Основи Основи диференціального та диференціального та

інтегральногоінтегрального числення. числення.

Диференціальні Диференціальні рівняння.рівняння.

План лекціїПлан лекції Похідна функції. Диференціал функції. Основи інтегрального числення.Основи інтегрального числення. Диференціальні рівнянняДиференціальні рівняння Загальний та частковий розв'язок Загальний та частковий розв'язок

диференціяльного рівняннядиференціяльного рівняння Диференціальні рівняння з розділеними змінними Диференціальні рівняння з розділеними змінними

і зі змінними, які можна розділити.і зі змінними, які можна розділити. Диференціальні рівняння другого порядку. Диференціальні рівняння другого порядку.

Моделювання фізико-хімічних та біологічних Моделювання фізико-хімічних та біологічних процесів лінійними однорідними процесів лінійними однорідними диференціальними рівняннями диференціальними рівняннями

Похідна функції.Похідна функції.

Похідною функції y=f(x) по Похідною функції y=f(x) по аргументу аргументу хх називається границя називається границя відношення приросту функції до відношення приросту функції до приросту аргументу, коли останній приросту аргументу, коли останній прямує до нуля.прямує до нуля.

Похідна функції y=f(x) Похідна функції y=f(x) позначається через : упозначається через : у, у, у(х), f(х), f, , ff(x).(x).

Похідна від похідної називається Похідна від похідної називається похідною другого порядку, або похідною другого порядку, або другою похідною. Позначається другою похідною. Позначається таким чином : yтаким чином : y, y, y(2)(2) , f , f(x), f(x), f(2)(2)(x) .(x) .

Подібним чином вводиться Подібним чином вводиться поняття похідної n-ного порядку.поняття похідної n-ного порядку.

Таблиця формул диференціювання Таблиця формул диференціювання елементарних функцій.елементарних функцій.

(xn) = nxn-1 (1)

x

x2

1'

(2)

x

x1'ln (3)

(ax) = axln a (4) (ex) = eх (5) (sin x) = cos x (6) (cos x) = -sin x (7)

Продовження таблиці основних формул Продовження таблиці основних формул диференціювання елементарних функцій.диференціювання елементарних функцій.

Знаходження похідної функції, Знаходження похідної функції, використовуючи табличні похідні використовуючи табличні похідні та похідну добутку, суми і частки.та похідну добутку, суми і частки.

Похідна суми алгебраїчних функцій. Нехай функція )()()( xvxuxf , тоді

)()()( xvxuxf . Похідна добутку функцій. Нехай функція

)()()( xvxuxf ,тоді )(')()()(')( xvxuxvxuxf .

Похідна частки функцій. Нехай функція

)(

)()(

xv

xuxf , тоді

2

)(

)()()()()(

xv

xuxvxvxuxf

.

Визначення інтервалів Визначення інтервалів монотонності та екстремумів монотонності та екстремумів

функції.функції.

1) Якщо функція у=f(x) має додатну похідну у кожній точці проміжку

10,

ixx , то функція

зростає на цьому проміжку. 2) Якщо функція у=f(x) має від'ємну похідну у кожній точці проміжку

10,

ixx , то функція

спадає на цьому проміжку.

Похідні складних функцій.Похідні складних функцій.

Нехай Нехай уу є функція від є функція відuu: y=f(u), де : y=f(u), де uu є функція від аргументу є функція від аргументу хх : : u=u=(x); тоді ми можемо записати (x); тоді ми можемо записати y=f(y=f((x)).(x)).

Якщо для відповідних значень Якщо для відповідних значень хх і і uu існують похідні, то існує і похідна існують похідні, то існує і похідна від від уу по по хх. причому має місце . причому має місце рівність : yрівність : y=f(u)u=f(u)u=f[(=f[((x)](x)](x).(x).

