Appunti di

Chimica fisica industriale – Modulo B

per il Corso di Laurea in

CHIMICA INDUSTRIALE

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INTRODUZIONE

Un processo industriale coinvolge sempre un certo numero di stadi nei quali avvengono deicambiamenti fisici. La necessità di conoscere e caratterizzare tali stadi ed i relativi aspettiimpiantistici, assieme alla constatazione che, molto spesso, le loro caratteristiche tecniche eimpiantistiche sono poco dipendenti dal particolare processo industriale nel quale sono inseriti, haportato alla definizione delle cosiddette Operazioni Unitarie, cioè la possibilità di studiare ecaratterizzare ciascuno stadio in modo autonomo, per inserirlo poi, con i necessari adattamenti, nelparticolare processo industriale in esame. Ciò consente un risparmio non solo intellettuale (ilprocedimento viene studiato e progettato una sola volta), ma anche economico, dato che, moltospesso, l’impianto in cui viene condotta una Operazione Unitaria, può essere utilizzatoalternativamente per diversi processi produttivi.

Come abbiamo già ricordato, le principali Operazioni Unitarie inizialmente erano:

ma altre si sono aggiunte man mano,come ad esempio:

In ognuna di tali operazioni unitarie si hanno i cosiddetti fenomeni di trasporto: cioè lanecessità di trasportare/trasferire alcune importanti proprietà fisiche. I più rilevanti fenomeni ditrasporto riguardano la quantità di moto (la quantità di moto è la grandezza vettoriale mv; comevedremo, trattare il trasporto della quantità di moto significa, in realtà, ricavare la legge del moto diun fluido, dato che il trasporto avviene, ovviamente, all’interno di un fluido in moto), il calore (cioèl’energia termica che viene trasferita o trasportata in presenza di un gradiente di temperatura), lamateria (considerando come trasporto di materia quello che avviene attraverso il meccanismodiffusivo). Va sottolineato che per trasporto si intende un reale spostamento nello spazio dellaproprietà in questione, cioè un vero e proprio movimento della proprietà, che può avvenire con duediverse modalità: trasporto molecolare e trasporto convettivo.

I predetti fenomeni di trasporto presentano una notevole analogia, anche se deve esseresottolineato che l’analogia si manifesta correttamente se ci limitiamo a considerare una situazionemolto specifica, ancorché molto frequente (si tratta cioè di una situazione del tutto generale), e cioèla situazione in cui si abbia un trasporto molecolare monodirezionale, cioè in cui il trasporto dellaproprietà avvenga lungo una sola direzione nello spazio e con il meccanismo molecolare.

Per il trasporto molecolare monodirezionale vale una legge empirica del tutto generale: ilflusso della proprietà è direttamente proporzionale alla driving force, cioè alla causa che provoca ilmovimento della proprietà nello spazio, che può essere espressa come gradiente di una qualchegrandezza fisica. Vale la pena di ricordare che per flusso si intende la quantità di proprietà fisica(massa, volume, energia, quantità di moto, materia, carica elettrica, ecc.) che attraversa una sezioneunitaria del “conduttore” nel quale la proprietà si muove, nell’unità di tempo. Esso è dato quindi dalrapporto tra la portata (quantità di proprietà che attraversa una sezione del conduttore) e la sezionestessa. La driving force è espressa dall’opposto del gradiente della grandezza fisica che provoca ilmovimento della proprietà in questione (l’opposto del gradiente perché la proprietà si muove dallazona a valori più alti verso la zona a valori più bassi della grandezza fisica movimentante). Lacostante di proporzionalità tra flusso e driving force è detta conducibilità specifica o conduttivitàdel conduttore rispetto alla proprietà oggetto del trasporto ed è l’inverso della sua resistività.

L’esempio più noto di una tale legge empirica è la legge di Ohm per le cariche elettriche. In

• POLVERIZZAZIONE • LISCIVIAZIONE• MESCOLAMENTO • PRECIPITAZIONE• RISCALDAMENTO • FILTRAZIONE• ARROSTIMENTO • CRISTALLIZZAZIONE• ASSORBIMENTO • DISSOLUZIONE• CONDENSAZIONE • ELETTROLISI

• DISTILLAZIONE• SEDIMENTAZIONE• AGITAZIONE• CENTRIFUGAZIONE

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questo caso il flusso di cariche elettriche definisce la densità di corrente i, che è il rapporto tra laintensità di corrente I (la portata di cariche elettriche) e la sezione del conduttore S. La causa delmovimento delle cariche elettriche è l’esistenza di una differenza di potenziale elettrico V, per cuila driving force è il gradiente di potenziale dV/dx (nel caso di un moto monodirezionale, altrimentiandrebbe considerato il gradiente tridimensionale ∇V), che definisce il campo elettrico E. in questocaso la costante di proporzionalità è la conduttività elettrica χ, che è appunto l’inverso dellaresistività elettrica ρ. Ricordando la prima legge di Ohm I = V/R (R = resistenza elettrica) e laseconda legge di Ohm R = ρl/S, abbiamo

dx

dVE

l

V

S

lS

V

SR

V

S

Ii χ−=

ρ=

ρ=

ρ=== 1

Per il trasporto delle nostre tre proprietà fisiche, abbiamo tre leggi empiriche del tuttoanaloghe all’espressione ricavata per le cariche elettriche.

Trasporto di calore: legge di Fourierdx

dTk−=xq k = conduttività termica

Trasporto di materia: legge di Fickdx

dcD−=xJ D = coefficiente di diffusione

Trasporto di quantità di moto: legge di Newtondx

d yxy

vη−=τ η = viscosità

Per il trasporto di calore, il flusso monodirezionale di energia lungo l’asse x, qx (misurato inJ m−2s−1) è dovuto all’esistenza di un gradiente di temperatura lungo il predetto asse x ed ilcoefficiente di proporzionalità è la conducibilità termica specifica o conduttività termica k. Per iltrasporto di materia, il flusso monodirezionale di materia lungo l’asse x, Jx (misurato in mol m−2s−1)è dovuto all’esistenza di un gradiente di concentrazione (questo processo si chiama diffusione) ed ilcoefficiente di proporzionalità è il coefficiente di diffusione o conduttività di materia D. Infine, peril trasporto della quantità di moto il flusso monodirezionale di quantità di moto lungo l’asse x, τxy

(misurato in N m−2, cioè l’unità di misura di una pressione) è dovuto all’esistenza di un gradiente,lungo l’asse x, per la velocità del fluido che si muove però in direzione y, per cui la velocità è vy. Inquesto caso il coefficiente di proporzionalità è la viscosità η. Si nota già una sensibile differenza trai primi due casi e quest’ultimo, per il quale il flusso ha bisogno di due indici (xy) e, d’altra parte,mentre la temperatura T e la concentrazione molare c sono delle grandezze scalari, la velocità v èuna grandezza vettoriale. Torneremo su questo aspetto in modo più preciso.

Come si può osservare, le tre leggi empiriche hanno la stessa formulazione matematica.Questa analogia matematica diventa più evidente, sempre limitandoci al caso di trasportomonodirezionale, se esprimiamo il flusso in funzione della concentrazione della proprietà che simuove. In questa fattispecie infatti, il flusso lungo l’asse x, Ψx, è legato al gradiente lungo l’asse xdella concentrazione della proprietà, ψ, dalla relazione generale

x∂ψ∂

δ−=Ψx

dove δ è la diffusività della proprietà in oggetto. Abbiamo usato le derivate parziali perché, in lineagenerale, il gradiente potrebbe essere tridimensionale.

Per quanto riguarda il trasporto di calore, la concentrazione di energia termica (che è laproprietà fisica che si muove) è ψ = ρcpT, dove cp è il calore specifico a p costante e ρ è la densità(cioè la massa per unità di volume). In questo caso, la diffusività termica α = k/ρcp. Per il trasportodi materia, la legge di Fick è già espressa in funzione della concentrazione di materia per cui la

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diffusività di materia è proprio D. Per quanto riguarda la quantità di moto, la concentrazione diquantità di moto è ψ = ρv e la diffusività risulta ν = η/ρ, detta viscosità cinematica.

Le tre leggi empiriche diventano quindi:

legge di Fourier( ) ( )

dx

Tcd

dx

Tcdck

pppx )/(=q

ρα−=ρ

ρ−

legge di Fickdx

dcD−=xJ

legge di Newtondx

d

dx

d )()( yyxy

vv ρν−=

ρ

ρη

−=τ

Riassumendo, abbiamo quindi:

Trasporto Flusso Unità Diffusività Gradiente concentrazionem2s−1 proprietà

Generale Ψ δ ∂ψ/∂x

Calore q J m-2 s-1 α ∂(ρcpT)/∂x

Materia J kmol m-2 s-1 D ∂c/∂x

Quantità di moto τxy N m-2 ν ∂(ρvy)/∂x

dove possiamo osservare che la diffusività si misura sempre in m2s−1, indipendentemente dallaproprietà fisica cui si riferisce.

Tutte le considerazioni fatte finora, riguardano il trasporto molecolare, ma bisogna ricordareche, oltre al trasporto con meccanismo molecolare, si può avere anche un contributo di trasportoconvettivo. Il contributo convettivo al trasporto di una proprietà fisica è dovuto al moto del sistema;è evidente che se il sistema si muove nello spazio si porta dietro tutte le sue proprietà fisiche,comprese quelle cui siamo interessati. Come vedremo più avanti, il flusso convettivo è sempre datodal prodotto della concentrazione della proprietà per la velocità U di moto del sistema (è abbastanzasemplice capire che questo prodotto rappresenta esattamente il flusso attraverso una sezionenormale alla direzione del vettore U). inoltre bisogna considerare la possibilità di ulteriori contributispecifici al trasporto di alcune di queste proprietà, legati all’esistenza di altri possibili meccanismidi trasporto. Ad esempio, per l’energia termica esiste il meccanismo dell’irraggiamento, cioè lapossibilità di trasportare energia mediante onde elettromagnetiche, che è un meccanismo sempreattivo, dato che tutti i corpi emettono radiazioni quando si trovano a T > 0 K, per cui, tra due corpi adiversa temperatura, anche molto lontani, ma in grado di “vedersi”, avviene sempre uno scambio dienergia per irraggiamento con un trasferimento netto dal corpo più caldo a quello più freddo. Ciòsignifica che, se si vuole evitare il trasferimento di energia, è necessario adottare adeguatiaccorgimenti. Nel caso di specie cariche elettricamente (tipicamente, gli ioni in soluzione) esisteanche il trasporto per migrazione, dovuto al moto impresso dalla presenza di un campo elettrico.

Un secondo aspetto che deve essere sottolineato riguarda il fatto che le leggi empirichepresentate finora riguardano casi di trasporto monodirezionale, cioè quando la proprietà fisica inquestione si muove lungo una sola direzione. Esistono però svariate situazioni nelle quali ifenomeni di trasporto assumono rilevanza tridimensionale. L’estensione delle leggi ai fenomenitridimensionali non è banale perché il flusso, come il gradiente, sono dei tensori, in particolare, nelcaso del trasporto di calore e di materia, in cui la driving force è legata ad una grandezza fisicascalare (rispettivamente T e c), il loro gradiente e, di conseguenza il flusso, sono tensori del primoordine (vettori), mentre per il trasporto di quantità di moto la grandezza fisica v è un vettore (cioèun tensore del primo ordine) per cui il gradiente e il flusso sono tensori del secondo ordine (osemplicemente tensori). E’ quindi chiaro che per i fenomeni tridimensionali l’analogia diventamolto meno rilevante, per lo meno tra trasporto di quantità di moto e gli altri due casi.

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Un terzo aspetto che merita di essere commentato riguarda il meccanismo del trasporto delleproprietà in esame che, come abbiamo già ricordato, per le leggi empiriche che stiamo considerandoè un meccanismo molecolare. La descrizione dei fenomeni di trasporto su base molecolarerisulterebbe però estremamente complicata (dato l’elevatissimo numero di particelle che dovrebberoessere considerate e la difficoltà di descrivere adeguatamente le interazioni tra di esse). Pertanto siassume che i sistemi nei quali avvengono i fenomeni di trasporto possano essere trattati come mezzicontinui all’interno dei quali si possono descrivere le proprietà fisiche in modo puntiforme.

Un ultimo aspetto riguarda le due diverse possibili situazioni in cui possono realizzarsi ifenomeni di trasporto. Possiamo avere un regime variabile o transitorio, caratterizzato da unavariabilità delle proprietà fisiche nel tempo (per cui la descrizione dei fenomeni deve considerareanche questa variabile). Ma è possibile avere anche un regime stazionario, caratterizzato dallacostanza delle proprietà fisiche nel tempo (in queste condizioni, la variabile tempo non viene quindiconsiderata). L’attenzione ad uno o l’altro dei regimi dipende dal tipo di fenomeno con il quale si haa che fare. Nel caso del trasporto della quantità di moto, ad esempio, il regime transitorio (che si haal momento di avvio di un processo) costituisce una piccola frazione dell’intero processo, cheavviene sostanzialmente sempre in regime stazionario. E’ evidente che in questo caso è inutilesprecare energie per studiare il regime variabile (che, avendo una variabile in più da considerare èsenza dubbio matematicamente più complicato), per cui ci si interessa quasi esclusivamente delregime stazionario.

Bilancio della proprietà

I fenomeni di trasporto coinvolgono delle grandezze fisiche per ciascuna delle quali vale unalegge di conservazione. Per il trasporto di materia vale la legge di conservazione della massa, chesi traduce in conservazione della materia (cioè del numero di moli), dato che non ci sono reazionichimiche nei processi di trasporto. Per l’energia, ovviamente vale la legge di conservazionedell’energia e per la quantità di moto vale la conservazione della quantità di moto.

