Upload
norlie-lieya
View
119
Download
4
Embed Size (px)
DESCRIPTION
akademik
Citation preview
Unit 8 Kamiran /233
UNIT PELAJARAN 8
KAMIRAN
HASIL PEMBELAJARAN
Di akhir unit ini, anda diharap dapat:
1. Menerangkan dan menganalisis konsep kamiran.
2. Membezakan antara pembezaan dan kamiran.
3. Menyatakan kamiran sebagai songsangan pembezaan.
4. Menilai kamiran tak tentu yang melibatkan fungsi aljabar.
5. Menilai kamiran tentu dengan menggunakan Teorem Asas Kalkulus.
6. Menggunakan petua-petua kamiran.
Kalkulus Asas|234
PENGENALAN
amiran merupakan konsep penting dalam kalkulus sama seperti pembezaan.
Istilah kamiran juga merujuk kepada antiterbitan, iaitu fungsi ๐น ๐ฅ yang
pembezaannya ialah fungsi ๐ ๐ฅ .
Idea kamiran dirangsang oleh masalah bagi penghitung luas dibawah lengkung.
Penghitung awal luas telah dilakukan oleh seorang ahli matematik Greek bernama
Archimedes (287-212 SM). Selepas beliau, ramai ahli matematik telah mengemukakan kaedah
penghitungan luas yang mereka fikirkan sesuai. Perkembangan besar dalam kamiran muncul pada
abad ke-17 apabila seorang ahli sains Inggeris bernama Sir Isaac Newton (1642-1727 M) dan
seorang ahli matematik Jerman bernama Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716 M) masing-masing
telah menerbitkan teori asas kalkulus secara berasingan. Teori ini membuktikan kaitan antara
kamiran dan pembezaan. Dengan teori ini membolehkan mereka mengira masalah luas dan
kamiran dengan mudah tanpa perlu mengira jumlah had. Kamiran juga dapat menyelesaikan
banyak masalah yang gagal diselesaikan dengan pembezaan.
Seperti juga pembezaan, kamiran mempunyai banyak kegunaannya dalam masalah seharian
seperti mengira panjang lengkuk, luas permukaan, isipadu bongkah dan penggunaan yang meluas
dalam pelbagai bidang seperti ekonomi dan kejuruteraan.
8.1 Anti pembezaan dan kamiran tak tentu
Dalam bab ini kita akan melihat hubungan antara kamiran dan pembezaan. Proses untuk
mendapatkan semula fungsi daripada pekali pembezaannya merupakan songsangan bagi operasi
pembezaan. Proses ini disebut sebagai proses mencari anti pembezaan.
K
Layari Laman Web untuk mengetahui sejarah mengenai kamiran:
http://en.wikipedia.org/wiki/Integration
Unit 8 Kamiran /235
Takrif 8.1 (Anti Pembezaan)
Fungsi ๐น ๐ฅ dikatakan suatu anti pembezaan bagi suatu fungsi ๐ ๐ฅ jika
untuk setiap ๐ฅ dalam domain ๐.
๐นโฒ ๐ฅ = ๐(๐ฅ)
Perhatikan bahawa, jika
๐น ๐ฅ =1
3๐ฅ3, maka ๐นโฒ(๐ฅ) = ๐ฅ2 = ๐ ๐ฅ ,
๐น ๐ฅ merupakan suatu anti pembezaan bagi ๐ ๐ฅ = ๐ฅ2. Begitu juga
๐บ ๐ฅ =1
3๐ฅ3 + 100
๐ป ๐ฅ =1
3๐ฅ3 + 50
โฎ โฎ โฎ
๐ฝ ๐ฅ =1
3๐ฅ3 โ 2
merupakan sebahagian daripada anti pembezaan bagi ๐ ๐ฅ . Pada amnya, sebarang ungkapan
dalam bentuk fungsi ๐พ ๐ฅ =1
3๐ฅ3 + ๐ถ, dengan ๐ถ sebarang pemalar, merupakan anti
pembezaan bagi ๐. Ini boleh disahkan dengan melakukan pembezaan
Untuk perbincangan yang lebih umum, jika
๐
๐๐ฅ ๐น ๐ฅ = ๐ ๐ฅ ,
dan ๐ถ pemalar sembarangan, maka
๐
๐๐ฅ ๐น ๐ฅ + ๐ถ =
๐
๐๐ฅ ๐น ๐ฅ +
๐
๐๐ฅ ๐ถ
= ๐ ๐ฅ + 0
= ๐ ๐ฅ .
