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MICROECONOMIA IIPROFESSORA SILVINHA VASCONCELOS
27/04/23P
ós Graduação em
Econom
ia Aplicada -
PP
GE
A/U
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JOGOS SIMULTÂNEOS (ESTÁTICOS COM
INFORMAÇÃO COMPLETA)
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ós Graduação em
Econom
ia Aplicada -
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NA AULA PASSADA Vimos que um jogo descreve uma interação
estratégica, as ações possíveis dos jogadores, mas não sabemos ainda como serão as escolhas das ações
Também vimos que, para começar a análise de um jogo, precisamos especificar um modelo que o descreva, utilizando todos os elementos de um jogo dados na aula passada, inclusive o conceito solução.
Importante : cada tipo de jogo requer um conceito solução diferente
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raduação em E
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OBS: REPRESENTAÇÃO ALTERNATIVA À FORMA NORMAL DE UM JOGO ESTÁTICO
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N=[I, {Si}, {ui(.)}]
ONDE N ESPECIFICA PARA JOGADOR I UM CONJUNTO DE ESTRATÉGIAS SI (COM SI PERTENCENDO A SI) E UMA FUNÇÃO PAYOFF UI(S1, ..., SI) QUE DÁ NÍVEIS DE UTILIDADE DE VON NEUMANN-MORGENSTERN ASSOCIADOS COM RESULTADO (POSSIVELMENTE ALEATÓRIO) ADVINDO DAS ESTRATÉGIAS (S1, ..., SI) .
CONTEÚDO DA AULA Veremos jogos onde os payoffs dos jogadores
e todas as informações relevantes para o processo de interação estratégica são de conhecimento comum (informação completa)
Serão apresentados conceitos solução para este tipo de jogo Equilíbrio de estratégia dominante Método de eliminação sucessiva de estratégias
estritamente dominadas Equilíbrio de Nash Equilíbrio de ponto focal Equilíbrio de estratégias mistas
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BIBLIOGRAFIA Mas-collel et al., Cap. 8 Rasmussen, p. 16-29
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OBSERVAÇÃO: Lembre que os conceitos descritos neste
momento valem para jogos de movimentos simultâneos (todos jogadores se movem somente uma vez e ao mesmo tempo)
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PRIMEIRO MÉTODO PARA ENCONTRAR EQUILÍBRIO:EQUILÍBRIO DE ESTRATÉGIA DOMINANTE
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ós Graduação em
Econom
ia Aplicada -
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DEFINIÇÃO 1: ESTRATÉGIA DOMINANTE (P. 237 MAS-COLELL) Uma estratégia si Si é estratégia estritamente (fortemente)
dominante para o jogador i do jogo
N = [I, {Si}, {ui(.)}]
Se, para todo s’i ≠ si, tivermos
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iiiiiiii Ssssussu ,,, '
Ou seja, o payoff decorrente de si é estritamente superior aos payoffs de todas as outras estratégias de i, quaisquer que sejam as estratégias dos demais.
EXEMPLO: DECISÕES ENTRE AMIGOS
IR AO BAR É ESTRATÉGIA ESTRITAMENTE DOMINANTE PARA SAM EM RELAÇÃO A IR AO MUSEU E IR AO CAFÉ
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/UFJF Jan
Bar Museu Café Bar 6,4 6,3 4,2
Sam Museu 2,1 5,5 2,2 Café 1,1 1,3 3,6
JOGO CLÁSSICO (P. 236 MAS-COLELL) História do jogo do “Dilema dos Prisioneiros”
Dois transeuntes foram presos por vadiagem, suspeitos de terem participado de um roubo, mas não há evidências suficientes para condená-los
O delegado os interroga em celas separadas e oferece o seguinte acordo: “se você confessar e seu amigo não, você será solto, seu amigo ficará preso e vice-versa. Se ambos confessarem, ambos receberão sentenças moderadas. Se nenhum confessar, ambos serão condenados por vadiagem, com penas bem menores.”
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O DILEMA DOS PRISIONEIROS
Des
Al C NC
C (-8,-8) (0,-15)
NC (-15,0) (-1,-1)
27/04/23 Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF 12
A LÓGICA DO JOGO Imagine o processo de raciocínio do Al: ele
deve confessar ou não? Se ele acredita, por alguma razão, que Des vai
confessar, então, ele escolhe confessar, porque 8 meses na cadeia é melhor do que 15.
