10 - Ljuske

266

10. ARMIRANOBETONSKE LJUSKE

10.1.10.1.10.1.10.1. UVODUVODUVODUVOD

Ljuske su noseće konstrukcije formirane od zakrivljenih površi, koje prihvataju opterećenje

primarno silama u ravni (ravnomerno raspodeljenim po debljini ljuske), ali i savijanjem,

posebno u zoni oslanjanja i veze sa drugim elementima. Pogodnim izborom geometrije, sa

malim debljinama, ljuske mogu biti izuzetno racionalni elementi kad je o utoršku materijala

reč.

U opštem slučaju, ljuske mogu biti različitih oblika površi koje karakteriše Gauss-ova mera

krivine, proizvod krivina glavnih pravaca (κα i κβ):

1

Kr rα βα β

κ κ= ⋅ =⋅

, ..................................................................................... (10.1)

gde su rα i rβ poluprečnici krivina. Prema znaku krivine, razlikuju se (Sl. 348):

• Eliptične površi imaju pozitivnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri oba poluprečnika

glavnih krivina su sa iste strane površi. Ove ljuske ne mogu menjati svoj oblik bez

istezanja srednje površi, zbog čega su vrlo krute.

• Hiperboličke površi imaju negativnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri poluprečnika

glavnih krivina su na različitim stranama površi. Karakterišu se pravim izvodnicama.

• Parabolične površi imaju nultu Gauss-ovu krivinu. Jedan od poluprečnika glavne

krivine im je beskonačno velik.

Sl. 348. Površine različite Gauss-ove krivine

Kada je debljina ljuske (h) mala u poreñenju sa poluprečnikom krivine (r), ljuska se smatra

tankom, a statički tretman ovih elemenata može biti baziran na teoriji tankih ljuski. Načelno,

ljuska se smatra tankom ukoliko je zadovoljeno:

1

20

h

r≤ . ........................................................................................................ (10.2)

Osnovne pretpostavke tehničke teorije tankih ljuski su:

• Smatra se da prava vlakna upravna na srednju površ ljuske ostaju prava i upravna na

deformisanu srednju površ, ne menjajući svoju dužinu.

10. Armiranobetonske ljuske

267

• Normalni naponi u pravcu normale na srednju površ su zanemarljivi u odnosu na

ostale komponentalne napone.

Analizu sila u preseku ljuske je pogodno sprovesti na delu površi ograničenom linijama

glavnih pravaca (koordinatnim linijama). Glavni pravci su odreñeni maksimalnim i

minimalnim poluprečnicima krivine. U opštem slučaju, postoji deset sila u presečnim

površima ljuske: normalne sile Nα i Nβ, smičuće sile Nαβ i Nβα, transverzalne sile Qα i Qβ,

momenti savijanja Mα i Mβ i momenti torzije Mαβ i Mβα (Sl. 349). Ovih deset veličina, načelno,

nije moguće odrediti samo iz uslova ravnoteže (problem nije statički odreñen), nego se

moraju postaviti i dopunske veze izmeñu napona, deformacija i pomeranja ljuske.

Sl. 349. Sile u presečnim površinama ljuske, opšti slučaj

Opšti problem je, pod odreñenim uslovima, moguće dekomponovati na nezavisne slučajeve

membranskog i fleksionog naprezanja ljuske.

Pretpostavljajući elastično ponašanje ljuski (Hooke-ova hipoteza), ljuska se može analizirati

na način koji podrazumeva njeno naprezanje samo u srednjoj površi, poput membrane koja

ne pruža nikakav otpor savijanju. Od presečnih sila, javljaju se samo normalne sile Nα i Nβ,

smičuće sile Nαβ i Nβα, a ova vrsta naprezanja se naziva membransko naprezanje ljuskimembransko naprezanje ljuskimembransko naprezanje ljuskimembransko naprezanje ljuski, dok

je odgovarajuća teorija proračuna - membranska teorija (Sl. 350a). Membransko stanje

naprezanja se može analizirati i kod ljuski konačne debljine pod sledećim uslovima:

• Granični uslovi oslanjanja moraju biti takvi da reaktivne sile naprežu ljusku samo u

njenoj srednjoj površi. Ovim, mogu biti sprečena samo pomeranja u pravcu tangente

na meridijalnu ivicu na kojoj se ljuska oslanja (Sl. 350b).

• Debljina ljuske mora biti dovoljno mala da se član z/r u izrazima datim na Sl. 349

može zanemariti u odnosu na jedinicu. Ovim i raspodela normalnih i smičućih

napona po visini h preseka postaje konstantna:

N hα ασ= ⋅ , N hβ βσ= ⋅ , N N hαβ βα αβτ= = ⋅ . ............................................. (10.3)

• Srednja površ mora biti glatka i ne sme biti naglih promena u debljini ljuske.

• Opterećenje mora biti kontinualno raspodeljeno, bez skokova ili koncentrisanih

dejstava.

Brujić - Betonske konstrukcije – radna verzija - 9. avgust 2011

268

Sl. 350. Membranske sile i membranski uslovi oslanjanja

Sada, kada je broj nepoznatih veličina samo tri, (10.3), ove se mogu odrediti samo iz uslova

ravnoteže.

Konturni uslovi ljuske su najčešće takvi da ne dozvoljavaju slobodnu membransku

deformaciju kraja – ljuske su po konturi obično kruto vezane (elastično uklještene) za druge

elemente (ljuske, ploče, prstenaste grede...). Ovim i membranski uslovi rada na krajevima

ljuske ne mogu biti ostvareni, nego su „poremećeni“ fleksionim silama. Osim konturnih

uslova, do pojave momenata savijanja dovode i nagle promene debljine ljuske, koncentrisana

opterećenja, skokovi u kontinualno promenljivom opterećenju ili koncentrisana opterećenja.

Sl. 351. Fleksione sile

Pored membranskih, u presečnim ravnima ljuske javljaju se momenti savijanja i torzije, te

transverzalne sile (Sl. 351). Teorija ljuski kojom se analiziraju naponi i deformacije ljuski

uključujući i dejstvo momenata savijanja i transverzalnih sila naziva se fleksiona teorija fleksiona teorija fleksiona teorija fleksiona teorija ljuskiljuskiljuskiljuski.

Nije ni potrebno posebno naglašavati da je danas uobičajen proračun uticaja u ljuskastim

elementima primenom softvera za strukturalnu analizu baziranom na primeni metode

konačnih elemenata. Modeliranje ljuske proizvoljne geometrije kao poliedarske površine

formirane od površinskih konačnih elemenata, mogućnost apliciranja proizvoljnog

opterećenja, mogućnost uticaja na tačnost rezultata gustinom mreže, mogućnost

proračunskog obuhvatanja realnih konturnih uslova... su samo neke od nespornih prednosti

ovog načina proračuna. Ipak, sa stanovišta inženjerskog razumevanja problema, klasični

pristup proračunu je od nemerljivog značaja i dalje.

10.2.10.2.10.2.10.2. ROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKE

Rotacione (rotaciono-simetrične) ljuske su one čija je srednja površ rotaciona površ nastala

obrtanjem ravanske krive linije oko jedne prave, ose obrtanja (Sl. 352). Koordinatne linije

ovako formiranih ljuski su meridijalne krive i paralelni krugovi. U ravni meridijalnih krivih

meri se ugao α, a u ravni kružnica ugao φ. Poluprečnici glavnih krivina su rα i rφ67.

