Apostila de Raciocínio

Professor Joselias

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APOSTILA DE RACIOCÍNIO LÓGICO PARA O CONCURSO

DO INSS 2015

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Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias

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Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br 1

RACIOCÍNIO LÓGICO PARA O INSS

1 - Conceitos básicos de raciocínio lógico: proposições; valores lógicos das proposi-ções; sentenças abertas; número de linhas da tabela verdade; conectivos; proposi-ções simples; proposições compostas.

LÓGICA Veremos nas próximas linhas a definição do que vem a ser uma proposição, bem como o seu cálculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de proposi-ções denominadas premissas ou conclusões.

LÓGICA PROPOSICIONAL

PROPOSIÇÃO Chamaremos de proposição ou sentença todo con-junto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Sendo assim, vejamos os exemplos. Exemplo: a) O Lula é o presidente do Brasil. b) O Rio de Janeiro fica na Europa. c) Elvis não morreu.

As proposições devem assumir os valores falsos ou verdadeiros, pois elas expressam a descrição de uma realida-de, e uma proposição representa uma informação enunciada por uma oração, portanto pode ser expressa por distintas orações, tais como: “O João é mais novo que o Pedro”, ou podemos expressar também por “O Pedro é mais velho que o João”.

Concluímos que as proposições estão associadas aos valores lógicos: verdadeiro (V) ou falso (F). Exemplo:

Se a proposição p = “O Lula é o presidente do Brasil” é ver-dadeira então representaremos o valor lógico da proposição p por VAL(p) = V. Se a proposição p = “O Lula não é o presidente do Brasil” é falsa então representaremos o valor lógico da proposição p por VAL(p) = F. Sendo assim a frase “Parabéns!” não é uma proposição,

pois não admite o atributo verdadeiro ou falso. Portanto tam-bém não serão proposições as seguintes expressões: Exclamações: “Oh!”, “Que susto!”.

Interrogações: “Tudo bem?”, “Que dia é hoje?”, “Você é professor?”.

Imperativos: “Seja um bom marido.”, “Estude para concur-sos.” Paradoxos: “Esta sentença é falsa”.

Teremos dois princípios no caso das proposições:

PRINCÍPIO DO TERCEIRO-EXCLUÍDO Uma proposição só pode ter dois valores lógicos, isto é, é verdadeira (V) ou falsa (F), não podendo ter outro valor.

PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.

Logo, voltando ao exemplo anterior temos: a) “O Lula é o presidente do Brasil.” é uma proposição verda-

deira. b) “O Rio de Janeiro fica na Europa.” é uma proposição falsa. c) “Elvis não morreu”, é uma proposição falsa.

As proposições serão representadas por letras do alfabeto: A, B, C, .... As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas, através de operadores (conecti-vos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas(ou compostas).

CONECTIVOS

Os conectivos serão representados da seguinte forma:

corresponde a “não” (Alguns autores usam o símbolo “

~ ”, para representar a negação).

corresponde a “e” (conjunção)

corresponde a “ou” (disjunção)

corresponde a “se ... então ...” (condicional)

corresponde a “...se e somente se...” (bi-condicional) ⊻ corresponde a “... ou ..., ou ..., mas não ambos (disjun-ção exclusiva)

Assim podemos ter:

• Negações: ~ 𝒑 (lê-se: não p) Exemplo:

Seja a proposição p = “Lógica é difícil”. A proposição “Lógica não é difícil” poderá ser representada por ~ 𝒑.

• Conjunções: p q (lê-se: p e q)

Exemplo:

Sejam p e q proposições tal que: p = “Trabalho” q = “Estudo”, então temos que:

p q = “Trabalho e estudo”

• Disjunções: p q (lê-se: p ou q)

Exemplo:


p q = “Trabalho ou estudo”





• Condicionais: p q (lê-se: Se p então q) Exemplo:


p q = “Se trabalho então estudo”

• Bi-condicionais: p q (lê-se: p se e somente se q) Exemplo:


p q = “Trabalho se e somente se estudo”

• Disjunção exclusiva: p ⊻ q ((lê-se: ou p, ou q, mas não ambos) Exemplo:

Sejam p e q proposições tal que: p = “Trabalho” q = “Estudo”, então temos que: p ⊻ q = “Ou trabalho, ou estudo, mas não ambos”

PRIORIDADES DOS CONECTIVOS

Podemos usar parênteses para evitar ambiguidades, considerando a seguinte prioridade em ordem decrescente:

(A prioridade mais alta)

(A prioridade mais baixa)

TABELA VERDADE

O valor lógico de cada proposição composta depen-de dos conectivos contidos nela. Cada conectivo possui uma regra para formar o valor lógico da proposição composta, conforme a descrição abaixo.

a) Tabela verdade da negação (p) (não p)

Se a proposição é verdadeira, sua negação será falsa. Se a proposição é falsa, sua negação será verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela:

b) Tabela verdade da disjunção (pq) (p ou q) (ou p, ou q)

A disjunção será falsa quando todas as proposições simples forem falsas, caso contrário será verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela:

c) Tabela verdade da conjunção (pq) (p e q)

A conjunção será verdadeira quando todas as propo-sições simples forem verdadeiras, caso contrário será falsa. Assim teremos a seguinte tabela:

d) Tabela verdade da condicional (p q) (Se p, então q)

A condicional somente será falsa quando p for ver-dadeira e q for falsa, caso contrário será verdadeira.

e) Tabela verdade da bi-condicional (p q) (p se e somente se q)

A bi-condicional será verdadeira quando as proposi-ções simples, p e q, tiverem o mesmo valor lógico, caso con-trário será falsa.

f) Tabela verdade da disjunção exclusiva (p ⊻ q)

A disjunção exclusiva será verdadeira quando as proposições simples, p e q, tiverem os valores lógicos diferen-tes, caso contrário será falsa.

p p

V F

F V

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

p q pq

V V V

V F F

F V F

F F F

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

p q p ⊻ q

V V F

V F V

F V V

F F F





Assim teremos abaixo a tabela verdade para as proposições compostas pelas proposições simples p e q:

TABELA VERDADE

Exemplo:

Sejam as proposições p e q, tal que: p = ”Corre” q = ”O bicho pega” Descrever as seguintes proposições abaixo:

a) p

b) p q

c) p q

d) p q

e) p q f) p ⊻ q

Solução:

a) p = “Não corre”

b) p q = “Corre ou o bicho pega”

c) p q = “Corre e o bicho pega”

d) p q = “Se corre, então o bicho pega”

e) p q = “Corre se e somente se o bicho pega”

f) p ⊻ q = “Ou corre, ou o bicho pega, mas não ambos”

Exemplo:

Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixo

Solução:

p q p q pq p q p q p q

V V F F V F F F

V F F V V F F V

F V V F V F F V

F F V V F V V V

Exemplo

Determinar o valor verdade da proposição R (P Q), sa-bendo-se que VAL (P) = F, VAL (Q) = F e VAL (R) = F.

Solução

Logo o VAL(R (P Q)) = V Exemplo: (STF-2008) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade. Tendo como referência as quatro frases aci-ma, julgue o itens seguintes como certo(C) ou errado(E).

a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. b) A segunda frase é uma proposição lógica simples. c) A terceira frase é uma proposição lógica composta. d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos.

Solução

a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. Errado. A sentença não é proposição.

b) A segunda frase é uma proposição lógica simples. Certo. A sentença “A resposta branda acalma o coração irado” é uma proposição simples.

c) A terceira frase é uma proposição lógica composta. Errado. Trata-se de uma oração com o sujeito composto,

formando uma proposição simples. d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos. Errado. A sentença “Se o filho é honesto então o pai é exem-

plo de integridade” apresenta apenas o conetivo condicional. Exemplo: Sabendo que a proposição “se A, então B” é falsa, podemos

concluir que: a) a proposição A é verdadeira e B é verdadeira. b) a proposição A é verdadeira e B é falsa. c) a proposição A é falsa e B é verdadeira. d) a proposição A é falsa e B é falsa.

p q p pq pq p q p q p ⊻ q

V V F V V V V F

V F F V F F F V

F V V V F V F V

F F V F F V V F

p q p q pq pq p q p q

V V

V F

F V

F F

P Q R P Q R (P Q)

V V V V V

V V F V F

V F V F F

F V V F F

V F F F V

F V F F V

F F V F F

F F F F V





e) A proposição A é sempre falsa. Solução

Teremos “se verdade, então falso”. Logo A é verdadeira e B é falsa. Resposta: B

2 - TAUTOLOGIA

São as proposições compostas sempre verdadeiras, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que as compõem. Para verificar se uma proposição é uma tautologia basta fazer a tabela verdade da proposição composta. Exemplos:

a) A proposição (p p) é uma tautologia, pois é sempre

verdadeira para qualquer valor lógico da proposição p.

b) A proposição (p p) é uma tautologia, pois é verdadeira

para qualquer valor lógico da proposição p.

p p p

V V

F V

c) A proposição (p) p é uma tautologia, pois é sempre

verdadeira para qualquer valor lógico da proposição p.

d) A proposição (p q) (p q) é uma tautologia, pois é

sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposi-ções p e q.

e) A proposição (p q) (q p) é uma tautologia, pois

é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das propo-sições p e q. Vamos deixar para o leitor a verificação pela tabela-verdade.

