системи числення

Системи числення1. Вступ2. Двійкова система3. Вісімкова система4. Шістнадцяткова система5. Інші системи числення

Автор Ю.К. ПоляковПереклад В.Семенюка

Системи числення

Тема 1. Вступ

3

ВизначенняСистема числення – це спосіб запису чисел за

допомогою спеціальних знаків – цифр.

Числа:123, 45678, 1010011, CXL

Цифри:0, 1, 2, … I, V, X, L, …

Алфавіт – це набір цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Типи систем числення: непозиційні – значення цифри не залежить від

її місця (позиції) в запису числа; позиційні – залежить…

4

Непозиційні системиУнарна – одна цифра позначає одиницю (1 день,

1 камень, 1 баран, …)

РимськаI – 1 (палець), V – 5 (розкрита долонь, 5 пальців),

X – 10 (дві долоні), L – 50, C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille), M – 1000 (Mille)

5

Римська система численняПравила: (за звичай) не ставлять більше трьох однакових цифр

підряд якщо молодша цифра (тільки одна!) стоїть зліва від

старшої, вона обчислюється із суми (частково непозиційна!)

Приклади: MDCXLIV = 1000 + 500 + 100 – 10 + 50 – 1 + 5

2389 = 2000 + 300 + 80 + 9

2389 = M M C C C L X X X I X

M M CCC LXXX IX

= 1644

6

Приклади:

3768 =

2983 =

1452 =

1999 =

7

Римська система численняНедоліки:

для запису великих чисел (>3999) потрібно вводити нові знаки-цифри (V, X, L, C, D, M)

як записати дробові числа? як виконувати арифметичні дії:

CCCLIX + CLXXIV =?

Де використовуються:

номера розділів у книжках:

позначення століть:

циферблат годинника

8

Словянська система численняалфавітна система числення (непозиційна)

9

Позиційні системиПозиційна система: значення цифри визначається її позицією у записі числа.Десяткова система: першопочатково – лічба на пальцяхвинайдена в Індії, запозичена арабами, завезена до ЄвропиАлфавіт: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Основа (кількість цифр): 10

3 7 82 1 0 розряди

сотні десятки одиниці

870300

= 3·102 + 7·101 + 8·100

Інші позиційні системи:• двійкова, вісімкова, шістнадцяткова (інформатика)• дванадцяткова (1 фут = 12 дюймів, 1 шилінг = 12 пенсів)• двадцяткова (1 франк = 20 су)• шістидесяткова (1 хвилина = 60 секунд, 1 година = 60 хвилин)


Тема 2. Двійкова система числення

11

Переведення цілих чиселДвійкова система: Алфавіт: 0, 1Основа (кількість цифр): 2

10 2

2 10

19 2918

124 8

122 4

021 2

020 0

1

19 = 100112

система числення

100112

4 3 2 1 0 розряди

= 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20

= 16 + 2 + 1 = 19

12

Приклади:

131 = 79 =

13

Приклади:

1010112 =

1101102 =

Коли двійкове число парне? ділиться на 8??

14

Переведення дробових чисел

10 2

2 10

0,375 = 2

101,0112

2 1 0 -1 -2 -3 розряди

= 1·22 + 1·20 + 1·2-2 + 1·2-3

= 4 + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,375

,7500 0,75 2 ,501 0,5 2 ,01

0,7 = ? 0,7 = 0,101100110… = 0,1(0110)2

Багато дробових чисел неможна представити у вигляді конечних двійкових дробів.

Для їх точного збереження потрібне безмежне число розрядів.

Більшість дробових чисел зберігаються в пам’яті з помилкою.

2-2 = = 0,25221

0,0112

15

Приклади:

0,625 = 3,875 =

16

Арифметичні операції

додавання віднімання

0+0=0 0+1=11+0=1 1+1=102

1 + 1 + 1 = 112

0-0=0 1-1=01-0=1 102-1=1

переніс

заєм

1 0 1 1 02

+ 1 1 1 0 1 12

1

00

011 02

1 0 0 0 1 0 12

– 1 1 0 1 120

21

0 102

1 0

0 1 1 102

010

17

Примеры:

1011012

+ 111112

101112

+ 1011102

1110112

+ 110112

1110112

+ 100112

18

Приклади:

1011012

– 111112

110112

– 1101012

19


множення ділення

1 0 1 0 12

1 0 12

1 0 1 0 12

+ 1 0 1 0 12

1 1 0 1 0 0 12

1 0 1 0 12

– 1 1 12

1 1 12

1 12 1 1 12

– 1 1 12

0

20

Плюси і мінуси двійкової системи• потрібні технічні пристрої тільки з двома стійкими

станами (є струм — немає струму, намагнічено — не намагнічено і т.д.);

• надійність і завадостійкість двійкових кодів;• виконання операцій з двійковими числами для

комп’ютера набагато простіше, ніж з десяковими.

• прості десяткові числа записуються у вигляді безмежних двійкових дробів;

• двійкові числа мають багато розрядів;• запис числа в двійковій системі однорідний,

тобто містить тільки нулі і одиниці; тому людині складно його сприймати.