67 Primetiti da rφ nije poluprečnik kružnice (paralele).


269

Sl. 352. Rotaciona ljuska

Pretpostavljajući membranski radmembranski radmembranski radmembranski rad, na elementarnom delu površine rotacione ljuske

opterećenom komponentama površinskog opterećenja u pravcima tangente na glavne

pravce, te normale na srednju površ (px, py, pz), dolazi se do tri uslova ravnoteže (Sl. 353):

dva po sumi sila u pravcu tangenti i jedan po sumi sila upravnih na srednju površ.

Pretpostavljajući, dodatno, i rotacionorotacionorotacionorotaciono----simetričnu distribuciju opterećenjasimetričnu distribuciju opterećenjasimetričnu distribuciju opterećenjasimetričnu distribuciju opterećenja, kada je px

jednako nuli, svi uticaji postaju samo funkcije jednog parametra – ugla α:

Sl. 353. Membransko stanje rotacionih ljuski

( )/zN r p N rφ φ α α= − ⋅ + , 0Nαφ = , ................................................................ (10.4)

( )sin cos / ( sin )y zN r r p p d C rα α α α α α = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ∫ , ........................... (10.5)

gde je sa r obeležen poluprečnik kružnice (paralele), a integraciona konstanta C se odreñuje

iz konturnih uslova.

Pod dejstvom rotaciono-simetričnog opterećenja ljuska se deformiše i tačke ljuske dobijaju

odgovarajuća pomeranja u pravcu tangente na meridijalnu krivu, v, i u pravcu normale na

površ, w. Koristeći se vezama izmeñu napona i deformacija (ε), iz teorije tankih ljuski je

poznato:

( )1N N

E hα α φε ν= ⋅ − ⋅⋅

, ( )1N N

E hφ φ αε ν= ⋅ − ⋅⋅

. ....................................... (10.6)

Nakon uvoñenja veza izmeñu deformacija i pomeranja, mogu se karakteristična pomeranja –

izduženje poluprečnika paralele, ∆r, i promena ugla tangente na meridijalnu krivu, χ – naći

kao:


270

( )rr r N N

E hφ φ αε ν∆ = ⋅ = ⋅ − ⋅⋅

..................................................................... (10.7)

( ) ( )cot 1r rdN N N N N N

E h r r d E hφ φ

α φ φ α φ αα α

αχ ν ν να

= ⋅ − − − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

. ........ (10.8)

Analiza fleksionog naprezanjafleksionog naprezanjafleksionog naprezanjafleksionog naprezanja ljuske, makar i rotacione, je znatno složenije od

membranskog. Za slučaj rotaciono-simetričnog opterećenja polovina presečnih sila je

identički jednaka nuli:

0N Nαφ φα= = , 0M Mαφ φα= = , 0Qφ = . ....................................................... (10.9)

Sl. 354. Fleksiono stanje rotacionih ljuski, rotaciono-simetrično opterećenih

Za preostalih pet sila mogu se postaviti uslovi ravnoteže na elementu površine (Sl. 354).

Suma sila u pravcu tangente na meridijalnu krivu, u pravcu normale na površ, te suma

momenata, respektivno, daju:

( ) cos 0y

dr N r N r Q p r r

d α α φ α ααα

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ = , .......................................(10.10)

( )sin 0z

dr N r N r Q p r r

dα α φ α ααα

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = , i ......................................(10.11)

( ) cos 0d

r M r M r r Qd α α φ α αα

α⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = . .................................................(10.12)

Veze izmeñu dilatacija i pomeranja su:

1 dv

wr dαα

εα

= ⋅ +

, cotv w

rφφ

αε ⋅ += , 1 dw

vr dα

χα

= ⋅ −

, ..........................(10.13)

a veze izmeñu presečnih sila i pomeranja su date sa:

( )1cot

dvN D w v w

r d rαα φ

ν αα

= ⋅ + + ⋅ +

, 21

E hD

ν⋅=

−, .............................(10.14)

( )1cot

dvN D w v w

r d rφα φ

ν αα

= ⋅ + + ⋅ +

, ( )3

212 1

E hK

ν⋅=

⋅ −, ......................(10.15)

1 1

cotd dw dw

M K v vr d r d r r dαα α α φ

ν αα α α

= − − + −

..............................(10.16)


271

1 1

cotd dw dw

M K v vr d r d r r dφα α α φ

ν αα α α

= − − + −

...............................(10.17)

Jednačine (10.10) do (10.17) predstavljaju sistem od deset jednačina sa deset nepoznatih:

pet presečnih sila, dve komponente pomeranja (v i w) i tri komponente deformacijskih

veličina (εα, εφ i χ). Prkatična rešenja će biti razmatrana na primeru pojedinih tipova ljuski.

U realnim konstrukcijama ljuski, membransko stanje naprezanja, pod rotaciono-simetričnim

opterećenjem, ostvaruje se u većem delu ljuske, osim, najčešće, u okolini konture. Ljuska je

najčešće po svojoj konturi kruto vezana za neki drugi element. Zato, zbog sprečenosti

membranskog deformisanja, na konturi se remeti membransko stanje i u ljusci se javljaju

uticaji od savijanja (Sl. 355).

Sl. 355. Ivični poremećaji cilindrične ljuske kruto spojene sa drugim elementima

Sl. 356. Momenti savijanja poduž izvodnice za dugu i kratku cilindričnu ljusku

Po svom karakteru fleksioni uticaji (poremećajni uticaji) su takvi da se relativno brzo

prigušuju za uobičajene dimenzije ljuski. Njihova veličina se (na makro-nivou posmatrano)

smanjuje sa udaljenjem od ivice. Ako se može smatrati da se poremećajni uticaji na jednom

kraju ljuske „ne osećaju“ (ne utiču na deformaciju) na drugom kraju ljuske, takve ljuske

nazivaju se dugimdugimdugimdugim. U suprotnom, ljuske su kratkekratkekratkekratke. Na Sl. 356 su, za dugu i kratku

cilindričnu, membranski oslonjenu na dnu, ljusku, opterećenu radijalnim horizontalnim

linijskim opterećenjem na obe ivice, prikazani oblici dijagrama momenata savijanja Mα.

Presečne sile kod rotaciono-simetrično opterećenih rotacionih ljuski u sklopu složenije

konstrukcije mogu biti odreñene primenom metode sile. Ukupne vrednosti sila odreñuju se

superpozicijom membranskog rešenja i uticaja dobijenih fleksionom analizom ivičnih

poremećaja. Prvo se veze ljuske sa susednim elementima prekidaju, konstrukcija se

dekomponuje, na način da se pretpostavljaju membranski uslovi oslanjanja pojedinih

elemenata. Ovim je formiran takozvani osnovni sistem, za koji je samo analizom uslova

ravnoteže moguće odrediti membransko rešenje. Na mestu raskinute veze uvode se dve

statički nepoznate veličine: horizontalna sila XH (linijsko opterećenje, kN/m’) i moment

savijanja XM (linijsko opterećenje, kNm/m’) (Sl. 357).


272

Sl. 357. Dekompozicija konstrukcije: osnovni sistem i statički nepoznate

Veličine statički nepoznatih veličina odreñuju se iz uslova-pretpostavke da nema

meñusobnog razmicanja elemenata u horizontalnom pravcu u vezi, niti meñusobne promene

nagiba tangente. Skraćeno, krajevi ljuski spojenih u čvoru imaju jednako horizontalno

pomeranje ∆r i obrtanje χ. Uslovne jednačine virtualnog rada, kojima se sumiraju ovi uslovi

imaju poznat oblik, a broj ovih jednačina, N, odgovara broju statički nepoznatih veličina:

1 11 2 12 10

1 21 2 22 20

1 1 2 2 0

... 0

... 0

...

