Ligjërata 4:Treguesit e tendencës qendrore dhe kuartilet

Statistika për ekonomiks dhe biznes

Treguesit përmbledhës Treguesit e tendencës qendrore

Mesatarja aritmetike, Mediana, Moda, Mesatarja gjeometrike Kuartilet

Llogaritja e këtyre treguesve Disa çështje etike

Përmbajtja

Treguesit përmbledhës

Mesatarja aritmetike

Mediana

Moda

Përshkrimi numerik i të dhënave

Varianca

Devijimi standard

Koeficienti i variacionit

Rangu

Rangu interkuartal

Mesatarja gjeometrike

Animi

Tendenca qendrore Variacioni FormaKuartilet

Mesatarja e ponderuar

Për këtë do të flasim më vonë

Treguesit e tendencës qendrore

Tendenca qendrore

Mesatarja aritmetike

Mediana Moda Mesatarja gjeometrike

n

XX

n

ii∑

== 1

n/1n21G )XXX(X ×××=

Mesi i vlerave të renditura

Vlera e vrojtuar më së shpeshti

Mesatarja aritmetike

Mesatarja aritmetike është treguesi më i përhapur i tendencës qendrore

Për një mostër me madhësi n (pra me n njësi):

Madhësia e mostrës (numri i vrojtimeve)

n

XXX

n

XX n21

n

1ii +++==

∑=

Vlerat e vrojtuara

Mesatarja aritmetike (2)

Kur themi “mesatare”, i referohemi mesatares aritmetike Mesatarja aritmetike = shuma e vlerave e pjesëtuar me

numrin e vlerave Ndikohet shumë nga vlerat e ekstreme (skajshmërisht të

vogla apo të mëdha)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mesatarja = 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mesatarja = 4

35

15

5

54321 ==++++4

5

20

5

104321 ==++++

Mediana

Në një varg numrash të renditur sipas madhësisë, mediana është numri i “mesit” (50% të numrave janë nën të, e 50% mbi të)

Nuk ndikohet fare nga vlerat ekstreme

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Median = 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Median = 3

7

Gjetja e medianës

Gjetja e medianës në një varg numrash të renditur sipas madhësisë:

Pozicioni i Medianës …në vargun e numrave

Nëse numri i vlerave në varg është tek, mediana është numri i mesit Nëse numri i vlerave në varg është çift, mediana është mesatarja

(aritmetike) e dy numrave të mesit

Vërejtje: nuk është vlera e medianës, por vetëm pozita e

medianës në vargun e të dhënave të renditur sipas madhësisë

2

1+= n

2

1+n

Moda

Tregues i tendencës qendrore Është vlera që përsëritet më së shpeshti Nuk ndikohet nga vlerat ekstreme Mund të përdoret edhe për të dhëna numerike

edhe për kategorike Mund të ketë disa moda në të dhëna Por mund të mos ketë asnjë modë

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Moda = 9

0 1 2 3 4 5 6

S’ka modë

Pesë shtëpi në bregdet, në largësi të ndryshme nga plazhi shiten me çmime të ndryshme:

Shembull

$2,000 K

$500 K

$300 K

$100 K

$100 K

€ 2,000,000

€ 500,000

€ 300,000

€ 100,000

€ 100,000

Shembull (2):

Mesatarja: (€ 3,000,000/5)

= € 600,000

Mediana: vlera që qëndron në mes të vargut të dhënave të rradhitur sipas madhësisë = € 300,000

Moda: vlera më e shpeshtë = € 100,000

Çmimet e shtëpive:

€ 2,000,000 € 500,000 € 300,000 € 100,000 € 100,000

Shuma € 3,000,000

11

Mesatarja përdoret në përgjithësi, përveç nëse ka vlera ekstreme (“skajshme”) në të dhënta

Pastaj mediana përdoret shpesh, pasi që nuk ndikohet vlerat ekstreme P.sh.: Mund të themi se mediana e

çmimeve të shtëpive në një rajon – më pak e ndjeshme ndaj vlerave ekstreme

Cili tregues është “më i mirë”?

