Embed Size (px)
Citation preview
Системи числення
1
Поняття «Система числення»
1
Система числення – це сукупність символів (цифр) і правил їхнього запису, застосовуваних для однозначного запису (зображення) чисел. Сукупність цифр, які складають систему числення називають її базою, позначається вона латинською літерою Р.
Десяткова• Р = 10 • ai = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Двійкова• Р = 2 • ai = {0,1}
Вісімкова• Р = 8• ai = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Шістнадцяткова
• Р = 16 • ai = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} 3
4
Системи числення
Позиційна Непозиційна Змішана
5
Непозиційні системи числення
У непозиційній системі кожен знак у запису незалежно від місця означає одне й те саме число.
Добре відомим прикладом непозиційної системи числення є римська система, в якій роль цифр відіграють букви алфавіту: І – один, V – п’ять, Х – десять, С – сто, Z – п’ятдесят, D –п’ятсот, М – тисяча. Наприклад, 324 = V, 1999 = , 90 = СССХХІ МСМХСІХ ХС.
Недоліками непозиційних систем числення є: громіздкість зображення чисел; труднощі у виконанні операцій.
6
Змішані системи числення
Змішані системи числення є узагальненням системи числення з основою b і їх часто відносять до позиційних систем числення. Основою змішаної системи є послідовність чисел, що зростає, і кожне число x представляється як лінійна комбінація: , де на коефіцієнти (цифри) накладаються деякі обмеження.
Якщо для деякого b, то змішана система збігається з b-основною системою числення.
7
Змішані системи числення
Найвідомішим прикладом змішаної системи числення є представлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин і секунд. При цьому величина d днів h годин m хвилин s секунд відповідає значенню секунд.
Інші змішані СЧ
СЧ Фібоначчі
Факторіальна СЧ
Біноміальна СЧ
СЧ Майя
8
Позиційні системи числення
Система числення називається позиційною, якщо під час запису числа одна і таж цифра має різне значення, яке визначається місцем (позицією), на якому вона знаходиться.
У позиційній системі для запису числа використовується обмежена кількість знаків – цифр, яка визначає назву системи числення і називається її основою.
Максимальна кількість різних цифр, використовуваних для запису чисел у позиційній системі числення, називається основою системи числення.
У всіх системах числення крім десяткової знаки читаються по одному. Наприклад число 1012 вимовляється «один нуль один».
9
Позиційні СЧ
Десяткова Двійкова Вісімкова Шістнадцяткова
10
Десяткова система числення
Десяткова система числення — це позиційна система числення із основою 10. Запис числа формується за загальним принципом: на n-й позиції (справа наліво від 0) стоїть цифра, що відповідає кількості n-х степенів десятки у цьому числі. Тобто, вага кожної цифри визначається положенням у числі.
Наприклад:
Дробова частина числа формується за таким самим принципом, тільки позиція цифри в дробовій частині відраховується від коми зліва направо починаючи з 1 і береться зі знаком "-".
Наприклад: .
Тобто ціле число x в десятковій системі числення представляється у вигляді кінцевої лінійної комбінації степенів числа 10: , де - це цілі числа, звані цифрами, що задовольняють нерівність .
11
Десяткова система числення
Арифметичні дії над десятковими числами проводяться за допомогою досить простих операцій, в основі яких лежать відомі кожному школяреві таблиці множення й додавання, а також правило переносу: якщо в результаті додавання двох цифр виходить число, яке більше або рівно 10, то воно записується за допомогою декількох цифр, що перебувають на сусідніх позиціях.
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 134 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 145 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 156 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 167 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 178 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 189 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1910 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90100
12
Двійкова система числення
Двійкова система числення використовує для запису чисел тільки два символи, зазвичай 0 (нуль) та 1 (одиницю), та є позиційною системою числення, база якої дорівнює двом. Завдяки тому, що таку систему доволі просто використовувати у електричних схемах, двійкова система отримала широке розповсюдження у світі обчислювальних пристроїв.
