1

Інтегральне Інтегральне числення. числення.

Диференціальні Диференціальні рівняння.рівняння.

2

ЗМІСТ• Невизначений інтеграл. • Властивості невизначеного інтеграла.

Визначений інтеграл.• Формула Ньютона-Лейбніца. • Властивості визначеного інтеграла.• Основні поняття теорії

диференціальних рівнянь.

3

Невизначений інтеграл, його властивості і обчислення

Означення. Функція F(x) називається первісною функції f(x) на деякому проміжку, якщо для кожного х з цього проміжкуНаприклад функція cosx являється первісною для функції – sinx, тому що

)()( xfxF

xx sin)(cos

4

Первісна та невизначений інтеграл

Очевидно, якщо F(x) – первісна функції f(x), то , де С –деяка постійна, також являється первісною для функції f(x). Якщо F(x) є будь – яка первісна для функції f(x), то всяка функція виду Ф(х)= також являється первісною для функції f(x)

5

Первісна та невизначений інтеграл

Означення. Сукупність всіх первісних функції f(x),визначених на деякому проміжку, називається невизначеним інтегралом від функції f(x) на цьому проміжку і позначається

dxxf )(

6

Первісна та невизначений інтеграл

Якщо F(x) – деяка первісна для функції f(x), то пишуть = , хоча логічніше писати = . Ми по існуючих правилах будемо писати

= . Таким чином один і той же символ буде визначати як всю сукупність первісних функції f(x), так і будь – який елемент цієї множини

dxxf )( CxF )(

dxxf )( CxF )(

dxxf )( CxF )(

dxxf )(

7

Властивості інтеграла, котрі випливають з означення

Первісна невизначеного інтегралу рівна підінтегральній функції, а його диференціал – його підінтегральному виразу. Тобто:

.)())(()(.2

);()())(())(.(1

dxxfdxdxxfdxxfd

xfxFCxFdxxf

8

Властивості інтеграла, котрі випливають з означення

Невизначений інтеграл від неперервно диференційованої функції дорівнює самій цій функції з точністю до постійної.

Так як являється первісною для

,)()()( Cxdxxxd

)(х )(х

9

Властивості інтегралу

10

Таблиця невизначених інтегралів

1. Cxdx . 6. Cxxdx cossin .

2. )1(,1

1

aCaxdxx

aa . 7. Cxxdx sincos .

3. Cxx

dx ln . 8. Cctgxx

dx2sin

.

4. Ca

adxax

x

ln. 9. Ctgx

xdx

2cos.

5. Cedxe xx . 10.

Carctgxx

dx21

.

11

Таблиця невизначених інтегралів

11.

Cxx

dx arcsin1 2

. 16. Caxxax

dx

2

2ln .

12.

Caxarctg

axadx 1

22. 17. Cchxshxdx .

13.

Cax

xa

dx arcsin22

.. 18. Cshxchxdx .

14. Caxax

aaxdx

ln

21

22 19. Cthx

xchdx

2.

15. Cxaxa

axadx

ln

21

22. 20. Ccthx

xshdx

2.

12

Методи інтегрування

• Метод інтегрування заміни змінної.

• Метод інтегрування по частинах.• Метод безпосереднього

інтегрування

13

Метод інтегрування заміни змінної.

Нехай потрібно знайти , причому безпосередньо підібрати первісну для ми не можемо, але нам відомо, що вона існує. Часто вдається найти первісну, ввівши нову змінну, по формулі:

де , а - нова змінна

dxxf )(

)(xf

dttdxxf t 1)()( )(tx t

14

Метод інтегрування по частинах.

Цей метод заснований на формулі:

vduuvudv

15

Метод безпосереднього інтегрування

Приклад. Обчислити dxххх )13( 32

16

Визначений інтеграл.

Означення. Вираз , де , називається інтегральною

сумою функції на відрізку

i

n

ii xxf

)(1

1 iii xxx

)(xf .,ba

17

Визначений інтеграл.

Означення. Якщо існує , яка не залежить ні від способу розбиття відрізку на частини, ні від вибору точок , то така границя називається визначеним інтегралом функції на відрізку і позначається

i

n

iix

xxfi

)(lim

10max

ba, iii xxx ,1

)(xf ba,

b

a

dxxf )(

18

Властивості визначеного інтегралу

1. a

adxxf 0 ;

2. b

aabdx ;

3. b

a

a

bdxxfdxxf ;

4. b

a

b

a

b

adxxfdxxfdxxfxf 2121 ;

19

Властивості визначеного інтегралу

5. b

a

b

adxxfKdxxKf ;

6. b

a

c

a

b

cdxxfdxxfdxxf ;

7. b

adxxf 0 , если 0xf .

20

Обчислення визначеного інтегралу

Теорема. Нехай - первісна функції Тоді

Цю формулу називають формулою Ньютона – Лейбніца, з якої випливає, що для обчислення визначеного інтегралу необхідно знайти первісну від підінтегральної функції.