Consideriamo per il momento il trasporto lungo l’asse x (che potrebbe essere il caso,frequente, di un trasporto monodirezionale oppure la visione parziale di un trasportotridimensionale) in un sistema di coordinate rettangolari (cartesiano). Prendiamo in considerazioneun elemento di volume di forma generica. Vedremo che la scelta dell’elemento di volume è unaspetto cruciale per l’impostazione di questi problemi, per cui si dovrà fare molta attenzione alladefinizione dell’elemento di volume, sia per quanto attiene alla sua forma geometrica che perquanto riguarda la sua dimensione e posizione all’interno del sistema. Per il momento limitiamoci adefinire il volume V, la lunghezza ∆x (tra x1 e x2), la superficie di base S1 normale all’asse x incorrispondenza della coordinata x1, la superficie di base S2 normale all’asse x in corrispondenzadella coordinata x2. Convenzionalmente si assume che la superficie a coordinata inferiore sia lasuperficie di ingresso della proprietà in esame, mentre la superficie a coordinata superiore sia lasuperficie di uscita.

Poiché per la proprietà in oggetto vale la legge di conservazione, all’interno dell’elemento divolume considerato dovrà essere soddisfatta la seguente equazione:

INGRESSO + GENERAZIONE = USCITA + ACCUMULO

Cioè la quantità di proprietà che entra nell’elemento di volume, più quella che vienegenerata al suo interno, deve essere uguale alla quantità di proprietà che esce più quella che rimanenell’elemento di volume, che costituisce quindi l’accumulo, ricordando che in regime stazionariol’accumulo è nullo. Il primo aspetto che va precisato è che le quantità in questione dipendono daltempo considerato per cui è necessario definire un tempo di riferimento: per semplicità ci riferiremosempre all’unità di tempo. In questo caso le quattro quantità: ingresso, generazione, uscita eaccumulo sono delle portate, cioè quantità di proprietà nell’unità di tempo.

L’ingresso viene espresso come prodotto del flusso in ingresso (Ψx)1 per la superficie di

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ingresso S1, così l’uscita è espressa come prodotto del flusso in uscita (Ψx)2 per la superficie diuscita S2. La generazione viene espressa come prodotto della generazione per unità di volume ψG

(cioè la concentrazione generata) per il volume V dell’elemento in considerazione. L’accumuloviene espresso come variazione della concentrazione nel tempo (∂ψ⁄∂t) per il volume V. Pertanto ilbilancio si traduce nella seguente equazione:

(Ψx)1•S1 + ψG•V = (Ψx)2•S2 + (∂ψ/∂ t)•V

dove Ψx (con psi maiuscolo) rappresenta il flusso lungo l’asse x della proprietà in esame, mentre ψ(psi minuscolo) rappresenta la concentrazione della stessa proprietà.

In molti casi la superficie di ingresso S1 è uguale alla superficie di uscita S2 (cioè l’elementodi volume è un parallelepipedo), per cui possiamo indicare con S questo valore comune; diconseguenza il volume V = S(x2 − x1). L’equazione diventa perciò:

(∂ψ/∂ t) − ψG = {[(Ψx)1 − (Ψx)2]S}/V(∂ψ/∂ t) − ψG = [(Ψx)1 − (Ψx)2]/[x2 – x1]

al limite dV = S dx [(Ψx)1 − (Ψx)2]/[x2 – x1] − (∂Ψx /∂ x)

(∂ψ/∂ t) − ψG = − (∂Ψx /∂ x)

Lo stesso risultato si può ricavare con un procedimento più analitico, di validità generale,sfruttando la possibilità di applicare l’espansione in serie di Taylor. Data una generica funzionef(x) (continua e monotona nell’intervallo a-x, che possa essere derivata un numero infinito di volte),il valore della funzione per x = x è espresso dalla seguente serie di Taylor, dove f ', f ", ecc. sonorispettivamente la derivata prima, derivata seconda, ecc.:

f(x)

f(a) f(x)

R+)(fn!

)(+...+)("f

2!

)(+)('f

1!+)f(=)f( n

n2

ax-a

ax-a

ax-a

ax

a x x

Se (x – a) è piccolo (al limite, infinitesimo), la serie può essere troncata al termine di primogrado, per cui:

f(x) = f(a) + (x − a)f '(a)e, al limite, per (x – a) = dx,

f(x) = f(a) + f '(a)dx.

Possiamo quindi applicare l’espansione in serie di Taylor al flusso Ψx:

(Ψx)2 = [(Ψx)1 + (∂Ψx/∂ x)(x2 – x1)]

(Ψx)2 = [(Ψx)1 + (∂Ψx/∂ x)dx]

per cui l’equazione di Bilancio, per un trasporto monodirezionale, in un elemento di volume asezione costante, diventa:

xt ∂Ψ∂

−=ψ−∂ψ∂ x

G

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Nel caso in cui l’elemento di volume non fosse a sezione costante (ovviamente non per unabizzarria dell’operatore, ma perché il sistema in esame è fatto in tal modo), la semplificazione fattanon è più lecita, per cui l’equazione di Bilancio rimane:

(∂ψ/∂ t) − ψG = [(Ψx)1•S1 − (Ψx)2•S2]/V

e, in questo caso, l’espansione in serie di Taylor va applicata al prodotto Ψx•S:

(Ψx)2•S2 = (Ψx)1•S1 + [∂(ΨxS)/∂x](x2 – x1) = (Ψx)1•S1 + [∂(ΨxS)/∂x]dx

per cui si ricava la seguente espressione:

x

S

St ∂Ψ∂

−=ψ−∂ψ∂ • )(1 x

G

Per quanto riguarda il flusso Ψx, evidentemente si tratta del flusso totale della proprietà inoggetto. Tale flusso è dato, in linea generale, da due contributi: il contributo del trasportomolecolare, per il quale vale la legge empirica relativa

Ψx, m = − δ (∂ψ/∂x)

ed il contributo del trasporto convettivoΨx, c = ψ Ux

dove Ux è la velocità media di massa (o molecolare) del fluido convettivo. Come già accennato, laconvezione è legata al fatto che il sistema sia in moto rispetto all’elemento di volume considerato;in altri termini, l’elemento di volume in esame è generalmente fisso nello spazio per cui, se abbiamoa che fare con un sistema in moto, come ad esempio un fluido che si muove in un condotto, ilsistema attraversa l’elemento di volume nel tempo oggetto di osservazione (che, per convenzioneabbiamo assunto essere un secondo), per cui contribuisce a portare dentro all’elemento di volume(attraverso la sezione di ingresso il fluido che entra) e fuori dall’elemento di volume (attraverso lasezione di uscita per il fluido che esce) una certa quantità di proprietà. Il flusso convettivo di unaproprietà fisica è dato sempre dal prodotto della concentrazione ψ della proprietà, per la velocità dimovimento del sistema Ux.

Il flusso totale (sempre limitandoci al caso monodirezionale, o come componente del casotridimensionale) è dato quindi da:

Ψx = Ψx, m + Ψx, c = − δ(∂ψ/∂ x) + ψ Ux

Nell’equazione di Bilancio compare la derivata del flusso rispetto a ∂ x, che consiste quindidi due contributi:

(∂Ψx /∂x) = ∂ (Ψx, m + Ψx, c)/∂x =( )

x

Ux

xx ∂ψ∂+

∂ψ∂

δ−∂∂

per cui l’equazione di Bilancio diventa:

(∂ψ/∂t) − ψG = −( )

∂ψ∂+

∂ψ∂

δ−∂∂

x

Ux

xx

e, nel caso (abbastanza generale) in cui δ sia costante, si riduce a:

( )x

U

xt

x

∂ψ∂

−∂ψ∂

δ=ψ−∂ψ∂

2

2

G

ACC. GEN. MOL. CONV.

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dove, il primo termine rappresenta l’accumulo (per unità di volume); il secondo termine rappresentala generazione (per unità di volume); il terzo termine rappresenta il saldo netto, tra ingresso eduscita, del trasporto molecolare (per unità di volume) e l’ultimo termine rappresenta il saldo nettodel trasporto convettivo. Va sottolineato che, nel caso del trasporto della quantità di moto, lavelocità Ux di moto del sistema è proprio la velocità vx, che origina la quantità di moto (e checompare nella concentrazione ψ).

Se non c’è convezione, l’ultimo termine è nullo per cui, sempre a δ costante, l’equazione diBilancio diventa:

2

2

Gxt ∂ψ∂

δ=ψ−∂ψ∂

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TRASPORTO DI QUANTITA’ DI MOTO

Viscosità dei fluidi

Il fenomeno del trasporto della quantità di moto, che avviene all’interno di un fluido, èlegato alle particolari proprietà dei fluidi reali, che vengono indicate in modo del tutto generico conil termine di resistenza interna allo scorrimento dei filetti fluidi. Un fluido in movimento può esseredescritto come un fascio di filetti fluidi che si muovono lungo la direzione del moto macroscopico.In questa situazione di movimento i vari filetti fluidi scorrono, sia gli uni sugli altri che sulle paretidel condotto/contenitore del fluido stesso. Se i filetti fluidi si muovono sempre parallelamente alladirezione del moto, senza mai intrecciarsi, si parla di regime laminare del moto; viceversa se ifiletti si muovono in tutte le direzioni dello spazio, per cui si intersecano e si mescolano, purrealizzando un moto macroscopico risultante anche solo monodirezionale, si parla di regimeturbolento del moto.

Per un fluido perfetto, tale scorrimento dei vari filetti fluidi non incontra alcuna resistenzameccanica, questo fa si che il moto sia sempre laminare per cui tutti i filetti fluidi si muovonoparallelamente e con la stessa velocità e, in particolare, scorrono senza alcun attrito anche sullepareti del condotto.

Un fluido reale presenta invece una resistenza interna non nulla che ostacola loscorrimento di un filetto su un altro e, in particolare, lo scorrimento di un filetto fluido sulle paretidel condotto. A causa di questa resistenza interna la velocità dei diversi filetti fluidi all’interno di uncondotto non è più uguale. Infatti, i filetti fluidi (cioè lo strato di fluido) adiacenti ad una paretesolida (del condotto o di una qualsiasi fase solida) si muovono esattamente con la stessa velocitàdella parete per il principio di aderenza, per cui avranno velocità nulla se la parete è ferma (comesono le pareti del condotto) oppure avranno velocità v = v0 se la parete si muove con velocità v0.

Questa proprietà dei fluidi reali è stata messa in evidenza dall’esperienza di Searle.Abbiamo un cilindro cavo di raggio interno r',riempito con un fluido (ad esempio acqua), chepuò ruotare attorno al proprio asse con unavelocità angolare ω costante, cui corrisponde lavelocità tangenziale v'. In questo cilindro èpossibile immergere un cilindro più piccolo diraggio esterno r, variando a piacere la profonditàdi immersione h; questo cilindro è appeso ad unafune di torsione, che ne impedisce la rotazione,dato che una qualsiasi rotazione di un angolo ϕproduce un momento resistente M = −kϕ, che sioppone alla rotazione. Partendo da unacondizione di riposo, in cui i due cilindri ed ilfluido nell’intercapedine sono fermi, mettiamoin rotazione il cilindro esterno, con velocitàtangenziale costante v'. Se il fluido fosse ideale,

il cilindro esterno ruoterebbe tranquillamente, mentre il fluido ed il cilindro interno continuerebberoa restare fermi nella posizione di riposo. Quello che invece Searle ha constatato è che il fluidocomincia a mettersi in moto rotatorio attorno all’asse comune dei due cilindri, a cominciare daglistrati adiacenti alla parete interna del cilindro esterno, che genera il loro movimento, e questo motorotatorio si propaga, un po’ alla volta, agli strati più interni finché tutto il fluido ruota assieme alcilindro esterno. Questo moto rotatorio del fluido viene trasmesso anche al cilindro più interno ilquale tenderebbe a mettersi a ruotare come il resto del sistema, ma il cavo di torsione glieloimpedisce, dato che subisce una torsione di un angolo ϕ, generando un momento che si oppone al

r'r ϕ

h

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moto rotatorio, pari appunto a M = −kϕ, il che significa che, nelle condizioni descritte, sul cilindrointerno agisce un momento rotante uguale e contrario, generato da una forza tangenziale allasuperficie laterale.

L’esecuzione di una serie di esperienze di questo tipo, ha dimostrato che l’angolo ϕ e,quindi, in ultima analisi il momento rotante, risulta direttamente proporzionale alla velocitàtangenziale v' del cilindro esterno (che in realtà significa proporzionale al ∆v, dato che la velocità dirotazione del cilindro interno è v = 0), alla profondità di immersione h del cilindro interno (cioè allasuperficie laterale bagnata S), al raggio r del cilindro interno e inversamente proporzionale allospessore dell’intercapedine (∆r = r' – r). Questo significa che la forza tangenziale f agente sulcilindro interno, che dà origine al momento rotante, è data da:

dr

ddSdf

rS

r

k

rf

vvη=

∆∆

η=ϕ== M

dove abbiamo indicato con η la costante di proporzionalità. La seconda espressione è in terminidifferenziali, sia per quanto riguarda la forza agente in relazione alla superficie bagnata, che perquanto riguarda la differenza di velocità in relazione allo spessore dell’intercapedine. La costante diproporzionalità η, caratteristica del fluido presente nell’intercapedine, viene definita viscosità (opiù precisamente viscosità dinamica).

La situazione dell’esperienza di Searle può essere descritta, in prima approssimazione, da unsistema più semplice costituito da un fluido posto come intercapedine tra due lastre piane paralleledi dimensione molto grande (teoricamente infinita) rispetto alla loro distanza, per cui possiamotrascurare gli effetti di bordo (se le lastre fossero infinite i bordi non esisterebbero). In effetti, se ladistanza ∆r tra i due cilindri fosse molto piccola (infinitesima) la corona cilindrica di fluidonell’intercapedine tra i due cilindri sarebbe del tutto assimilabile allo strato di fluido compreso tra ledue lastre piane e le due superfici laterali dei cilindri potrebbero essere equiparate alle duesuperficie delle lastre piane, dato che: la differenza di dimensione sarebbe trascurabile e lacurvatura sarebbe inapprezzabile rispetto allo spessore. La situazione può quindi essere descritta nelseguente modo:

v'

v' f∆z

0 0 0t = 0 regime variabile regime stazionario

dove lo spessore ∆z corrisponde al ∆r di Searle e la superficie delle due piastre S corrisponde allasuperficie laterale 2πrh del cilindro interno di Searle. Fino all’istante t = 0, le due lastre sono instato di quiete, come pure il fluido; il profilo delle velocità è costante sul valore 0 per tutto ilsistema.