... 0N N N

X X

X X

X X

δ δ δδ δ δ

δ δ δ

⋅ + ⋅ + + =⋅ + ⋅ + + =

⋅ + ⋅ + + =

. .................................................................(10.18)

Pri tome, svaki koeficijent δij čine dva sabirka, odnosno dobija se kao zbir odgovarajućih

pomeranja na oba (prvom i drugom) elementa u vezi:

ij ij ijδ δ δ′ ′′= + . ..............................................................................................(10.19)

Koeficijenti δi0 se odreñuju kao odgovarajuća pomeranja u osnovnom sistemu u pravcu i

smeru usvojenih statički nepoznatih od spoljašnjih opterećenja. I oni predstavljaju zbir

odgovarajućih koeficijenata sa dva u čvoru vezana elementa.

Kod konstrukcija formiranih od dugih ljuski, problem odreñivanja statički nepoznatih se

znatno pojednostavljuje. Uvoñenjem pretpostavke da se ivični poremećaji na jednom kraju

ljuske „ne osećaju“ na drugom, čini odgovarajuće δij koeficijente jednakima nuli. Za

posledicu, umesto jednog sistema jednačina, problem se dekomponuje na više manjih

sistema jednačina (na primer, četiri puta statički neodreñen sistem na Sl. 357, uz cilindričnu

ljusku usvojenu dugom, postaje dva puta po dva puta statički neodreñen – nezavisno je

moguće odrediti statički nepoznate u gornjoj vezi od onih u donjoj).

U slučaju dejstva koncentrisanog (zapravo, linijskog) opterećenja na ljusku, problem se

rešava formiranjem dve nezavisne ljuske, pokazano na Sl. 358. Pri tome je nebitno da li se

samo opterećenje „pripisuje“ gornjoj ili donjoj ljuski, ili se „deli“. Slično se postupa i u

slučajevima ljuski kod kojih postoji skok u debljini (Sl. 359).

Sl. 358. Dekompozicija na mestu koncentrisanog opterećenja


273

Sl. 359. Dekompozicija na mestu skokovite promene debljine ljuske

Treba imati na umu da statički nepoznate veličine izazivaju u presecima ljuske, ne samo

momente savijanja (Mα i Mφ) i transverzalne sile (Qα), nego i aksijalne sile Nα i Nφ, zbog čega

se rezultujuće aksijalne sile odreñuju superpozicijom njihovih membranskih i fleksionih

vrednosti.

Ljuske se, u opštem slučaju, dimenzionišu u dva ortogonalna glavna pravca na složeno

savijanje: prstenasta armatura proizilazi kao rezultat dimenzionisanja pravougaonog

poprečnog preseka jedinične širine (1m) na granične vrednosti uticaja Mφ i Nφ, dok se

meridijalna armatura odreñuje iz odgovarajućih graničnih uticaja Mα i Nα. Pri tome, treba

voditi računa o različitim statičkim visinama u dva upravna pravca, te o minimalnim

količinama armature, koje kod ljuski odgovaraju onima za pune ploče.

10.2.1.10.2.1.10.2.1.10.2.1. SFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLE)E)E)E)

Sferne kupole su najčešće konveksne ljuskaste figure pozitivne Gauss-ove krivine. Primenu

kao armiranobetonske pronalaze još na početku XX veka, uglavnom kao krovne konstrukcije

nad kružnim osnovama, zahvaljujući sposobnosti da premošćavaju velike raspone sa malim

debljinama. U pogledu utroška materijala ovo ih svrstava u red najracionalnijih konstrukcija.

Sa druge strane, racionalnost njihove primene je limitirana pogodnošću i cenom izvoñenja

(skupa oplata i skela).

Najčešće, rotacione sferne kupole se primenjuju za pokrivanje dvorana i hala kružne osnove

i većih raspona, te kao elementi rezervoarskih konstrukcija (Sl. 360). U konstrukcijama se

javljaju u kombinacijama sa drugim elementima: prstenastim nosačima, pločama, drugim

ljuskama...

Sl. 360. Primena sfernih kupola kod hala i rezervoara

Uobičajene debljine kupola su vrlo male – za krovne konstrukcije su izmeñu 5 i 14cm, a za

raspone osnove i preko 100m. Zbog male debljine, a uglavnom pritisnuti, ovi elementi mogu

biti podložni gubitku stabilnosti, zbog čega je preporuka usvajati debljinu ljuske na način da

se membranskim radom iazazvani normalni naponi ograniče na manju vrednost od

dopuštenih (preporuka je 50% dopuštenih)68. Još jedna preporuka u pravcu obezbeñenja od

68 Dopušteni naponi su „zaostatak“ ranije primenjivane „logike“ proračuna armiranobetonskih

konstrukcija, ali je data preporuka i dalje praktično validna.


274

suviše malih debljina ljuske je ona kojom bi debljinu valjalo ograničiti sa donje strane u funkciji poluprečnika krivine na sledeći način: / 0.0015d r ≥ (približno 1/600!).

Sl. 361. Sferne ljuske sa otvorom za osvetljenje (lanternom)

S obzirom da su kupole opterećene uglavnom mirnim kontinualnim opterećenjem (sopstvena

težina, izolacija, sneg, tečnost...), to one rade pretežno membranski. Samo u području

oslonaca, zbog veze s drugim elementima (najčešće preko prstenastog nosača) javljaju se

fleksioni poremećaji. Moguće neravnomerno opterećenje vetrom redovno nije od velikog

značaja budući je malo u odnosu na ostala. Otud, kupole se mogu približno proračunavati

kao rotaciono-simetrično opterećene.

Često se krovne kupole izvode sa otvorom za osvetljenje u temenu (Sl. 361). U tom slučaju

gornja ivica ljuske dobija prstenasto ojačanje na koje se pričvršćuju elementi svetlosne

lanterne. Sada se i gornja ivica ljuske karakteriše fleksionim uticajima.

Kako su kod sferne ljuske poluprečnici glavnih krivina jednaki:

r r aα φ= = , sinr a α= ⋅ , ............................................................................(10.20)

to se presečne sile po membranskoj teoriji nalaze lako (videti (10.4) i (10.5)):

( ) ( )2 sin sin cos / siny zN a p p d aα α α α α α = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∫ , ........................(10.21)

( )zN a p N aφ α= − ⋅ + . ...............................................................................(10.22)

Karakteristična pomeranja su:

( )( )sin1z

ar a p N

E h αα ν− ⋅∆ = ⋅ ⋅ + + ⋅

⋅, i ........................................................(10.23)

( )1zy

dpap

E h dχ ν

α = ⋅ − + ⋅ ⋅

......................................................................(10.24)

U nastavku je, u formi specifičnog slučaja, analizirano membransko dejstvo sopstvene težine

sferne kupole. Kako je:

sinyp g α= ⋅ i coszp g α= ⋅ ,

to se aksijalne sile dobijaju:

1 cos

a gNα α

⋅= −+

i 1

cos1 cos

N a gφ αα

= ⋅ ⋅ − + .

