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MICROECONOMIA IIPROFESSORA SILVINHA VASCONCELOS

27/04/23

Mestrado em

Econom

ia Aplicada - U

FJF

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JOGOS REPETIDOS (CLASSE DE JOGO

DINÂMICO)

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conomia A

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CONTEÚDO DA AULA

Conceito/características de jogo repetido

ENPS em jogos repetidos finitos

ENPS em jogos repetidos infinitos

Bibliografia: Cap. 5 Rasmussen e cap. 2 Gibbons

Citação: Friedman, J. A non-cooperative equilibrium for supergames. Review of Economic Studies, 38:1-12, 1971.

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CONCEITOS Quando se combina jogo simultâneo com

jogo seqüencial, pode-se dizer que este jogo é repetido porque

Os jogadores sabem o que se decidiu nas etapas passadas

E a cada nova etapa os jogadores não sabem o que os outros farão

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APERFEIÇOANDO O CONCEITO Um jogo repetido é um jogo one-shot que é

identicamente repetido mais de uma vez. Ou seja, os jogadores repetidamente tomam as mesmas decisões no mesmo ambiente (as regras do jogo não mudam)

É um tipo especial de jogo na forma extensiva pois em cada período todos jogadores se movem simultaneamente e o conjunto de ações de cada jogador não varia de um período para outro (estratégias constantes)

Os dados coletados pelo monitoramento perfeito das ações jogadas a cada período dão a história do jogo até aquele período (este é o elemento que muda no jogo: a história)

OBS.: É possível que, como os movimentos dos

jogadores podem trazer consigo suas informações privadas, o jogo seja do tipo informação assimétrica

Mas aqui: concentraremos em jogos repetidos com informação simétrica

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FORMALIZANDO O CONCEITO DE JOGO REPETIDO (GIBBONS, P. 84) Dado um jogo base, G, seja G(T) o jogo

finitamente repetido no qual G é jogado T vezes, com os resultados de todas as jogadas precedentes observadas antes da próxima jogada começar. Os payoffs de G(T) são simplesmente a soma dos payoffs dos jogos de T estágios.

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Definindo as estratégias dos jogadores em um jogo repetido A história do jogo no período , H, é a lista

de resultados jogados em todos períodos, t = 1, 2, ... , -1.

Uma estratégia do jogador em um jogo repetido T vezes, é uma lista de ações que o jogador tem em cada período, t = 1, 2, ..., T, onde cada ação do período t,

ait Ai

é baseada na história do jogo no período t (isto é, ai

t liga a história Ht e uma ação no conjunto Ai)

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Em outras palavras A estratégia de um jogador no jogo repetido

é uma lista de ações a serem jogadas a cada período , onde a ação de cada período do jogador i é baseada na lista de ações jogadas observadas por todos jogadores em todos os períodos t = 1, 2, ... , -1, resumidas pela história H

Ou as estratégias dos jogadores em jogos repetidos (finitos ou não), especificam, dada a história do jogo até ali, que ação tomar em cada etapa do jogo

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Definindo subjogo em jogo repetido Em um jogo repetido n vezes, um subjogo

começando em uma dada etapa do jogo, t, é o jogo repetido, que é jogado de t até a n-ésima (e última) etapa

Há tantos subjogos se iniciando em uma dada etapa do jogo repetido finito quantas forem as possíveis histórias do jogo até aquela etapa

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Definindo resultado do jogo repetido

O resultado de um jogo repetido é uma lista de ações que seriam jogadas em cada período , onde o payoff do período para cada jogador é uma função das ações jogadas pelos jogadores no período

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EXEMPLO: O JOGO PAZ-GUERRA 27/04/23

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País 2 Guerra Paz

Guerra (1, 1)* (3,0) País 1 Paz (0, 3) (2, 2)

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Suposições para este jogo Ele é repetido T vezes nos períodos 1, 2, ... ,

