aorta capillare

capillare

c

c

capillari

Q Q

LVAn

m mn

s s

n

FIGURA 2-3: CONTINUITÀ DEL FLUSSO PER UN SISTEMA

INCOMPRIMIBILE

FIGURA 2-4: SISTEMA VASCOLARE


13 27/10/2017

3 Fluidi: Fluidodinamica e reologia Idrostatica

In questo ambito della fisica i fluidi si trovano in condizioni di staticità 0dV

dt perciò 0

mV

As

Osserveremo qui il trasporto di moto, che è il più complesso poiché la velocità, come detto

precedentemente, è un vettore, mentre le altre grandezze considerate negli altri trasporti sono

scalari. Il trasporto di moto è quindi rappresentato da un tensore.

Osserveremo come esempio un liquido in un bicchiere. Non si muove, condizione di stazionarietà.

Abbiamo un semplice bilancio di forze. Il liquido ha

densità .

Quali forze agiscono?

Forza di gravità: mg

Forza di pressione: P e P+dP

Ricordarsi di moltiplicare le pressioni per l’area

superficiale su cui agiscono e di sostituire per

praticità m V , o anche meglio m Adz .

Scriviamo l’equazione per il bilancio di forze in direzione verticale.

( )mg P dP A PA → Adzg PA dPA PA → dzg dP Integrando avremo

22

1

1

Pz

zP

g dz dP → 1 2 2 1( )P P g z z Potremo concludere che 1 2P P .

N.B. P1 è la pressione agente in basso e P2 quella più in alto, rispettivamente in z1 e z2.

Proviamo a calcolare la pressione in un bicchiere d’acqua usando la formula P gh . Ragionare in

m*k*s e ricordare che

2 31000H O

Kg

m

29.8

mg

s

210 10h cm m

2

3 21000 *9.8 *10

Kg mP m

m s

Moltiplico e divido per m

298 *

Kg m

ms m

21 1 * /N Kg m s

298

NPa

m

FIGURA 3.1: PRESSIONE IDROSTATICA


14 27/10/2017

3.1.1 Pressione sanguina

Spesso in campo medico, si utilizza come unità di misura per la pressione i millimetri di mercurio

mmHg. La pressione sanguigna in un uomo standard è mediamente definita da:

Pressione sistolica 120 mmHg

Pressione diastolica 80 mmHg

La pressione atmosferica è quella che abbiamo in una colonna alta quanto l’atmosfera (Km). Non

possiamo stimarla con la nostra formula perché la densità dell’aria cambia.

La pressione a livello del mare è 760mmHg, che è analoga alla pressione in una colonna di 760mm

con del mercurio; è stato scelto il mercurio perché è un elemento molto denso:

313600 13.6mercurio

Kg

m volte più denso dell’acqua. Per sapere quanti Pascal sarà sfrutteremo la

formula P gh . 5

3 213600 *9.8 *0.760 101292 10

Kg mP m Pa Pa

m s

760 mmHg=105 Pa→ 1 mmHg=131 Pa

Osserviamo la pressione nel cuore.

La pressione nell’aorta, che sta alla nostra sinistra, oscilla fra 120 e 80, considereremo quella media

di 100 mmHg (pressione arteriosa). La pressione nella vena cava, alla nostra destra, è di circa 0

mmHg (pressione venosa).

Calcolare la pressione nella testa e nei piedi di un uomo standard.

Altezza uomo standard: 170 cm, Altezza donna standard: 164 cm

Ipotizzeremo che l’uomo sia in piedi poiché fosse supino non potremmo utilizzare la formula

P gh essendo l’altezza dei punti del sistema di nostro interessa circa la stessa.

FIGURA 3.2: PRESSIONE NEL CUORE


15 27/10/2017

Sappiamo che la densità del sangue è simile a quella dell’acqua

31021blood

kg

m è più alta perché contiene del ferro nei globuli

rossi, approssimiamo comunque a 1000 kg.m3. Quello che dovremo

fare sarà schematizzare l’uomo come un tubo alto 170cm pieno di

sangue.

Pressione testa

Considero il cuore come elemento 1, quindi:

P1=100 mmHg; z1=0 m , trasformandolo in Pascal P1=13100 Pa.

P2=Ptesta=?; z2=50c m; 213100 1000*9.8*(0.5 0)P

2 8200 63 testaP P Pa mmHg

Pressione piedi

Considero il cuore come elemento 1, quindi:

P1=100 mmHg; z1=1,2 m ;

P2=Ppiedi=?; z2=0 cm; 213100 1000*9.8*(0 1.20)P

2 24860 189.77 piediP P Pa mmHg

I risultati corrispondono a quanto ci saremmo aspettati. La pressione ai piedi è maggiore perché è

più lontana dal cuore e il sangue deve risalire lungo il corpo. Quando si ha la pressione bassa gira la

testa perché non vi è una spinta sufficiente per far fluire il corrente ammontare di sangue verso le

parti alte del corpo.

Viscosità

3.2.1 Introduzione

La viscosità è la resistenza di un fluido a muoversi/fluire. Solo i fluidi

hanno viscosità, la esprimiamo con (miu) µ.

Supponiamo di avere un cilindro vuoto (Fig. 3.4) al cui interno è posto un

altro cilindro pieno collegato ad una manovella. Se pongo un solido

nell’intercapedine tra i due cilindri, la forza da applicare per muovere il

cilindro interno è proporzionale all’angolo 𝐹 ∝ 𝜃 .

Se invece di un solido utilizzassi un liquido, le molecole si appoggiano

alla parete, perché le molecole nei liquidi tendono ad appiccicarsi alle

superfici. Se ora provo a ruotare il cilindro interno noto che la forza

non è proporzionale all’angolo ma alla velocità, quindi nei fluidi

avremo una relazione del tipo

𝐹 ∝ 𝜃/𝑡

FIGURA 3.4: CILINDRO

FIGURA 3.3: UOMO STANDARD


16 27/10/2017

Quindi la differenza tra solido e liquido è non solo nella dispersione delle molecole, ma anche dovuta

ai diversi attriti.

Possiamo brevemente riassumere le proprieta’ e le differenze tra liquidi, solidi, gas e tra solidi e

fluidi.

Un solido resiste a deformazione, mentre un fluido resiste a scorrimento. Dall’esempio in Fig. 3.4

infatti possiamo dedurre che i liquidi resistano alla velocita’ di deformazione mentre i soldi alla

quantita’ di deformazione. Altra differenza: i fluidi non hanno di una forma propria.

Un’altra differenza è che le molecole dei fluidi si attaccano alle superfici e non scivolano. Questa

proprietà’ e’ nota come “no-slip”.

I fluidi che dividiamo tra liquidi e gas presentano ulteriori differenze.

Nei gas le molecole sono abbastanza distanti da non interagire troppo tra loro, mentre in liquidi

come l’acqua ho una forte interazione data dai legami a idrogeno, anche nei polisaccaridi vi è un

fenomeno analogo tra le lunghe catene intrecciate.

La differenza tra un liquido e un gas e’ che il primo prenda la forma del contenitore ma non il

volume, cioe’ in condizioni di “quasi” equilibrio il liquido è incomprimibile e inespandibile.

3.2.2 Piatti paralleli

Osserviamo ora il caso di due superfici (due piatti) parallele

tra loro, separate da un liquido (Fig. 3.5). Il piatto superiore

è fermo, mentre il piatto inferiore si muoverà con velocità

V.

Data la condizione di no-slip, le molecole vicino al piatto

inferiore saranno attaccate allo stesso e come lui si

muoveranno con una velocità V, mentre quelle vicino al

piatto superiore avranno velocità nulla.

In regime stazionario, mantenendo il movimento del piatto inferiore costante V=cost, vedremo che

le molecole in movimento interagiranno con quelle accanto sul piano superiore e trasmetteranno il

moto con piccole perdite.

All’equilibrio avremo un profilo di velocità lineare (Fig. 3.6), dove appunto

sopra sarà nullo e sotto costante.

Siccome il fluido e’ appiccicoso, perché’ il piatto si muove con una

velocità V, dobbiamo applicare una forza per vincere l’attrito. La

forza applicata per unità di area del piatto è proporzionale al

gradiente di velocità corrispondente anche alla pendenza della

retta.

Analiticamente si ha: 𝐹

𝐴∝

𝑉

𝑌 . La forza che applico mi dice quanto veloce scorre il fluido. Anche

l’area è importante, perché maggiore e’ l’area di contatto con le molecole, maggiore e’ la forza

FIGURA 3.5: EVOLUZIONE DEL PROFILO DI VELOCITÀ

FIGURA 3.6


17 27/10/2017

necessaria. La Y è l’altezza del piatto, è inversamente proporzionale alla forza perché’ più lontano e’

il piatto fermo meno sento le molecole ferme.

Entra in gioco la costante di proporzionalità, i.e. la viscosità: 𝐹

𝐴= µ

𝑉

𝑌 da cui trarremo la conclusione

che per una viscosità maggiore necessiteremo di una forza maggiore. È importante notare che la

velocità nel caso da noi analizzato sviluppa lungo x, sarà più corretto quindi scrivere:

𝐹

𝐴= µ

𝑉𝑥

𝑌

Inoltre la relazione precedente 𝐹

𝐴∝ µ

𝑉𝑥

𝑌 potrà essere riscritta come: 𝜏 = µ

𝑉𝑥

𝑌

Ragionando in termini infinitesimali avremo l’equazione costitutiva: 𝜏 = −µ𝑑 𝑉𝑥

𝑑 𝑌

Si noti che è stato inserito il segno meno poiché il trasporto è opposto alla differenza, ovvero il

trasporto di moto va verso dove la V è minore.

Ricordiamo che 𝜏 è lo sforzo di taglio, µ è la viscosità e 𝑑 𝑉𝑥

𝑑 𝑌 il gradiente.

Se invertissimo i due piatti, ponendo quindi in movimento quello superiore mentre quello inferiore

rimane fermo, avremmo pur sempre un meno perché ho che la differenza di velocità e il flusso della

quantità di moto sono diretti in modo opposto. Il gradiente sarà sempre negativo anche nei casi di

trasporto di energia e massa che vedremo in seguito.

A regime abbiamo una distribuzione come in

Figura 3.7 (frecce rosse), dovuta anche alla

condizione di NO-SLIP che è il fenomeno per cui

le molecole del fluido sono appiccicate alla

parete così che Vliquido alla parete =Vparete.

Lo stesso vale tra uno strato e un altro di

molecole, in questo caso però è più corretto

dire che quel che viene trasferito è il moto e

non la velocità.

Accenno alla reologia

La reologia e’ quel ramo della scienza che studia la meccanica dei fluidi non-ideali.

Iniziamo definendo i fluidi ideali: come i gas ideali, non esistano ma possiamo considerare i fluidi

ideali quelli che non sentono attriti e quindi muovono insieme alla stessa velocità. Un fluido ideale è:

i) incomprimibile, ii) irrotazionale, iii) inviscido.

Rivediamo il caso delle superfici parallele, una ferma ed una con velocità V, con dentro un liquido

(Fig. 3.7). Avevamo osservato la formazione di strati detti lamine che hanno tra loro velocità diverse,

ma all’interno forma dunque uno strato che ha la stessa velocità. Definito lo sforzo di taglio in

FIGURA 3.7: FLUSSO LAMINARE


18 27/10/2017

questo caso come xdV

dy , con il concetto di tensore è possibile esprimere questa formula

come xyx

dV

dy . Dove i pedici yx indicano il piano perpendicolare e la direzione di applicazione

e su cui è applicato. Volessimo lo sforzo lungo x perpendicolare al piano z scriveremmo

zxz

dV

dx .

Facendo il grafico del gradiente di velocità con lo sforzo di taglio avremo una retta. La pendenza è

negativa e ci dice quanto è viscoso il liquido, ovvero quanto

attrito vi è tra le molecole dello stesso. Dal grafico accanto

possiamo notare che 1 2 3 . A parità di sforzo yx , il

liquido meno viscoso ha un gradiente maggiore perché è più

facile da “spingere”. Mentre quello con attrito maggiore ha

un gradiente inferiore, è più appiccicoso.

Annoteremo il gradiente di velocità come .

dV

dy così che per semplicità avremo .

I fluidi la cui viscosità non varia con la velocità (meglio, il

gradiente di velocità) vengono detti fluidi Newtoniani.

I fluidi dove aumenta la resistenza allo scorrimento al diminuire dello sforzo di taglio, ovvero

aumentando lo sforzo il fluido scorre meglio vengono definiti come pseudoplastici o shear thinning.

Un fluido tipicamente shear-thinning, oltre al sangue di cui parleremo dopo, è la pittura. Inizialmente

resistente, sottoposta all’effetto delle setole dei pennelli diventa più facile da muovere così che

possa essere stesa sulle superfici dove poi asciugherà velocemente. A livello molecolare succede che

le catene inizialmente intrigate, iniziano a districarsi una volta iniziato a mescolare. Altro esempio

sono le sabbie mobili.

Il comportamento opposto è tipico dei fluidi dilatanti o shear thickening. Aumentando lo sforzo di

taglio (più lo muovo), più difficile diventa muoverlo. Tipico esempio è l’amido.

Ci sono poi materiali fluidi come la maionese, che iniziano a muoversi dopo uno sforzo di taglio

critico, vengono così definiti i fluidi di tipo Bingham, che seguono la legge critico .

Mentre ognuno dei fluidi presenta un’equazione diversa, potremmo scrivere un’equazione generale:

n dove n varrà:

Tipo fluido Esponente associato a µ (n)

Fluidi ideali 0

Fluidi newtoniani 1

Thinning n<1

Thickening n>1

FIGURA 3.8: GRAFICO SFORZO DI TAGLIO E GRADIENTE DI

VELOCITÀ


19 27/10/2017

Il sangue è un fluido di tipo Cassoniano, è una via di mezzo tra un Bingham e un fluido shear-

thinning. Infatti presenta un critico e poi si comporta come un tixotropico. L’equazione costitutiva

per un fluido di Casson è critico e per un tixotropico

1

2 (si tratta di equazioni

empiriche).

Riepilogo equazioni costitutive:

Fluidi newtoniani

Fluidi Pseudoplastici o Shear Thinning 1

2

Fluidi Dilatanti o Shear Thickening 2

Fluidi di Bingham critico

Fluidi di Casson critico

FIGURA 3.9: GRAFICI SFORZO, GRADIENTE DI VELOCITÀ PER LE VARIE CATEGORIE DI FLUIDO

Nel corpo umano i fluidi di nostro interesse sono non-lineari, cioe’ non-Newtoniani. Per esempio:

Liquido sinoviale, Lacrime, Sangue, Succhi gastrici, Saliva, Muco, Linfa…ecc.

3.3.1 Unita’ di misura della viscosità

Poniamo momentaneamente la nostra attenzione sui fluidi Newtoniani. Essi rispondono alla legge

dV

dx in maniera lineare, non hanno comportamenti anomali e sono liquidi con basso peso

molecolare, non si presentano shear thinning or thickening.

Dimensionalmente [ ]

[ ][ ]

FPa

P mentre il gradiente di velocità

2m

s, da queste due informazioni

ricaviamo che *Pa s valido nel sistema MKS. Viene spesso misurata anche in Poise, o meglio

centiPoise (cp).