Confessar é melhor estratégia para ambos Mesmo conjeturando sobre o que o outro deve
fazer, percebe-se que estas conjecturas são irrelevantes: não importa o que Des fizer, Al deve confessar
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conomia A
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/UFJF
O mesmo raciocínio se aplica a Des: ele deve confessar
Este é o equilíbrio do jogo: o resultado de decisões racionais simultâneas para ambos os jogadores
O (C,C) não é o melhor resultado conjunto, pois ambos estariam melhor em (NC, NC). Por isto o jogo é exemplo de um comportamento racional e egoísta que não é resultado ótimo socialmente.
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A LÓGICA DO JOGO
PORQUE O RESULTADO PARECE PARADOXAL?
Ao se comparar o resultado em que ambos confessam com o que nenhum confessa, tem-se uma contradição entre o que é individualmente racional com o que é coletivamente racional
Ou seja a busca do ganho individual resulta em ambos estarem pior do que se cooperassem
No jargão econômico: um resultado é eficiente se não houver um resultado alternativo que deixaria algum jogador melhor e nenhum pior. E um resultado é ineficiente se houver outro que os jogadores prefiram
No exemplo: o resultado (-1,-1) é eficiente. Mas o equilíbrio do jogo é ineficiente
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MORAL DA HISTÓRIA
Pessoas que falham em cooperar na busca de seu benefício mútuo não são necessariamente tolas ou irracionais: elas podem estar agindo de forma perfeitamente racional.
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OBS: Vendo como descartar estratégias que não
serão jogadas
Precisamos do conceito de estratégias dominadas
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conomia A
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DEFINIÇÃO 2: ESTRATÉGIA DOMINADA (P. 237 MAS-COLELL) Uma estratégia si Si é estratégia estritamente (fortemente)
dominada para o jogador i do jogo
N = [I, {Si}, {ui(.)}]
Se existe outra estratégia s’i Si, tal que
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Mestrado em
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iiiiiiii Ssssussu ,,,'
Neste caso, dizemos que s’i domina estritamente si
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Mestrado em
Econom
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FJFDEFINIÇÃO 2.1: ESTRATÉGIA FRACAMENTE DOMINADA (P. 238 MAS-COLELL) Uma estratégia si Si é estratégia fracamente dominada para o
jogador i do jogo
N = [I, {Si}, {ui(.)}]
Se existe outra estratégia s’i Si, tal que
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iiiiiiii Ssssussu ,,,'
Neste caso, dizemos que s’i domina estritamente si
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ESTRATÉGIAS DOMINADAS Exemplo 8B2 e 8B3 p. 238
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OUTRO EXEMPLO DE DOMINÂNCIA FRACA
IR AO BAR É ESTRATÉGIA FRACAMENTE DOMINANTE
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conomia A
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Jan Bar Museu Café
Bar 6,4 6,3 4,2 Sam Museu 2,1 6,5 4,2
Café 1,1 1,3 3,6
Conceito 3: o EED é a combinação de estratégias consistindo de estratégias dominantes de cada jogador
Exemplo: (Bar, Bar) é o equilíbrio de estratégias dominantes
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Jan Bar Museu
Bar 6,4 6,3 Sam Museu 2,1 5,0
O CONCEITO DE EED (EQUILÍBRIO DE ESTRATÉGIA DOMINANTE)
SEGUNDO MÉTODO PARA ENCONTRAR EQUILÍBRIO: MÉTODO DE ELIMINAÇÃO SUCESSIVA DE ESTRATÉGIAS ESTRITAMENTE DOMINADAS
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MÉTODO DE ELIMINAÇÃO SUCESSIVA DE ESTRATÉGIAS ESTRITAMENTE DOMINADAS Conceito:
Um equilíbrio de dominância interativa é uma combinação de estratégias achada pela retirada de estratégias fracamente dominadas do conjunto de estratégias de um dos jogadores, recalculando para achar quais estratégias remanescentes são fracamente dominadas, continuando o processo de retirada até que reste somente uma estratégia para cada jogador.