Hasil daripada perbincangan di atas dinyatakan dalam bentuk teorem tanpa bukti seperti berikut.
Kalkulus Asas|236
Teorem 8.1 (Kewujudan Anti Pembezaan)
Jika ๐นโฒ(๐ฅ) = ๐ ๐ฅ pada setiap titik dalam sebarang selang ๐, ๐ , maka setiap anti
pembezaan ๐บ bagi ๐ dalam ๐, ๐ adalah berbentuk
dengan ๐ถ pemalar sembarangan untuk semua ๐ฅ โ ๐, ๐ .
๐บ ๐ฅ = ๐น ๐ฅ + ๐ถ,
Takrif 8.2 (Kamiran Tak Tentu)
Set semua anti pembezaan bagi fungsi ๐ ๐ฅ dinamakan kamiran tak tentu bagi fungsi ๐
terhadap ๐ฅ, dilambangkan sebagai
Simbol โซ merupakan tatatanda kamiran, ๐ ๐ฅ disebut fungsi yang dikamir dan ๐ฅ ialah
pembolehubah kamiran.
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ.
Daripada Teorem 8.1 jelas bahawa proses mendapat anti pembezaan tidak akan menghasilkan
fungsi yang unik. Sebaliknya akan terhasil satu set fungsi-fungsi yang berbeza pada nilai
pemalarnya. Proses mendapatkan anti pembezaan ini biasanya disebut sebagai pengamiran.
Daripada Teorem 8.1 dan Takrif 8.2, jika ๐นโฒ ๐ฅ = ๐(๐ฅ) untuk semua ๐ฅ, maka
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐น ๐ฅ + ๐ถ.
Pemalar ๐ถ disebut pemalar kamiran dan persamaan di atas dibaca sebagai โkamiran tak tentu bagi
๐ terhadap ๐ฅ ialah ๐น ๐ฅ + ๐ถ. Daripada penjelasan di atas, dapat dibuat kesimpulan bahawa
setiap rumus pembezaan
Unit 8 Kamiran /237
๐
๐๐ฅ ๐ ๐ฅ = ๐โฒ ๐ฅ ,
adalah setara dengan suatu rumus kamiran
๐โฒ ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ ๐ฅ + ๐ถ.
Simbol kamiran โซ merupakan huruf besar S yang dipanjangkan. Simbol ini telah digunakan oleh
Leibnitz yang merupakan singkatan bagi perkataan Latin summa. Hasil daripada perbincangan
diatas dan juga pengetahuan tentang pembezaan (lihat Unit 5) boleh diringkaskan dalam Jadual
8.1. Jadual ini menunjukkan hubungan antara rumus pembezaan dan kamiran tak tentu untuk
beberapa fungsi mudah.
Jadual 8.1
Rumus pembezaan Rumus kamiran yang setara
๐
๐๐ฅ ๐ฅ2 = 2๐ฅ 2๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ฅ2 + ๐ถ
๐
๐๐ฅ sin ๐ฅ = ๐๐๐ ๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = sin ๐ฅ + ๐ถ
๐
๐๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ = โ sin ๐ฅ โ sin ๐๐ฅ = kos ๐ฅ + ๐ถ
๐
๐๐ฅ ๐๐ฅ = ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐๐ฅ = ๐๐ฅ + ๐ถ
Oleh kerana kedua-dua operasi ini adalah songsangan satu sama lain, maka
๐
๐๐ฅ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ ๐ฅ
dan
๐
๐๐ฅ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ ๐ฅ + ๐ถ.