Considerando che 2

310H O Pa s e 2

1H O cp 31 10cp Pa s

Dati utili:

6

3

10

4 4 10

1

Air

Blood

Glicerolo

Pa s

cp Pa s

Pa s


20 27/10/2017

Linee di Flusso

Riprendiamo ora il modello dei piatti mobili, ricordiamo che ci troviamo in condizione di No-slip e

che vi è la creazione di un flusso laminare. Ogni particella segue il suo percorso e non interseca

quello delle molecole adiacenti. Possiamo realizzare dei diagrammi dove vengono rappresentate le

linee di flusso, linee tangenti alla velocità delle particelle. Per definizione le particelle non possono

attraversare le linee di flusso e le linee non possono intersecare (altrimenti una particella avrebbe 2

velocita’). Non siamo in presenza di un flusso turbolento2, è rispettata la legge di continuità, quindi

ciò che entra corrisponde a quel che esce dal sistema.

Vt

Nel caso di un fluido incomprimibile Qin=Qout, che come abbiamo visto ci permette

di concludere che VinAin= VoutAout.

In un vaso in cui la sezione si riduce potremo

affermare che Vin<Vout. Questo perché le

particelle non possono attraversare le linee.

Quindi nei tratti in cui le linee sono più strette la

velocità aumenta.

Derivazione legge di Poiseuille.

Deriviamo l’equazione di Poiseuille.

Ci permetterà di ricavare facilmente il flusso in un

cilindro fatte delle dovute premesse.

Flusso stazionario, la velocità non cambia nel tempo

ma può cambiare nello spazio.

Considerando il sistema in coordinate cilindriche vi è

una simmetria in , quindi le variabili sono z e r.

Simmetria radiale, cioe’ simmetria, intorno a r=0.

Condizione di No-Slip, la velocità alle pareti è 0.

Il tubo è infinitamente lungo e le ipotesi vengono fatte lontane dai bordi.

La stazionarietà implica che il flusso non varia nel tempo.

2 Non tratteremmo flussi turbolenti, ma è importante definirli: Sono flussi caotici, non laminari (anche se non c’e un accelerazione, il flusso puo’ essere turbolente). Cioè, le particelle cambiano velocità a caso, non sono vincolate all’attrito con le particelle adiacente. Un flusso turbolente puo’ essere stazionario se mediato su tempo e spazio (cioe’ non localmente ma globalmente).

FIGURA 3.10: VIN<VOUT

FIGURA 3.11- FLUSSO IN UN CILINDRO


21 27/10/2017

Inoltre, il flusso è di tipo laminare (cioe’ non e’ turbolente).

costdV

dr . Cioe, fluidio Newtoniano.

Tenendo conto di queste informazioni, notiamo che non c’è un’accelerazione. Possiamo fare un

bilancio di forze.

Consideriamo un cilindretto al centro di un cilindro (Fig.3.11), le cui dimensioni saranno dz e dr.

Tenendo conto solo delle forze agenti lungo l’asse z, ignoriamo la forza di gravità. Avremo da un

lato P e dall’altro P+dP, con verso opposto. La terza forza da considerare è l’attrito, supponendo

che il cilindretto muova verso destra esso sentirà le altre molecole ai lati che devono scivolare fra di

loro.

2 2( ) 2

forze forze

P r P dP r dz r

Le pressioni vanno moltiplicate per l’area del cilindro (faccia piana). L’attrito è uno sforzo di taglio

agente sulla superficie del cilindro.

2P r 2P r 2dP r 2dz r

2

2

dPr dz

dP r

dz

Abbiamo definito l’equazione di Stokes, che esprime un bilancio di forze di un fluido che si muove in

condizioni stazionarie.

Considerando il fluido come Newtoniano, come premesso zdV

dr

zdV

dr

2

dP r

dz

2

dV dP r

dr dz Il valore

dP

dz è una variazione di pressione lungo z, è costante. La pressione varia,

non può essere uguale nei due punti, ma varia in maniera costante. Ciò è dovuto all’ipotesi di

stazionarietà, altrimenti sarebbe presente un’accelerazione. Basti pensare ad un rubinetto da cui

scorre dell’acqua, se ruotiamo la manopola varierà la pressione e il flusso oscillerà. Perché

cambiando la pressione varia anche la velocità. Considerando quindi questo valore come costante

potrò separare le variabili ed integrare. Serviranno le condizioni al contorno, per il No-Slip la velocità

alle pareti in r=R è v=0.

0

2

, @ , 02

1

2 2

rdP r

dV dr r R vdz

dP rV c

dz


22 27/10/2017

210

2 2

dP Rc

dz

21

2 2

dP Rc

dz

2 21( ) ( )

4

dPV r r R

dz Questa è l’equazione generale base della fluidodinamica che ci permette

di capire come varia la velocità lungo il raggio.

Possiamo scriverla anche come 2 21

( ) ( )4

dPV r R r

dz , non è negativa poiché la derivata della

pressione lungo z è negativa. Infatti se volessimo spingere un fluido dovremmo applicare più

pressione iniziale e quindi la variazione risulterebbe negativa, poiché la pressione diminuirà

all’aumentare di z.

Vogliamo individuare come varia la velocità rispetto ad r, plottiamo quindi V(r):

L’andamento è di tipo parabolico,

nella parete è 0, al centro la

velocità è massima.

2

max

1

4

dPV R

dz

Il profilo di velocità avrà un andamento parabolico come in Figura 3.12-13.

Ricaviamo il flusso volumetrico Q.

VflussoVolumetrico media

A

Q A nVdA Non considereremo il vettore normale,

poiché l’area è già normale al vettore flusso.

2 2 3 2

0 0

1 2( )2 ( )

4 4

R RdP dP

Q r R rdr r R r drdz dz

4 44( )

2 4 2 8

dP R R dPR

dz dz

4

8

dPQ R

dz

Equazione di Poiseuille.

FIGURA 3.13 - PROFILO VELOCITÀ IN UN

CILINDRO RIGIDO

FIGURA 3.12: PROFILO PARABOLICO


23 27/10/2017

L’equazione di Poiseuille 4

8

dPQ R

dz

esprime il flusso in un condotto cilindrico con le

suddette condizioni iniziali. L’unità di misura è Volume/Tempo.

La viscosità è al denominatore perché esprime la resistenza o difficoltà a scorrere del fluido, infatti

se è grande Q sarà piccolo. Il raggio influisce con un fattore elevato alla quarta.

Dipenderà anche dal gradiente di pressione applicato, maggiore è la spinta, maggiore è il volume in

uscita.

dP

dz È difficilmente misurabile, combinando l’equazione di Stokes e quella di Poiseuille possiamo

ricavare un’espressione dello sforzo di taglio alla parete di un tubo.

Eq. Poiseuille 4

8

dPQ R

dz

Eq. Stokes

2

dP r

dz

4

3

2

8

4

wall

wall

dP R

dz

dP Q

dz R

Q

R

o

Questa formula serve per stimare il comportamento del sangue nei vasi. Si sottolinea stimare poiché

le formule ricavate sono state trovate grazie a delle ipotesi sul fluido e sul vaso che non sono

rispettate dal sangue:

Il sangue non è un fluido Newtoniano, ma di tipo Casson. Inoltre, il flusso non è stazionario perché

oscilla rispetto al tipo di vaso percorso. Può però essere semplificato come stazionario per tempi di

osservazione lunghi, poiché vi è uniformità nel tempo.

Il flusso nei vasi, ad esempio l’aorta, non è laminare e i vasi non sono rigidi né infinitamente lunghi.

Però l’equazione di Poiseuille e’ una buona prima approssimazione.

Proviamo a stimare lo sforzo di taglio alla parete dell’aorta:

3 35*105

min 60

L mQ

s

; 34 4 10Blood cp Pa s ; Raorta=1.5cm; Diametro=3cm;

3 6

3 2 3

34 4*4*10 10

(1.5*1

5*10 80

60 0 ) 60wall

Q

R

63.375* 10 Pa

0.1257 0.13wall Pa Pa

La velocità media sarà:

4

2

2

1 8

8media

A

dPR

Q dP RdzV vdA

A A R dz


24 27/10/2017

Numero di Reynolds (Re).

Il numero di Reynolds è un valore adimensionale che esprime il rapporto fra le diverse forze in gioco

in un sistema, nello specifico le suddette forze sono le forze inerziali e quelle viscose.

Forze Inerziali Unità di VolumeRe

Forze Viscose Unità di Volume

Esprime dunque quanto prevale l’inerzia sull’attrito, ovvero esprimere la difficoltà di fermare

l’oggetto rispetto a farlo scorrere.

La forza inerziale si esprime come F=m×a che moltiplicata per l’unità di volume diventa: m a

V

Sappiamo che m

V è la densità ed esprimendo a come

2v

L (velocità al quadrato fratto lunghezza)

otteniamo 2

inerziali

vF

L

.

La forza viscosa invece è A che moltiplicata per unità di volume diventa 2L

3L

.

Sapendo che dV

dx ed esprimendo

dV

dx come

v

L ovvero l’espressione generale, otterremo

cos 2vis e

vF

L .

Essendo il numero di Reynolds il rapporto fra le due, sarà vero che:

RevL

La velocità dell’oggetto è v, è la densità del fluido, la viscosità dello stesso e L è la lunghezza

caratteristica. Per convenzione, in caso quando studiamo il flusso all’interno di un tubo la L è il

diametro e per un solido che muove in un fluido, L e’ la lunghezza dell’oggetto lungo la direzione di

flusso.

Il numero di Re ci permette di capire quale delle due forze è predominante in un sistema, inoltre

serve per capire se si avrà un flusso laminare, in cui le forse viscose sono importanti, oppure un

flusso turbolento in cui l’attrito è trascurabile. Più grande è il numero di Reynolds maggiore è

l’inerzia, più è piccolo Reynolds minore è l’inerzia. Non e’ necessario il valore preciso de Re, ma solo

l’ordine di grandezza.

Re<2000 siamo abbastanza sicuri di avere un flusso laminare; vi è la predominanza degli effetti

viscosi.

Re>5000 flusso turbolento, l’attrito è quasi trascurabile si muove tutto più o meno alla stessa

velocità, è difficile prevedere il comportamento “in between” nel mezzo; vi è la predominanza degli

effetti inerziali

2000<Re<5000 siamo in una zona di transizione in cui sono presenti entrambi i fenomeni.


25 27/10/2017

Questo parametro ci permette di determinare se è possibile applicare le leggi viste prima; così da

capire in che modo si muove un sistema conoscendone densità, viscosità, lunghezza e velocità. Se la

fluidodinamica di 2 sistemi e uguale hanno lo stesso numero di Reynolds. Vice versa, se due sistemi

hanno lo stesso Re, il carattere del flusso (es. linee di flusso hanno lo stesso andamento) dei due

sistemi e’ uguale. Sapendo questo ci permette di costruire dei modelli di areoplani e testarli nelle

gallerie, tenendo fermo l’aeroplano e muovendo l’aria intorno. In inglese si dice che i due sistemi

hanno ‘dynamic similarity’.

Questo numero è importante perché

permette anche di capire che andamento

avrà un corpo quando si muove in un

determinato mezzo. Ad esempio è più

facile nuotare in una piscina con acqua

rispetto a una con olio.

Consideriamo ad esempio un pesce che

nuota, dovrà spostare e quindi spingere

l’acqua davanti a se; deve quindi superare

la densità dell’acqua che è la forza d’inerzia detta in questo caso pressure drag. L’altro fenomeno

che si presenta è quello dell’attrito, poiché vi è un rallentamento dovuto all’attrito del pesce con

l’acqua, detto friction drag.

Il numero di Reynolds è ovviamente una stima, anche perché spesso la lunghezza caratteristica non

tiene conto della geometria dell’oggetto.

Infatti se abbiamo due oggetti con la stessa lunghezza,

con uno che si muove come in Fig.3.16, esso avrà

un’inerzia maggiore (dovrà spostare più fluido) e meno

attrito.

Mentre nel caso in Fig.3.17 ci sarà maggiore attrito e

minore inerzia.

Spesso il numero di Reynolds sarà espresso come ReVL

, dove è la viscosità cinematica che

corrisponde a

. Se la viscosità dinamica nel sistema (c.g.s.) è misurata in Poise e descrive

l’attrito, la viscosità cinematica nel sistema (c.g.s.) è misurata in Stokes. La viscosita’ dinamica

definisce il grado di attrito interno del fluido, mentre quella cinematica puo’ essere considerato

come “l’appiccicosità” e la resistenza al moto del fluido.

FIGURA 3.14: - EFFETTI DI PRESSURE DRAG E FRICTION DRAG SU UN

PESCE CHE NUOTA.

FIGURA 3.15

FIGURA 3.16


26 27/10/2017

Possiamo confrontare il Re per diversi sistemi biologici. Da notare che animali grandi hanno Re alto

mentre quelli piccoli hanno Re basso.

Re

Balena nuota a 10 m/s 300 000 000

Uomo 70 kg nuota a 1 m/s 1 730 000

Falco vola a 30 m/s 1 125 000

Ape vola a 6 m/s 30

Batterio nuota a 0.01 m/s 0.00001

3.6.1 Lo strato limite

Quando parliamo dell’effetto di attrito di un fluido, parliamo dello strato limite. Lo stato limite e’

uno strato vicino all’oggetto che muove grazie al No-Slip. Ad esempio nel caso di un pesce che

muove nel mare, le particelle si muovono come il pesce a cui sono attaccate. Il moto viene trasferito

laminar mene, man mano diminuisce finché si arriva in una zona di mare in cui non è più percepibile

l’effetto del pesce.

FIGURA 3.17 :STRATO LIMITE

In un condotto dove scorre un fluido lo strato limite è la zona adiacente alla parete; se il condotto è

stretto l’attrito si sentirà ovunque, se è largo si sentirà solo ai bordi e non al centro.

Per calcolarlo bisogna prima definirlo, è quella zona in cui la velocità è il 99% di quella dell’oggetto;

questa definizione risulta però confusa, perciò utilizzeremo Reynolds.

Il numero di Reynolds esprimerà la zona in cui vi è una maggioranza di forze viscose, mentre al

centro vi è una maggioranza di forze inerziali.

Ricordiamo che le forze viscose sono cos 2vis e

vF

L e quelle inerziali

2

inerziali

vF

L

.

Indichiamo allora con la zona limite e consideriamo che le forze viscose sono una percentuale

delle forze inerziali, esprimendo ciò con il parametro k .

2

2

v vk

L

.

Esprimiamo in funzione di Reynolds: 2

2

Lv

k v


27 27/10/2017

Occorrerà moltiplicare e dividere per L, così che: 2

2

2 Re

L L Lv

L kk v

Potremo dire quindi che Re

L , perciò quando Re diminuisce, lo strato limite ( ) aumenta.

Equazione di Bernoulli

Per analizzare le zone dove l’attrito non è importante, come in grandi masse di fluidi (es. il mare) o

lontani dalle pareti (condotti grandi), parliamo di fluidi ideali detti meglio fluidi inviscidi, dove non vi

sono effetti viscosi, ogni singola particella non influisce sul comportamento delle altre.

Il comportamento fluidodinamico di un fluido inviscido, che sia anche stazionario, è rappresentato

dall’equazione di Bernoulli.

Tracciamo le linee di flusso che indicano il moto, come già visto le particelle sono tangenti e non

possono attraversare le altre linee.

Dal momento che consideriamo un

fluido stazionario non vi saranno

variazioni di velocità rispetto al

tempo, ma vi saranno componenti di

accelerazione nello spazio:

dva

dt x

dvv

dx

L’equazione di Bernoulli esprime un

bilancio di forze in questo sistema,

riconducibili a F=ma.

Consideriamo un sistema con un flusso in una certa direzione, esprimiamo il bilancio di forze su un

volumetto di fluido così come in Figura 3.20A. Per scomporre le forze sarà utile considerare i vettori

come in Figura 3.20B.