A tautologia (p q) (q p) é conhecida como contra-

positiva.

f) A proposição (p q) (p q) é uma tautologia, pois


A tautologia (p q) (p q) é conhecida como tautolo-

gia de Morgan.

g) A proposição (p q) (p q) é uma tautologia, pois


A tautologia (p q) (p q) também é conhecida como

tautologia de Morgan.

h) A proposição (pq) (p q) é uma tautologia, pois é

sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposi-ções p e q. Vamos deixar para o leitor a verificação pela tabe-la-verdade.

LISTA DE TAUTOLOGIAS MAIS COMUNS

a) (p p)

b) (p p)

c) (p p) (Identidade)

d) (p q) (p q)

e) (p q) (q p) (Contra-positiva)

f) (p q) (p q) (Morgan)

g) (p q) (p q) (Morgan)

h) (p) p (Negação dupla)

i) (p q) (p q)

CONTRADIÇÕES

São as proposições compostas sempre falsas, independen-temente dos valores lógicos das proposições simples que as compõem. Para verificar se uma proposição é uma contradi-ção basta fazer a tabela verdade da proposição composta. Exemplo:

A proposição (p p) é uma contradição, pois é sempre

falsa para qualquer valor lógico da proposição p.

p p p p

V F V

F V V

p (p) (p) (p) p

V F V V

F V F V

p q pq p pq (pq) (pq)

V V V F V V

V F F F F V

F V V V V V

F F V V V V

p p p p

V F F

F V F





CONTINGÊNCIA

São as proposições compostas em que os valores lógicos dependem dos valores das proposições simples. Para verificar se uma proposição é uma contingência basta fazer a tabela-verdade da proposição. Se na tabela-verdade alguns valores lógicos forem verdadeiros e outros falsos teremos uma contingência. Exemplo:

A proposição (p q) é uma contingência, pois a proposição pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos valores lógicos de p e q. Exemplos:

a) (p p) (p p) é uma tautologia, pois a proposição composta é sempre verdadeira.

b) (p p) (p p) é uma contradição, pois a proposição composta é sempre falsa. Exemplo:

Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Das alternativas abaixo, a única que é tautologia é: a) se filosofamos, então filosofamos. b) se não filosofamos, então filosofamos. c) Lógica é fácil, mas é difícil. d) ele é feio, mas para mim é bonito. e) eu sempre falo mentira.

Solução A única proposição sempre verdadeira é “se filosofamos,

então filosofamos”, pois é a tautologia (p p). Resposta: A

NÚMERO DE LINHAS DA TABELA VERDADE

O número de linhas da tabela verdade de uma pro-

posição composta com n proposições simples é 2n.

Exemplo:

Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com uma proposições simples possui 21 = 2 linhas. Exemplo:

Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com duas proposições simples possui 22 = 4 linhas.

Exemplo:

Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com três proposições simples possui 23 = 8 linhas.

Exercícios propostos

1) (2013-ESAF-Analista Técnico-Administrativo – MF) Conforme a teoria da lógica proposicional, a proposição ~ P Λ

P é: a) uma tautologia. b) equivalente à proposição ~ P V P .

c) uma contradição. d) uma contingência. e) uma disjunção. 2) (2014 – IBFC - Qualquer Nível Médio – SEPLAG/SEDS-MG) De acordo com os conectivos lógicos podemos afir-mar que:

a) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor lógico de uma proposição q for falso, então p conjunção q é

verdade. b) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor lógico de uma proposição q for falso, então p disjunção q é

verdade. c) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor lógico de uma proposição q for falso, então p condicional q é

verdade. d) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor lógico de uma proposição q for falso, então p bicondicional q

é verdade. 3) (ESAF – 2009 – EPPGG - MPOG) Entre as opções abaixo,

a única com valor lógico verdadeiro é: a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da Fran-ça. b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França. c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França. d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da Inglaterra. e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra. 4) (2014 – IBFC - Analista e Pesquisador de Saúde e Tec-nologia I - Administração – FUNED-MG) Com relação aos

conectivos lógicos, a única alternativa incorreta é:

a) o valor lógico da conjunção (e) entre duas proposições é falso se pelo menos um dos valores lógicos de uma das proposições for falso. b) o valor lógico da disjunção (ou) entre duas proposições é verdade se pelo menos um dos valores lógicos de uma das proposições for verdade.

p q q (p q)

V V F F

V F V V

F V F F

F F V F

p

V

F

p q

V V

V F

F V

F F

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F





c) o valor lógico do condicional (se, então) entre duas propo-sições é verdade se ambos os valores lógicos das proposi-ções forem falsos. d) o valor lógico do bicondicional (se, e somente se) entre duas proposições é falso se ambos os valores lógicos das proposições forem falsos. 5) (2009 – CESGRANRIO - Engenheiro Civil – CAPES)

Chama-se tautologia à proposição composta que possui valor lógico verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições que a compõem. Sejam p e q proposições sim-ples e ~p e ~q as suas respectivas negações. Em cada uma das alternativas abaixo, há uma proposição composta, forma-da por p e q. Qual corresponde a uma tautologia? (A) p ˅ q (B) p ˄ ~q (C) (p ˅ q) → (~p ˄ q) (D) (p ˅ q) → (p ˄ q) (E) (p ˄ q) → (p ˅ q) 6) (ESAF – 2009 – APOF - SEFAZ-SP) Assinale a opção

verdadeira. a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9 b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9 c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9 d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9 e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9 7) (2014 – IBFC - Agente Administrativo - Pref. Alagoa

Grande-PB) Sejam as proposições p: 15% de 30% = 45% e

q: a quarta parte de uma dúzia é igual a 3, e considerando os

valores lógicos dessas proposições, podemos afirmar que o valor lógico da proposição composta (p→q)↔~p é: a) falso b) verdadeiro ou falso c) verdade d) inconclusivo

8) (FGV) A proposição (p q) (p q) representa um:

a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A

9) (FGV) A proposição (p q) (p q) representa um:

a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 10) (2014 – IBFC - Agente Administrativo - Pref. Alagoa

Grande-PB) Dentre as afirmações, a única incorreta é:

a) se os valores lógicos de duas proposições são falsos então o valor lógico do condicional entre elas é falso. b) se o valor lógico de uma proposição é falso e o valor lógico de outra proposição é verdade, então o valor lógico da con-junção entre elas é falso.

c) se os valores lógicos de duas proposições são falsos então o valor lógico da disjunção entre elas é falso d) se o valor lógico de uma proposição é falso e o valor lógico de outra proposição é verdade, então o valor lógico do bicon-dicional entre elas é falso.

11) A proposição (p q) (p q) representa um:

a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 12) (CESGRANRIO – Analista de Planejamento – Adm.

Escolar - IBGE – 2013) Sejam 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, 𝑝4, 𝑝5 e c proposi-

ções verdadeiras. Assim, é FALSA

(A) 𝑝1 ˄ 𝑝2 ˄ 𝑝3 ˄ 𝑝4 ˄ 𝑝5 → c

(B) ¬c → ¬𝑝1 ˅ ¬𝑝2 ˅ ¬𝑝3 ˅ ¬𝑝4 ˅ ¬𝑝5

(C) ¬𝑝1 ˅ ¬𝑝2 ˅ ¬𝑝3 ˅ ¬𝑝4 ˅ ¬𝑝5 ˄ c (D) ¬𝑝1 ˅ ¬𝑝2 ˅ ¬𝑝3 ˅ ¬𝑝4 ˅ ¬𝑝5 ˅ c

(E) 𝑝1 ˅ 𝑝2 ˅ 𝑝3 ˅ 𝑝4 ˅ 𝑝5 ˅ ¬c

13) A proposição (p q)(q p) representa um:

a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 14) (2013 – IBFC - Oficial Administrativo – SUCEN) O raci-

ocínio lógico trabalha com proposições, que é um conceito fundamental no estudo da lógica. Dadas as proposições abai-xo: p: 16,5% de 200 = 32; q: a quarta parte de 300 é igual a 80

É correto afirmar que: a) a disjunção de p e q ( p v q ) é verdadeira. b) a disjunção de p e q ( p v q ) é falsa. c) Não existe a disjunção das proposições dadas. d) O valor lógico de p é diferente do valor lógico de q.

15) A proposição (p p) representa um:

a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A

16) A proposição (p p) representa um:

a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 17) (2013 – IBFC - Oficial Administrativo – SUCEN) Dentre as afirmações:





I. Se duas proposições compostas forem falsas então o con-dicional entre elas é verdade. II. Se duas proposições compostas forem falsas então o bi-condicional entre elas é falso. III. Para que uma disjunção entre duas proposições seja

verdadeira é necessário que ambas proposições sejam ver-dadeiras. IV. Para que uma conjunção entre duas proposições seja

falsa é necessário que ambas proposições sejam falsas. Pode-se dizer que são verdadeiras:

a) Todas b) Somente duas delas c) Somente uma delas d) Nenhuma

18) A proposição (p)p representa um: a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A

19) A proposição ( (p)) p representa um:

a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 20) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.

p q ?

V V F

V F F

F V V

F F F

A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é

a) (p q)

b) (~p ~q)

c) (p ~q)

d) (~p q)

e) (p q)

21) (2009 – CESGRANRIO - Agente Administrativo – FU-

NASA) Denomina-se contradição a proposição composta que é SEMPRE FALSA, independendo do valor lógico de cada

uma das proposições simples que compõem a tal proposição composta. Sejam p e q duas proposições simples e ~p e ~q, respectivamente, suas negações. Assinale a alternativa que apresenta uma contradição. (A) p ˄ q (B) q ˅ ~q (C) p ˅ ~q (D) ~p ˄ q (E) ~p ˄ p 22) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.