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MÉTODO DE ELIMINAÇÃO SUCESSIVA DE ESTRATÉGIAS ESTRITAMENTE DOMINADAS
Termos sinônimos
Equilíbrio de dominância iterativa
Equilíbrio de estratégia dominante iterativa
Jogo de dominância solvível (que pode ser resolvido por retirada de estratégias dominantes)
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MÉTODO DE ELIMINAÇÃO SUCESSIVA DE ESTRATÉGIAS ESTRITAMENTE DOMINADAS Seja o jogo do Dilema dos Prisioneiros
modificado, chamado DA’s Brother (Irmãos do Delegado) Um dos prisioneiros, o 1, é irmão do delegado. Este
trata diferencialmente os presos, em particular, ele pode permitir que o prisioneiro 1 seja libertado se ninguém confessar.
Com essa mudança, se 2 confessa, 1 deveria também confessar. E NC se torna a melhor estratégia de 1 caso 2 não confesse.
Em resumo: não há como descartar estratégias dominadas de 1
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A MATRIZ DO DA’S BROTHER27/04/23
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Prisioneiro 2 NC C Prisioneiro 1 NC 0,-2 -10,-1
C -1,-10 -5,-5
ORDEM DE ELIMINAÇÃO (LARANJA, VERDE), GERANDO EQUILÍBRIO (C, C)
MÉTODO DE ELIMINAÇÃO SUCESSIVA DE ESTRATÉGIAS ESTRITAMENTE DOMINADAS
Problema: pode haver equilíbrio múltiplo com este método
Exemplo: seja o jogo seguinte
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MÉTODO DE ELIMINAÇÃO SUCESSIVA DE ESTRATÉGIAS ESTRITAMENTE DOMINADAS
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raduação em E
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Coluna C1 C2 C3
R1 2,12 1,10 1,11 Linha R2 0,12 0,10 0,11
R3 0,12 0,10 0,13
Ordem de eliminação 1 (vermelho, azul, verde, amarelo) gera equilíbrio (R1,C1)=(2,12)
R2 dominada por R1; e R3 é dominada por R1 C2 é dominada por C1 e C3 é dominada por C1
OBSERVAÇÃO 1: A eliminação de estratégias estritamente
dominadas requer somente que cada jogador seja racional
Mas a eliminação de estratégias fracamente dominadas requer racionalidade e conhecimento comum (se 2 não joga estratégias dominadas, 1 também o faz porque também é racional e sabe que 2 é racional)
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EXEMPLO: 27/04/23
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Pós G
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conomia A
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Jogador 1
Jogador 2 L R
U 5,1 4,0M 6,0 3,1D 6,4 4,4
- D DOMINA FRACAMENTE M E U.- NESTE CASO, É PRECISO QUE 2 SEJA RACIONAL MAS TAMBÉM QUE 1 SAIBA QUE 2 É RACIONAL. - OU SEJA, PARA ELIMINAR ESTRATÉGIAS FRACAMENTE DOMINADAS, 1 TEM QUE TER CERTEZA DESTA RACIONALIDADE DE 2 PARA ELIMINAR M E SABER QUE ASSIM 2 NÃO JOGARÁ R (DOMINADA APÓS ELIMINAÇÃO DE M)
OBSERVAÇÃO 2: A deleção iterativa de estratégias fracamente
dominadas é difícil de justificar pois o resultado PODE depender da ordem da eliminação
Ver ex. 8B3
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Pós G
raduação em E
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Jogador 1
Jogador 2 L R
U 5,1 4,0M 6,0 3,1D 6,4 4,4
1
2
3
OBSERVAÇÃO 2: Ainda no Ex. 8B3
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Jogador 1
Jogador 2 L R
U 5,1 4,0M 6,0 3,1D 6,4 4,4
3
2
1
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Pós G
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plicada - P
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MÉTODO DE ELIMINAÇÃO SUCESSIVA DE ESTRATÉGIAS ESTRITAMENTE DOMINADAS
Em resumo:
A ordem de eliminação não importa quando há dominância forte. Ou seja, o resultado pode divergir somente para dominância fraca.
TERCEIRO MÉTODO PARA ENCONTRAR O EQUILÍBRIO: EQUILÍBRIO DE NASH
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COMO ENCONTRAR SOLUÇÃO PARA JOGOS SEM ESTRATÉGIAS DOMINADAS?
ColunaA NA
Linha D (2,1) (-1,-2)ND (0,-1) (1,2)
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
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Payoffs indicam que escolhas divergentes trazem prejuízos para ambos. Mas não há estratégias dominantes.