FIGURA 3.18: LINEE DI FLUSSO IN CONDOTTO LARGO CON FLUIDO INVISCIDO

FIGURA 3.19: A) VOLUMETTO DI FLUIDO, B) COMPONENTI ORIZZONTALI E VERTICALI DI S


28 27/10/2017

Il bilancio di forze sarà: dv

F ma mvds

vedremo variazioni di velocità lungo s,

l’effetto della gravità e delle pressioni che agiscono sui lati del volume.

La forza risultante della pressione è [ ( )]P P dP A , dunque dPA . Il componente della gravità

lungo s sarà invece sinmg (vedi Fig.3.20B).

sindv

mv dPA mgds

Essendo il volume costante potremo esprimere m Volume Ads , inoltre sindy

ds

(Fig.30B).

A dsdv

vds

dP A A dsdy

gds

vdv dP gdy Presentata come segue 0vdv dP gdy sarà l’equazione differenziale

di Bernoulli.

0vdv dP gdy Integrandola otterremo che:

2

costante2

vP gy Equazione di Bernoulli.

Considerato che rho è una costante, può essere assimilata nel termine costante al secondo membro,

l’equazione sarà: 2

costante2

v Pgy

.

3.7.1 Pressione statica e cinetica

Sappiamo che il primo membro è una Forza per Area (F/A), moltiplicando e dividendo per L avremo:

F L Energia

Area L Volume sarà allora corretto vedere l’equazione di Bernoulli come segue:

. .Pressione .Potenzialecostante

E Cinetica E E

Volume Volume Volume ciò ci permette di evincere che in un fluido

inviscido non si hanno perdite dovute all’attrito. Esso è visto in termini di energia.

Possiamo osservare la formula anche in termini di Pressione:

Pressione Cinetica+Pressione Statica+Pressione Idrostatica=costante

Se ho un fluido in un condotto e metto un manometro per misurare la pressione otterrò dei risultati

diversi a seconda del modo in cui è posizionato il sensore (cioe’ manometro), osserveremo i casi 1 e

2 come in Figura 3.21. Nel caso 1 viene misurata sia la pressione P sia la pressione cinetica 2

2

v ,

poiché per come è posizionato esso “cattura” anche lo scorrere del fluido. Nel caso 2 esso misura

solo la pressione statica del fluido P. f


29 27/10/2017

Osservando l’altezza del fluido nelle colonne nei rispettivi casi possiamo affermare che la pressione

misurata in 1 è maggiore di quella in 2.

Questo principio viene sfruttato nel tubo di Pitot, che ci permette di conoscere la velocità del fluido

conoscendo la differenza dell’altezza.

Nella configurazione 1 abbiamo che 2

2 1

1

2v P P ; 2 1( )

2P P

v

Nel caso di idrostatica ritroveremo la legge trovata in precedenza, poiché l’equazione di Bernoulli si

trasforma con v=0 in costanteP gy .

3.7.2 Stenosi, separazione del flusso e aneurisma

Dall’equazione di Bernoulli possiamo trarre tutta una serie di considerazioni notevoli. Considerando

un tubo soggetto a restringimento come in Figura 3.22, potremo dire che:

La parte centrale non risente di particolari fenomeni.

Le considerazioni in nero in figura, dove viene specificato che la velocità, al centro della sezione dove

il tubo si restringe, è maggiore che nella parte 1 e 3 dove si ha una sezione più ampia, deriva dalla

legge di continuità e da quella di Bernoulli. Trascuriamo il contributo gh perché non vi sono

variazioni in altezza.

Per Bernoulli avremo: 2 2 2

1 1 2 2 3 3

1 1 1

2 2 2v P v P v P

Osserviamo i primi due termini (area 1 e 2), per la legge di conservazione si ha che:

1 1 2 2Av A v Sostituiamo v2

2 21

1 1 1 2

2

1 1( )

2 2

Av P v P

A

2 212 1 1 1

2

1[ ( ) ]

2

AP P v v

A P2 dipende dal rapporto tra A1 e A2.

FIGURA 3.20: - A. TUBO CON SENSORI DI PRESSIONE, B. TUBO DI PITOT


30 27/10/2017

Possiamo quindi dire che è la parete che crea problemi, poiché le considerazioni fatte sono per i

fluidi inviscidi che sono ideali. Al centro si possono considerare ideali perché non vi è un disturbo

causato dall’attrito e il gradiente di pressione spinge le molecole.

Nel caso fra area 2 e 3 la P3>P2, perciò vi è un inversione di flusso, questo fenomeno di separazione

del flusso crea dei vortici in uscita dalla sezione 2 (in Figura 3.22). La separazione del flusso avviene

ogni talvolta che il gradiente di pressione si forma in opposizione al flusso. Nel caso di una stenosi,

questo puo’ solo portare ad un peggioramento in quanto la zona luminale a valle della stenosi viene

soggetta a bassi sforzi e ulteriore deposizione di lipidi. Questa tendenza all’ulteriore restringimento

che può portare all’occlusione del vaso.

Soffermandoci sulla sezione 2 e 3 notiamo che vi è un allargamento e non un restringimento come

nel caso 1-2. Questa situazione corrisponde a quel che accade in presenza di un Aneurisma, quando

la parete è debole tende a cedere allargandosi. Notiamo che la velocità si riduce e la pressione

aumenta, quindi questo aumento di pressione può portare il vaso a scoppiare perché vi è un limite di

rottura. Tale limite è ricavabile dal rapporto 1

2

A

A, se 2 1A A

il rapporto tende a 0 e avremo una pressione così alta da far scoppiare il vaso.

Questo principio delle sezioni viene sfruttato nel tubo di Venturi.

Inseriamo tre manometri in un vaso

come quello in Figura 3.23,

registreremo tre altezze e quindi tre

pressioni diverse. In corrispondenza

di 1 e 3 saranno più alte rispetto a 2

poiché P1>P2 e P3>P2, quindi h1>h2

e h2<h3.

Questo fenomeno, grazie alla differenza di pressione, viene sfruttato per creare il vuoto (cioe’ una

pressione negativa) in un condotto.

FIGURA 3.22 - 3 MANOMETRI IN UN TUBO CON SEZIONE VARIABILE

FIGURA 3.21: VELOCITÀ IN UN TUBO CON

STROZZAMENTO


31 27/10/2017

Il volo, la scia e flusso vorticoso

Quando un corpo solido si muove in un fluido, spinge il fluido in avanti creando una zona di

pressione elevata (relativa alle altre aree), mentre dietro lascia una zona di pressione bassa (Fig.

3.24). Nel caso di un solido che ha la forma di un’ala, è molto marcata la diminuzione di pressione

nella parte superiore, che dà luogo ad una netta spinta in su (detto la ‘portanza’). Questa

diminuzione è dovuta al fatto che le linee di flusso sono costrette a avvicinarsi per cui la velocità

aumenta e, grazie al Bernoulli, la pressione, rispetto alla zona sotto l’oggetto, diminuisce.

FIGURA 3.23: PORTANZA. PER DYNAMIC SIMILARITY LE PRESSIONI SVILUPPATE SONO LE STESSE SIA CHE SI MUOVE IL FLUIDO CHE IL

SOLIDO

La scia invece e’ causata quando un oggetto con forma aperta dietro, come in Fig. 3.25, si muove in

un fluido con una certa velocità (elevata). Qui la sfera nella zona anteriore spinge il fluido

aumentando la pressione mentre dietro si crea una zona con pressione più basso grazie al ‘vuoto’

lasciato dall’oggetto. La pressione più bassa viene sfruttata in natura da gruppi di animali in volo,

nuoto o in bici per ridurre il lavoro.

FIGURA 3.24: VORTICI DIETRO UNA SFERA IN CUI IL FLUSSO SI MUOVE DA SINISTRA A DESTRA


32 27/10/2017

Inoltre, risulta in una separazione del flusso (le molecole del fluido che sentono l’attrito con il solido

tendono a tornare indietro), effetto che diventa sempre più marcato con aumento di Re. Infatti, se la

velocità e’ molto elevata questo effetto causa l’apparenza di vortici, che rallentano il moto del

oggetto solido (per questo le macchine veloci hanno gli alettoni posteriori).

3.8.1 Flusso sviluppato

Nell’aorta il flusso è turbolento e non laminare. Inoltre è un flusso non sviluppato, ovvero che non

riesce ad avere un andamento Poiseuilliano perché le particelle vicino alla parete non sono ancora

rallentate dall’attrito con essa.

Nell’apertura dell’aorta il sangue esce alla stessa velocità, man mano che il fluido avanza le particelle

centrali avanzano per inerzia poiché non sentono la forza viscosa che percepiscono quelle vicine alla

parete e che rallentano (per la condizione No-Slip).

FIGURA 3.25: ANDAMENTO SVILUPPO DI UN FLUSSO

Questo fenomeno aumenta sempre più e iniziano a rallentare anche gli altri strati. Man mano

aumenta lo spessore dello strato limite (linea rossa in figura, che rappresenta la zona in cui le forze

viscose sono significative), quando corrisponderà al diametro del tubo il fluido sarà completamente

sviluppato, cioè parabolico. La lunghezza, misurata dall’imbocco, in cui il fluido risulta

completamente sviluppato è detta lunghezza di imbocco. Se il Re<5000, parliamo di flusso

sviluppato completamente Poiseuilliano. Possiamo ricavare la lunghezza di imbocco facendo un

bilancio fra le forze inerziali centrali e le forze viscose alla parete.

cos 2vis e

vF

L ;

2

inerziali

vF

L

. Consideriamo come già fatto in precedenza le forze viscose come

una percentuale di quelle inerziali, 2

2

v vk

L

. Sappiamo che la lunghezza di imbocco sarà dove

R quindi 2R

L k v

. Sarà proporzionale al numero di Reynolds a meno di una costante K

ReL K R . Per un flusso non turbolente usiamo 0.01ReL r . Nell’aorta L è circa 1m, ciò

significa che il flusso non è mai sviluppato poiché l’aorta è lunga 20-30 cm. Se il flusso e’ turbolente

la lunghezza d’imbocco diminuisce.


33 27/10/2017

Equazione di Navier Stokes.

L’equazione di Navier Stokes e’ la ”mother equation” per il trasporto di moto. Da questa equazione

possiamo da essa derivare tutto le altre equazioni che abbiamo gia’ visto. Esprime la conservazione

di moto. A parole:

( )accumulo di moto per unita' di tempo =flusso di moto flusso di moto

in out

d mvA A F

dt

Consideriamo un fluido in moto che sia incomprimibile. Essendo il fluido incomprimibile la

divergenza della velocità sarà pari a 0.

L’equazione di conservazione della massa o di continuità per un fluido incomprimibile è

0 0v vt

Sappiamo che l’accelerazione è: x y z

v v v va v v v

t x y z

dv v Dva v v

dt t Dt

L’aumento di moto sarà rispetto all’unità di tempo e quindi l’espressione sarà ( )mv

Ft

analoga a

F=ma. Se la forza in ingresso è uguale a quella in uscita non avrò un’accelerazione, altrimenti avrò un

aumento di moto.

Descriviamo un sistema bidimensionale per ricavare l’equazione di Navier-Stokes. Le forze che

agiscono sul fluido sono pressioni e sforzi di taglio. Aggiungiamo anche una forza esterna (body

force) per completezza. Un esempio e’ gravità, o spinta da esterno.

xArea

y

*x y Volume

Forze:

Sforzi (di taglio o altri)×Area

Pressioni× Area

Body Force (forze esterne, es. gravità)

Conviene analizzare i contributi singolarmente, partiamo dalle pressioni, sempre Pin-Pout, nelle 2 direzioni.

( )[ | | ]x x xx

x

d mvma P P y

dt

FIGURA 3.26: VOLUME (2D) SOGGETTO A

SFORZI


34 27/10/2017

( )[ | | ]y y yy

y

d mvma P P x

dt

Abbiamo espresso la risultante delle pressioni, che abbiamo moltiplicato per le aree per ottenere le

forze. Sappiamo che la massa è m x y con x y il volume.

Otteniamo dunque:

|

|

x xxx

y yyy

Dvma x y dP y

Dt

Dvma x y dP x

Dt

Dividendo per x e y e ponendo x e y 0 perché infinitesimi, otterremo:

y xP PDv

i j PDt y x

Gradiente di pressione.

Consideriamo ora un contributo della body gF mg x yg

Aggiungendola all’espressione precedente dovremmo indicarla con yg che per convenzione

indicheremo con g 3. Dovremo anche tenere conto di eventuali forze esterne, perciò

aggiungeremo un termine di forza generico F (body Force). La gravità spesso viene incorporato nella

F.

Avremo quindi: Dv

P g FDt

Studiamo adeso gli sforzi:

Si hanno quattro sforzi lungo le pareti, i tensori bidimensionali saranno due lungo y e due lungo x. In

un fluido xy yx , gli sforzi di direzioni diverse sono uguali perché si dice che un fluido e’

irrotazionale e non riesce a ruotare intorno a un punto. Quindi i tensori sono simmetrici.

Consideriamo sempre l’accumulo di moto nel sistema e dunque per ottenere la forza moltiplichiamo

gli sforzi per l’area.

Forze lungo y e lungo x:

( | | ) ( | | )

( | | ) ( | | )

y y y xy x xy x x yy y yy y yin out

x x x yx y yx y y xx x xx x xin out

F F F y x

F F F x y

Danno luogo ad un’accelerazione

3 Per convenzione il segno di g viene messo dopo che si decide il sistema di riferimento.


35 27/10/2017

( | | ) ( | | )

( | | ) ( | | )

( | | ) ( | | )

( | | ) ( | | )

yx y yx y y xx x xx x x

x

yx y yx y y xx x xx x x

x

xy x xy x x yy y yy y y

y

yy y yy y y xy x xy x x

y

Dvx y x y

Dt

Dv

Dt y x

Dvx y y x

Dt

Dv

Dt y x

Con x e y 0 perché infinitesimi, otterremo:

yx xx

x

Dv

Dt y x

,

xy yy

y

Dv

Dt x y

Cioe’

Dv

Dt

Abbiamo ottenuto la divergenza di un tensore, che è ben diversa dalla divergenza di un vettore

perché è (in questo caso 2D) un vettore a due elementi4. Unendo tutti i bilanci di forze avremo che:

DvP g F

Dt

Sappiamo che i nostri sistemi sono Newtoniani d

dx

v con tensore e v vettore.

Vedendo il tutto in termini più generici xyx

dy

dV applicato perpendicolarmente a y ma verso x.

Quindi dato che nella formula abbiamo facciamo delle derivate, sarà come se facessimo la

derivata seconda della velocità, cioè:

v

x xx

Per cui in generale, per un fluido Newtoniano5:

2v

L’equazione di Navier-Stokes sarà: 2DVP g V

Dt

4 ,yx xy yyxx

x yy x x y

5 Mancano alcuni passaggi, per gli interessati una descrizione piu’ completa e’ in Bird &Lightfoot.


36 27/10/2017

Si tratta di un’espressione di bilancio di tutte le forze in un fluido Newtoniano. Insieme con

l’equazione di continuità fornisce una descrizione completa del moto di un fluido nello spazio e nel

tempo con ρ e µ noto, le uniche variabili sono la velocita’ e la pressione (2 equazioni, 2 variabili).

3.9.1 Equazione di Bernoulli e di idrostatica da Navier-Stokes.

Bernoulli

L’equazione di Euler e’ un caso speciale del Navier Stokes, per un fluido inviscido.