Диференціал функції. З означення похідної:

xfx

xfxxfx

0lim

Виходить, що

xfx

xfxxf

де - нескінченно мала величина при нескінченно малому х xxxfxfxxf )(

зауважуючи, що f(x) взагалі кажучи не дорівнює нулеві, ми бачимо, що приріст функції xfxxf взагалі буде нескінченно малий одного порядку з х; головний його член, тобто добуток f(x)x називають диференціалом функції f(x) і позначають символом df(x) або dy, якщо y=f(x), то df(x)=f(x)x.

В окремому випадку, коли f(x)=x, f(x)=1 попереднє означення дає dx=x, а тому можна записати : df(x)=f(x)dx i dy=ydx. Отже, диференціал функції є добуток похідної на довільний приріст незалежної змінної, який можна позначити символом dx і називати диференціалом незалежної змінної.

Знаходження числового Знаходження числового значення функції.значення функції.

Формула, яка дозволяє наближено обчислювати числові значення функції у точці xx знаючи значення цієї функції і її похідної у точці х.

xxfxfxxf .

Основи інтегрального числення.Основи інтегрального числення.Невизначений інтегралНевизначений інтеграл

Невизначеним інтегралом заданого виразу dxxf )( , або заданої функції ).(xf називається сукупність первісних F(x)+c для функції ).(xf або для даного диференціала dxxf )( .

Невизначений інтегралНевизначений інтеграл

Невизначений інтеграл заданого виразу ,)( dxxf позначається

CxFdxxf )()( де )(xf – підінтегральна функція,

dxxf )( підінтегральний вираз, х – змінна інтегрування, С – стала інтегрування.

Властивості невизначеного Властивості невизначеного інтегралаінтеграла

• 1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

[∫f(x)dx]'=f(x).

• 2. Диференціала від невизначеного інтеграла дорівнює під інтегральному виразу:

d [∫f(x)dx]=f(x)dx

Властивості невизначеного Властивості невизначеного інтегралаінтеграла

• 3. Інтеграл від диференціала первісної дорівнює цій первісній:

∫d[F(x)+c]=Fx)+c• 4. Сталий множник можна

виносити за знак інтеграла:

∫kf(x)dx=k∫f(x)dx.

Властивості невизначеного Властивості невизначеного інтегралаінтеграла

• 5. Інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від кожного доданку зокрема:

∫[f1(x)±f2(x)]dx=∫f1(x)dx±∫f2(x)dx

Основні формули інтегрування: Основні формули інтегрування:

1. )1(,1

1

ncn

xdxx

nn

2.

x

dx=lnx +c.

3. cCosxSinxdx 4. .cSinxxdxCos

Основні формули інтегрування: Основні формули інтегрування:

5. cctgxxSin

dx

2

6. ctgxxÑos

dx

2

7. .x cedxe x

8. .ln

ca

adxa

xx

Методи інтегруванняМетоди інтегрування

Розрізняють три найпростіших методи інтегрування:

• безпосереднє інтегрування • інтегрування методом заміни

змінної • інтегрування частинами.

Метод безпосереднього Метод безпосереднього інтегруванняінтегрування

• Безпосереднім - називається інтегрування при якому шляхом алгебраїчних перетворень і застосування властивостей невизначеного інтеграла зводять підінтегральні вирази до основних формул інтегрування, тобто до табличного вигляду.

Метод інтегрування Метод інтегрування заміни змінноїзаміни змінної

• Інтегрування методом заміни змінної полягає в переході від

заданої змінної інтегрування до іншої змінної, для того, щоб звести під інтегральний вираз до одного з

табличних. • Вибір заміни змінної в кожному конкретному випадку залежить від

підінтегрального виразу .

Приклад 1. Знайти інтеграл dxx 32 . Розв’язування. Вводимо нову змінну

32 xt . Диференціюючи ліву і праву частини рівності отримуємо:

dxxddt 232 . Підставляючи у підінтегральний вираз отримуємо:

CxCt

dttdt

tdxx

32

3

2

1

3231

232

1

21

232

.

Метод інтегрування за частинамиМетод інтегрування за частинами

Нехай дано дві диференційовані функції xuu і xvv . Тоді udvvduvud .

