ВИЩА МАТЕМАТИКАep3.nuwm.edu.ua/4536/1/Вища_математика_1... · 2016-09-28 · Диференціальне числення ... розв’язання

Міністерство освіти і науки України

Національний університет водного господарства

та природокористування

О.Л. Брушковський

ВИЩА МАТЕМАТИКАЕлементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.

Вступ в математичний аналіз. Диференціальне числення

функції однієї змінної

Частина І

Інтерактивний комплекс

навчальнометодичного забезпечення дисципліни

Кредитномодульна система

організації навчального процесу

Для студентів напряму підготовки 6.060101 “Будівництво”

Рівне 2008

1

УДК 510.6 (073)

ББК 22.11 (Я76)

Б 89

Затверджено вченою радою Національного університету водного

господарства та природокористування

(Протокол №8 від 27 червня 2008 р.)

Рецензенти:

Мізюк В.Г., кандидат фізикоматематичних наук, доцент Національного

університету водного господарства та природокористування;

Гордієнко І.З., кандидат технічних наук, доцент Національного універси

тету водного господарства та природокористування.

Брушковський О.Л.

Б 89 Вища математика. Елементи лінійної алгебри та аналітичної гео

метрії. Вступ в математичний аналіз. Диференціальне числення функції однієї змінної. Частина І. Інтерактивний комплекс навчальнометодичного

забезпечення — Рівне: НУВГП, 2008. 148 с.

Інтерактивний комплекс навчальнометодичного забезпечення

дисципліни “Вища математика” містить загальний інформативний блок,

тематичний план та розподіл навчального часу за структурою дисципліни,

робочу програму, методичні рекомендації до вивчення курсу, питання для

самоконтролю по окремих блоках робочої програми, зразки модульних

контрольних робіт, методичні поради і завдання до виконання модульних

контрольних робіт, завдання для індивідуальної роботи по окремих

розділах, тексти контрольних робіт для студентів заочної форми навчання,

методичні поради до їх виконання, питання і тестові завдання для

підготовки до іспитів та список рекомендованої літератури. Для студентів І курсу напряму підготовки 6.060101 “Будівництво” (І семестр).

УДК 510.6 (073)

ББК 22.11 (Я76)

© Брушковський О.Л., 2008

© Національний університет водного господарства та природокористування, 2008

2

Передмова

Кредитномодульна система передбачає прищеплення студентам

вищих навчальних закладів навичок самостійної роботи над

матеріалом робочої програми, роботи з науковою і методичною

літературою. Впровадження такої системи сприятиме входженню

України до єдиного європейського простору освіти.

Інтерактивний комплекс навчальнометодичного забезпечення

загального курсу “Вища математика” допоможе студенту

будівельних спеціальностей різних форм навчання глибше засвоїти

основні положення цієї дисципліни, що дає можливість перейти до

вивчення спеціальних курсів математики, які містять сучасні методи

аналізу і орієнтовані на застосування математичних методів до

розв'язання прикладних і наукових задач.

1. Загальна інформація (інформативний блок)

1.1. Анотація курсу

Денна форма навчання

Призначення: підго

товка бакалаврівНапрям, спеціаль

ність, освітньо

кваліфікаційний

рівень

Характеристика навчальної дисципліни

1 2 3

Кількість

кредитів,відповідних ECTS –16,5

Модулів –8

Змістових модулів –

12

Типових

розрахунків – 0

Напрям: 6.060101

“Будівництво”

Освітньо


рівень – бакалавр.

Термін навчання – 4

роки

Обов'язкова,

нормативна.

Рік підготовки: 1,2

Семестри: 1,2,3,4.

Лекції: 138 год.

Практичні: 132 год.

Самостійна робота:

324 год.

3

1 2 3

Загальна кількість

годин 594

Тижневих годин:

аудиторних – 4

Самостійної роботи – 6

Типові розрахунки:

Індивідуальна

робота: за потребою.

Види контролю:

1й семестр – іспит2й семестр – іспит3й семестр – залік4й семестр – іспит

Заочна форма навчання





рівень

Характеристика навчальної дисципліни

1 2 3

Кількість

кредитів,відповідних

ECTS –16,5

Модулів – 8


12

Контрольні роботи: 4

Напрям: 6.060101


Освітньо


рівень – бакалавр.


роки.



Рік підготовки: 1,2

Семестри: 1,2,3,4.



Самостійна робота:

546 год. семестр).

4

1 2 3


годин 594.


Самостійної роботи –

10.

Контрольні роботи:

КР1 «Елементи

лінійної алгебри та

аналітичної геомет

рії. Вступ в мате

матичний аналіз. Похідна та її засто

сування».

КР2 «Інтегральне

числення функції однієї змінної. Диференціальні рівняння».

КР3 «Диферен

ціальне числення

функції кількох

змінних.

Інтегральне

числення функції кількох змінних».

КР4 «Ряди.

Теорія

ймовірностей».


1й семестр – іспит2й семестр – іспит3й семестр – залік4й семестр –іспит

5

1.2. Мета і завдання вивчення курсу

В наш час математичні методи дослідження широко

використовуються для розв'язання наукових та прикладних задач.

Стрімкі темпи розвитку науки і техніки роблять недоцільною

підготовку спеціалістів, які орієнтовані на вирішення прикладних

задач конкретного рівня виробництва, бо через деякий час воно

може суттєво змінитись. Нові вимоги до математичної освіти

інженерів висувають на перший план задачі підвищення

фундаментальної математичної підготовки з одночасним

посиленням прикладної спрямованості курсу вищої математики.

Метою викладання навчальної дисципліни є:

розвиток логічного і алгоритмічного мислення;

оволодіння основними методами дослідження математичних задач;

вироблення вміння самостійно розширювати та поглиблювати

математичні знання і широко застосовувати математичні методи для

розв'язання прикладних задач.

В результаті вивчення курсу “Вища математика” студент повинен:

знати означення основних математичних понять, методи

розв’язання та дослідження рівнянь і їх систем, означення, формули

та методи розв'язання задач векторної алгебри і аналітичної геометрії, основні функції та їх графіки, теореми і формули

диференціального та інтегрального числення функції однієї та

декількох змінних, методи дослідження функцій, методи

інтегрування диференціальних рівнянь, елементи теорії поля,

методи дослідження рядів та їх застосування до наближених

обчислень, елементи теорії ймовірностей і математичної статистики;

вміти раціонально вибирати математичний апарат для

розв’язування поставленої задачі, складати і розв’язувати наукові та

інженерні задачі за своїм майбутнім фахом, користуватися

довідковою літературою і обчислювальною технікою.

6

2. Зміст навчальної дисципліни

2.1. Тематичний план та розподіл навчального часу за

структурою дисципліни

У відповідності до освітньопрофесійної програми підготовки по

напряму 6.060101 “Будівництво” на вивчення курсу “Вища

математика” передбачено 594 години ( 16,5 кредитів). Тематичний

план дисципліни має наступний вид.

Тематичний план дисципліни та розподілу навчального часу

№

з/п Змістові модуліРозподіл навчального часу

Всього Лекції Практичні заняття

Самостій-

на робота

1 2 3 4 5 6

1 Елементи лінійної алгебри

та аналітичної геометрії70/70 20/4 16/3 34/63

2 Вступ до математичного

аналізу. Диференціальне

числення функції однієї змінної

60/60 14/2 10/2 36/56

3 Дослідження функцій з допомогою похідних

32/32 8/4 4/1 20/27

4 Невизначений інтеграл 40/40 10/2 16/3 14/35

5 Визначений інтеграл 40/40 10/2 10/3 20/35

6 Звичайні диференціальні рівняння

55/55 10/2 10/2 35/51

7

1 2 3 4 5 6

7 Диференціальне числення

функцій кількох змінних30/30 8/4 8/2 14/26

8 Інтегральне числення

функцій кількох змінних75/75 18/4 18/2 39/69

9 Елементи теорії векторного

поля30/30 4/2 4/0 22/28

10 Ряди 60/60 12/0 12/2 36/58

11 Основи теорії ймовірностей 60/60 14/0 14/2 32/58

12 Основи математичної статистики

42/42 10/0 10/0 22/42

Всього 594/594 138/26 132/22 324/546

Зауваження. Тут і надалі в чисельнику – кількість годин для

денної форми навчання в знаменнику – для заочної форми навчання.

2.2. Структура програми курсу “Вища математика”

І СЕМЕСТРОпис предмета навчальної дисципліни

Денна форма навчання

Призначення: підго-

товка бакалаврівНапрям, спеціаль-

ність, освітньо-


рівень

Характеристика

навчальної дисципліни

1 2 3

Кількість кредитів,

відповідних

Напрям: 6.060101




8

1 2 3

ECTS4,5



3


годин – 162


аудиторних – 4

Самостійної роботи – 6

Освітньо


рівень – бакалавр

Рік підготовки: 1

Семестри: 1



Самостійна та

індивідуальна

робота: 90 год.

Вид контролю:

іспит.

Заочна форма навчання





рівень

Характеристика

навчальної дисципліни

1 2 3

Кількість

кредитів,відповідних

ECTS – 4,5



3

Напрям: 6.060101


Освітньо


рівень – бакалавр


нормативнаРік підготовки: 1

Семестри: 1.



9

1 2 3


годин 162


рокиСамостійна робота:

146 год. семестр).

Контрольні роботи:

КР1 «Елементи

лінійної алгебри та

аналітичної геомет

рії. Вступ в мате

матичний аналіз. Похідна та її засто

сування».


Ій семестр іспит

2.3. Робоча програмаЛекції

Змістовий модуль №1. Елементи лінійної алгебри та

аналітичної геометрії

Тема 1. Визначники і системи лінійних рівнянь

Визначники 2го і 3го порядків, їх властивості. Мінор і алгебраїчне доповнення. Розклад визначника. Поняття про

визначники вищих порядків.

10

Застосування визначників до розв’язування систем лінійних

алгебраїчних рівнянь з двома і трьома невідомими. Формули

Крамера. Однорідні системи двох і трьох лінійних рівнянь з трьома

невідомими.

Тема 2. Матриці

Матриці і їх види. Дії над матрицями. Обернена матриця.

Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь матричним

методом.

Тема 3. Вектори

Основні поняття. Лінійні операції над векторами. Базис на

площині і в просторі. Розклад вектора по базису. Скалярний,

векторний та мішаний добутки векторів, їх властивості та

застосування.

Тема 4. Аналітична геометрія

Найпростіші задачі аналітичної геометрії. Поняття про рівняння

лінії на площині. Полярна система координат. Пряма лінія на

площині, різні види її рівнянь. Перетин прямих. Відстань від точки

до прямої. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих.

Поняття про рівняння поверхні і лінії у просторі. Площина у

просторі, різні види її рівнянь. Перетин площин. Відстань від точки

до площини. Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин. Пряма лінія у просторі. Пряма і площина у просторі. Перетин прямої і площини.