DVP g

Dt

Per ridurre l’equazione di Euler all’equazione di Bernoulli si considera che il flusso ha una sola

direzione e accelerazione e’ solo nello spazio.

x

dv dPv g

dx dx

Moltiplicando per dx, cambiando il segno di g e integrando otterremo l’equazione di Bernoulli:

VdV dP g dx

Equazione di idrostatica da Navier-Stokes:

Abbiamo un’unica direzione e V=0, g e’ sempre negativo.

0P g 0z

dPg

dz

zg dz dP

3.9.2 Equazione di Poiseuille con Navier Stokes.

Eseguiamo un bilancio di forze in condizioni stazionarie in un

tubo cilindrico, orizzontale e in coordinate cilindriche con

simmetria radiale. Il fluido e’ Newtoniano:

2 2

2 1 2P r P r dz zdV

dr

0DV

P gDt

2VP

Utilizziamo coordinate cilindriche e sappiamo anche che l’unica componente della velocita’ e’ zV per

cui possiamo scrivere: 2

2

2 2

1 1z zz

V VV r

r r r r

2

2

zV

z

non ci sono variazioni in θ.

FIGURA 3.27: - VOLUME INFINITESIMALE DI

FLUIDO IN UN CILINDRO


37 27/10/2017

La pressione varierà soltanto lungo z, perciò l’unica componente sarà P

z

che è costante, così che:

1 zdVdP dr

dz r dr dr

della velocità consideriamo le variazioni lungo r con componente z.

Integreremo sfruttando le condizioni a contorno di no-slip e simmetria.

0

1) r=R V 0

2) | | cioè 0

z

zr r

r

VV V

r

Il sistema è simmetrico intorno a r=0, non posso dunque

avere una differenza di V intorno a r=0.

Integrando: 2

zdVdP rdr d r

dz dr

dP r

dz

2r

1

zdVc

dr

C1=0 per la condizione di simmetria. Integriamo ancora per dr:

2

2

2 2

2 2

1

2 2

4 4

z

z

dP rV c

dz

dP r dP RV c c

dz dz

2 21( )

4z

dPV r R

dz Equazione già trovata precedentemente con il bilancio delle forze.

3.9.3 Derivazione dell’equazione di Couette.

Consideriamo due piatti paralleli con area infinita, uno dei quali in movimento, e una differenza di

pressione fra P1 e P2. Il fluido tra i patti e’ Newtoniano e il sistema e’ stazionario con flusso laminare.

Non avremo accelerazione, dell’equazione generica: 2DVP g V

Dt

rimarrà soltanto: 20 P V

FIGURA 3.28: CILINDRO

FIGURA 3.29: COUETTE, FLUSSO TRA DUE PIATTI DI CUI UNO E’ MOBILE


38 27/10/2017

2P V

Scriviamo le 3 equazioni che rappresentano i componenti del gradiente di pressione nelle tre

direzioni:

2 2 2

2 2 2

x x xV V VP

x x y z

2 2 2

2 2 2

y y yV V VP

y x y z

2 2 2

2 2 2

z z zV V VP

z x y z

Dato che non abbiamo variazioni lungo y e z, non consideriamo le ultime due equazioni.

Osserviamo la prima equazione: anche le derivative di Vx lungo x e z sono nulle perche Vx varia solo

lungo y.

2

2

xVP

x x

2 2

2 2

x xV V

y z

2

2

xVP

x y

Dato che siamo in condizioni di stazionarietà, il gradiente di pressione lungo x è costante, ciò vuol

dire che da P1 a P2 ho una variazione lineare, una spinta uniforme che varia linearmente nello spazio.

Per questo motivo, le derivate parziali possono adesso essere scritte come derivate assolute, es. dP

dx

2

2

2

2 1

1

1

2

x

x

x

d VdP

dx dy

dVdP d

dx dy dy

dP yV c c y

dx

Per risolvere sfrutteremo le condizioni a contorno: 1) y=0 ; V=0

2) y=h ; V=Vp

Per la prima condizione 2 0c .

Per la seconda condizione: 2

2 2

V

2 2

p

p

dP h P hV c c

dx h x

2

1( )2

x

P hV x c

x

Con dovute sostituzioni avremo: 21 y( ) V

2x p

PV x y hy

x h

.


39 27/10/2017

Potremmo esprimere il profilo di velocita’ in modo adimensionale.

2( ) 1

V 2 V

x

p p

V x dP yy hy

dx h

3.9.4 Flusso in un canale rettangolare

Procederemo ora con la derivazione classica dell’equazione di flusso in un canale rettangolare

orizzontale infinitamente lungo tramite Navier-Stokes.

Le condizioni di partenza sono che il flusso deve essere stazionario, laminare e Newtoniano. Il

condotto deve essere rigido affinché si verifichino le condizioni di No-Slip e infinitamente lungo. Non

abbiamo forze di gravità e forze esterne, supponiamo anche che h<<w, quindi canale stretto. Per

questo motivo possiamo trascurare le variazioni di velocita’ in direzione x.

Dall’equazione generale di Navier-Stokes:

2DVP g V

Dt per le condizioni imposte

inizialmente rimarrà 2VP . Le tre componenti del

gradiente saranno: 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

x x x

y y y

z z z

V V VP

x x y z

V V VP

y x y z

V V VP

z x y z

Il flusso procederà in direzione z, la faccia xy è la sezione; avremo quindi componenti in Vz e non in x

e y. La pressione agisce solo sulle facce aperte, perciò le prime due equazioni saranno uguali a 0.

Dal momento che abbiamo assunto h<<w la variazione Vz sarà maggiore lungo y rispetto a x infatti la

variazione è molto più repentina lungo y, perciò: z zV V

y x

FIGURA 3.31: IN ROSSO VARIAZIONE LUNGO Y, IN NERO VARIAZIONE LUNGO X

FIGURA 3.30: CANALE RETTANGOLARE INFINITAMENTE LUNGO E

MOLTO STRETTO


40 27/10/2017

Tale assunzione è valida nel caso in cui H è almeno 10 volte più piccolo di W. Quindi potremo

affermare che: 2

2

zVdP

dz y

Ricordiamo che il gradiente di pressione è costante perché la spinta è costante essendo in regime

stazionario. Per ricavare Vz(y) e Q dobbiamo sfruttare le condizioni al contorno. Per semplificare i

calcoli poniamo il nostro sistema di riferimento ad 2

H.

v=0 e ad y=0 02

H dVad y

dy

zdVdP d

dz dy dy

1zdVdP

y cdz dy

Per la condizione di simmetria c1=0

2 2

2 2

22

2 8

1

2 4

z

z

dP y dP HV c c

dz dz

dP HV y

dz

La velocità ha sempre un andamento parabolico che dipende da y, per come abbiamo schematizzato

il sistema sarà massima al centro quando y=0. Vz sembra essere negativa, ma in realtà ricordiamo

che dP

dz è negativa altrimenti il fluido non si muoverebbe in quella direzione. Ricaviamo adesso il

flusso A

Q VdA

2 22 2 22 2

0 0

2 2 2

3 2 3 23

1 1

2 4 2 4

3

2 12 4 2 12 12

H H H

W W

z

H H H

dP H dP HV dxdy y dxdy W y dy

dz dz

W dP H H W dP H H W dPH

dz dz dz

Q

Il flusso sarà fortemente dipendente da 3Q H W nel caso di geometria rettangolare, così come in

un condotto cilindrico sarà 4Q R . In questo caso potremo dire che è l’altezza che domina le forze

di attrito.

FIGURA 3.32: - SEZIONE RETTANGOLARE DI ALTEZZA H


41 27/10/2017

4 Tensione superficiale.

La tensione superficiale è quella forza che rende la superficie di un liquido come una pellicola

elastica tesa. La tensione agisce tangenzialmente alla superficie. Le forze che tengono unite le

molecole simili tra di loro sono le forze coesive, in inglese “like likes like” ovvero che a chi si somiglia

piace stare insieme. Ad esempio nel caso dell’acqua le molecole sono fortemente attratte fra loro e

tendono a non separarsi grazie ai legami ad idrogeno fra le molecole.

Dimensionalmente esprimeremo la tensione superficiale come una forza su lunghezza o un’energia

per area: 2

N J

m m

Le due unità di misura sono uguali, infatti moltiplicando e dividendo per metro si ottiene

[ ]F m lavoro J e al denominatore 2m m m . Queste due unità sono entrambe valide perché

si hanno due definizioni di tensione superficiale:

Forza di un liquido per unità di lunghezza =Energia o lavoro necessario per creare un’unità d’area del

liquido.

Il liquido con maggior tensione superficiale è il mercurio infatti 487mN

m (milliNewton su

metro), segue l’acqua pura con un valore di 72mN

m . Ricordiamo che, anche se non viene

sempre specificato la tensione superficiale è riferita ad uno specifico mezzo. Questo perché ad

esempio se ho aria secca o aria umida la tensione superficiale risulta diversa, nello specifico

maggiore con l’aria umida perché è ricca di particelle di acqua. I due valori di γ sopra citati si

riferiscono alle tensioni superficiali rispetto ad aria secca.

Come già detto, si dice tensione superficiale perché si manifesta solo in superficie e non all’interno.

Poiché all’interno le varie forze si bilanciano, mentre fuori vi è uno sbilanciamento di forze che attrae

le molecole verso l’interno creando una tensione. Questo è il motivo per cui, in assenza di altre forze

dominanti, le gocce sono sferiche, poiché questa è la forma che ha minore superficie rispetto

all’area.

Le forze di tensione superficiale sono importanti in sistemi in cui le dimensioni caratteristiche sono

piccole, e le forze di tensione superficiale predominano sulle forze di gravita’. Per mettere in

relazione l’entita’ delle due forze si utilizza un numero adimensionale detto numero di Bond.

3

2

Forza di gravità

Bond=Forza di tensione superficiale

m g L gL glunghezza L L

lunghezza

Se il numero di Bond è maggiore di 1 allora la forza di gravità è maggiore della tensione superficiale e

le gocce tendono a essere meno sferiche e piu’ allungate.

L’inverso del numero di Bond è il numero di Jesus. Perché ad esempio gli insetti che riescono a

camminare sull’acqua hanno un valore della forza di gravità (dovuto ad una massa molto piccola)


42 27/10/2017

inferiori a quelli della tensione superficiale, che in termini matematici si traduce con Bo<1 e Jesus>1

poiché 1

JesusBond

.

La tensione superficiale può essere calcolata sperimentalmente nel seguente modo:

Prendo un filo metallico immerso in acqua

cui collego un trasduttore di forza. Tirando

il filo di pochissimo le molecole d’acqua

rimarranno attaccate creando un velo

d’acqua che verrà a creare una nuova area

d’acqua: E F x con x spessore in

mm.

Sappiamo che la forza sarà proporzionale

alla lunghezza del filo e la costante di

proporzionalità sarà la nostra tensione

superficiale.

: F F=

E=

L L

L x A

Angolo di contatto e bilancio della tensione superficiale.

L’angolo di contatto descrive appunto l’angolo che si forma tra una superficie e un liquido (Fig. 4.3).

E’ sempre misurato nel liquido o tangenziale alla superfice del liquido

Quando una goccia di acqua viene posta su una superficie di teflon

adotta una forma rotonda, mentre su una superficie di vetro pulito

la forma e’ piu’ piatta. Il vetro e’ idrofilico, cioe’ attrae le molecole

di acqua (c’e un’adesione tra le molecole di vetro e acqua), mentre

il teflon e’ idrofobico.

Se invece il vetro e’ sporco, ad esempio di residui di grasso l’area di

adesione sarebbe notevolmente ridotta rendendola poco aderente

(idrofobicità). Nei due casi quel che cambia è l’angolo di contatto

L’angolo e’ definito come l’angolo tra la superficie e la linea tangente

FIGURA 4.3: ANGOLO DI CONTATTO PER UNA GOCCIA DI ACQUA SU UN MATERIALE IDROFOBICO E IDROFILICO

FIGURA 4.1: TRASDUTTORE CON ELEMENTO

METALLICO PARZIALMENTE IMMERSO IN ACQUA

FIGURA 4.2: GOCCIA DI ACQUA SU

VETRO (NON MOLTO PULITO)


43 27/10/2017

Le forze tra due materiali diversi sono dette di adesione.

Quando parliamo di tensione superficiale ci riferiamo alla relazione tra fluido e ambiente. A volte si

sfrutta l’esperimento di un materiale immerso in acqua sotto cui viene soffiata una bollicina d’aria.

FIGURA 4.4 - MATERIALI IMMERSI IN ACQUA E BOLLA D’ARIA

Anche qui abbiamo delle tensioni superficiali ma l’ambiente è diverso. Se osservo una goccia su 2

materiali diversi, come teflon (idrofobico) e vetro pulito (idrofilo) noto che la goccia assume forme

diverse.

FIGURA 4.5 - MATERIALI IDROFILI E IDROFOBI CON GOCCIA D'ACQUA

Rifacendo l’esperimento in acqua come spiegato precedentemente noteremo delle forme diverse.

Nel caso del vetro, che è molto affine all’acqua, la bolla si compatterà per permettere un maggior

contatto di acqua con il vetro.

Preferiamo misurare in acqua perché sul materiale la goccia tende ad evaporare. Prendendo il caso

della goccia su vetro di prima facciamo il bilancio di forze di tensione superficiale ottenendo:

Equazione di Young-Dupree.

cos

cos

GA WG WA

WG GA WA

FIGURA 4.6 - BILANCIO DI FORZE DI TENSIONE SUPERFICIALE

L’angolo di contatto viene utilizzato per caratterizzare la bagnabilità di materiali. È importante usare

gocce piccole, in cui le forze predominanti sono quelle di tensione superficiale.

Capillarità e gocce da una pipetta

Quando un capillare viene inserito in acqua, l’acqua sale nel tubicino per tensione superficiale

soprattutto se il tubo è idrofilo poiché l’acqua preferisce stare a contatto con il tubo che con l’aria.

Quindi sono le forze adesive tra vetro e acqua che fanno salire il liquido.

Ciò succede finché la forza peso d’acqua dentro il tubicino è uguale alla forza di tensione superficiale


44 27/10/2017

Nel caso del mercurio, che non aderisce ai superfici avremo un comportamento inverso perché è

molto elevata. Osserviamo l’equilibrio del caso con l’acqua:

Se vogliamo ricavare la pressione sfruttiamo l’equazione di idrostatica.

P gh g 4 cos

d g

4cos

d

Di solito viene considerato un angolo θ pari a zero, per cui: 4

Pd

Si evince che l’altezza è inversamente proporzionale al diametro perciò è influente poiché la

quantità di fluido e’ piccola.

Esercizio:

Consideriamo un capillare e facciamo i calcoli riportati sopra nel caso in cui

3

mN d=300μm; γ=72 ; =1000

m

Kg

m

3

6

3

6

4 72 100.098 9.8

300 10 9.8 1000

4 72 10960 7.33

300 10

h m cm

P Pa mmHg

Osserviamo il fenomeno di una goccia che esce dal contagocce di una pipetta, ad esempio per le

medicine. Infatti alcune medicine vengono dosate a gocce proprio perché la grandezza non è casuale

ma è sempre la stessa poiché dipende dalla tensione superficiale. Nel momento in cui si forma la

goccia essa rimane coesa alla pipetta finché la forza di gravità bilancia la tensione superficiale. Poi

cadde.

FIGURA 4.7: -A CAPILLARE PARZIALMENTE IMMERSO IN ACQUA, B) - CAPILLARE PARZIALMENTE IMMERSO IN MERCURIO

2

: : Lcos dcos4

g

dF mg h g F

h

2d

4g d cos

4 cos4 cos

.