Raspored i veličina aksijalnih sila prikazani su na Sl. 362. Primetiti da za ugao kupole veći od

51.49º prstenaste sile Nφ prelaze iz pritiska u zatezanje. Takoñe, interesantno je primetiti i

da normalni naponi ne zavise od debljine ljuske.


275

Sl. 362. Promena aksijalnih sila za dejstvo sopstvene težine

Za ravnomerno podeljeno opterećenje po osnovi, kakvo je opterećenje snegom, na primer,

važi:

sin cosyp p α α= ⋅ ⋅ i 2coszp p α= ⋅ ,

te aksijalne sile u obliku (Sl. 363):

0.5N a pα = − ⋅ ⋅ , ( )0.5 cos 2N a pφ α= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Sl. 363. Promena aksijalnih sila za dejstvo ravnomerno podeljenog opterećenja po osnovi

Za karakteristične slučajeve opterećenja (Sl. 364) izrazi za presečne sile se obično mogu

pronaći u obliku tabulisanih alata. NJima se uobičajeno daju i izrazi za karakteristična

pomeranja.

Sl. 364. Neki karakteristični slučajevi opterećenja kupole

Za odreñivanje ivičnih poremećaja kod sferne kupole, jednačine (10.10) do (10.17) se, uz

odreñena zanemarenja malih veličina i konstatovanjem da je py = pz = 0, svode na dve

nezavisne diferencijalne jednačine oblika (k – koef. prigušenja):

4

44

4 0kχ χ

α∂ + ⋅ ⋅ =∂

, 44 0

Qk Qα

αα∂ + ⋅ ⋅ =∂

, ( )23 1a

kh

ν= ⋅ ⋅ − . ..................(10.25)

Sl. 365. Oznake uglova na ivicama kupole


276

Uz oznake kao na Sl. 365, zavisno od posmatrane ivice (n = 1, 2), rešenje diferencijalne

jednačine se nalazi u obliku:

( )cosnk wnQ C e k wα ψ− ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + , ...................................................................(10.26)

gde su C i ψ integracione konstante odreñene uslovima na konturi. Izrazi za sile u

presecima, te integracione konstante za slučajeve ivičnog opterećenja horizonztalnim silama

i momentima, dati su na Sl. 366.

Sl. 366. Izrazi za presečne sile i karakteristična pomeranja

Dati izrazi se odnose na duge ljuske – one kod kojih je zadovoljeno:

( )2 1 6k α α⋅ − ≥ i 30nα ≥ ° . ........................................................................(10.27)

U praksi je, i za fleksione poremećaje, uobičajena primena tabulisanih izraza za sile i

pomeranja. Pri tome, dovoljno je analizirati samo slučajeve prikazane na Sl. 366.

U najvećem delu kupole vlada membransko stanje, pa se i dimenzionisanje u ovom delu

svodi na analizu centrično pritisnutog ili centrično zategnutog pravougaonog preseka

jedinične širine. U ivičnim zonama, u meridijalnom pravcu, preseci se dimenzionišu na

složeno savijanje, prema Mα i Nα. U zoni prostiranja poremećajnih uticaja obično se ljuska

kontinualno zadebljava. Momenat u tangencijalnom pravcu je najčešće prihvaćen već

podeonom armaturom.

Sl. 367. Armiranje sferne ljuske (osnova)


277

Sl. 368. Jednostruko i dvostruko armiranje ljuske

Sl. 369. Armiranje ivičnih delova kupole

Teme ljuske se, kao kod kružnih ploča, armira ortogonalnom mrežom. Ostatak ljuske se

armira meridijalnom i prstenastom armaturom . Kako se razmak meridijalne armature

povećava udaljavanjem od temena (smanjuje se površina armature po jedinici dužine), to je

neophodno (čak zbog održavanja neophodnog minimuma armature ili dopuštenog razmaka

izmeñu šipki) polovljenje razmaka sve kraćim šipkama (Sl. 367). Ljuska se u većem delu

armira mrežom u sredini debljine (za ljuske debljine manje od 7cm) ili simetričnim mrežama

na oba lica (za debljine preko 7cm) (Sl. 368). U zoni ojačanja, obostrano armiranje se u

meridijalnom pravcu najčešće postiže šipkama oblika ukosnica, a tangencijalna armatura u

obe zone ima karakter podeone (Sl. 369).

Tanke ljuske se, po pravilu, zadebljavaju na spoju sa ivičnim elementima (prstenom) u cilju

obezbeñenja mogućnosti prijema poremećejnih momenata savijanja (Sl. 369).

10.2.2.10.2.2.10.2.2.10.2.2. KONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKE

Konusne ljuske se najčešće koriste (Sl. 370) za levkove silosa i bunkera, kod rezervoarskih

konstrukcija i vodotornjeva, kao stubovi tornjeva, kod dimnjaka... Mogu se izvoditi kao

klasične armiranobetonske ili kao prednapregnute ljuske, najčešće u horizontalnom pravcu.

Kod konusnih ljuski, glavni poluprečnik krivine rα ima beskonačnu dužinu, izvodnica u

meridijalnom pravcu je prava linija.

Sl. 370. Primeri primene konusnih ljuski


278

Sl. 371. Membranski uslovi oslanjanja konusne ljuske i geometrijske oznake

Uvoñenjem veza (Sl. 371):

cotr yφ α= ⋅ , dy r dα α= ⋅ , cosr y α= ⋅ , yN Nα → , ...................................(10.28)

mogu se odrediti vrednosti presečnih sila i pomeranja po membranskoj teoriji:

( )cos sin cos

sin cos

y z

y

p p y dyN

y

α α αα α

− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅∫

, .............................................(10.29)

cotzN y pφ α= − ⋅ ⋅ , .....................................................................................(10.30)

( )coscotz y

yr y p N

E h

α α ν− ⋅∆ = ⋅ ⋅ + ⋅⋅

, .........................................................(10.31)

( )2cotcoty z y

dN y p y p

E h dy

αχ α ν = + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ . ..........................................(10.32)

Za slučaj dejstva sopstvene težine (Sl. 372), komponente opterećenja su:

sinyp g α= ⋅ , coszp g α= ⋅ ,

a vrednosti presečnih sila su:

( )/ 2 sinyN g y α= − ⋅ ⋅ , 2sin cotN g yφ α α= − ⋅ ⋅ ⋅ .

Sl. 372. Promena aksijalnih sila za dejstvo sopstvene težine

Za dejstvo jednako podeljenog opterećenja po osnovi (Sl. 373) biće:

sin cosyp p α α= ⋅ ⋅ , 2coszp p α= ⋅ , 1

cot2yN p y α= − ⋅ ⋅ ⋅ ,

3cos

sinN p yφ

αα

= − ⋅ ⋅

Sl. 373. Promena aksijalnih sila za dejstvo jednako podeljenog opterećenja po osnovi


279

Sl. 374. Neki karakteristični slučajevi opterećenja konusne ljuske

Za karakteristične slučajeve opterećenja (poput onih datih na Sl. 374) izrazi za presečne sile

se obično mogu pronaći u obliku tabulisanih alata. NJima se uobičajeno daju i izrazi za

karakteristična pomeranja.

Neporemećeno membransko stanje je moguće samo ako je ivica ljuske oslonjena na način da

reakcija oslonca dejstvuje u srednjoj ravni ljuske. Normalno, ivica ljuske završava obodnim

prstenom, koji uzrokuje ivične poremećaje. Spoj ljuske i prstena može biti zgloban ili krut

(Sl. 375).