Лінії другого порядку на площині: коло, еліпс, гіпербола,

парабола; їх канонічні рівняння та основні характеристики.

Поверхні другого порядку і їх канонічні рівняння.

11

Змістовий модуль №2. Вступ до математичного аналізу.

Диференціальне числення функції однієї змінної

Тема 5. Вступ до математичного аналізу

Поняття функції однієї змінної. Область визначення, множина

значень, способи задання і характеристики поведінки. Складна

функція. Основні елементарні функції. Границя змінної величини.

Границя функції. Границя послідовності. Односторонні границі. Необхідна і достатня умови існування границі функції. Нескінченно

малі функції і їх властивості. Основні теореми про границі Нескінченно великі функції, їх властивості і зв’язок з нескінченно

малими функціями. Порівняння нескінченно малих функцій. Перша і друга визначні границі. Неперервність функції в точці. Властивості функцій, неперервних в точці. Одностороння неперервність. Точки

розриву і їх класифікація. Неперервність функції на відрізку.

Властивості функцій, неперервних на відрізку.

Тема 6. Похідна і диференціал. Основні теореми диференціаль

ного числення. Поняття про функції декількох змінних і частинні похідні

Поняття похідної, її геометричний і механічний зміст. Рівняння

дотичної і нормалі. Поняття диференційованості функції. Диференційованість і неперервність. Основні правила

диференціювання функції однієї змінної. Похідна складної функції. Таблиця похідних

Похідні тригонометричних функцій. Похідна логарифмічної функції. Похідна оберненої функції. Логарифмічна похідна.

Гіперболічні функції та їх похідні. Похідні неявно і параметрично

заданих функцій.

Похідні вищих порядків. Механічний зміст другої похідної. Похідні другого порядку від функцій, заданих параметрично і

12

неявно. Поняття про функції декількох змінних і частинні похідні.

Диференціал функції. Інваріантність форми першого

диференціалу. Застосування диференціала до наближених

обчислень. Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя і його застосування.

Змістовий модуль №3. Дослідження функцій за допомогою

похідних

Тема 7. Дослідження функцій за допомогою похідних

Умови зростання і спадання функції. Екстремум функції. Необхідна і достатня умови екстремуму функції. Знаходження

найбільшого та найменшого значень неперервної на відрізку функції. Дослідження функції на опуклість і угнутість. Точки перегину.

Асимптоти графіка функції і їх знаходження. Загальна схема

дослідження функції і побудови її графіка.

Тема 8. Векторна функція скалярного аргументу Векторна функція скалярного аргументу. Годограф. Похідна

векторної функції скалярного аргументу. Її геометричний і механічний зміст. Рівняння дотичної прямої і нормальної площини

до просторової кривої. Довжина дуги, її похідна і диференціал. Кривина дуги. Радіус і

круг кривини. Еволюта і евольвента

Практичні заняття

№

п/п

Теми практичних занять Кількість годин

Денна

формаЗаочна

форма

1 Обчислення визначників 2-го і 3-го

порядків2

13

2 Застосування визначників до

розв’язування систем лінійних

алгебраїчних рівнянь з двома і трьома

невідомими. Формули Крамера.

Однорідні системи двох і трьох

лінійних рівнянь з трьома невідомими

2 1

3 Матриці і їх види. Дії над

матрицями. Обернена матриця.

Розв’язування систем лінійних

алгебраїчних рівнянь матричним

методом

2

4 Лінійні операції над векторами.

Скалярний добуток векторів, його

властивості, обчислення і застосування

2

5 Векторний та мішаний добутки

векторів, їх властивості, обчислення та

застосування. Найпростіші задачі аналітичної геометрії. Пряма лінія на

площині

1

1

1

6 Пряма лінія на площині. Площина в

просторі2 1

7 Пряма в просторі. Пряма і площина в

просторі 2

8 Лінії другого порядку на площині: коло, еліпс, гіпербола, парабола.

Поверхні другого порядку

2

14

9 Функція однієї змінної. Область

визначення, множина значень, способи

задання і характеристики поведінки.

Складна функція. Основні елементарні функції і їх графіки. Границі функції і послідовності. Обчислення границь

2

10 Перша і друга визначні границі. Порівняння нескінченно малих

функцій.

Неперервність функції в точці і на

відрізку. Точки розриву. Операції над

неперервними функціями

2 1

11 Похідна функції однієї змінної, її геометричний і механічний зміст.

Похідна складної функції. Табличне

диференціювання

2

12 Похідна оберненої функції. Лога

рифмічна похідна. Похідні неявно і параметрично заданих функцій

2

13 Похідні вищих порядків. Похідні другого порядку від функцій, заданих

параметрично і неявно. Диференціал

функції та його застосування до

наближених обчислень

2 1

14 Знаходження проміжків зростання і спадання функції. Дослідження

функції на екстремум. Знаходження

найбільшого та найменшого значень

неперервної на відрізку функції

2

15

15 Дослідження функції на опуклість і угнутість. Точки перегину. Асимптоти

графіка функції та їх знаходження.

Загальна схема дослідження функції

2 1

Всього: 30 6

Структура залікового кредиту

Назви тем, змістових модулів

Кількість годин

Лекцій Практич

нихСамос

тійна і індивідуальна

робота

Разом

Змістовий модуль №1.

Елементи лінійної алгебри та

аналітичної геометрії

20/4 16/3 34/63 70/70

Тема 1. 6/1 4/1 10/18 20/20

Тема 2. 2/1 2/0 6/9 10/10

Тема 3. 4/1 3/1 8/13 15/15

Тема 4. 8/1 7/1 10/23 25/25

Змістовий модуль №2. Вступ

до математичного аналізу.

Диференціальне числення

функції однієї змінної.

14/2 10/2 36/56 60/60

16

Тема 5. 6/1 4/1 20/28 30/30

Тема 6. 8/1 6/1 16/28 30/30

Змістовий модуль №3.

Дослідження функцій за допо-

могою похідних. Побудова

графіків.

8/4 4/1 20/27 32/32

Тема 7. 8/4 4/1 10/17 22/22

Тема 8. 10/10 10/10

Всього годин 42/10 30/6 90/146 162/162

Розподіл балів, що нараховуються студентам

Модуль 1 Підсум-

ковий

контроль

Сума

Змістовий модуль №1 Змістовий

модуль №2

Змістовий

модуль №3

20 (10+10) 20 (10 +10) 20 (10+10)

Т-1 Т-2 Т-3 Т-4 Т-5 Т-6 Т-7 Т-8

5 5 5 5 10 10 20 -

іспит

40 100

Додаткові бали (в кожному змістовому модулі – 10 б.):

- теорія: основні означення, формули і теореми - (3 б.);

- відвідування занять (2 б.);

- виконання домашніх завдань – (2б.);

- активність на занятті, вихід до дошки – (1 б.);

- виконання індивідуального завдання для підготовки до іспиту

(2 б.).

17

3. Методичні поради до вивчення курсу “Вищої математики”

При вивченні курсу “Вищої математики” студенти денної форми

навчання вивчають 12 змістових модулів ( по три змістових модулі в

семестрі), а студенти заочної форми навчання виконують 4

контрольні роботи (по одній контрольній роботі в кожному

семестрі). З робочої програми видно, що по семестрам відповідні розділи програми повністю узгоджені між собою, а кожна

контрольна семестрова робота заочників містить в собі матеріал 3

змістових модулів.

Семестр №

контрольної роботи ЗФ

Тема № змістовогомодуля

1 1 «Елементи лінійної ал

гебри та аналітичної геометрії. Вступ до мате

матичного аналізу. Похідна

та її застосування».

1, 2, 3

2 2 «Інтегральне числення

функції однієї змінної. Диференціальні рівнян

ня».

1,2, 3

3 3 «Диференціальне числен

ня функції кількох змін

них. Інтегральне числення

функції кількох змінних».

1,2, 3

4 4 «Ряди. Теорія

ймовірностей».

1,2,(3)

18

Отже студенти обох форм навчання повинні вивчати курс “Вищої математики” шляхом вивчення одних і тих же змістових модулів.

Крім того, контрольні роботи заочного факультету можуть бути

використані і для денної форми навчання в якості індивідуальних

завдань для одержання заохочувальних балів.

Аналіз видів підсумкового контролю обох форм навчання

показує, що екзаменаційні білети повинні бути складені для під

сумкового контролю 1го, 2го і 4го семестрів і використовуватись

у відповідності з видом підсумкового контролю для обох форм

навчання.

У третьому семестрі студенти як денної, так і заочної форм

навчання здають залік. На протязі семестру вони можуть набрати ло

100 балів включно. Залік студент отримує в тому випадку, якщо він

набрав не менше 60 балів на протязі семестру.

Основними формами роботи над вивченням курсу “Вищої математики є робота на лекціях, практичних заняттях і самостійна

робота студента над посібниками і підручниками. Для студентів

заочної форми навчання основною є самостійна робота. Не можна

вивчити курс вищої математики, користуючись тільки методичними

розробками і конспектом. Вони не можуть замінити повноцінні підручники з вищої математики, написані видатними математиками і педагогами, де всі теоретичні питання викладені у достатньому

обсязі. Настільними книгами як студента так і інженера повинні бути

сучасні довідники з математики. Слід пам'ятати, що загальний курс

вищої математики є лише фундаментом математичної освіти

інженера і науковця. Надмірне насичення курсу прикладними

задачами на цьому етапі може спричинити обернений ефект і суттєво

знизити рівень необхідної математичної підготовки спеціаліста.

Спеціальні курси математики (теорія функцій комплексної змінної, операційне числення, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, математична статистика) містять

сучасні методи аналізу і орієнтовані на застосування математичних

методів до розв'язання прикладних задач. При самостійній роботі

19

над матеріалом для кожного змістового модуля рекомендується

скласти конспект, в якому записано основні означення, формули і

теореми, а також приклади розв'язання типових задач. Слід звернути

особливу увагу на доведення теорем. Необхідно добиватися точного

уявлення в якому місці доведення використана кожна умова

теореми. Для кращого запам'ятовування формул семестрового курсу

їх можна виписувати на окремому великому аркуші. Такий метод з залученням зорової пам'яті приніс користь багатьом студентам.

Вивчення теоретичного матеріалу обов'язково повинно

супроводжуватись розв'язуванням прикладів і задач по даній

тематиці. При розв'язуванні задач потрібно обумовлювати кожний

етап розв'язку. Виробіть в себе звичку знаходити декілька шляхів

розв'язку задачі і вибирати з них оптимальний. Також намагайтесь

навчитись розв'язувати задачу в загальному випадку з виведенням

відповідної формули. І лише потім в одержану формулу

підставляйте числові значення. Для кращого засвоєння матеріалу в

кожному семестрі бажано виконувати типовий розрахунок (ТР).

