of 30/30
273 10. ARMIRANOBETONSKE LJUSKE 10.1. 10.1. 10.1. 10.1. UVOD UVOD UVOD UVOD Ljuske su noseće konstrukcije formirane od zakrivljenih površi, koje prihvataju opterećenje primarno silama u ravni (ravnomerno raspodeljenim po debljini ljuske), ali i savijanjem, posebno u zoni oslanjanja i veze sa drugim elementima. Pogodnim izborom geometrije, sa malim debljinama, ljuske mogu biti izuzetno racionalni ele- menti kad je o utoršku materijala reč. U opštem slučaju, ljuske mogu biti različitih oblika površi koje karakteriše Gauss- ova mera krivine, proizvod krivina glavnih pravaca (κ α i κ β): 1 K r r α β α β κ κ = = , .......................................................................... (10.1) gde su r α i r β poluprečnici krivina. Prema znaku krivine, razlikuju se (Sl. 323): Eliptične površi imaju pozitivnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri oba polu- prečnika glavnih krivina su sa iste strane površi. Ove ljuske ne mogu menjati svoj oblik bez istezanja srednje površi, zbog čega su vrlo krute. Hiperboličke površi imaju negativnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri poluprečnika glavnih krivina su na različitim stranama površi. Karakterišu se pravim izvodnicama. Parabolične površi imaju nultu Gauss-ovu krivinu. Jedan od poluprečnika gla- vne krivine im je beskonačno velik. Sl. 323. Površine različite Gauss-ove krivine Kada je debljina ljuske (h) mala u poreñenju sa poluprečnikom krivine (r), ljuska se smatra tankom, a statički tretman ovih elemenata može biti baziran na teoriji tankih ljuski. Načelno, ljuska se smatra tankom ukoliko je zadovoljeno: 1 20 h r . ........................................................................................... (10.2)

Bet. Konstr. - 10 - Ljuske

  • View
    45

  • Download
    8

Embed Size (px)

Text of Bet. Konstr. - 10 - Ljuske

  • 273

    10. ARMIRANOBETONSKE LJUSKE

    10.1.10.1.10.1.10.1. UVODUVODUVODUVOD

    Ljuske su nosee konstrukcije formirane od zakrivljenih povri, koje prihvataju

    optereenje primarno silama u ravni (ravnomerno raspodeljenim po debljini ljuske),

    ali i savijanjem, posebno u zoni oslanjanja i veze sa drugim elementima. Pogodnim

    izborom geometrije, sa malim debljinama, ljuske mogu biti izuzetno racionalni ele-

    menti kad je o utorku materijala re.

    U optem sluaju, ljuske mogu biti razliitih oblika povri koje karakterie Gauss-

    ova mera krivine, proizvod krivina glavnih pravaca ( i ):

    1K

    r r

    = =

    , .......................................................................... (10.1)

    gde su r i r poluprenici krivina. Prema znaku krivine, razlikuju se (Sl. 323):

    Eliptine povri imaju pozitivnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri oba polu-

    prenika glavnih krivina su sa iste strane povri. Ove ljuske ne mogu menjati

    svoj oblik bez istezanja srednje povri, zbog ega su vrlo krute.

    Hiperbolike povri imaju negativnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri

    poluprenika glavnih krivina su na razliitim stranama povri. Karakteriu se

    pravim izvodnicama.

    Paraboline povri imaju nultu Gauss-ovu krivinu. Jedan od poluprenika gla-

    vne krivine im je beskonano velik.

    Sl. 323. Povrine razliite Gauss-ove krivine

    Kada je debljina ljuske (h) mala u poreenju sa poluprenikom krivine (r), ljuska se

    smatra tankom, a statiki tretman ovih elemenata moe biti baziran na teoriji tankih

    ljuski. Naelno, ljuska se smatra tankom ukoliko je zadovoljeno:

    120

    hr

    . ........................................................................................... (10.2)

  • Betonske konstrukcije radna verzija - 2. decembar 2010

    274

    Osnovne pretpostavke tehnike teorije tankih ljuski su:

    Smatra se da prava vlakna upravna na srednju povr ljuske ostaju prava i

    upravna na deformisanu srednju povr, ne menjajui svoju duinu.

    Normalni naponi u pravcu normale na srednju povr su zanemarljivi u odnosu

    na ostale komponentalne napone.

    Analizu sila u preseku ljuske je pogodno sprovesti na delu povri ogranienom lini-

    jama glavnih pravaca (koordinatnim linijama). Glavni pravci su odreeni maksimal-

    nim i minimalnim poluprenicima krivine. U optem sluaju, postoji deset sila u pre-

    senim povrima ljuske: normalne sile N i N, smiue sile N i N, transverzalne

    sile Q i Q, momenti savijanja M i M i momenti torzije M i M (Sl. 324). Ovih

    deset veliina, naelno, nije mogue odrediti samo iz uslova ravnotee (problem nije

    statiki odreen), nego se moraju postaviti i dopunske veze izmeu napona, defor-

    macija i pomeranja ljuske.

    Sl. 324. Sile u presenim povrinama ljuske, opti sluaj

    Opti problem je, pod odreenim uslovima, mogue dekomponovati na nezavisne

    sluajeve membranskog i fleksionog naprezanja ljuske.

    Pretpostavljajui elastino ponaanje ljuski (Hooke-ova hipoteza), ljuska se moe

    analizirati na nain koji podrazumeva njeno naprezanje samo u srednjoj povri,

    poput membrane koja ne prua nikakav otpor savijanju. Od presenih sila, javljaju

    se samo normalne sile N i N, smiue sile N i N, a ova vrsta naprezanja se nazi-

    va membransko naprezanje ljuskmembransko naprezanje ljuskmembransko naprezanje ljuskmembransko naprezanje ljuskiiii, dok je odgovarajua teorija prorauna - mem-

    branska teorija (Sl. 325a). Membransko stanje naprezanja se moe analizirati i kod

    ljuski konane debljine pod sledeim uslovima:

    Granini uslovi oslanjanja moraju biti takvi da reaktivne sile napreu ljusku

    samo u njenoj srednjoj povri. Ovim, mogu biti spreena samo pomeranja u

    pravcu tangente na meridijalnu ivicu na kojoj se ljuska oslanja (Sl. 325b).

    Debljina ljuske mora biti dovoljno mala da se lan z/r u izrazima datim na Sl.

    324 moe zanemariti u odnosu na jedinicu. Ovim i raspodela normalnih i

    smiuih napona po visini h preseka postaje konstantna:

    N h = , N h = , N N h = = . ...................................... (10.3)

  • 10. Armiranobetonske ljuske

    275

    Srednja povr mora biti glatka i ne sme biti naglih promena u debljini ljuske.

    Optereenje mora biti kontinualno raspodeljeno, bez skokova ili koncentrisa-

    nih dejstava.

    Sl. 325. Membranske sile i membranski uslovi oslanjanja

    Sada, kada je broj nepoznatih veliina samo tri, (10.3), ove se mogu odrediti samo iz

    uslova ravnotee.

    Konturni uslovi ljuske su najee takvi da ne dozvoljavaju slobodnu membransku

    deformaciju kraja ljuske su po konturi obino kruto vezane (elastino ukljetene)

    za druge elemente (ljuske, ploe, prstenaste grede...). Ovim i membranski uslovi

    rada na krajevima ljuske ne mogu biti ostvareni, nego su poremeeni fleksionim

    silama. Osim konturnih uslova, do pojave momenata savijanja dovode i nagle pro-

    mene debljine ljuske, koncentrisana optereenja, skokovi u kontinualno promenlji-

    vom optereenju ili koncentrisana optereenja.