Kalkulus Asas|238
Contoh 8.1
Tentukan sama ada keputusan berikut benar atau salah.
a) ๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ฅ sin ๐ฅ + ๐ถ.
b) ๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ฅ sin ๐ฅ + ๐๐๐ ๐ฅ + ๐ถ.
Penyelesaian:
a) Kamiran di atas adalah salah kerana pembezaan bagi ungkapan yang terdapat di
sebelah kanan tidak menghasilkan fungsi yang dikamir, iaitu
๐
๐๐ฅ ๐ฅ sin ๐ฅ + ๐ถ = sin ๐ฅ + ๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ + 0
โ ๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ.
b) Kamiran di atas adalah benar kerana pembezaan bagi ungkapan yang terdapat di
sebelah kanan menghasilkan fungsi yang dikamir, iaitu
๐
๐๐ฅ ๐ฅ sin ๐ฅ + ๐๐๐ ๐ฅ + ๐ถ = sin ๐ฅ + ๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ โ sin ๐ฅ + 0
= ๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ.
8.2 Rumus Kamiran
Kebanyakan kamiran tak tentu diperolehi dengan โmenyonsangkanโ rumus pembezaan.
Anda akan memahami maksud pernyataan ini dengan melihat beberapa rumus asas
kamiran bagi beberapa fungsi piawai seperti diberikan dalam Jadual 8.2.
Unit 8 Kamiran /239
Jadual 8.2
Kamiran Tak Tentu Rumus Pembezaan
๐๐ฅ = ๐ฅ + ๐ถ ๐
๐๐ฅ ๐ฅ = 1
๐ฅ๐ ๐๐ฅ =๐ฅ๐+1
๐ + 1+ ๐ถ, ๐ โ โ1
๐
๐๐ฅ ๐ฅ๐+1
๐ + 1 = ๐ฅ๐ , ๐ โ โ1
๐๐ฅ
๐ฅ= ln ๐ฅ + ๐ถ
๐
๐๐ฅ ln ๐ฅ =
1
๐ฅ
sin ๐ฅ ๐๐ฅ = โ๐๐๐ ๐ฅ + ๐ถ ๐
๐๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ = โ sin ๐ฅ
๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = sin ๐ฅ + ๐ถ ๐
๐๐ฅ sin ๐ฅ = ๐๐๐ ๐ฅ
๐ ๐๐2 ๐ฅ ๐๐ฅ = tan ๐ฅ + ๐ถ ๐
๐๐ฅ tan ๐ฅ = ๐ ๐๐2๐ฅ
๐๐๐ ๐๐2 ๐๐ฅ = โkot๐ฅ + ๐ถ ๐
๐๐ฅ ๐๐๐ก ๐ฅ = โ๐๐๐ ๐๐2๐ฅ
๐ ๐๐ ๐ฅ tan ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ ๐๐ ๐ฅ + ๐ถ ๐
๐๐ฅ ๐ ๐๐ ๐ฅ = ๐ ๐๐ ๐ฅ tan ๐ฅ
๐๐๐ ๐๐ ๐ฅ ๐๐๐ก ๐ฅ ๐๐ฅ = โ๐๐๐ ๐๐ ๐ฅ + ๐ถ ๐
๐๐ฅ ๐๐๐ ๐๐ ๐ฅ = โ๐๐๐ ๐๐ ๐ฅ ๐๐๐ก ๐ฅ
๐๐ฅ๐๐ฅ = ๐๐ฅ + ๐ถ ๐
๐๐ฅ ๐๐ฅ = ๐๐ฅ
sinh ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐๐๐ ๐ ๐ฅ + ๐ถ ๐
๐๐ฅ ๐๐๐ ๐ ๐ฅ = sinh ๐ฅ
๐๐๐ ๐ ๐ฅ๐๐ฅ = ๐ ๐๐๐ ๐ฅ + ๐ถ ๐