Змістові модулі студентам денної форми навчання краще

виконувати в окремому зошиті для модульних контрольних робіт, а

контрольні роботи заочникам необхідно виконувати в окремих

зошитах з полями. Малюнки можна робити як олівцем так і чорнилом. Червоний колір не використовувати. Робота повинна бути

виконана охайно, розбірливим почерком. Якщо контрольна робота

студента заочної форми навчання не зарахована і має зауваження

рецензента, всі виправлення робити тому самому зошиті і повернути

виправлену контрольну на повторну рецензію. Контрольна робота

студентазаочника повинна бути захищена. На захисті студент

повинен виявити набуті теоретичні знання з відповідних розділів

програми і вміння розв'язувати будьяку задачу із своєї контрольної роботи. За правильне виконання контрольної роботи студенту

заочнику нараховується 36 балів, за захист цієї роботи і самостійні роботи на практичних заняттях зараховується ще 24 бали. До іспиту

і заліку допускаються тільки ті студенти, у яких контрольні роботи

зараховано. Теоретичні питання для підсумкових модулів

складаються з теоретичних питань до змістових модулів

20

відповідного семестру.

Таким чином на протязі семестру студент може набрати до 60

балів включно, а на іспиті до 40 балів включно. За сумою цих балів і виставляється підсумкова оцінка. Студент, який на протязі семестру набрав менше 36 балів до іспиту не допускається.

На іспитах і заліках виявляється наскільки якісно студент засвоїв

теоретичний матеріал програми і як він вміє застосовувати набуті знання до розв'язання практичних задач. Екзаменаційний білет в

більшості випадків включає два теоретичні і два практичні питання,

кожне з яких оцінюється в межах від 0 до 10 балів. Іспит може

проводитись як в усній так і в письмовій формі. Проведення іспиту

у письмовій формі потребує від студента вміння стисло і якісно

давати відповідь на питання білету, що в деяких студентів викликає

неабиякі труднощі. На консультаціях студент має змогу вияснити всі питання, які виникають у нього при вивченні курсу вищої математики.

21

4. Методичні рекомендації до вивчення окремих змістових

модулів. І семестр

4.1. Методичні поради до вивчення змістового модуля №1

“ Елементи лінійної алгебри і аналітичної геометрії”

Теоретичні питання до змістового модуля №1

1. Визначники ІІ і ІІІ порядків. Основні властивості. Мінори і алгебраїчні доповнення. Розклад визначників ІІІ порядку по

елементам стовпчика або рядка.

2. Розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Формули

Крамера.

3. Однорідна система двох лінійних рівнянь з трьома невідомими.

4.Однорідна система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими.

5. Матриці і дії над ними.

6. Обернена матриця. Розв'язування систем лінійних алгебраїчних

рівнянь матричним методом. Ранг матриці. Теорема Кронекера

Капеллі.7. Вектори. Лінійні операції. над векторами та їх властивості.8. Скалярний добуток векторів, його властивості, обчислення і застосування.

9. Векторний добуток векторів, його властивості, обчислення і застосування.

10. Мішаний добуток векторів, його властивості, обчислення і застосування.

11. Найпростіші задачі аналітичної геометрії (відстань між двома

точками, поділ відрізка у даному відношенні, паралельний перенос

системи координат).

12. Пряма лінія на площині. Нормальний вектор прямої. Векторне і загальне рівняння прямої. Рівняння прямої у відрізках і з кутовим

коефіцієнтом.

22

13. Пряма лінія на площині. Напрямний вектор прямої. Векторне

рівняння прямої. Канонічне і параметричні рівняння прямої. Рівняння прямої, що проходить через дві точки.

14. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпен

дикулярності двох прямих. Відстань від точки до прямої. Перетин

двох прямих.

15. Площина у просторі. Нормальний вектор площини. Векторне і загальне рівняння площини. Рівняння площини у відрізках. Рівняння

площини, що проходить через три задані точки.

16. Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин. Відстань від точки до площини.

Знаходження координат точки перетину трьох площин.

17. Пряма лінія у просторі. Напрямний вектор прямої. Векторне,

канонічні і параметричні рівняння прямої. Рівняння прямої, що

проходить через дві задані точки. Загальне рівняння прямої.18. Кут між прямими у просторі. Умови паралельності і перпендикулярності.19. Пряма і площина. Перетин прямої і площини. Кут між прямою і площиною. Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини.

20. Еліпс і коло. Канонічні і параметричні рівняння. Ексцентриситет

еліпса. Рівняння еліпса і кола із зміщеним центром.

21. Гіпербола. Канонічне рівняння. Ексцентриситет. Асимптоти.

22. Парабола. Канонічні рівняння.

23. Циліндричні поверхні. Еліпсоїд. Сфера.

24.Конус ІІго порядку. Гіперболоїди. Параболоїди.

23

Теми 1, 2. Визначники і системи лінійних рівнянь. Матриці.Література: [2] Приложение П.16; М 085110, стор. 36; [3] Задачі 1204, 1205, 1210 (1), 1211, 1214, 1217, 1238, 1252.

Питання для самоперевірки.

1. Що називається матрицею? Які типи матриць Ви знаєте?

2. Які матриці називаються рівними?

3. Як виконуються дії додавання матриць і множення матриці на число? Як називаються ці операції?

4. Які матриці називаються узгодженими за формою? Як

виконується дія множення матриць?

5. Що називається визначником ІІ порядку? Як він

обчислюється?

6. Що називається визначником ІІІ порядку?

7. Які основні властивості визначників?

8. Що називається мінором і алгебраїчним доповненням?

9. Сформулюйте правило для обчислення визначників шляхом

розкладу по елементам будьякого стовпчика або рядка.

10. Запишіть формулу для обчислення визначника ІІІ порядку

шляхом розкладу по елементам першого рядка.

11. Яка система називається системою лінійних алгебраїчних

рівнянь? Що називається її розв'язком?

12. Які системи називаються сумісними, визначеними?

13. Запишіть формули Крамера. Коли вони застосовуються?

14. Як розв'язуються однорідні системи двох лінійних рівнянь з трьома невідомими?

15. В якому випадку однорідна система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими має єдиний нульовий розв'язок? Коли

вона має ненульові розв'язки?

24

16. Що таке матриця системи лінійних алгебраїчних рівнянь і розширена матриця системи?

17. Що таке ранг матриці і як він знаходиться?

18. Сформулюйте теорему КронекераКапеллі. 19. Як записуються системи лінійних алгебраїчних рівнянь в

матричному виді? Як розв'язуються такі матричні рівняння?

20. Що таке обернена матриця? Як вона знаходиться?

Наведемо приклад конспективного запису теоретичного

матеріалу, що відповідає темам 1, 2 першого змістового модуля.

П.1 Матриці. Визначники

Матрицею розміру m×n називається прямокутна таблиця, що

містить m⋅n елементів ( в часткових випадках чисел або

функцій), розміщених у m рядках і n стовпчиках. Якщо елементи

матриці числа, то вона називається числовою.

Матриці позначаються великими буквами А, В, С і т.д. , а їх

елементи відповідними малими буквами з двома індексами:

ai j

, bi j

,ci j

,0≤i≤m ; 0≤ j≤n . Перший індекс означає номер

рядка, а другий номер стовпчика, на перетині яких знаходиться

даний елемент. Приклад позначення матриці:

A=a

11a

12... a

1n

a21

a22

... a2n

... ... ... ...

am1

am2

... amn

.25

Замість круглих дужок можуть застосовуватись квадратні або

подвійні вертикальні риски.

Матриця, що має тільки один рядок, називається матрицею ряд

ком, а тільки один стовпчик матрицею стовпчиком.

A=1 4 6; B= 452 .

Нульова матриця, це матриця, всі елементи якої дорівнюють

нулю.

Якщо число рядків матриці дорівнює числу її стовпчиків (m=n),

то матриця називається квадратною матрицею порядку n. У такої

матриці елементи ai i

,0≤i≤n , з однаковими індексами

утворюють головну діагональ матриці. Якщо вони дорівнюють 1 , а

всі інші елементи матриці дорівнюють 0, то матриця називається

одиничною і позначається символом І. Одинична матриця третього

порядку має вид:

I=1 0 0

0 1 0

0 0 1 .

Якщо в матриці А розміру m×n поміняти місцями відповідні

рядки і стовпчики, то одержана матриця AT розміру n×m

називається транспонованою:

A=2 1 1

3 0 1; AT=2 3

1 0

1 1 .

26

Матриці однакового розміру називаються рівними, якщо їх відпо

відні елементи рівні між собою.

Симетрична матриця – це квадратна матриця, рівна своїй

транспонованій.

Сумою двох матриць А+В однакового розміру m×n

називається матриця С того ж розміру, елементи якої

ci j=a

i jb

i j, 0≤i≤m ; 0≤ j≤n .

A=2 3

7 −5; B= 3 4

−2 5; AB=5 7

5 0 .Добутком матриці А на число р називається матриця того ж

розміру, елементи якої одержуються множенням відповідних

елементів матриці А на це число.

A=2 3

7 −5; 3 A= 6 9

21 −15 .Операції додавання матриці і множення матриці на число

відносяться до лінійних.

Складнішою є операція добутку двох матриць. Нехай дано

матриці А і B з розмірами mA×n

Aі m

B×n

B. Матриці А і B

називаються узгодженими за формою, якщо число стовпчиків першої

матриці дорівнює числу рядків другої, тобто nA=m

B.

Перемножити можна тільки узгоджені за формою матриці. Розміри

результуючої матриці С будуть mA×n

B Її елементи c

i j

дорівнюють сумі добутків елементів iго рядка матриці А на

відповідні елементи jго стовпчика матриці B .

27

A=2 1 1

3 0 1; B=3 1

2 1

1 0;

mA×n

A=2×3 ; m

B×n

B=3×2. Матриці узгоджені за

формою: nA=m

B=3. Їх можна перемножити. Розміри

результуючої матриці 2×2.

AB=2 1 1

3 0 1⋅3 1

2 1

1 0=2⋅31⋅21⋅1 2⋅11⋅11⋅0

3⋅30⋅21⋅1 3⋅10⋅11⋅0= 9 3

10 3 .Добуток матриць в загальному випадку не комутативний, більш

того, при перестановці множників матриці не завжди можна пере

множити.

Однією з характеристик числової квадратної матриці A nго

порядку є її визначник, який позначається символами det A, або

подібно до матриці з вказаними елементами, але замість круглих

дужок використовуються вертикальні риски. Так для матриці А

другого порядку:

A=a11a

12

a21

a22; =∣a11

a12

a21

a22∣.

Визначник другого порядку знаходиться за правилом:

28

=∣a11a

12

a21

a22∣=a

11a

22−a

21a

12. (1)

Приклад:

∣3 −2

4 5 ∣=3⋅5−4⋅−2=158=23.