A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é

a) (p q)

b) (~p ~q)

c) (p ~q)

d) (~p q)

e) (p q)

Gabarito 1 – C 2 – B 3 – C 4 – D 5 – E 6 – C 7 – C 8 – C 9 – C 10 – A 11 – C 12 – C 13 – C 14 – B 15 – C 16 – A 17 – D 18 – C 19 – C 20 – D 21 – E 22 – B

3 – Operações com conjuntos Conceitos

Um conjunto é uma coleção de objetos bem definida. Quando x é um dos objetos que constituem um determinado conjunto A, chamamos x de elemento do conjunto A, e dize-mos que x pertence ao conjunto A, escrevendo da seguinte

maneira x ∈ A. Se x não é um elemento do conjunto A, dizemos que x não

pertence ao conjunto A, e escrevemos x A.

A relação entre um elemento e um conjunto é chamada de relação de pertinência. Geralmente representamos os conjuntos por letras maiúscu-las (A, B, C, ...), e os elementos por letras minúsculas (a, b, c,...). Os conjuntos, na maioria das vezes, são definidos através de uma regra com a qual podemos decidir se os objetos perten-cem ou não ao conjunto. Exemplo Seja A o conjunto das mulheres de olhos verdes. Notamos que o conjunto A está bem definido, pois o objeto x pertence ao conjunto A quando for uma mulher e além disso tiver olhos

verdes. Por outro lado, se x não for uma mulher ou se x for uma mu-lher que não tenha olhos verdes então x não pertence ao conjunto A.

Usaremos a notação A = {a, b, c, d, ...} para representar o conjunto A cujos o elementos são os objetos a, b, c, d,... . O conjunto dos números naturais 0,1,2,3,... será representado pelo símbolo N.

N = {0,1,2,3,4,...}

O conjunto dos números inteiros será representado pela letra Z, logo,

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}

O conjunto dos números racionais, que é formado pelas fra-

ções p

q, onde p e q pertencem a Z, com q ≠ 0, é representado

pela letra Q

𝐐 = {𝐩

𝐪|𝐩 ∈ 𝐙 𝐞 𝐪 ∈ 𝐙 𝐞 𝐪 ≠ 𝟎}

p q ?

V V F

V F F

F V F

F F V





Lê-se: Q é o conjunto das frações p

q tal que p pertence a Z e q

pertence a Z e q é diferente de zero. Um conjunto pode também ser representado por uma proprie-dade P, comum a todos os seus elementos, neste caso es-crevemos:

A = {x | x possui propriedade P} Lê-se o símbolo “|” como “tal que”. Se, no entanto, a propriedade P se refere aos elementos de um determinado conjunto C, escrevemos:

A= {x ∈ C | x possui a propriedade P}

Exemplo

Seja A o conjunto dos números inteiros maiores que zero. Então podemos escrever

A = {x ∈ Z | x > 0}

Lê-se: A é o conjunto dos x pertencentes ao conjunto dos números inteiros, tal que x é maior que zero. Isto é: A = {1, 2, 3, 4, ...} Exemplo

Seja B o conjunto dos números pares. Podemos representar B da seguinte forma: B = {x | x = 2K e K ∈ N}

Isto é B = {0, 2, 4, 6, 8, ...} Exemplo

Seja C = {x | x é ímpar e 5 < x < 20} Podemos representar por: C = {7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} Pode ocorrer que não existam elementos que satisfaçam a propriedade P, neste caso dizemos que o conjunto é vazio e denotamos por ∅.

Deste modo, definimos conjunto vazio, e denotamos por ∅, ao

conjunto que não possui elementos. Exemplo

{x ∈ N | 0 < x < 1} = ∅

Exemplo

O conjunto dos dias da semana que começam com a letra A (no idioma português) é o conjunto vazio (∅).

Exemplo

O conjunto dos homens que já geraram um ser humano (con-ceberam um parto), até hoje, é o conjunto vazio. Obs.: No cálculo de probabilidade o conjunto vazio é chama-

do de evento impossível. Dados os conjuntos A e B, dizemos que A é subconjunto de B quando todo elemento de A é também elemento de B. Escre-vemos A ⊂ B (A é subconjunto de B).

Observação:

• Se A ⊂ B, dizemos que A está contido em B ou que A é

parte de B. • A relação A ⊂ B chama-se relação inclusão.

• O conjunto vazio (∅) está contido em qualquer conjunto (isto

é, ∅ é subconjunto de qualquer conjunto).

• Chamamos de conjunto dos números irracionais, e repre-sentamos por I, ao conjunto dos números que não podem ser

escritos na forma p

q tal que p ∈ Z e q ∈ Z e q ≠ 0. Um número

não pode ser racional e irracional ao mesmo tempo. Seja o conjunto A, chamamos de conjunto das partes de A, e denotamos por P(A), ao conjunto formado por todos os sub-conjuntos de A. Exemplo

Seja A= {1, 2, 3} Então todos os subconjuntos de A são: ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1,3}, {2, 3}, {1, 2, 3}

Logo P (A) = { ∅ , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1,3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

Observação:

• Se um conjunto A possui n elementos, então P(A) possui 2n elementos. • A ∈ P(A) e ∅ ∈ P(A)

Exemplo

Seja A = {a, b, c} Para a visualização dos conjuntos utilizamos o chamado dia-grama de Venn.

Exemplo

Exemplo

Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}; B = {3, 4, 5}; C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Faça o Diagrama de Venn e assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F). a) ( ) A ⊂ B

b) ( ) A ⊂ C

c) ( ) B ⊂ C

d) ( ) B ⊂ A

e) ( ) {1, 4} ⊂ A

f) ( ) ∅ ⊂ A

Solução

a) (F) pois A B (A não está contido em B) como vemos 1

B e 2 B.

b) (V) evidente que A C, pois todos os elementos de A são também elementos de C.

c) (V) pois B C, pois todos os elementos de B são também elementos de C

d) (F) pois B A (B não está contido em A), como vemos 5 A.

e) (V) evidente que o conjunto {1, 4} A. f) (V) pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjun-to.ABBA





União entre conjuntos

A união dos conjuntos A e B, é o conjunto A B, cujos os elementos são também elementos de A ou de B. Isto é, se x ∈

A B então x ∈ A ou x ∈ B.

A B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}

A B

Intersecção entre conjuntos

A intersecção entre os conjuntos A e B é o conjunto A ∩ B, cujos elementos são simultaneamente elementos de A e de B. Isto é, se x ∈ A ∩ B então x ∈ A e x ∈ B.

A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

A ∩ B

Complementar de um conjunto

Seja um conjunto A. Chamamos de complementar de A, e denotamos por AC, ao conjunto dos elementos que não per-

tencem ao conjunto A. Isto é, AC = {x | x A}

Diferença entre os conjuntos A e B Chamamos de diferença entre os conjuntos A e B, e denota-mos por (A – B), ao conjunto cujos elementos pertençam ao conjunto A, mas não pertençam ao conjunto B. Isto é,

A–B = {x | x ∈ A e x B} = A ∩ BC

Observação

• Quando B ⊂ A, a diferença A – B chama-se conjunto com-

plementar de B em relação a A e denotamos por 𝐶𝐴𝐵. Logo se B ⊂ A então A – B = 𝑪𝑨𝑩.

• Representamos n (A) - número de elementos do conjunto A n (B) - número de elementos do conjunto B n (A ∩ B) - número de elementos do conjunto A ∩ B n (A ∪ B) - número de elementos do conjunto A ∪ B

Então

n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)

Algumas propriedades importantes

1. A ∪ ∅ = A

2. A ∪ A = A 3. A ∩ ∅ = ∅ 4. A ∩ A = A

5. A ∪ B = B ∪ A 6. A ∩ B = B ∩ A 7. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 8. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 9. (AC)C = A

10. A B se somente se A ∪ B = B

11. A B se somente se A ∩ B = A

12. A B se somente se BC AC

15. A ∩ AC =∅

Exemplo

Seja A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5} A B

Exemplo

Seja A = {1, 2, 3, 4} e B= {3, 4, 5} A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

A ∩ B = {3, 4} B – A = {5} Exemplo

Seja A = {1, 2, 3}; B = {2, 4, 5}, C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Calcule: a) A ∩ B b) A ∪ B

c) (A ∩ B) ∪ C

d) (A ∪ B) ∩ C

Solução

a) A ∩ B = {2} b) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

c) (A ∩ B) ∪ C = {2} ∪{1, 2, 3, 4, 5, 6,} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} d) (A ∪ B) ∩ C = { 1, 2, 3, 4, 5} ∩{1, 2, 3, 4, 5, 6,} = { 1, 2, 3, 4,

5} Exemplo

Seja um conjunto A com 300 elementos, um conjunto B com 500 elementos. Suponhamos que há 100 elementos comuns em A e B. Quantos elementos possui: a. somente o conjunto A b. somente o conjunto B c. o conjunto A ∪ B

Solução

a. 200 elementos b. 400 elementos





c. n (A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

n (A ∪ B) = 300 + 500 - 100 n (A ∪ B) = 700 elementos.

Exemplo

(MACK-SP) Se A e B são dois conjuntos tais que A B e A ≠ ∅, então:

a) sempre existe x ϵ A tal que x B.

b) sempre existe x ϵ B tal que x A. c) se x ϵ B então x ϵ A

d) se x B então x A e) A ∩ B = ∅

Solução

Pelos dados do problema temos: A opção A é totalmente absurda pois A ⊂ B.