๐๐ฅ ๐ ๐๐๐ ๐ฅ = kosh ๐ฅ
๐ ๐๐๐2 ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ก๐๐๐ ๐ฅ + ๐ถ ๐
๐๐ฅ ๐ก๐๐๐ ๐ฅ = sekh ๐ฅ2 ๐ฅ
๐๐๐ ๐๐๐2 ๐ฅ๐๐ฅ = โ๐๐๐ก๐ ๐ฅ + ๐ถ ๐
๐๐ฅ ๐๐๐ก๐ ๐ฅ = โkosekh2 ๐ฅ
Kalkulus Asas|240
๐ ๐๐๐ ๐ฅ tanh ๐ฅ ๐๐ฅ = โ๐ ๐๐๐ ๐ฅ + ๐ถ ๐
๐๐ฅ ๐ ๐๐๐ ๐ฅ = โ๐ ๐๐๐ ๐ฅ tanh ๐ฅ
๐๐๐ ๐๐๐ ๐ฅ ๐๐๐ก๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = โ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ฅ + ๐ถ ๐
๐๐ฅ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ฅ = โ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ฅ ๐๐๐ก๐ ๐ฅ
Contoh 8.2
Berdasarkan Jadual 8.2 nilaikan kamiran tak tentu berikut;
a) ๐ฅ3 ๐๐ฅ. b) ๐ฅ ๐๐ฅ. c) ๐๐ฅ
๐ฅ3 . d) ๐๐ฅ
๐ฅ.
e) sin ๐ฅ ๐๐ฅ. f) ๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ. g) ๐๐ฅ๐๐ฅ. h) ๐ ๐๐๐2 ๐ฅ ๐๐ฅ.
Penyelesaian:
Semua penyelesaian dalam contoh ini diselesaikan dengan berpandukan kepada Jadual
8.2.
a) ๐ฅ3 ๐๐ฅ =1
4 ๐ฅ4 + ๐ถ.
b) ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ฅ12 ๐๐ฅ =
2
3๐ฅ
3
3 + ๐ถ.
c) ๐๐ฅ
๐ฅ3 = ๐ฅโ3 ๐๐ฅ = โ1
2๐ฅโ2 + ๐ถ.
d) ๐๐ฅ
๐ฅ= ๐ฅโ1
2 ๐๐ฅ = 2 ๐ฅ + ๐ถ.
e) sin ๐ฅ ๐๐ฅ = โ๐๐๐ ๐ฅ + ๐ถ.
f) kos ๐ฅ ๐๐ฅ = sin ๐ฅ + ๐ถ.
g) ๐๐ฅ๐๐ฅ = ๐ ๐ฅ + ๐ถ.
h) ๐ ๐๐๐2 ๐ฅ ๐๐ฅ = tanh ๐ฅ + ๐ถ.
Unit 8 Kamiran /241
Teorem 8.2 (Sifat Asas Kamiran Tak Tentu)
a) Pemalar k boleh dikeluarkan daripada tanda kamiran, iaitu
๐๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ๐ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ.
b) Kamiran hasil tambah (hasil tolak) bersamaan dengan hasil tambah (hasil tolak)
kamiran, iaitu
๐(๐ฅ) ยฑ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ = ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ยฑ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ.
Berikut merupakan sifat asas kamiran tak tentu.
Teorem 8.2 (b) boleh diperluaskan kepada lebih daripada dua fungsi seperti berikut.
๐1 ๐ฅ ยฑ ๐2 ๐ฅ ยฑ โฏ ยฑ ๐๐(๐ฅ) ๐๐ฅ = ๐1 ๐ฅ ๐๐ฅ ยฑ ๐2 ๐ฅ ๐๐ฅ ยฑ โฏ ยฑ ๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ.