Лічити у двійковій системі не складніше, ніж у будь-якій іншій. Скажімо, у десятковій системі, коли число у поточному розряді сягає десяти, то розряд обнуляється і одиниця додається до старшого. Наприклад: 9+1=10, 44+7=51. Аналогічним чином у двійковій системі: коли число в розряді сягає двох - розряд обнуляється і одиниця додається до старшого розряду.
Віднімання відбувається по такому ж принципу як і в десятковій системі числення, тобто позичаючи із страшого розряду, коли на даному розряді значення вичерпалось. Правила множення теж не змінились.
Додавання
Віднімання Множення0 + 0 = 0 0 – 0 = 0 0 0 = 0х0 + 1 = 1 10 – 1 = 1 0 1 = 0х1 + 0 = 1 1 – 0 = 1 1 0 = 0х1 + 1 = 10 1 – 1 = 0 1 1 = 1х
13
Двійкова система числення
У двійковій системі числення відсутні такі поняття, як «дріб» і «від’ємні числа», тому в двійкову систему числення з десяткової можна перевести тільки натуральні числа й нуль. Від’ємні двійкові числа позначаються так само як і десяткові: знаком «-» перед числом. Однак в обчислювальній техніці прийнято угоду про записи негативних двійкових чисел в додатковому коді, що може вносити плутанину. Наприклад число може бути записано як але в комп'ютері буде зберігатися як 111111111111111111111111111110112.
Алгебраїчне представлення двійкових чисел:
14
Вісімкова система числення
Вісімкова система числення — позиційна цілочисельна система числення з основою 8. Для представлення чисел в ній використовуються цифри 0 до 7.
Вісімкова система часто використовується в галузях, пов'язаних з цифровими пристроями. Характеризується легким переводом вісімкових чисел у двійкові і назад, шляхом заміни вісімкових чисел на триплети двійкових. Раніше широко використовувалася в програмуванні і взагалі комп'ютерної документації, проте в наш час майже повністю витіснена шістнадцятковою. У вісімковій системі вказуються права доступу для команди chmod в Unix-подібних операційних системах.
15
Шістнадцяткова система числення
Шістнадцяткова система числення — це позиційна система числення, кожне число в якій записується за допомогою 16-ти символів. Цю систему часто називають також Hex (початкові літери англ. hexadecimal - шіснадцятковий). Спочатку планувалось вживати латинське sexa замість hexa, проте це слово сприймалось неоднозначно. Для запису чисел в цій системі окрім 10 арабських цифр (від 0 до 9) використовують 6 літер латинської абетки: A, B, C, D, E, F.
Запис числа формується за загальним принципом: на n-й позиції (справа наліво від 0) стоїть цифра, що відповідає кількості n-х степенів шістнадцяти у цьому числі.
Шістнадцяткова система числення широко вживана в інформатиці, оскільки значення кожного байту можна записати у вигляді двох цифр шістнадцяткової системи. Таким чином значення послідовних байтів можна представити у вигляді списку двозначних чисел. В той же час запис 4 бітів можна представити однією шістнадцятковою цифрою.
16
Шістнадцяткова система числення
В математиці числа в недесяткових системах позначуються нижнім індексом, що визначає основу позиції. Наприклад, 1016 = 1610. В інформатиці прийняті інші форми запису. В різних мовах програмування шістнадцятковий запис виглядає так:
• C, C++, Java — використовують префікс 0x (нуль та ікс) напр. 0x102f, а в текстових послідовностях \x, напр. «\x2f»
• Деякі версії Асемблера — за числом ставлять h, напр.102fh. При цьому, якщо число починається не з десяткової цифри, то спереду ставиться «0» (нуль): 0FFh (25510)
• Інші асемблери (AT&T, Motorola), а також Паскаль і деякі версії Бейсіку використовують префікс $, напр. $102f
• Інші версії Бейсіку використовують для позначення шістнадкових цифр комбінацію «&h». Наприклад, &h5A3.
