3_Elasticno Kriticno Opterecenje

Metalne konstrukcije III 3. predavanjeProf. Dr. Sc. Darko Dujmovi

Sveuilite u Zagrebu/Graevinski fakultet/ Zavod za konstrukcije/ Katedra za metalne konstrukcije http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3

Elastino kritino optereenje okvira

Prof.dr.sc. Darko Dujmovi

Graevinski fakultet ZagrebZavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3

2

Metalne konstrukcije III 3. predavanjeElastino kritino optereenje okviraProf. dr. sc. Darko Dujmovi

2

Obrauje se stabilnost okvira u ravnini (viebrodnih, viekatnih).

Definiraju se metode procjene elastinog kritinog optereenja i duina izvijanja.

Literatura:Dujmovi, D.; Androi, B.; Deba, I.: Modeliranje konstrukcija prema EC3,IA Projektiranje, Zagreb, 2004.

Svrha/podruje dananjeg predavanja:



3


3

1. Definicija

2. Znaaj procjene elastinog kritinog optereenja3. Postupci procjene: Priblini postupak, Grinter frame4. Elastino kritino optereenje kod okvira sa skoenom prekom

- jednobrodni okviri

- viebrodni okviri5. Duine izvijanja - efektivna duina stupova6. Izvijanje stupa nepominog okvira7. Izvijanja stupa pominog okvira8. Primjeri

9. Odnos elastino kritino optereenje - duina izvijanja

Sadraj dananjeg predavanja:



4


Elastino kritino optereenje izvijanja Fcr, je optereenje kod kojeg se okvir izvija, ako je granica poputanja beskonano velika i ponaanje materijala iz kojeg je izveden okvir ostaje linearno elastino.

Elastino kritino optereenje Fcr



5


Znaaj procjene Fcr:

S cr=Fcr/FEd pokazuje se senzitivnost konstrukcije na uinke drugog reda.

Proraunava se s manjim brojem koraka nego analiza drugog reda koja mora biti inkrementalna.

Omoguava proraun dovoljno tonog faktora modifikacije primjenjivog na analizu prvog reda.

Odraava senzitivnost konstrukcije na uinke drugog reda za svaki sluaj optereenja jer vrijednost Fcr ovisi o raspodjeli optereenja na konstrukciju. (Svaki sluaj optereenja ima svoj Fcr)




6


Postupci procjene Fcr:

Pomou kompjutorskih programa.

Priblinim postupcima.

Specijalno razvijeni dijagrami.




7


Priblini postupak procjene Fcr:

Okvir se rauna prema elastinoj analizi prvog reda za promatranu kombinaciju optereenja.

Izrauna se horizontalni pomak svakog kata za raunska optereenja (i horizontalna i vertikalna).

Elastino kritino optereenje okvira za bono pomini mod za razmatranu kombinaciju optereenja dano je s:

Postupak ilustrira sljedea slika.




8


hi

i-1

HEd,i,1

VEd,i,1

HEd,i,2

VEd,i,2

HEd,i,3

VEd,i,3

HEd,i-1,1

VEd,i-1,1

HEd,i-2,1

VEd,i-2,1

HEd,i-3,1

VEd,i-3,1

HEd,1

VEd,1

HEd,2

VEd,2

HEd,3

VEd,3

Postupak se temelji na procjeni omjera momenata pri temeljnoj stopi

stupa uslijed globalnih uinaka drugog reda na okvir (P uinak dankao VEd,ii) i momenta prvog reda danog kao HEd,ihi.




9


Kb,1 Kb,2

Kc,1 Kc,2 Kc,3Okvir se nadomjesti s ekvivalentnim

jednobrodnim okvirom.

Nepopustljiv ili djelomino nepopustljivprikljuak

Uvjet:

Boni pomaci svakog kata jednaki sukao za originalni okvir.

Fcr slino za oba okvira.