Проінтегруймо цю рівність: udvvduvud . Або udvvduvu .

Звідки vduvuudv .

Приклад 1. xdxln .

Розв’язування. Нехай xu ln , dxdv .

Тоді x

dxxddu ln , xdxdvv .

Відтак,

Cxxx

dxxxx

dxxxxxdx

ln

lnlnln.

Визначений інтеграл.Визначений інтеграл.Границю інтегральної суми називають

визначеним інтегралом від функції )(xf на відрізку ba, .

,)()(lim1

00max

b

ai

n

i ixdxxfxcf

де a- нижня межа інтегрування, b- верхня межа інтегрування, )(xf - підінтегральна функція, x - змінна інтегрування.

Визначений інтеграл виражає собою число. Його значення залежить від підінтегральної функції і від значення верхньої і нижньої меж інтегрування.

Основні властивості Основні властивості визначеного інтегралавизначеного інтеграла

1. Якщо верхню і нижню межу інтегрування поміняти місцями , визначений інтеграл зберігає абсолютну величину , але змінює свій знак на протилежний:

b

a

a

b

dxxfdxxf )()( 2. Визначений інтеграл від алгебраїчної

суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів від кожного доданку зокрема в заданих межах інтегрування:

b

a

xf )([1

± b

a

fdxxf12

)]( b

a

dxxfdxx )()(2

3. Адитивна властивість, Якщо відрізок ba. , який визначає межі інтегрування, розбити на дві частини ca. і bc. , то:

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()( . 4. Сталий множник можна винести за

знак визначеного інтеграла: b

a

b

a

dxxfkdxxkf )()( 5. Якщо підінтегральна функція в

межах інтегрування зберігає постійний знак, то визначений інтеграл виражає собою число того ж знаку, тобто якщо

0)( xf , то: 0)(

b

a

dxxf .

Методи обчислення визначеного Методи обчислення визначеного інтеграла.інтеграла.

Між визначеним і невизначеним інтегралами існує тісний зв’язок, який встановлює Формула Ньютона--Лейбніца:

b

a

aFbFdxxf )()()( , де )()(' xfxF

Значення визначеного інтеграла дорівнює різниці значень будь-якої первісної від підінтегральної функції, взятої при верхній і нижній межі інтегрування.

Згідно з формулою Ньютона-Лейбніца, визначений інтеграл обчислюється при допомозі невизначеного інтеграла:

)()()()( aFbFxFdxxf b

a

b

a

з використанням властивостей

визначеного інтеграла. Приклад 1. Обчислити dxx

9

4

.

3

38

3

42

3

92

3

2 2

3

2

3

9

4

2

3

9

4

x

dxx

Визначення диференціального Визначення диференціального рівняннярівняння

Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв'язує незалежну змінну х , шукану функцію )(xfу і похідні цієї функції

nyyyу ,, , тобто рівняння виду: 0),,,,( nyyyyyxF . (1)

Порядок диференціального рівнянняПорядок диференціального рівняння

Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної, яка входить у це рівняння:

0),,( yyxF — диференціальне рівняння першого порядку,

0),,,( yyyxF — диференціальне рівняння другого порядку і так далі.

Загальний та частковий розв'язок Загальний та частковий розв'язок диференціяльного рівняннядиференціяльного рівняння

Загальним розв'язком Загальним розв'язком диференціального рівняння диференціального рівняння називається функція, яка після називається функція, яка після підстановки у диференціальне підстановки у диференціальне рівняння перетворює його в рівняння перетворює його в тотожність.тотожність.

Загальний розв'язок диференціяльного рівняння 1-го порядку містить одну довільну сталу ( ),( cxfу ), 2-го порядку — дві довільні сталі ( ),,(

21ccxfy ) і так далі.

Розв'язок, отриманий із загального розв'язку диференціального рівняння шляхом задання довільним сталим певних числових значень називається частковим.

Диференціальні рівняння типу ).(xfу

Запишемо це рівняння у такому вигляді:

)(xfdx

dy ; dxxfdy )( .