Sl. 375. Sile na spoju konusme ljuske i prstena

Sl. 376. Oznake na krajevima ljuske

Za odreñivanje ivičnih poremećaja kod sferne kupole, jednačine (10.10) do (10.17) se, uz

odreñena uprošćenja, svode na diferencijalnu jednačinu četvrtog reda po nepoznatoj

promeni ugla obrtanja (k – koef. prigušenja):

4

44

4 0ky

χ χ∂ + ⋅ ⋅ =∂

, ( )2tan3 1k

y h

α ν= ⋅ ⋅ −⋅

..............................................(10.33)

Uz oznake kao na Sl. 376, rešenje jednačine se može napisati u obliku:

( )cosn nk dn nC e k dχ ψ− ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + , ...................................................................(10.34)

gde se konstante C i ψ odreñuju iz konturnih uslova. Vrednosti presečnih sila i

karakterističnih pomeranja su date na Sl. 377. Izrazi važe za duge ljuske, kod kojih je

zadovoljeno:

( )2 1 6k y y⋅ − ≥ ............................................................................................(10.35)


280


Konusne ljuske se armiraju u smeru izvodnice i po koncentričnim krugovima. Broj šipki koje

se pružaju po izvodnicama, po jedinici dužine se smanjuje sa približavanjem ivici, što valja

nadomestiti ubacivanjem meñu-šipki. Ljuske deblje od 8cm se armiraju u dve zone celom

površinom. Uz prsten, ljuska se dimenzioniše na ekscentrični pritisak u pravcu izvodnice.

10.2.3.10.2.3.10.2.3.10.2.3. CILINDRIČNE LJUSKECILINDRIČNE LJUSKECILINDRIČNE LJUSKECILINDRIČNE LJUSKE

Armiranobetonski cilindri se koriste kod konstrukcija rezervoara, silosa i bunkera kružne

osnove (Sl. 378). Kod rezervoara, cilindar se sa donje strane zatvara kružnom pločom, koja

je najčešće kruto spojena s cilindrom, ali je moguće i rešenje sa plivajućom varijantom. Sa

gornje strane, cilindar se zatvara ili kružnom pločom ili ljuskom, preko kružnog prstenastog

nosača. Kod vodotornjeva, cilindri se projektuju u sklopu sa ostalim ljuskastim elementima u

cilju formiranja pogodne geometrije. Kod silosa, ćelije kružne osnove su dugački cilindri u

dnu najčešće vezani s konusnom ljuskom levka.

U svim ovim slučajevima, opterećenje na površinu cilindra je po pravilu rotaciono simetrično

(pritisak tečnosti, zrnastog materijala ili tla).

Sl. 378. Primeni primene cilindričnih rotacionih ljuski

Kod cilindrične ljuske je glavni poluprečnik rα beskonačne dužine, a ugao α je 90º, što

meridijalnu krivu transformiše u vertikalnu pravu izvodnicu.

Sl. 379. Membranski uslovi oslanjanja cilindrične ljuske i geometrijske oznake

Uvoñenjem veza:

r aφ = , dy r dα α= ⋅ , yN Nα → , ..................................................................(10.36)


281

izrazi za membranske sile i pomeranja postaju:

y yN p dy= ⋅∫ , ...........................................................................................(10.37)

zN a pφ = − ⋅ (kotlovska formula), ...............................................................(10.38)

( )z y

ar a p N

E hν−∆ = ⋅ ⋅ + ⋅

⋅, .........................................................................(10.39)

zy

dpaa p

E h dyχ ν = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

. ........................................................................(10.40)

Za slučaj delovanja sopstvene težine (Sl. 380a) biće:

yN g y= − ⋅ , 0Nφ = , a g y

rE h

ν ⋅ ⋅ ⋅∆ =⋅

, a g

E h

νχ − ⋅ ⋅=⋅

.

Sl. 380. Dejstvo sopstvene težine i tečnosti

Za dejstvo tečnosti (Sl. 380b) biće:

0yN = , p a y

NLφ

⋅ ⋅= , 2a p y

rE h L

⋅ ⋅∆ =⋅ ⋅

, 2a p

E h Lχ − ⋅=

⋅ ⋅.

Za druge slučajeve opterećenja (poput onih na Sl. 381) izrazi za presečne sile i

karakteristična pomeranja se obično mogu pronaći u obliku tabulisanih alata.

Sl. 381. Karakteristični slučajevi opterećenja

Jednačine fleksione teorije se, uz (10.36) i:

yQ Qα → , yM Mα → , .h const= , .............................................................(10.41)

svode na jednu diferencijalnu jednačinu četvrtog stepena:

4

44

4 0zpd wk w

dy K+ ⋅ ⋅ + = ,

( )23 1k

a h

ν⋅ −=

⋅. ..............................................(10.42)

U opštem slučaju, rešenje je oblika:

( ) ( )0 1 2 3 4cos sin cos sinky kyw w e C ky C ky e C ky C ky−= + + + + , ...................(10.43)

gde je w0 partikularno rešenje, a integracione konstante se odreñuju iz konturnih uslova. Za

duge ljuske, kod kojih je:

6k L⋅ ≥ , .....................................................................................................(10.44)


282

ivični poremećaji se odreñuju iz rešenja homogenog dela diferencijalne jednačine, koja se

odnosi na ljusku bez površinskog opterećenja, a za opterećenje samo po konturi:

4

44

4 0d w

k wdy

+ ⋅ ⋅ = . .....................................................................................(10.45)

Rešenje jednačine:

( ) ( )1 2 3 4cos sin cos sinky kyw e C ky C ky e C ky C ky−= + + + ............................(10.46)

predstavlja zbir dve prigušene oscilatorne funkcije. Kad je ljuska duga, uticaji s jednog kraja

se ne prenose na drugi, pa se rešenje svodi na oblik s dve integracione konstante:

( )1 2cos sinkyw e C ky C ky−= + . ...................................................................(10.47)

Sl. 382. Oznake na krajevima ljuske

Uz oznake sa Sl. 382, rešenje se može napisati u obliku:

( )cosnk dnw C e k d ψ− ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + , ......................................................................(10.48)

gde se konstante C i ψ odreñuju iz konturnih uslova. Vrednosti sila u preseku i

karakterističnih pomeranja su date na Sl. 383.


Za delovanje samo horizontalne sile XH na konturi, integracione konstante su:

22

H

a kC X

E h

⋅ ⋅= ⋅⋅

, i 0ψ = , ..........................................................................(10.49)

dok je za delovanje samo momenta savijanja XM:

2 24

2M

a kC X

E h

⋅ ⋅= ⋅⋅ ⋅

, 4

πψ = . ........................................................................(10.50)

Puno uklještenje cilindričnog zida u temelj (Sl. 384a) rezultira većim poremećajnim

momentima My i manjim aksijalnim silama Nφ u odnosu na slučaj elastičnog uklještenja dna

cilindra (Sl. 384b).


283

Sl. 384. Puno i elastično uklještenje dna cilindričnog zida

Sl. 385. Armiraje donjeg dela cilindra i veza sa oslonačkim elementima

Rotaciono simetrične cilindrične ljuske se u tangencijalnom pravcu dimenzionišu i armiraju

na centrični pritisak ili zatezanje. U pravcu izvodnice, preseci su opterećeni na složeno

savijanje (momenti My i aksijalne sile Ny).