Supponiamo ora di mettere in moto lungo l’asse x la lastra superiore, con una velocitàcostante v' (che è lo stesso che avere la rotazione del cilindro esterno con una velocità tangenzialev'). Per il principio di aderenza lo strato di fluido adiacente a questa lastra, si metterà in moto lungola stessa direzione con la stessa velocità v', proprio perché il fluido è reale e, quindi, l’attrito tra lasuperficie solida e i filetti fluidi adiacenti li tiene “incollati” alla superficie stessa. Questo strato difluido tende a scorrere sullo strato sottostante, che è fermo, ma, sempre per effetto dell’attritointerno, comincerà a trascinare nello stesso moto lungo l’asse x lo strato sottostante, che si muoveràperò con velocità inferiore, perché è un po’ frenato dallo strato sottostante; d’altra parte essotrascinerà nel moto quello sottostante, che farà altrettanto nei confronti di quello sottostante, e cosìvia. Un po’ alla volta tutti gli strati di fluido si metteranno in moto fino ad arrivare all’ultimo strato,che sarà pure esso fermo per il principio di aderenza, essendo adiacente alla lastra inferiore, che è

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bloccata (come lo era la superficie del cilindro interno dal cavo di torsione).Il periodo di tempo necessario per arrivare a mettere in moto tutti gli strati costituisce il

periodo transitorio nel quale il moto del fluido è caratterizzato dal cosiddetto regime variabile, cioèdalla situazione in cui la velocità dei filetti fluidi, misurata in uno specifico punto dello spazio, varianel tempo. Una volta che tutti gli strati di fluido si sono messi in moto, le velocità degli stessiassumono un profilo di distribuzione caratteristico del sistema e, se non cambiano le condizioniesterne, le velocità rimangono costanti nel tempo: questa situazione definisce il cosiddetto regimestazionario. Peraltro va sottolineato che regime stazionario non significa affatto che tutti i filettifluidi abbiano la stessa velocità, anzi, come si può osservare in figura, il profilo di distribuzionedelle velocità mostra una variazione lineare dal valore v' a zero, man mano che si scende dalla lastrasuperiore, in moto, a quella inferiore, ferma.

Normalmente il regime variabile dura per una frazione modesta del processo in esame, chesi manifesta sostanzialmente come regime stazionario. Per tale motivo ci interesseremoesclusivamente a situazioni in regime stazionario, per le quali le velocità in ogni punto del sistemasono costanti nel tempo.

Per mantenere il regime stazionario, cioè la velocità costante v' per la lastra superiore, ènecessario che su tale lastra operi costantemente una forza f (di modulo f e direzione x), altrimentil’attrito degli strati sottostanti (a partire dalla lastra inferiore ferma) finirebbe per rallentareprogressivamente quelli superiori fino a fermarli. Il rapporto tra il modulo della forza f e lasuperficie della lastra S risulta proporzionale al gradiente di velocità (∆v/∆z):

f /S = η (∆v/∆z) df = η dS (dv/dz)

Il rapporto tra forza agente e superficie (ha le dimensioni di una pressione) si definiscesforzo e rappresenta, appunto, la forza tangenziale per unità di superficie che mantiene in moto convelocità costante il fluido reale. Ma questo stesso rapporto costituisce anche il flusso della quantitàdi moto che passa da uno strato ad un altro (ricordando che flusso significa quantità di proprietà,cioè quantità di quantità di moto, che attraversa una sezione unitaria nell’unità di tempo). In effettiquando la lastra superiore viene messa in moto, a causa dell’attrito trasferisce una parte della suaquantità di moto allo strato sottostante, che ne trasferisce parte a quello sottostante, e via di seguito.Ciascuno strato si mette in moto con un moto accelerato, durante il regime variabile, finché sirealizza l’equilibrio tra la quantità di moto che riceve dallo strato superiore e quella che cede allostrato inferiore. A questo punto si è instaurato il regime stazionario, nel quale le velocità rimangonocostanti perché si ha un continuo trasferimento di quantità di moto dalla lastra superiore a quellainferiore, che rimane ferma perché è bloccata (e quindi assorbe tutta la quantità di moto che riceve).

Il flusso di quantità di moto è proprio:

df/dS = τzx = − η (dvx/dz)

che è la legge di Newton, ed è un flusso τzx cioè un flusso di quantità di moto lungo l’asse z, dovutoal fatto che la componente vx della velocità del fluido varia, appunto, lungo l’asse z. In particolare,poiché la velocità cresce nel verso positivo di z (dal basso verso l’alto), il flusso di quantità di motorisulta negativo perché la quantità di moto passa dagli strati superiori a quelli inferiori, cioè il flussova nel verso negativo dell’asse z. Questo trasferimento di quantità di moto da uno strato all’altro,per il quale vale la legge di Newton, avviene con il cosiddetto meccanismo molecolare. Ciòsignifica che il trasferimento della quantità di moto avviene per la struttura molecolare dellamateria: le molecole, dotate di una propria quantità di moto, si muovono caoticamente in tutte ledirezioni dello spazio, anche quando il fluido è in moto lungo una direzione specifica. E’ evidenteche ci saranno molecole presenti in un filetto fluido o uno strato più veloce che passeranno ad unostrato più lento e viceversa; ciò comporta un arricchimento in quantità di moto dello strato più lentoed un impoverimento in quantità di moto dello strato più veloce, per cui c’è un trasferimento nettodi quantità di moto dagli strati più veloci a quelli più lenti. Oltre a questo trasferimento esiste la

12

possibilità di cessione per urti tra la molecole, per cui ancora succede che la molecola più velocecede quantità di moto a quella più lenta. Infine esiste un contributo al trasferimento dovuto alleinterazioni intermolecolari.

La viscosità η si misura in Poise:

[η] = Poise = g cm-1 s-1 = 10-1 Kg m-1 s-1

che però è un’unità molto grande, per cui viene normalmente utilizzato il sottomultiplo centipoise.Come abbiamo già detto, oltre alla viscosità dinamica η viene utilizzata la viscosità cinematica ν:

[ν] = [η/ρ] = m2 s-1

La viscosità η dipende sia dalla temperatura T (in modo più importante) che dalla pressionep (anche se in modo meno rilevante). Per ricavare il valore di η si usano delle curve di lavorotecniche che derivano dalla legge degli stati corrispondenti. Si tratta quindi di diagrammi cherelazionano il valore della viscosità ridotta ηr alla temperatura ridotta Tr = T/Tc, con curveparametriche in funzione della pressione ridotta pr = p/pc. Un’altra possibilità è quella di utilizzareper i gas diagrammi della viscosità relativa η* = η/η°, dove η° è il valore della viscosità a pressioneatmosferica, in funzione della pressione ridotta pr = p/pc, con curve parametriche in funzione dellatemperatura ridotta Tr.

E’ importante sottolineare che per i liquidi η diminuisce all’aumentare della temperatura,mentre per i gas η aumenta all’aumentare della temperatura.

Abbiamo visto che il trasferimento molecolare di quantità di moto è disciplinato dalla leggedi Newton. In realtà non tutti i fluidi seguono la legge di Newton, per la quale si assume,naturalmente, che la viscosità η sia una costante (cioè indipendente dal gradiente dvx/dz), per cui siparla di fluidi newtoniani quando tale legge è verificata. Casi tipici di fluidi newtoniani sono i gase i liquidi semplici, cioè liquidi costituiti da molecole semplici.

Ci sono però molti fluidi che non seguono la legge di Newton, quelli che genericamentevengono definiti “matrici complesse” (paste, creme, asfalti, polimeri, ecc.). In effetti i fluidi nonnewtoniani costituiscono una varietà di fluidi che va dalla situazione estrema dei fluidi newtoniani,

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da una parte, a quella dei solidi elastici, dall’altra. La scienza che studia le proprietà viscose edelastiche dei fluidi è la reologia, che fornisce informazioni molto importanti, non solo sulleproprietà meccaniche macroscopiche, ma anche sulle interazioni intermolecolari.

Per i fluidi non newtoniani il flusso della quantità di moto viene descritto attraverso unalegge simile a quella di Newton

dz

d xzx =

vµ−τ

dove il coefficiente µ è funzione del gradiente di velocità (dvx/dz). Esistono diversi modelli empiriciper esprimere µ in funzione di (dvx/dz), in modo da poter elaborare matematicamente l’equazione ericavare la legge del moto.

Le possibili relazioni di µ con (dvx/dz) portano a classificare i fluidi in due grandi famiglie: ifluidi pseudoplastici per i quali µ diminuisce all’aumentare di (dvx/dz), mentre per i fluididilatanti µ aumenta all’aumentare di (dvx/dz).

FLU ID IN EW T O N IA N I

SO LID IE LA STIC I

F L U ID I

N O N

N E W T O N IA N I

14

FENOMENI DI TRASPORTO DI QUANTITA’ DI MOTO

Come abbiamo accennato, trattare il fenomeno del trasporto della quantità di moto significastudiare il moto dei fluidi. In effetti, abbiamo visto che si ha trasferimento di quantità di motoall’interno di un fluido, ovviamente, quando il fluido è, per un qualche motivo, in moto; in questasituazione, la viscosità (resistenza interna al moto) provoca una differenza di velocità tra i diversifiletti fluidi ed un continuo trasferimento di quantità di moto dai filetti fluidi più veloci a quelli piùlenti e, dai filetti fluidi adiacenti alle pareti ferme dei condotti alle pareti stesse, tanto che tali filettiadiacenti sono anch’essi fermi per il principio di aderenza.

I casi che considereremo riguardano diverse situazioni di moto dei fluidi che, in primaistanza, considerano la condizione di moto laminare, per la quale il trasporto molecolare diquantità di moto avviene per il passaggio di molecole tra un filetto ed un altro, senza averemescolamenti macroscopici. Come vedremo successivamente, nel moto turbolento il trasportomolecolare avviene anche, anzi soprattutto, per il mescolamento dei filetti fluidi. Inoltre cilimiteremo a considerare la situazione del regime stazionario, dato che, come abbiamo accennato,il regime transitorio costituisce una parte generalmente poco rilevante del processo in esame. Infine,considereremo il moto del fluido lungo la sola direzione x, cui corrisponde il trasporto molecolaredi quantità di moto lungo una direzione ortogonale all’asse x; questo ci consente di utilizzare ilsegno di derivata totale, anche se si tratterebbe di derivate parziali, ma le altre componenti sononulle.

Moto indotto da una lastra piana

Consideriamo per primo il caso già descritto come approssimazione dell’esperienza diSearle e cioè il moto di un fluido compreso tra due lastre piane orizzontali “infinite”, indotto dalmoto traslazionale uniforme della lastra superiore. Le lastre si assumono di dimensione infinita,cioè di area molto grande rispetto allo spessore dell’intercapedine, per poter trascurare gli effetti aibordi.

Definiamo innanzi tutto il sistema (questo è sempre il passaggio iniziale per affrontareun problema di trasporto). Il sistema è costituito da un parallelepipedo di fluido compreso tra duelastre piane parallele di superficie molto grande, disposte orizzontalmente. La forma del sistemainduce immediatamente a scegliere come riferimento un sistema di coordinate rettangolari(cartesiane) (x,y,z). Il fluido si muove lungo l’asse x (per effetto del moto lungo tale asse della lastrasuperiore, che si muove con velocità vx costante pari a v0). L’asse verticale è l’asse z, rivolto versol’alto e con l’origine in corrispondenza della lastra inferiore . Il terzo asse è l’asse y, che non rivesteparticolare importanza, poiché la grande estensione delle lastre rende il sistema indifferente allaparticolare posizione y, dato che lungo l’asse y non si ha alcuna variazione delle proprietàmeccaniche del fluido.

Consideriamo poi le proprietà del sistema (questo è sempre il secondo passaggio):trattiamo una situazione a temperatura costante e, come già anticipato, in regime stazionario.Supponiamo inoltre di avere a che fare con un fluido incompressibile, cioè a densità ρ costante(questo è ragionevolmente vero per i liquidi, ma può essere accettabile anche per i gas). Infine,ammettiamo di avere a che fare con un fluido newtoniano, per cui η è indipendente dal gradiente divelocità e, essendo a T costante, risulta essere costante.

A questo punto bisogna capire qual è il processo (fenomeno di trasporto) che avviene. Inquesto caso lo abbiamo già descritto precedentemente: il moto della lastra superiore lungo l’asse x,provoca via via un movimento lungo lo stesso asse di tutti gli strati di fluido, a partire da quelloimmediatamente inferiore, adiacente alla lastra (che si muoverà con la stessa velocità v0 per ilprincipio di aderenza), a quello più in basso di tutti (che resterà fermo come la lastra sottostante,sempre per il principio di aderenza). Dopo il periodo transitorio, caratterizzato da un regimevariabile, le velocità dei vari strati si assesteranno al valore costante che realizza l’equilibrio tra la

15

quantità di moto che ricevono dallo strato soprastante e quella che trasferiscono allo stratosottostante, realizzando così il regime stazionario, che è quello al quale siamo interessati. In questacondizione, le velocità non variano più nel tempo, tutto il fluido si muove lungo l’asse x, convelocità vx diverse a seconda del livello z dello strato di fluido, mentre non vi è alcuna variazionedella velocità né lungo x, né lungo y, date le dimensioni estese delle lastre. E’ facilmentecomprensibile che in questa situazione di regime stazionario, avremo un flusso molecolare diquantità di moto, τzx, solo lungo l’asse z, poiché il fluido è dotato di una velocità vx che varia,appunto, lungo z. Il nostro obiettivo è ricavare la legge del moto, cioè la legge di distribuzione dellevelocità vx, grazie al bilancio della quantità di moto.