T, onde T é um número inteiro que satisfaz 1 T +

Seja 0 1 o fator de desconto

E suponha ainda que ait é a ação tomada

pelo jogador i no período t, i = 1, 2, t = 1, 2, ..., T, Seja ainda i

t (a1t, a2

t) o payoff do jogador i no período t, i = 1, 2 (matriz anterior)

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Os payoffs O payoff para o jogador i quando o jogo é

repetido T vezes é definido por

se...,,,,

se,,...,,

,

23

133

222

122

21

111

21122

122

21

111

1

211

Taaaaaa

Taaaaaa

aa

iii

TTiT

Tii

T

ttt

it

ti

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OBSERVAÇÕES Suponha que o jogo Paz Guerra seja jogado

duas vezes (dois períodos consecutivos)

No início do segundo período há 4 histórias possíveis resultando de 4 possíveis combinações de ações de primeiro período dos jogadores

Ou seja, H2 {(Guerra, Guerra), (Guerra, Paz), (Paz, Guerra), (Paz, Paz)}

Então, no primeiro período o país 1 tem duas ações (estratégias) possíveis e no segundo ele pode jogar ainda duas ações (estratégias possíveis) dada a história até ali

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Exemplificando combinações de estratégias As possíveis combinações de estratégias

devem especificar, dada a história do jogo, que ação tomar a cada possível história

No exemplo:

{(Paz, Paz), (Paz, Guerra), (Guerra, Paz), (Guerra, Guerra)} se (Paz, Paz)

{(Paz, Paz), (Paz, Guerra), (Guerra, Paz), (Guerra, Guerra)} se (Paz, Guerra)

{(Paz, Paz), (Paz, Guerra), (Guerra, Paz), (Guerra, Guerra)} se (Guerra, Paz)

{(Paz, Paz), (Paz, Guerra), (Guerra, Paz), (Guerra, Guerra)} se (Guerra, Guerra)

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1

Paz Guerra

P P P PG G G G

P G P

1

2

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

G

P G P G P G P G P G P G P G P G

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Proposição Para um inteiro finito T, 1 T < , o jogo Paz-

Guerra repetido T vezes tem um único ENPS onde cada país joga guerra em cada período

Prova: suponha que os países já jogaram T -1 períodos, e que eles estão prontos para jogar o período final do jogo, T. Então, este é idêntico ao jogo one-shot: nele, o único EN é (Guerra, Guerra). Em T – 1: ambos sabem que em T não cooperam e jogam Guerra. Então, em T – 1, ambos jogam Guerra. Por Indução retroativa, Guerra será jogada em cada período

PROPOSIÇÃO GERAL Se o jogo base G tem um único EN então,

para qualquer finito T, o jogo repetido G(T) tem um único resultado perfeito de subjogos: o EN de G que é jogado em cada estágio

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Outro exemplo: Jogo de Selten(Chainstore paradox) Seja uma empresa com uma série de filiais que tenta

impedir que a rival entre em cada uma dos 20 mercados onde está instalada. O jogo-base é

Incumbente Luta Não luta

Entra (-50, 0) (30,10) Entrante Não entra (0, 100) (0, 100)

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Jogo de Selten (Chain store paradox)

A pergunta é: com 20 cidades, será que a incumbente não consegue lutar para criar reputação de durona e impedir a entrada?

Entrante

Incumbente

Entra

Não Entra

Não luta

Luta

(0, 100)

(30, 10)

(-50, 0)

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Comece pelo fim Na 20ª cidade: a incumbente não luta porque

não há ganho de reputação, só prejuízo em lutar (não há outra cidade para proteger)

Na 19ª cidade também não há porque construir reputação na 19ª já que há entrada na 20ª (se não impediu na 20ª porque construir reputação na 19ª?)

E assim sucessivamente. Daí o paradoxo: não luta em nenhuma cidade

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RESUMINDO Se a incumbente prometer lutar no primeiro mercado

para deter entrada nos 19 restantes. Se 19 mercados já tiverem sido invadidos, tendo ela lutado ou não, não há porque lutar novamente no vigésimo (não importa a história do jogo). No 19º também não há porque fazê-lo. E assim sucessivamente.