    Sl. 326. Fleksione sile

    Pored membranskih, u presenim ravnima ljuske javljaju se momenti savijanja i tor-

    zije, te transverzalne sile (Sl. 326). Teorija ljuski kojom se analiziraju naponi i

    deformacije ljuski ukljuujui i dejstvo momenata savijanja i transverzalnih sila

    naziva se fleksiona teorija ljuskifleksiona teorija ljuskifleksiona teorija ljuskifleksiona teorija ljuski.

    Nije ni potrebno posebno naglaavati da je danas uobiajen proraun uticaja u ljus-

    kastim elementima primenom softvera za strukturalnu analizu baziranom na prime-

    ni metode konanih elemenata. Modeliranje ljuske proizvoljne geometrije kao polie-

    darske povrine formirane od povrinskih konanih elemenata, mogunost aplicira-

    nja proizvoljnog optereenja, mogunost uticaja na tanost rezultata gustinom mre-

    e, mogunost proraunskog obuhvatanja realnih konturnih uslova... su samo neke

    od nespornih prednosti ovog naina prorauna. Ipak, sa stanovita inenjerskog

    razumevanja problema, klasini pristup proraunu je od nemerljivog znaaja i dalje.

  • Betonske konstrukcije radna verzija - 2. decembar 2010

    276

    10.2.10.2.10.2.10.2. ROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKE

    Rotacione (rotaciono-simetrine) ljuske su one ija je srednja povr rotaciona povr

    nastala obrtanjem ravanske krive linije oko jedne prave, ose obrtanja (Sl. 327).

    Koordinatne linije ovako formiranih ljuski su meridijalne krive i paralelni krugovi. U

    ravni meridijalnih krivih meri se ugao , a u ravni krunica ugao . Poluprenici gla-

    vnih krivina su r i r64.

    Sl. 327. Rotaciona ljuska

    Pretpostavljajui membrmembrmembrmembranski radanski radanski radanski rad, na elementarnom delu povrine rotacione ljuske

    optereenom komponentama povrinskog optereenja u pravcima tangente na glav-

    ne pravce, te normale na srednju povr (px, py, pz), dolazi se do tri uslova ravnotee

    (Sl. 328): dva po sumi sila u pravcu tangenti i jedan po sumi sila upravnih na srednju

    povr. Pretpostavljajui, dodatno, i rotacionorotacionorotacionorotaciono----simetrinu distribuciju optereenjasimetrinu distribuciju optereenjasimetrinu distribuciju optereenjasimetrinu distribuciju optereenja,

    kada je px jednako nuli, svi uticaji postaju samo funkcije jednog parametra ugla :

    Sl. 328. Membransko stanje rotacionih ljuski

    ( )/zN r p N r = + , 0N = , ........................................................ (10.4) ( )sin cos / ( sin )y zN r r p p d C r = + + , ...................... (10.5) gde je sa r obeleen poluprenik krunice (paralele), a integraciona konstanta C se

    odreuje iz konturnih uslova.

    64 Primetiti da r nije poluprenik krunice (paralele).

  • 10. Armiranobetonske ljuske

    277

    Pod dejstvom rotaciono-simetrinog optereenja ljuska se deformie i take ljuske

    dobijaju odgovarajua pomeranja u pravcu tangente na meridijalnu krivu, v, i u pra-

    vcu normale na povr, w. Koristei se vezama izmeu napona i deformacija (), iz

    teorije tankih ljuski je poznato:

    ( )1 N NE h

    =

    , ( )1 N NE h

    =

    . ................................. (10.6)

    Nakon uvoenja veza izmeu deformacija i pomeranja, mogu se karakteristina

    pomeranja izduenje poluprenika paralele, r, i promena ugla tangente na meri-

    dijalnu krivu, nai kao:

    ( )rr r N NE h

    = =

    ............................................................ (10.7)

    ( ) ( )cot 1r rdN N N N N NE h r r d E h

    =

    . ..... (10.8)

    Analiza fleksionog naprezanjafleksionog naprezanjafleksionog naprezanjafleksionog naprezanja ljuske, makar i rotacione, je znatno sloenije od

    membranskog. Za sluaj rotaciono-simetrinog optereenja polovina presenih sila

    je identiki jednaka nuli:

    0N N = = , 0M M = = , 0Q = . ............................................... (10.9)

    Sl. 329. Fleksiono stanje rotacionih ljuski, rotaciono-simetrino optereenih

    Za preostalih pet sila mogu se postaviti uslovi ravnotee na elementu povrine (Sl.

    329). Suma sila u pravcu tangente na meridijalnu krivu, u pravcu normale na povr,

    te suma momenata, respektivno, daju:

    ( ) cos 0yd r N r N r Q p r rd + = , ................................. (10.10) ( )sin 0zdr N r N r Q p r rd + + + = , i ................................ (10.11) ( ) cos 0d r M r M r r Q

    d

    = . .......................................... (10.12)

    Veze izmeu dilatacija i pomeranja su:

  • Betonske konstrukcije radna verzija - 2. decembar 2010

    278

    1 dv

    wr d

    = +

    ,

    cotv wr

    += ,

    1 dwv

    r d

    =

    , .................... (10.13)

    a veze izmeu presenih sila i pomeranja su date sa:

    ( )1 cotdvN D w v wr d r

    = + + +

    , 21

    E hD

    =

    , ........................ (10.14)

    ( )1 cotdvN D w v wr d r

    = + + +

    , ( )

    3

    212 1E hK

    =

    , ................. (10.15)

    1 1

    cotd dw dwM K v v

    r d r d r r d

    = +

    ......................... (10.16)

    1 1

    cotd dw dwM K v v

    r d r d r r d

    = +

    .......................... (10.17)

    Jednaine (10.10) do (10.17) predstavljaju sistem od deset jednaina sa deset nepo-

    znatih: pet presenih sila, dve komponente pomeranja (v i w) i tri komponente

    deformacijskih veliina (, i ). Prkatina reenja e biti razmatrana na primeru

    pojedinih tipova ljuski.

    U realnim konstrukcijama ljuski, membransko stanje naprezanja, pod rotaciono-

    simetrinim optereenjem, ostvaruje se u veem delu ljuske, osim, najee, u oko-

    lini konture. Ljuska je najee po svojoj konturi kruto vezana za neki drugi ele-

    ment. Zato, zbog spreenosti membranskog deformisanja, na konturi se remeti

    membransko stanje i u ljusci se javljaju uticaji od savijanja (Sl. 330).

    Sl. 330. Ivini poremeaji cilindrine ljuske kruto spojene sa drugim elementima

    Sl. 331. Momenti savijanja podu izvodnice za dugu i kratku cilindrinu ljusku

    Po svom karakteru fleksioni uticaji (poremeajni uticaji) su takvi da se relativno brzo

    priguuju za uobiajene dimenzije ljuski. Njihova veliina se (na makro-nivou pos-

    matrano) smanjuje sa udaljenjem od ivice. Ako se moe smatrati da se poremeajni

    uticaji na jednom kraju ljuske ne oseaju (ne utiu na deformaciju) na drugom kra-

  • 10. Armiranobetonske ljuske

    279

    ju ljuske, takve ljuske nazivaju se dugimdugimdugimdugim. U suprotnom, ljuske su kratkekratkekratkekratke. Na Sl. 331

    su, za dugu i kratku cilindrinu, membranski oslonjenu na dnu, ljusku, optereenu

    radijalnim horizontalnim linijskim optereenjem na obe ivice, prikazani oblici dija-

    grama momenata savijanja M.