A opção B, a palavra sempre força o caso de que A não pos-sa ser igual a B. A opção C, desde que B ⊂ A.

A opção D, é correta, basta ver a propriedade 12 (se A ⊂ B ⇒

BC ⊂ AC) A opção E, é absurda. Resposta: D

Exemplo

(MACK-SP) Sendo A = {1, 2, 3, 5, 7, 8} e B = {2, 3, 7}, então o complementar de B em relação a A é: a) ∅

b) {8} c) {8, 9, 10} d) {9, 10, 11, ...} e) {1, 5, 8} Solução

Observe que B ⊂ A logo

𝐶𝐴𝐵 = 𝐴 − 𝐵 = {1, 5, 8} Resposta: E

Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto de pares ordenados (a, b), tal que a é um elemento de A e b é um elemento de B. Simbolicamente

teremos. A×B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}

Exemplo

Seja A = {0, 1, 2} e B= {1, 2, 3} A×B = {(0,1), (0,2), (0,3), (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)} Para o caso de três conjuntos A, B e C o produto cartesiano será definido analogamente.

A×B×C= {(a,b,c) | a ∈ A e b ∈ B e c ∈ C}

Conjunto dos Números Reais

Chamamos de conjunto dos números reais a união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Isto é,

R = Q ∪ I Observação: 1. Podemos concluir que: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

2. Podemos concluir que: I ∩ Q = ∅

3. Podemos fazer o seguinte diagrama de Venn

R

4. Sejam dois conjuntos A e B. Dizemos que A e B são disjuntos se e somente se A ∩ B = ∅

Exemplo

A = {0, 1, 3, 4, 6} e B = {2, 5, 7} A ∩ B = ∅ logo A e B são conjuntos disjuntos.

NÚMEROS NATURAIS

Os números naturais surgiram quando as primeiras civiliza-ções começaram a contar os seus rebanhos. Então, surgiram os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,... À representação dos números chamamos de numeral, por exemplo: 19 é o numeral representado pelos algarismos 1 e 9.

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (ℕ) Representaremos o conjunto de todos os números naturais por:

ℕ = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … }

NÚMEROS PARES E NÚMEROS ÍMPARES Chamaremos de números pares aos números múltiplos de 2, isto é: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...

Chamaremos de números ímpares aos números naturais que não são pares, isto é: 1, 3, 5, 7, 9,...

NÚMEROS INTEIROS Estudamos no ensino fundamental que os números inteiros são:

...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...

PROPRIEDADES E OPERAÇÕES DOS NUMEROS INTEIROS

Se a, b e c são números inteiros, então:

I- a+b = b+a e ab = ba

Dizemos então que a soma e o produto são operações comu-tativas.

II- a+(b+c) = (a+b)+c e a.(bc) = (ab).c

Dizemos então que a soma e o produto são operações asso-ciativas.

III- a(b+c) = ab + ac

Dizemos então que o produto é distributivo em relação à ope-ração soma.

IV- a+0 = a

Dizemos que zero é o elemento neutro da operação soma.

V- a.1 = a

Dizemos que um é o elemento neutro da operação produto.

VI- Para cada inteiro a, existe um inteiro x, tal que x+a = 0. Este valor de x será representado por –a, e será chamado de simétrico ou oposto do número a.





Exemplos:

-2 é simétrico de 2 -3 é simétrico de 3 -2 é oposto de 2 3 é simétrico de -3 3 é oposto de -3

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

Representaremos o conjunto dos números inteiros por:

ℤ = {… , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … }

Teremos então os seguintes conjuntos derivados do conjunto dos números inteiros:

ℤ−= conjunto dos números inteiros não positivos:

ℤ− = {… , −4, −3, −2, −1,0}

ℤ+= conjunto dos números inteiros não negativos:

ℤ+ = {0, 1,2,3,4, … }

ℤ−∗ = conjunto dos inteiros negativos:

ℤ−∗ = {… , −4, −3, −2, −1}

ℤ+

∗ = conjunto dos números inteiros positivos:

ℤ+∗ = {1, 2,3,4, … }

NÚMEROS RACIONAIS E FRACIONÁRIOS, REPRESENTAÇÕES EM

FORMA DECIMAL Dizemos que um número é racional se ele pode ser escrito na forma:

p

q tal que 𝑝 ∈ ℤ e 𝑞 ∈ ℤ∗

Isto quer dizer que um número é racional se ele pó ser escrito como uma fração. Os números que não podem ser represen-tados como uma fração serão chamados de Irracionais. Exemplos:

a) 4

0,4444...9

é racional.

b) 12

0,121212...99

é racional.

c) 231

0, 231231...999

é racional.

d) 2

7 é racional.

e) 2 é irracional

f) é irracional

4 - Cálculos de Porcentagens

TAXA PERCENTUAL E TAXA UNITÁRIA

Taxa Percentual é a fração cujo denominador é igual a 100.

Temos então que fração 25

100 é uma taxa percentual e será

indicada por 25%, logo:

%100

xx

Quando efetuamos a divisão do numerador por 100, temos como resultado a taxa unitária.

Exemplo

a) 25

100 = 25% (taxa percentual)

b) 25

100 = 0,25 (taxa unitária)

PORCENTAGEM

Calcular a porcentagem de um número significa multiplicar a fração percentual pelo número.

Exemplo

Calcular:

a) 2

5 de 300 =

2

5 x 300 =

600

5 = 120

b) 25% de 400 = 25% x 400 = 25

100 x 400 = 100

Exemplo

Um capital foi aplicado por um certo período a uma taxa de 4% no período, tendo recebido no final do prazo R$ 600,00 de juro. Qual o valor do capital aplicado?

Solução

Sejam os dados: C = capital aplicado i = a taxa de juro J = o juro obtido no final do prazo. Então teremos: i = 4% no período aplicado J = R$ 600,00 A taxa de juro será o valor do juro aplicado expresso co-mo porcentagem do capital.

6004%

4 600

100

600 100

4

60000$15.000,00

4

Ji

C

C

C

xC

C R

Resposta: R$ 15.000,00

COMPARAÇÃO DE DOIS NÚMEROS

A fração a

b representa a porcentagem que o número a

representa de um número b.

Exemplo

Que porcentagem o número 2 representa do número 5?





Solução

Basta efetuar a fração:

20, 4 40%

5

Resposta: 40%

Exemplo

Numa classe com 80 alunos, 28 foram aprovados em mate-mática. Qual a porcentagem de aprovados nessa matéria? Qual a porcentagem de reprovados?

Solução

Total de alunos na classe: 80 alunos Quantidade de alunos aprovados: 28 alunos Logo, a porcentagem de alunos aprovados é:

280,35 35%

80

A porcentagem de alunos reprovados será: 100% - 35% = 65% Resposta: 35% e 65%

LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA E LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO

Suponha que um produto seja adquirido pelo valor PC, e seja vendido pelo valor PV. Isto é:

PC = “preço de custo do produto” PV = “preço de venda do produto” L = “lucro obtido com a venda do produto” Então temos que o lucro obtido com a venda do produto é:

L = PV – PC

Sendo assim temos:

a) Lucro sobre o preço de custo: L PV PC

PC PC

.

b) Lucro sobre o preço de venda: L PV PC

PV PV

.

Exemplo

Um comerciante comprou um produto por R$ 400,00 e vendeu por R$ 500,00? Qual foi o lucro sobre o preço de custo?

Solução

PC = R$ 400,00 PV = R$ 500,00 Lucro sobre o preço de custo:

500 400 100 2525%

400 400 100

PV PC

PC

Resposta: 25%

Exemplo

Um comerciante comprou um produto por R$ 400,00 e vendeu por R$ 500,00? Qual foi o lucro sobre o preço de venda?

Solução

PC = R$ 400,00 PV = R$ 500,00 Lucro sobre o preço de venda:

500 400 100 2020%

500 500 100

PV PC

PV

Resposta: 20%

Exemplo

Um produto é comprado por R$ 150,00 e é vendido por R$ 300,00. Qual foi o lucro sobre o preço de custo? Qual foi o lucro sobre o preço de venda?

Solução

PC = R$ 150,00 PV = R$ 300,00 Lucro sobre o preço de custo:

300 150 1501 100%

150 150

PV PC

PC

Lucro sobre o preço de venda:

300 150 150 5050%

300 300 100

PV PC

PV

Resposta: 100% e 50%

Exemplo

Um produto é vendido com um lucro de 20% sobre o pre-ço de venda. Qual foi o lucro sobre o preço de custo?

Solução

Lucro sobre o preço de venda = 20%

20%PV PC

PV

PV – PC = 0,2 PV PV – 0,2 PV = PC 0,8 PV = PC PC = 0,8 PV Lucro sobre o preço de custo:

1 20% 0,20,25 25%

0,8 0,8 0,8 0,8

PV PC PV PC PV PC

PC PV PV

Resposta: 25%

TAXA DE VARIAÇÃO PERCENTUAL

Chamamos de taxa de variação percentual a medida percentual de quanto a variável aumentou ou diminuiu. Sendo assim, temos: Vant= Valor antigo da variável. Vnovo = Valor novo da variável. Δ = Taxa de variação percentual

novo ant

ant

V V

V

ou

Exemplo

O preço de um produto aumentou de R$ 500,00 para R$ 525,00. Qual foi a taxa de variação percentual do preço?