Загальний розв'язок шукатимемо методом інтегрування:

cxFdxxfy )()( .

Приклад 1. Знайти загальний і частковий розв'язки такого диференціального рівняння xxу sin2 , якщо при 0x ; 1y . Розв’язування. Загальний розв'язок має такий вигляд:

Cxx

dxxxу cos3

sin3

2 .

Для знаходження часткового розв'язку визначмо значення сталої С , виходячи з заданих початкових умов:

Cсоs 001 ; 2C . Частковий розв'язок даного рівняння запишемо у такому вигляді:

2cos3

3

xx

у

Диференціальні рівняння типу )(yfу .

Запишемо це рівняння у такому вигляді:

)(yfdx

dy ; dx

yf

dy

)(.

Загальний розв'язок має такий вигляд:

CxyFyf

dy )(

)(.

Приклад 2. Знайти загальний розв'язок

рівняння 01

yy .

Розв’язування. Перепишемо рівняння у такому вигляді:

ydx

dy 1 або dxydy .

Проінтегрувавши отримаємо:

dxydy , Cxy

2

2

або Cxy 2 .

Диференціальні рівняння з розділеними Диференціальні рівняння з розділеними змінними і зі змінними, які можна розділити.змінними і зі змінними, які можна розділити.

а) Диференціальні рівняння типу 0)()( dyydxxf .

називається диференціальне рівняння з розділеними змінними. Загальний розв'язок такого рівняння знаходиться інтегруванням:

Cdyydxxf )()( .

Приклад 3. Знайти загальний розв'язок такого рівняння: 0cossin ydyxdx . Розв’язування. Cyx sincos або

xCy cossin . Запишемо розв’язок у такому вигляді:

)cosarcsin( xcу .

б) Диференціальні рівняння типу 0)()()()( dyyfxdxyxf .

Це рівняння можна привести до рівняння з розділеними змінними , поділивши на )()( хy .

0)(

)(

)(

)( dx

y

yfdx

x

xf

.

Cdxy

yfdx

x

xf

)(

)(

)(

)(

.

Диференціальні рівняння другого порядку. Диференціальні рівняння другого порядку. Диференціальні рівняння другого порядку, які Диференціальні рівняння другого порядку, які

допускають зниження порядку.допускають зниження порядку.

Диференціальне рівняння виду )(xfу називається диференціальним рівнянням другого порядку, яке допускає пониженню порядку.

Для розв'язання рівняння такого типу введемо нову функцію )(xuу , тоді :

)()( xuyy або )()( xfxu . Звідси

)(xfdx

du .

Розділивши змінні і провівши операцію інтегрування отримаємо:

dxxfdu )( , dxxfdu )( , або

1)()( Cdxxfxu .

Повертаючись до початкової зміни маємо:

1

)( Cdxxfу , 1

)( Cdxxfdx

dy.

Розділивши змінні в цьому рівнянні і провівши інтегрування отримаємо:

dxCdxxfdy 1

)( , або

21)( CxCdxdxxfy .

Останній вираз є загальним розв'язком диференціяльного рівняння типу

)(xfy .

Лінійні однорідні диференціальні рівняння Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Рівняння типу 0 qyypу називаються лінійними однорідними диференціальними рівняннями другого порядку зі сталими коефіцієнтами (р і q – сталі). Розв'язок такого рівняння шукатимемо у такому виді:

kxey , де k — деяке число.

Похідні від цієї функції kxkey і kxeky 2 підставимо у диференціальне

рівняння: 02 kxkxkx qepkeek , 02 qрkk .

Цей многочлен називається характеристичним рівнянням для лінійного диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Корені цього рівняння знаходимо за формулою:

qpp

k

2

2,1 22.

Можуть реалізовуватися такі Можуть реалізовуватися такі випадки:випадки:

1) корені 1

k і 2

k дійсні і різні, тоді розв'язок запишеться у такому виді:

xkxk eCeCy 21

21 ,

де 1

C і 2

C — сталі величини; 2) корені

1k і

2k дійсні і рівні )(

21kkk ,

тоді розв'язок диференціального рівняння має такий вид:

kxeCxCy )(21

;

1) якщо 02

2

q

p, то корені

характеристичного рівняння уявні.