    Presene sile kod rotaciono-simetrino optereenih rotacionih ljuski u sklopu sloe-

    nije konstrukcije mogu biti odreene primenom metode sile. Ukupne vrednosti sila

    odreuju se superpozicijom membranskog reenja i uticaja dobijenih fleksionom

    analizom ivinih poremeaja. Prvo se veze ljuske sa susednim elementima prekidaju,

    konstrukcija se dekomponuje, na nain da se pretpostavljaju membranski uslovi

    oslanjanja pojedinih elemenata. Ovim je formiran takozvani osnovni sistem, za koji

    je samo analizom uslova ravnotee mogue odrediti membransko reenje. Na mestu

    raskinute veze uvode se dve statiki nepoznate veliine: horizontalna sila XH (linijsko

    optereenje, kN/m) i moment savijanja XM (linijsko optereenje, kNm/m) (Sl. 332).

    Sl. 332. Dekompozicija konstrukcije: osnovni sistem i statiki nepoznate

    Veliine statiki nepoznatih veliina odreuju se iz uslova-pretpostavke da nema

    meusobnog razmicanja elemenata u horizontalnom pravcu u vezi, niti meusobne

    promene nagiba tangente. Skraeno, krajevi ljuski spojenih u voru imaju jednako

    horizontalno pomeranje r i obrtanje . Uslovne jednaine virtualnog rada, kojima

    se sumiraju ovi uslovi imaju poznat oblik, a broj ovih jednaina, N, odgovara broju

    statiki nepoznatih veliina:

    1 11 2 12 10

    1 21 2 22 20

    1 1 2 2 0

    ... 0... 0

    ...

    ... 0N N N

    X XX X

    X X

    + + + =

    + + + =

    + + + =

    . ......................................................... (10.18)

    Pri tome, svaki koeficijent ij ine dva sabirka, odnosno dobija se kao zbir odgovara-

    juih pomeranja na oba (prvom i drugom) elementa u vezi:

    ij ij ij = + . .................................................................................. (10.19)

    Koeficijenti i0 se odreuju kao odgovarajua pomeranja u osnovnom sistemu u pra-

    vcu i smeru usvojenih statiki nepoznatih od spoljanjih optereenja. I oni predstav-

    ljaju zbir odgovarajuih koeficijenata sa dva u voru vezana elementa.

    Kod konstrukcija formiranih od dugih ljuski, problem odreivanja statiki nepozna-

    tih se znatno pojednostavljuje. Uvoenjem pretpostavke da se ivini poremeaji na

  • Betonske konstrukcije radna verzija - 2. decembar 2010

    280

    jednom kraju ljuske ne oseaju na drugom, ini odgovarajue ij koeficijente jed-

    nakima nuli. Za posledicu, umesto jednog sistema jednaina, problem se dekompo-

    nuje na vie manjih sistema jednaina (na primer, etiri puta statiki neodreen sis-

    tem na Sl. 332, uz cilindrinu ljusku usvojenu dugom, postaje dva puta po dva puta

    statiki neodreen nezavisno je mogue odrediti statiki nepoznate u gornjoj vezi

    od onih u donjoj).

    U sluaju dejstva koncentrisanog (zapravo, linijskog) optereenja na ljusku, problem

    se reava formiranjem dve nezavisne ljuske, pokazano na Sl. 333. Pri tome je nebit-

    no da li se samo optereenje pripisuje gornjoj ili donjoj ljuski, ili se deli. Slino se

    postupa i u sluajevima ljuski kod kojih postoji skok u debljini (Sl. 334).

    Sl. 333. Dekompozicija na mestu koncentrisanog optereenja

    Sl. 334. Dekompozicija na mestu skokovite promene debljine ljuske

    Treba imati na umu da statiki nepoznate veliine izazivaju u presecima ljuske, ne

    samo momente savijanja (M i M) i transverzalne sile (Q), nego i aksijalne sile N i

    N, zbog ega se rezultujue aksijalne sile odreuju superpozicijom njihovih mem-

    branskih i fleksionih vrednosti.

    Ljuske se, u optem sluaju, dimenzioniu u dva ortogonalna glavna pravca na slo-

    eno savijanje: prstenasta armatura proizilazi kao rezultat dimenzionisanja pravou-

    gaonog poprenog preseka jedinine irine (1m) na granine vrednosti uticaja M i

    N, dok se meridijalna armatura odreuje iz odgovarajuih graninih uticaja M i N.

    Pri tome, treba voditi rauna o razliitim statikim visinama u dva upravna pravca, te

    o minimalnim koliinama armature, koje kod ljuski odgovaraju onima za pune ploe.

    10.2.1.10.2.1.10.2.1.10.2.1. SFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLE)E)E)E)

    Sferne kupole su najee konveksne ljuskaste figure pozitivne Gauss-ove krivine.

    Primenu kao armiranobetonske pronalaze jo na poetku XX veka, uglavnom kao

    krovne konstrukcije nad krunim osnovama, zahvaljujui sposobnosti da premoa-

    vaju velike raspone sa malim debljinama. U pogledu utroka materijala ovo ih svrs-

  • 10. Armiranobetonske ljuske

    281

    tava u red najracionalnijih konstrukcija. Sa druge strane, racionalnost njihove pri-

    mene je limitirana pogodnou i cenom izvoenja (skupa oplata i skela).

    Najee, rotacione sferne kupole se primenjuju za pokrivanje dvorana i hala krune

    osnove i veih raspona, te kao elementi rezervoarskih konstrukcija (Sl. 335). U

    konstrukcijama se javljaju u kombinacijama sa drugim elementima: prstenastim

    nosaima, ploama, drugim ljuskama...

    Sl. 335. Primena sfernih kupola kod hala i rezervoara

    Uobiajene debljine kupola su vrlo male za krovne konstrukcije su izmeu 5 i

    14cm, a za raspone osnove i preko 100m. Zbog male debljine, a uglavnom pritisnu-

    ti, ovi elementi mogu biti podloni gubitku stabilnosti, zbog ega je preporuka

    usvajati debljinu ljuske na nain da se membranskim radom iazazvani normalni

    naponi ogranie na manju vrednost od doputenih (preporuka je 50% doputenih)65.

    Jo jedna preporuka u pravcu obezbeenja od suvie malih debljina ljuske je ona

    kojom bi debljinu valjalo ograniiti sa donje strane u funkciji poluprenika krivine na

    sledei nain: / 0.0015d r (priblino 1/600!).

    Sl. 336. Sferne ljuske sa otvorom za osvetljenje (lanternom)

    S obzirom da su kupole optereene uglavnom mirnim kontinualnim optereenjem

    (sopstvena teina, izolacija, sneg, tenost...), to one rade preteno membranski.

    Samo u podruju oslonaca, zbog veze s drugim elementima (najee preko prste-

    nastog nosaa) javljaju se fleksioni poremeaji. Mogue neravnomerno optereenje

    vetrom redovno nije od velikog znaaja budui je malo u odnosu na ostala. Otud,

    kupole se mogu priblino proraunavati kao rotaciono-simetrino optereene.

    65 Doputeni naponi su zaostatak ranije primenjivane logike prorauna armiranobetonskih

    konstrukcija, ali je data preporuka i dalje praktino validna.

  • Betonske konstrukcije radna verzija - 2. decembar 2010

    282

    esto se krovne kupole izvode sa otvorom za osvetljenje u temenu (Sl. 336). U tom

    sluaju gornja ivica ljuske dobija prstenasto ojaanje na koje se privruju elementi

    svetlosne lanterne. Sada se i gornja ivica ljuske karakterie fleksionim uticajima.