• HTML — кольори RGB (Red — Червоний, Green — Зелений, Blue — Синій) записується як 3 двозначні числа hex від 0 до FF(25510) з попереднім знаком #, наприклад рожевий — #FF8080, сірий — #808080, чорний — #000000. Цей запис стосується 24-бітного кольору, який приписують тому чи іншому графічному елементу документу HTML.
Конвертація чисел з однієї системи числення в іншу
2
18
10 СЧ 2 СЧ 8 СЧ 16 СЧ
00 00000 00 0001 00001 01 0102 00010 02 0203 00011 03 0304 00100 04 0405 00101 05 0506 00110 06 0607 00111 07 0708 01000 10 0809 01001 11 0910 01010 12 0A11 01011 13 0B12 01100 14 0C13 01101 15 0D14 01110 16 0E15 01111 17 0F16 10000 20 1017 10001 21 1118 10010 22 1219 10011 23 1320 10100 24 14
19
Переведення з десяткової системи в інші
Переведення цілого числа з десяткової системи числення у будь-яку іншу здійснюється шляхом послідовного ділення числа на основу нової системи числення. Ділення виконується до тих пір, поки остання частка не стане менше дільника. Отримані остачі від ділення, взяті у зворотному порядку, будуть значеннями розрядів числа в новій системі числення. Остання частка дає старшу цифру числа.
24 2
24 12 2
0 12 6 2
0 6 3 2
0 2 1
1 0
2410=110002 1
143 8
136 17 8
7 16 2
1 0
2
14310=2178
687 16
672 42 16
15 32 2
F 10 0
A 2
68710=2AF16
20
Переведення з десяткової системи в інші
Для переведення правильного дробу з десяткової системи числення у будь-яку іншу потрібно помножити заданий дріб на основу нової системи числення. Отримана ціла частина добутку буде першою цифрою після коми дробу в новій системі числення. Далі по черзі множаться дробові частини добутків на основу нової системи. Отримані цілі частини добутків будуть цифрами дробу у новій системі числення. Цей процес продовжують до тих пір, поки не буде знайдено число із заданою точністю.
Для переведення змішаного числа з десяткової системи числення в іншу необхідну окремо перевести цілу й дробову частини за вказаними правилами, а потім об'єднати результати у змішане число.
0,12510=0,2160, 125 162 000 0,12510=0,001
20, 125 20 250 20 500 21 000
0,12510=0,180, 125 81 000
21
Переведення чисел із будь-якої системи числення в десяткову
Для переведення чисел із будь-якої системи числення в десяткову необхідно це число представити у вигляді полінома і розкрити всі члени полінома в десятковій системі числення.
Приклади:
• ;
• ;
• .
22
Інші переведення Для переведення вісімкового числа в двійкове необхідно замінити кожну цифру вісімкового числа на триплет двійкових цифр. Наприклад: 25418=[28|58|48|18]=[0102|1012|1002|0012]=0101011000012.
Для переведення багатозначного двійкового числа в шістнадцяткову систему потрібно розбити його на тетради зліва направо і замінити кожну тет-раду відповідною шістнадцятковою цифрою. Для переведення числа з шістнадцяткової системи в двійкову потрібно замінити кожну його цифру на від-повідну тетраду з наведеної вище таблиці перекладу. Наприклад: 0101101000112 =[01012|10102|00112]=5A316.
23
Інші переведення Для того, щоб перетворювати числа з двійкової в десяткову систему методом Горнера, треба підсумувати цифри зліва направо, множачи раніше отриманий результат на основу системи (в даному випадку 2). Методом Горнера зазвичай перекладають з двійкової в десяткову систему. Зворотна операція важча, адже вимагає навичок додавання і множення в двійковій системі числення.
Наприклад, двійкове число 10110112 переводиться в десяткову систему так: 02+1=1; 12+0=2; 22+1=5; 52+1=11; 112+0=22; 222+ 1=45; 452+1=9110.