Zatežuće prstenaste sile Nφ se prihvataju prstenastom armaturom, koja se, po pravilu,

postavlja sa unutrašnje strane, budući da ne prihvata momente savijanja. U vertikalnom

pravcu, krak unutrašnjih sila se maksimizira postavljanjem vertikalne armature kao

spoljašnja. Na Sl. 385 prikazan je detalj armiranja cilindra za slučaj punog i elastičnog

uklještenja.

10.3.10.3.10.3.10.3. LJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVI

Tanke ljuske se danas uspešno primenjuju kao krovne konstrukcije velikih raspona, kod

hangara, hala, stadiona, dvorana... Prostorni rad omogućava značajno smanjenje težine.

Mogu biti prizmatične (cilindrične), konusne, ljuske dvojne zakrivljenosti ili naborane

konstrukcije.

10.3.1.10.3.1.10.3.1.10.3.1. PRIZMATIČNE (CILINDRPRIZMATIČNE (CILINDRPRIZMATIČNE (CILINDRPRIZMATIČNE (CILINDRIČNE) KROVNE LJUSKEIČNE) KROVNE LJUSKEIČNE) KROVNE LJUSKEIČNE) KROVNE LJUSKE

Prizmatičnim se nazivaju one ljuske koje nastaju translacijom prave izvodnice po dvema

identičnim voñicama, najčešće u obliku elipse, parabole ili kružnice. Gauss-ova krivina ovih

ljuski je jednaka nuli, a, da bi zadržale oblik pod opterećenjem, moraju završavati krutim

dijafragmama (Sl. 386a). Kako su, iz uslova na konturi, meridijalne sile Nφ jednake nuli na

podužnim ivicama, to se opterećenje ljuske može prenositi samo savijanjem.


284

Sl. 386. Elementi prizmatične krovne konstrukcije i membranske presečne sile

Sl. 387. Poprečni i podužni presek kroz prizmatičnu ljuskastu krovnu konstrukciju

U podužnom pravcu, grubo, ljuska se ponaša kao gredni element raspona l1, a savojna

krutost ovakve „grede“ se uvećava projektovanjem ivičnih elemenata (Sl. 386, Sl. 387).

Ovakve ljuske se najčešće projektuju kao višetalasne, reñanjem jedne uz drugu na način da

dve susedne imaju zajednički ivični element. Kod srednjih ivičnih elemenata ovo rezultira

poništavanjem horizontalnih projekcija membranskih sila Nφ. Kod srednjih ljuski je, ovim,

savijanje u poprečnom pravcu značajno redukovano, a u podužnom pravcu raspodela

normalnih sila Nx približno odgovara onoj kod grednih elemenata. Krajnje ljuske, pak,

zahtevaju složeniji (momentni) proračunski tretman u oba pravca. Alternativa je dodatno

ukrućenje krajnjih ljuski poprečnim dijafragmama u cilju smanjenja poprečnih deformacija.

Na Sl. 388, za jednorasponsku ljusku, prikazan je uticaj poprečnog ukrućenja na deformaciju

ljuske.

Sl. 388. Deformacija ljuske, opterećene sopstvenom težinom, bez i sa poprečnim ukrućenjem

I u podužnom pravcu ljuske mogu biti projektovane kao višerasponske.

Specifičan način primene cilindričnih ljuski, kod šed krovova, prikazan je na Sl. 389.

Sl. 389. Primena cilindričnih ljuski kod šed krovova

Iako je membransko stanje naprezanja karakteristika većeg dela površine ljuske (bar kad je o

opterećenjima od sopstvene težine ili snega reč), na spoju ljuske sa dijafragmama i ivičnim


285

elementima ono je neminovno narušeno i, na ovim mestima, javljaju se poremećajni uticaji.

Njihovo proračunsko odreñivanje je moguće samo korišćenjem klasične momentne teorije

ljusaka ili, danas je to uobičajena praksa, primenom softvera baziranih na metodi konačnih

elemenata.

Ljuske kod kojih je odnos raspona l2 prema l1 veći od 1 (redovno izmeñu 3 i 4) nazivaju se

dugimdugimdugimdugim. Njihov rad u podužnom pravcu je blizak grednom elementu raspona l1 i poprečnog

preseka koji formiraju ljuska i ivični elementi. Raspon dugih ljuski u podužnom pravcu je

uobičajeno izmeñu 20 i 30m. Strela svoda, f, zajedno sa visinom ivičnog elementa, usvaja se

većom od desetine podužnog i šestine poprečnog raspona. Ivični elementi (Sl. 390; date su i

uobičajene dimenzije) mogu biti projektovani različitih oblika, zavisno od intenziteta

pojedinih uticaja, te potrebe prijema horizontalnih i/ili vertikalnih opterećenja s ljuske.

Sl. 390. Mogući oblici poprečnog preseka ivičnih elemenata

Oslonačke dijafragme mogu biti projektovane kao puni zidni nosači, rešetkasti, lučni (sa

zategom) ili okvirni. Na Sl. 391 prikazani su neki oblici oslonačkih dijafragmi i poprečni

preseci ivičnih elemenata višetalasnih ljuski.

Sl. 391. Dijafragme i ivični elementi višetalasnih ljuski

Približni proračun dugih ljuski, za srednja polja višetalasnih dispozicija, može odgovarati

proračunu grednih elemenata čiji poprečni presek formiraju preseci ljuske i ivičnih

elemenata. Položaj neutralne linije odreñuje se za ovako pretpostavljeni homogen presek.

Dodatna aproksimacija može biti pretpostavka linearne raspodele normalnih napona po

visini preseka, kako je na Sl. 392 prikazano za presek ljuske bez ivičnih elemenata.

Sl. 392. Aproksimacija raspodele normalnih i smičućih napona po visini preseka ljuske

Kod krajnjih talasa, ili jednotalasnih ljuski, krajevi preseka se mogu pomerati i horizontalno i

vertikalno, pa prethodna aproksimacija ne može biti efikasno primenjena.


286

Presek dugih ljuski se dimenzioniše prema dijagramu normalnih napona σx, glavnih kosih

napona po vrednosti jednakih smičućim τxφ i napona od poremećajnih momenata savijanja.

Zatežuće normalne napone u celini prihvata armatura, čija se potrebna površina odreñuje iz

rezultantne sile zatezanja. Za kružni cilindar Sl. 392, biće:

( )0 0

2sinxg

u gg

r hZ r r y

y

σα α

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ − . .................................................(10.51)

Sl. 393. Opterećenje dijafragme

Smičući naponi (na visini neutralne linije brojno jednaki glavnim kosim naponima) se

odreñuju iz globalne smičuće sile, Tu, na poznat način, usvajajući za širinu preseka

dvostruku debljinu ljuske (S – statički moment površine preseka iznad težišta):

2

ux

T S

I hτ ⋅

=⋅ ⋅

. ...............................................................................................(10.52)

Na dijafragme se opterećenje s ljuske prenosi preko sila Sx, koje tangiraju srednju površ

ljuske (Sl. 393), a odreñuju se iz smičućih napona u ljusci na osloncu. Uz ovo, dijafragme su,

naravno, opterećene i sopstvenom težinom.

Podužna zategnuta armatura (10.51) se, po pravilu, koncentriše u dno ivičnog elementa (na

maksimalnom kraku) i, načelno, njena količina opada od sredine raspona ka osloncima (Sl.