EQUILÍBRIO DE NASH (EN) Conceito:
Uma combinação de estratégias puras s=(s1, ..., sI) constitui um EN do jogo N = [I, {Si}, {ui(.)}] se, para cada i = 1, ..., I,
ui(si,s-i) ui(s’i,s-i), s’iSi
Em um EN, cada escolha da estratégia do jogador é uma melhor resposta às estratégias realmente jogadas pelos seus rivais
se nenhum jogador tem incentivo a desviar de sua estratégia, dado que os outros não desviam. Formalmente, ele reúne as estratégias que são melhor resposta às estratégias dos demais e isto é válido para todos, ou seja
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
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NO EXEMPLO27/04/23
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
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ColunaA NA
Linha D (2,1) (-1,-2)ND (0,-1) (1,2)
D é a melhor resposta a A e A é a melhor resposta a D
ND é a melhor resposta a NA e NA é a melhor resposta a ND
Então (D,A) e (ND, NA) são EN
OUTROS EXEMPLOS
8D1 e 8D2 p. 246-7 Mas-Collel
8D3 p. 247
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
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/UFJF
OBS.: ESTRATÉGIA RACIONALIZÁVEL Conceito
As estratégias que sobrevivem à eliminação sucessiva de estratégias que nunca são a melhor resposta (pois não há justificativa para jogá-la)
Captura a implicação do conhecimento comum dos jogadores acerca da racionalidade dos demais e da estrutura do jogo e requer somente que a estratégia do jogador seja uma melhor resposta à alguma conjectura razoável, justificável, sobre o que seu rival estará jogando.
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
PG
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/UFJF
OBS.: DIFERENÇA DE ESTRATÉGIA RACIONALIZÁVEL PARA EN O EN adiciona a isto o requerimento de que
os jogadores estão CORRETOS em suas conjecturas.
Veremos isso adiante
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
PG
EA
/UFJF
OBSERVAÇÕES Apesar do equilíbrio resultar das melhores
respostas individuais, isto não significa que as decisões conjuntas dos jogadores seja a melhor possível
Os resultados podem ser pensados em termos de ótimo de Pareto. Relembrando,
É possível haver uma melhora no sentido de Pareto se a situação de pelo menos um jogador melhora, sem que a situação de nenhum dos outros piore.
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
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OBSERVAÇÕES Ou seja, por exemplo,
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
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EA
/UFJF
BTarifa Alta Tarifa Baixa
A Tarifa Alta (800,800) (2300,-700)Tarifa Baixa (-
700,2300)(1700, 1700)
Então, (Tarifa Baixa, Tarifa Baixa) é superior no sentido de Pareto ou Pareto domina (Tarifa Alta, Tarifa Alta).
OBSERVAÇÕES Todo equilíbrio de estratégia dominante é EN mas nem
todo EN é de estratégia dominante É possível que os jogos tenham mais de um EN. E, em
estratégias puras pode ser que não exista EN. Com mais de um equilíbrio, o analista não poderá prever
o que ocorrerá, mas terá indicações de que os agentes podem ir para um equilíbrio indesejável. No exemplo abaixo, se não houver um mecanismo que coordene decisões, as empresas vão adotar campanhas agressivas quando a rival não adotar.
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
PG
EA
/UFJF
ColunaAdota Não Adota
Linha Adota (-20,-20) (10,-10)*Não Adota (-10,10)* (0,0)
OBSERVAÇÕES Há ainda jogos sem EN, como este de soma zero (o
que um ganha, outro perde)
27/04/23
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
PG
EA
/UFJF
2Cara Coroa
1 Cara (1,-1) (-1,1)Coroa (-1,1) (1,-1)
É um jogo de conflito irreconciliável (não há estratégias que sejam melhores respostas para ambos)
27/04/23
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
PG
EA
/UFJF
DO DILEMA DOS PRISIONEIROS TEM-SE AINDA EN: (C,C) resulta da falta de compromissos
críveis/ garantidos
Conceito: Jogo não cooperativo
É o jogo em que os jogadores não podem estabelecer compromissos críveis. Caso contrário, o jogo é cooperativo
EQUILÍBRIO DE PONTO FOCAL (RASMUSSEN) É um equilíbrio de Nash que se destaca dos
outros devido a alguma assimetria que é conhecimento comum para os jogadores. Ele sugere que há aspectos do jogo que determinam as escolhas mas que não são formalizados pela Teoria. Exemplo: Escolha cara ou coroa (a maioria escolhe cara) Se for encontrar alguém em JF em um domingo,
sem ter se comunicado previamente, onde deve ser e a que horas?