Застосування систем числення в комп’ютерах
3
25
Непозиційні системи числення не придатні для застосування в комп’ютерах, у силу своєї громіздкості й складності виконання арифметичних операцій, а при виборі позиційної системи числення необхідно враховувати наступні фактори:
1) Наявність фізичних елементів, здатних зобразити символи системи числення;
2) Економічність системи числення, тобто кількість фізичних елементів, необхідних для подання багато розрядних чисел;
3) Трудомісткість виконання арифметичних операцій;
4) Швидкодія комп’ютера;
5) Наявність формального математичного апарата для аналізу й синтезу обчислювальних пристроїв;
6) Зручність роботи людини з машиною;
7) Найбільшу завадостійкість кодування цифр.
За сукупністю цих критеріїв найбільш придатною знову виявляється двійкова система числення, і як відзначалося раніше, за допомогою дискретизації і найпростіших еквівалентних перетворень будь-яку інформацію можна представити у двійковому цифровому виді. Таким чином, двійкова система числення є основною системою числення, у якій виконуються всі арифметичні й логічні перетворення інформації в комп’ютерах.
Поряд із двійковою системою числення для більше короткого й зручного запису двійкових кодів машинних команд при складанні програм використовуються вісімкова й шістнадцяткова системи числення.
Подання даних в комп’ютерах
4
27
Двійковий розряд (0 або 1) призначений для зберігання значення однієї цифри двійкового числа називається бітом. Група сусідніх двійкових розрядів називається складом. Група з 8 сусідніх двійкових розрядів, тобто 8-бітний склад, називається байтом.
Машинне слово – склад, що може бути зчитаний або записаний в оперативну пам'ять комп’ютера за одне звертання до неї.
У більшості сучасних комп’ютерів використовуються наступні машинні слова:
• байт = 8 біт;
• слово = 2 байти = 16 біт;
• подвійне слово = 2 слова = 4 байти = 32 біта;
• зчетверене слово = два подвійних слова = 4 слова = 8 байтів = 64 біта.
Машинні слова складають множину апаратно підтримуваних типів даних, які може обробляти комп’ютер. «Апаратно підтримувані» означає те, що послідовності біт об’єднані у машинні слова зазначеної вище довжини, можуть брати участь у якості операндів в операціях виконуваних комп’ютером. Про те, що позначають оброблювані послідовності біт, комп’ютер не здогадується і йому це байдуже.
28
Об’єднання послідовності біт/байт у машинні слова пов’язане з такими поняттями як ширина розрядної сітки і діапазон подання. Під розрядною сіткою комп’ютера розуміють кількість розрядів, необхідних для розміщення в осередках оперативної пам'яті повного машинного слова.
Для кожного типу комп’ютера розрядна сітка має певно визначену кількість розрядів (ширину) і є однієї з найважливіших характеристик комп’ютера. Ширина розрядної сітки співпадає з розрядністю одного з вище розглянутих машинних слів і її фіксована ширина накладає обмеження на діапазон подання чисел, що обумовлює особливості комп’ютерної арифметики такі як похибки подання чисел, поняття машинного нуля, переповнення розрядної сітки, тощо.
Під машинним поданням числа розуміють спосіб (структуру, порядок) розміщення бітів числа в розрядній сітці комп’ютера.
Діапазоном подання чисел називають відношення максимально та мінімально можливих для даного подання абсолютних значень чисел. Число, абсолютне значення якого менше мінімального машинного слова для даного подання називають машинним нулем. Таке число буде записано в розрядну сітку комп’ютера у вигляді 0, тому що для його подання не вистачає довжини розрядної сітки, хоча воно насправді і не дорівнює 0.
Якщо число, отримане в результаті обчислень перевищує за абсолютним значенням максимальне машинне слово для заданого подання, то відбувається так називане переповнення розрядної сітки комп’ютера.
29
Об’єднання послідовності біт/байт у машинні слова пов’язане з такими поняттями як ширина розрядної сітки і діапазон подання. Під розрядною сіткою комп’ютера розуміють кількість розрядів, необхідних для розміщення в осередках оперативної пам'яті повного машинного слова.