    Kako su kod sferne ljuske poluprenici glavnih krivina jednaki:

    r r a = = , sinr a = , .................................................................. (10.20)

    to se presene sile po membranskoj teoriji nalaze lako (videti (10.4) i (10.5)):

    ( ) ( )2 sin sin cos / siny zN a p p d a = + , .................... (10.21) ( )zN a p N a = + . ..................................................................... (10.22) Karakteristina pomeranja su:

    ( )( )sin 1zar a p NE h

    = + +

    , i ................................................ (10.23)

    ( )1z ydpa pE h d

    = +

    ............................................................. (10.24)

    U nastavku je, u formi specifinog sluaja, analizirano membransko dejstvo sops-

    tvene teine sferne kupole. Kako je:

    sinyp g = i coszp g = ,

    to se aksijalne sile dobijaju:

    1 cos

    a gN

    =

    + i

    1cos

    1 cosN a g

    = +

    .

    Raspored i veliina aksijalnih sila prikazani su na Sl. 337. Primetiti da za ugao kupo-

    le vei od 51.49 prstenaste sile N prelaze iz pritiska u zatezanje. Takoe, intere-

    santno je primetiti i da normalni naponi ne zavise od debljine ljuske.

    Sl. 337. Promena aksijalnih sila za dejstvo sopstvene teine

    Za ravnomerno podeljeno optereenje po osnovi, kakvo je optereenje snegom, na

    primer, vai:

    sin cosyp p = i 2coszp p = ,

    te aksijalne sile u obliku (Sl. 338):

    0.5N a p = , ( )0.5 cos 2N a p =

  • 10. Armiranobetonske ljuske

    283

    Sl. 338. Promena aksijalnih sila za dejstvo ravnomerno podeljenog optereenja po osnovi

    Za karakteristine sluajeve optereenja (Sl. 339) izrazi za presene sile se obino

    mogu pronai u obliku tabulisanih alata. NJima se uobiajeno daju i izrazi za karak-

    teristina pomeranja.

    Sl. 339. Neki karakteristini sluajevi optereenja kupole

    Za odreivanje ivinih poremeaja kod sferne kupole, jednaine (10.10) do (10.17)

    se, uz odreena zanemarenja malih veliina i konstatovanjem da je py = pz = 0,

    svode na dve nezavisne diferencijalne jednaine oblika (k koef. priguenja):

    4

    44 4 0k

    + =

    , 44 0Q k Q

    + =

    , ( )23 1akh

    = . ............. (10.25)

    Sl. 340. Oznake uglova na ivicama kupole

    Uz oznake kao na Sl. 340, zavisno od posmatrane ivice (n = 1, 2), reenje diferenci-

    jalne jednaine se nalazi u obliku:

    ( )cosnk w nQ C e k w = + , .......................................................... (10.26) gde su C i integracione konstante odreene uslovima na konturi. Izrazi za sile u

    presecima, te integracione konstante za sluajeve ivinog optereenja horizonztal-

    nim silama i momentima, dati su na Sl. 341.

  • Betonske konstrukcije radna verzija - 2. decembar 2010

    284

    Sl. 341. Izrazi za presene sile i karakteristina pomeranja

    Dati izrazi se odnose na duge ljuske one kod kojih je zadovoljeno:

    ( )2 1 6k i 30n . .............................................................. (10.27) U praksi je, i za fleksione poremeaje, uobiajena primena tabulisanih izraza za sile

    i pomeranja. Pri tome, dovoljno je analizirati samo sluajeve prikazane na Sl. 341.

    U najveem delu kupole vlada membransko stanje, pa se i dimenzionisanje u ovom

    delu svodi na analizu centrino pritisnutog ili centrino zategnutog pravougaonog

    preseka jedinine irine. U ivinim zonama, u meridijalnom pravcu, preseci se

    dimenzioniu na sloeno savijanje, prema M i N. U zoni prostiranja poremeajnih

    uticaja obino se ljuska kontinualno zadebljava. Momenat u tangencijalnom pravcu

    je najee prihvaen ve podeonom armaturom.

    Sl. 342. Armiranje sferne ljuske (osnova)

    Sl. 343. Jednostruko i dvostruko armiranje ljuske

  • 10. Armiranobetonske ljuske

    285

    Sl. 344. Armiranje ivinih delova kupole

    Teme ljuske se, kao kod krunih ploa, armira ortogonalnom mreom. Ostatak ljus-

    ke se armira meridijalnom i prstenastom armaturom . Kako se razmak meridijalne

    armature poveava udaljavanjem od temena (smanjuje se povrina armature po

    jedinici duine), to je neophodno (ak zbog odravanja neophodnog minimuma

    armature ili doputenog razmaka izmeu ipki) polovljenje razmaka sve kraim ip-

    kama (Sl. 342). Ljuska se u veem delu armira mreom u sredini debljine (za ljuske

    debljine manje od 7cm) ili simetrinim mreama na oba lica (za debljine preko 7cm)

    (Sl. 343). U zoni ojaanja, obostrano armiranje se u meridijalnom pravcu najee

    postie ipkama oblika ukosnica, a tangencijalna armatura u obe zone ima karakter

    podeone (Sl. 344).

    Tanke ljuske se, po pravilu, zadebljavaju na spoju sa ivinim elementima (prstenom)

    u cilju obezbeenja mogunosti prijema poremeejnih momenata savijanja (Sl. 344).

    10.2.2.10.2.2.10.2.2.10.2.2. KONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKE

    Konusne ljuske se najee koriste (Sl. 345) za levkove silosa i bunkera, kod rezer-

    voarskih konstrukcija i vodotornjeva, kao stubovi tornjeva, kod dimnjaka... Mogu se

    izvoditi kao klasine armiranobetonske ili kao prednapregnute ljuske, najee u

    horizontalnom pravcu. Kod konusnih ljuski, glavni poluprenik krivine r ima besko-

    nanu duinu, izvodnica u meridijalnom pravcu je prava linija.

    Sl. 345. Primeri primene konusnih ljuski

    Sl. 346. Membranski uslovi oslanjanja konusne ljuske i geometrijske oznake

    Uvoenjem veza (Sl. 346):

  • Betonske konstrukcije radna verzija - 2. decembar 2010

    286

    cotr y = , dy r d = , cosr y = , yN N , ............................ (10.28)

    mogu se odrediti vrednosti presenih sila i pomeranja po membranskoj teoriji:

    ( )cos sin cos

    sin cosy z

    y

    p p y dyN

    y

    + =

    , ...................................... (10.29)

    cotzN y p = , .......................................................................... (10.30)

    ( )cos cotz yyr y p NE h

    = +

    , ................................................. (10.31)

    ( )2cot coty z ydN y p y pE h dy = +

    . .................................... (10.32)

    Za sluaj dejstva sopstvene teine (Sl. 347), komponente optereenja su:

    sinyp g = , coszp g = ,

    a vrednosti presenih sila su:

    ( )/ 2 sinyN g y = , 2sin cotN g y = .

    Sl. 347. Promena aksijalnih sila za dejstvo sopstvene teine

    Za dejstvo jednako podeljenog optereenja po osnovi (Sl. 348) bie:

    sin cosyp p = , 2coszp p = ,

    1cot

    2yN p y = ,

    3cos

    sinN p y

    =

    Sl. 348. Promena aksijalnih sila za dejstvo jednako podeljenog optereenja po osnovi

    Sl. 349. Neki karakteristini sluajevi optereenja konusne ljuske

    Za karakteristine sluajeve optereenja (poput onih datih na Sl. 349) izrazi za pre-

    sene sile se obino mogu pronai u obliku tabulisanih alata. NJima se uobiajeno

    daju i izrazi za karakteristina pomeranja.