Визначник nго порядку позначається так:

=∣a

11a

12... a

1n

a21

a22

... a2n

... ... ... ...

an1

an2

... ann

∣.Існують рекурентні формули, які дозволяють звести обчислення

визначників nго порядку до обчислення визначників (n1)го

порядку. Визначник може бути додатнім, від'ємним або дорівнювати

нулю. Відмітимо деякі властивості визначників, більш детально з властивостями визначників потрібно ознайомитись по лекційному

курсу або підручнику.

Властивість 1. При транспонуванні квадратної матриці величина

визначника не змінюється. Тому надалі вказуючи властивості визначників, ми будемо формулювати їх тільки відносно рядків, бо

для стовпчиків вони такі самі.Властивість 2. При перестановці двох рядків визначника він змінює

знак.

Властивість 3. Якщо всі елементи деякого рядка визначника

29

помножити на будьяке число k, то визначник помножиться на це

число.

Властивість 4. Якщо визначник має нульовий рядок, він дорівнює

нулю.

Властивість 5. Якщо визначник має два однакових або два

пропорційних рядка, то він дорівнює нулю.

Властивість 6. Величина визначника не зміниться, якщо до

елементів будьякого його рядка додати відповідні елементи

іншого рядка, помножені на будьякий загальний числовий

множник.

Наступні властивості визначників пов'язані з поняттями мінора і алгебраїчного доповнення. Наведемо їх на прикладі визначників

третього порядку.

Визначник третього порядку позначається так:

=∣a11a

12a

13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

∣.Мінором M

i jелемента a

i jтакого визначника називається

визначник, який одержується з даного шляхом викреслення iго

рядка і jго стовпчика, на перетині яких знаходиться елемент

ai j

. Так для елемента a2 1

мінор

M21=∣a12

a13

a32

a33∣.

Алгебраїчним доповненням Ai j

елемента ai j

визначника

30

називається мінор цього елемента з множником −1i j , тобто:

Ai j=−1i j

Mi j

. (2)

Таким чином, алгебраїчні доповнення і відповідні мінори можуть

відрізнятися лише знаком.

Властивість 7 (теорема Лапласа):

Визначник nго порядку дорівнює сумі добутків елементів будь

якого рядка або стовпчика на відповідні алгебраїчні доповнення.

Так, наприклад, визначник третього порядку може бути

обчислений шляхом розкладу по елементам першого рядка:

=∣a11a

12a

13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

∣=a11

A11a

12A

12a

13A

13. (3)

Звідки:

∣a11a

12a

13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

∣=a11∣a22

a23

a32

a33∣−a

12∣a21a

23

a31

a33∣a

13∣a21a

22

a31

a32∣. (4)

Приклад. ∣1 2 −1

2 −3 2

3 1 1∣=1∣−3 2

1 1∣−2∣2 2

3 1∣−1∣2 −3

3 1 ∣==1 −3−2−2 2−6−129=−58−11=−8.

31

П.2. Застосування визначників до розв'язування систем

лінійних алгебраїчних рівнянь.

Розглянемо систему трьох лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома

невідомими:

{a

11xa

12ya

13z=b

1;

a21

xa22

ya23

z=b2;

a31

xa32

ya33

z=b3.

(5)

Числа b1, b

2, b

3називаються правою частиною системи. Якщо

хоча б одно з цих чисел відмінно від нуля, то система називається

неоднорідною. Якщо ж b1=b

2=b

3=0, то система називається

однорідною.

Розв'язком системи (5) називається впорядкована трійка чисел

х, y

, z

, підстановка яких в кожне рівняння системи

перетворює його в вірну рівність.

Система називається сумісною, якщо вона має хоча б один

розв'язок і несумісною, якщо вона не має жодного розв'язку.

Сумісна система називається визначеною, якщо вона має тільки

один розв'язок і невизначеною, якщо вона має більше одного

розв'язку.

При розв'язанні такої системи основну роль відіграє визначник

системи , складений з коефіцієнтів при невідомих і три

допоміжні визначники 1,

2,

3:

32

=∣a11a

12a

13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

∣. 1=∣b1

a12

a13

b2

a22

a23

b3

a32

a33

∣;

2=∣a11

b1

a13

a21

b2

a23

a31

b3

a33

∣; 3=∣a11

a12

b1

a21

a22

b2

a31

a32

b3

∣.1. Якщо визначник системи ≠0, то система має єдиний

розв'язок який знаходиться за формулами Крамера:

x=

1

; y=

2

; z=

3

; (6)

2. Якщо визначник системи =0, а хоча б один з допоміжних

визначників відмінний від нуля, то система розв'язків не має.

3. Якщо =0 і всі допоміжні визначники дорівнюють нулю, то

система або має нескінченну множину розв'язків, або зовсім не має

розв'язків.

П.3 Однорідна система 2х лінійних рівнянь з трьома


Це система виду:

{a11xa

12ya

13z=0 ;

a21

xa22

ya23

z=0. (7)

33

Однорідна система завжди має нульові розв'язки. Щоб знайти

ненульові розв'язки, припустимо,наприклад, що

∣a11a

12

a21

a22∣≠0.

Тоді систему можна записати так:

{a11xa

12y=−a

13z ;

a21

xa22

y=−a23

z.

і розв'язати за формулами Крамера. Її розв'язок може бути

представлений так:

x=∣a12a

13

a22

a23∣t ; y=−∣a12

a13

a21

a23∣t ; z=∣a11

a12

a21

a22∣t , (8)

де t∈ℝ.

Для практичного застосування відмітимо, що вказані визначники

одержуються шляхом викреслення відповідних стовпчиків матриці:

a11a

12a

13

a21

a22

a23 .

34

П.5 Однорідні системи трьох лінійних рівнянь з трьома


Це системи виду:

{a

11xa

12ya

13z=0 ;

a21

xa22

ya23

z=0 ;

a31

xa32

ya33

z=0.

(9)

Ця система завжди має нульовий розв'язок: x = 0; y = 0; z = 0.

Якщо визначник системи ≠0, то цей розв'язок єдиний.

Якщо =0, то система має нескінченну кількість ненульових

розв'язків. Для їх знаходження у визначнику системи шукають мінор,

відмінний від нуля. Нехай, наприклад,

M3 3=∣a11

a12

a21

a22∣≠0 .

Тоді система зводиться до такого виду:

{a11xa

12ya

13z=0 ;

a21

xa22

ya23

z=0.

Розв'язування таких систем розглянуто вище. Якщо ж всі мінори

другого порядку дорівнюють нулю,то слід відкинути два рівняння

системи і система зводиться до одного рівняння з трьома невідо

мими і має нескінченну множину розв'язків.

35

П.3 Розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь

матричним методом.

Розглянемо довільну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

{a

11xa

12ya

13z=b

1;

a21

xa22

ya23

z=b2;

a31

xa32

ya33

z=b3.

(10)

Матриці виду

A=a

11a

12... a

1n

a21

a22

... a2n

... ... ... ...

am1

am2

... amn

. Ap=

a11

a12

... a1n

b1

a21

a22

... a2n

b2

... ... ... ... ...

am1

am2

... amn

bn

.називаються відповідно матрицею системи і розширеною матрицею

системи.

Виділимо в матриці А k довільних рядків і k довільних стовпчиків

k≤minm , n . Визначник kго порядку, складений з елементів

матриці А, розміщених на перетині виділених рядків і стовпчиків,

називається мінором kго порядку даної матриці. Розглянемо всі можливі мінори матриці А.

Рангом матриці А називається найбільший порядок мінора цієї матриці, відмінний від нуля. Якщо всі елементи матриці дорівнюють

нулю, то ранг цієї матриці дорівнює нулю. Позначається ранг так:

r(A) або rang (A).

36

Теорема КронекераКапеллі:Для сумісності системи лінійних алгебраїчних рівнянь

необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи був рівним

рангу її розширеної матриці.

Якщо для сумісної системи ранг матриці системи дорівнює числу

невідомих, то система буде визначеною, а якщо ранг менше числа

невідомих, то система буде невизначеною.

Розглянемо систему з трьох лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими:

{a

11xa

12ya

13z=b

1;

a21

xa22

ya23

z=b2;

a31

xa32

ya33

z=b3.

(11)

Система (11) може бути записана в матричному видіі:

АХ=В , (12)

де A=a11a

12a

13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

; X= x

y

z ; B=b1

b2

b3

;

Її розв'язок в матричному виді:

Х=A−1

B , (14)

37

де A−1 обернена матриця .

Квадратна матриця A−1 називається оберненою до даної

матриці A , якщо виконуються умови:

A−1⋅A=A⋅A

−1=I. (15)

Будьяка матриця, визначник якої відмінний від нуля, має

обернену.

Вкажемо один з способів знаходження оберненої матриці.

1) Знаходять визначник матриці =det A.

2) Знаходять всі алгебраїчні доповнення Ai j

елементів

матриці A .

3) Складають з них допоміжну матрицю:

Aд=A

11A

12A

13

A21

A22

A23

A31

A32

A33

; (15)

4) Транспонують цю матрицю, для чого відповідні рядки і стовп

чики міняють місцями і знаходять обернену матрицю.

A−1=

1

A

д

T=1

A11

A21

A31

A12

A22

A32

A13

A23

A33

; (16)

Після цього для розв'язання системи залишається помножити

обернену матрицю на матрицю В.

38

Тема 3. Вектори.

Література: [2] § 4358; М 085110, стор. 911; [3] Задачі 748,

750, 769, 795, 812, 813, 852, 857, 873, 874(1), 875, 876.

Питання для самоперевірки

1. Що називається вектором? Як позначаються векторні вели

чини?

2. Які вектори називаються колінеарними?

3. Які вектори називаються компланарними?

4. Які операції над векторами називаються лінійними? Сфор

мулюйте їх.

5. Які основні властивості лінійних операцій?

6. Дайте означення проекції вектора на вісь. Які основні властивості проекцій?

7. Що таке базис на площині і в просторі?8. Як записуються вектори в прямокутному декартовому

базисі? Як виконуються лінійні операції над векторами в

такому базисі?9. Що таке прямокутна система координат? Як в ній запи

суються координати точки, радіусвектор точки і коор

динати вектора АВ?

10. Як обчислюється модуль вектора?

11. Дайте означення скалярного добутку векторів, як він

позначається і обчислюється?

12. Які властивості має скалярний добуток векторів?

13. Як обчислюється скалярний добуток в координатній формі?14. Яка необхідна і достатня умови перпендикулярності двох

векторів?

15. Як знаходиться косинус кута між двома векторами?

16. Як знаходиться проекція одного вектора на інший?

39

17. Що таке напрямні косинуси вектора і як вони знаходяться?

18. Як обчислюється робота сили на деякому переміщенні?19. Дайте означення векторного добутку векторів. Як він

позначається?

20. Які властивості має векторний добуток векторів?

21. Як обчислюється векторний добуток векторів в коор

динатній формі?22. Як сформулювати умову колінеарності векторів з допомогою векторного добутку?