Solução

Vant = R$ 500,00 Vnovo = R$ 525,00

525 500 25 55%

500 500 100

novo ant

ant

V V

V

Resposta: 5%

1novo

ant

V

V





Exemplo

Um comerciante comprou um produto por R$ 1.500,00, e o revendeu um mês depois por R$ 1.725,00. Qual foi a taxa de variação percentual no mês?

Solução

Vant = R$ 1.500,00 Vnovo = R$ 1.725,00

1725 1500 225 1515%

1500 1500 100

novo ant

ant

V V

V

FATOR(OU COEFICIENTE) DE ACUMULAÇÃO

Vimos no item anterior que a variação percentual é dada por:

1 1 1novo novonovo ant

ant ant

V VV V

V V

e 1

novoant

VV

O fator ou coeficiente de acumulação denotado por 1 + Δ, é o valor que multiplicado pelo valor antigo produz o valor novo. Notamos que para varias taxas de variação percentual consecutiva Δ1 , Δ2 , ... Δn aplicadas sucessivamente ob-temos a fórmula:

Vnovo = Vant (1+ Δ1)(1+ Δ2) ... (1+ Δn)

que será chamado de fator de acumulação total dos n pe-ríodos consecutivos. Temos portanto que:

Δ = (1+ Δ1)(1+ Δ2) ... (1+ Δn) – 1

Será chamada de taxa de variação total dos n períodos consecutivos. Observação: Se Δ1 = Δ2 =.... = Δn = Δ a fórmula será

Vnovo = Vant [1+ Δ]n Exemplo

Um comerciante aumentou o preço de um certo produto em 30%. Como a venda do produto caiu, o comerciante arrependido, pre-tende dar um desconto no novo preço de modo a fazê-lo voltar ao valor anterior ao aumento. Nesse caso, o comerciante deve anun-ciar um desconto de, aproximadamente: a)15%; b) 19%; c) 23%; d) 28%; e) 30%.

Solução

Temos duas variações: A primeira de 30% . A segunda no valor ∆2 . A variação total será zero, pois o preço voltará ao anteri-or.

1 2

2

2

1 2

2

2 2

2

1 1 1

0 1 30% 1 1

1,3 1

1,3 3 1

1,3 0,3

0,30,23

1,3

23%

Resposta: C Exemplo (VUNESP) A diferença entre o preço de venda anunciado de

uma mercadoria e o preço de custo é igual a R$ 2.000,00. Se essa mercadoria for vendida com um desconto de 10% sobre o preço anunciado, dará ainda um lucro de 20% ao comerci-ante. Determine seu preço de custo.

Solução

PV – PC = 2000. Como a mercadoria foi vendida com um desconto de 10% e teve um lucro de 20%, temos:

0,920%

0,9 0,2

9 12

PV PC

PC

PV PC PC

PV PC

Temos o sistema:

2000

9 12

PV PC

PV PC

Multiplicando a 1ª equação por 9, temos: 9PV – 9PC = 18000 12PC – 9PC = 18000 3PC = 18000 PC = 6000

Resposta: R$ 6.000,00

Exemplo

Em outubro de determinado ano, o Tribunal Regional do Trabalho concedeu a uma certa categoria profissional um aumento salarial de 80%, sobre o salário de abril, descontadas as antecipações. Se os trabalhadores receberam um aumento de 20% em setembro, qual o aumento percentual a ser recebido em outubro, conside-rando o salário recebido em setembro? a) 66,67% b) 60% c) 50% d) 40% e) 36,66%

Solução

1 2

2

2

2

2

2 2 2

1 1 1

80% 1 20% 1 1

1,2 1 1,8

1,2 1,2 1,8

1,2 0,6

0,60,5 50%

1, 2

Resposta: C

5 – Problemas Resolvidos

Nesse tópico vamos resolver exercícios que envolvem racio-cínios quantitativos, tais como aritméticos, geométricos, matri-ciais, sequenciais etc. O leitor deve tentar resolver as próxi-mas questões e procurar entender as soluções apresentadas aqui nos próximos exemplos. 1) Em uma turma há 18 homens e 15 mulheres. Vinte e oito

alunos dessa turma inscreveram-se para participar de um concurso. Quantas mulheres, no mínimo, estão inscritas para participar desse concurso? (A) 14 (B) 13 (C) 12 (D) 11 (E) 10





Solução

Para ter a menor quantidade de mulheres precisamos que todos os 18 homens se inscrevam. Logo o número mínimo de mulheres inscritas será 28 – 18 = 10 mulheres. Resposta: E

2) Uma prova com 240 questões diferentes foi distribuída a três estudantes, A, B e C, de modo que cada estudante rece-beu um bloco com 80 questões distintas. A apresentou 80% de acertos nas suas respostas; B respondeu corretamente a 90% do seu bloco e C errou 70% de suas questões. Desta

forma, o número total de questões erradas, pelos três estu-dantes, na prova é de: a) 24 b) 48 c) 56 d) 80 e) 192

Solução

Temos que: A 16 erradas B 8 erradas C 56 erradas Total: 80 erradas Resposta: D

3) 12 homens estavam perdidos no deserto. Eles possuíam

água para 30 dias, porém na noite do sexto dia encontraram um outro grupo de homens perdidos, que se juntaram a eles. Sabendo-se que a água durou apenas mais doze dias, a quantidade de homens no grupo encontrado foi a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

Solução

Na noite do sexto dia possuíam água para mais 24 dias. Co-mo a água só durou 12 dias (metade do que deveria), conclu-ímos que o número de homens dobrou. Logo, no grupo en-contrado havia 12 homens. Resposta: C 4) Na reunião de um condomínio compareceram homens e

mulheres. Após iniciada a sessão, um homem se retirou, e o número de mulheres presentes ficou sendo o dobro do núme-ro de homens. Posteriormente, o homem que havia saído retomou. Em seguida, saíram seis mulheres, e o número de homens e mulheres presentes ficou igual. O número de pes-soas presentes quando a reunião foi iniciada era (A) 14. (B) 16. (C) 18. (D) 20. (E) 22.

Solução

Início Etapa 1

Etapa 2

Etapa 3

Homens x x - 1 x x

Mulheres y y y y - 6

2( 1)

6

y x

x y

2( 1)

6

y x

y x

Logo: 2(x-1) = x + 6 2x – 2 = x + 6

x = 8 y = 14 Logo o número de presentes na reunião foi 22 pessoas (8 homens e 14 mulheres). Resposta: E

5) Estou matriculado no curso de Administração de Empresas.

Para trancar a matrícula em qualquer disciplina, tenho um prazo máximo de 90 dias a contar de hoje, que é terça-feira, vencendo o l.ª dia, portanto, amanhã, 4a feira. Então, esse prazo vencerá em uma (A) segunda-feira. (B) terça-feira. (C) quarta-feira. (D) quinta-feira. (E) sexta-feira.

Solução

90 dividido por 7 tem como quociente 12 e resto 6. Portanto os 90 dias vencem em uma segunda-feira. Resposta: A

6) Uma lanchonete oferece aos seus clientes as seguintes

opções para montar um sanduíche: 2 tipos de patês, 3 tipos de queijos, 4 tipos de frios e 3 tipos de folhas de saladas. Se uma pessoa quiser montar um sanduíche com apenas um ingrediente de cada tipo, o número de maneiras diferentes que ela poderá montar esse sanduíche será (A) 80. (B) 72. (C) 63. (D) 50. (E) 44.

Solução

Temos: 2 tipos de patês 3 tipos de queijos 4 tipos de frios 3 tipos de folhas de salada Logo pelo princípio fundamental da contagem temos 2 3 4

3 = 72 maneiras diferentes de montar o sanduíche. Resposta: B 7) Para presentear amigos, uma pessoa irá montar caixas

com bombons sortidos e, para isso, comprou 500 g de bom-bons com licor, a R$ 36,00 o kg; 1,2 kg de bombons ao leite, a R$ 25,00 o kg, e 1,3 kg de bombons com recheio de frutas, a R$ 30,00 o kg. O preço médio de um kg de bombom compra-do por essa pessoa saiu por (A) R$ 26,00. (B) R$ 27,00. (C) R$ 28,00. (D) R$ 29,00. (E) R$ 30,00.

Solução

Temos as seguinte quantidades: 0,5kg de bombons com licor R$ 18,00 1,2kg de bombons ao leite R$ 30,00 1,3kg de bombons com recheio de frutas R$ 39,00 Logo: 1 caixa com 3 kg custa R$ 87,00.

Portanto o kg da caixa será: $87,00

$29,003

RR

Resposta: D

8) (Vunesp-AgEscVigPen-V1-2012) De mesada, Julia recebe

mensalmente do seu pai o dobro que recebe de sua mãe. Se em 5 meses ela recebeu R$ 375,00, então, de sua mãe ela recebe, por mês, (A) R$ 15,00. (B) R$ 20,00.





(C) R$ 25,00. (D) R$ 30,00. (E) R$ 35,00.

Solução

Pai Mãe 10x + 5x = 375 15 x = 375

x = 375

15 ∴ x = 25

Logo de sua mãe recebeu R$ 25,00 por mês. Resposta: C

9) (Vunesp-AgEscVigPen-V1-2012) Valdomiro cronometrou

as voltas que correu em uma pista de 400 m e anotou os tempos na tabela a seguir.

Pode-se afirmar que o tempo médio dessas quatro voltas foi, em segundos, de (A) 80. (B) 82. (C) 84. (D) 86. (E) 88.