    Neporemeeno membransko stanje je mogue samo ako je ivica ljuske oslonjena na

    nain da reakcija oslonca dejstvuje u srednjoj ravni ljuske. Normalno, ivica ljuske

  • 10. Armiranobetonske ljuske

    287

    zavrava obodnim prstenom, koji uzrokuje ivine poremeaje. Spoj ljuske i prstena

    moe biti zgloban ili krut (Sl. 350).

    Sl. 350. Sile na spoju konusme ljuske i prstena

    Sl. 351. Oznake na krajevima ljuske

    Za odreivanje ivinih poremeaja kod sferne kupole, jednaine (10.10) do (10.17)

    se, uz odreena uproenja, svode na diferencijalnu jednainu etvrtog reda po

    nepoznatoj promeni ugla obrtanja (k koef. priguenja):

    4

    44 4 0ky + =

    , ( )2tan 3 1k

    y h

    =

    ........................................ (10.33)

    Uz oznake kao na Sl. 351, reenje jednaine se moe napisati u obliku:

    ( )cosn nk d n nC e k d = + , .......................................................... (10.34) gde se konstante C i odreuju iz konturnih uslova. Vrednosti presenih sila i

    karakteristinih pomeranja su date na Sl. 352. Izrazi vae za duge ljuske, kod kojih

    je zadovoljeno:

    ( )2 1 6k y y ................................................................................ (10.35)

    Sl. 352. Izrazi za presene sile i karakteristina pomeranja

    Konusne ljuske se armiraju u smeru izvodnice i po koncentrinim krugovima. Broj

    ipki koje se pruaju po izvodnicama, po jedinici duine se smanjuje sa pribliava-

    njem ivici, to valja nadomestiti ubacivanjem meu-ipki. Ljuske deblje od 8cm se

  • Betonske konstrukcije radna verzija - 2. decembar 2010

    288

    armiraju u dve zone celom povrinom. Uz prsten, ljuska se dimenzionie na ekscen-

    trini pritisak u pravcu izvodnice.

    10.2.3.10.2.3.10.2.3.10.2.3. CILINDRINE LJUSKECILINDRINE LJUSKECILINDRINE LJUSKECILINDRINE LJUSKE

    Armiranobetonski cilindri se koriste kod konstrukcija rezervoara, silosa i bunkera

    krune osnove (Sl. 353). Kod rezervoara, cilindar se sa donje strane zatvara kru-

    nom ploom, koja je najee kruto spojena s cilindrom, ali je mogue i reenje sa

    plivajuom varijantom. Sa gornje strane, cilindar se zatvara ili krunom ploom ili

    ljuskom, preko krunog prstenastog nosaa. Kod vodotornjeva, cilindri se projektu-

    ju u sklopu sa ostalim ljuskastim elementima u cilju formiranja pogodne geometrije.

    Kod silosa, elije krune osnove su dugaki cilindri u dnu najee vezani s konus-

    nom ljuskom levka.

    U svim ovim sluajevima, optereenje na povrinu cilindra je po pravilu rotaciono

    simetrino (pritisak tenosti, zrnastog materijala ili tla).

    Sl. 353. Primeni primene cilindrinih rotacionih ljuski

    Kod cilindrine ljuske je glavni poluprenik r beskonane duine, a ugao je 90,

    to meridijalnu krivu transformie u vertikalnu pravu izvodnicu.

    Sl. 354. Membranski uslovi oslanjanja cilindrine ljuske i geometrijske oznake

    Uvoenjem veza:

    r a = , dy r d = , yN N , ........................................................ (10.36)

    izrazi za membranske sile i pomeranja postaju:

    y yN p dy= , ................................................................................ (10.37) zN a p = (kotlovska formula), .................................................... (10.38)

    ( )z yar a p NE h = +

    , ............................................................... (10.39)

    z ydpa

    a pE h dy

    =

    . ............................................................... (10.40)

  • 10. Armiranobetonske ljuske

    289

    Za sluaj delovanja sopstvene teine (Sl. 355a) bie:

    yN g y= , 0N = , a g y

    rE h

    =

    , a g

    E h =

    .

    Sl. 355. Dejstvo sopstvene teine i tenosti

    Za dejstvo tenosti (Sl. 355b) bie:

    0yN = , p a yN

    L

    = , 2a p y

    rE h L

    =

    , 2a p

    E h L =

    .

    Za druge sluajeve optereenja (poput onih na Sl. 356) izrazi za presene sile i kara-

    kteristina pomeranja se obino mogu pronai u obliku tabulisanih alata.

    Sl. 356. Karakteristini sluajevi optereenja

    Jednaine fleksione teorije se, uz (10.36) i:

    yQ Q , yM M , .h const= , .................................................... (10.41)

    svode na jednu diferencijalnu jednainu etvrtog stepena:

    4

    44 4 0

    zpd w k wdy K

    + + = , ( )23 1

    ka h

    =

    . ....................................... (10.42)

    U optem sluaju, reenje je oblika:

    ( ) ( )0 1 2 3 4cos sin cos sinky kyw w e C ky C ky e C ky C ky= + + + + , ............... (10.43) gde je w0 partikularno reenje, a integracione konstante se odreuju iz konturnih

    uslova. Za duge ljuske, kod kojih je:

    6k L , ........................................................................................ (10.44) ivini poremeaji se odreuju iz reenja homogenog dela diferencijalne jednaine,

    koja se odnosi na ljusku bez povrinskog optereenja, a za optereenje samo po

    konturi:

    4

    44 4 0

    d w k wdy

    + = . .......................................................................... (10.45)

    Reenje jednaine:

    ( ) ( )1 2 3 4cos sin cos sinky kyw e C ky C ky e C ky C ky= + + + ....................... (10.46)

  • Betonske konstrukcije radna verzija - 2. decembar 2010

    290

    predstavlja zbir dve priguene oscilatorne funkcije. Kad je ljuska duga, uticaji s jed-

    nog kraja se ne prenose na drugi, pa se reenje svodi na oblik s dve integracione

    konstante:

    ( )1 2cos sinkyw e C ky C ky= + . .......................................................... (10.47)

    Sl. 357. Oznake na krajevima ljuske

    Uz oznake sa Sl. 357, reenje se moe napisati u obliku:

    ( )cosnk d nw C e k d = + , ............................................................ (10.48) gde se konstante C i odreuju iz konturnih uslova. Vrednosti sila u preseku i

    karakteristinih pomeranja su date na Sl. 358.

    Sl. 358. Izrazi za presene sile i karakteristina pomeranja

    Za delovanje samo horizontalne sile XH na konturi, integracione konstante su:

    22

    Ha kC X

    E h

    =

    , i 0 = , ............................................................... (10.49)

    dok je za delovanje samo momenta savijanja XM:

    2 24

    2 Ma kC X

    E h

    =

    , 4pi = . .............................................................. (10.50)

    Puno ukljetenje cilindrinog zida u temelj (Sl. 359a) rezultira veim poremeajnim

    momentima My i manjim aksijalnim silama N u odnosu na sluaj elastinog uklje-

    tenja dna cilindra (Sl. 359b).

    Sl. 359. Puno i elastino ukljetenje dna cilindrinog zida

  • 10. Armiranobetonske ljuske

    291

    Sl. 360. Armiraje donjeg dela cilindra i veza sa oslonakim elementima

    Rotaciono simetrine cilindrine ljuske se u tangencijalnom pravcu dimenzioniu i

    armiraju na centrini pritisak ili zatezanje. U pravcu izvodnice, preseci su optereeni

    na sloeno savijanje (momenti My i aksijalne sile Ny).