Circule três dos seguintes números: 7, 100, 13, 261, 99, 666 (a maioria escolhe um dos 3
primeiros)
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
PG
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/UFJF
PONTO FOCAL Observação:
os limites são pontos focais particulares, porque o comportamento em torno de fronteira traz informação. Por exemplo, se um país cruza a fronteira de outro, isto indica quebra de diplomacia.
Ou ainda uma divisão de bolo entre duas pessoas em (50%,50%) para cada
Assim como no conceito de EN, o ponto focal usa a suposição de expectativas mutuamente corretas (assume-se que os jogadores prevêem corretamente qual será o EN, o que pode ser culturalmente determinado, como caminhar do lado direito da calçada). Veja o exemplo 8D3 Mas-collel.
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
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ESTRATÉGIAS MISTAS
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ESCOLHAS ALEATORIZADAS Assuma agora que os jogadores fazem suas
escolhas não mais com certeza
Isto implica que a estratégia não vai mais ser determinística (o que se chama de estratégia pura)
Quando um jogador aleatoriza um elemento do conjunto de estratégias, isto dá origem ao que se chama de estratégias mistas
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
PG
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ESTRATÉGIAS MISTAS (P. 232 MAS-COLLEL) Conceitos
Uma estratégia pura relaciona cada conjunto de informação possível dos jogadores à uma ação, ou
Dado o conjunto de estratégias puras (finito) do jogador i, Si, uma estratégia mista para o jogador i, i(si):Si [0,1], atrela a cada estratégia pura si Si a probabilidade i(si) 0 de que ela será jogada, onde si Si i(si) =1
Note que a estratégia pura pode ser vista como um caso especial de estratégia mista na qual a distribuição de probabilidade sobre os elementos de Si é degenerada
Uma estratégia completamente mista atribui probabilidade positiva a cada ação
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
PG
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/UFJF
EQUILÍBRIO DE NASH EM ESTRATÉGIAS MISTAS (MAS-COLLEL, P. 250) Definição 8D2
Uma combinação de estratégias = (1,...,I) constitui um EN do jogo N = [I, { (Si)}, {ui(.)}] se, para cada i = 1, ..., I
ui(i , -i) ui(’i , -i) ’i (Si)
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
PG
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/UFJF
EXEMPLO 8D4 (MAS-COLLEL, P. 250) Seja o jogo Matching Pennies:
o ENEM é (, )=(½, ½) Não existe EN em estratégias puras
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
PG
EA
/UFJF
Jogador 2Cara () Coroa (1-)
Jogador 1 Cara () (-1,1) (1,-1)Coroa(1 - ) (1,-1) (-1,1)
ESTRATÉGIAS MISTAS Então:
Uma estratégia pura constitui uma regra que diz ao jogador que ação escolher, enquanto uma estratégia mista constitui uma regra que diz a ele para jogar os dados de forma a escolher uma ação.
Se o jogador usa uma estratégia mista, ele pode escolher qualquer das várias diferentes ações em uma dada situação, que imprevisivelmente será útil para ele. Então, aleatoriedade pode ser racional para teóricos de jogos.