LDh

dg N Bond


45 27/10/2017

Forza gravità:

3

34

3 2 6goccia gocciam g gV g g

Forza tensione superficiale: cos cosL d Il parametro L indica il

contatto ovvero la circonferenza del tubo d .

Nel momento in cui la goccia si stacca =0

g

3

6

3 6

d

d

g

Nella realtà la goccia è leggermente più piccola del valore teorico perché quando cade rimangono

alcune molecole attaccate al tubo, aggiungeremo quindi un fattore di correzione anche detto Fudge

Factor: 80%reale teorica

Legge di Laplace per le gocce

Nel caso delle gocce la tensione superficiale è bilanciata dalla pressione interna, questo accade solo

per piccolissime quantità di fluido. Ipotizziamo di sezionare a metà una goccia ed effettuiamo il

bilancio di forze:

γe iAP L PA

2r γ2eP r iP 2r

2γ

2γ

i eP Pr

Pr

L’equazione di Laplace mette in relazione la pressione interna e il raggio di

una goccia. Più piccolo è il raggio, maggiore sarà la pressione interna.

Inoltre, per formare una sfera piu’ piccola ci vuole una maggiore pressione

(Pi).

Ciò è di rilevante importanza negli alveoli, poiché quando si espandono aumentano il volume e la

pressione si riduce. Più piccolo è l’alveolo più forza sarà necessaria perché dipende da r. Questo

processo è regolato da un surfattante a base di fosfolipidi, che riduce la tensione superficiale per

rendere possibile la respirazione. La concentrazione di surfattante presente e’ inversamente

proporzionale alla grandezza del singolo alveolo, cosi il basso valore di γ e’ compensato dal raggio

piccolo. I neonati prematuri necessitano di ausilio esterno per respirare poiché soffrono di mancanza

di surfattante e non hanno una forza sufficiente per fare espandere gli alveoli (sindrome di stress

respiratorio neonatale).

FIGURA 4.9 – SEZIONE DI UN

GOCCIA

FIGURA 4.8: GOCCIA DA UNA

PIPETTA


46 27/10/2017

5 Flusso di massa Introduzione e 1° legge di Fick

Le considerazioni sul trasporto di massa derivano dall’equazione di continuità. Essenzialmente, la

conservazione di massa si riferisce alla massa totale di un sistema, mentre i fenomeni di trasporto di

massa considerano una specie particolare. Quelli che trattiamo noi sono solo validi per specie diluite.

Il flusso di massa è un vettore già definito in termine della velocità’ e la densità (Sezione 1.2.4). Per

quanto riguarda una specie molecolare, il flusso totale della specie B sarà la somma di massa di ogni

molecola B × velocità diviso per volume, cioè:.

1

* tempo

N

B B media B B i

iA

massaJ v ndA V m v

area vol

La velocità della molecola dipende dal suo moto, e’ la somma della velocità ‘libera’ (Browninano) ed

eventualmente anche quella forzata, dovuto per esempio a un gradiente di pressione (moto

convettivo). Aggiungeremmo un termine specifico per la parte convettiva nella sezione 5.5.

La velocita’ media e’ la somma vettoriale di tutte le velocita’ diviso il numero di molecole B.

1 N

Bmedia i B B Bmedia

i

V v J VN

A questo punto possiamo scrivere il flusso massico totale di un sistema che contiene piu’ specie.

... ...A B C A Amedia C Cmedia B BmediaJ J J J V V V

Il flusso di massa ‘libero’ è un fenomeno di traporto regolato dalla legge di Fick, nello specifico dalla

prima legge di Fick, che esprime l’equazione costitutiva per una specie diluita, con concentrazione C.

CJ D D C

x

Con J indichiamo il flusso, D è una costante di diffusione e C è il gradiente di concentrazione della

specie in considerazione. Il flusso è di massa (della specie), ma spesso faremo riferimento a molecole

o moli. Il segno negativo della formula fa riferimento al gradiente, poiché il flusso sarà da zone con

maggiore concentrazione a zone con minore concentrazione.

1 2

1 2

c cC

x x x

Il moto delle molecole è di tipo Browniano, ovvero avremo una diffusione non forzata di tipo

randomico. In presenza di una differenza di concentrazione nello spazio le molecole si diffondono

per massimizzare l’entropia, che è sinonimo di disordine. All’inizio le molecole sono tutte

concentrate in una zona, e poi diffondono massimizzando l’entropia mescolandosi.


47 27/10/2017

Seconda legge di Fick

Solitamente si fa riferimento a flusso di massa 2

massa

m s

, ma spesso lo esprimeremo in moli

2

moli

m s

. Da cosa sono legate queste due dimensioni?

massa

Flusso di massa= Flusso di massa molecolare moli=Peso molecolare

Sarà quindi sufficiente dividere per il peso molecolare per ottenere la conversione.

Massa Molecolare= n° moli Peso molecolare

Immaginiamo adesso un sistema con volume fisso in condizioni stazionarie, in cui vale la legge di

conservazione di massa, ma la concentrazione della specie C varia. Significa che la massa è costante,

ma la concentrazione di C in alcune zone del sistema varia (cambia il numero di molecole).

Aumento di molecole C

per unità di volume nel tempoin outJ A J A

Dal momento che, dal punto di vista molecolare, potremmo avere una reazione chimica in cui C

viene trasformato così che la concentrazione di quella data molecola vari, si ammette una variabile

di produzione (+P) ed una di riduzione dovuto a reazioni di consumo (-R).

Molecole prodotte (o ridotte)

s, e lo aggiungeremo all’espressione sopra.

Ricordiamo però che vi deve essere un bilancio di massa totale, la concentrazione è definita come:

n°molecoleConcentrazione=

xA. Noi vogliamo osservare l’aumento di concentrazione nel tempo.

n°molecoleAumento Concentrazione nel tempo=

x A t x A

in outJ A J A

.

Dividendo per x A esprimeremo l’equilibrio non più come un aumento o diminuzione di molecole

ma di concentrazione. In questo caso stiamo trascurando le eventuali +P e –R.

x

x x xJ JdC

dt

Per 0x ovvero volume e distanza infinitesima, otterremo la seconda legge di Fick: dC J

dt x

FIGURA 5.1: VOLUME FISSO SOTTOPOSTO A FLUSSO DI

MOLECOLE.


48 27/10/2017

Generalizzando in 3D: .dC

Jdt

Ricordiamo ancora una volta che la legge di conservazione vale solo per la massa, per le moli è una

futile restrizione. Combinando la 1° legge di Fick si ottiene la 2° legge di Fick per una specie con D

constante.

2

2

2

C C CD D

t x x x

CD C

t

Implicito in questa equazione: Se siamo in condizioni stazionarie il Laplaciano della concentrazione

e’ zero e sia il flusso che il gradiente sono costanti.

2

20 costante

C C C CD D D J

t x x x x

Generalizzando e introducendo i termini di consumo e produzione:

2CD C P R

t

5.2.1 La forma integrale della legge di Fick

Per esprimere la forma integrale, viene integrata C t J sul volume.

La seconda legge di Fick : 2C

D C Jt

Integriamo sul volume olume olume

Vol Vol

CdV JdV

t

e ricordando la legge di Gauss che dice che

V A

dV dA esprimeremo il nostro integrale sul volume chiuso come uno di superficie:

olumeJdV J dA .

Il flusso è perpendicolare alla superficie

Se consideriamo un flusso costante, anche olume

V

CdV

t

è costante:

olume

Vol

CdV JdA

t

, per cui olume

CV JA

t

olumeVCJ

t A


49 27/10/2017

Quindi un flusso costante che esce da un volume chiuso comporta una velocita di diminuzione

costante di concentrazione nel volume. Non avremmo potuto fare questa assunzione senza l’ipotesi

che J fosse costante nell’area.

Quest’espressione viene ad esempio usata in ambito fisiologico, per calcolare la variazione in un

dato ambiente di concentrazioni.

Ordine di reazione

Come abbiamo già osservato la concentrazione scalare, dipende dalle due leggi di Fick e crea un

gradiente di flusso (un vettore) in un volume Euleriano. Teniamo ora in considerazione i termini che

indicano le reazioni chimiche di produzione e reazione.

2CD C P R

t

Se consideriamo solo la parte di reazione (o consumo):

dCR

dt

Se ho una reazione A B la velocità della reazione è dc concentrazione

dt s .

Perciò .B .Aconc conc

s s ; Velocità con cui aumenta B = Velocità con cui diminuisce A .

Quando la velocità della reazione e’ costante nel tempo e indipendente dalla concentrazione, allora

si tratterà di una reazione di ordine 0 3

moli

dA dBR

dt dt m s

FIGURA 5.2: CONCETTO DI FLUSSO COSTANTE DA

UN VOLUME FISSO


50 27/10/2017

Ciò vuol dire che la concentrazione sarà lineare: B Kt

è una costante di integrazione. Ipotizzando che a t=0, B=0,

avremo che la costante di integrazione 0 .

FIGURA 5.3: REAZIONE DI ORDINE ZERO

Quando la velocità dipende dalla concentrazione di una delle specie, 1 dA dt KA K s ,

allora si è in presenza di una reazione di primo ordine

Questa reazione dipende da quanto reagente abbiamo a disposizione, la concentrazione aumenta in

maniera esponenziale.

dAA

dt ;

1 con = costante

dAA

dt t

integro ln tdAdt A t A e

dt

FIGURA 5.4: REAZIONE DI 1° ORDINE

Una reazione di secondo ordine dipenderà da due concentrazioni: dA

K A Bdt

Esistono anche reazioni di ordine superiore. La maggior parte delle reazioni biomediche segue però

la legge di Michaelis-Menten.

Tempo di diffusione e Stokes-Einstein

Osserviamo D, il costante di diffusione: ricordiamo intanto che per passare da moli a molecole

bisogna dividere per il numero di Avogadro, però conviene sempre ragionare in moli. 2( )D m s .

Il coefficiente di diffusione è specificato per ogni mezzo:

2

2 6 2

in aria 16 16 10OD mm s m s

Se un materiale diffonde in un mezzo diverso, la D sarà ovviamente diversa.

Ad esempio l’acqua è più densa dell’aria:

2

9 2

in acqua 3 10OD m s 1000 volte più piccolo

Indichiamo anche il tempo caratteristico di diffusione: 2 2distanza L

tD D


51 27/10/2017

La D può essere stimata dall’equazione di Stokes Einstein che considera la diffusione di una molecola

sferica con raggio r.

K= costante di Boltzmann 1.38054×10-23 J

K ; T= temperatura in Kelvin;

KT= energia termica= 233.8 10

J

K mol

, = viscosità del mezzo.

Ad esempio, ossigeno nell’acqua a 37° C ha un Stokes radius di circa 121 pm,

23

12 3

1.38 10 310

6 6 121 10 0.69 10

KTD

r

5.4.1 Concentrazioni soluto e solvente

In un bicchiere di acqua con un cucchiaio di sale in un lato, anche senza mescolare, avremmo un

flusso di acqua verso il sale e’ un flusso di sale nel resto del bicchiere, per cui il flusso massico totale

sarà zero. Pero’ di solito ci riferiamo al flusso di una specie sola (sempre quella meno concentrata),

che ovviamente non e’ nullo.

Consideriamo un becker d’acqua e inseriamo un colorante o

inchiostro, le molecole muoveranno finché tutta la bacinella

sarà colorata. 2dC

D Cdt

=0

Il flusso in acqua sarà: 21 H O/coloreJ

CD

x

D è la costante di diffusione dell’acqua nell’inchiostro, è uguale per le due specie poiché “la costante

di diffusione di A in B è uguale a quella di B in A”. Infatti avremo un flusso d’acqua in inchiostro che

bilancia J1. 2 22 colore/H O H O/coloreJ

C CD D

x x

5.4.2 Concentrazione del sale del mare e mare nel sale

Calcoliamo la concentrazione d’acqua in un litro d’acqua in moli.

21 di H 1L O Kg Il peso molecolare dell’acqua è: 2H 18OPM

2H

100055.5

18O

M moliC

L L

2

3

H 355.5 10O

moliC

m

FIGURA 5.5: FLUSSO DI INCHIOSTRO E DI ACQUA


52 27/10/2017

Calcoliamo la concentrazione di sale nel mare sapendo che salt 0.6MC . Quindi in un becker C

x

del sale va da 0.6 a 0, nel caso dell’acqua da 55.5 a 55.5-0.6=54.9. Per questo ci interessa la

variazione di concentrazione del soluto, perché è più facile da calcolare. Quando parliamo di

trasporto di massa è sempre riferito a flusso del soluto, anche se abbiamo anche il flusso del

solvente.

Diffusione e convezione

Quando le molecole si muovono in maniera randomica esse sono regolate dal fenomeno della

diffusione. La diffusione libera massimizza l’entropia, possiamo però forzare il moto di alcune

molecole imponendo una forza esterna come un campo di moto, è questo il caso della convezione.

Consideriamo un modello con entrambi i fenomeni. Intanto ricordiamo che il flusso di massa in

generale e’ dato da:

B B BmediaJ V

Puo’ essere diviso in due parti:

1) Flusso diffusivo D

CJ D

x

2) Flusso convettivo 3

moli Velocità (lungo ) concentrazione = VCCJ

m s

Ricaviamo la seconda legge di Fick considerando entrambi i flussi:

VCC D

C CJ J J D

t x

2V C+D C

Ct

Analizziamo ora il profilo di concentrazione in condizioni stazionarie in coordinate cartesiane

unidirezionale

0C

t

e

2

2x

C CV D

x x

Questo tipo di equazione ha la forma generale:

2

20A

x x

;

La soluzione generale di questa equazione e’ espressa usando le costanti a e b, che dipendono dalle

condizioni al contorno:

( ) Axx ae b ;


53 27/10/2017

Consideriamo un sistema in cui il flusso diffusivo e convettivo si oppongono. Il flusso convettivo e’ in

direzione x.

@ x=0; C=0;

@ x=L; C=C ;L

FIGURA 5.6: CONVEZIONE E DIFFUSIONE

Verifichiamo: 2

20xVC C

x D x

2 0 0x xV V

D D

0; ;xV

D

C(x) Ae xV

xD B

0 A=-B

C Ae

C =A(e 1)

C

(e 1)

C C C( ) e e 1

(e 1) (e 1) (e 1)

x

x

x

x x

x x x

VL

DL

Vx

DL

L

Vx

D

V Vx x

L L LD DV V V

x x xD D D

A B

B

A

C x

L’equazione si può scrivere in una forma adimensionale e più compatta indicando il numero di

Peclet: 2

tdiffusionex

convezione

x

LV DPe L

LD t

V

così che ( ) 1

1

Pex

L

Pe

L

C x e

C e

.

Il numero di Peclet indica quale dei due tipi di moto prevale:

Se Pe 0 abbiamo un andamento lineare perché c’è solo la diffusione.

Se Pe<1 il tempo di diffusione è minore del tempo di convezione,

perciò prevale il moto diffusivo, e le molecole tendono a spostarsi

verso L.

Mano a mano che aumenta Pe, la diffusione diventa sempre meno

importante. Nel limite del Pe abbiamo una discontinuità

perché’, data l’elevata velocità, tutte le molecole sono spinte verso

x=L.