Este jogo jogado repetidamente tem somente um equilíbrio: {E, NL}, porque não há razão para criar reputação de “feroz”.

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Observações Em um jogo repetido finito, cujo jogo base é

do tipo dilema dos prisioneiros, não há porque acreditar que os jogadores irão cooperar (o raciocínio anterior é válido aqui)

Mas isto muda quando a modelagem de interação passa a ser infinita (que pode ser pensado como um jogo cuja data final é indeterminada)

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O jogo repetido infinitamente Sem uma definição do fim, o argumento do

Chainstore paradox falha

Voltando ao jogo-base da Paz-Guerra. Suponha que ele seja repetido infinitamente.

Neste caso, não há como usar indução retroativa (pois não há período final)

Como resolvê-lo?

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Definição Estratégia do gatilho (do tipo grim, severa)

Cada jogador coopera no período t (jogando ai

t=Paz) desde que todos os jogadores cooperem em -1.

Mas se qualquer jogador não cooperar e jogar Guerra em -1, então a firma i dispara o gatilho e joga ação não cooperativa para sempre (ou ai

t=Guerra para todo t = , +1, +2, ...)

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Formalmente O jogador i joga a estratégia grim se para

cada período , = 1, 2, ...,

contrário do Guerra,

1,...,1 Paz, se Paz,

taaa

jt

iti

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Equilíbrio em estratégias do gatilho Vendo agora as condições para o resultado

onde ambos jogam suas estratégias trigger ser ENPS

Proposição: se o fator de desconto é suficientemente grande, então o resultado onde os jogadores jogam suas estratégias trigger é um ENPS. Formalmente, estratégias trigger são ENPS se > ½.

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Prova Seja um período representativo, , e suponha que o país

2 não desviou em 1, ..., . Então se 1 desvia e joga ai

t=Guerra, pela matriz do jogo, 1 = 3. Com isto, o país 2

desvia em todos períodos subseqüentes e joga ait=Guerra

em todo t ≥ +1, dada a estratégia trigger

Considerando que

0

32

0

32

1...111

e1

1...1111

t

t

t

t

VPD

VPD

30

Prova Considerando o desvio,

13

...1113 32

1

Punição1 País

emDesviar 1 País

emDesviar 1 País

t

VPD

31

Prova Se o país 1 não desvia, ambos jogam Paz para sempre,

de forma a ganhar 2 cada um, então

12...2222 32 emDesviar Não

1 País emDesviar Não

1 PaísVPD

32

Finalizando a prova O país não desvia se o VPD de não desviar for maior do que o

VPD de desviar

21

13

12

Ou seja, quando o fator de desconto é grande o bastante (maior do que ½), cooperação se torna mais benéfica para os jogadores

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Corolário Em um jogo infinitamente repetido,

cooperação é mais fácil de sustentar quando os jogadores tem maior fator de desconto

Em jogos repetidos não cooperativos, é possível obter um resultado cooperativo

Mas cooperação não é o único resultado (pode haver um grande número de resultados sob esta condição de fator de desconto alto). Ver Teorema Folk (p. 124)

PRINCIPAL RESULTADO DE JOGOS REPETIDOS(P. 97, GIBBONS) Teorema (Friedman, 1971): Seja G um jogo

estático finito de informação completa. Sejam (e1, ..., en) os payoffs de EN do jogo G, e sejam (x1, ..., xn) quaisquer outros payoffs possíveis em G. Se xi > ei para cada jogador i e se (o fator de desconto) é suficientemente perto de um, então existe um ENPS do jogo infinitamente repetido G(,) que alcança (x1, ..., xn) como um payoff médio.

OBS.: Sendo (x1, ..., xn) os payoffs Pareto Superior no jogo do dilema.