    Zateue prstenaste sile N se prihvataju prstenastom armaturom, koja se, po pravi-

    lu, postavlja sa unutranje strane, budui da ne prihvata momente savijanja. U verti-

    kalnom pravcu, krak unutranjih sila se maksimizira postavljanjem vertikalne arma-

    ture kao spoljanja. Na Sl. 360 prikazan je detalj armiranja cilindra za sluaj punog i

    elastinog ukljetenja.

    10.3.10.3.10.3.10.3. LJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVI

    Tanke ljuske se danas uspeno primenjuju kao krovne konstrukcije velikih raspona,

    kod hangara, hala, stadiona, dvorana... Prostorni rad omoguava znaajno smanje-

    nje teine. Mogu biti prizmatine (cilindrine), konusne, ljuske dvojne zakrivljenosti

    ili naborane konstrukcije.

    10.3.1.10.3.1.10.3.1.10.3.1. PRIZMATINE (CILINDRPRIZMATINE (CILINDRPRIZMATINE (CILINDRPRIZMATINE (CILINDRINE) KROVNE LJUSKEINE) KROVNE LJUSKEINE) KROVNE LJUSKEINE) KROVNE LJUSKE

    Prizmatinim se nazivaju one ljuske koje nastaju translacijom prave izvodnice po

    dvema identinim voicama, najee u obliku elipse, parabole ili krunice. Gauss-

    ova krivina ovih ljuski je jednaka nuli, a, da bi zadrale oblik pod optereenjem,

    moraju zavravati krutim dijafragmama (Sl. 361a). Kako su, iz uslova na konturi,

    meridijalne sile N jednake nuli na podunim ivicama, to se optereenje ljuske moe

    prenositi samo savijanjem.

    Sl. 361. Elementi prizmatine krovne konstrukcije i membranske presene sile

  • Betonske konstrukcije radna verzija - 2. decembar 2010

    292

    Sl. 362. Popreni i poduni presek kroz prizmatinu ljuskastu krovnu konstrukciju

    U podunom pravcu, grubo, ljuska se ponaa kao gredni element raspona l1, a

    savojna krutost ovakve grede se uveava projektovanjem ivinih elemenata (Sl.

    361, Sl. 362).

    Ovakve ljuske se najee projektuju kao vietalasne, reanjem jedne uz drugu na

    nain da dve susedne imaju zajedniki ivilni element. Kod srednjih ivinih elemenata

    ovo rezultira ponitavanjem horizontalnih projekcija membranskih sila N. Kod sre-

    dnjih ljuski je, ovim, savijanje u poprenom pravcu znaajno redukovano, a u podu-

    nom pravcu raspodela normalnih sila Nx priblino odgovara onoj kod grednih ele-

    menata. Krajnje ljuske, pak, zahtevaju sloeniji (momentni) proraunski tretman u

    oba pravca. Alternativa je dodatno ukruenje krajnjih ljuski poprenim dijafragmama

    u cilju smanjenja poprenih deformacija. Na Sl. 363, za jednorasponsku ljusku, pri-

    kazan je uticaj poprenog ukruenja na deformaciju ljuske.

    Sl. 363. Deformacija ljuske, optereene sopstvenom teinom, bez i sa poprenim ukruenjem

    I u podunom pravcu ljuske mogu biti projektovane kao vierasponske.

    Specifian nain primene cilindrinih ljuski, kod ed krovova, prikazan je na Sl. 364.

    Sl. 364. Primena cilindrinih ljuski kod ed krovova

    Iako je membransko stanje naprezanja karakteristika veeg dela povrine ljuske (bar

    kad je o optereenjima od sopstvene teine ili snega re), na spoju ljuske sa dijafra-

    gmama i ivinim elementima ono je neminovno narueno i, na ovim mestima, javlja-

    ju se poremeajni uticaji. Njihovo proraunsko odreivanje je mogue samo

    korienjem klasine momentne teorije ljusaka ili, danas je to uobiajena praksa,

    primenom softvera baziranih na metodi konanih elemenata.

  • 10. Armiranobetonske ljuske

    293

    Ljuske kod kojih je odnos raspona l2 prema l1 vei od 1 (redovno izmeu 3 i 4) nazi-

    vaju se dugimdugimdugimdugim. Njihov rad u podunom pravcu je blizak grednom elementu raspona

    l1 i poprenog preseka koji formiraju ljuska i ivini elementi. Raspon dugih ljuski u

    podunom pravcu je uobiajeno izmeu 20 i 30m. Strela svoda, f, zajedno sa visi-

    nom ivinog elementa, usvaja se veom od desetine podunog i estine poprenog

    raspona. Ivini elementi (Sl. 365; date su i uobiajene dimenzije) mogu biti projek-

    tovani razliitih oblika, zavisno od intenziteta pojedinih uticaja, te potrebe prijema

    horizontalnih i/ili vertikalnih optereenja s ljuske.

    Sl. 365. Mogui oblici poprenog preseka ivinih elemenata

    Oslonake dijafragme mogu biti projektovane kao puni zidni nosai, reetkasti, luni

    (sa zategom) ili okvirni. Na Sl. 366 prikazani su neki oblici oslonakih dijafragmi i

    popreni preseci ivinih elemenata vietalasnih ljuski.

    Sl. 366. Dijafragme i ivini elementi vietalasnih ljuski

    Priblini proraun dugih ljuski, za srednja polja vietalasnih dispozicija, moe odgo-

    varati proraunu grednih elemenata iji popreni presek formiraju preseci ljuske i

    ivinih elemenata. Poloaj neutralne linije odreuje se za ovako pretpostavljeni

    homogen presek. Dodatna aproksimacija moe biti pretpostavka linearne raspodele

    normalnih napona po visini preseka, kako je na Sl. 367 prikazano za presek ljuske

    bez ivinih elemenata.

    Sl. 367. Aproksimacija raspodele normalnih i smiuih napona po visini preseka ljuske

    Kod krajnjih talasa, ili jednotalasnih ljuski, krajevi preseka se mogu pomerati i hori-

    zontalno i vertikalno, pa prethodna aproksimacija ne moe biti efikasno primenjena.

  • Betonske konstrukcije radna verzija - 2. decembar 2010

    294

    Presek dugih ljuski se dimenzionie prema dijagramu normalnih napona x, glavnih

    kosih napona po vrednosti jednakih smiuim x i napona od poremeajnih mome-

    nata savijanja. Zateue normalne napone u celini prihvata armatura, ija se potreb-

    na povrina odreuje iz rezultantne sile zatezanja. Za kruni cilindar Sl. 367, bie:

    ( )0 02 sinxgu gg

    r hZ r r y

    y

    = . .......................................... (10.51)

    Sl. 368. Optereenje dijafragme

    Smiui naponi (na visini neutralne linije brojno jednaki glavnim kosim naponima) se

    odreuju iz globalne smiue sile, Tu, na poznat nain, usvajajui za irinu preseka

    dvostruku debljinu ljuske (S statiki moment povrine preseka iznad teita):

    2

    ux

    T SI h

    =

    . ................................................................................... (10.52)

    Na dijafragme se optereenje s ljuske prenosi preko sila Sx, koje tangiraju srednju

    povr ljuske (Sl. 368), a odreuju se iz smiuih napona u ljusci na osloncu. Uz ovo,

    dijafragme su, naravno, optereene i sopstvenom teinom.

    Poduna zategnuta armatura (10.51) se, po pravilu, koncentrie u dno ivinog ele-

    menta (na maksimalnom kraku) i, naelno, njena koliina opada od sredine raspona

    ka osloncima (Sl. 369a). Ljuska se armira mreom, u podunom i poprenom prav-

    cu, po celoj povrini, a ljuske debljine vee od 9cm se armiraju dvostruko. Uz ivine

    elemente i uz dijafragme, potreba za armaturom se odreuje i na osnovu intenziteta

    poremeajnih uticaja, kada je ljuska optereena na savijanje sa aksijalnom silom.