Qui si pone la questione fondamentale: come abbiamo illustrato, il bilancio della proprietàsi effettua all’interno di un elemento di volume. Pertanto è necessario definire accuratamentel’elemento di volume nel quale effettuare poi il bilancio. Si tratta di una scelta cruciale che deveessere fatta con attenzione, se non si vuole complicare l’elaborazione matematica del bilancio.L’elemento di volume deve avere innanzi tutto una forma geometrica coerente con il sistema inesame; in questo caso non ci sono grosse difficoltà a capire che deve trattarsi di un parallelepipedo,dato che il sistema ha appunto questa forma. In secondo luogo bisogna definire le dimensionidell’elemento di volume, avendo attenzione alla direzione lungo la quale si muove la proprietà inesame (che, in questo caso è la quantità di moto, non il fluido). Rispetto alla direzione dimovimento della proprietà in esame, l’elemento di volume deve essere totalmente interno alsistema ed è consigliabile che sia di dimensione infinitesima. Rispetto alle altre due dimensioni,lungo le quali non c’è trasporto della proprietà (dato che stiamo trattando casi di trasportomonodirezionale delle proprietà), la scelta delle dimensioni è del tutto arbitraria (per cui potrebberoessere scelte le stesse dimensioni del sistema o dei valori generici).

Per il problema in oggetto scegliamo quindi un elemento di volume a forma diparallelepipedo, di lunghezza arbitraria ∆x, tra x1 e x2; di larghezza arbitraria ∆y, che potrebbeessere anche unitaria (ma non ha alcuna importanza) e di altezza infinitesima dz, tra z e z + dz, con zche può variare tra 0 e s (quindi totalmente interno al sistema, essendo s lo spessore del fluido, cioèla distanza tra le due lastre). Definito così l’elemento di volume, si devono definire le condizioni ailimiti per la nostra proprietà, cioè per la driving force del trasporto in esame (in questo caso ladriving force è la velocità del fluido vx). In questo caso avremo due condizioni ai limiti dove vale ilprincipio di aderenza: in corrispondenza di z = 0 (vx = 0) ed in corrispondenza di z = s (vx = v0).

Riassumendo, il problema può essere così rappresentato:z

y v0

z = sz + dzz ∆y (= 1)

z = 0x1 ∆x x2 x

T = costregime stazionario: vx e dvx /dz indipendenti da tρ = costante (fluido incompressibile)η indipendente da dvx /dz (fluido newtoniano)(z = 0 v = 0) e (z = s v = v 0) (principio di aderenza)

All’interno dell’elemento di volume definito, possiamo impostare quindi il BILANCIO PER

LA QUANTITÀ DI MOTO:

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INGRESSO + GENERAZIONE = ACCUMULO + USCITA

Ricordiamo che le quattro quantità su indicate sono delle portate, cioè quantità dellaproprietà (quantità di moto) nell’unità di tempo. Per quanto riguarda l’INGRESSO, abbiamo duecontributi: la quantità di moto entra nel nostro elemento di volume per trasporto molecolare, che laporta a muoversi lungo l’asse z, attraverso una delle due superfici orizzontali. Innanzi tutto varicordato che, convenzionalmente si assume che la superficie di ingresso sia quella a coordinatainferiore; in questo caso è quindi quella a z, mentre la superficie di uscita è quella a z + dz, entrambedi area ∆x∆y. In secondo luogo, la quantità di proprietà che attraversa una superficie nell’unità ditempo è data dal prodotto del flusso (normale alla superficie) per l’area della superficie stessa; inquesto caso il flusso normale alla superficie è τzx, misurato a z, per cui l’INGRESSO MOLECOLARE èτzx|z∆x∆y = − η(dvx/dz)z∆x∆y, per la legge di Newton. Va peraltro sottolineato che non esistono altriingressi molecolari poiché gli altri flussi possibili τxx = − η(dvx/dx)x1 e τyx = − η(dvx/dy)y1 sononulli, dato che vx non dipende né da x né da y.

Oltre all’ingresso molecolare abbiamo però anche un ingresso dovuto al trasportoconvettivo; infatti, nel tempo (unitario) di osservazione per il bilancio, il fluido si muove lungol’asse x (mentre il nostro elemento di volume è fermo nello spazio), per cui una certa quantità difluido entrerà nell’elemento di volume, attraverso la sezione ortogonale all’asse x, posta a x1,portandosi dentro la sua quantità di moto, che è appunto il contributo convettivo. Il flusso diquantità di moto che entra per convezione è data dal prodotto della sua concentrazione ψ per lavelocità del sistema, cioè la velocità vx del fluido. La concentrazione di quantità di moto è laquantità di moto per unità di volume, ma poiché la quantità di moto è data dal prodotto mv = mvx

(dato che la velocità ha solo la componente vx), nell’unità di volume la massa presente è la densitàρ, per cui ψ = ρvx e quindi, l’INGRESSO CONVETTIVO, prodotto del flusso per l’area della sezione diingresso, vale (ρvx|x1)vx|x1∆ydz = ρ(vx|x1)

2∆ydz.Per quanto riguarda l’USCITA, con considerazioni del tutto analoghe a quelle appena fatte per

l’ingresso, abbiamo l’USCITA MOLECOLARE attraverso la superficie orizzontale a z + dz, che valeτzx|z+dz∆x∆y = − η(dvx/dz)z+dz∆x∆y. Non ci sono altri contributi molecolari all’uscita di quantità dimoto, mentre c’è un contributo convettivo attraverso la sezione a x2, dato che, nel tempo diosservazione una certa quantità di fluido esce dalla sezione ortogonale all’asse x a x2, portando fuoridall’elemento di volume la sua quantità di moto. L’USCITA CONVETTIVA vale (ρvx|x2)vx|x2∆ydz =ρ(vx|x2)

2∆ydz. Se l’elemento di volume è, come in questo caso, a sezione costante lungo la direzionedel moto del fluido (perché così è il sistema), vx non varia lungo x per cui la quantità di moto cheentra per convezione è esattamente uguale a quella che esce, sempre per convezione: il contributoconvettivo è nullo.

Per quanto riguarda la GENERAZIONE, abbiamo già detto che si esprime come prodotto dellagenerazione per unità di volume, cioè la concentrazione generata ψG, per il volume V = ∆y∆xdzdell’elemento in considerazione. La generazione per unità di volume è data da due contributi:l’eventuale gradiente di pressione interna al fluido − (dp/dx) (che può esserci se c’è un qualchesistema di pompaggio per il fluido stesso) e l’eventuale contributo della forza di gravità ρg (lungo ladirezione del moto del fluido, per cui in questo caso sarebbe ρgx):

ψG = [− (dp/dx) + ρgx]

In questo caso, non c’è alcun gradiente di pressione interna, dato che il moto del fluido èindotto dal movimento della lastra superiore e non da pompaggio. D’altra parte, non c’è neanchecontributo gravitazionale, dato che il moto avviene lungo l’asse orizzontale x, per cui la componentedell’accelerazione di gravità gx lungo tale asse è nulla. Quindi la generazione è nulla.

Infine, per quanto riguarda l’ACCUMULO, abbiamo già anticipato che, in regime stazionariol’accumulo è nullo, dato che la velocità e quindi anche la concentrazione della quantità di moto,non variano nel tempo. Infatti, l’accumulo è definito da (∂ψ/∂t) = (∂(ρvx)/∂t) = ρ(∂vx/∂t) = 0.

17

Il bilancio si riduce quindi a:INGRESSO = USCITA

INGRESSO − USCITA = 0Riassumendo:

INGRESSO molecolare: τzx|z∆y∆x = − η(dvx/dz)z∆y∆x (τxx|x1 = 0)INGRESSO convettivo: (ρvx|x1)vx|x1∆ydzGENERAZIONE: ψG V= [− (dp/dx) + ρgx] V = 0ACCUMULO: ρ(∂vx/∂t) = 0USCITA molecolare: τzx|z+dz∆y∆x = − η(dvx/dz)z+dz∆y∆x (τxx|x2 = 0)USCITA convettiva: (ρvx|x2)vx|x2∆ydz

Il bilancio quindi diventa:

0xx =

η+

η−

+dzzz dz

d

dz

d vv

dove possiamo applicare l’espansione in serie di Taylor per ricavare il valore di (dvx/dz)z+dz infunzione di (dvx/dz)z:

dzdz

d

dz

ddz

dz

d

dz

d

dz

dzdzz

dz

zdz

dz

ddzz

dz

dz

+

=

+

=−+

+=

=+

=

+2x

2

z

xx

z

x

zdzz

x

z

x

)()(f

)(f)(f

)(f

vvvvv

v

pertanto il bilancio diventa:

0

00

z2

x2

z2

x2

z2

x2

z

x

z

x

=

=

η=

+

η+

η−

dz

d

dzdz

ddz

dz

d

dz

d

dz

d

v

vvvv

che è una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine molto semplice. Infatti, l’integralegenerale è immediato: se la derivata seconda è nulla, la derivata prima deve essere una costante, percui la funzione f(z) è una funzione di primo grado (equazione di una retta):

vx = a + b z

le due costanti a e b, si ricavano dalle due condizioni ai limiti:

z = 0 vx = 0 a = 0 z = s vx = v 0 b =s0v

= ∆vx/∆z

vx =s0v

z

trovata la legge delle velocità (si vede che la velocità varia linearmente con z) si può quantificare ilflusso della quantità di moto:

τzx = − η(dvx/dz) = − ηs0v

che risulta costante e negativo, poiché la quantità di moto va dall’alto verso il basso, cioè nel versonegativo di z.

18

La soluzione del problema poteva essere ricavata direttamente senza bisogno di quantificarei vari contributi, partendo dall’EQUAZIONE DI BILANCIO:

zt ∂Ψ∂

−=ψ−∂ψ∂ z

G

ricordando che siamo in un caso a sezione costante per il flusso della quantità di moto (la sezione è∆y∆x), che non c’è contributo convettivo lungo l’asse z (e quello lungo l’asse x si annulla) e che ladiffusività δ = (η/ρ) è costante. L’equazione di Bilancio diventa quindi:

( )222 zzzzzt ∂

∂η=

∂ρ∂

ρη=

∂ψ∂

δ=∂τ∂

−=∂Ψ∂

−=ψ−∂ψ∂ x

2x

22zxz

G

vv

(∂ψ/∂t) = 0 ψG = 0

Si può lavorare sia con il flusso τzx che con la velocità vx. Con il flusso abbiamo:

(∂Ψz/∂z) = (∂τzx/∂z) = ∂/∂z [−η (∂vx /∂z)] = −η [∂2vx /∂z2] = 0

mentre con la velocità abbiamo:

δ(∂2ψ/∂z2) = (η/ρ)[∂2(ρvx) /∂z2] = η [∂2vx /∂z2] = 0

in ogni caso si arriva alla stessa equazione differenziale finale:

∂2vx /∂z2 = d2vx /dz2 = 0

dove possiamo usare il segno di derivata totale, dato che vx è l’unica componente della velocità delfluido e dipende solo da z.

Il problema del bilancio della quantità di moto, e quindi del moto del fluido, può essereimpostato anche come composizione delle forze che agiscono sull’elemento di volume in esame. Ineffetti, come abbiamo accennato, il tensore τzx può essere trattato, come abbiamo fatto finora, comeun flusso della quantità di moto lungo l’asse z, cioè attraverso la superficie ortogonale a tale asse.Ma può essere interpretato anche come uno sforzo tangenziale alla stessa superficie, diretto lungol’asse x; ciò significa che sull’elemento di volume agisce una forza f = τzx•∆y∆x, che tenderebbe afar muovere l’elemento di volume lungo l’asse x. Chiaramente, in regime stazionario, il bilanciodelle forze agenti deve dare una risultante nulla. Per impostare il bilancio di forze è necessariodefinire convenzionalmente il verso dello sforzo: si assume che il verso sia positivo per il flussoentrante, mentre è negativo per il flusso uscente. Con tale convenzione abbiamo le seguenti forzeagenti sull’elemento di volume considerato:

f |z = τzx|z ∆x∆y = ∆x∆y [−η (dvx /dz)z] = fx|zf |z+dz = − τzx|z+dz ∆x∆y = − ∆x∆y [−η (dvx /dz)z+dz] = fx|z+dz

In regime stazionario la risultante delle forze agenti sull’elemento di volume deve esserenulla. Ora le uniche due forze agenti sono quelle dovute ai due sforzi sulle due superfici orizzontali,per cui:

f |z + f |z+dz = 0

∆x∆y [−η (dvx /dz)z] − ∆x∆y [−η (dvx /dz)z+dz] = 0

−η (dvx /dz)z + η (dvx /dz)z+dz = 0

che è la stessa equazione trovata con il bilancio di quantità di moto.

19

Scorrimento laminare di un fluido tra due lastre piane parallele

Consideriamo un caso del tutto analogo al precedente, cioè un fluido compreso tra due lastrepiane parallele orizzontali, per le quali valgono tutte le considerazioni precedenti sulle dimensionirispetto allo spessore dell’intercapedine. In questo caso però entrambe le lastre sono ferme e ilfluido si muove lungo l’asse x, ovviamente per effetto di una pressione che lo spinge in taledirezione.

Il sistema è descrivibile esattamente come il precedente: il sistema di coordinate piùopportuno è quello cartesiano, l’asse x è orizzontale, l’asse z è quello verticale, rivolto sempre versol’alto, l’asse y è il terzo asse, che non riveste particolare importanza data l’estensione delle lastre.