23. Як обчислюється площа паралелограма і трикутника з допомогою векторного добутку?

24. Який фізичний зміст векторного добутку?

25. Дайте означення мішаного добутку трьох векторів. Як він

позначається?

26. Які властивості має мішаний добуток трьох векторів?

27. Як обчислюється мішаний добуток трьох векторів в коор

динатній формі?28. Як сформулювати умову компланарності трьох векторів з допомогою мішаного добутку?

29. Як обчислюється об'єм паралелепіпеда і об'єм трикутної піраміди з допомогою мішаного добутку?

30. Як довести, що чотири точки з відомими координатами

лежать в одній площині?

Тема 4. Аналітична геометрія.

Література: [2] Глави 2, 3, 4,5,6,11,12,13; М 085110, стор. 69,

1113; [3] Задачі 17, 26, 93, 94, 97, 210, 214, 226, 385, 444, 515, 583,

673, 726, 739, 885, 913, 917 , 921,1007, 1008, 1009,1040,1084.

40

Питання для самоперевірки

1. Що і якими методами вивчає аналітична геометрія?

2. Які найпростіші задачі аналітичної геометрії Ви знаєте?

3. Які рівняння називаються рівняннями лінії та поверхні?

Коли вони називаються алгебраїчними? Що таке порядок

алгебраїчної лінії або поверхні?4. Розкажіть про полярну систему координат і її зв'язок з декартовою.

5. Дайте означення нормального вектора прямої на площині і запишіть векторне рівняння прямої, рівняння прямої, що

проходить через задану точку і має заданий нормальний

вектор, загальне рівняння прямої, рівняння прямої у

відрізках, рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

6. Дайте означення напрямного вектора прямої на площині і запишіть векторне рівняння прямої, параметричні рівняння

прямої, канонічне рівняння прямої, рівняння прямої, що

проходить через дві задані точки.

7. Як знайти координати точки перетину двох прямих на

площині, відстань від точки до прямої, кут між двома

прямими? Які умови паралельності і перпендикулярності двох прямих?

8. Дайте означення еліпса, запишіть канонічні рівняння

еліпса і кола. Намалюйте ці криві. Розкрийте геометричний

зміст параметрів, що входять в ці рівняння. Що таке

ексцентриситет еліпса? Запишіть рівняння еліпса і кола у

параметричній формі. Запишіть рівняння еліпса і кола з

осями, паралельними осям координат.

9. Дайте означення гіперболи, запишіть її канонічні рівняння, намалюйте цю криву. Розкрийте геометричний

зміст параметрів, що входять в рівняння гіперболи. Що таке

41

ексцентриситет гіперболи? Запишіть рівняння гіперболи з осями, паралельними осям координат.

10. Дайте означення параболи, запишіть її канонічні рівняння, намалюйте цю криву. Розкрийте геометричний

зміст параметра, що входять в рівняння параболи. Запишіть

рівняння параболи з осями, паралельними осям координат.

11. Дайте означення нормального вектора площини і запишіть векторне рівняння площини, рівняння площини, що

проходить через задану точку і має заданий нормальний

вектор, загальне рівняння площини, рівняння площини у

відрізках.

12. Як знайти координати точки перетину трьох площин,

відстань від точки до площини, кут між двома площинами?

Які умови паралельності і перпендикулярності двох площин?

13. Дайте означення напрямного вектора прямої у просторі і запишіть векторне рівняння прямої, параметричні рівняння

прямої, канонічні рівняння прямої, рівняння прямої, що

проходить через дві задані точки та загальне рівняння

прямої.14. Як знайти координати точки перетину прямої і площини

та кут між ними? Які умови паралельності і перпендикуляр

ності прямої і площини?

15. Які циліндричні поверхні другого порядку Ви знаєте?

Запишіть їх рівняння і намалюйте ці поверхні. 16. Запишіть рівняння сфери і еліпсоїда. Намалюйте їх.

17. Запишіть рівняння гіперболоїдів однопорожнинного і двопорожнинного та конуса другого порядку. Намалюйте їх.

18. Запишіть рівняння еліптичного і гіперболічного

параболоїдів. Намалюйте їх.

42

4.2 Зразок типової контрольної роботи для змістового модуля

№ 1 з розв'язанням

Варіант 9 (навчальний)

Завдання 1, 2. Розв’язати систему трьох лінійних алгебраїчних

рівнянь з трьома невідомими двома способами:

а) за формулами Крамера (тема №1, 2 б.) ;

б) матричним способом (тема №2, 2б.) .

{7 x−4 y2 z=−7 ;

3 x−4 y5 z=3 ;

2 x3 y−2 z=−3.

Завдання 3. Елементи векторної алгебри (тема № 3, 2б).

Довести, що чотири точки лежать в одній площині:

А(1; 2; 1), В(0; 1; 5), С(1; 2; 1), D(2; 1; 3).

Завдання 4. Аналітична геометрія (тема №4, 2б).

Скласти рівняння прямої, що проходить через центр гіперболи

x2 – 8х y2 – 4y + 3 = 0 перпендикулярно до прямої x + 3y + 5 = 0.

Завдання 5. Аналітична геометрія (тема №4, 2 б).

Дано координати вершин піраміди: а) написати рівняння площини,

що проходить через точки А1, А

2, А

3; б) написати рівняння висоти, опу-

щеної з вершини А4 на грань А

1А

2 А

3 і знайти її довжину.

А1 (2; -1; 2), А

2 (1; 2; -1), А

3 (3; 2; 1), А

4 (-4; 2; 5).

43

Розв'язання.

Завдання 1, 2. Розв’язати систему трьох рівнянь з трьома

невідомими двома способами:

1) за формулами Крамера; 2) матричним способом.

{7 x−4 y2 z=−7 ;

3 x−4 y5z=3 ;

2 x3 y−2 z=−3.


1) Знаходимо визначник системи:

∣7 −4 2

3 −4 5

2 3 −2∣=7∣−4 5

3 −2∣−−4 ∣3 5

2 −2∣2∣3 −4

2 3 ∣==78−154−6−102 98=−49−6434=−79.

Знаходимо допоміжні визначники:

1=∣−7 −4 2

3 −4 5

−3 3 −2∣=−7∣−4 5

3 −2∣−−4∣ 3 5

−3 −2∣2∣ 3 −4

−3 3 ∣==−7 8−15 4−615 2 9−12=4936−6=79.

2=∣7 −7 2

3 3 5

2 −3 −2∣=7∣ 3 5

−3 −2∣−−7∣3 5

2 −2∣2∣3 3

2 −3∣==7−615 7 −6−102 −9−6=63−112−30=−79.

44

3=∣7 −4 −7

3 −4 3

2 3 −3∣=7∣−4 3

3 −3∣−−4 ∣3 3

2 −3∣−7∣3 −4

2 3 ∣==712−94 −9−6−798=21−60−119=−158.

Визначник системи відмінний від нуля. Система має єдиний

розв’язок. Невідомі знаходимо за формулами Крамера:

x=

1

=

79

−79=−1 ; y=

2

=−79

−79=1 ;

z=

3

=−158

−79=2.

Щоб впевнитись, що розв’язок знайдено вірно, робимо перевірку:

7−1−412 2=−7;

3−1−4 152=3 ;

2 −13 1−22=−3.

Всі рівняння системи — вірні рівності. Відповідь: (1; 1; 2).

2) Матричний спосіб. Розглянемо матриці:

A=7 −4 2

3 −4 5

2 3 −2; B=−7

3

−3; X= x

y

z .

45

Тоді задана система лінійних алгебраїчних рівнянь і її розв’язок

запишуться у матричному і:

AX=B ; X=A−1

B ,

де A−1

обернена матриця до матриці A , яка існує при умові,

що визначник матриці відмінний від нуля.

Визначник матриці було знайдено раніше: det A=−79.

Алгебраїчні доповнення:

A11=∣−4 5

3 −2∣=−7 ; A12=−∣3 5

2 −2∣=16;

A13=∣3 −4

2 3 ∣=17; A21=−∣−4 2

3 −2∣=−2 ;

A22=∣7 2

2 −2∣=−18; A23=−∣7 −4

2 3 ∣=−29;

A31=∣−4 2

−4 5∣=−12; A32=−∣7 2

3 5∣=−29;

A33=∣7 −4

3 −4∣=−16.

Складаємо допоміжну матрицю з алгебраїчних доповнень:

46

Aд= −7 16 17

−2 −18 −29

−12 −29 −16.

Транспонуємо її, одержуємо приєднану матрицю:

Aпр=−7 −2 −12

16 −18 −29

17 −29 −16 .

Обернена матриця:

A−1=

1

det A⋅A

пр=

1

−79⋅−7 −2 −12

16 −18 −29

17 −29 −16 .

Розв’язок системи:

X=A−1

B=1

det A⋅A

прB=

1

−79⋅−7 −2 −12

16 −18 −29

17 −29 −16⋅−7

3

−3=

=1

−79⋅−7−7−2 3−12−3

16−7−183−29−3

17−7−293−16−3 = 1

−79⋅ 79

−79

−158=−1

1

2 .

Відповідь: (1; 1; 2).

47


Довести, що чотири точки лежать в одній площині:

А(1; 2; 1), В(0; 1; 5), С(1; 2; 1), D(2; 1; 3).

Розв'язання. Знаходимо координати векторів AB ,AC ,AD :

AB=xB−x

A; y

B−y

A; z

B−z

A=−1 ;−1 ; 6 ,

AC= xC−x

A; y

C−y

A; z

C−z

A=−2 ; 0 ; 2 ,

AD=xD−x

A; y

D−y

A; z

D−z

A=1 ;−1 ; 4 .

Знаходимо мішаний добуток цих векторів:

AB×AC⋅AD=∣−1 −1 6

−2 0 2

1 −1 4∣=−1∣ 0 2

−1 4∣−−1∣−2 2

1 4∣6∣−2 0

1 −1∣=−1 02 1 −8−2 6 2−0=−2−1012=0.

Вектори компланарні, бо їх мішаний добуток дорівнює нулю.

Отже задані чотири точки лежать в одній площині.


Скласти рівняння прямої, що проходить через центр гіперболи

x2 – 8х y2 – 4y + 3 = 0 перпендикулярно до прямої x + 3y + 5 = 0.

48


Щоб знайти координати центра гіперболи, зводимо її рівняння

шляхом виділення повних квадратів до канонічного виду:

x−x02

a2

− y−y

02

b2

=1 ;

x 2−2⋅4 x16 −16−y22⋅2 y4430 ;

x−42− y22=9 ;

Канонічне рівняння гіперболи: x−4 2

9− y2 2

9=1.

Центр гіперболи знаходиться в точці M04 ;−2 .

Нормальний вектор заданої прямої: n=A; B=1 ; 3.

При знаходженні рівняння прямої, що перпендикулярна даній,

приймаємо нормальний вектор n за напрямний вектор

q=l ; m=n=1; 3; шуканої прямої. Отже l=1, m=3.

