CLASE DE DINAMICA REALIZADO POR:

ING. ROMEL VALENZUELAING. FERNANDO LEIVA

Clase 6

Ejemplo

Datos:

L=100pulg EI=10x10^8lbs*pulg²

W=3000lbs k=2000lbs/pulg

Xo=1 pulg Vo=20pulg/seg

Calcular el desplazamiento y la velocidad después de 1seg

푘 = 푘 + 2푘푘 =

3퐸퐼퐿

푘 =3퐸퐼퐿 + 2푘 =

3퐸퐼 + 2푘퐿퐿

휔 =푘푚

푚 =푊푔 =

3000푙푏푠

32.20 ∗ 12 푝푢푙푔푠

= 7.76푙푏푠 ∗푠푝푢푙푔

휔 =푘푚 =

3 ∗ 10 ∗ 10 + 2 ∗ 2000 ∗ 1007.76 ∗ 100 = 23.54푠

La ecuación e movimiento es:

푑 푥푑푡 − 휔 푥 = 0

푥 푡 = 퐴푐표푠(휔푡 + ∅)

v 푡 = −퐴휔푠푒푛(휔푡 + ∅)

푥 0 = 1푝푢푙푔 = 퐴푐표푠(23.54(0) + ∅)

1푝푢푙푔 = 퐴푐표푠(∅)

v 0 =20푝푢푙푔

푠 = −퐴23.54푠푒푛(23.54(0) + ∅)

20푝푢푙푔푠 = −퐴23.54푠푒푛(∅)

퐴 =−20

23.54푠푒푛 ∅

1푝푢푙푔 = 퐴푐표푠(∅)

1퐴 = cos (∅)

1−20

23.54푠푒푛 ∅

= cos (∅)

23.54푠푒푛 ∅−20 = cos (∅)

tan ∅ =−20

23.54

∅ = tan−20

23.54

∅ = −0.7043푟푎푑

퐴 =−20

23.54푠푒푛 ∅

퐴 =−20

23.54푠푒푛 −0.7043

퐴 = 1.312

푥 푡 = 퐴푐표푠(휔푡 + ∅)

푥 푡 = 1.312푐표푠(23.54푡 − 0.7043)

푥 1 = 1.312푐표푠(23.54 1 − 0.7043)

푥 1 = −0.8713 ∗ 푝푢푙푔

v 푡 = −1.312(23.54)푠푒푛(23.54푡 − 0.7043)

v 푡 = −퐴휔푠푒푛(휔푡 + ∅)

v 1 = −1.312(23.54)푠푒푛(23.54 1 − 0.7043)

v 1 =23.09푝푢푙푔

푠

Ejemplo

Calcular la frecuencia para el desplazamiento horizontal del marco de acero. Se supone que la viga es infinitamente rígida, se desprecia la masa de las columnas, determine la variación del momento flexionarte y cortante de las columnas, para las condiciones iniciales Xo, Vo

Solución

Del AISC

10WF33 Ixx=171 pulg^4

8WF24 Ixx=82.50pulg^4

E 29000Ksi

퐸퐼 = 29,000,000 ∗ 171 = 4.959 퐸9 푙푏푠 ∗ 푝푢푙푔

퐸퐼 = 29,000,000 ∗ 82.50 = 2.3925퐸9 푙푏푠 ∗ 푝푢푙푔

푘 =12퐸퐼퐿

Para columnas rígidas en sus dos extremos

푘 =3퐸퐼퐿

Para columnas rígidas en uno de sus extremos y articulado en el otro

k1012 EI10

L3:=

k10 1.993 104lbfin

=w 50000lbf:=

mwg

:=

m 129.504lbf s2

in=

k83 EI8

L3:=

k8 2.404 103lbfin

=

ke 2k8 k10+:=

ke 2.474 104

lbfin

=

ωkem

:=

ω 13.8211s

=

T2πω

0.455 s=:=

f1T

2.21s

=:=

x t( ) Acos ωt ϕ+( )=

x0 20in:= v0 0ins

:=

Condiciones iniciales:

x 0( ) x0= Acos ω 0( ) ϕ+( )=

x0 Acos ϕ( )=

v t( ) Aωsen ω t ϕ+( )-=

v 0( ) Aωsen ω 0( ) ϕ+( )-= 0=

Aωsen ϕ( )- 0=

sen ϕ( ) 0=

ϕ 0=

x0 Acos ϕ( )=

A x0:=

A 20in=

푥 푡 = 20cos (13.821푡)