A causa del moto del fluido lungo l’asse x, avremo un trasferimento di quantità di motolungo l’asse z, dato che la velocità del fluido vx varia lungo z. Per ricavare la legge del motodobbiamo scegliere un elemento di volume a forma di parallelepipedo di lunghezza ∆x, tra x1 e x2;larghezza arbitraria ∆y (che potrebbe essere anche unitaria); di altezza dz, tra z e z + dz, poiché laquantità di moto si muove lungo l’asse z, con z che varia tra 0 ed s.

z = sp

z = 0

Le caratteristiche del sistema sono sostanzialmente le stesse del caso precedente:T = costregime stazionario: vx e dvx /dz indipendenti da tρ = costante (fluido incompressibile)η indipendente da dvx /dz (fluido newtoniano)

Le condizioni ai limiti sono:

z = 0 e z = s vx = 0 (principio di aderenza)

e il flusso convettivo dà un contributo netto nullo, dato che l’ingresso convettivo a x1 è ugualeall’uscita convettiva a x2:

Ψc = (ψvx)x1 − (ψvx)x2 = (ρvx2)x1 − (ρvx

2)x2 = 0

z y

z + dzp1 p2 ∆y (= 1)

z

x1 x2x

S = ∆x ∆y

∆x = (x2 − x1)

Il bilancio all’interno dell’elemento di volume considerato è, come sempre,

INGRESSO + GENERAZIONE = USCITA + (ACCUMULO)

20

dove l’accumulo è nullo dato che siamo in regime stazionario.La GENERAZIONE è esprimibile con la solita formula che quantifica ψG in funzione del

gradiente di pressione e del contributo gravitazionale:

ψG = [− (dp/dx) + ρgx]

dove il contributo gravitazionale è nullo dato che l’asse x è orizzontale, mentre esiste un contributonon nullo per il gradiente di pressione, che provoca il moto del fluido. Questo contributo può esserechiarito con le seguenti considerazioni: su ogni superficie dell’elemento di volume considerato ilfluido esterno esercita una pressione verso l’interno, mentre il fluido interno esercita una pressioneverso l’esterno. Sulle due superfici ortogonali all’asse y e sulle due superfici ortogonali all’asse z, lapressione esterna è uguale alla pressione interna (lungo l’asse z in realtà c’è una leggera differenzaper equilibrare la forza gravitazionale), lungo l’asse x non è così: la pressione da sinistra a destra èmaggiore di quella da destra a sinistra per cui il fluido si muove lungo l’asse in questione. Ciòcomporta che la pressione p1 esercitata dal fluido esterno a monte dell’elemento di volume, sullasuperficie a x1 sia maggiore della pressione p2 esercitata dal fluido esterno sulla superficie a x2.questa differenza di pressione si traduce in una forza risultante netta che agisce sulla massa di fluidocontenuta nell’elemento di volume generando quantità di moto.

Vale la pena di ricordare che il Bilancio coinvolge delle portate, ma la portata di quantità dimoto ha la dimensione di una forza:

( )ma

dt

dm

dt

md == vv= forza

per cui la generazione non è altro che la forza netta che agisce sull’elemento di volume:

ψG V = p1 ∆y dz − p2 ∆y dz = (p1 − p2)∆y dzψG = (p1 − p2) ∆y dz/V = (p1 − p2)∆y dz/∆x∆y dz = (p1 − p2)/∆x = −∆p/∆x = −dp/dx

che poteva essere ricavata, ricordando che la generazione per unità di volume è data sempre da:

ψG = [− (dp/dx) + ρgx]

e, anche in questo caso gx è nulla perché l’asse x è orizzontale.L’INGRESSO MOLECOLARE e l’USCITA MOLECOLARE sono quantificati nel modo abituale:

INGRESSO molecolare: τzx|z∆y∆x = − η(dvx/dz)z∆y∆x (τxx|x1 = 0)USCITA molecolare: τzx|z+dz∆y∆x = − η(dvx/dz)z+dz∆y∆x (τxx|x2 = 0)

Il bilancio diventa quindi (avendo diviso tutti i termini per ∆y∆x):

( )

( )

( )0a

11

0+

0

212

x2

z2

x2

21

z2

x2

z

x

z

x21

≠η

=∆∆

η=

∆η−

−=

=

η

∆−

=

+

η+

η−

∆−

x

p

x

pp

dz

d

dzdz

ddz

x

pp

dzdz

d

dz

d

dz

ddz

x

pp

v

v

vvv

La derivata seconda risulta uguale ad un valore costante k = a/η, ciò significa che lafunzione vx(z) ha una curvatura non nulla. Se la derivata seconda è f"(z) = k, la funzione è

f(z) = (k/2) z2 + b z + c vx(z) = (a/2η) z2+ b z + c

21

z = 0 vx = 0 c = 0z = s vx = 0 (a/2η) s2+ b s = 0 b = − (a s)/2η

vx = − (a/2η) (s z − z2)dove la costante a = ∆p/∆x o, più opportunamente, a = dp/dx. Calcolando la derivata dvx/dzpossiamo ricavare il valore di z in cui si annulla, cioè dove vx è massima e, dalla legge del moto suriportata, si può calcolare il valore massimo di vx.

( ) ( )

( )

( )

22

max

xx

2x

2

12

122x

8

1

42

1=

max2

022

1

2

10

2

1

2

a

sdx

dps

dx

dp

szzs

dx

dp

dz

d

zszdx

dp

dx

dp

x

px

zszxx

ppzsz

η−=

η−

=→=→=−η

−=

−η

−=→∆

∆→∆

−−η

−=−η

−=−

v

vv

v

v

Innanzi tutto va ricordato che dp/dx è una quantità negativa per cui nella legge della velocitàsi ha il segno negativo. Si vede bene che il valore di vmax è inversamente proporzionale allaviscosità η, direttamente proporzionale all’opposto del gradiente di pressione (−dp/dx), cioè laprevalenza della pompa che spinge il fluido, divisa la lunghezza del percorso, e, infine, èdirettamente proporzionale al quadrato dello spessore dell’intercapedine s.

La legge di distribuzione delle velocità è quindi:

( )2x 2

1zsz

dx

dp−

η−=v

con una dipendenza quadratica di vx da z.Il problema può essere affrontato e risolto in modo più diretto utilizzando l’EQUAZIONE DI

BILANCIO, ricordando che l’elemento di volume è a sezione S = ∆y∆x costante e che il contributoconvettivo è nullo:

2

2z

Gzzt ∂

ψ∂δ=

∂

Ψ∂−=ψ−

∂

ψ∂

in cui la diffusività δ = (η/ρ) è costante. L’equazione di Bilancio diventa anche in questo caso:

( )222 zzzzzt ∂

∂η=

∂ρ∂

ρη=

∂ψ∂

δ=∂τ∂

−=∂Ψ∂

−=ψ−∂ψ∂ x

2x

22zxz

G

vv

ma in questo caso la generazione non è nulla, mentre l’accumulo è nullo trattandosi di unasituazione di stato stazionario. La generazione per unità di volume è data sempre dalla stessaequazione:

ψG = [− (dp/dx) + ρgx] = − (dp/dx)

abbiamo perciò:

22

a11

0

2

x2

2

x2

2

x2

G2

Gz

G

η=

η=

∂

∂

∂

∂η+−=

∂

∂η+ψ=ψ∇δ+ψ==

∂

Ψ∂−ψ

dx

dp

z

zdx

dp

zz

v

vv

che è l’equazione ricavata precedentemente.Il profilo delle velocità ha una dipendenza quadratica da z; se indichiamo con

m = −(1/2η)(dp/dx), possiamo rappresentare la situazione nel modo seguente:

z0 vx

-ms 0 dvx /dz τ 0 ηms

z = s

z = s/2

z = 0ms -ηms

la velocità presenta il massimo valore in corrispondenza di z = s/2, mentre vale zero incorrispondenza sia della lastra inferiore che di quella superiore, per il principio di aderenza. Ilgradiente di velocità ha un andamento lineare ed è positivo nella metà inferiore del fluido, perché lavelocità aumenta all’aumentare di z, mentre diventa negativo nella metà superiore perché vx

diminuisce all’aumentare di z. Il flusso della quantità di moto τzx ha anch’esso un andamento linearecon z, come il gradiente di velocità, ovviamente con il segno opposto. Va sottolineato che ilmassimo valore del flusso τzx si ha in corrispondenza delle due lastre, dove tutta la quantità di motodello strato di fluido adiacente viene trasferita alla lastra, poiché tale strato è fermo per il principiodi aderenza.

I valori delle tre grandezze possono essere evidenziati dalla seguente tabella:

z v = m(s z − z2) grad = m(s − 2z) τ = − ηm(s − 2z)

0 0 ms − ηm ss/4 (3ms2)/16 ms/2 −(ηm s)/2s/2 (8ms2)/16 0 03s/4 (3ms2)/16 −ms/2 (ηm s)/2s 0 −ms ηm s

La simmetria suggerisce l’opportunità di un cambio di ordinata: z' = z – s/2, con z' che variada –s' a +s' (dove s' = s/2):

[ ]

xd

pds

s

z

xd

pdszs

xd

pd

η−=

−

η−=−

η−=

2

'

'

'1

2

'''

2

1

2

max

2222

x

v

v

23

Questa espressione di vx consente di calcolare il valore medio di sezione della velocità xv .

Il valore medio di sezione della velocità di un fluido rappresenta il valore medio rispetto a tutti ifiletti fluidi che attraversano una sezione (poiché vx non dipende da x, la sezione può essereposizionata ad un qualsiasi valore di x) ed è quindi definito nel modo seguente per una sezionerettangolare:

∫∫∫∫

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

+

−

+

−+

−

+

− ===⟩⟨'

'0

'

' x0

0

'

'

0

'

' x

0 0

0 0 xx

'

'

'

'

s

s

y

s

s

y

y s

s

y s

sy s

y s

dzdy

dzdy

dydz

dydz

dzdy

dzdy vvvv

In questo caso però vx non dipende da y, per cui si può esprimere l’integrale doppio comeprodotto dell’integrale in dz per l’integrale in dy, che vale y sia al numeratore che al denominatore,per cui questo contributo si elide. Allora il valore medio di sezione può essere calcolatodirettamente con:

[ ]

yxd

pdsysS

s

'dzzs

xd

pd

'dz

'dzs

ss

s

s

s

∆η

−=∆⟩⟨=⟩⟨=

=−

η−==⟩⟨

∫∫∫

+

−+

−

+

−

3

xx

max

'

'22

'

'

'

' xx

'

3

2'2Q

3

2

'2

''

2

1

vv

vv

v

Dal valore della velocità media di sezione è possibile calcolare la portata volumetrica difluido Q, definita come il numero di m3 di fluido che attraversa la sezione del condotto nell’unità ditempo e che è data semplicemente dal prodotto della velocità media di sezione xv per l’area della

sezione stessa S. Come si può osservare, la portata dipende dal cubo dello spessore del fluido, dalgradiente di pressione e dalla larghezza della sezione ed è inversamente proporzionale alla viscosità.

Scorrimento laminare di un condotto cilindrico

Si tratta indubbiamente del caso più frequente, quasi sempre i fluidi vengono trasportati incondotti cilindrici, cioè attraverso i tubi. Vale la pena di ricordare che il moto di un fluido è regolatodalla legge di Bernoulli, se il liquido fosse perfetto, cioè privo di viscosità.

p0

p1

Se il condotto è chiuso, cioè se non c’è scorrimento del fluido, il livello del fluido in tutti itubi piezometrici raggiunge lo stesso livello (principio dei vasi comunicanti), dato che c’è la stessapressione esterna. L’energia piezometrica (cioè la pressione interna del fluido) è p0.

Se si fa scorrere il fluido nel condotto, la conservazione della massa impone che il prodottodella portata volumetrica Q (m3s−1) per la densità del fluido ρ sia costante. Se il fluido èincompressibile, ρ è costante, per cui anche la portata volumetrica Q risulta costante. Ma Q = vS,per cui, se la sezione del condotto S è costante anche la velocità v risulta costante. Se il condotto èorizzontale, non c’è variazione dell’energia potenziale, per cui la conservazione dell’energia,

Qρ = cost ρ = costQ = v S = cost S = cost

v = cost

p1 = p0 − ½ ρ v2 = cost

24

prevista dalla legge di Bernoulli, si traduce nella conservazione della somma dell’energiapiezometrica p e dell’energia cinetica ½ ρ v2. Ciò significa che, per poter scorrere con velocità v,deve esserci un calo della piezometrica (che scende a p1) pari all’energia cinetica.

Per un fluido reale, la situazione è però diversa, dato che lo scorrimento del fluido dissipauna certa quantità di energia meccanica sotto forma di calore per vincere la resistenza al motodovuta alla viscosità. La situazione può essere descritta con il seguente schema:

p0

p1

p

si hanno cioè delle perdite di carico (p1 − p), che aumentano man mano che il fluido avanza nelcondotto, per cui la piezometrica tende ad azzerarsi, cioè la pressione interna si annulla.Naturalmente questo annullamento avviene a distanze decisamente maggiori di quelle che il fluidodeve percorrere; in caso contrario, prima che la piezometrica vada a zero è necessario inserire unastazione di sollevamento (ripompaggio) per ricaricare la piezometrica, cioè rifornire di energia ilfluido per compensare le perdite di carico.

Consideriamo il moto di un fluido reale lungo un tubo orizzontale di raggio R. Il sistema haquindi la forma geometrica di un cilindro, per cui conviene usare le coordinate cilindriche r, θ, x.Poiché il fluido si muove lungo l’asse x, la quantità di moto si trasferisce in direzione ortogonaleall’asse x, cioè in modo radiale. In effetti, la quantità di moto passa radialmente dal filetto centrale,che è il più veloce, ai filetti circostanti.

r θ Rx

Consideriamo, come nei precedenti casi un sistema con le seguenti caratteristiche:T = costregime stazionario: vx e dvx /dr indipendenti da tρ = costante (fluido incompressibile)η indipendente da dvx /dr (fluido newtoniano)(r = R vx = 0) (principio di aderenza)contributo del flusso convettivo della quantità di moto nullo

Per impostare il bilancio è necessario definire un opportuno elemento di volume. Ci sonodue possibilità diverse, che comunque devono riflettere la simmetria cilindrica del sistema. Una èquella di scegliere una corona cilindrica di raggio interno r e spessore dr, cioè raggio esterno r + dr,e di lunghezza ∆x = x2 – x1. Naturalmente la lunghezza ∆x è arbitraria, dato che il tubo è a sezionecostante per cui vx non varia con x, mentre è importante che la corona cilindrica sia interna al tubo,cioè 0 < r < R.