Solução 15 + 18 + 23 + 24

4= 20

1 min 20 seg = 80 segundos Resposta: A

10) (Concurso Petrobras - 2011) João tem 100 moedas,

umas de 10 centavos, e outras de 25 centavos, perfazendo um total de R$ 20,20. O número de moedas de 25 centavos que João possui é (A) 32 (B) 56 (C) 64 (D) 68 (E) 72

Solução

Seja x o número de moedas de 25 centavos, e (100 - x) o número de moedas de 10 centavos. Temos que

25𝑥 + 10(100 − 𝑥) = 2020 25𝑥 + 1000 − 10𝑥 = 2020

15𝑥 = 1020

𝑥 =1020

15

𝒙 = 𝟔𝟖 𝒎𝒐𝒆𝒅𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝟐𝟓 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒂𝒗𝒐𝒔. Resposta: D

11) (Concurso Petrobras - 2011) Conversando com os 45

alunos da primeira série de um colégio, o professor de educa-ção física verificou que 36 alunos jogam futebol, e 14 jogam vôlei, sendo que 4 alunos não jogam nem futebol nem vôlei. O número de alunos que jogam tanto futebol quanto vôlei é (A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 11 (E) 13

Solução

Seja x o número de alunos que jogam tanto futebol quanto vôlei.

36 − 𝑥 + 𝑥 + 14 − 𝑥 + 4 = 45

54 − 𝑥 = 45

𝑥 = 9 Resposta: C

12) Considere que, independentemente do tipo de demanda, o tempo gasto com o atendimento a cada cliente por um aten-dente, em minutos, seja sempre o mesmo, q que, em 4 horas de trabalho, ele atenda 64 clientes. Nessa situação, o tempo utilizado por esse atendente, no atendimento a cada cliente, é a) inferior a 3 minutos. b) superior a 3 minutos e inferior a 4 minutos. c) superior a 4 minutos e inferior a 5 minutos. d) superior a 5 minutos e inferior a 6 minutos. e) superior a 6 minutos.

Solução

240 min 64 48 min 3 min e 45 seg × 60

2880 seg 320 00 Resposta: B

13) Em uma empresa, os empregados têm direito a descanso

remunerado de um dia a cada 15 dias trabalhados. Em de-terminado ano, os dias trabalhados e os dias de descanso somaram 224 dias.

Com base nessa situação, é correto afirmar que, nesse ano, a quantidade de dias de descanso desses empre-gados foi a) superior a 12 e inferior a 16. b) superior a 16 e inferior a 20. c) superior a 20 e inferior a 24. d) superior a 24. e) inferior a 12.

Solução

224 16 64 14 00 Resposta: A

14) (TRT 15ª REGIÃO – FCC 2010) Certo dia, Eurídice falou

a Josué: - Hoje é uma data curiosa, pois é dia de nosso aniversário, sua idade se escreve ao contrário da minha e, além disso, a diferença entre as nossas idades é igual ao nosso tempo de serviço no Tribunal Regional do Trabalho: 18 anos.

Considerando que Josué tem mais de 20 anos, Eurídice tem menos de 70 anos e é mais velha do que Josué, então, com certeza, a soma de suas idades, em anos, é um número (A) divisível por 9. (B) menor que 100. (C) maior que 100. (D) quadrado perfeito. (E) múltiplo de 11.

Solução

Sejam ab e ba as idades. Logo temos: ab = 10a + b ba = 10b + a A soma das idades será: ab + ba = 11a + 11b = 11(a + b). (Múltiplo de 11)





Resposta: E 15) (BANCO DO BRASIL – FCC – 2010) Em um banco,

qualquer funcionário da carreira de Auditor é formado em pelo menos um dos cursos: Administração, Ciências Contábeis e Economia. Um levantamento forneceu as informações de que I. 50% dos Auditores são formados em Administração, 60% são formados em Ciências Contábeis e 48% são formados em Economia. II. 20% dos Auditores são formados em Administração e Ci-ências Contábeis. III. 10% dos Auditores são formados em Administração e Economia. IV. 30% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis e Economia. Escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a proba-bilidade de ele ser formado em pelo menos dois daqueles cursos citados é (A) 58% (B) 56% (C) 54% (D) 52% (E) 48%

Solução

20% + x + 20% - x + x + 10% - x + 10% + x + 30% - x + 8% + x = 100%

98% + x = 100% x = 2%

Substituindo-se os valores temos:

A probabilidade será: 18% + 2% + 8% + 28% = 56% Resposta: B

16) (TRT 15ª REGIÃO – FCC 2010) Certo dia, no início do

expediente de uma unidade do TRT, foram formadas duas filas diante de um balcão, onde dois Técnicos Judiciários - Casimiro e Domitila - prestariam atendimento ao público ex-terno. Para que, naquele momento, as duas filas ficassem com o mesmo número de pessoas, foram adotados os seguin-tes procedimentos: – primeiramente, da fila de Casimiro para a de Domitila, foram deslocadas tantas pessoas quantas havia na fila de Domitila; – em seguida, da fila de Domitila para a de Casimiro, foram deslocadas tantas pessoas quanto a quantidade das que haviam restado na fila de Casimiro. Se, após esses dois procedimentos, ambas as filas ficaram com 16 pessoas, então, inicialmente, o número de pessoas na fila de (A) Domitila era 15. (B) Casimiro era 24. (C) Casimiro era 18. (D) Domitila era 14. (E) Casimiro era 20.

Solução

Observe que no total são 32 pessoas, temos que: Casimiro Domitila Inicialmente 1ª Etapa 2ª Etapa 16 16 Observe que na 2ª etapa, da fila de Domitila para a de Casi-miro, foram deslocadas tantas pessoas quanto a quantidade das que haviam restado na fila de Casimiro. Logo na etapa anterior a fila de Casimiro possuía a metade de pessoas (8 pessoas)

Casimiro Domitila Inicialmente 1ª Etapa 8 24

2ª Etapa 16 16 Observe que na 1ª etapa, da fila de Casimiro para a de Domi-tila, foram deslocadas tantas pessoas quantas havia na fila de Domitila, logo a fila de Domitila possuía na etapa anterior a metade de pessoas (12 pessoas). Daí temos:

Casimiro Domitila Inicialmente 20 12

1ª Etapa 8 24 2ª Etapa 16 16 Portanto inicialmente, o número de pessoas na fila de Casimiro era 20. Resposta: E

17) (TRT 15ª REGIÃO – FCC 2010) Um Técnico Judiciário

iniciou a digitação de um texto quando eram decorridos 4

9 de

certo dia e terminou essa tarefa quando eram decorridos 61

96

do mesmo dia. Se ao longo desse intervalo de tempo ele interrompeu seu trabalho apenas por 55 minutos, quando, então, foi almoçar, o tempo que ele gastou na digitação de tal texto foi de (A) 2 horas e 30 minutos. (B) 2 horas e 45 minutos. (C) 3 horas e 20 minutos. (D) 3 horas e 40 minutos. (E) 3 horas e 45 minutos.

Solução

Início: 4

9 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑎 =

4

9 𝑑𝑒 24 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 =

96

9 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 =

10 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒 40 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. Término:

61

96 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑎 =

61

96 𝑑𝑒 24 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 =

61

4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

= 15 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒 15 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. O tempo que ele gastou na digitação de tal texto foi de:

𝟏𝟓 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒆 𝟏𝟓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 − 𝟏𝟎 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒆 𝟒𝟎 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔− 𝟓𝟓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐 =

= 𝟑 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒆 𝟒𝟎 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔. Resposta: D

18) (TRF 2ª REGIÃO – FCC – 2007) Pelo controle de entrada

e saída de pessoas em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, verificou-se em certa semana que o número de visi-

tantes na segunda-feira correspondeu a 3

4do da terça-feira e

este correspondeu a 2

3do da quarta-feira. Na quinta-feira e

na sexta-feira houve igual número de visitantes, cada um deles igual ao dobro do da segunda-feira. Se nessa semana, de segunda à sexta-feira, o total de visitantes foi 750, o núme-ro de visitantes na (A) segunda-feira foi 120.





(B) terça-feira foi 150. (C) quarta-feira foi igual ao da quinta-feira. (D) quinta-feira foi igual ao da terça-feira. (E) sexta-feira foi menor do que o da quarta-feira.

Solução

Suponhamos que a quantidade de visitantes na quarta-feira foi x. Temos então que o número de visitantes na terça-feira

corresponde a 2

3x. Sendo assim o número de visitantes na

segunda-feira corresponde a 3

4 do número de visitantes da

terça feira, isto é: 3 2

4 3 2

xx .

Como o número de visitantes na quinta–feira foi igual ao nú-mero de visitantes na sexta-feira, e igual ao dobro da segun-da-feira, temos que na quinta-feira foi x. Logo temos:

Segunda-feira 2

x visitantes

Terça-feira 2

3x visitantes

Quarta-feira x visitantes Quinta-feira x visitantes Sexta-feira x visitantes Logo o número de visitantes na quarta-feira foi igual ao da quinta-feira. Resposta: C 19) (TRT 15ª REGIÃO – FCC 2010) Num dado momento,

observou-se que o volume de água no interior da caixa d’água

de um edifício ocupava 1

3 de sua capacidade e que, se lá fos-

sem colocados mais 0,24m3 de água, o volume de água na

caixa passaria a ocupar os 2

5 de sua capacidade. Conside-

rando que não foi colocada água no interior da caixa, então, no momento da observação, o número de litros de água que seriam necessários para enchê-la era (A) 1 800 (B) 2 400 (C) 2 500 (D) 3 200 (E) 3 600

Solução

Seja x a capacidade total. Então temos:

2

5𝑥 −

1

3𝑥 = 0,24

𝑥

15= 0,24

𝒙 = 𝟑, 𝟔 𝒎𝟑 = 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔

Logo o número de litros de água que seriam necessários para enchê-la era:

𝟐

𝟑𝒅𝒆 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 = 𝟐𝟒𝟎𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔.