Для кожного типу комп’ютера розрядна сітка має певно визначену кількість розрядів (ширину) і є однієї з найважливіших характеристик комп’ютера. Ширина розрядної сітки співпадає з розрядністю одного з вище розглянутих машинних слів і її фіксована ширина накладає обмеження на діапазон подання чисел, що обумовлює особливості комп’ютерної арифметики такі як похибки подання чисел, поняття машинного нуля, переповнення розрядної сітки, тощо.
Під машинним поданням числа розуміють спосіб (структуру, порядок) розміщення бітів числа в розрядній сітці комп’ютера.
Діапазоном подання чисел називають відношення максимально та мінімально можливих для даного подання абсолютних значень чисел. Число, абсолютне значення якого менше мінімального машинного слова для даного подання називають машинним нулем. Таке число буде записано в розрядну сітку комп’ютера у вигляді 0, тому що для його подання не вистачає довжини розрядної сітки, хоча воно насправді і не дорівнює 0.
Якщо число, отримане в результаті обчислень перевищує за абсолютним значенням максимальне машинне слово для заданого подання, то відбувається так називане переповнення розрядної сітки комп’ютера.
30
Існують три форми подання чисел: природна, з фіксованою комою, із плаваючою комою. Подання чисел у природній формі не знайшло широкого застосування в комп’ютерах у зв'язку з необхідністю додаткового устаткування для забезпечення вказівки положення коми в кожному з розрядів, ускладненням арифметичних пристроїв і труднощами оперування з дуже великими або дуже малими числами.
Для подання символьної інформації в комп’ютерах використовують спеціальні кодові таблиці, в яких значенню кожного числа ставиться у відповідність зображення певного символу. Традиційно для кодування чисел використовувалися переважно 8 бітні двійкові числа. Одного байта достатньо для подання 256 символів.
ASCII (Американський стандартний код для інформаційного обміну – англ. American Standard Code for Information Interchange) в обчислювальній техніці це система кодів, у якій числа (від 0 до 127) поставлені в відповідність літерам, цифрам і символам пунктуації.
31
Windows-1251 (також вживаються назви Win1251, CP1251) – кодування, що є стандартним 8-бітним кодуванням для всіх локалізованих українських і російських версій Microsoft Windows. Характерною рисою Windows-1251 є наявність практично всіх символів, що використовуються в слов'янській кириличній писемності для звичайного тексту. Windows-1251 містить всі символи для російської, української, біло-руської, сербської і болгарської мов.
32
Windows-1251 (також вживаються назви Win1251, CP1251) – кодування, що є стандартним 8-бітним кодуванням для всіх локалізованих українських і російських версій Microsoft Windows. Характерною рисою Windows-1251 є наявність практично всіх символів, що використовуються в слов'янській кириличній писемності для звичайного тексту. Windows-1251 містить всі символи для російської, української, біло-руської, сербської і болгарської мов.
Кількість інформації і обсяг інформації
5
34
Біт є однієї з одиниць кількості інформації, що використовується в теорії інформації згідно із двійковою комбінаторною мірою Хартлі, але варто розрізняти поняття обсяг інформації й кількість інформації.
Кількість інформації це її внутрішня властивість, що не залежить від способу її збереження й передачі. Довжина повідомлення для передачі однієї й той самої кількості інформації, загалом кажучи, може бути відмінною.
1 Кбайт (1 кілобайт) = 210 байт = 1024 байт;
1 Мбайт (1 мегабайт) = 220 байт = (210)10 байт = 210•210 байт = 1024 Кбайт = 1024х1024 байт;
1 Гбайт (1 гігабайт) = 230 байт = ((210)10)10 байт = 210•((210)10) байт = 1024 Мбайта = 1024х1024 Кбайта = 1024х1024х1024 байта;
1 Тбайт (1 терабайт) = 240 байт = (((210)10)10)10 байт = 1024 Гбайта = 1024х1024 Мбайта = 1024х1024х1024 Кбайта = 1024х1024х1024х1024 байта;
На сучасному етапі розвитку засобів обчислювальної техніки ще більші одиниці, такі як 1 Пбайт (петабайт) = 250 байт, 1 Ебайт (ексабайт) = 260 байт, 1 Збайт (зетабайт) = 270 байт поки не знайшли широкого розповсюдження.