)(xF )(xf

b

a

aFbFdxxf )()()(

21

Визначення диференціального рівняння

Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв'язує незалежну змінну х , шукану функцію )(xfу і похідні цієї функції

nyyyу ,, , тобто рівняння виду: 0),,,,( nyyyyyxF . (1)

22

Диференціальні рівняння типу ).(xfу

Запишемо це рівняння у такому вигляді:

)(xfdxdy

; dxxfdy )( .

Загальний розв'язок шукатимемо методом інтегрування:

cxFdxxfy )()( .

23

Запишимо це рівняння у такому вигляді:

Диференціальні рівняння типу )(yfу .

dxyf

dy

)()(yfdxdy

Загальний розвязок має такий вигляд:

CxyFyf

dy )(

)(

24

Диференціальні рівняння типу:

Називається диференціальне рівняння з розділеними змінними.

Загальний розв'язок такого рівняння

знаходиться за допомогою методу інтегрування:

0)()( dyydxxf

Cdyydxxf )()(

25

Це рівняння можна привести до рівняння типу

Диференціальні рівняння типу:0)()()()( dyyfxdxyxf

0)()( dyydxxf

)()( хy поділивши на

0)()(

)()(

dxyyf

dxxxf

Cdxyyf

dxxxf

)(

)()()(

отримуємо

26

Закон розмноження бактерій.

Швидкість поділу бактерій dtdN

пропорційна до кількості бактерій N у даний момент часу t . Диференціальне рівняння закону розмноження має такий вигляд:

kNdtdN

,

де k — коефіцієнт розмноження. Інтегральний закон розмноження бактерій описується такою формулою:

kteNN0

, де

00 NtN .

27

Закон розчинення лікарської речовини з таблетки.

Якщо швидкість розчинення

лікарської речовини з таблетки dtdm

пропорційна до кількості лікарської речовини у таблетці m , то

kmdtdm

,

де k — стала швидкості розчинення. Закон розчинення лікарської речовини з урахуванням початкової умови

00 mtm описується такою формулою:

ktemm 0

.

28

Хімічні реакції першого порядку: А продукт реакції.

Нехай при 0t початкова концентрація речовини А дорівнює а , за час t концентрація речовини А стане xa . Кінетика хімічних реакцій першого порядку описується таким диференційним рівнянням:

xakdtdx

1

,

де 1

k — константа швидкості реакції першого порядку. Розв’язок цього диференційного рівняння записуємо у такому вигляді:

tkeax 11 .

29

Хімічні реакції другого порядку: А+В продукт реакції.

Нехай а — початкова концентрація речовини А; в — початкова концентрація речовини В при 0t . За час t відповідні концентрації стануть такими: xa та xв . Кінетика хімічних реакцій другого порядку описується таким диференціяльним рівнянням:

xвxakdtdx

2

,

де 2

k — константа швидкості хімічної реакції другого порядку.

30

Якщо вa , то розв’язок даного рівняння має такий вигляд:

atk

ax2

111 .

Якщо вa , то розв’язок даного рівняння записуємо так:

aвeeaвx

tkaв

tkaв

2

2 1 .

31

Диференціальне рівняння однокамерної лінійної фармакокінетично моделі має такий вигляд:

Mkdt

dMel

,

де el

k — константа елімінації . Інтегральне рівняння однокамерної лінійної фармакокінетичної моделі записують так:

tkeleMM 0

, де M — маса препарату у камері в момент часу 0t .

32

Якщо V — об’єм камери, то масу препарату визначають через концентрацію: cVM . Тоді інтегральне рівняння для концентрації має такий вигляд:

tkelectc 0

. Елімінацію (виведення) біологічно активних речовин з організму на практиці визначають за зменшенням їхньої концентрації у крові. Кров є основною тест-тканиною .

33

• Константа елімінації є важливою суб’єктивною характеристикою організму. На рис.1 зображено залежності логарифмів концентрації даного препарату від часу у двох суб’єктів з однаковими початковими концентраціями, але

21 elelkk

34

Рис.1 Залежності логарифмів концентрації даного препарату від часу у двох суб’єктів з однаковими початковими концентраціями.

35

• Однокамерна лінійна модель є адекватна для багатьох лікарських препаратів, введених у кров ін’єкцією. Рівномірний розподіл забезпечується циркуляцією крові упродовж кількох хвилин, а період напіввиведення вимірюється здебільшого годинами.

36

Однокамерна лінійна фармакокінетична модель зі

всмоктуванням.• У попередній моделі передбачалося

швидке надходження у камеру та рівномірний розподіл усієї порції лікарської речовини. Розгляньмо поступове надходження (всмоктування) препарату) у камеру з деякою депо. Таку модель можна зобразити у такому схематичному вигляді, як показано на малюнкові.

37

Депо Камера1k

elk

Рис.2 Однокамерна лінійна фармакокінетична модель зі всмоктуванням.

38

Всмоктування препарату з депо у камеру та його елімінацію з камери моделюємо лінійною кінетикою. Система диференціальних рівнянь однокамерної лінійної моделі зі всмоктуванням має такий вигляд:

;

,

11

11

1

MkMkdt

dM

Mkdt

dM

el

де 1

m — маса препарату у депо у момент часу t; М — маса препарату у камері у момент часу t .

39