    Prelaz od ljuske prema ivinom elementu esto (posebno u sluaju vrlo tankih ljuski)

    treba projektovati kao zadebljan (vuta). Na spoju sa ivinim elementom debljina lju-

    ske je 2 do 2.5 puta vea od one u sredinjem delu, a duina postepenog poveanja

    debljine je minimalno 10 debljina ljuske (Sl. 369b).

    Sl. 369. Armiranje preseka ivinog elementa

  • 10. Armiranobetonske ljuske

    295

    KratkeKratkeKratkeKratke ljuske su one sa podunim rasponom manjim od poprenog. Poduni rasponi

    su uobiajeno u granicama izmeu 5 i 12m, popreni idu i do 30m, strela luka se

    usvaja veom od sedmine poprenog raspona, a debljine ljuski se usvajaju u grani-

    cama izmeu 6 i 12cm.

    Sl. 370. Kratka prizmatina ljuska

    Ovakve ljuske prostorno prenose optereenje i aproksimacije komentarisane kod

    dugih ljuski ovde ne mogu biti primenjene. Ljuska preko smiuih napona koji tan-

    giraju srednju povr prenosi optereenje na dijafragme (samo 4-5% optereenja lju-

    ske se na dijafragme prenese preko poprenih poremeajnih sila).

    Priblino, zategnuta armatura u ivinim elementima moe se odrediti usvajanjem

    kraka unutranjih sila jednakim oko 55% visine celog preseka:

    ( ) ( )2 2

    2 1 2 118 2 0.55 9

    u ua

    v v v v

    Z M q l l q l lAz f a f a

    = = = =

    + +. ................ (10.53)

    Ljuska se armira lakom mreom (na primer prenikom 6 na razmaku 12 ili 15cm),

    a maksimalni razmak ica ne sme biti vei od dvostruke debljine niti od 20cm. Iznad

    dijafragmi i na spoju ljuske sa ivinim elementima postavlja se dopunska armatura

    za prijem momenata savijanja.

    DijafragmaDijafragmaDijafragmaDijafragma kratkih ljuski optereena je smiuim silama koje deluju tangencijalno

    na srednju povr ljuske. U tom, poprenom, pravcu, ljuska je pritiskujue napregnu-

    ta, a za maksimalnu silu pritiska dovoljno je tano odrediti:

    N q r = , .................................................................................... (10.54)

    gde je q ukupno optereenje, a r poluprenik zakrivljenosti ljuske. Ukupna sila priti-

    ska za krajnju i za srednju dijafragmu (poduni pravac) iznosi:

    112

    N q r l= , 1N q r l= . .............................................................. (10.55)

    Kako ivini elementi ne mogu primiti pritiskujue sile poprenog pravca, N, to se

    ove postepeno smanjuju od maksimalne vrednosti u temenu do nule na ivicama.

    Zakon ove promene se moe aproksimirati kvadratnom parabolom (Sl. 371):

  • Betonske konstrukcije radna verzija - 2. decembar 2010

    296

    ( ) 21 2 22 /xN q r l l x x l= . za krajnju, i .......................................... (10.56) ( ) 21 2 24 /xN q r l l x x l= , za srednju dijafragmu. ........................ (10.57)

    Sl. 371. Kvadratna parabola

    Smanjenje sile pritiska u ljusci rezultira rastom tangencijalnih sila:

    ( )1 222

    4 2xxdN q r lT l xdx l

    = = . ........................................................ (10.58)

    Za x = 0, za krajnju, odnosno srednju, dijafragmu, bie:

    1max

    2

    2 q r lTl

    = , i 1max2

    4 q r lTl

    = . ................................................... (10.59)

    Uz pretpostavku da se aksijalna sila smanjuje po zakonu sinusa, rezultati za optere-

    enje dijafragme su slini, za krajnju, odnosno za srednju, dijafragmu:

    1max

    22q r lT

    lpi

    =

    , i 1max

    2

    q r lTl

    pi = . .................................................. (10.60)

    10.3.2.10.3.2.10.3.2.10.3.2. KROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNE ZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTI

    Sferne krovne ljuske se mogu izvoditi i ojaane rebrima u vidu rebrastih kupolarebrastih kupolarebrastih kupolarebrastih kupola.

    Rebra se pruaju u meridijalnim i prstenastim ravnima i monolitno su vezana s tan-

    kom ljuskom. Pri dnu kupole, rebra se spajaju pomou leinog prstena, koji prima

    razupirue sile meridijalnih rebara. esto se izvode od montanih elemenata (Sl.

    373).

    Sl. 372. Rebraste kupole

  • 10. Armiranobetonske ljuske

    297

    Sl. 373. Montani element rebraste kupole i detalj spoja rebrom

    Proraun rebrastih kupola je relativno komplikovan ve i za rotaciono simetrino

    optereenje, zbog visokog stepena statike neodreenosti.

    Plitke ljuskePlitke ljuskePlitke ljuskePlitke ljuske nastaju translacijom izvodnice u obliku parabole, elipse ili krunice po

    dvema voicama koje su takoe u obliku parabole, elipse ili krunice. Mogu se

    zamisliti kao iseak kupole nad ne-krunom (pravougaonom, trougaonom...) osno-

    vom. Poput ostalih ljuski s pozitivnom Gauss-ovom krivinom, odlikuju se velikom

    krutou, a optereenje prenose u dva smera. Otud, njihova primena je karakteristi-

    na za velike raspone i povrine i u tom smislu su u prednosti nad prizmatinim

    (izmeu ostalog, i manje debljine ljuske). Plitkima se nazivaju one ljuske kod kojih

    odnos strele prema kraem rasponu nije vei od 1/5.

    Mogu biti jednotalasne i vietalasne, kao i kratke i duge. Kratke ljuske u podunom

    pravcu najee naleu na dijafragme, a u poprenom na ivine elemente (Sl. 374a).

    Krajevi ljuske, uz spoj sa oslonakim elementima, se postepeno zadebljavaju do

    debljine 2 do 2.5 puta vee od one u sredinjem delu, na irini od priblino petna-

    estine do desetine odgovarajueg raspona.

    Sl. 374. Plitke ljuske

    I eksperimentalna ispitivanja potvruju membranski rad sredinjeg dela ljuske

    sredinji deo je izloen dvoosnom aksijalnom pritisku, to implicira konstruktivno

    armiranje. Podune zateue sile, kao i momenti savijanja u poprenom pravcu, se

    javljaju u zoni ivinih elemenata. Smiue sile su koncentrisane u uglovima ljuske i

    prihvataju se ivinim ojaanjima.

  • Betonske konstrukcije radna verzija - 2. decembar 2010

    298

    Sl. 375. Pomeranje i aksijalne sile Nx plitke ljuske optereene sopstvenom teinom

    Plitke ljuske se mogu proraunavati samo priblino po teoriji ljuski, ali se danas

    uspeno proraunavaju primenom numerikih metoda (MKE). Problematinost

    egzaktnog proraunskog tretmana posebno je izraena u aspektu kontrole izboa-

    vanja, zbog ega ovde valja biti oprezan i konzervativan.

    Ljuska se armira u smeru glavnih napona zatezanja i mreom koja se postavlja po

    celoj povrini. Uz ivice, ljuska se obavezno armira dvostruko.