12

Kuartilet

Kuartilet e ndajnë vargun e të dhënave (të rradhitura sipas madhësisë) në 4 segmente me numër të njëjtë të vlerave për çdo segment

25% 25% 25% 25%

Kuartilja e parë, Q1, është vlera në krahasim me të cilën 25% të vlerave janë të të vogla, ndërsa 75% janë më të mëdha

Q2 është e njejtë sikur mediana (50% janë të të vogla, 50% janë më të mëdha)

Vetëm 25% të vlerave janë më të mëdha se kuartilja e tretë (Q3)

Q1 Q2 Q3

13

Formulat e kuartileve

Kuartilet gjenden duke gjetur pozitën e duhur në vargun e të dhënave të renditura sipas madhësisë, ku

Pozita e kuartiles së parë: Q1 = (n+1)/4

Pozita e kuartiles së dytë: Q2 = (n+1)/2 (pozicioni i medianës)

Pozita e kuartiles së dytë: Q3 = 3(n+1)/4

ku n është numri i vlerave të vrojtuara

14

Kuartilet: shembull

Të dhënat e renditura sipas madhësisë: 11 12 13 16 16 17 18 21 22

Shembull: Gjej kuartilen e parë

Q1 dhe Q3 janë tregues të pozicionit joqendror Q2 = mediana, është tregues i tendencës qendrore

15

(n = 9)

Q1 është në (pozicionin (9+1)/4 = 2.5 të të dhënave të

renditura sipas madhësisë, kështu që është në mes numrit

të 2-të dhe të 3-të (të vargun të renditur sipas madhësisë),

pra Q1 = 12.5

(n = 9)

Q1 është në pozitën (9+1)/4 = 2.5 të vargut,

pra Q1 = 12.5

Q2 është në pozitën (9+1)/2 = 5th të vargut,

pra Q2 = mediana = 16

Q3 është në pozitën 3(9+1)/4 = 7.5 position të vargut,

pra Q3 = 19.5

Kuartilet: shembull (2)

Shembull:

16

Të dhënat e renditura sipas madhësisë: 11 12 13 16 16 17 18 21 22

Mesatarja gjeometrike

Mesatarja gjeometrike Përdoret për të llogaritur normën e ndryshimit të

variablave gjatë kohës

Mesatarja gjeometrike e normës së kthimit të investimit Mat statusin e investimit gjatë kohës

Ku Ri është norma e kthimit në periudhën i

n/1n21G )XXX(X ×××=

1)]R1()R1()R1[(R n/1n21G −+××+×+=

17

Shembull

Vlera e investimit është ulur nga €100,000 në €50,000 në fund të vitit të parë, dhe pastaj është

kthyer prap në €100,000 në fund të vitit të dytë:

50% ulje 100% rritje

Kthimi i përgjithshëm gjatë dy viteve është zero, sepse ka filluar dhe ka mbaruar në të njejtin nivel.

18

X1 = €100,000 X2 = €50,000 X3 = €100,000

Shembull (2)

Përdor kthimin e vitit 1 për të llogaritur mesataren aritmetike dhe atë gjeometrike:

%0111)]2()50[(.

1%))]100(1(%))50(1[(

1)]R1()R1()R1[(R

2/12/1

2/1

n/1n21G

=−=−×=

−+×−+=

−+××+×+=

%252

%)100(%)50(X =+−=

Mesatarja aritmetike:

Mesatarja gjeometrike:

Rezultat që dezinformon

Rezultat më i saktë

19

Treguesit numerikë për popullacionin

Treguesit përmbledhës për popullacionin quhen parametera

Mesatarja aritmetike e popullacion është shuma e vlerave të

popullacionit e pjesëtuar me madhësinë e popullacionit, N

N

XXX

N

XN21

N

1ii +++==µ

∑=

μ = mesatarja aritmetike e popullacionit

N = madhësia e popullacionit

Xi = vlerat e variablës X për secilin element (i)

Ku

20

Disa çështje etike

Treguesit përshkrues numerik:

Duhet të dokumentojnë edhe rezultatet “e mira” edhe ato të “këqijat”

Duhet të prezentohen në mënyrë të drejtë (fer), objektive dhe neutrale

Nuk duhet të përdoren tregues përmbledhës që nuk janë të përshtatshëm për t’i paraqitur faktet ndryshe nga ç’janë

21

Pyetje dhe Komente?

Chap 3-22