FIGURA 5.7 - NUMERO DI PECLET


54 27/10/2017

Trasporto attraverso la membrana cellulare

La membrana cellulare à composta da un doppio strato di lipidi (fosfolipidi) con teste idrofile e code

idrofobe intervallato da proteine di membrana tra cui le acquaporine, i recettori a canale e le pompe

ioniche. Possiamo distinguere diverse modalità di trasporto.

i. Trasporto passivo. Il passaggio di sostanze attraverso la membrana cellulare è

essenzialmente regolato dalla diffusione attraverso la parete lipidica grazie a gradienti di

concentrazione. Riescono a passare con facilità solo molecole piccole piuttosto

idrofobiche come ossigeno, anidride carbonica e steroidi.

ii. Trasporto facilitato. Le sostanze idrofili che non possono passare la parete doppio

lipidica perché tendono ad essere insolubili nella zona centrale della membrana. Per

facilitare il trasporto di molecole idrofiliche esistono vari tipi di proteine di membrana.

Ad esempio le acquaporine modulano il passaggio di acqua. La famiglia di trasportatori

di glucosio molecole sono le GLUT, di cui quello sensibile a insulina è il GLUT4.

iii. Trasporto attivo. Alcune specie, tra cui i più noti - Na+ e K+ -vengono trasportate contro

un gradiente di concentrazione. La cellula utilizza le sue risorse energetiche (ATP) per

mantenere una concentrazione di K citoplasmica maggiore di quello extra-cellulare.

5.6.1 Coefficiente di Partizione

Come accennato, anche il livello di solubilità di una molecola condiziona la

facilità di trasporto. Se ad esempio versiamo del sale in olio e in acqua,

sappiamo che il sale è molto solubile in acqua perché è polare, perciò la

concentrazione di sale sarà diversa nei due ambienti e quindi in Fig. 5.4

1 2C C . Analogo discorso può essere fatto in aria e in acqua

per quanto riguarda l’ossigeno.

La differenza di concentrazione fra due ambienti può essere determinata tramite il coefficiente di

partizione:

A

AB

B

C

C

FIGURA 5.9: BECKER CON UNA FASE

D'ACQUA E UNA D'OLIO.

FIGURA 5.8: MEMBRANA CELLULARE


55 27/10/2017

Ipotizziamo ora di voler misurare la concentrazione all’interno della membrana fosfolipidica, ma

possiamo misurare solo la concentrazione dentro e fuori. Inoltre, consideriamo che lo spessore della

membrana sia molto piccolo, per cui i rispettivi volumi citoplasmici e extracellulari siano molto

grandi con concentrazione costante nello spazio. In condizioni stazionarie la differenza di

concentrazione attraverso la membrana e’ costante per cui il gradiente è lineare.

La membrana cellulare confinerà con acqua perciò la concentrazione nella membrana nelle zone

adiacente al liquido saranno:

1 21 2 M MA M MAC C C C

21 MC C C Poiché c’è il passaggio da diversi ambienti.

Condizione di stazionarietà 2

20

dC CD

dt x

, per cui il gradiente è una retta.

1 1M AMC C ; 2 2M AMC C ; C

J Dx

Anche J

D è costante visto che

dC

dx è costante

dC J

dx D .

Dovendo ricavare 1 2( ) ( ,C , )C x f C significa che e’ possibile ricavare la concentrazione in ogni

punto della membrana sapendo la concentrazione fuori e dentro la membrana e il coefficiente di

partizione, ovvero l’andamento di CM in funzione della lunghezza della membrana.

( ) (costante di integrazione) J

C x x KD

1

2

x=0 C=

C=

AM

AM

C

x L C

Condizioni al contorno

1 1C ( ) CAM AM

JK C x x

D

Dato JC

Dx

FIGURA 5.10 - ANDAMENTO DELLA

CONCENTRAZIONE IN UNA MEMBRANA

CELLULARE


56 27/10/2017

1

2 1

2 1 1 21 1

( ) C

( )

( ) ( )( ) C C

AM

AM

AM AMAM AM

JC x x

D

C CJ C

D x L

C C C CC x

L L

1 2C C D DJ C

L L

Dove D

L

è la permeabilità della membrana e vale la seguente regola: MA

AM

DD

L L

La permeabilità e’ misurata in m/s. Cambia tantissimo da molecola a molecola e da cellula a cellula.

Esempi di trasporto di massa

5.7.1 Applicazione della forma integrale della Legge di Fick: il modello quasi-stazionario

Consideriamo l’esempio di due compartimenti separati da una membrana cellulare, con C1> C2. Dato

che la membrana e’ molto sottile, non e’ possibile misurare la concentrazione nella membrana.

Vorremmo sapere come varia la concentrazione nei due compartimenti, considerando che nella

membrana il gradiente di concentrazione (e’ quindi il flusso) rimanga costante. Possiamo fare questa

assunzione di quasi-stazionarietà perché essendo molto sottile, il tempo di diffusione nella

membrana e’ molto minore del tempo di variazione delle concentrazioni nei volumi. Ciò significa che

posso considerare condizioni stazionarie nella membrana con un flusso costante pari a:

1 2 J= ( ) ( )D

C t C tL

Facciamo delle assunzioni, i 2 volumi sono uguali V1=V2 e sapendo che il sistema è chiuso potremo

dire che il numero di molecole è costante.

1 1 2 2t m mN V C V C V C Per la sottigliezza della membrana l’ultimo termine è trascurabile.

FIGURA 5.11: VARIAZIONE DI CONCENTRAZIONE IN

UN SISTEMA DI 2 VOLUMI SEPARATI DA UNA

MEMBRANA SOTTILE


57 27/10/2017

Le condizioni al contorno sono:

2 1 01

1 1 2 2 01 1

2 01 1

@ t=0, C 0,

( ) ( ) (t. iniziale)

C ( ) ( )

t

C C

N V C t V C t C V

t C C t

Essendo =costante,C

t

1 21 2

( ) ( )C t C tV V

t t

6sfruttando la forma integrale JA olume

CV

t

e

ricombinando tutti i risultati in funzione di C1(t):

11 01 1

( )( ) ( )olumeVC t D

C t C C tt A L

11 01

( )2 ( )olumeVC t DC t C

t A L

1

1 01

( )

2 ( ) olume

C t D At

C t C L V

Integrando

0

1

1 01 0

( )

2 ( )

C t

olumeC

C t D At

C t C L V

2

01( ) 1

2olume

D At

L VCC t e

Il rapporto olume

A

V non si divide per non confonderlo con la lunghezza caratteristica dei volumi. L è la

lunghezza della membrana.

Il modello e’ valido solo se il tempo di diffusione nella membrana e’ molto minore del tempo

caratteristico del sistema (esponente dell’equazione sopra).

2

2 2

olume olumeV L VLL

D D A A

Ovvero, la lunghezza della membrana e’ molto minore della lunghezza dei volumi (le aree sono

uguali).

6 Verrebbe anche da 1 21 2

( ) ( )0tdN dC t dC t

V Vdt dt dt


58 27/10/2017

FIGURA 5.102: ANDAMENTO DELLE CONCENTRAZIONI

5.7.2 Punto sorgente

Uno dei modelli classici del trasporto di massa e’ la diffusione da un punto sorgente; riguarda infatti

l’andamento della concentrazione di una molecola nello spazio e nel tempo quando in un

determinato punto a t=0 viene deposto una determinata quantità di moli Mo della molecola. Viene

applicata la conservazione di massa (o numero di moli).

Consideriamo un sistema adimensionale, in cui le variazioni sono solo in x e t. La concentrazione e’ in

mol/m.

Le condizioni al contorno e di conservazione sono:

0

0

@ 0, 0 ( ,0) 0

@ 0, , ( , ) 0

( , ) 2 ( , )

t x C x

t x C t

C x t dx M C x t dx

L’equazione e’ la solita…

2

2

C CD

t x

La soluzione e’ riportato nell’appendice:

2

4( , )4

x

o DtM

C x t eDt

In coordinate sferiche, in condizione di simmetria, lo stesso ragionamento ci da:

2

43/2

( , )8( )

r

o DtM

C r t eDt

In figura viene riportato l’andamento del profilo di concentrazione lungo x in funzione del tempo. Via

via che passa il tempo la sostanza diluisce nello spazio. Modelli di questo tipo vengono utilizzati per

predire la concentrazione di inquinanti e traccianti.


59 27/10/2017

FIGURA 5.11 ANDAMENTO DELLA CONCENTRAZIONE PER PUNTO SORGENTE IN COORDINATE CARTESIANE (X).

5.7.3 Consumo di ossigeno

Consideriamo come esempio di diffusione e reazione il consumo di ossigeno all’interno di uno

sferoide cellulare.

Per un sistema sferico il Laplaciano è

22 2

2 2 2 2

1 1 1sin

sin sin

C C CC r

r r r r r

Non considereremo gli ultimi due termini perche’ il sistema e’ simmetrico, e ci poniamo in condizioni

stazionarie. Infine, supponiamo un consumo di zero ordine.

2

2

C D Cr K

t r r r

siccome 0

dC

dt

2

2

D CK r

r r r

Le condizioni al contorno sono:

0 e C=C condizioni di simmetria

0 avremo 0 al centro non abbiamo gradiente

r R

dCr

dr

La condizione di simmetria è molto importante poiché non avendo

considerato variazioni in ed in l’ossigeno deve diffondere

simmetricamente ovunque, per questo al centro il gradiente è nullo.

2 2

2

C Kr r r

r D

r

3

1 1

22 2

2 2 0

, 0 per simmetria3

C= ( )6 6

C K rl l

r D

Kr Kl l C r R

D D

FIGURA 5.14 - SFEROIDE

CELLULARE


60 27/10/2017

6 Trasporto di energia Introduzione

Il trasporto di energia è fondamentalmente il trasporto di calore, le altre energie possono essere

convertite ma non trasportate. Il trasporto di calore puo’ essere libero (irreversibile) o forzato (puo’

anche essere reversibile, ma con un costo energetico). Il trasporto libero di energia risulta in un

aumento di entropia. Infatti troveremmo diverse analogie tra il trasporto di massa e quello del

calore.

Utilizzeremo equazioni simili a quelle già viste, parleremo di certi parametri che esprimeremo così:

calore = J Joule

=calore/s =J/s= W Watts

Q

Q

2 2Q J m s W m , che sarebbe il termine per il flusso di calore, analogo ai flussi già visti e come

loro avrà la sua equazione costitutiva.

Il velocita’ di accumolo di energia per unita’ di volume e’:

3 3 3= calore = J = Q m s m s W m

Definiamo il calore specifico come la quantità di energia che serve per aumentare di 1 K un

materiale di 1Kg. Per l’acqua 4200 ( )pc J kgK (va bene anche °C).

p pQ mc dT Vc dT Questo è l’aumento di calore nel materiale (J).

v pQ c dT Indica invece l’aumento di calore per unità di volume (J/m3).

Esistono quattro modi per il trasporto di calore: conduzione, irradiazione, cambio di stato

(evaporazione) e convezione. L’evaporazione è considerata una forma di trasporto di calore, e

nell’uomo e’ un meccanismo di scambio energetico importante (la sudorazione). In questo capitolo il

trasporto del calore viene considerato dal punto di vista teorico e considerando lo scambio di

energia tra essere viventi e il loro ambiente.

6.1.1 Accenno alla regolazione termica negli essere viventi

La termoregolazione e’ la capacita’di un animale di regolare la temperatura. Esistono diversi tipi di

termoregolazione:

• Omeotermia: temperatura corporea constante.

• Pecilotermia: temperatura corporea constante ma variabile in diversi periodi (eg. Animali

che vanno in letargo).

• Ectotermia: temperatura corporea che dipende dalla temperatura esterna.

Nel caso dei mammiferi (omeotermici), la temperatura del corpo- e soprattutto degli organi interni,

deve essere mantenuta costante a 37 C. La temperatura viene regolato dall’ipotalamo che controlla

(attraverso sensori) e modula (attraverso il rilascio di segnali elettrici o endocrine) le attivita’ di

vasocostrizione e vasodilatazione, i brividi, la sudorazione e la regolazione del metabolismo.


61 27/10/2017

Meccanismi di trasporto di calore 6.2.1 Conduzione

La conduzione avviene grazie al contatto tra 2 oggetti. Il calore viene trasferito per vibrazioni

molecolari. L’equazione costitutiva per il trasporto del calore, quando viene scambiato per

conduzione e’ Q k T dove k è il coefficiente di conducibilità termica del materiale e T sta per la

temperatura.

Il coefficiente di conducibilità termica 2

( )

J J

kelvin

Q m Wk

T m s K msK mK

Tipicamente i valori di k variano molto, dobbiamo ricordare quello dell’acqua (0.6 W/mK). Invece la

conducibilita’ termica del tessuto adiposo e’ 0.2 W/mK, mentre quello per la pelle e’ circa 0.3 W/mK.

I metalli avranno k molto elevati (esempio il ferro , 1000 W/mK); mentre i gas hanno k molto bassi

(aria, k=0.01 W/mK).

6.2.2 Irradiazione.

L’irradiazione e’ lo scambio di calore tramite l’emissione di fotoni. È diverso dalla conduzione per

vari motivi. La conduzione ha bisogno di un mezzo di propagazione mentre la radiazione no. La

conduzione avviene per contatto tra le molecole, ed e’ la conseguenza del trasferimento di energia

(meccanica) dalle vibrazione molecolari termiche. Invece nella radiazione queste vibrazioni vengono

trasformate in energia elettromagnetica, risultando in rilassamento della molecola. L’equazione per

il trasferimento di energia per radiazione e’ data dalla legge di Stefan-Boltzmann. 4 4( )c aQ T T

ε e’ l’emissivita’. Il valore va da 0 a 1e indica la frazione di energia trasferita in forma di radiazione.

σ è la costante di Stefan-Boltzmann pari a 5.67.10-8 W/(m2.K4). La T è sempre espressa in Kelvin7.

Il corpo umano e’ un quasi-perfetto emettitore di radiazione termica (cioè nelle lunghezze d’onde

infra rosso), con un valore di ε=0.97. Cioe’ implica che siamo dei corpi neri nell’infra-rosso, e questo

e’ dovuto al fatto che il corpo mantiene una temperatura costante di 37 ℃. I vestiti infatti riducono

l’emissione di infra rosso. E’ interessante vedere la differenza tra un immagine con camera infra

rosso di un orso polare e’ un uomo/donna. Gli orsi polari hanno la stessa temperatura interna di 37

℃ ma sono molto bene isolati grazie allo strato di grasso e i peli. Nella figura 6.1 si nota anche le

zone piu’ calde della donna.

7 Il ℃ puo’ essere usato solo quando la temperature e’ una differenza (cioe’ ∆T)


62 27/10/2017

FIGURA 6.1: THERMOGRAFIA DI UN ORSO POLARE E UNA DONNA NUDA.

6.2.3 Convezione. La convezione avviene solo nei fluidi e può essere libera/naturale o forzata. Quella libera e’ dovuto a

cambiamenti di densità di un fluido quando si riscalda o raffredda. Può essere vista anche come una

forma di diffusione perché’ il fluido più caldo che è meno denso ha una minore concentrazione per

cui il fluido freddo più denso (e quindi piu’ concentrato) diffonde verso la zona meno densa. Invece

quella forzata è dovuto al moto del fluido, propulsata con una fonte di energia esterna (o differenza

di pressione ecc). Spesso però i due fenomeni avvengono insieme.

La convezione può essere descritta dalla legge di raffreddamento di Newton ( )c aQ h T T .

Il coefficiente di convezione h, è molto variabile perché dipende da vari fattori ambientali e la natura

dei materiali ed è quindi un numero empirico. Ci sono diversi testi classici che riportano i valori di h

per il uomo in diverse posizioni e con diverse modalita’ di ventilazione. Le unita’ di misura di h sono

W/m-2K-1.