25

drr

x ∆xx1 x2

R

dr r p1 p2

r0

p1 p2

x1 x2

∆x = (x2 − x1)

INGRESSO + GENERAZIONE = USCITA + (ACCUMULO)

INGRESSO molecolare: τrx|r2πr∆x = − η(dvx /dr)r2πr∆xGENERAZIONE: ψG dV = [− (dp/dx) + ρgx] 2πr∆x drACCUMULO: ρ(∂vx/∂t) = 0USCITA molecolare: τrx|r+dr2π(r+dr)∆x = − η(dvx /dr)r+dr2π(r+dr)∆x

Il contributo convettivo prevede l’ingresso a x1, dovuto al fluido che, muovendosi indirezione x, entra nella corona cilindrica, che è l’elemento di volume in oggetto. Come sempre, ilflusso convettivo è espresso dal prodotto della concentrazione di quantità di moto (ρvx) per lavelocità del fluido vx|x1, per cui l’ingresso convettivo è dato dal prodotto del flusso ρ(vx|x1)

2 per lasuperficie di ingresso del fluido, cioè l’area della corona circolare, che vale 2πr dr. Ma l’uscitaconvettiva a x2 è data dal flusso convettivo ρ(vx|x2)

2 per la superficie della corona circolare d’uscitadel fluido, che è ancora 2πr dr. Poiché vx|x1 = vx|x2, dato che la sezione del condotto è costante esiamo in regime stazionario, l’ingresso convettivo è esattamente uguale all’uscita convettiva.

Il trasporto molecolare avviene in direzione radiale, per cui l’ingresso avviene attraverso lasuperficie a coordinata inferiore, cioè la superficie laterale della corona cilindrica a r, mentrel’uscita avviene attraverso la superficie laterale a r + dr. Ricordiamo che la superficie laterale di uncilindro è data dal prodotto della circonferenza, 2πr o 2π(r + dr) per la lunghezza ∆x. Lagenerazione è data dal prodotto della generazione per unità di volume, ψG = [− (dp/dx) + ρgx] (doveρgx è nullo, dato che il tubo è orizzontale) per il volume della corona cilindrica, che è dato dalprodotto della superficie di base (la corona circolare) 2πr dr, per la lunghezza della coronacilindrica ∆x.

Si può pensare di lavorare direttamente con le velocità o procedere a stadi, lavorando primacon i flussi. Se impostiamo il bilancio in funzione dei flussi, abbiamo:

τrx|r2πr∆x + [− (dp/dx) + ρgx] 2πr∆x dr = τrx|r+dr2π(r+dr)∆x

26

τrx|r r − (dp/dx)r dr = τrx|r+dr (r+dr)

Utilizziamo l’espansione in serie di Taylor per ricavare τrx|r+dr:

τrx|r+dr = τrx|r + (∂τrx/∂r)r dr

( )

( )2rxrxrrxrrxrrx

rxrrxrrx

drdr

drdr

dr

ddrrrdr

dx

dpr

drrdrdr

drdr

dx

dpr

τ+

τ+τ+τ=−τ

+

τ+τ=−τ

I due termini uguali si elidono, mentre l’ultimo termine è un differenziale del secondo ordine, percui è trascurabile rispetto a tutti gli altri termini che sono differenziali del primo ordine. Il bilancio,dopo aver diviso tutti i termini restanti per dr, diventa quindi:

( )

( ) ( )

12

xx

xrrx

0rx

2rrxrrx

rrxrxrrx

41

21

21

21

0finito,un valorehapoiché0,per

2

1

Crdx

dprdr

dx

dpd

rdx

dp

dr

dr

dx

dp

Cr

Crdx

dprrdr

dx

dprd

rdx

dp

dr

rdr

dx

dpr

dr

d

+η

=η

=

−=η−−=τ

=τ=

+−=τ−=τ

−=τ

−=τ+τ

vv

v

Viceversa, lavorando con le velocità si ha, in modo analogo:

( )

( )

( )

drrd

drdr

rd

drdr

xd

pd

drrd

ddr

rd

drdr

rd

dr

rd

dr

rd

drdr

xd

pd

drrd

d

rd

d

rd

d

drrrd

dr

rd

drdr

xd

pd

xdrrrd

dxdrr

xd

pdxr

rd

d

dr

dr

dr

r

x

r2x

2

2

r2x

2

r

x

r2x

2

r

x

r

x

r2x

2

r

x

r

x

r

x

r

x

r

x

r

x

1

1

222

+

=

η

+

+

+

+

−=

η

+

=

+

η+

η−=

∆+π

η−=∆π−∆π

η−

+

+

+

vv

vvvvv

vvv

vv

vv

A questo punto, dopo aver semplificato per dr, si può trasformare il secondo membro inun’unica derivata:

27

−

η−=

η−

η=

η−==→

+η

=η

=

η=

η=

==

+η

=

η=

η=

η=+

2

2222

x2

1x

12

xx

x2x

2xx

xx2x

2

R1

4

RR

44R

40R

42

22

0risulta0,quando

2

rkkr

kkCr

Crk

rdrk

d

rk

rd

dr

k

rd

dr

Cr

Crk

rd

drrdr

k

rd

drd

rk

rd

dr

dr

dr

k

dr

dr

dr

d

vv

vv

vv

vv

vvv

Lo stesso risultato si ottiene integrando direttamente l’equazione differenziale del secondoordine, dopo aver diviso tutti i termini per r, ricordando peraltro che r può essere anche 0, per cui sidovrà verificare che l’integrale generale valga anche per r = 0.

( ) ( )

( )

( )

−

η−=

η−=→=→=

+η

=+=+η

=

+η

=∂

∂+

η=+

η=

η=

η=

∂

∂

η=+

∂

∂

====

η=+

∂

∂

∂

∂=

η=

∂

∂+

∂

∂

∫

2

22

x

2

x

22

x

x2

)()(

xx

2

x2

R1

4

R

4

R0R

40B

4

k

2

k

2

k

2

k

kkk

1)(:integrantefattore

k1k1

r

xd

pd

xd

pdCr

Cr

xd

pdCrlnr

r

Br

rr

BryBryr

rdryrdryrr

ryr

yr

reerlndrr

rAe

yrr

y

ry

rrr

rlnrArA

v

v

v

v

vvv

dove la costante B deve essere nulla dato che r può essere anche zero, nel qual caso il secondotermine diventerebbe – ∞, il che non è accettabile.

Vale la pena di sottolineare che la legge della distribuzione delle velocità presenta il segnomeno, mentre il termine tra parentesi è senz’altro positivo (al minimo vale zero) ed il fattore R2/4ηè senz’altro positivo. Il segno meno è legato al dp/dx, che è una quantità negativa, dato che lapressione diminuisce man mano che si procede lungo l’asse x, per cui la velocità vx risulta positiva.

Si poteva affrontare il problema applicando direttamente l’equazione di Bilancio, che deveessere utilizzata nella formulazione in coordinate cilindriche.

28

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2k

=0CC2

k=

k=1

01

1

rx

2

rx

rxrxrxG

rxxxGmG

rrr

rrxdpd

rr

rr

rxdpd

rr

r

rr

rt

−τ=→+−τ

−−=∂τ∂

→∂τ∂

−−==∂τ∂

−ψ

∂τ∂

=τ∇=ψτ−∇=Ψ−∇=ψ−∂ψ∂

•••

L’equazione di Bilancio in assenza di contributo convettivo coinvolge il prodotto interno tral’operatore Nabla (∇) ed il flusso molecolare (τ). Si tratta di una equazione vettoriale: (∂ψ/∂t), ψG e∇•τ sono vettori, ciò significa che l’equazione vettoriale è una triplice equazione (una per ciascunacomponente dei vettori coinvolti). Naturalmente siamo interessati alla componente x, lungo la qualesi muove il fluido in esame. Ricordiamo che (∂ψ/∂t) = 0, dato che siamo in regime stazionario,mentre la componente ψGx = − dp/dx; la componente x di ∇•τ è data dalla forma dell’operatore ∇ incoordinate cilindriche e risulta (∇•τ)x = (1/r)(∂rτrx/∂r).

Una volta ricavato τrx e il valore della costante di integrazione C (che ricaviamo per r = 0),possiamo inserire la legge di Newton per ricavare vx, dopo aver diviso entrambi i membri per r (cheè possibile dato che il valore di C è stato ricavato r = 0, per cui l’equazione differenziale vale anchein tale condizione.

−

η−

η−=→→+

η=+

η

η=→−=

∂

∂η−τ

2

22

x

2

x

22

x

xxrx

R1

4

R=

4

R0=R=

44

k=

2

k

2

k=

r

xd

pd

xd

pdCrC

r

xd

pdC

r

r

rd

dr

r

v

vv

vv

Il problema può essere affrontato in un altro modo, cioè scegliendo un diverso elemento divolume nel quale impostare il Bilancio. La conformazione del sistema consente infatti di sceglierecome elemento di volume un cilindretto di raggio r coassiale con il tubo, di lunghezza arbitraria∆x = x2 – x1. Anche in questo caso il contributo convettivo è nullo, dato che vx|x1 = vx|x2.

Rr p1 p2

x1 x2

INGRESSO + GENERAZIONE = ACCUMULO + USCITA

INGRESSO molecolare: nulloGENERAZIONE: ψG V= [− (dp/dx) + ρgx] πr2∆xACCUMULO: ρ(∂vx /∂t) = 0USCITA molecolare: τrx|r2πr∆x = − η(dvx/dr)r2πr∆x

29

−

η−=

η−=→=→=+

η=

η=

∆π

η−=∆π−

2

22

x

2

x2

x

r

x

r

x2

R1

4

R

4

RC0RC

4

1

2

12

r

xd

pd

xd

pdrr

xd

pd

rxd

pd

rd

dxr

rd

dxr

xd

pd

v

vv

vv

In questo caso non c’è ingresso molecolare poiché la quantità di moto si muove radialmenteper cui la superficie di ingresso sarebbe formalmente a r = 0, ma in questo caso la superficie valezero, mentre il flusso τrx|0 è finito; ciò comporta che l’ingresso è nullo. Il Bilancio si riduce quindi aGenerazione e Uscita molecolare, che devono risultare uguali. La soluzione dell’equazionedifferenziale dà esattamente lo stesso risultato ottenuto precedentemente.

Il profilo delle velocità è rappresentato da un paraboloide di rotazione, descrittodall’equazione su ricavata.

vx dvx /dr τrx

0 0

− +

Dalla legge di distribuzione delle velocità possiamo ricavare alcune grandezze di particolareinteresse. Innanzi tutto si verifica facilmente che la velocità massima del fluido si ha per r = 0,come mostra anche il profilo delle velocità. D’altra parte, basta ricavare la derivata prima di vx edeterminare la condizione di zero:

η−=→

η==→

4

R=0

20

2

maxx,x

maxx, dx

dpr

r

dx

dp

dr

dv

vv

Un altro parametro importante è la velocità media di sezione che, in questo caso è cosìdefinita:

η−=

θ

θ=

∫ ∫∫ ∫

π

π

8R2

2

0 0

2

0 0x

x dxdp

drdr

drdr

R

Rv

v

dove il denominatore è l’area della sezione, mentre il numeratore è l’integrazione delle velocità sututta la sezione. In questo caso l’integrazione delle velocità al numeratore richiede che vx siamoltiplicato per r. Ciò è richiesto da considerazioni dimensionali (è necessario che il rapporto abbiale dimensioni di una velocità), ma anche dalla esigenza di considerare tutti i valori delle velocitàpresenti nella sezione del condotto. Ricordando la simmetria circolare del profilo delle velocità(paraboloide di rotazione), è chiaro che, a parità di r, tutti i filetti fluidi hanno la stessa velocità. Ilnumero di filetti fluidi con pari velocità, che contribuisce quindi a determinare il valore medio, è

30

tanto maggiore quanto maggiore è r, dato che ci saranno tutti i filetti sulla circonferenza di raggio rad avere la stessa velocità. Pertanto il contributo alla media è dato proprio da vxr. Un’altraconsiderazione riguarda l’integrazione su θ; la simmetria circolare rende vx indipendente da θ il chesignifica che il doppio integrale può essere separato in un prodotto di due integrali o, in altritermini, ci si può limitare alla sola integrazione lungo r:

η−=η

−=

π

π=

θ

θ=

θ

θ=

∫∫

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

π

π

π

π

8R

2R

16R

2

2 2

2

4

0

0x

2

0 0

2

0 0x

2

0 0

2

0 0x

x dxdpdx

dp

drr

drr

drrd

drrd

drdr

drdr

R

R

R

R

R

Rvvv

v

Dal valore della velocità media di sezione è possibile calcolare la portata volumetrica, che èespressa dal prodotto della velocità media di sezione per l’area della sezione stessa:

ηπ

−=π=8

RRQ

42

x dx

dpv

nota come equazione di Hagen-Poiseuille.Riassumendo, per il moto laminare di un fluido in un condotto cilindrico abbiamo le

seguenti equazioni:

ηπ

−=π==η

−=

η

−

−

η−=

=

8

RRQ

2

1

8

R

4R

=R

14R

42

xmaxx,

2

x

0r

2

maxx,2

22

x

dx

dp

dx

dp

dx

dpr

dx

dp

vvv

vv

Moto laminare di un film cadente

strato di spessore δingresso

Supponiamo di avere un fluido (liquido) che viene fatto scorrere su un piano inclinato, adesempio alimentando la sommità del piano facendo tracimare il liquido da un serbatoio posto lungotutta la larghezza del piano stesso, per cui la sezione del sistema risulta come è rappresentata nellafigura. Consideriamo come sempre il caso semplificato per il quale il piano inclinato siainfinitamente esteso (cioè una superficie grande rispetto allo spessore δ dello strato di liquido) inmodo da poter trascurare gli effetti ai bordi.