푣 푡 = −20(13.821)sen(13.821t)

푣 푡 = −276.42sen(13.821t)

푀 =6퐸퐼퐿 푥(푡)

푀 =6 4.959퐸9

12 ∗ 12 20cos (13.821푡)

푀 = 28,697,916.67cos (13.83푡)

푉 =12퐸퐼퐿 푥(푡)

푉 =12 4.959퐸9

12 ∗ 12 20cos (13.821푡)

푉 = 398,582.18cos (13.821푡)

푀 =3퐸퐼퐿 푥(푡)

푀 =3 2.3925퐸9

12 ∗ 12 20cos (13.821푡)

푀 = 6,922,743.06cos (13.83푡)

푉 =3퐸퐼퐿 푥(푡)

푉 =3 2.3925퐸9

12 ∗ 12 20cos (13.821푡)

푉 = 48,074.61cos (13.821푡)

Ejemplo

Momento en los apoyos

∆=푃퐿192퐸퐼

푘 =192퐸퐼퐿

휔 =푘푚 =

192퐸퐼푔푤퐿

푚 =푤푔

푓 =

192퐸퐼푔푤퐿2휋

푉 푡 =푃2

푃 = 푘푥 푥 =푃푘

푉 푡 =96퐸퐼퐿 푥(푡)

푀 푡 =푃퐿8

푀 푡 =24퐸퐼퐿 푥(푡)

El desplazamiento máximos de una viga doblemente empotrada con carga puntual

Si L=120in, EI=10^9 lb*in^2, w=5000lbs, Xo=0.50in, Vo=15in/s, Determine x,v,a para t=2seg

Además de las reacciones en los extremos

휔 =푘푚 =

192퐸퐼푔푤퐿 = 92.66푠

Solución

푥 0 = 퐴푐표푠 92.66(0) + ∅ = 0.50푖푛

푣 0 = −퐴 92.66 푠푒푛 92.66 0 + ∅ =15푖푛푠

−92.66퐴푠푒푛 ∅ = 15

퐴 = −0.1619푠푒푛 ∅

퐴푐표푠 92.66(0) + ∅ = 0.50푖푛

퐴푐표푠 ∅ = 0.50푖푛

퐴 =0.50

cos ∅

퐴 = 퐴

0.50cos ∅ = −

0.1619푠푒푛 ∅

tan ∅ = −0.1619

0.50

∅ = tan −0.1619

0.50 = −0.3132

퐴 =0.50

cos −0.3132 = 0.5255

푥 푡 = 0.5255cos (92.66푡 − 0.3132)

푣 푡 = −0.5255 92.66 푠푒푛(92.66푡 − 0.3132)

푣 푡 = −48.69푠푒푛(92.66푡 − 0.3132)

푉 푡 =96퐸퐼퐿 푥(푡)

푉 푡 =96퐸퐼퐿 0.5255 cos 92.66푡 − 0.3132

푉 2 = 274,527.19푙푏푠

푀 푡 =24퐸퐼퐿 푥(푡)

푀 푡 =24퐸퐼퐿 (0.5255cos (92.66푡 − 0.3132))

푀 2 = 8,235,815.73푙푏 ∗ 푖푛

푥 2 = 0.5255cos (92.66(2) − 0.3132)

푥 2 = −0.4941 푖푛

푣 2 = −48.69푠푒푛(92.66(2) − 0.3132)

푣 2 = −16.57푖푛푠

푎 푡 = −휔 퐴푐표푠(휔푡 + ∅)

푎 2 =353.56푓푡

푠