    Konoidne ljuskeKonoidne ljuskeKonoidne ljuskeKonoidne ljuske nastaju translacijom prave izvodnice po dvema voicama, od kojih

    je prva prava, a druga je kriva. Kako kriva voica moe biti razliitih oblika, to je i

    velik broj mogunosti obrazovanja konoidnih ljuski. Za pokrivanje povrina najpo-

    godnije su one konoidne ljuske kojima je druga izvodnica mimoilazni pravac (hiper-

    bolini paraboloid, Sl. 376a) ili parabola (konoid, Sl. 376b).

    Sl. 376. Primeri konoidnih ljuski: hiperbolini paraboloid i konoid

    Hiperbolini paraboloid je ljuska negativne Gauss-ove krivine (jedan pravac je kon-

    veksan, drugi konkavan), to je ini deformabilnom i zategnutom u jednom pravcu,

    ali se oplata moe formirati od pravih dasaka, to znaajno pojednostavljuje izvoe-

    nje (Sl. 377).

    Sl. 377. Konkavni i konveksni pravac hiperbolinog paraboloida i prave izvodnice

    Moe biti oslonjen na samo dva stuba. Ako stubovi podupiru nie uglove, potrebno

    je izmeu stubova projektovati zategu (Sl. 378b). Ako su poduprti vii uglovi, poe-

    ljno je projektovati razupira, kako je pokazano na Sl. 378a.

  • 10. Armiranobetonske ljuske

    299

    Sl. 378. Hiperbolini paraboloid oslonjen na dva stuba

    Krovnu konstrukciju je mogue formirati i kombinovanjem vie hiperbolinih para-

    boloida (Sl. 379).

    Sl. 379. Kombinovani krovovi od hiperbolinih paraboloida

    Sl. 380. Proraunski model hiperbolinog paraboloida

    Vertikalno optereen (ravnomerno po osnovi) hiperbolini paraboloid se moe jed-

    nostavno proraunati po membranskoj teoriji (drugi izvod po x i y osi je jednak

    nuli). Jednaina srednje povri je (Sl. 380):

    z C x y= ...................................................................................... (10.61)

    Smiue sile u presecima paralelnim s ivicama se odreuju prema:

    ( ) ( )2 2xyN Z C G C= = , za Z G= , .............................................. (10.62) a normalne sile, ondo glavne normalne sile (u dijagonalnim presecima) su:

    0x yN N= = , 1 2 xyN N N= = . ........................................................... (10.63)

    Na ivicama ljuske smiue sile moraju preuzeti ivini elementi ili dijafragme.

    Hiperbolini paraboloidi su zbog svoje statike i konstrukcijske jednostavnosti, te

    zbog vizuelnog efekta, vrlo provlane za primenu. Meutim, valja biti oprezan kad

    su njihove mane u pitanju (negativna Gauss-ova krivina ini ove ljuske vrlo osetlji-

    vim na promenljiva lokalna i na koncentrisana optereenja, kao i na promenne obli-

    ka usled, na primer, izduenja zatege).

  • Betonske konstrukcije radna verzija - 2. decembar 2010

    300

    Armiraju se ortogonalnom mreom u jednom ili dva reda, a izmeu njih se postavlja

    kosa armatura za prihvat smiuih sila.

    Sl. 381. Iseak konoidne ljuske kao ed-krov

    Konoid je racionalna ljuska preteno naprezana membranskim uticajima, a pogodna

    za ed krovne konstrukcije (Sl. 381). U donjem delu konoida se javljaju zateue sile

    i potreba za zategnutom armaturom. Armatura se postavlja u dva reda u podruju

    pritiska, a u zategnutoj zoni se moe armirati jednostrukom mreom. Izmeu dva

    sloja armature, u uglovima ploe treba postaviti kosu armaturu za prihvatanje glav-

    nih kosih napona zatezanja.

    10.3.3.10.3.3.10.3.3.10.3.3. POLIEDARSKEPOLIEDARSKEPOLIEDARSKEPOLIEDARSKE KROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJE

    Poliedarske povri se formiraju od tankih ravnih ploa monolitno vezanih pod izves-

    nim uglom na nain da formiraju noseu strukturu. Svaka ivica je oslonac dveju

    susednih ploa. Zavisno od oblika pojedinih ploa (pravougaone, trapezne, trougao-

    ne) razlikujemo prizmatine ili piramidalne poliedarske konstrukcije. Ploe poliedara

    su uglavnom napregnute u sopstvenim ravnima, ali neizostavno i momentima savi-

    janja i smiuim silama na ivicama: zbog monolitne veze izmeu noseih povrina,

    podune deformacije u pravcu pruanja ivice moraju biti jednake, a time i normalni

    naponi, zbog ega po se ivici javljaju smiue sile. Proraun uticaja u presecima

    povri je danas podrazumevan kao rezultat primene metode konanih elemenata.

    Sl. 382. Neke mogunosti oblikovanja poliedarskih krovnih konstrukcija

    Rasponi poliedarskih krovnih konstrukcija uobiajeno dostiu raspone reda 20 do

    30m, a kao prednapregnute i znatno vee (do 60m). Nabori se postavljaju u pop-

    renim pravcima i oslanjaju se na dijafragme krute u svojoj ravni (Sl. 382). Zbog

  • 10. Armiranobetonske ljuske

    301

    jednostavnijeg izvoenja (jednostavnija oplata) mogu biti u znaajnoj prednosti u

    odnosu na cilindrine ljuske (uprkos manjoj ekonominosti po pitanju utroka

    materijala).

    irina jednog poliedarskog elementa uobiajeno ne prelazi 3.0 do 3.5m i projektuju

    se debljine, uobiajeno, 5 do 9cm. Visina krovne konstrukcije je u intervalu izmeu

    dvadesetine i desetine raspona. esto se izvode od montanih elemenata, a neki od

    ee korienih oblika poprenih preseka su prikazani na Sl. 383. Mogu biti jedno-

    rasponske ili vierasponske, a irina talasa, l2, je uobiajeno izmeu 10 i 12m.

    Sl. 383. esto korieni preseci montanih elemenata poliedarskih krovova

    Priblini proraun prizmatinih poliedarskih konstrukcija moe biti sproveden ana-

    logno cilindrinim (Sl. 384).

    Sl. 384. Proraunski model priblini proraun

    Neki primeri sloenijih poliedarskih krovova, formiranih od trougaonih ploa su pri-

    kazani na Sl. 385.

    Sl. 385. Sloeni poliedarski krovovi formirani od trougaonih ploa

    atoraste konstrukcije su poliedarske konstrukcije formirane od monolitno vezanih

    trapeznih i trougaonih ploa okrenutih vrhom nagore, najee oslonjene u uglovi-

    ma na stubove (Sl. 386).

    Sl. 386. atorasti krovovi

    Zbog konveksnog oblika, mogu biti racionalne i za blage nagibe, a pri tome mini-

    malno armirane. Strele atora su uobiajeno u rasponima L/12 do L/8.

  • Betonske konstrukcije radna verzija - 2. decembar 2010

    302

    Na Sl. 387a prikazan je karakteristian detalj armiranja u poprenom preseku nabo-

    ra. Ploe se armiraju glavnom armaturom za prijem savijanja u pravcu raspona slo-

    ene ljuske (takasto prikazana armatura u ivinoj zoni), te poprenom armaturom

    koja, naelno, obezbeuje popreni prenos optereenja sa ploa na ivine elemente

    (ivice). U blizini ivice i dijafragme ploe se armiraju u dva reda radi prihvatanja

    negativnih momenata savijanja. Dodatno, na spoju ploe i dijafragme se postavlja

    armatura za prijem smiuih sila (Sl. 387b).

    Sl. 387. Neki detalji armiranja poliedarskih krovova

    Za maksimalne doputene razmake ipki armature, te za minimalne procente armi-

    ranja, vae iste odredbe kao i za pune ploe.