Okvir s djelomino nepopustljivim prikljucima

GRINTER FRAME



10


Formiranje ekvivalentnog okvira s nepopustljivim prikljucimaiz uvjeta da su boni pomaci svakog kata jednaki kao za originalni okvir.

Kb= Kb,equi,i

Zamjenski okvir

(nepopustljivi prikljuci)

Kc krutost stupa u svakom katu

Kb krutost nosaa u svakom katu

GRINTER FRAME



11


Kb=3 Kb,equi,i (1)

Izrauna se kritino optereenje Fcrna temelju duine izvijanja za bono pomini mod i rubnih uvjeta.

(2)

Svaki stup ima svoju Fcr, a usvaja se

najmanja vrijednost.

GRINTER FRAME



12


Navedeni priblini postupak procjene Fcr prema EC3odgovarajui je samo za regularne okvire.

Dakle, za nosae okomite na stupove tj. okvire s vrlo malimuzdunim silama u nosaima (prekama).

Postupak je neodgovarajui za portalne okvire (skoenepreke).

Preka je, openito, kritini element za stabilnost okvira.

Uzduna sila u preki je u pravilu dovoljno velikog intenziteta da znaajno reducira stabilnost okvira.

Fcr okvira sa skoenim prekama



13


Egzaktno elastino kritino optereenje moe se dobitiiz analize 2. reda za model sa slike.

Nc Nc

Nc Nc

Nr

Nr

Nr

Nr

Analiza - koristei matricu krutosti, openito se zahtijevaprimjena kompjutora.




14


Za veinu portala najvanija su prva dva moda izvijanja

Prvi mod izvijanja Fcr1(antisimetrian)

Oblikom slian deformiranom okviruod q i H, sljedea slika




15


Asimetrian ili bono pomian mod deformiranja okvira

H

q




16


Za veinu portala najvanija su prva dva moda izvijanja

Oblikom slian deformiranom okviruod q, sljedea slika

Drugi mod izvijanja Fcr2(simetrian)




17


q

Simetrian mod deformiranja okvira

U pravilu je prvi mod mjerodavan, a drugi mod daje

dodatne korisne informacije o konstrukciji, npr. kako

i gdje ojaati (ukrutiti) konstrukciju.




18


Priblina procjena cr razmatra se pola okvira

Nc

Nc

Nr

Nr

L/2

h

hr

c

r

M Kritini mod je antisimetrini bonopomini.

Nc i Nr su poznate.

Model ukljuuje interakciju izvijanjapreke uslijed Nr i izvijanja stupazbog Nc.

Izvijanje je inicirano s malim M u voru preka-stup koji uzrokuje poveanje rotacije .




19


Kritina vrijednost cr, kada krutost M/ postaje nula,moe se izraziti transcendetalnom jednadbom:

(s, n i o su funkcije stabilnostiindeksi r i c odnose se na preku i stup)

Ova jednadba sadri cr, implicite u funkcijama stabilnosti.Rjeenje se moe dobiti metodom pokuaja i promaaja.




20


Rjeenje za cr glasi:

rcr

r c r

3

1,21 0,3

E

L N h N LR

Ova jednostavna procjena elastinog kritinog optereenjadaje zadovoljavajue tono rjeenje za praktine svrhe.

Na analogan nain mogue je procjeniti cr i za upeti okvir.




21


Procjena uzdunih sila Nc i Nr pri kolapsu

Nc Nc

H H

Nr

Nr

Nr

Nr

L

q (kN/m)

hc

r

2

cos sin

q L MN H

h

N H V

M




22


Vrijede drukiji kriteriji za odreivanje Fcr

Na stabilnost okvira kao cjeline utjee vitkost konstrukcijskih elemenata.

Uzduna tlana sila poveava deformacije iznad deformacija izraunatih analizom prvog reda.

Porast deformacije je vei za vitkije okvire.

Tlana sila u preki poveava ovu pojavu.