Параметричні рівняння прямої:

{x=x0l t ;

y=y0mt.

{x=4t ;

y=−23t ; де t∈ℝ .


Дано координати вершин піраміди: а) рівняння площини, що

проходить через точки ; б) A1

A2A

3 рівняння та довжину висоти,

опущеної з вершини А4 на грань A

1A

2A

3

А1 (2; 1; 2), А

2 (1; 2; 1), А

3 (3; 2; 1), А

4 (4; 2; 5).

49

Розв'язання. Знаходимо вектори:

A1A

2=−1 ;3 ;−3 , A

1A

3=1 ;3 ;−1 .

а) рівняння площини, що проходить через точки A

1A

2A

3

Знаходимо векторний добуток

A1A

2×A

1A

3=∣ i j k

−1 3 −3

1 3 −1∣=∣3 −3

3 −1∣i−∣−1 −3

1 −1∣j∣−1 3

1 3∣k==6i−4j−6k .

Нормальний вектор площини:

n=A1A

2×A

1A

3=6i −4j−6k .

Рівняння площини: A x−xA

1

B y−yA

1

C z−zA

1

=0 ;

6 x−2−4 y1−6z−2 =0 ;

6 x−12−4 y−4−6 z12=0 ; 6 x−4 y−6 z−4=0.

3 x−2 y−3 z−2=0.

б) Рівняння висоти, проведеної з вершини A4

до грані :

З A1

A2A

3а напрямний вектор висоти приймаємо нормальний

вектор площини A

1A

2A

3 : q=l ; m ; n=n=6 ;−4 ;−6 ;

l=6 ; m=−4 ; n=−6.

Параметричні рівняння висоти:

50

{x=x

A4

l t ;

y=yA

4

mt ;

z=zA

4

nt.

{x=−46 t ;

y=2−4 t ;

z=5−6 t.

де t∈ℝ .

Довжину висоти знаходимо як відстань від точки А4 (4; 2; 5) до

площини, що проходить через точки A1

A2A

3, рівняння якої

3 x−2 y−3 z−2=0 було знайдено вище.

Як відомо, відстань від точки М x0, y

0, z

0 до площини, заданої

загальним рівнянням AxByCzD=0 знаходиться за

формулою:

d=∣Ax

0By

0Cz

0D∣

A2B

2C2

.

Отже довжина висоти:

d=∣3⋅−4−2⋅2−3⋅5−2∣

32−2 2−32

=33

22≈7,04.

4.3. Тестовий варіант контрольної роботи для змістового

модуля № 1

Варіант 10 (тестовий)

Завдання 1, 2. Розв’язати систему трьох лінійних алгебраїчних

рівнянь з трьома невідомими двома способами:

а) за формулами Крамера (тема №1, 2б.) ;

б) матричним способом (тема №2, 2 б.) .

51

{x−3yz=2 ;

2 xy3 z=3 ;

2 x−y−2 z=8.

а) (1;1,;4); б) (5;0;3); в) (3;0;1).


Знайти об'єм піраміди, з вершинами у точках:

А(2; 3; 5), В(0; 2; 1), С(2; 2; 3), D(3; 2; 4).

а) 3 ; б) 6; с) 9.

1.


Скласти рівняння прямої, що проходить через вершину параболи

2x2 – 6х – y + 15 = 0 перпендикулярно до прямої 4x + 5y + 7 = 0.

а) {x=4t ;

y=−23 t ;б) {x=44 t ;

y=−25 t ;в) {x=3/24 t ;

y=21/25 t ;

де t∈ℝ .


Дано координати вершин піраміди: а) написати рівняння площини,


2, А

3; б) написати рівняння висоти,

опущеної з вершини А4 на грань А

1А

2 А


А1 (1; 1; -1), А

2 (2; 3; 1), А

3 (3; 2; 1), А

4 (5; 9; -8).

a) 2 x2 y−3z−7=0 ; {x=52 t ;

y=92 t ;

z=−8−3 t.

d=45 /17.

52

б) 3 x2 y−3 z−8=0 ; {x=53t ;

y=92 t ;

z=−8−3 t.

d=45 /22.

в) 5 x5 y−3 z−13=0 ; {x=55 t ;

y=95t ;

z=−8−3 t.

d=45 /59.

де t∈ℝ .

4.4. Індивідуальна робота (ТР) по матеріалу змістового модуля

№ 1 “Елементи лінійної алгебри і аналітичної геометрії”

Завдання для індивідуальної роботи (ТР) по матеріалу

змістового модуля № 1 (30 варіантів)

Індивідуальне завдання по темі змістового модуля №1 допоможе

студентам краще засвоїти матеріал. За його виконання на денній

формі навчання можуть нараховуватись заохочувальні бали, а

студентам заочної форми навчання приклади, що в ньому наведені, допоможуть виконати частину контрольної роботи №1 «Елементи

лінійної алгебри та аналітичної геометрії», в якій розглядаються

аналогічні завдання. Наведемо варіанти завдань та зразок виконання

і оформлення такої роботи.

Завдання 1. Розв’язати систему трьох лінійних алгебраїчних

рівнянь з трьома невідомими двома способами: а) за формулами

Крамера; б) матричним способом.

53

1.

{3 xy2 z=−3 ;

x2 y−z=4 ;

3 x−3y−2 z=1.

2.

{2 x3 y3 z=2 ;

2 x−3 y−z=−4 ;

xy2 z=1.

3.

{4 x3 y−z=2 ;

x−2 yz=6 ;

2 xy2z=2.

4.

{4 x3 y5z=−1 ;

2 x−3 y−z=3 ;

xy3 z=−2.

5.

{3 x−y−z=−2 ;

2 x−3 y−2 z=−3 ;

2 xyz=2.

6.

{5 xy5 z=14 ;

3 x4 y−z=−3 ;

x−5 y2 z=10.

7.

{4 x2 y−z=13;

2 x−yz=5 ;

3 xy2 z=7.

8.

{5 x−2 y−3 z=4 ;

−x5y3 z=−1 ;

4 x−6 y−z=−4.

9.

{3 xy2 z=−3 ;

7x−4 y−5 z=6 ;

3 x−3y−2 z=1.

10.

{5 x−5 y−z=15 ;

3 x−2 yz=11 ;

3 x−4 y−z=7.

11.

{x−2 yz=−5 ;

4 xy−z=3 ;

x−4 y2 z=−9.

12.

{2 x7 y3z=−5 ;

x4 y2 z=−3 ;

−x5y3 z=−10.

13.

{4 x−4 y−9 z=5 ;

−x2 y3z=−1 ;

x−2 y−5 z=3.

14.

{4 x−3 y6z=1 ;

−4 y−2 z=2 ;

x−3 yz=2.

15.

{3 x−2 y4z=5 ;

2 хy3 z=3 ;

2 x−y−2 z=8.

16.

{x2 yz=8 ;

x−5 y−2 z=−5 ;

xy2 z=9.

54

17.

{3 x3y2 z=−1 ;

2 x−3 y−2 z=−14 ;

2 xyz=−3.

18.

{2 x4 y−3 z=1 ;

2 xy−3 z=4 ;

3 x2 y−2 z=8.

19.

{5 x3 y4 z=3 ;

2 x3 yz=6 ;

2 xy3 z=−2.

20.

{5 x2 y6 z=12;

2 x−y2z=−1 ;

4 xy4 z=7.

21.

{2 x5 y3 z=−1 ;

3 xyz=−8 ;

−3 x5 y6z=14.

22.

{−x9y−z=−5 ;

4 x−7y5z=22 ;

2 x4 y−3z=0.

23.

{−x2 y5 z=−1 ;

x2 y−z=9 ;

−3 x3 y2z=1.

24.

{2 x5 y3 z=1 ;

−x4 y2 z=6 ;

−3 x5 y6z=11.

25.

{2 x−3 y−z=−7 ;

3 x−4 y5 z=3 ;

2 x3 y−2 z=−3.

26.

{3 x−2 yz=12 ;

xy2 z=9 ;

x2 yz=8.

27.

{x5 y−z=7 ;

3 x4 y−2 z=11;

3 x−2 y4 z=11.

28

{x−2 yz=7 ;

2 xy−3 z=4 ;

3 x2 y−2 z=8.

29.

{3 x2 yz=5 ;

2 x3 yz=6 ;

2 xy3 z=−2.

30.

{5 x2 y5z=11 ;

xy2 z=5 ;

4 xy4 z=7.

Зауваження. Існують і інші методи розв'язування систем лінійних

алгебраїчних рівнянь. Але при виконанні даного завдання систему

необхідно розв'язувати саме тими методами, які вказано в умові. При

цьому не потрібно забувати, що розв'язується одна й та сама система і відповіді в обох випадках повинні бути однаковими.

55

Завдання 2. Дано координати вершин трикутника A,B,C.

Знайти:

a) рівняння сторони АВ;

б) рівняння висоти СD, опущеної з вершини С на сторону АВ і її довжину;

в) кут в радіанах з точністю до двох знаків;

г) рівняння медіани АМ;

д) рівняння кола, для якого медіана АМ є діаметром;

1) A(2;3), B(0;7), C(8;3).

2) A(4;1), B(6;11), C(14;7).

3) A(1;2), B(3;12), C(11;8).

4) A(3;2), B(1;8), C(7;4).

5) A(4;1), B(2;9), C(6;5).

6) A(2;5), B(4;5), C(12;1).

7) A(0;1), B(2;9), C(10;5).

8) A(3;0), B(5;10), C(13;6).

9) A(0;3), B(2;13), C(10;9).

10) A(1;5), B(1;15), C(9;11).

11) A(5;4), B(7;14), C(15;10).

12) A(0;1), B(2;11), C(10;7).

56

13) A(1;2), B(3;8), C(11;4).

14) A(3;4), B(1;6), C(7;2).

15) A(0;3), B(2;13), C(10;9).

16) A(1;3), B(1;7), C(9;3).

17) A(5;1), B(7;11), C(15;7).

18) A(2;2), B(4;12), C(12;8).

19) A(1;2), B(1;8), C(9;4).

20) A(2;1), B(0;9), C(8;5).

21) A(4;5), B(6;5), C(14;1).

22) A(1;1), B(3;9), C(11;5).

23) A(4;0), B(6;10), C(14;6).

24) A(1;4), B(3;14), C(11;10).

25) A(0;6), B(2;16), C(10;12).

26) A(6;4), B(8;14), C(16;10).

27) A(2;1), B(4;9), C(12;5).

28) A(1;1), B(3;11), C(11;7).

29) A(2;3), B(0;7), C(8;3).

30) A(1;3), B(3;13), C(11;9).

57

Завдання 3. Дано рівняння лінії в полярній системі координат.