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Algumas observações Como ficam os payoffs para o jogo repetido

Exemplo: usando o jogo-base do cartel repetido duas vezes

Empresa 2 Colude Não colude

Colude (2, 2) (0,3) Empresa 1 Não colude (3, 0) (1, 1)

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A matriz deste jogo repetido 2 vezesEmpresa 2

C NCResultado da primeira etapa

Empresa 1

(C, C)=(2, 2) C (4, 4) (2, 5)NC (5, 2) (3, 3)

(NC, C)= (3, 0) C (5,2) (3,3 )NC (6,0) (4,1 )

(C, NC)= (0, 3) C (2,5 ) (0,6 )NC (3,3 ) (1,4 )

(NC, NC) = (1, 1)

C (3,3 ) (1,4 )

NC (4,1 ) (2,2)

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Conclusões Qualquer jogo repetido finito n vezes em que o

jogo-base apresente apenas um EN possui um único EN perfeito em subjogos, o qual consiste em jogar o EN do jogo base em todas as n etapas

Qualquer seqüência de combinações de estratégias que sejam EN no jogo-base pode ser um ENPS

E combinações de estratégias que não envolvam, em alguma etapa do jogo, um EN no subjogo, podem também ser um ENPS

ESTRATÉGIA MAXMIN (RASMUSSEN, P. 127) Uma estratégia s*i é uma estratégia maximin

para o jogador i se, dado que os outros jogadores escolhem estratégias para tornar o payoff de i o menor possível, s*i dá a i o maior payoff possível.

Ela representa uma tentativa de auto-proteção à punição

Ou seja, s*i resolve

Maximizar Mínimo i(si,s-i) si s-i

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ESTRATÉGIA MINIMAX (RASMUSSEN, P. 127) Uma estratégia si*-i é o conjunto de (n - 1)

estratégias minimax escolhidas por todos os jogadores exceto i para manter o payoff de i tão baixo quanto possível, não importa como ele responda.

Ela representa a máxima sanção possível ao que não coopera

si*i resolve

Minimizar Máximo i(si,s-i) s-i si

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EXEMPLO 1: ESTRATÉGIA MAXMIN Se linha Confessa, ele maximiza os seus

mínimos payoffs possíveis Se coluna Confessa, idem. Então, {C,C} é

equilíbrio de estratégias maxmin (sublinhados)

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Coluna

C NC

Linha C (-8,-8) (0,-10)

NC (-10,0) (-1,-1)

EXEMPLO 1: ESTRATÉGIA MINIMAX Se linha Confessa, ele minimiza os máximos

payoffs possíveis de coluna (vermelho) Se coluna Confessa, idem. Então, {C,C} é

equilíbrio de estratégias minimax

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Coluna

C NC

Linha C (-8,-8) (0,-10)

NC (-10,0) (-1,-1)

OBSERVAÇÃO 1 A utilidade das estratégias Minimax e

maxmin não é diretamente predizer as melhores estratégias dos jogadores (pois eles são racionais), mas determinar os limites de como suas estratégias afetam seus payoffs (por exemplos, desvios à cooperação

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OBSERVAÇÃO 2 É possível escolher estratégia minimax mista. Ex.:

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ColunaEsquerda Direita

Linha Acima (-2,2) (1,-2)Meio (1,-2) (-2,2)

Abaixo (0,1) (0,1)

OBSERVAÇÃO 2 (CONTINUAÇÃO) Linha garante a si um payoff de 0 escolhendo

Abaixo (sua estratégia maxmin) Porém, coluna não pode impor ao linha um

payoff de zero ao linha: se coluna escolhe esquerda, linha escolhe meio; se coluna escolhe direita, linha escolhe acima (em ambos casos linha tem 1)

Mas coluna pode jogar estratégia minmax mistas (basta jogar esquerda e direita com probabilidade 0,5 cada: neste caso, os payoffs esperados de meio e acima serão -0.5 (0.5.(-2) + 0.5(1)), menores do que o valor de jogar abaixo (0).

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