Resposta: B

20) (TRF 2ª REGIÃO – FCC – 2007) Dos 343 funcionários de

uma Unidade do Tribunal Regional Federal, sabe-se que o número de homens está para o de mulheres assim como 5 está para 2. Assim sendo, nessa Unidade, a diferença entre o número de homens e o de mulheres é (A) 245 (B) 147 (C) 125 (D) 109 (E) 98

Solução

Temos 343 funcionários. Seja x o número de homens e (343 – x) o número de mulheres. Logo:

5

343 2

2 5 343

2 1715 5

7 1715

1715

7

x

x

x x

x x

x

x

x 245 homens. Temos 245 homens e 98 mulheres.

A diferença entre homens e mulheres é 245 – 98 = 147. Resposta: B 21) Uma pessoa faz um depósito de R$ 950,00 para abrir uma

conta em um banco. Após alguns dias, retira R$ 500,00. Uma semana depois, surge um imprevisto e ela necessita retirar R$ 475,00. Sabendo que ao final dessas transações serão retira-dos da conta R$ 3,70 de CPMF (imposto obrigatório em mo-vimentações financeiras), o saldo final dessa pessoa será de (A) R$ 28,70. (B) R$ 25,00. (C) – R$ 25,00. (D) – R$ 26,30. (E) – R$ 28,70.

Solução

Depósito inicial R$ 950,00 Retirada (R$ 500,00) Retirada (R$ 475,00) CPMF (R$ 3,70) Saldo Final (R$ 28,70) ...NEGATIVO Resposta: E

22) Um funcionário recebeu, no mês de maio, R$ 1.170,00 de

salário líquido (já com os descontos). Desse valor, 1/3 foi gasto para pagar o aluguel. Do restante, ¼ foi gasto em ali-mentação e, do que sobrou, 1/5 foi utilizado em despesas extras. Assim, do salário líquido inicial, restaram apenas (A) R$ 702,00. (B) R$ 468,00. (C) R$ 375,00. (D) R$ 326,00. (E) R$ 289,00.

Solução

Salário inicial R$ 1170,00 Aluguel(1/3 do salário) (R$ 390,00) Saldo R$ 780,00 Alimentação(1/4 do saldo) (R$ 195,00) Saldo R$ 585,00 Despesas extras(1/5 do saldo) (R$ 117,00) Saldo Final R$ 468,00 Resposta: B

23) Para revestir o piso de um pátio, são utilizadas lajotas

brancas e cinza. A razão entre a quantidade de lajotas cinza e lajotas brancas está indicada na tabela:

Se forem colocadas 432 lajotas brancas, o total de lajotas utilizadas será de (A) 216. (B) 288. (C) 332. (D) 496.





(E) 576. Solução

Seja c a quantidade de lajotas cinza. Seja b a quantidade de lajotas brancas. Observe que b = 3c. Como b = 432, temos:

O total de lajotas utilizadas será 432+144 = 576 lajotas. Resposta: E

24) Certa empresa, investindo na melhoria das condições de

trabalho, adota o seguinte critério: para cada 1 hora de traba-lho, o funcionário descansa 10 minutos. Porém, na hora ante-rior ao almoço e na última hora de trabalho do dia, não há 10 minutos para descanso. Se um funcionário começa a traba-lhar às 7 h e 20 min e trabalha 8 horas por dia com 1 hora de almoço, seu horário de saída será às (A) 17 h e 20 min. (B) 17 h e 30 min. (C) 17 h e 40 min. (D) 17 h e 50 min. (E) 18 horas.

Solução

6 horas de trabalho + 60 minutos de descanso : 7 horas. 2 horas de trabalho (antes do almoço e última hora): 2 horas. 1 hora de almoço: 1 hora. Total de horas na empresa: 10 horas. Logo seu horário de saída será às 7h20min +10h = 17h e 20 min. Resposta: A

25) Numa prova de vinte questões, valendo cinco pontos cada

uma, três questões erradas anulam uma certa. Podemos concluir que a nota de um aluno que errou nove questões em toda essa prova é: a) quarenta pontos. b) quarenta e cinco pontos. c) cinqüenta pontos. d) cinqüenta e cinco pontos. e) sessenta pontos.

Solução

Valor total da prova: 100 pontos. Errou 9 questões perdeu 12 5 = 60 pontos. Nota final 40 pontos. Resposta: A

26) Um concurso foi desenvolvido em três etapas sucessivas

e eliminatórias. Do total de candidatos que participaram da 1ª etapa, 3/4 foram eliminados. Dos candidatos que participaram da 2ª etapa, 2/5 foram eliminados. Dos candidatos que foram para a 3ª etapa, 2/3 foram eliminados, e os 30 candidatos restantes foram aprovados. Sabendo-se que todos os candi-datos aprovados em uma etapa participaram da etapa seguin-te, pode-se afirmar que o número total de candidatos que participaram da 1ª etapa foi a) 600 b) 550 c) 450 d) 400 e) 300

Solução

Seja x o total de candidatos que participaram da primeira etapa.

1ª Etapa foram eliminados 3

4

x restaram

4

x

2ª Etapa foram eliminados 2

5 4

x restaram

3 3.

5 4 20

x x

3ª Etapa foram eliminados 2 3

.3 20

x restaram

1 330

3 20 20

x x

x = 20.30 x = 600 candidatos.

Resposta: A

27) Somando-se 4% de 0,6 com 9% de 0,04, obtém-se:

a) 0,0216 b) 0,0256 c) 0,0276 d) 0,0286 e) 0,1296

Solução

4% de 0,6 + 9% de 0,04 =

4% 0,6 + 9% 0,04 =

0,04 0,6 + 0,09 0,04 = 0,024 + 0,0036 = 0,0276

Resposta: C

28) Calcule o valor da expressão: (√𝟎, 𝟒𝟒𝟒 …𝟒 )𝟐

a) 0,222... b) 0,333... c) 0,444... d) 0,666... e) 0,1212...

Solução

(√0,444 …4

)2

= √0,444 … . = √4

9=

2

3= 0,666 …

Resposta: D

29) Sabendo-se que o algarismo 2 aparece 181 vezes na

numeração de páginas iniciais e sucessivas de um livro, po-demos afirmar que esse livro possui: a) 181 páginas. b) 200 páginas. c) 280 páginas. d) 392 páginas. e) 402 páginas.

Solução

De 1 até 99 ----- 20 vezes De 100 até 199 20 vezes De 200 até 299 120 vezes De 300 até 399 20 vezes No 402 ----------- 1 vez

TOTAL ----------- 181 vezes Resposta: E

30) Um julgamento envolveu três réus. Cada um dos três

acusou um dos outros dois. Apenas um deles é culpado. O primeiro réu foi o único que disse a verdade. Se cada um deles (modificando sua acusação) tivesse acusado alguém diferente, mas não a si mesmo, o segundo réu teria sido o único a dizer a verdade. Conclui-se que: a) O primeiro réu é inocente e o segundo é culpado b) O primeiro réu é inocente e o terceiro é culpado c) O segundo réu é inocente e o primeiro é culpado d) O terceiro réu é inocente e o primeiro é culpado





e) O terceiro réu é inocente e o segundo é culpado Solução:

No primeiro caso, como cada um acusou um dos outros dois, e o primeiro foi o único que disse a verdade, concluímos que o primeiro é inocente. No segundo caso, concluímos geralmente que o segundo réu é inocente. Logo, o culpado é o terceiro réu. Resposta: B

31) Suponha que eu e você temos a mesma quantidade de

dinheiro. Quanto tenho que te dar para que tenha R$ 10,00 a mais do que eu? A) R$ 5,00 B) R$ 10,00 C) R$ 15,00 D) R$ 20,00 E) R$ 25,00

Solução:

Questão fácil pois temos a mesma quantidade de dinheiro. Para que tenhas R$ 10,00 a mais do que eu basta dar-te R$ 5,00. Resposta: A 32) Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas

não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O número de alunos da classe é (A) 30. (B) 35. (C) 37. (D) 42. (E) 44.

Solução:

n = 20 + 7 + 8 + 9

n = 44 Resposta: E

33) Continuando a sequência 4, 10, 28, 82, . . . , temos

(A) 236. (B) 244. (C) 246. (D) 254. (E) 256.

Solução:

Observe que: 3 x 4 – 2 = 10 3 x 10 – 2 = 28 3 x 28 – 2 = 82 3 x 82 – 2 = 244 Resposta: B

34) Se, para numerar as páginas de um livro, um tipógrafo

usou 747 algarismos, então o número de páginas desse livro é (A) 350 (B) 315 (C) 306 (D) 298 (E) 285

Solução:

Basta contar os algarismos: - da página 1 até a 9 temos 9 algarismos. - da página 10 até a 99 temos 90 x 2 = 180 algarismos.