6.2.4 Cambio di stato, evaporazione per sudorazione. Infine, in un essere vivente bisogna considerare anche il trasferimento di calore dal corpo dovuto

allo cambio di stato. Quando avviene un trasferimento di questo tipo non viene percepito un cambio

di temperature nel corpo, e per questo motivo viene chiamato “insensibile”. Al contrario le altre

forme di trasferimento di calore, che sono accompagnate da una variazione di temperatura, sono

“sensibile”.

mQ L

A

Dove L =calore latente, calore necessario per cambiare lo stato di 1Kg da liquido a gas o da solido a

liquido, J/kg; m dm dt e’ la variazione di massa che nel tempo evapora e A e’ l’area della

superficie dove avviene il cambio di stato.

L per l’acqua a 37°C corrisponde a 2423000 J/kg o 2423 KJ/kg. Questo vuole dire che per trasformare

1 kg di acqua da liquido a vapore a 37°C ci vuole molta energia. E’ da notare che non e’ necessario

essere a 100 °C per cui avvenga una trasformata di fase da acqua liquido a vapore.


63 27/10/2017

La Heat equation

Rispetto all’esempio del flusso di massa in cui si aveva il

concetto del coefficiente di partizione, nel flusso di calore

non esiste una grandezza analoga.

Se abbiamo due materiali confinate da due temperature

diverse a 0°C e 100°C, non vi è un immediato passaggio

lineare di calore, però a regime si crea un gradiente lineare.

Quindi a regime si crea una continuità di flusso.

Data questa continuità di flusso possiamo scrivere: 1 2

1 2

dT dTk k

dx dx .

Il calore è quindi sempre trasportato.

Equazione caratteristica.

Il sistema in figura avrà un flusso di calore in

ingresso ed un flusso di energia (calore) in uscita.

Inoltre si possono avere fonti interne di energia

nel sistema, ad esempio nell’uomo è il

metabolismo basale.

Si indica con genQ ovvero la quantità di energia

generata per secondo, J/s.

Parte dell’energia del sistema viene speso donato

al mondo esterno come lavoro utile W, che per

coerenza definiremo come una potenza W . Un

esempio e’ un uomo che solleva un peso, W=mgh.

Quando invece viene fatto un lavoro sul sistema

(es. viene spostato in alto), W e’ negativo.

Possiamo quindi scrivere l’equazione di conservazione tramite il seguente bilancio:

IN OUT GEN

Aumento di calore nel volume=Flusso A - Flusso A + Q - W

tempo

Moltiplichiamo i flussi per l’area perché per convertire un flusso che è 2

J

m s

in J

s

devo

moltiplicare per la superficie che attraversa.

Il “più” prima del calore generato è perché è prodotto all’interno e il “meno” della potenza perché è

esercitata sull’ambiente esterno.

p x x x

dTVc Q Q A

dt Sapendo che V xA avremo

x x x

p

Q QdTc

dt x

FIGURA 6.2 DUE MATERIALI CON T INIZIALE

DIVERSA. AL PUNTO DI CONTATTO LA T E’ UGUALE

FIGURA 6.3: SISTEMA A VOLUME FISSO CON FLUSSI DI

ENERGIA, POTENZA GENERATA E LAVORO ESTERNO PER UNITA’ DI TEMPO


64 27/10/2017

Per 0x p

dT Qc

dt x

Ricordando l’equazione costitutiva

dTQ K

dx

2

2

2

p

p

p

dT dTc K

dt x dx

dT Tc K

dt x

dT KT

dt c

Notiamo che è analogo agli altri trasporti.

Per completezza possiamo scrivere anche GenQ W per unità di tempo e volume. Ricordando che

avevo diviso per l’area e la densità e il calore specifico.

2 Gen

p p p

QdT K WT

dt c V c V c La derivata di Q si indica con

3

JQ

m s (nel volume)

2

p p p

dT K Q WT

dt c c c Analoga all’equazione di Navier-Stokes e alla seconda legge di Fick.

Nel seguente esempio consideriamo un

materiale in cui una parte sta a °C, ad esempio è

dentro un blocco di ghiaccio. L’altra estremità è

costante a 100°C grazie al vapore. La K è la

costante di conducibilità.

Dobbiamo dunque valutare l’andamento della

temperatura nella zona L.

Inizialmente si ha T0 che è zero gradi per

continuità, alla fine abbiamo TL. Se TL fosse una

temperatura a conduzione sarebbe anche essa

100°C, ma siccome la trasmissione avviene per

convezione TL non sarà necessariamente 100°C.

Eguagliamo i flussi di conduzione e convezione:

( )L A

dTQ K h T T

dx

Consideriamo le condizioni stazionarie quindi 0dT

dx , ciò implica che il gradiente di temperatura sia

costante.

(F è una costante integrativa)

dxQ KdT

xQ KT F

Le condizioni al contorno saranno che @ x=0; T=T0 perciò: 0 0F=KT ( T )xQ K T

FIGURA 6.4 - TRASPORTO TRAMITE CONDUZIONE E CONVEZIONE

FIGURA 6.5 - TRASPORTO TRAMITE CONDUZIONE E CONVEZIONE


65 27/10/2017

0KTQ

KT

x x Questa è l’equazione del flusso di calore per la prima parte.

Ricaviamo adesso quella per la parte convettiva. Anch’essa presenta continuità di flusso poiché si

possono eguagliare i termini dei due fenomeni 0KTQ ( )L A

KTh T T

x x

Sfruttiamo l’altra condizione al contorno e troviamo un’equazione che dipenda solo da T0,L,TA,h,K.

@ x=L; T=TL

0

0

0

KTLL A

L A

AL

KThT hT

L L

KTKT h hT

L L

KT hT LT

K hL

Sostituendo nell’equazione di flusso avremo 0( )

1

Ah T TQ

hL

K

Questo è l’andamento del flusso di calore nella zona L. Il parametro hL

K è detto numero di Biot.

Esso è un numero adimensionale caratteristico del sistema perché è il rapporto fra il tempo

caratteristico della convezione e della conduzione. convezione

conduzione

tBiot=

t

Tale rapporto ci permette di capire cosa prevale sul sistema. Per ciò l’equazione precedente sarà

presentata nella forma: 0( )

1

Ah T TQ

Biot

Se il numero di Biot 1 (K alto) ,si ha che convezionet tconduzione . Lo scambio che predomina è la

convezione, il flusso di calore dipenderà da questa perché 0Biot ed è come se rimanesse solo il

termine convettivo

Se il numero di Biot 1 (K basso) ,predominerà la conduzione per il ragionamento inverso fatto

sopra. Trascuriamo l’1 al denominatore, le due h si elidono ed il flusso di calore è dominato dal

termine conduttivo.

Questo perché parliamo di tempi in serie. Se una coppia si prepara per andare ad una festa ed uno

dei due è già pronto e aspetta il secondo, se arriveranno in ritardo la colpa sarà del secondo. Perché

predomina chi ha il tempo caratteristico più lungo.


66 27/10/2017

Consideriamo ora un uomo (standard) in una stanza chiusa a 37°C, ciò

vuol dire che non può scambiare calore con l’ambiente perché non

abbiamo una differenza di calore. L’aria della stanza è satura di acqua, il

che inibisce l’evaporazione. Ciò vuol dire che l’equazione di calore sarà:

2gen

p

QdTc K T

dt Vol

W

Vol

Non fa lavoro e l’unico flusso di calore è dovuto a quello generato. Ciò

vuol dire che il calore che genera il suo metabolismo va ad aumentare la

sua temperatura interna.

86 metabolismo basalep

dT Jmc

dt s

3600 di solito però usiamo 4200p p

J Jc c

C Kg Kg

860.0035 1.3 C all'ora

68 3600

dT C

dt s

Quindi il solo metabolismo basale ci riscalda di 1.3°C all’ora. La temperatura mortale è di 42°C

raggiunta dopo 4-5 ore. L’uomo è in grado di contrastare meglio il freddo con la vaso costrizione.

Moto forzato e modelli.

Nel caso in cui in un sistema vi sia, oltre al flusso di calore per conduzione, un moto forzato di calore,

esso sarà analogo al comportamento per la convezione e la diffusione nel trasporto di massa.

Perciò se induciamo una differenza di temperatura con una certa velocità Vx il flusso totale sarà:

dTQ K V T

dx

Per la variazione di temperatura nel tempo avremo: 2

p

T KT V T

t c

Analogo al trasporto di massa 2

2

C C CD V

t x x

Analogo al trasporto della quantità di moto 2V P FV V V

t

Le equazioni che governano questi sistemi sono identiche. L’unica cosa che varia è nel trasporto di

moto perché deriviamo una velocità ed abbiamo un vettore, le altre danno un’ampiezza.

Quindi nel caso da cui siamo partiti basta mettere la velocità.

Consideriamo ora una persona che ha freddo (Testerna=4°C). La curva isoterma di 37°C si restringerà al

core, parte interna dove sono presenti gli organi da mantenere a temperatura fisiologica,

consequenzialmente le zone esterne saranno più fredde, circa 24°C.

FIGURA 6.6 - UOMO STANDARD

IN STANZA CHIUSA

FIGURA 6.7 - UOMO STANDARD

IN STANZA CHIUSA


67 27/10/2017

Per scaldarsi beve 100ml di tè a 85°C. Se assume questa bevanda quanto sarà la temperatura del

corpo?

L’acqua si raffredda e il corpo si riscalda, potremo fare un’equazione dove diciamo che:

Calore perso dall'acqua= Calore guadagnato dall'uomo

macquaacqua pc ( )=m

uomoacqua f uomo pT T c ( ) uomo fT T Il calore specifico è circa lo stesso perché l’uomo

è composto dal 70% di acqua.

m T -m T =m T -m T T m T m Ta a a f u u u f f u a a a u um m

m T m T 70 36 0.1 8035.94 36

70 0.1

a a u uf

u a

T C Cm m

Bere un bicchiere di tè non cambia

nulla, è più una cosa psicologica.

Analizziamo adesso un modello in cui un oggetto con una certa massa viene messo in un ambiente

grande infinito e cede calore tramite convezione.

Consideriamo che all’interno dell’oggetto la temperatura non cambi localmente e quindi non vi siano

gradienti di temperatura interni. Esso può essere considerato un conduttore (K alta). Ciò perché se

prendiamo due materiali, uno isolante (silicone) e l’altro conduttore (acciaio) ciò che notiamo è che

il silicone avrà un gradiente più ripido rispetto all’acciaio, un conduttore ideale ha un profilo

orizzontale. Considero quindi questo caso nel nostro esercizio, per poter dire che la perdita è dovuta

solo alla convezione.

La quantità di calore al secondo sarà uguale alla quantità di calore acquisita dall’ambiente, che in

termini di flusso sarà:

Calore perso per unità di tempo= Flusso di calore per convezione

( ) m= Vp c

dTmc h T T

dt

V ( )p

h dTdt

c T t T

00V ( )

t T

p T

h dTdt

c T t T

0

ln( ( ) )V T

T

p

ht T t T

c

0 0

ln V

finale

p iniziale

T T TT Tht

c T T T T T


68 27/10/2017

V( )p

ht

c

finale inizialeT T e

Caduta Variazione iniziale per

di temperatura un fattore esponenziale

t

finale inizialeT T e

V=tempo caratteristico del sistema=

pc

h

Possiamo avere una caduta molto lenta quando è

grande, ad esempio un sistema con un grande volume, o

una caduta veloce per piccoli.

Maggiore è la capacità termica più è lento. Maggiore è l’h (termine convettivo) più è veloce.

Trasporto di calore nell’uomo

La temperatura dell’uomo standard è circa 36-37°C. Abbiamo questa temperatura perché gli enzimi

del nostro corpo funzionano meglio a 36.2°C.

Aumenti o diminuzioni della temperatura comportano disfunzioni metaboliche. Gli organi metabolici

principali sono cervello, cuore e fegato. Il cervello consuma elevato glucosio e non riposa mai così

come il cuore. Il fegato riposa quando non mangiamo.

La quantità di calore prodotta dal corpo varia rispetto a quando facciamo attività fisica, dove

produciamo addirittura 40 volte calore in più che normalmente.

L’essere umano è omeotermo, a temperatura costante.

A differenza dei rettili che sono definiti pecilotermici e le

cui attività metaboliche variano se stanno al sole o

all’ombra ed hanno enzimi diversi dai nostri. Alcuni sono

in grado di fare entrambe le cose, possono passare

dall’uno all’altro, parliamo di animali in grado di entrare

in uno stato letargico.

Il calore generato va disperso, l’organo principale per lo

scambio di calore e la regolazione è la pelle, che funge

anche da schermo con l’esterno proteggendoci da agenti

patogeni. Ha dei recettori di temperatura e presenta una

fitta rete di capillari superficiale (capillari dermali) che

gestiscono lo scambio di calore. Questi capillari,

comandati dai muscoli, possono essere ristretti per

ridurre lo scambio di sangue e di calore. Quando

abbiamo caldo si allargano e lo scambio è facilitato.

La superficie è di 1.7m2 ma di solito consideriamo 1.4m2

perché alcune parti come ascelle ed inguine non

scambiano calore.

Nell’uomo vi sono delle zone isoterme descritte dalle curve isoterme. Quando diciamo che la

temperatura dell’uomo è di 37°C ci riferiamo alla temperatura interna al corpo, ovvero quella degli

FIGURA 6.8 - CADUTA DI TEMPERATURA

FIGURA 6.9 - ISOTERME UOMO


69 27/10/2017

organi che devono fisiologicamente stare a quella temperatura. Alle estremità, se fuori ci saranno ad

esempio 0°C, avremo una temperatura di 20°C. Quando fa caldo le isoterme si espandono e quando

fa freddo si restringono, ciò è dovuto alla vasocostrizione e vasodilatazione che è gestita

dall’ipotalamo. Inoltre quando abbiamo freddo il nostro metabolismo basale viene ridotto così da

disperdere meno calore.

Un altro strumento per combattere il freddo di cui il nostro corpo è a

disposizione, è il così detto fenomeno della pelle d’oca. Ci permette

di creare delle piccole “tasche” d’aria che intrappolano l’aria

riducendo lo scambio di calore con l’aria fredda.

Un meccanismo per quando abbiamo caldo e bisogna perdere calore

è la sudorazione. Il calore per fare evaporare l’acqua è preso dal

corpo. Altri metodi sono l’irradiazione e la conduzione.

Ci sono vari meccanismi di controllo, la cosa più importante è però

mantenere costante la temperatura dei 3 principali organismi

addetti al controllo.

L’uomo è definito come un corpo nero, un corpo in grado di assorbire ed emettere ogni lunghezza

d’onda nell’infrarosso. L’emissività è indipendente dal colore della pelle ed è di 0.97 per lunghezze

d’onda da 0.1 a 100 μm . La melanina assorbe UV.

Siamo buoni assorbitori dell’infrarosso perché siamo fatti di H2O, che è un ottimo assorbitore di I.R.

infatti la terra si riscalda perché l’atmosfera è ricca di acqua. L’altro motivo è che la lunghezza d’oda

dell’infrarosso è di circa l’ordine dei micron μm , che è la stessa grandezza della micro rugosità del

nostro corpo.

Il coefficiente di convezione h nell’uomo è un valore empirico h=kA. La k è disponibile in letteratura,

Gunter ha eseguito vari esperimenti. Noi consideriamo 0.676.51K v stimato per un uomo nudo in

piedi con flusso d’aria di traverso.