23


Mogui mod otkazivanja senzitivan na P - uinke

Otkazivanje preki sputa se sljeme i okvir se iri, reducira se uinak luka, poveava se moment u preki i stupovima,




24


Destabilizirajui uinak pendl stupa

horizontalna komponenta sile

se poveava s poveanjemhorizontalnih pomaka

(destabilizirajua sila)




25


Instabilitet nosaa u uvali

nosai u uvali

horizontalna sila (destabilizirajua sila)

nedostatak rotacijske krutosti

izmeu preke i gornjeg i donjeg dijela nosaa u uvali




26


Preporua se okvire razmatrati kao niz sub-okvira:

preke u paru,

vanjski stup + preka,

unutarnji stup + preka sa svake strane,

ekvivalentan okvir za okvire poduprte pendl stupom ili nosaem.




27


Preke u paru Fcr (arching failure ili snap-through)

Provjerava se da luk koji tvore preke ne doivi kolaps.




28


PREKE U PARU

Provjerava se da luk koji ine preke ne doivi kolaps.Za nagibe vrijedi:

Za 1,0 nema ovakvog otkazivanja

- omjer raunskog vertikalnog optereenja na preke inajveeg vertikalnog optereenja koje bi moglouzrokovati otkazivanje preke koja se tretira kao upetinosa raspona L




29


L - raspon jednog broda,

D - najmanja visina preke,

h - visina stupa,

c - najmanji drugi moment povrine stupa (uzima senula ako stup nije nepopustljivo spojen na preku),

r - najmanji drugi moment povrine od preaka,

fyr - granica poputanja elika preaka,




30


Preporua se okvir razmatrati kao niz podokvira

vanjski stup

i preka

unutarnji stup

preke obostrano




31


Vanjski stup i preka

Pravi zglob u stopi stupa:

Nominalni zglob u stopi stupa:




32


Unutarnji stup i preka sa svake strane

Pravi zglob u stopi stupa

Nominalni zglob u stopi stupa

Nominalni upeta stopa stupa

Slini izrazi kao u prethodnim sluajevima.




33


Postupak za izraunavanje Fcr Provedba

Specijalni programi:

Analiza ravanja ravnotee.

Elastina analiza II. reda (step by step).

Priblini postupci:

Prema EC3, Dio 1-1.

Drugi priblini postupci.

Dijagrami za specifine oblike okvira.

Kompjutorski

programi

Pribline

procedure




34


Podruje Izlazni rezultati

Procjena sensitivnosti konstrukcije na

P- uinke.

Procjenuje se omjerom izmeuvertikalnog optereenja koje proizvodibono pomian instabilitet, Fcr, istvarnog raunskog vertikalnogoptereenja VEd.

Vrijednosti ovog omjera izraunavaju seza svaki sluaj optereenja.

Pomian ili nepomian okvir za zadani sluaj optereenja




35


DUINE IZVIJANJA



36


L eL

eLkL

k faktor efektivne duine

L e efektivna duina elementa

L duina elementa

Definicija faktora efektivne duine k

k = 0,5 tj. Ncr elementa duine Ljednaka je Ncr elementa duine L/2.

Efektivna duina izvijanja



37


L

Le=

kL

N N

Izvijanje stupa nepominog okvira



38


K=0,7 K=1,0

N

K=0,5 K=0,7

b) c)

d) e)

N N N

N N N N

izvijeni oblik stupa ima barem jednu toku infleksijeizmeu krajeva elementa,

vrijednosti k su manje ili jednake 1, tj. 0,5 < k < 1

Izvijanje stupa nepominog okvira



39


L

Le=

kL

N N

Izvijanje stupa pominog okvira



40


vrh stupa pomie se u odnosu na stopu stupa, vrijednosti k su vee ili jednake 1, tj. 1 < k < ,

K=

N

K=1,0 K=2,0

c)

d) e)

K=2,0

b)

N

N N N N

N N

Izvijanje stupa pominog okvira



41


Navedena razmatranja mogu se protegnuti i na

viekatne (i viebrodne) okvire zamjenski okviri.