- da página 100 até a 199 temos 100 x 3 = 300 algarismos. Logo, até a página 199 contamos 489 algarismos. Para o tipógrafo escrever 747 faltam 258 algarismos, que represen-

tam 258

863

números. Portanto o número de páginas é

199 + 86 = 285. Conforme opção E. Resposta: E

35) Considerando-se que 10 vacas consomem 10 arrobas de

ração em 10 dias, em quantos dias 1000 vacas irão consumir 1000 arrobas de ração? A) 01 dia B) 10 dias C) 100 dias D) 1000 dias E) 10000 dias

Solução:

Se 10 vacas consomem 10 arrobas de ração em 10 dias, então 1 vaca consumirá 1 arroba de ração em 10 dias. Por-tanto temos que 1000 vacas consumirão 1000 arrobas de ração durante os mesmos 10 dias. Resposta: B

36) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de papel

sulfite, disposto em 4. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira correspondem a 4 números pares sucessivos, então dos números seguintes, o que representa uma dessas quanti-dades é o A) 8 B) 12 C) 18 D) 22 E) 24

Solução:

1ª Prateleira ==> 2x 2ª Prateleira ==> 2x + 2 3ª Prateleira ==> 2x + 4 4ª Prateleira ==> 2x+6 Total ======> 8x + 12 = 68 8x = 68 - 12 8x = 56, dividindo a expressão por 4 temos: 2x = 14. Então temos: 1ª Prateleira ==> 14 2ª Prateleira ==> 16 3ª Prateleira ==> 18

4ª Prateleira ==> 20 Resposta: C

37) (TRE/AC-FCC-2010) Relativamente ao total de registros

de candidaturas protocolados certo mês por três Técnicos

Judiciários, sabe-se que: 8

15 foi protocolado por Alciléia,

5

12 por

Berenice e os demais por Otacílio. Assim sendo, a quantidade protocolada por Otacílio corresponde a que parte do total de registros protocolados nesse mês? (A) 5%. (B) 12,5%. (C) 15%. (D) 17,5%. (E) 20%.

Solução

Alcileia 8

15 dos registros

Berenice 5

12 dos registros

Otacílio 1 - 8

15 −

5

12=

30−32−25

60=

3

60=

1

20 = 0,05 = 5%

Resposta: A

38) (TRE/AC-FCC-2010) Diariamente, no refeitório de uma

empresa são preparados 40 litros de refresco e, para tal, são usados suco de frutas concentrado e água em quantidades que estão entre si assim como 3 está para 5, respectivamen-te. Se, mantida a quantidade habitual de suco concentrado, a





proporção passasse a ser de 2 partes de suco para 3 partes de água, então poderiam ser preparados (A) 1,5 litros a mais de refresco. (B) 1,5 litros a menos de refresco. (C) 2,5 litros a mais de refresco. (D) 2,5 litros a menos de refresco. (E) 2,75 litros a mais de refresco.

Solução 𝐶

𝐴=

3

5 e C + A = 40

𝐶

𝐶 + 𝐴=

3

5 ∴

𝐶

40=

3

8 ∴ 𝑪 = 𝟏𝟓 𝑨 = 𝟐𝟓

Por outro lado, se 𝐶

𝐴=

2

3 ⟹

15

𝐴=

2

3 ⟹ A = 22,5 L

Então teríamos 2,5L a menos de refresco Resposta: D

39) (TRE/AC-FCC-2010) Na última eleição, ao elaborar o

relatório sobre o comparecimento dos eleitores inscritos numa Seção Eleitoral, o presidente da mesa de trabalhos observou que 40% do total de inscritos haviam votado pela manhã e 75% do número restante no período da tarde. Considerando que foi constatada a ausência de 27 eleitores, o total de inscri-tos nessa Seção era (A) 108. (B) 125. (C) 150. (D) 172. (E) 180.

Solução

X = total de leitores Manhã 40% x Tarde 75% (x – 40%x) = 75% . 60% = 45% x Votaram 40 x + 45% x = 85% x Não votaram 15% x = 27

X = 𝟐𝟕

𝟎,𝟏𝟓 x = 180 eleitores

Resposta: E

40) (TRE/AC-FCC-2010) Considere que em 1990 uma Seção

Eleitoral de certa cidade tinha apenas 52 eleitores inscritos − 18 do sexo feminino e 34 do sexo masculino − e que, a partir de então, a cada ano subsequente o número de mulheres inscritas nessa Seção aumentou de 3 unidades, enquanto que o de homens inscritos aumentou de 2 unidades. Assim sendo, o número de eleitores do sexo feminino se tornou igual ao número dos eleitores do sexo masculino em (A) 2004. (B) 2005. (C) 2006. (D) 2007. (E) 2008.

Solução

52 𝑒𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 {𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 → 18ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 → 34

Após n anos temos: 18 + 3n = 34 + 2n

3n – 2n = 34 – 18 n = 16 anos

Logo 1990 + 16 = 2006 Resposta: C

Exercícios propostos 1) Um aluno estava fazendo esta prova, quando viu que seu

relógio parou. Então acertou o relógio em 16h e 30min e foi até o banheiro. Chegando lá verificou que eram 16h e 20min, lavou o rosto e saiu de lá às 16h e 30min. Quando chegou na sala verificou que seu relógio marcava 16h e 45 min. Então resolveu acertar o seu relógio as: a) 16h e 32 min e 30 seg.

b) 16h e 35 min e 60 seg. c) 16h e 40 min e 30 seg. d) 16h e 45 min e 60 seg. e) 17h e 45 min 2) “Se você estudar, então será aprovado”. Assim sendo,

a) o estudo é condição suficiente para ser aprovado. b) o estudo é condição necessária para ser aprovado. c) se você não estudar, então não será aprovado. d) você será aprovado só se estudar. e) mesmo que estude, você não será aprovado. 3) (VUNESP-2013-PCSP-AgentePolicial) Observe a sequên-

cia numérica: 𝟏

𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎,

𝟏

𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎,

𝟏

𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎,

𝟏

𝟏 𝟎𝟎𝟎

Sabendo-se que o 1º elemento dessa sequência é 𝟏

𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎, o

2.o elemento é 𝟏

𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎, e assim sucessivamente, o primeiro

número natural dessa sequência corresponderá ao (A) 8º elemento. (B) 7º elemento. C) 11º elemento. (D) 91º elemento. (E) 10º elemento. 4) Quarta-feira, dezoito de setembro de mil novecentos e

noventa e seis, oito horas e doze minutos, parado em um semáforo, faltavam apenas setecentos metros para o expres-so “Barrinha”, vindo de Barra do Piraí com noventa trabalha-dores a bordo, chegar à Estação de Japeri. Ao mesmo tempo, a quatro quilômetros de distância, um cargueiro desgovernado a cem quilômetros por hora vinha no sentido contrário, des-cendo a Serra das Araras. O resultado foi a morte de dezes-seis pessoas e mais de sessenta feridos às oito horas e de-zesseis minutos. De acordo com o texto: a) Às oito horas e doze minutos, um cargueiro desgovernado a cem quilômetros por hora estava se dirigindo à Serra das Araras e iria colidir com o “Barrinha”. b) No momento do acidente, o “Barrinha” estava a quatro quilômetros de distância da Estação de Japeri, seu destino, com noventa trabalhadores a bordo. c) O cargueiro, com noventa trabalhadores a bordo, colidiu com o “Barrinha” às oito horas e dezesseis minutos do dia dezoito de setembro, causando dezesseis mortes e mais de sessenta feridos. d) O cargueiro, indo para Barra do Piraí, desgovernado, aca-bou colidindo com o “Barrinha”, quando este estava parado em um semáforo, a setecentos metros da Estação de Japeri, matando dezesseis pessoas e ferindo mais de noventa. e) Em quatro quilômetros e em quatro minutos se desenvol-veu a cena do acidente narrado do dia dezoito de setembro de mil novecentos e noventa e seis. 5) Recebi um cartão onde estavam impressas 4 afirmações:

- Nesse cartão exatamente uma sentença é falsa. - Nesse cartão exatamente duas sentenças são falsas. - Nesse cartão exatamente três sentenças são falsas. - Nesse cartão exatamente quatro sentenças são falsas. Quantas dessas afirmações são falsas? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) impossível 6) Escrevendo-se a seqüência de letras, formada pela palavra RACIOCINIO, temos:

RACIOCINIORACIOCINIORACIOCINIO.....

A letra que representa o termo de ordem 2008ª é: a) A b) C c) I d) O e) N 7) (VUNESP-2013-PCSP-AgentePolicial) Considere verda-

deiras todas as afirmações a seguir sobre os grupos A, B e C de profissionais de um estabelecimento bancário: I. O Grupo A tem 12 elementos. II. O Grupo B tem 11 elementos.





III. O grupo C tem 10 elementos. IV. Apenas Ana Lúcia faz parte dos três Grupos, e todos os demais profissionais fazem parte exatamente de um Grupo. Decorre dessas afirmações que o número total de elementos da união desses três Grupos é (A) 33. (B) 32. (C) 34. (D) 30. (E) 31. 8) Uma torneira enche completamente um tanque em 4 horas.

Há um registro de saída no fundo do tanque e, quando aberto, esvazia esse tanque em 8 horas. Se a torneira for totalmente aberta com o tanque vazio, e o registro estiver totalmente aberto, o tanque estará completamente cheio em (A) 12 horas. (B) 10 horas. (C) 8 horas. (D) 6 horas. (E) 5 horas.

Gabarito

1) A 2) A 3) B 4) E 5) D 6) E 7) E 8) C

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