394a). Ljuska se armira mrežom, u podužnom i poprečnom pravcu, po celoj površini, a

ljuske debljine veće od 9cm se armiraju dvostruko. Uz ivične elemente i uz dijafragme,

potreba za armaturom se odreñuje i na osnovu intenziteta poremećajnih uticaja, kada je

ljuska opterećena na savijanje sa aksijalnom silom. Prelaz od ljuske prema ivičnom elementu

često (posebno u slučaju vrlo tankih ljuski) treba projektovati kao zadebljan (vuta). Na spoju

sa ivičnim elementom debljina ljuske je 2 do 2.5 puta veća od one u središnjem delu, a

dužina postepenog povećanja debljine je minimalno 10 debljina ljuske (Sl. 394b).

Sl. 394. Armiranje preseka ivičnog elementa

KratkeKratkeKratkeKratke ljuske su one sa podužnim rasponom manjim od poprečnog. Podužni rasponi su

uobičajeno u granicama izmeñu 5 i 12m, poprečni idu i do 30m, strela luka se usvaja većom

od sedmine poprečnog raspona, a debljine ljuski se usvajaju u granicama izmeñu 6 i 12cm.

Ovakve ljuske prostorno prenose opterećenje i aproksimacije komentarisane kod dugih ljuski

ovde ne mogu biti primenjene. Ljuska preko smičućih napona koji tangiraju srednju površ


287

prenosi opterećenje na dijafragme (samo 4-5% opterećenja ljuske se na dijafragme prenese

preko poprečnih poremećajnih sila).

Sl. 395. Kratka prizmatična ljuska

Približno, zategnuta armatura u ivičnim elementima može se odrediti usvajanjem kraka

unutrašnjih sila jednakim oko 55% visine celog preseka:

( ) ( )2 2

2 1 2 11

8 2 0.55 9u u

av v v v

Z M q l l q l lA

z f a f aσ σ σ σ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +. ...................(10.53)

Ljuska se armira lakom mrežom (na primer prečnikom Ø6 na razmaku 12 ili 15cm), a

maksimalni razmak žica ne sme biti veći od dvostruke debljine niti od 20cm. Iznad

dijafragmi i na spoju ljuske sa ivičnim elementima postavlja se dopunska armatura za prijem

momenata savijanja.

DijafragmaDijafragmaDijafragmaDijafragma kratkih ljuski opterećena je smičućim silama koje deluju tangencijalno na srednju

površ ljuske. U tom, poprečnom, pravcu, ljuska je pritiskujuće napregnuta, a za maksimalnu

silu pritiska dovoljno je tačno odrediti:

N q rφ = − ⋅ , ................................................................................................(10.54)

gde je q ukupno opterećenje, a r poluprečnik zakrivljenosti ljuske. Ukupna sila pritiska za

krajnju i za srednju dijafragmu (podužni pravac) iznosi:

1

1

2N q r l= ⋅ ⋅ ⋅ , 1N q r l= ⋅ ⋅ . ........................................................................(10.55)

Kako ivični elementi ne mogu primiti pritiskujuće sile poprečnog pravca, Nφ, to se ove

postepeno smanjuju od maksimalne vrednosti u temenu do nule na ivicama. Zakon ove

promene se može aproksimirati kvadratnom parabolom (Sl. 396):

( ) 21 2 22 /xN q r l l x x l= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ . za krajnju, i ...................................................(10.56)

( ) 21 2 24 /xN q r l l x x l= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ , za srednju dijafragmu. .................................(10.57)

Sl. 396. Kvadratna parabola


288

Smanjenje sile pritiska u ljusci rezultira rastom tangencijalnih sila:

( )122

2

42x

x

dN q r lT l x

dx l

⋅ ⋅ ⋅= = ⋅ − ⋅ . ................................................................(10.58)

Za x = 0, za krajnju, odnosno srednju, dijafragmu, biće:

1max

2

2 q r lT

l

⋅ ⋅ ⋅= , i 1max

2

4 q r lT

l

⋅ ⋅ ⋅= . ...........................................................(10.59)

Uz pretpostavku da se aksijalna sila smanjuje po zakonu sinusa, rezultati za opterećenje

dijafragme su slični, za krajnju, odnosno za srednju, dijafragmu:

1max

22

q r lT

l

π ⋅ ⋅ ⋅=⋅

, i 1max

2

q r lT

l

π ⋅ ⋅ ⋅= . ..........................................................(10.60)

10.3.2.10.3.2.10.3.2.10.3.2. KROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNE ZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTI

Sferne krovne ljuske se mogu izvoditi i ojačane rebrima u vidu rebrastih kupolarebrastih kupolarebrastih kupolarebrastih kupola. Rebra se

pružaju u meridijalnim i prstenastim ravnima i monolitno su vezana s tankom ljuskom. Pri

dnu kupole, rebra se spajaju pomoću ležišnog prstena, koji prima razupiruće sile

meridijalnih rebara. Često se izvode od montažnih elemenata (Sl. 398).

Sl. 397. Rebraste kupole

Sl. 398. Montažni element rebraste kupole i detalj spoja rebrom

Proračun rebrastih kupola je relativno komplikovan već i za rotaciono simetrično

opterećenje, zbog visokog stepena statičke neodreñenosti.

Plitke ljuskePlitke ljuskePlitke ljuskePlitke ljuske nastaju translacijom izvodnice u obliku parabole, elipse ili kružnice po dvema

voñicama koje su takoñe u obliku parabole, elipse ili kružnice. Mogu se zamisliti kao isečak


289

kupole nad ne-kružnom (pravougaonom, trougaonom...) osnovom. Poput ostalih ljuski s

pozitivnom Gauss-ovom krivinom, odlikuju se velikom krutošću, a opterećenje prenose u

dva smera. Otud, njihova primena je karakteristična za velike raspone i površine i u tom

smislu su u prednosti nad prizmatičnim (izmeñu ostalog, i manje debljine ljuske). Plitkima se

nazivaju one ljuske kod kojih odnos strele prema kraćem rasponu nije veći od 1/5.

Mogu biti jednotalasne i višetalasne, kao i kratke i duge. Kratke ljuske u podužnom pravcu

najčešće naležu na dijafragme, a u poprečnom na ivične elemente (Sl. 399a). Krajevi ljuske,

uz spoj sa oslonačkim elementima, se postepeno zadebljavaju do debljine 2 do 2.5 puta

veće od one u središnjem delu, na širini od približno petnaestine do desetine odgovarajućeg

raspona.

Sl. 399. Plitke ljuske

I eksperimentalna ispitivanja potvrñuju membranski rad središnjeg dela ljuske – središnji

deo je izložen dvoosnom aksijalnom pritisku, što implicira konstruktivno armiranje. Podužne

zatežuće sile, kao i momenti savijanja u poprečnom pravcu, se javljaju u zoni ivičnih

elemenata. Smičuće sile su koncentrisane u uglovima ljuske i prihvataju se ivičnim

ojačanjima.

Sl. 400. Pomeranje i aksijalne sile Nx plitke ljuske opterećene sopstvenom težinom

Plitke ljuske se mogu proračunavati samo približno po teoriji ljuski, ali se danas uspešno

proračunavaju primenom numeričkih metoda (MKE). Problematičnost egzaktnog

proračunskog tretmana posebno je izražena u aspektu kontrole izbočavanja, zbog čega ovde

valja biti oprezan i konzervativan.

Ljuska se armira u smeru glavnih napona zatezanja i mrežom koja se postavlja po celoj

površini. Uz ivice, ljuska se obavezno armira dvostruko.