É possível resolver jogos sem EN jogando aleatoriamente, de forma a surpreender nas escolhas
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
PG
EA
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ESTRATÉGIAS MISTAS Exemplo: o jogo do bem-estar
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
PG
EA
/UFJF
PobreTrabalha () Vadia (1-)
Governo Ajuda () (3,2) (-1,3)Não ajuda (1 -
)(-1,1) (0,0)
Nenhum jogador tem estratégia dominante Não existe EN em estratégias puras
Verificar na matriz que sempre existe incentivos a desviar de qualquer posição possível
O CÁLCULO DO EN EM ESTRATÉGIAS MISTAS O s payoffs dos jogadores são valores
esperados dos payoffs da matriz de resultados
Função payoff esperado do governo
Função payoff esperado do trabalhador
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
PG
EA
/UFJF
5
)1)(1(011)1(13GovernoE
32
)1)(1(0)1(3)1(2
rTrabalhadoE
Método de maximização de payoff esperado
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
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O CÁLCULO DO EN EM ESTRATÉGIAS MISTAS
2,0015:
5
Governo
Governo
ECPO
E
5,0012:
32
rTrabalhado
rTrabalhado
ECPO
E
O método de igualar payoffs Do governo
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
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/UFJF
O CÁLCULO DO EN EM ESTRATÉGIAS MISTAS
2,0)1(0)1(3
AjudarNãoAjudar GovernoEGovernoE
Do trabalhador
5,0)1(03)1(2
TrabalharNãoTabalhar rTrabalhadoErTrabalhadoE
DISCUSSÃO A lógica do método de encontrar EN em
estratégias mistas os jogadores são indiferentes entre suas
estratégias (ver proposição 8D1 seguinte) O método de igualar payoffs é mais simples e
deve ser usado se o modelador estiver certo acerca de quais estratégias serão mistas (por exemplo, no caso de existirem mais de duas estratégias disponíveis)
Quando a probabilidade encontrada está fora do intervalo [0, 1], ou houve erro aritmético ou está errado pensar que o jogo tem equilíbrio de estratégia mista.
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
PG
EA
/UFJF
PROPOSIÇÃO 8D1 Seja Si
+ Si o conjunto de estratégias puras que o jogador i joga com probabilidade positiva em uma combinação de estratégias mistas = (1,...,I) . A combinação de estratégias é EN no jogo N = [I, { (Si)}, {ui(.)}] se e somente se i = 1,...,I,
(i) ui(si , -i) = ui(s’i , -i) si, si’ Si+
(ii) ui(si , -i) ui(s’i , -i) si Si+ e si’ Si
+
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
PG
EA
/UFJF
PROPOSIÇÃO 8D1 Ou seja, a condição necessária e suficiente
para uma combinação de EM ser EN do jogo N = [I, { (Si)}, {ui(.)}] é que cada jogador, dada a distribuição de estratégias jogadas pelos seus oponentes, é indiferente entre todas as estratégias puras que ele joga com probabilidade positiva e estas estratégias são no mínimo tão boas quanto qualquer estratégia pura que ele joga com probabilidade zero.
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
PG
EA
/UFJF
DISCUSSÃO Para o modelador: ter em mente que esta
tarefa de verificar existência de equilíbrio ajuda
a entender as características que o equilíbrio de um jogo em processo de modelagem deve ter
e a provar que ele existe
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
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EA
/UFJF
OBSERVAÇÃO Proposição 8D2 (p. 252, Mas-collel)
“Todo jogo N = [I, { (Si)}, {ui(.)}] no qual os conjuntos S1 ,..., SI tem um número finito de elementos tem um ENEM”
* Para o caso das estratégias serem variáveis contínuas, não se pode assegurar que haja ENEM. Ver Proposição 8D3 (p. 253, Mas-collel)
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
PG
EA
/UFJF
EFEITO DE EM SOBRE ESTRATÉGIAS DOMINADAS/DOMINANTES Definição 8B4 (p. 240 Mas-collel)
Uma estratégia i (Si) é estritamente dominada para o jogador i no jogo N = [I, { (Si)}, {ui(.)}] se existe outra estratégia ’i (Si) tal que, -i j≠i (Sj)
ui(’i , -i) > ui(i , -i)
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
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EFEITO DE EM SOBRE ESTRATÉGIAS DOMINADAS/DOMINANTES Proposição 8B1 (p. 241 Mas-collel)
Uma estratégia pura do jogador i, si Si é estritamente dominada no jogo N = [I, { (Si)}, {ui(.)}] se e somente se existe outra estratégia ’i (Si) tal que, s-i S-i
ui(’i , s-i) > ui(si , s-i)
Ou seja, para testar se estratégia pura si é dominada quando é possível aleatorizar, basta checar se alguma estratégia mista do jogador i é melhor do que si considerando cada possível combinação de estratégias puras dos rivais de i
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
PG
EA
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PROPOSIÇÃO 8B1 EXEMPLODOMINAÇÃO DE ESTRATÉGIA PURA POR UMA MISTA
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
PG
EA
/UFJFJogador 1
Jogador 2 L R
U () 10,1 0,4M 4,2 4,3
D (1-) 0,5 10,2
JOGAR ESTRATÉGIA MISTA (U,D) COM PROBABILIDADE (, 1-) = (½ , ½) é melhor do que jogar M com certeza.