Contoh 8.3
Selesaikan kamiran berikut;
a) 3๐ฅ2 + 5 ๐๐ฅ
b) โ4๐ ๐๐๐๐ฅ tanh ๐ฅ ๐๐ฅ
c) ๐ฅ4 + 3๐ฅ โ 4 ๐๐ฅ
Penyelesaian:
a) 3๐ฅ2 + 5 ๐๐ฅ = 3๐ฅ2 ๐๐ฅ + 5 ๐๐ฅ
= 3 ๐ฅ2 ๐๐ฅ + 5 ๐๐ฅ
= 3 ๐ฅ3
3+ ๐ถ1 + 5 ๐ฅ + ๐ถ2
= 3๐ฅ3 + 5๐ฅ + 3๐ถ1 + 5๐ถ2
= 3๐ฅ3 + 5๐ฅ + ๐ถ, ๐ถ = 3๐ถ1 + 5๐ถ2.
Kalkulus Asas|242
b) โ4 ๐ ๐๐๐๐ฅ tanh ๐ฅ ๐๐ฅ = โ4 ๐ ๐๐๐๐ฅ tanh ๐ฅ ๐๐ฅ
= โ4(โ๐ ๐๐๐ ๐ฅ + ๐ถ1)
= 4๐ ๐๐๐ ๐ฅ โ 4๐ถ1
= 4๐ ๐๐๐ ๐ฅ + ๐ถ, ๐ถ = โ4๐ถ1.
c) ๐ฅ4 + 3๐ฅ โ 4 ๐๐ฅ = ๐ฅ4๐๐ฅ + 3๐ฅ ๐๐ฅ โ 4 ๐๐ฅ
=1
5๐ฅ5 + ๐ถ1 + 3
1
2๐ฅ2 + ๐ถ2 โ 4(๐ฅ + ๐ถ3)
=1
5๐ฅ5 + ๐ถ1 +
3
2๐ฅ2 + 3๐ถ2 โ 4๐ฅ โ 4๐ถ3
=1
5๐ฅ5 +
3
2๐ฅ2 โ 4๐ฅ + ๐ถ, ๐ถ = ๐ถ1 + 3๐ถ2 โ 4๐ถ3
Perhatikan bahawa penyelesaian terakhir hanya terdapat satu pemalar pengamiran.
Nota: Hasil kamiran tak tentu adalah pemboleh ubah dan pemalar.
Unit 8 Kamiran /243
1. Tentu sahkan dengan pembezaan bahawa keputusan berikut adalah benar.
a) ๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ๐๐ฅ = โ๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ + sin ๐ฅ + ๐ถ.
b) ๐ฅ๐๐ฅ๐๐ฅ = ๐ฅ๐ โ ๐๐ฅ + ๐ถ.
2. Selesaikan kamiran tak tentu berikut.
a) ๐ฅ6๐๐ฅ
b) 1
๐ฅ8 ๐๐ฅ
c) ๐ก45๐๐ก
d) ๐ฅโ1
2๐๐ฅ
8.3 Hasil tambah Riemann dan kamiran tentu
Hasil tambah Riemann dinamakan dengan mengambil nama seorang ahli matematik German,
Bernhard Riemann (1826-1866). Jika suatu fungsi f adalah positif, maka hasil tambah Riemann
boleh ditakrifkan sebagai jumlah luas segiempat dibawah kawasan bawah lengkuk.
Rajah 8.1
Latihan Formatif 8.1
Kalkulus Asas|244
Takrif 8.3 (kamiran tentu)
Kamiran tentu ditakrifkan sebagai berikut,
dengan ๐ dan ๐ ialah pemalar. ๐ disebut sebagai had bawah kamiran manakala ๐ disebut had
atas kamiran.
๐ ๐ฅ ๐
๐
๐๐ฅ,
Teorem 8.3 (Sifat Asas Kamiran Tentu)
Jika ๐(๐ฅ) dan ๐(๐ฅ) ialah fungsi selanjar di dalam selang ๐, ๐ , maka
a) ๐ ๐ฅ ๐
๐๐๐ฅ = 0, jika ๐ ๐ wujud.
b) ๐ ๐ฅ ๐
๐๐๐ฅ = โ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ.