Konoidne ljuskeKonoidne ljuskeKonoidne ljuskeKonoidne ljuske nastaju translacijom prave izvodnice po dvema voñicama, od kojih je prva

prava, a druga je kriva. Kako kriva voñica može biti različitih oblika, to je i velik broj

mogućnosti obrazovanja konoidnih ljuski. Za pokrivanje površina najpogodnije su one

konoidne ljuske kojima je druga izvodnica mimoilazni pravac (hiperbolični paraboloid, Sl.

401a) ili parabola (konoid, Sl. 401b).

Hiperbolični paraboloid je ljuska negativne Gauss-ove krivine (jedan pravac je konveksan,

drugi konkavan), što je čini deformabilnom i zategnutom u jednom pravcu, ali se oplata

može formirati od pravih dasaka, što značajno pojednostavljuje izvoñenje (Sl. 402).


290

Sl. 401. Primeri konoidnih ljuski: hiperbolični paraboloid i konoid

Sl. 402. Konkavni i konveksni pravac hiperboličnog paraboloida i prave izvodnice

Može biti oslonjen na samo dva stuba. Ako stubovi podupiru niže uglove, potrebno je

izmeñu stubova projektovati zategu (Sl. 403b). Ako su poduprti viši uglovi, poželjno je

projektovati razupirač, kako je pokazano na Sl. 403a.

Sl. 403. Hiperbolični paraboloid oslonjen na dva stuba

Krovnu konstrukciju je moguće formirati i kombinovanjem više hiperboličnih paraboloida (Sl.

404).

Sl. 404. Kombinovani krovovi od hiperboličnih paraboloida

Sl. 405. Proračunski model hiperboličnog paraboloida


291

Vertikalno opterećen (ravnomerno po osnovi) hiperbolični paraboloid se može jednostavno

proračunati po membranskoj teoriji (drugi izvod po x i y osi je jednak nuli). Jednačina

srednje površi je (Sl. 405):

z C x y= ⋅ ⋅ ..................................................................................................(10.61)

Smičuće sile u presecima paralelnim s ivicama se odreñuju prema:

( ) ( )2 2xyN Z C G C= ⋅ = ⋅ , za Z G= , ......................................................(10.62)

a normalne sile, ondo glavne normalne sile (u dijagonalnim presecima) su:

0x yN N= = , 1 2 xyN N N= − = . ....................................................................(10.63)

Na ivicama ljuske smičuće sile moraju preuzeti ivični elementi ili dijafragme.

Hiperbolični paraboloidi su zbog svoje statičke i konstrukcijske jednostavnosti, te zbog

vizuelnog efekta, vrlo privlačne za primenu. Meñutim, valja biti oprezan kad su njihove mane

u pitanju (negativna Gauss-ova krivina čini ove ljuske vrlo osetljivim na promenljiva lokalna i

na koncentrisana opterećenja, kao i na promenne oblika usled, na primer, izduženja zatege).

Armiraju se ortogonalnom mrežom u jednom ili dva reda, a izmeñu njih se postavlja kosa

armatura za prihvat smičućih sila.

Sl. 406. Isečak konoidne ljuske kao šed-krov

Konoid je racionalna ljuska pretežno naprezana membranskim uticajima, a pogodna za šed

krovne konstrukcije (Sl. 406). U donjem delu konoida se javljaju zatežuće sile i potreba za

zategnutom armaturom. Armatura se postavlja u dva reda u području pritiska, a u

zategnutoj zoni se može armirati jednostrukom mrežom. Izmeñu dva sloja armature, u

uglovima ploče treba postaviti kosu armaturu za prihvatanje glavnih kosih napona zatezanja.

10.3.3.10.3.3.10.3.3.10.3.3. POLIEDARSKEPOLIEDARSKEPOLIEDARSKEPOLIEDARSKE KROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJE

Poliedarske površi se formiraju od tankih ravnih ploča monolitno vezanih pod izvesnim

uglom na način da formiraju noseću strukturu. Svaka ivica je oslonac dveju susednih ploča.

Zavisno od oblika pojedinih ploča (pravougaone, trapezne, trougaone) razlikujemo

prizmatične ili piramidalne poliedarske konstrukcije. Ploče poliedara su uglavnom

napregnute u sopstvenim ravnima, ali neizostavno i momentima savijanja i smičućim silama

na ivicama: zbog monolitne veze izmeñu nosećih površina, podužne deformacije u pravcu

pružanja ivice moraju biti jednake, a time i normalni naponi, zbog čega po se ivici javljaju

smičuće sile. Proračun uticaja u presecima površi je danas podrazumevan kao rezultat

primene metode konačnih elemenata.

Rasponi poliedarskih krovnih konstrukcija uobičajeno dostižu raspone reda 20 do 30m, a

kao prednapregnute – i znatno veće (do 60m). Nabori se postavljaju u poprečnim pravcima i

oslanjaju se na dijafragme krute u svojoj ravni (Sl. 407). Zbog jednostavnijeg izvoñenja

(jednostavnija oplata) mogu biti u značajnoj prednosti u odnosu na cilindrične ljuske (uprkos

manjoj ekonomičnosti po pitanju utroška materijala).


292

Sl. 407. Neke mogućnosti oblikovanja poliedarskih krovnih konstrukcija

Širina jednog poliedarskog elementa uobičajeno ne prelazi 3.0 do 3.5m i projektuju se

debljine, uobičajeno, 5 do 9cm. Visina krovne konstrukcije je u intervalu izmeñu dvadesetine

i desetine raspona. Često se izvode od montažnih elemenata, a neki od češće korišćenih

oblika poprečnih preseka su prikazani na Sl. 408. Mogu biti jednorasponske ili

višerasponske, a širina talasa, l2, je uobičajeno izmeñu 10 i 12m.

Sl. 408. Često korišćeni preseci montažnih elemenata poliedarskih krovova

Približni proračun prizmatičnih poliedarskih konstrukcija može biti sproveden analogno

cilindričnim (Sl. 409).

Sl. 409. Proračunski model – približni proračun

Neki primeri složenijih poliedarskih krovova, formiranih od trougaonih ploča su prikazani na

Sl. 410.

Sl. 410. Složeni poliedarski krovovi formirani od trougaonih ploča

Šatoraste konstrukcije su poliedarske konstrukcije formirane od monolitno vezanih

trapeznih i trougaonih ploča okrenutih vrhom nagore, najčešće oslonjene u uglovima na

stubove (Sl. 411).


293

Sl. 411. Šatorasti krovovi

Zbog konveksnog oblika, mogu biti racionalne i za blage nagibe, a pri tome minimalno

armirane. Strele šatora su uobičajeno u rasponima L/12 do L/8.

Na Sl. 412a prikazan je karakterističan detalj armiranja u poprečnom preseku nabora. Ploče

se armiraju glavnom armaturom za prijem savijanja u pravcu raspona složene ljuske

(tačkasto prikazana armatura u ivičnoj zoni), te poprečnom armaturom koja, načelno,

obezbeñuje poprečni prenos opterećenja sa ploča na ivične elemente (ivice). U blizini ivice i

dijafragme ploče se armiraju u dva reda radi prihvatanja negativnih momenata savijanja.

Dodatno, na spoju ploče i dijafragme se postavlja armatura za prijem smičućih sila (Sl.

412b).

Sl. 412. Neki detalji armiranja poliedarskih krovova

Za maksimalne dopuštene razmake šipki armature, te za minimalne procente armiranja, važe

iste odredbe kao i za pune ploče.

Documents

10 - Ljuske