Per la perdita di calore sono fondamentali anche le perdite insensibili.

Non abbiamo un controllo (meccanismi inibitori) per le perdite insensibili. Quelle sensibili sono

quelle che l'ipotalamo può controllare, una delle più importanti è la sudorazione. Mentre una delle

più importanti insensibili è la diffusione.

La respirazione è più complicata. Quando inspiriamo l’aria fredda si mischia con quella nei polmoni e

quando espiriamo è calda. La differenza di temperatura è presa dal nostro corpo. Controllabile

chiudendo la bocca, respireremo con il naso. Le vie nasali sono più lunghe quindi l’aria esterna non

arriva fredda come è entrata.

Altro meccanismo insensibile è che l’aria che inspiriamo è più secca di quella che espiriamo.

Proviamo a stimare le perdite di calore di un uomo standard nudo e a riposo.

FIGURA 6.10 - PELLE D'OCA


70 27/10/2017

La radiazione regolata dalla formula 4 4

r r sQ A T T ha un

peso di circa il 40% sul BMR.

La conduzione, calcolata al suolo come unico punto di contatto,

consumerà il 6% del BMR cond d

dTQ k A

dt .

La convezione è regolata da c c c s aQ k A T T che è causa di

una perdita di calore di circa il 27%

L’evaporazione si dividerà in perdite per diffusione, sudorazione

e respirazione.

La diffusione di acqua attraverso la pelle dovuta alla differenza di

concentrazione di acqua tra esterno e interno del corpo è una

perdita insensibile.

Regolata da waterQ m H la pelle traspira circa 350ml di acqua al

giorno, H è il calore latente di evaporazione dell’acqua a circa

30°C e ammonta a 2423KJ

HKg

. In definitiva 350 2423000

9.81000 24 3600

d

JQ

s

ammonta a circa

l’11% del BMR.

La sudorazione sarebbe regolata da 2423000s wQ m ma in questo esempio, relativo a un uomo a

riposo, non ci sono perdite di calore per evaporazione del sudore.

La respirazione divide in sensibile, dovuta alla variazione di temperatura tra aria inspirata ed

espirata, è la differenza di energia interna tra aria ispirata ed espirata.

( ) ( )se a a es is w w es isQ m C T T m C T T da questa ricaviamo un consumo del 1.4% del BMR.

Infine il calore latente di evaporazione dovuto all’evaporazione di acqua dei polmoni nell’aria

espirata sarà Q ( )la w out inH W W , dove W indica la massa di acqua espirata ed inspirata per

secondo e sfrutta il 14% del BMR.

Per un corpo all’equilibrio, senza “input” di energia, che non aumenta di peso o temperatura, il

calore perso deve essere uguale al metabolismo.

Per approfondimenti leggere le slide realizzate dalla professoressa sulla pagina del corso nella

sezione materials o direttamente all’indirizzo:

http://www.centropiaggio.unipi.it/sites/default/files/course/material/calore-uomo-2013.pdf

Riassumiamo i tre trasporti

Flusso di Eq. Costitutiva

Conservazione

Massa 2

moli

m s

J D C 2CD C

t

Moto 2

mv

m s

V 2DVV

Dt

FIGURA 6.11 - PERDITE DI CALORE IN

UOMO STANDARD A RIPOSO

http://www.centropiaggio.unipi.it/sites/default/files/course/material/calore-uomo-2013.pdf


71 27/10/2017

Energia 2

J

m s

Q K T 2

p

T KT

t c

Ricordiamo che le seconde derivate si trovano considerando il bilancio della conservazione in un

sistema.

Notiamo una notevole differenza fra il caso del moto perché la V mi dà un tensore mentre C e

T sono la derivata nello spazio di uno scalare che mi dà un vettore. Questo rende il trasporto di

moto un po’ più complicato. La seconda derivata è sempre l’aumento della concentrazione

t, della

V

t o della

T

t che esprimiamo come conservazione in tabella.

Uomo standard.

Presa una sotto popolazione molto omogenea (stessa età, stessa etnia, ecc.) noteremo sempre che,

in condizioni di riposo ideali, sarà possibile registrare valori del battito cardiaco che oscillano tra 50-

100 per la frequenza cardiaca e 7-20 per i respiri al minuto.

Plottando questi dati noteremmo che la distribuzione dei campioni sarebbe di tipo Gaussiano, il cui

valore di picco è 70. Il respiro invece è variabile.

I valori di ogni uomo si distribuiscono attorno al modello di “uomo standard”, ovvero il modello

preso appunto come standard per le applicazione scientifiche. Il modello in questione è

standardizzato sul modello americano che non tiene conto di differenza nelle varie etnie.

Qui è possibile trovare tutte le misure utili: http://www.centropiaggio.unipi.it/course/fenomeni-di-

trasporto-biologico.html

Importanti da ricordare sono:

Età 25yr Altezza 1.73m Peso 70Kg Uscita cardiaca 5L/min Acqua 42Kg (70%) Grasso 12Kg Metabolismo basale 100J/s Respiri 12min Battito cardiaco 60 min Massa muscolare 30Kg Temperatura 37°C

Volume sangue 5L Pressione sanguigna 120-80mmHg Produzione CO2 208 ml/min Spazio morto 0.15 L Consumo di O2 260 ml/min Temperatura pelle 34°C Area superficiale 1.85m2 Tidal volume 0.5 Capacità totale polmone 6L Capacità vitale/alveolare 4.8L

Per quanto riguarda il modello “Donna Standard” è meno utilizzato, per l’altezza considereremo

1.65m ed un peso di 58Kg.




72 27/10/2017

Il metabolismo basale, BMR (basal metabolic rate), dell’uomo standard è un valore che indica il

fabbisogno metabolico minimo, ovvero l’energia necessaria a far funzionare il corpo nelle sue attività

vitali, come da tabella vediamo che il valore è 100 J/s, che si riferisce all’energia sufficiente per

mantenerci in vita dormendo. I fattori che influenzano il BMR sono vari, tra cui l’altezza, l’età, la

febbre, lo stress e la composizione corporea. Il maggior consumatore di energia è il cervello, il solo

atto di pensare brucia calorie.

Esercizio.

Se un Kit-Kat contiene 520 KJ in 25g quante ne dovrò mangiare per sostenere le richieste del mio

metabolismo basale?

100 /BMR J s Moltiplico per 86400 ottenendo 8640000 / d 8640KJ/ dJ

/

8640N 16.61

520kit kat giorno

Sapendo che un Kit-Kat contiene 124Kcal in 25g, quante me ne servono per sopravvivere in un

giorno?

520:124=8640:x x= 2060.31Kcal

Per calcolare il BMR useremo le seguenti formule:

BMR(M)=66+(13.7*W)+(5*H)-(6.8*A)

BMR(F)=65.5+(9.6*W)+(1.7*H)-(4.7*A) W=weight Kg; H= height m; A=age years.

Indice di massa corporea, BMI (Body Mass Index).

Parametro che quantifica il peso per unità di superficie, è un concetto analogo alla densità

superficiale. Ci indica quanto più vicini siamo ad una sfera.

2 2

[ ]

( [ ])

W KgBMI

H m

BMI<18 Troppo magro; BMI>20 Grasso; BMI>30 Obeso.

Figura 1.1: Moto Browniano ................................................................................................................... 3

Figura 1.2: Moto browniano .................................................................... Error! Bookmark not defined.

Figura 1.3: Moto browniano .................................................................... Error! Bookmark not defined.

Figura 1.4 ................................................................................................. Error! Bookmark not defined.


Figura 1.6 - Evoluzione del profilo di velocità .......................................... Error! Bookmark not defined.

Figura 1.7 - Evoluzione del profilo di velocità .......................................... Error! Bookmark not defined.



Figura 1.10 ............................................................................................... Error! Bookmark not defined.








73 27/10/2017


Figura 1.18 - flusso laminare .................................................................... Error! Bookmark not defined.

Figura 1.19 - flusso laminare .................................................................... Error! Bookmark not defined.

Figura 1.1 - Flux ........................................................................................ Error! Bookmark not defined.

Figura 1.2 - Flux ........................................................................................ Error! Bookmark not defined.

Figura 1.1 - Volume osservato secondo un sistema euleriano ................ Error! Bookmark not defined.

Figura 1.2 - Volume osservato secondo un sistema euleriano ................ Error! Bookmark not defined.

Figura 2.18 - Vin<Vout ............................................................................. Error! Bookmark not defined.

Figura 1.1 – vettori velocità ..................................................................... Error! Bookmark not defined.

Figura 1.1 - tensori applicati ad un cubo.................................................. Error! Bookmark not defined.

Figura 3.1: Pressione idrostatica ........................................................................................................... 13

Figura 3.2: Pressione nel cuore ............................................................................................................. 14

Figura 3.3: Uomo standard ................................................................................................................... 15

Figura 3.4: cilindro ................................................................................................................................ 15

Figura 3.5: Evoluzione del profilo di velocità ........................................................................................ 16

Figura 3.6 .............................................................................................................................................. 16

Figura 3.7: flusso laminare .................................................................................................................... 17

Figura 3.8: Grafico sforzo di taglio e gradiente di velocità ................................................................... 18

Figura 3.9: Grafici sforzo, gradiente di velocità per le varie categorie di fluido ................................... 19

Figura 3.10: Vin<Vout ........................................................................................................................... 20

Figura 3.118 - Vin<Vout ........................................................................... Error! Bookmark not defined.

Figura 3.12 - Sistema vascolare................................................................ Error! Bookmark not defined.

Figura 3.13: V(r) al variare di r ................................................................. Error! Bookmark not defined.

Figura 3.14 - Profilo velocità in un cilindro rigido ................................................................................. 22

Figura 3.15: - Effetti di Pressure drag e Friction drag su un pesce che nuota. ..................................... 25

Figura 3.16 ............................................................................................................................................ 25

Figura 3.17 ............................................................................................................................................ 25

Figura 3.18 :Strato limite ...................................................................................................................... 26

Figura 3.19: linee di flusso in condotto largo con fluido inviscido ........................................................ 27

Figura 3.20: A) volumetto di fluido, B) Componenti orizzontali e verticali di s .................................... 27

Figura 3.21: - A. tubo con sensori di pressione, B. Tubo di Pitot .......................................................... 29

Figura 3.22: Velocità in un tubo con strozzamento .............................................................................. 30

Figura 3.23 - 3 manometri in un tubo con sezione variabile ................................................................ 30

Figura 3.24: portanza. Per dynamic similarity le pressioni sviluppate sono le stesse sia che si muove il

fluido che il solido ................................................................................................................................. 31

Figura 3.25: vortici dietro una sfera in cui il flusso si muove da sinistra a destra ................................ 31

Figura 3.26: Andamento sviluppo di un flusso ...................................................................................... 32

Figura 3.27: volume (2D) soggetto a sforzi ........................................................................................... 33

Figura 3.28: - volume infinitesimale di fluido in un cilindro ................................................................ 36

Figura 3.29: Cilindro .............................................................................................................................. 37

Figura 3.30: Piatto in movimento e differenza di pressione nel fluiFigura 3.31do............................... 37

Figura 3.32 - volume infinitesimale di fluido in un vaso ......................... Error! Bookmark not defined.

Figura 3.33 - Vaso simmetrico ................................................................. Error! Bookmark not defined.

Figura 3.34: Canale rettangolare infinitamente lungo e molto stretto ... Error! Bookmark not defined.

Figura 3.35: In rosso variazione lungo y, in nero variazione lungo x .................................................... 39

Figura 3.36: - Sezione rettangolare di altezza H ................................................................................... 40

Figura 4.1 - 10 cent con sopra 114 gocce ................................................ Error! Bookmark not defined.

Figura 434.2 - ........................................................................................... Error! Bookmark not defined.


74 27/10/2017

Figura 4.3 - moneta pulita idrofila ........................................................... Error! Bookmark not defined.

Figura 4.4: Goccia di acqua su materiale idrofobo e idrofilo ................... Error! Bookmark not defined.

Figura 4.5 - Materiali immersi in acqua e bolla d’aria .......................................................................... 43

Figura 4.6 - Materiali idrofili e idrofobi con goccia d'acqua ................................................................. 43

Figura 4.7 - Bilancio di forze di tensione superficiale ........................................................................... 43

Figura 4.8: -A Capillare parzialmente immerso in acqua, B) - Capillare parzialmente immerso in

mercurio ................................................................................................................................................ 44

Figura 4.9 - Capillare parzialmente immerso in mercurio ....................... Error! Bookmark not defined.

Figura 4.10: Goccia da una pipetta ....................................................................................................... 45

Figura 4.11 - Capillare parzialmente immerso in acqua .......................... Error! Bookmark not defined.

Figura 4.12 - Capillare parzialmente immerso in acqua .......................... Error! Bookmark not defined.

Figura 4.13 - Capillare parzialmente immerso in mercurio ..................... Error! Bookmark not defined.

Figura 4.14 - Capillare parzialmente immerso in mercurio ..................... Error! Bookmark not defined.

Figura 4.15 – .......................................................................................................................................... 45

Figura 4.16 - sezione di una goccia .......................................................... Error! Bookmark not defined.

Figura 5.1: volume fisso sottoposto a flusso di molecole. .................................................................... 47

Figura 5.2 - ............................................................................................... Error! Bookmark not defined.


Figura 5.4 - Reazione ordine 0 ................................................................. Error! Bookmark not defined.

Figura 5.5 - Reazione ordine 1 ................................................................. Error! Bookmark not defined.

Figura 5.6 - Membrana cellulare .............................................................. Error! Bookmark not defined.

Figura 5.7 - Becker con una fase d'acqua e una d'olio. ......................................................................... 55

Figura 5.8 - Andamento della concentrazione in membrana cellulare.... Error! Bookmark not defined.


Figura 5.10 - Numero di Peclet ............................................................................................................. 53

Figura 5.11 - Andamento temporale della concentrazione ..................... Error! Bookmark not defined.

Figura 5.12 - Corpo esposto a 2 temperature diverse ............................. Error! Bookmark not defined.

Figura 5.13 - Corpo esposto a 2 temperature diverse ............................. Error! Bookmark not defined.

Figura 5.14 - Flusso di calore in un sistema generico .............................. Error! Bookmark not defined.

Figura 5.15 - Flusso di calore in un sistema generico .............................. Error! Bookmark not defined.

Figura 5.16 - Trasporto tramite conduzione e convezione ................................................................... 60

Figura 5.17 - Trasporto tramite conduzione e convezione ................................................................... 60

Figura 5.18 - uomo standard in stanza chiusa ...................................................................................... 60

Figura 5.19 - uomo standard in stanza chiusa ...................................................................................... 60

Figura 5.20 - Caduta di temperatura ..................................................................................................... 60

Figura 5.21 - Caduta di temperatura ........................................................ Error! Bookmark not defined.

Figura 5.22 - isoterme uomo ................................................................................................................. 60

Figura 5.23 - isoterme uomo .................................................................... Error! Bookmark not defined.

Figura 5.24 - Pelle d'oca ............................................................................................................................


75 27/10/2017

60

Figura 5.25 - Pelle d'oca ........................................................................... Error! Bookmark not defined.

Figura 5.26 - perdite di calore in uomo standard a riposo ................................................................... 60

Figura 5.27 - perdite di calore in uomo standard a riposo ...................... Error! Bookmark not defined.

Documents

Fenomeni di Trasporto Biologico. - centropiaggio.unipi.it · Dispensa Fenomeni di Trasporto Biologico, Università di Pisa, Ingegneria Biomedica 1 27/10/2017 Fenomeni di Trasporto