Необхідно:

а) визначити точки, що лежать на лінії, надаючи ϕ значення

через проміжки /10 , починаючи від ϕ=0 до ϕ=2π .б) побудувати лінію в полярній системі координат;

в) знайти рівняння цієї лінії в прямокутній декартовій системі коор

динат ( полюс співпадає з початком декартової системи координат,

полярна вісь з віссю Ох; системи координат беруться правими).

1) r=1+sin22 ϕ ; 2) r=2sin

3ϕ ;

3) r=4 (1−cos ϕ) ; 4) r=3(1+cosϕ) ;

5) r=1+cosϕ ; 6) r=1+sinϕ ;

7) r=2 (1−sinϕ); 8) r=4 (1+sinϕ);

9)r=

6

2+cosϕ;

10)r=

1

2+cosϕ;

11) r=sinϕ+cosϕ ; 12) r=1−cosϕ ;

13) r=2sin 2ϕ ; 14) r=cos 2ϕ ;

15) r=2−sin22ϕ ; 16) r=3(1−cosϕ);

17) r=5 1cos; 18) r=3sin 3ϕ ;

19) r=5(1−cosϕ); 20) r=4 (1+cosϕ) ;

21) r=4sin 2ϕ ; 22) r=4sin 3ϕ ;

23) r=6 (1−sinϕ); 24) r=6 (1+sin ϕ) ;

25)r=

4

2+cosϕ;

26)r=

8

2+cosϕ;

58

27)r=

2

2+sin ϕ;

28)r=

4

2−sin ϕ;

29) r=4sin 2ϕ ; 30) r=2sin 3ϕ ;

Завдання 4. Дано координати вершин піраміди

А1, А

2, А

3, А

4.

Знайти:

а) кут між ребрами А1А

2 і А

1А

4;

б) проекцію вектора A1A

3на вектор A

1A

4 ;

в) площу грані А1А

2 А

3;

г) об’єм піраміди;

д) рівняння площини, що проходить через точки А1, А

2, А

3;

е) рівняння та довжину висоти, опущеної з вершини А4 на грань

А1А

2 А

3.

1) А1 (2; 4; 7), А

2 (3; 3; 2), А

3 (0; 1; 2), А

4 (3; 7; 2).

2) А1 (3;3; 7), А

2 (3; 2; 1), А

3 (9; 6; 9), А

4 (4; 3; 3).

3) А1 (8; 3; 5), А

2 (8; 0; 1), А

3 (4; 4; 2), А

4 (3; 3; 2).

4) А1 (3; 2; 5), А

2 (0; 6; 3), А

3 (6; 2; 3), А

4 (5; 2; 7).

5) А1 (0; 4; 3), А

2 (5; 1; 2), А

3 (4; 7; 2), А

4 (9; 7; 8).

6) А1 (2; 1; 1), А

2 (0; 5; 7), А

3 (2; 3; 7), А

4 (1; 4; 5).

7) А1 (6; 3; 1), А

2 (3; 6; 1), А

3 (2; 3; 5), А

4 (0; 2; 2).

8) А1 (3; 0; 1), А

2 (2; 3; 2), А

3 (6; 1; 5), А

4 (9; 10; 6).

9) А1 (3; 1; 3), А

2 (0; 8; 2), А

3 (5; 7; 3), А

4 (2; 3; 5).

59

10) А1 (15; 5; 6), А

2 (4; 2; 3), А

3 (1; 5; 2), А

4 (1; 3; 0).

11) А1 (2; 3; 1), А

2 (4; 1; 2), А

3 (6; 3; 7), А

4 (9; 5; 8).

12) А1 (3; 0; 3), А

2 (2; 3; 0), А

3 (4; 3; 2), А

4 (3; 3; 6).

13) А1 (2; 2; 3), А

2 (0; 2; 4), А

3 (3; 1; 5), А

4 (0; 1; 1).

14) А1 (3; 4; 2), А

2 (5; 2; 3), А

3 (7; 4; 8), А

4 (8; 6; 2).

15) А1 (2; 2; 0), А

2 (3; 4; 2), А

3 (4; 3; 2), А

4 (6; 10; 7).

16) А1 (2; 2; 8), А

2 (2; 8; 9), А

3 (0; 6; 2), А

4 (7; 4; 2).

17) А1 (1; 6; 0), А

2 (3; 0; 4), А

3 (3; 5;2), А

4 (2; 8; 7).

18) А1 (8; 3; 3), А

2 (6; 8; 8), А

3 (6; 4; 2), А

4 (3; 4; 8).

19) А1 (1; 3; 7), А

2 (4; 7; 8), А

3 (2; 4; 5), А

4 (1; 2; 7).

20) А1 (1; 2; 4), А

2 (3; 8; 9), А

3 (7; 1; 5), А

4 (0; 6; 5).

21) А1 0; 7; 5), А

2 (4; 0; 2), А

3 (6; 8; 4), А

4 (2; 8; 1).

22) А1 (4; 4; 10), А

2 (7; 10; 2), А

3 (2; 8; 4), А

4 (9; 6; 9).

23) А1 (7; 3; 3), А

2 (5; 5; 1), А

3 (3; 5; 6), А

4 (4; 7; 0).

24) А1 (2; 4; 3), А

2 (7; 6; 3), А

3 (4; 9; 3), А

4 (3; 6; 7).

25) А1 (2; 3; 4), А

2 (1; 0; 3), А

3 (4; 3; 0), А

4 (3; 6; 0).

26) А1 (2; 4; 3), А

2 (4; 7; 2), А

3 (0; 8; 8), А

4 (5; 3; 7).

27) А1 (1; 8; 2), А

2 (5; 2; 6), А

3 (5; 7; 4), А

4 (4; 10; 9).

28) А1 (5; 3; 1), А

2 (7; 2; 2), А

3 (2; 3; 5), А

4 (5; 7; 4).

29) А1 (7; 7; 3), А

2 (6; 5; 8), А

3 (3; 5; 8), А

4 (8; 4; 1).

30) А1 (8; 4; 4), А

2 (4; 6; 0), А

3 (4; 6; 7), А

4 (5; 8; 1).

60

Завдання 5.

1) Скласти рівняння прямої, що проходить через центр

еліпса x2 – 2х + 2 y2 – 8y + 7 = 0 паралельно

прямій 4x + 6y + 5 = 0.


еліпса x2 + 6х + 4 y2 – 8y + 9 = 0

перпендикулярно до прямої 3x + 4y + 7 = 0.


еліпса 4x2 – 32х + y2 – 4y + 5 = 0

перпендикулярно до прямої 2x + 4y – 9 = 0.


гіперболи x2 – 2х – 2y2 + 8y – 9 = 0 паралельно

прямій 5x + 8y + 9 = 0.


гіперболи x2 + 6х – 4y2 + 8y + 1 = 0 паралельно

прямій 2x + 4y + 1 = 0.


гіперболи x2 – 4x – y2 + 6y – 42 = 0 перпендикулярно

до прямої 3x + 2y + 1 = 0.


гіперболи x2 + 8x – 2y2 + 4y + 1 = 0 перпендикулярно

до прямої 5x + 3y + 2 = 0.

61


кола 2x2 – 4х + 2y2 – 8y + 1 = 0 паралельно прямій

3x + 2y + 1 = 0.


гіперболи x2 – 8х – y2 – 16y + 3 = 0 перпендикулярно до

прямої x + 3y + 5 = 0.

10) Скласти рівняння прямої, що проходить через вершину

параболи x2 – 6х – y + 15 = 0 паралельно прямій

4x + 5y + 7 = 0.


еліпса x2 – 2х + 2 y2 – 8y –1 = 0 паралельно прямій

2x + 3y + 5 = 0.


еліпса x2 + 6х + 4 y2 – 8y –3 = 0



еліпса 4x2 – 16х + y2 – 8y –6 = 0



гіперболи x2 – 2х – 4y2 + 8y – 9 = 0 паралельно прямій

5x + 6y + 9 = 0.


гіперболи x2 + 4х – 4y2 + 16y – 1 = 0 паралельно

прямій x + 3y + 1 = 0.

62


гіперболи x2 – 4x – y2 + 4y – 42 = 0 перпендикулярно до

прямої 2x + 3y + 1 = 0.



до прямої 3x + 5y + 2 = 0.


кола 2x2 – 4х + 2y2 – 8y + 1 = 0 паралельно прямій

3x + 2y + 1 = 0.


гіперболи x2 – 8х – y2 – 16y + 3 = 0 перпендикулярно

до прямої x + 3y + 5 = 0.


параболи 2x2 – 6х – y –15 = 0 паралельно прямій

3x + 5y + 9 = 0.


еліпса x2 – 2х + 2 y2 – 10y – 7 = 0 паралельно

прямій 5x + 6y + 5 = 0.


еліпса x2 + 8х + 4 y2 – 16y – 9 = 0



еліпса 4x2 – 32х + y2 – 4y + 5 = 0


63


гіперболи x2 – 12х – 2y2 + 8y – 9 = 0 паралельно

прямій 5x + 2y + 9 = 0.


гіперболи x2 + 16х – 4y2 + 8y + 1 = 0 паралельно

прямій 2x + 3y + 1 = 0.


гіперболи x2 – 6x – y2 + 4y – 42 = 0 перпендикулярно до

прямої 3x + 2y + 1 = 0.



до прямої 7x + 3y + 2 = 0.


кола 2x2 – 8х + 2y2 – 4y – 1 = 0 паралельно прямій

3x + y + 1 = 0.


гіперболи x2 – 8х – y2 – 4y – 3 = 0 перпендикулярно до

прямої x + 4y + 5 = 0.


параболи 2x2 – 4х – y + 15 = 0 паралельно прямій

4x + 2y + 3 = 0.

64

Таблиця значень тригонометричних функцій

(додаток до завдання 3)

cos sin

00 1,0000 0,0000

180 0,9511 0,3090

360 0,8090 0,5878

540 0,5878 0,8090

720 0,3090 0,9511

900 0,0000 1,0000

1080 0,3090 0,9511

1260 0,5878 0,8090

1440 0,8090 0,5878

1620 0,9511 0,3090

1800 1,0000 0,0000

1980 0,9511 0,3090

2160 0,8090 0,5878

2340 0,5878 0,8090

2520 0,3090 0,9511

2700 0,0000 1,0000

2880 0,3090 0,9511

3060 0,5878 0,8090

3240 0,8090 0,5878

3420 0,9511 0,3090

3600 1,0000 0,0000

65

4.5. Зразок виконання індивідуальної роботи (ТР)

Міністерство освіти і науки України

Національний університет водного господарства

та природокористуванняКафедра вищої математики

ІНДИВІДУАЛЬНА РОБОТАна тему:

“ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ І АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ”

варіант №31

виконала:

студентка 1 курсу

гр. МБГ 11

Троян Наталіяперевірив:

Рівне — 2008

66

Завдання 1.Розв’язати систему трьох рівнянь з трьома


2) за формулами Крамера; 2) матричним способом.