L L

NEPOMINE POMINE

Viekatni okviri



42


Upeto

Z

glo

b

Upeto ZglobKoeficijent b

Koeficije

nt

t

N

N

KC

Kb,t Zbroj krutosti

greda na vrhu

(t) i na dnu (b)

Koef. t

Kb,b

Koef. b

kLL

FAKTORI EFEKTIVNE DUINEZA STUP NEPOMINOG

OKVIRA

Duine izvijanja nepomini okvir



43


Uvjeti rotacijskog pridranjadaljeg kraja nosaa

Koeficijent efektivne

krutosti nosaa(nosa ostaje elastian)

Dalji kraj upet 1,0/L

Dalji kraj zgloban 0,75/L

Rotacija je ista kao blieg kraja(dvostruka krivulja)

1,5/L

Rotacija jednaka i suprotna od one u bliem kraju (jedna krivulja)

0,5/L

Openiti sluaj. Rotacija A u bliem kraju i B u daljem kraju

Kc koeficijent krutosti stupa /L,Kij koeficijent efektivne krutosti nosaa u prikljuku.

Tablica III.4. Koeficijent efektivne krutosti za nosa

Duine izvijanja nepomian okvir

b,bc

cb

KK

K

L5,01

A

B



44


FAKTORI EFEKTIVNE DUINEZA STUP POMINOG OKVIRAU

peto

Z

glo

b

Upeto ZglobKoeficijent b

Koeficije

nt

t

N

N

KC

Kb,t Zbroj krutosti

greda na vrhu

(t) i na dnu (b)

Koef. t

Kb,b

Koef. b

L

Duine izvijanja pomian okvir



45


Svrha primjera:

Potrebno je za ve klasificirani okvir kao poduprt i nepomian izraunati duinu izvijanja stupa u ravnini okvira. Okvir je prikazan na slici.

Primjer: Poduprt i nepomian okvir



46


Vezni sustav: stupovi HE 180 A Ic = 2510 cm4

preka IPE 200 Ib = 1940 cm4

ispuna 171 x 8A = 41 cm2

IPE 200

6 m

HE

180 A

5 m

6 m 6 m 6 m 6 m

171x8

A

B C

D

HE

180 A

Pd Pd Pd Pd=300 kN Pd Pd

Hd=80 kN




47


Izvijanje u ravnini okvira




48


Za nepomian okvir oitano iz tablica

Liy/L = 0,85

Liy = 0,85L = 0,85500 = 425 cm

Izvijanje okomito na ravninu okvira

Liz = L = 500 cm




49


Liy = 0,85L = 425 cm

Izvijanje okomito na ravninu okvira

Liz = L = 500 cm

Izvijanje u ravnini okvira




50


Efektivna duina izvedena je za viekatne okvire zanemarujuiuzdune sile u nosaima.

Postupak nije valjan za okvire sa jednom etaom kod kojih uzdune sile u prekama mogu znaajno utjecati na stabilnost konstrukcije.

Posebno je to izraeno u sluaju portalnih okvira sa skoenim prekama.

Efektivne duine se za ovakve sluajeve mogu izraunati pomou elastinog kritinog optereenja izvijanja itavog okvira Fcr.

Za okvire sa skoenim prekama Fcr je dan u prethodnim izrazima.

ZAKLJUAK



51


Efektivna duina je duina koja daje:

Ncr,cs je teoretska elastina kritina sila izvijanja konstrukcijskog elementa, koji je dio okvirne konstrukcije, pod razmatranom

uzdunom silom.

Dakle, to je uzduna sila u elementu kada konstrukcija dosie svoje elastino kritino optereenje izvijanja Fcr.

Prema tome se Ncr,cs moe izraziti prema sljedeem:

Elastino kritino optereenje i duine izvijanja



52


Izjednaavanjem ova dva izraza za Ncr,cs

Nakon sreivanja, dobiva se efektivna duina prema izrazu:

Elastino kritino optereenje i duine izvijanje

Documents

3_Elasticno Kriticno Opterecenje