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Pós G
raduação em E
conomia A
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EA
/UFJF
UL
UR
EM RESUMO Uma estratégia pura pode ser eliminada por
ser dominada por uma combinação aleatória de outras estratégias puras
No exemplo, U é estratégia ótima se 2 joga L e péssima se joga R; D é ótima no caso oposto. M é boa mas não melhor do que L e R (nenhuma das três é dominada por outra)
Mas se 1 aleatoriza, jogando U e D com probabilidade ½, E(u) = 5, dominando M estritamente
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
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EA
/UFJF
ESTRATÉGIAS RACIONALIZÁVEIS Objetivo: usar o conhecimento comum e a
racionalidade para eliminar estratégias que não são dominadas
Conceito de estratégias racionalizáveis Conjunto de estratégias que podem ser jogadas
no jogo onde a estrutura do jogo e a racionalidade dos jogadores são conhecimento comum entre os jogadores
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
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/UFJF
CONCEITO DE MELHOR RESPOSTA (RASMUSSEN): A melhor resposta do jogador i ao que o
jogador -i fizer é a estratégia que gera maior payoff, isto é, a melhor resposta é fortemente melhor se nenhuma outra estratégia é tão boa quanto e fracamente melhor se houver outra tão boa quanto.
Ou Forte
Fraca
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Pós G
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EXEMPLO DE MELHOR RESPOSTA27/04/23
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Pós G
raduação em E
conomia A
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/UFJF
CP G
A P (14,14) (-1,16)G (16,-1) (1,1)
C pensa: Se A jogar P é melhor jogar GSe A jogar G é melhor jogar GA pensa: Se C jogar P é melhor jogar GSe C jogar G é melhor jogar G
Então G é a melhor resposta para ambos. Também é estratégia estritamente dominante.
CONCEITO DE MELHOR RESPOSTA EM JOGO COM ESTRATÉGIAS MISTAS (MAS-COLLEL, P. 242) No jogo N = [I, { (Si)}, {ui(.)}], a estratégia
i é a melhor resposta para o jogador i às estratégias de seus rivais, -i se
ui(i , -i) ui(’i , -i)
’i (Si) . A estratégia i nunca é a melhor resposta se não existir -i para o qual i é a melhor resposta. Ou seja, i é a melhor resposta a -i se ela é uma escolha ótima quando o jogador i conjectura que seu oponente irá jogar -i
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
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RESUMINDO Os jogadores nunca vão jogar estratégias
que não são melhor resposta: isto vale para estratégias dominadas mas também para outras estratégias
Basta encontrar uma justificativa para racionalizar, afirmando com alguma conjectura sobre as escolhas de seus rivais e deletar a estratégia que o jogador julga que não será jogada (não necessariamente dominada)
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Pós G
raduação em E
conomia A
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EXEMPLO: 8C1 P. 244 (MAS-COLLEL)
Jogador 1
Jogador 2b1 b2 b3 b4
a1 0,7 2,5 7,0 0,1a2 5,2 3,3 5,2 0,1a3 7,0 2,5 0,7 0,1a4 0,0 0,-2 0,0 10,-1
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
PG
EA
/UFJF
VENDO O CONJUNTO DE ESTRATÉGIAS RACIONALIZÁVEIS PARA 1 E 2:-b4 pode ser eliminada porque nunca é a melhor resposta, já que é dominada por b1 e b3 se estas forem jogadas com probabilidade ½
- uma vez que se elimina b4 ,a4 pode ser eliminada porque ela é dominada por a2
EXEMPLO: 8C1 P. 244 (MAS-COLLEL)27/04/23
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Pós G
raduação em E
conomia A
plicada - P
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Em resumo O conjunto de estratégias racionalizáveis de 1 é
{a1, a2, a3} e de 2 é {b1, b2, b3}, onde
a1 é a melhor resposta a b3 e b1 é a melhor resposta a a1
a2 é a melhor resposta a b2 e b2 é a melhor resposta a a2
a3 é a melhor resposta a b1 e b3 é a melhor resposta a a3
Mas a única situação em que os jogadores estão corretos em suas conjecturas é no EN (a2,b2)