Тоді 2/p і 2

2

pq і розв'язок

диференціального рівняння запишемо у такому виді:

xCxCey x sincos21

.

Приклад 4. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння:

034 yyy . Розв'язуваня. Характеристичне рівняння має такий вид:

0342 kk . Корені цього рівняння є такі 1

1k і

32k , тобто дійсні і різні числа.

Розв'язок рівняння запишемо у виді: xx eCeCу 3

21 .

Моделювання фізико-хімічних та біологічних Моделювання фізико-хімічних та біологічних процесів лінійними однорідними диференціальними процесів лінійними однорідними диференціальними

рівняннямирівняннями Радіоактивний розпад. Нехай на момент часу 0t є

0N ядер

радіоактивного ізотопу. Кількість розпадів за одиницю часу називають активністю. Експериментально визначено, що активність пропорційна числу ядер даного радіоактивного ізотопу.

Тобто

Ndt

dN ,

де — стала розпаду. Дана формула є однорідним лінійним диференційним рівнянням першого порядку, яке має такий частинний розв'язок:

teNN 0

, Ця формула визначає основний закон радіоактивного розпаду.

Закон поглинання іонізуючого Закон поглинання іонізуючого випромінювання середовищем.випромінювання середовищем.

Зменшення інтенсивності іонізуючого випромінювання I при проходженні через тонкий шар середовища пропорційне інтенсивності І та товщині шару x : xII , де — коефіцієнт поглинання.

Замінивши прирости диференціалами отримаємо диференціальне рівняння закону поглинання:

IdxdI . Після інтегрування цього рівняння отримуємо закон поглинання іонізуючого випромінювання середовищем:

xeII 0

, де І — інтенсивність іонізуючого випромінювання після проходження шару середовища завтовшки х ,

00 IxI .

Закон розмноження бактерій.Закон розмноження бактерій.Швидкість поділу бактерій

dt

dN

пропорційна до кількості бактерій N у даний момент часу t . Диференціальне рівняння закону розмноження має такий вигляд:

kNdt

dN ,

де k — коефіцієнт розмноження. Інтегральний закон розмноження бактерій описується такою формулою:

kteNN0

, де

00 NtN .

Закон розчинення лікарської Закон розчинення лікарської речовини з таблетки.речовини з таблетки.

Якщо швидкість розчинення

лікарської речовини з таблетки dt

dm

пропорційна до кількості лікарської речовини у таблетці m , то

kmdt

dm ,

де k — стала швидкості розчинення. Закон розчинення лікарської речовини з урахуванням початкової умови

00 mtm описується такою формулою:

ktemm 0

.

Хімічні реакції першого порядку: Хімічні реакції першого порядку: А А продукт реакції.продукт реакції.

Нехай при 0t початкова концентрація речовини А дорівнює а , за час t концентрація речовини А стане xa . Кінетика хімічних реакцій першого порядку описується таким диференційним рівнянням:

xakdt

dx

1,

де 1

k — константа швидкості реакції першого порядку. Розв’язок цього диференційного рівняння записуємо у такому вигляді:

tkeax 11 .

Хімічні реакції другого порядку: Хімічні реакції другого порядку: А+ВА+В продукт реакції.продукт реакції.

Нехай а — початкова концентрація речовини А; в — початкова концентрація речовини В при 0t . За час t відповідні концентрації стануть такими: xa та xв . Кінетика хімічних реакцій другого порядку описується таким диференціяльним рівнянням:

xвxakdt

dx

2,

де 2

k — константа швидкості хімічної реакції другого порядку.

Якщо вa , то розв’язок даного рівняння має такий вигляд:

atk

ax2

1

11 .

Якщо вa , то розв’язок даного рівняння записуємо так:

aвe

eaвx

tkaв

tkaв

2

2 1.