๐
๐
c) ๐๐ ๐ฅ ๐
๐๐๐ฅ = ๐ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ.
๐
๐
d) ๐๐
๐๐๐ฅ = ๐ ๐ โ ๐ .
e) ๐ ๐ฅ ๐
๐๐๐ฅ = ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ + ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ,
๐
๐
๐
๐ dengan ๐ โค ๐ โค ๐.
f) ๐ ๐ฅ ยฑ ๐(๐ฅ) ๐
๐๐๐ฅ = ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ ยฑ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ.
๐
๐
๐
๐
Dalam unit ini, kita akan lebih menumpukan terhadap kamiran tentu.
Unit 8 Kamiran /245
Teorem 8.4 (Teorem Asas Kalkulus)
Jika suatu fungsi ๐ ๐ฅ adalah selanjar di dalam selang ๐, ๐ , maka
dengan ๐น ๐ฅ ialah sebarang fungsi sehingga ๐นโฒ(๐ฅ) = ๐ ๐ฅ untuk semua โ ๐, ๐ .
๐ ๐ฅ ๐
๐
๐๐ฅ = ๐น ๐ โ ๐น ๐ ,
Contoh 8.4
Dengan menggunakan sifat asas kamiran, nilaikan 4 + 3๐ฅ2 ๐๐ฅ1
0.
Penyelesaian:
4 + 3๐ฅ2 ๐๐ฅ1
0= 4๐๐ฅ + 3๐ฅ2๐๐ฅ
1
0
1
0
= 4๐๐ฅ + 3 ๐ฅ2๐๐ฅ1
0
1
0
= 4 ๐ฅ 01 + 3
๐ฅ3
3
0
1
= 4[1 โ 0] + 3[1
3โ 0]
= 4 + 1
= 5.
8.4 Teorem asas kalkulus kamiran
Perbincangan dalam bahagian ini dimulakan dengan Teorem Asas Kalkulus bagi kamiran. Teorem
ini diberi tanpa bukti.
Kalkulus Asas|246
Contoh 8.5
Dengan menggunakan Teorem Asas Kalkulus, nilaikan kamiran berikut;
a) (3๐ฅ2 + 7)2
0๐๐ฅ.
b) ( ๐ฅ +1
๐ฅ)
4
1๐๐ฅ.
Penyelesaian:
a) Dengan menggunakan Teorem Asas Kalkulus, diperoleh
3๐ฅ2 + 7 2
0
๐๐ฅ = ๐ฅ3 + 7๐ฅ 02
= 8 + 14 โ 0 + 0
= 22
b) Dengan menggunakan Teorem Asas Kalkulus, diperoleh
( ๐ฅ +1
๐ฅ)
4
1
๐๐ฅ = 2
3๐ฅ
32 + 2๐ฅ
12
1
4
= 16 + 4
3 โ
2
3+ 2
= 62
3
Contoh 8.6
a) 2๐ฅ + 3 4
4๐๐ฅ = 0
b) ๐ฅ โ 3 0
4๐๐ฅ = โ ๐ฅ โ 3
4
0๐๐ฅ
Unit 8 Kamiran /247
Penyelesaian:
a) Dengan menggunakan Teorem Asas Kalkulus, diperoleh
2๐ฅ + 3 4
4
๐๐ฅ = ๐ฅ2 + 3๐ฅ 44
= 16 + 12 โ (16 + 12)
= 0.
b) Dengan menggunakan Teorem Asas Kalkulus, diperoleh
๐ฅ โ 3 0
4
๐๐ฅ = 1
2๐ฅ2 โ 3๐ฅ
4
0
= 0 + 0 โ (8 โ 12)
= 4.
โ ๐ฅ โ 3 4
0
๐๐ฅ = โ 1
2๐ฅ2 โ 3๐ฅ
0
4
= โ 8 โ 12 โ (0 + 0)
= 4.
Oleh itu
๐ฅ โ 3 0
4
๐๐ฅ = โ ๐ฅ โ 3 4
0
๐๐ฅ.