Тема 3. Вісімковасистема числення

23

Вісімкова системаОснова (кількість цифр): 8Алфавіт: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

10 8

8 10

100 81296

481 8

480 0

1

100 = 1448


1448

2 1 0 розряди

= 1·82 + 4·81 + 4·80

= 64 + 32 + 4 = 100

24

Приклади:

134 = 75 =

1348 =758 =

25

Таблиця вісімкових чисел

X10 X8 X2 X10 X8 X2

0 0 000 4 4 1001 1 001 5 5 1012 2 010 6 6 1103 3 011 7 7 111

26

Переведення у двійкову і навпаки

810

2

• трудомісько• 2 дії

8 = 23

Кожна вісімкова цифра може бути записана як три двійкових (трiада)!

!

17258 =1 7 2 5

001 111 010 1012{ { { {

27

Приклади:

34678 =

21488 =

73528 =

12318 =

28

Переведеня з двійкової системи

10010111011112

Крок 1. Розбити на триади, починаючи справа:

001 001 011 101 1112

Крок 2. Кожну триаду записати одною вісімковою цифрою:

1 3 5 7

Відповідь: 10010111011112 = 113578

001 001 011 101 1112

1

29

Приклади:

1011010100102 =

111111010112 =

11010110102 =

30


додавання

1 5 68

+ 6 6 28

1

6 + 2 = 8 = 8 + 05 + 6 + 1 = 12 = 8 + 41 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0

1 в переніс

1 в переніс

080 41 в переніс

31

Приклад

3 5 38

+ 7 3 68

1 3 5 38

+ 7 7 78

32


обчислення

4 5 68

– 2 7 78

(6 + 8) – 7 = 7

(5 – 1 + 8) – 7 = 5

(4 – 1) – 2 = 1

заєм

781 5

заєм

33

Приклади

1 5 68

– 6 6 28

1 1 5 68

– 6 6 28


Тема 4. Шістнадцяткова система числення

35

Шістнадцяткова системаОснова (кількість цифр): 16Алфавіт: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

10 16

16 10

107 16 696

11160 0

6

107 = 6B16


1C516

2 1 0 розряди

= 1·162 + 12·161 + 5·160

= 256 + 192 + 5 = 453

A,10

B,11

C,12

D,13

E,14

F 15

B

C

36

Приклади:

171 =

206 =

1BC16 =

22B16 =

37

Таблиця шістнадцяткових чисел

X10 X16 X2 X10 X16 X2

0 0 0000 8 8 10001 1 0001 9 9 10012 2 0010 10 A 10103 3 0011 11 B 10114 4 0100 12 C 11005 5 0101 13 D 11016 6 0110 14 E 11107 7 0111 15 F 1111

38

Переведення у двійкову систему

1610

2

• трудомісько• 2 дії

16 = 24

Кожна шістнадцяткова цифра може бути записана як чотири двійкових (тетрада)!

!

7F1A16 =7 F 1 A

0111{ { 1111 0001 10102{ {

39

Приклади:

C73B16 =

2FE116 =

40

Переведення з двійкової системи

10010111011112

Крок 1. Розбитт на тетради, починаючи справа:

0001 0010 1110 11112

Крок 2. Кожну тетраду записати одною шістнадцятковою цифрою:

0001 0010 1110 11112

1 2 E F

Відповідь: 10010111011112 = 12EF16

41

Приклади:

10101011010101102 =

1111001101111101012 =

1101101101011111102 =

42

Переведення у вісімкову і навпакитрудомісько

3DEA16 = 11 1101 1110 10102

1610

82

Крок 1. Перевести у двійкову систему:

Крок 2. Розбити на триади:

Крок 3. Триада – одна вісімкова цифра: 011 110 111 101 0102

3DEA16 = 367528

43

Приклади:

A3516 =

7658 =

44


додавання

A 5 B16

+ C 7 E16

1 6 D 916

10 5 11+ 12 7 14

11+14=25=16+95+7+1=13=D16

10+12=22=16+6

1 в переніс

1 в переніс

13 961

45

Приклад:

С В А16

+ A 5 916

46


віднімання

С 5 B16

– A 7 E16

заєм

1 D D16

12 5 11– 10 7 14

(11+16)–14=13=D16

(5 – 1)+16 – 7=13=D16

(12 – 1) – 10 = 1

заєм

131 13

47

Приклад:

1 В А16

– A 5 916


Тема 5. Інші системи числення

49

Трійкова урівноважена система

Задача Баше:Знайти такий набір з 4 важків, щоб з їх допомогою на шальках рівноплечих ваг можна було зважити вантаж масою від 1 до 40 кг включно. Важки можна розташовувати на будь-якій шальці ваг.

50

Трійкова урівноважена система

+ 1 гиря справа 0 гиря снята– 1 гиря зліва

Вага важок:1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кгПриклад:27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг = 40 кг

1 1 1 13ур =Реалізація:ЕОМ «Сетунь», Н.П. Брусенцов (1958)50 промислових зразків

40

Трійкова система!!

51

Кінець

Education

системи числення