In regime stazionario il liquido raggiunge uno spessore costante su tutta la lastra e si muovecon velocità costante. Il sistema può essere così schematizzato:

31

0 z

z+dz dV= ∆x ∆y dzδ α

z ∆x = x2 − x1

x1

S = ∆x ∆y

x

x2

dove l’asse x è la direzione del moto (parallelo quindi al piano inclinato) e l’asse z è ortogonaleall’asse x e al piano inclinato, mentre l’asse y è parallelo al piano nel senso della larghezza.L’origine dell’asse z è stata posta al livello del pelo libero del liquido, con l’asse diretto verso ilpiano inclinato; naturalmente è possibile porre l’origine in corrispondenza del piano inclinato conl’asse rivolto nel senso di allontanamento da esso. Lo spessore dello strato di liquido è, appunto, δche costituisce quindi il valore della coordinata z per la superficie della lastra, avendo fissato lo zeroin corrispondenza del pelo libero.

A questo punto dobbiamo definire l’elemento di volume nel quale fare il Bilancio. Data laforma geometrica del sistema (si tratta di un parallelepipedo) abbiamo scelto un sistema dicoordinate rettangolari e sceglieremo come elemento di volume un parallelepipedo di: lunghezzaarbitraria ∆x = x2 – x1, di larghezza arbitraria ∆y (che può essere la larghezza dell’intero strato diliquido, cioè dell’intera lastra piana, dato che le caratteristiche del processo non variano lungo y) edi spessore dz, tra z e z + dz. Quest’ultima scelta è ovviamente quella fondamentale e, come sempre,deriva dalla constatazione che la quantità di moto si muove lungo l’asse z, dato che la velocità delfluido è vx e varia, appunto, lungo l’asse z (fino ad annullarsi in corrispondenza di z = δ per ilprincipio di aderenza). Le dimensioni dell’elemento di volume sono quindi ∆x, ∆y e dz, mentre lasuperficie attraverso la quale si ha il flusso molecolare di quantità di moto ha dimensioni ∆x e ∆y.

Il sistema in esame ha quindi le seguenti caratteristiche:T = costregime stazionario: vx e dvx /dz indipendenti da tρ = costante (fluido incompressibile)η indipendente da dvx /dz (fluido newtoniano)(z = δ → vx = 0) (principio di aderenza)contributo nullo del flusso convettivo della quantità di moto;trascuriamo gli effetti alle estremità (inizio e fine)flusso della quantità di moto all’interfaccia gas-liquido nullo

Innanzi tutto vale la pena di sottolineare che la generazione della quantità di moto, in questocaso, è dovuta all’azione della forza peso: il liquido cade per gravità, mentre non c’è alcun gradientedi pressione lungo x, dato che il liquido è sempre a pressione atmosferica. Ricordiamo che laGENERAZIONE ha le dimensioni di una forza e sarà data dal prodotto della massa dell’elementodi volume per l’accelerazione lungo la direzione del moto, che è la componente dell’accelerazionedi gravità g lungo l’asse x, cioè gx:

fx = ρ dV g cosα ψG = (ρ dV g cosα)/dV = ρ gx= ρ g cosα

Il Bilancio nell’elemento di volume considerato è allora:INGRESSO + GENERAZIONE = USCITA + (ACCUMULO)

32

INGRESSO molecolare: τzx|z∆x∆y = − η(dvx /dz)z∆x∆yGENERAZIONE: ψG dV= [−(dp/dx) + ρgx]∆x∆y dz = ρg(cosα)∆x∆y dzACCUMULO: ρ(∂vx /∂t) = 0USCITA molecolare: τzx|z+dz ∆x∆y = − η(dvx/dz) z+dz ∆x∆y

( )

( )

( ) k

z2x

2

z2x

2

z

x

z

x

z

x

z

x

η−=

ηαρ

−=

+

η−=

η−αρ

∆∆

η−=∆∆

η−∆∆αρ

+

cosg

zd

d

dzzd

d

zd

d

zd

ddzcosg

yxzd

dyx

zd

dydzxcosg

dz

v

vvv

vv

L’integrazione è molto semplice:

cb2

kk 2x

z2x

2

++η

−=η

−=

zz

zd

dv

v

e le due costanti di integrazione si possono ricavare dalle condizioni ai limiti:

z = 0 vx = max dvx /dz = − (k/η) z + b = 0 b = 0

z = δ vx = 0 c = (k δ2)/2η

La legge di distribuzione delle velocità risulta quindi:

δ

−η

αδρ=

δη

αρ+η

αρ−=

22

x

22x

12

22

zcosg

cosgz

cosg

v

v

dalla legge di distribuzione delle velocità possiamo ricavare le grandezze di interesse pratico:

( )

( )

2=

0z

2

maxx,

xzx

xx

=

η

αδρ

αρ=η−=τ

η

αρ−==

∂

∂

cosg

zcosgdz

d

zcosg

dz

d

z

v

v

vv

Il flusso di quantità di moto τzx varia linearmente con z e risulta positivo, data la scelta fattaper il verso dell’asse z. Dalla condizione di massimo (annullamento della derivata prima) si ricava ilvalore di vx,max che si verifica quando z = 0, cioè in corrispondenza del pelo libero del liquido.Inoltre è possibile ricavare il valore medio di sezione che può essere calcolato anche in modosemplificato considerando che vx dipende solo da z e non dipende da y:

33

ηαδρ

=δ

=== ∫∫∫

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫ δ

δ

δ

∆ δ

∆ δ

∆ δ

∆ δ

cosgdz

dz

dz

dzdy

dzdy

dzdy

dzdy 2

311

=0

x

0

0x

y

0 0

y

0 0x

y

0 0

y

0 0x

x vvvv

v

Dal valore della velocità media di sezione calcoliamo la portata volumetrica Q:

3x

3

x

3Q3=

3

1Q

α∆ρ

η=

αρ

ηδ

η

α∆δρ==

cosygcosg

cosygS

v

v

Come si può osservare, la portata volumetrica dipende dal cubo dello spessore δ, oltre che,naturalmente, dalla larghezza della piastra. Ma è interessante osservare che lo spessore δ dello stratodi liquido dipende dalla portata volumetrica e dalla viscosità dello stesso, oltre che dall’inclinazionedella lastra. Ciò significa che, dato un liquido di viscosità η, è possibile determinare lo spessoredello strato di scorrimento attraverso la portata e l’inclinazione.

vx

0

τzx

0

dvx /dz

0

34

MOTO TURBOLENTO

VORTICI

Una situazione particolare che si può realizzare nel moto dei fluidi è la produzione di vortici.Formalmente un vortice è un moto di un fluido a spirale verso il centro, con velocità crescente manmano che si avvicina al centro.

z r0

v0 z0

Questo moto deve soddisfare il principio di conservazione del momento della quantità dimoto:

ρv0 r0 = ρv r

v = (v0 r0)/r ω = (ω0 r02)/r2

per cui si capisce che, man mano che il fluido si avvicina al centro, la velocità angolare ω e lavelocità tangenziale v devono aumentare. Questo aumento della velocità comporta un aumentodella energia cinetica, ma deve essere rispettato anche il principio di conservazione dell’energia, percui l’aumento dell’energia cinetica avverrà a spese di qualche altra forma di energia. Se il fluido èun liquido che si muova a contatto con l’atmosfera, l’energia di pressione rimane costante, per cuil’unica altra forma di energia che può variare è l’energia potenziale gravimentrica, cioè il livellodella superficie del liquido.

Se il fluido fosse un fluido perfetto, si avrebbe la validità della legge di Bernoulli:

p + ½ρv2 + ρgz = costante

equazione della superficie isopotenziale

z = h − v2/(2g) = h − (v0 r0)2/2gr2 = h − k/r2

L’equazione prevede che per r = 0, v tenda a ∞ e quindi z tende a – ∞, quindi il vorticedovrebbe avere un buco centrale. Nel caso di un fluido reale la viscosità provoca una perdita dienergia per cui non vale più la legge di Bernoulli. Ciò comporta che la velocità aumenti piùlentamente al diminuire di r e, in parte, z diminuisca più lentamente, anche se una parte di energiaviene dissipata come calore a causa delle forze di attrito. Ciò fa si che il vortice non sia più bucatoal centro dove invece il fluido si salda.

La formazione di vortici si può avere quando si hanno dei filetti di fluido adiacenti con uneccessivo gradiente di velocità, situazione che si può verificare, ad esempio, alla confluenza di duecorsi d’acqua che abbiano velocità diversa. Oppure si può avere la formazione di vortici quando lasuperficie del condotto nel quale circola il fluido presenti delle asperità che creano discontinuità alloscorrimento del fluido.

35

La presenza di vortici caratterizza quello che viene definito come moto turbolento. Si trattadi un moto che non è facilmente descrivibile; in particolare:• non è possibile una trattazione matematica rigorosa• valgono comunque le equazioni di bilancio e di continuità• per il flusso di quantità di moto non vale più la legge di Newton• non esiste una statistica adeguata alla trattazione del moto• ci si deve limitare ad una trattazione empirica

L’esistenza del moto turbolento è stata evidenziata dall’esperienza di Reynolds. Se si ha unfluido che si muove lungo un condotto e si introduce un fluido colorato attraverso un iniettoresottile, si riesce a creare un filetto fluido colorato che si muove all’interno del fluido portante.

A seconda della velocità del fluido il filetto colorato può comportarsi in modo diverso:

v < v c moto laminare

v ≈ v c regime di transizione

v > v c regime turbolento

vc dipende dal fluido e dal condotto

Per quanto riguarda il fluido le caratteristiche sono riassunte nel numero di Reynolds

Re = ℜ = (D vm ρ)/η

[Re] = [m (m s-1) (Kg m-3)]/(Kg m-1 s-1) = (Kg m-1 s-1)/ (Kg m-1 s-1)

Il numero di Reynolds caratterizza, anche se in modo non rigoroso, il regime del moto.Normalmente si può considerare che valgano le seguenti condizioni:

moto laminare Re < 1200transizione 1200 < Re < 2100moto turbolento Re > 2100

36

x

moto laminare regime transitorio moto turbolentovy = vz = 0 vy ≠ 0; vz ≠ 0vr = vθ = 0 vr ≠ 0; vθ ≠ 0

Il moto laminare è caratterizzato da bassi valori del numero di Reynolds, generalmenteminori di 1200. In questo regime i filetti fluidi scorrono gli uni sugli altri lungo la direzione delmoto del fluido (asse x), seguendo il percorso definito dal condotto, ma senza mai intersecarsi omescolarsi: la velocità v ha una sola componente vx, mentre vy e vz (o vr e vθ in coordinatecilindriche) sono costantemente nulle. Con valori più grandi del numero di Reynolds, che potrebbesignificare valori più grandi di velocità del fluido (anche se il numero di Reynolds può risultare piùgrande per il contributo di uno qualsiasi dei fattori che lo costituiscono), il regime diventa instabile,si ha cioè la transizione dal moto laminare al moto turbolento. In queste condizioni i filetti fluidinon si muovono più in modo rigorosamente parallelo e può succedere che ogni tanto si possa crearequalche vortice, soprattutto al centro del condotto dove la velocità è più alta, anche se permane unadiscreta regolarità nel fluire dei filetti.

Quando il numero di Reynolds supera il valore 2100-2500 il moto diventa turbolento: ifiletti fluidi si muovono in modo disordinato in tutte le direzioni, intersecandosi e mescolandosicontinuamente. Ciò significa che la velocità del fluido, che si muove lungo l’asse x, ha componentinon nulle anche nelle direzioni y e z (r e θ in coordinate cilindriche). Vale la pena di ricordare che ilnumero di Reynolds può raggiungere valori fino a 107, il che significa che il regime laminarerappresenta una condizione molto particolare e limitata rispetto alle condizioni di movimento di unfluido.

Il moto turbolento, oltre che dalla presenza di componenti non nulle della velocità del fluidolungo le direzioni ortogonali alla direzione del moto, è caratterizzato dal fatto che la velocità delfluido in un qualsiasi punto dello spazio varia in modo del tutto casuale e imprevedibile nel tempo.Per tale motivo non esiste una statistica che sia in grado di descrivere questo moto. Serappresentiamo il valore della velocità in un punto del fluido in funzione del tempo, abbiamo leseguenti situazioni:

tv

moto laminare regime transitorio moto turbolento

La condizione di completa casualità per il valore istantaneo della velocità in un puntocostringe inevitabilmente a lavorare con dei valori medi rilevati in un intervallo di tempo ∆tsufficientemente lungo da avere una serie statisticamente significativa di valori.

∫∫∫∆+∆+∆+

∆=

∆=

∆=

tt

t

tt

t

tt

tdt

tdt

tdt

tzzyyxx

111vvvvvv

Il simbolo iv rappresenta il valore medio temporale, cioè la media in un determinatointervallo di tempo. Il valore istantaneo di una qualsiasi componente della velocità in un punto ènormalmente diverso dal valore medio temporale:

ii vv ≠

37

Anche per il moto turbolento esiste la condizione di stazionarietà, cioè il moto turbolentostazionario. Più correttamente si deve parlare di moto turbolento mediamente stazionario, il chesignifica che il regime stazionario è caratterizzato dal valore costante nel tempo della velocità mediatemporale in qualsiasi punto dello spazio.

01

costante

,i

,iiii

=∆

+==

∫∆+

dtt

tt

tv

vvvv

vi

iv

t

Come si può osservare, il valore istantaneo della componente vi varia, in modo casuale,attorno al valore medio temporale; per cui il valore istantaneo può essere espresso come somma delvalore medio temporale iv e delle deviazioni dalla media vi'. Ne consegue che l’integrale

nell’intervallo di tempo ∆t delle deviazioni dal valore medio risulta nullo. Se consideriamo unfluido che si muova in un tubo lungo l’asse x, il moto turbolento stazionario è caratterizzato dalvalore costante nel tempo del valore medio xv , in qualsiasi punto, e dal valore nullo delle medietemporali delle altre due componenti:

0r == θvv

Anche se questa può assomigliare alla condizione del moto laminare in regime stazionario,non bisogna confondere le due situazioni. L’equazione su scritta significa che i valori meditemporali sono nulli, ma questo non significa che non possano esserci valori istantanei diversi dazero; ciò significa che si ha comunque mescolamento dei filetti fluidi, anche se l’effetto medio neltempo non dà una risultante netta per le componenti vr e vθ. Questo mescolamento dei filetti fluidiproduce un trasferimento di quantità di moto più efficace per cui il profilo delle velocità èsensibilmente diverso da quello del moto laminare.