35
Міжнародна електротехнічна комісія у 1999 році увела стандарт МЕК 60027-2, який отримав міжнародне затвердження і яким регламентується використання для позначення величин кратних 210 двійкових префіксів кібі-, мебі-, гібі-, тебі-, пебі- ексбі-, зебі- і відповідних позначень КіБ (210), МіБ (220), ГіБ (230), ТіБ (240), ПіБ (250), ЕіБ (260), ЗіБ (270).
В нашій державі визначені стандартом МЕК 60027-2 позначення поки що майже не використовуються. Згідно із стандартом МЕК позначення KB, MB, GB, TB, PB, EB, ZB використовується для десяткових одиниць, а KiB, MiB, GiB, TiB, PiB, EiB, ZiB – для двійкових, однак маркування комп’ютерних комплектуючих закордонними виробниками виглядає неоднозначно.
Для компакт-дисків (англ. Compact Disc Read Only Memory, CD-ROM) маркування «700 MB» позначає насправді двійкові мегабайти, тобто MiB. В той самий час для DVD (англ. Digital Versatile Disc або Digital Video Disc) маркування «4,7 GB» дійсно відповідає десятковим одиницям.
Кодування двійкових чисел використовуване в комп’ютерах
6
37
Спосіб розміщення числа в розрядній сітці комп'ютера визначається як формою подання, так і способом кодування числа. Для кодування чисел у комп'ютерах використовують прямий, зворотний і додатковий коди. Введення кодування пов'язане з необхідністю розрізняти позитивні й негативні числа, а друга, і найбільш важлива причина введення кодування полягає в тому, що воно значно спрощує реалізацію арифметично-логічних блоків, за рахунок можливості виконання операції вирахування (і як наслідок операцій порівняння) шляхом додавання чисел у зворотному або додатковому коді як .
Для утворення прямого коду двійкового числа, потрібно зберігаючи його числові розряди закодувати старший (знаковий) розряд. Знак плюс кодується символом 0, знак мінус – символом 1.
Приклад:
а) А = + 11010 Апр = 0,11010 Апрбайт = 0,0011010
б) А = – 10101 Апр = 1,10101 Апрбайт = 1,0010101
в) А= + 0,00110 Апр = 0,00110 Апрбайт = 0,0011000
г) А= – 0,10110 Апр = 1,10110 Апрбайт = 0,1011000
Арифметичні дії над числами за допомогою комп’ютера
7
39
Операції множення та ділення чисел з фіксованою комою зводяться до виконання послідовності операцій додавання і, відповідно, вирахування за алгоритмами, схожими на звичні алгоритми «у стовпчик».
При розробці електронних схем комп’ютера призначених для виконання операцій додавання і вирахування найбільш просто апаратній реалізації підлягає операція додавання. Апаратна реалізація операції вирахування значно ускладнюється врахуванням займу в розрядах числа, і саме тому виконання операції вирахування зводиться до додавання чисел у зворотному або додатковому коді як .
Таким чином, виконання будь-якої арифметичної операції в комп’ютері може бути зведено до виконання операцій додавання чисел з фіксованою комою в різних кодуваннях і може бути апаратно реалізовано на основі електронної схеми яку називають суматором, і яка є основою побудови арифметичного пристрою комп’ютера.
Виконання арифметичних операцій додавання двійкових чисел представлених у різних кодах можна розглядати як на прикладі чисел з фіксованою після старшого розряду комою, так і на прикладі чисел з фіксованою після молодшого розряду комою. Арифметичні операції в цих випадках відрізняються тільки інтерпретацією цифрових розрядів результату.
Дякую за увагу
40