Kalkulus Asas|248
1. Nilaikan kamiran berikut dengan menggunakan Teorem Asas kalkulus ;
a) ๐ฅ5๐๐ฅ3
โ1
b) (4๐ฅ + 3)๐๐ฅ8
2
c) ๐ฅ๐๐ฅ4
0
d) 3
๐ก4 ๐๐ก2
1
e) ๐ฅ5 + 2๐๐ฅ3
3
RUMUSAN
Secara amnya terdapat dua jenis kamiran iaitu kamiran tak tentu dan kamiran yang melibatkan
had, iaitu kamiran tentu. Pelajar perlu memahami teorem-teorem kamiran supaya dapat menguasai
unit ini dengan baik. Selepas ini kita akan mempelajari teknik-teknik pengamiran dan mempelajari
aplikasi kamiran dalam unit seterusnya.
KATA KUNCI
Anti pembezaan, kamiran tak tentu, teorem asas kalkulus, kamiran tentu.
Latihan Formatif 8.2
Unit 8 Kamiran /249
Nilaikan kamiran tentu atau kamiran tak tentu yang diberi;
1) 3๐ฅ๐๐ฅ1
0
2) (6๐ฅ2 โ 3)๐๐ฅ
3) sin ๐ ๐๐
4) 5 sek ๐ก tan ๐ก ๐๐ก
5) kos ๐ฅ ๐๐ฅโ0
โ๐
6) ๐ก๐๐ก5
4
7) 4๐ฅ5 ๐๐ฅ
8) 6
๐ฅ3 ๐๐ฅ
9) ๐ฅ(๐ฅ + 1) ๐๐ฅ
10) 5๐ฅ2
๐ฅ ๐๐ฅ
11) ๐ฅ +1
๐ฅ (๐ฅ โ
1
๐ฅ) ๐๐ฅ
12) 2๐ฅ2(3 โ 4๐ฅ) ๐๐ฅ
13) ๐ฅ27
1๐๐ฅ
14) 1
๐ฅ2
7
1๐๐ฅ
15) ๐ฅ3 โ ๐ฅ ๐๐ฅ3
โ3
16) 3๐ฅ2 โ 5 ๐๐ฅ2
โ2
17) ๐ฅ โ ๐ฅ3 + 6๐ฅ5 ๐๐ฅ10
โ10
18) 1
๐ฅ2๐๐ฅ
๐
10
RUJUKAN
Steward, J. (2003). Calculus (5th Ed.). Brooks/Cole: Belmont.
Latihan Sumatif
Kalkulus Asas|250
Md.Raji, A.W., Rahmat, H., Kamis, I., Mohamad, M.N. & Ong, C.T. (2000). Kalkulus. UTM.
JAWAPAN LATIHAN FORMATIF
Latihan Formatif 8.1
1. a) Salah b) Benar
2. a) 1
7๐ฅ7 + ๐ถ. b) โ
1
9๐ฅโ9 + ๐ถ. c)
5
9๐ก
95 + ๐ถ. d) 2๐ฅ
12 + ๐ถ
Latihan Formatif 8.2
1. a) 364
3 b) 138 c)
16
3 d)
7
8 e) 0
JAWAPAN LATIHAN SUMATIF
1) 3
2
2) 2๐ฅ3 โ 3๐ฅ + ๐ถ
3) โ kos ๐ + ๐ถ
4) 5 sek ๐ก + ๐ถ
5) 0
6) 2
3(5
32 โ 8)
7) 2๐ฅ6
3+ ๐ถ
8) โ3
๐ฅ2 + ๐ถ
9) ๐ฅ3
3+
๐ฅ2
2+ ๐ถ
10) 2๐ฅ52 + ๐ถ
11) ๐ฅ3
3+
1
๐ฅ+ ๐ถ
12) 2๐ฅ3 โ 2๐ฅ4 + ๐ถ
13) 114
14) 6
7
15) 0
16) -4
17) 0
18) 1
10โ
1
๐