Re

laminare transizione turbolento stantuffo

Come si vede, il moto turbolento è caratterizzato da un certo numero di filetti fluidi, nellazona centrale del condotto, con la stessa velocità massima. La frazione di filetti fluidi con la stessavelocità massima aumenta quanto più grande è il valore del numero di Reynolds, fino ad arrivarealla situazione del moto a stantuffo, per il quale praticamente tutti i filetti fluidi si muovono con lastessa velocità.

Per trattare il moto turbolento si deve operare con i valori medi temporali. Appare quindinecessario definire alcune operazioni con i predetti valori medi, per le quali valgono le regoledefinite da Reynolds:

38

( )( ) B'A'+BA=B'A'+BA'+B'A+BAB'+BA'AAB

/

BAB+A

BABA

••=+=

∂∂=∂∂

+=

= ••

x/AxA

Innanzi tutto, la media dei prodotti del valore medio di A per valori istantanei di B, risultauguale al prodotto del valore medio di A per il valore medio di B. La media delle somme di valoriistantanei di A e di B è uguale alla somma dei valori medi di A e di B. La media delle derivate divalori istantanei di A, rispetto ad una variabile indipendente x, è uguale alla derivata del valoremedio di A rispetto a x. Si osserva invece che il valore medio del prodotto di due quantità A e B èdiverso dal prodotto delle medie di A e di B, poiché c’è il termine aggiuntivo della media deiprodotti delle deviazioni istantanee A' e B', che non è nulla, anche se sono nulli i valori medi di A' eB'.

MOTO TURBOLENTO IN UN TUBO

Se consideriamo il moto turbolento mediamente stazionario in un tubo, cioè il moto di unfluido lungo l’asse x di un condotto cilindrico, che è ovviamente il caso più frequente, avremonaturalmente un trasporto radiale di quantità di moto, come era per il moto in regime laminare. Inquesto caso però il flusso di quantità di moto lungo r, provocato dal fatto che la velocità di moto delfluido vx varia lungo r, è dato da:

( )TLrx

xrx

rx

τ+τ=τ

ρ+η−=τ ''dr

dvv

v

cioè da due contributi: il contributo laminare τL, per il quale vale sempre la legge di Newton, e ilcontributo turbolento τT, dovuto alla componente radiale della velocità. Questa componente radiale,che si ha quando il regime è turbolento, provoca un trasferimento di quantità di moto lungo r perconvezione, cioè per il fatto che il fluido spostandosi lungo r porta con se’ la sua quantità di moto,per cui, il fluido più veloce che si sposta dal centro alla periferia va ad arricchire le zone piùperiferiche, mentre quello più lento, che si sposta dalla periferia verso il centro, va ad impoverire ilcentro. Questo mescolamento fa si che gran parte del fluido abbia la stessa quantità di moto edetermina il profilo di velocità con un’ampia zona piatta come abbiamo visto.

Purtroppo, l’equazione su scritta è irrisolvibile, poiché non abbiamo alcun sistema per

calcolare il valore medio del prodotto xr '' vv . In altri termini abbiamo due incognite: vx e xr '' vv .Per poter risolvere l’equazione (inserendo ovviamente il flusso in un adeguato Bilancio per la

quantità di moto) è necessario definire un modello che consenta di esprimere xr '' vv in funzione divx. Esistono diversi modelli empirici, tra i quali quello di Boussinesq e quello più utilizzato diPrandtl.

Il modello di Boussinesq utilizza la seguente espressione:

( )dr

d xxr T''

vvv ε−=τ=ρ

dove ε è detta viscosità turbolenta ed è funzione di diversi parametri caratterizzanti il moto delfluido in esame (Re, τ, p, geometria, ecc.). quantificando opportunamente ε è possibile utilizzare le

39

stesse equazioni ricavate per il moto laminare, utilizzando (η + ε) al posto di η.Il modello di Prandtl usa una diversa espressione

( )2

x2xrx

2x2

Txr ''

ρ+η−=τ

ρ=τ=ρ

dr

dl

dr

d

dr

dl

vvvvv

dove ρ è la densità del fluido e l è detta lunghezza di mescolamento ed è una funzione di r. siintroducono poi alcune semplificazioni per rendere il problema più abbordabile:

τL « τT che vale nella zona di turbolenzaτT = τrx = τ0 valore sulla parete del tubol = lunghezza di mescolamento, dipende da r

in altri termini, si ammette che il contributo turbolento al trasporto della quantità di moto sia moltomaggiore del contributo laminare, il che è abbastanza intuitivo nella zona (centrale) del condottonella quale si ha il regime turbolento, dato che il mescolamento macroscopico dei filetti fluidi èmolto più efficace del mescolamento molecolare. Trascurato quindi il contributo laminare, rimanesolo quello turbolento che si assume essere costante (indipendente da r) e, in particolare, uguale alflusso di quantità di moto che si ha sulla parete del condotto.

Con queste approssimazioni, si può esprimere l in funzione della distanza y dalla parete delcondotto (y = R – r) introducendo un coefficiente di proporzionalità k, che è detto fattore di frizioneo coefficiente di resistenza di Fanning:

( )

1x,1x

0x

k

1=

=1

k1

Rkk

y

yln

ydy

d

ryl

∗−

ρτ

∗∗=

−==

vvv

vvv

valida per y > y1, dove y1 è la distanza dalla parete alla quale comincia la zona turbolenta (e allaquale la velocità media è vx,1).

Si può esprimere l’equazione in termini adimensionali, attraverso la velocità adimensionalev+ e la distanza adimensionale y+:

BlnAln

y

+==−

ηρ∗=

∗=

+++

+++

+

yvy

y

k

1vv

yv

11

+x vvv

espressione valida naturalmente per y > y1. Per y ≤ y1 si ricava la seguente equazione adimensionale:v+ = y+, per cui la descrizione del moto turbolento in un tubo è data dalle seguenti relazioniadimensionali:

v+ = y+ y+ ≤ 5 laminare

v+ = 5.0 ln y+ − 3.05 5 < y+ < 30 transizione

v+ = 2.5 ln y+ − 5.5 30 ≤ y+ turbolento

Confrontando il regime laminare con il regime turbolento per il moto di un fluido in un tubo,abbiamo:

40

moto laminare (regime di Poiseuille): moto turbolento (regime di Venturi):

x2

maxx,

x

2

maxx,

x

R

8

2

1

R1

v

v

v

v

v

η=−=∆

=

−=

dx

dp

L

p

r

2x

maxx,

x

71

maxx,

x

R

k

5

4

R1

v

v

v

v

v

ρ=−=∆

=

−=

dx

dp

L

p

r/

legge di Poiseuille legge empiricadove consideriamo il regime stazionario in entrambi i casi per cui, nel moto turbolento, si considerala velocità media temporale (e la velocità media di sezione rappresenta il valore medio di sezionedella velocità media temporale). Un dato di estrema importanza è rappresentato dalle cosiddetteperdite di carico ∆p (o le perdite di carico per unità di lunghezza −dp/dx), che rappresenta la perditadi energia di pressione che il fluido subisce lungo il condotto (di lunghezza L) a causa dell’attritoviscoso, che richiede che tale energia sia fornita in partenza dal sistema di pompaggio(caratterizzando così la prevalenza della pompa).

Il confronto tra i due regimi può essere rappresentato anche attraverso il seguente grafico:

⟨v⟩/vmax

1 stantuffo

0.5

0laminare transizione turbolento Re

Riassumendo, le equazioni caratteristiche per i due regimi sono:

MOTO LAMINARE MOTO TURBOLENTO

Re < ~ 1200 Re > ~ 2100

η

π−=

π==

η−=

η−=

−

η−

8

R

R

8

R

R

8

R1

4

R=(r)

4

2xx

2

x

x2

22

dx

dpQ

SQ

dx

dp

dx

dp

r

dx

dp

vv

v

v

v( )

21

52

2xx

21

x

2

x

k

R

R

k

R

R

k

yv

ρ

π−=

π==

ρ−=

ρ−=

= ++

dx

dpQ

SQ

dx

dp

dx

dp

f

vv

v

v

41

Se confrontiamo l’equazione per le perdite di carico dp/dx o per la velocità media di sezione,possiamo facilmente constatare che, per il moto laminare il coefficiente di resistenza di Fanningsarà k = 16/Re.

Il moto di un fluido reale, a causa delle forze di attrito comporta una perdita irreversibile dienergia meccanica sotto forma di calore. Ciò comporta che si abbiano continuamente perdite dicarico, dato che l’energia cinetica è legata all’area della sezione del condotto (per cui in un condottoa sezione costante, anche v rimane costante e, quindi, anche l’energia cinetica) e l’energiapotenziale è legata al livello della conduttura (per cui se il condotto è orizzontale, l’energiapotenziale rimane costante). L’unica forma di energia che può compensare le perdite di carico èquindi l’energia di pressione (piezometrica).

La quantità di energia che viene dissipata sotto forma di calore è data da:

∫Φ= dVwR Φ = − (τ:∇v)

L’energia dissipata per unità di volume Φ è data dal prodotto scalare del tensore τ (flussodella quantità di moto, ma anche sforzo tangenziale) per la diade ∇v (prodotto diadico tral’operatore vettoriale Nabla e il vettore v). Il prodotto diadico tra due vettori è un tensore (cioè untensore del secondo ordine):

∇v =

zyx

zyx

zyx

00

00

00

vvv

vvv

vvv

z

y

x

∂∂

∂∂

∂∂

=

zzz

yyy

xxx

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

zyx

zyx

zyx

vvv

vvv

vvv

Prodotto scalare di un tensore simmetrico τ con la diade ∇v

τ:∇v =

∂∂

+∂∂

τ+

∂∂

+∂∂

τ+

∂∂

+∂∂

τ+∂∂

τ+∂∂

τ+∂∂

τzxyzxyzyxxz

zxzy

yzyx

xyz

zzy

yyx

xxvvvvvvvvv

In funzione delle velocità, per un fluido incompressibile, si ha

τ:∇v

∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

η−

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

η−=2

xz2

zy2

yx2

z2

y2

x2zxyzxyzyx

vvvvvvvvv

mentre per un fluido compressibile si ha l’aggiunta del termine

2zyx

3

2

∂∂

+∂∂

+∂∂

η+zyx

vvv

Se consideriamo un fluido che si muova in regime stazionario in un condotto orizzontale, laresistenza al moto (è una forza) può essere espressa in riferimento alle perdite di carico per unità dilunghezza del condotto (dp/dx), ma anche in riferimento allo sforzo tangenziale (forza per unità disuperficie del condotto lambita dal fluido) τ:

F = A•dp = τ•b•dx

dove A rappresenta la sezione del condotto, mentre b è il perimetro della sezione. Si ricava quindi

42

dx

dpr

dx

dp

b

Ah==τ

dove rh è detto raggio idraulico (in un tubo rh = R/2). Introducendo il diametro equivalente Deq =4rh (che corrisponde al diametro del tubo nel caso di un condotto cilindrico) ed il Numero di Eulero(che è un gruppo adimensionale)

2Eu

vρ

τ=

il fattore di frizione o coefficiente di Fanning risulta k = 2Eu = 2Φ(Re) per cui, indicando con L lalunghezza del condotto, si ricava per il moto turbolento:

eq

2

Req

22

h

2

h

k2k2R

k2

kgD

Lgp

wD

Lp

rrdxdp vvvv

=ρ∆

=ρ

=∆ρ

=ρ

=τ

=

L’ultima equazione è nota come equazione di Fanning. Per il moto laminare si ha invece:

2

2

R

821616Re16

kL

DL

Dp

D

vv

vv

η=

ρρη

=∆ρη

==

cioè si ottiene esattamente l’espressione che avevamo ricavato dalla legge di distribuzione dellevelocità per il moto laminare.

Per il moto turbolento si possono calcolare le perdite di carico ∆p attraverso il coefficientedi Fanning, il cui valore può essere ricavato da opportuni diagrammi di lavoro empirici (ottenuticioè da dati sperimentali) che correlano il coefficiente di Fanning al numero di Reynolds. In talediagramma, per il moto turbolento si hanno diverse rette che dipendono dalla rugosità del condotto.E’ facile intuire infatti, che il moto turbolento sarà tanto più facilmente innescato quanto più ilcondotto è rugoso e, analogamente, la resistenza al moto sarà tanto maggiore quanto più la paretedel condotto è rugosa. Le rette di lavoro sono quindi parametriche in funzione della rugosità relativaε = a/D, dove a è l’altezza media delle rughe e D è il diametro del condotto. Quando si ha a che fare

43

con condotti non lineari o con altri ostacoli al moto (ad esempio valvole), si può calcolare l’energiadissipata aggiungendo nell’equazione di Fanning una lunghezza equivalente alla lunghezza L delcondotto (come dire che il superamento di un ostacolo comporta una perdita di energia pari a quellache si avrebbe se il fluido percorresse un tratto di condotto di lunghezza Leq).

Rapporto Leq/D per gli ostacoli più comuni in tubazioni di diametro D

Ostacolo Leq/DGomito a 45°

a 90°, raggio standarda 90°, raggio medioa 90°, raggio grandea 90°, a squadraa 180°, strettoa 180°, largo

15322620607550

Giunto a T, ingresso in lineaingresso dalla diramazione

6090

Giunto il linea, di accoppiamento trascurabileValvola a saracinesca, aperta

chiusa per 1/4chiusa per metàchiusa per 3/4

740

200800

Valvola a maschio, aperta 300Valvola ad angolo, aperta 170Valvola a disco, lineare, aperta

a squadra, aperta420210

Velocità medie tipiche dei fluidi nei condotti

Fluido Tipo di flusso v (m/s)

Liquido bassa viscosità Flusso per gravitàAspirazione di pompa

Mandata di pompaTubazione di processo

0.15-0.300.30-0.901.20-3.001.20-2.40

Liquido media viscosità Aspirazione di pompaMandata di pompa

0.06-0.150.15-0.60

Vapore d’acqua 9.00-15.00Gas 9.00-30.00

44