{7x−4 y2 z=−7 ;

3 x−4 y5z=3 ;

2 x3 y−2 z=−3.

Розв'язування цього завдання наведено вище при розгляді типового завдання змістового модуля №1.

Відповідь: (1; 1; 2).

Завдання 2. Дано координати вершин трикутника A,B,C:

А (2 ; 1), В (4 ; 7), С (12 ; 9).

Знайти:

а) рівняння сторони АВ;

б) рівняння висоти СD, опущеної з вершини С на сторону АВ і її довжину;

в) кут в радіанах з точністю до двох знаків;

г) рівняння медіани АМ;

д) рівняння кола, для якого медіана АМ є діаметром.

1. Рівняння сторони АВ:

x−xA

xB−x

A

=y−y

A

yB−y

A

;x−2

4−2=y1

71;

x−2

2=y1

8;

67

4 x−8

8=y1

8; 4 x−y−9=0.

2. Рівняння висоти СD:

За напрямний вектор висоти приймаємо вектор n=4 ;−1 . q=l ; m =n=4 ;−1; l=4 ; m=−1.


{x=xCl t ;

y=yCmt.

{x=124 t ;

y=9−t ; де t∈ℝ .

Довжина висоти:

d=∣A x

CB y

CC∣

A2B 2=∣4⋅12−1⋅9−9∣

42−12

=30

17=7,28.

3. Кут

в радіанах

BA=xA−x

B; y

A−y

B=−2 ;−8 .

BC=xC−x

B; y

C−y

B=8 ;2 .

cos =BA⋅BC

∣BA∣∣BC∣=

−2⋅8−8⋅2

−2 2−8 2 822

2=

=−32

6868=−32

68=−0,4706 .

=−arccos0,4706=1800−61

055'=118

005 ' .

=2,06 .

4. Рівняння медіани АЕ:

xE=

xBx

C

2=

412

2=8 ; y

E=

yBy

C

2=

79

2=8 ;

x−xA

xE− x

A

=y−y

A

yE−y

A

;x−2

8−2=

y1

81;

x−2

6=

y1

9;

3 x−6=2 y2 ; 3 x−2 y−8=0.

68

5. Рівняння кола, для якого медіана АЕ є діаметром.

Координати центра кола:

xO=xAx

E

2=

28

2=5 ; y

O=yAy

E

2=−18

2=3,5 .

Радіус кола знаходимо як відстань від точки А, що лежить на

колі, до центра кола:

R= x A−xO2yA−y

O2 = 2−52−1−3,52 =

= 920,25 29,25.

Рівняння кола:

x−x02 y−y

02=R2

; x−52y−3,5 2=29,25.

Завдання 3. Дано рівняння лінії в полярній системі координат

r=10(1+cosϕ). Необхідно:

а) визначити точки, що лежать на лінії, надаючи ϕ значення

через проміжки /10 , починаючи від ϕ=0 до ϕ=2π .

б) побудувати лінію в полярній системі координат;

в) знайти рівняння цієї лінії в прямокутній декартові системі координат ( полюс співпадає з початком декартової системи

координат, полярна вісь з віссю Ох; системи координат беруться

правими).

а) Визначаємо точки, що лежать на лінії: Так як функція cosϕпарна, то крива симетрична відносно полярної осі. Тому достатньо

побудувати криву для значень , а ϕ∈[0 ;π] потім відобразити її симетрично відносно полярної осі. Будуємо таблицю:

ϕ0

018

036

054

072

090

0

R 20,000 19,511 18,090 15,878 13,090 10,000

69

ϕ108

0126

0144

0162

0 1800

R 6,910 4.122 1,910 0,489 0,000

б) Будуємо лінію в полярній системі координат.

в) Щоб знайти рівняння цієї лінії в прямокутній декартовій системі координат ( полюс співпадає з початком декартової системи

координат, полярна вісь з віссю Ох; системи координат берутьсяправими), вводимо відповідним чином декартову прямокутну

70

систему координат і враховуємо, що

x=r cosϕ ; y=r sinϕ ; r=√ x2+ y2; cosϕ=

x

r; sin ϕ=

y

r.

Рівняння кривої r=10(1+cosϕ). запишемо у більш зручному

виді: r=10+10 cosϕ . Одержимо

x2y

2=10 x2

y210 x ;

або x 2−10 xy 22=100 x2y2 .

Завдання 4. Дано координати вершин піраміди A1, A

2, A

3, A

4.

A16 ;6 ;5 , A

24 ;9 ;5 , A

34 ;6 ;11 , A

46 ;9 ;3 .

Знайти:

а) кут між ребрами А1А

2 і А

1А

4;

б) проекцію вектора A1A

3 на вектор A

1A

4;

в) площу грані A1A

2A

3;

г) об’єм піраміди;

д) рівняння площини, що проходить через точки A1A

2A

3;

е) рівняння та довжину висоти, опущеної з вершини А4 на грань

A1A

2A

3.

Знаходимо вектори і їх модулі:

A1A

2=−2 ;3 ;0 , ∣A1

A2∣=−2

23

20

2=13 ;

A1A

3=−2 ;0 ;6 , ∣A1

A3∣=−2

20

26

2=40 ;

71

A1A

4=0 ;3 ;−2 , ∣A1

A4∣=0

23

2−2

2=13;

а) Кут між ребрами А1

А2

і А1

А4

:

cosϕ=A⃗

1A

2⋅⃗A

1A

4

∣⃗A1A

2∣∣⃗A1A

4∣=−2⋅0+3⋅3+0⋅(−2 )

√13 √13=

9

13=0,6923 .

ϕ=46012 ' ;

б) Проекція вектора A1A

3 на вектор A

1A

4:

прA1A

4

A1A

3=A

1A

3⋅A

1A

4

∣A1A

4∣=−2⋅00⋅36⋅−2

13=−12

13=−3,33 .

в) Площа грані A1A

2A

3: Знаходимо векторний добуток

A1A

2×A

1A

3=∣ i j k

−2 3 0

−2 0 6∣=∣3 0

0 6∣i−∣−2 0

−2 6∣j∣−2 3

−2 0∣k==18i12j6k .

Тоді площа грані A1A

2A

3:

S=1

2∣A1A

2×A

1A

3∣=1

218

21226

2=6

2941=314=11,22.

г) Об’єм піраміди знаходимо з допомогою мішаного добутку

векторів

72

V=A1A

2×A

1A

3⋅A

1A

4=∣−2 3 0

−2 0 6

0 3 −2∣=−2∣0 6

3 −2∣−3∣−2 6

0 −2∣0∣−2 0

0 3∣=36−12=24.

V=1

6∣A1

A2×A

1A

3⋅A

1A

4∣=1

6⋅24=4куб. од.

д) Рівняння площини, що проходить через точки A1A

2A

3:

Нормальний вектор площини:

n=A1A

2×A

1A

3=18i12j6k .

Рівняння площини:

A x−xA1B y−yA

1C z−zA

1=0 ;

18x−612 y−66 z−5=0 ;

3 x−62 y−61z−5=0 ;

3 x−182 y−12z−5=0 ; 3 x2 yz−35=0.

е) Рівняння висоти, проведеної з вершини A4

до грані

A1A

2A

3:

За напрямний вектор висоти приймаємо нормальний вектор

площини A1

A2A

3

: q=l ;m ; n=n=3 ;2 ;1;

l=3 ; m=2 ; n=1.

73


{x=x

A4

l t ;

y=yA

4

mt ;

z=zA

4

nt.

{x=63 t ;

y=92 t ;

z=3t.

де t∈ℝ .

Завдання 5. Скласти рівняння прямої, що проходить через центр

гіперболи x210 x−4 y

28y1=0 а) паралельно

прямій 3 x5y1=0 ; б) перпендикулярно цій прямій.

Щоб знайти координати центра гіперболи, зводимо її рівняння

шляхом виділення повних квадратів до канонічного виду:

x−x02

a2

− y−y

02

b2

=1 ;

x 22⋅5 x25−25−4 y2−2 y1410 ;

x52−4 y−12=20 ;

Канонічне рівняння гіперболи: x52

20−y−12

5=1.

Центр гіперболи знаходиться в точці M0−5 ;1 .

Нормальний вектор заданої прямої: n=A; B=3 ; 5 .

а) При знаходженні рівняння прямої, що паралельна даній,

приймаємо цей вектор за нормальний вектор шуканої прямої. Тоді її рівняння:

74

A x− x0By−y

0=0 ; 3 x55 y−1=0 ;

3 x5y10=0.

б) При знаходженні рівняння прямої, що перпендикулярна даній,

приймаємо нормальний вектор n=A; B=3 ;5 . за напрямний

вектор q=l ;m =n=3 ;5; шуканої прямої. Отже

l=3 ; m=5.

Параметричні рівняння прямої:

{x=x0l t ;

y=y0mt.

{x=−53 t ;

y=15 t ; де t∈ℝ .

4.6. Прикладні задачі з вищої математики для самостійної роботи студентів під керівництвом викладача

Тема. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Задача. Розрахунок статично невизначених рам.

Стрижневі системи широко застосовуються у будівництві. Під

стрижневою системою розуміють будьяку конструкцію, яка

складається з елементів, що мають форму бруса. Якщо вказані елементи працюють в основному на згин або на скручення, то таку

систему називають рамою. У плоскої рами осі всіх складових

елементів розміщені в одній площині. В цій же площині діють всі зовнішні зусилля і реакції опор. Для визначення реакцій опор

плоскої рами використовують три рівняння рівноваги, згідно яким

сума проекцій всіх зовнішніх зусиль і реакцій опор на координатні осі, а також момент вказаних сил відносно будьякої точки

площини повинні дорівнювати нулю. Якщо для визначення всіх

реакцій опор і наступного визначення всіх внутрішніх факторів

методом перерізів достатньо трьох рівнянь рівноваги, то такі плоскі рами називаються статично визначеними; у протилежному випадку

75

— статично невизначеними.

Різниця між числом невідомих (реакцій опор і внутрішніх

силових факторів) і числом незалежних рівнянь статики, які

можуть бути складені для даної системи, називається степенем

статичної невизначеності. Найбільш часто для розкриття статичної невизначеності рами застосовується метод сил. При цьому система

звільняється від зайвих в'язей, дія яких замінюється дією

додаткових сил і моментів. Їх величина підбирається так, щоб

переміщення відповідних точок рами задовільняли тим

обмеженням, які накладаються на раму відкинутими в'язями. При

цьому розрахункова система, або, як її називають, система

канонічних рівнянь методу сил, є системою лінійних алгебраїчних

рівнянь, для розв'язання якої можуть застосовуватись формули

Крамера або матричний метод.

Розглянемо задачу знаходження реакцій для статично

невизначеної плоскої рами, показаної на рис. 1 [ 1].

Рис.1

Рама тричі статично невизначена. Виберемо основну систему,

шляхом відкидання лівого защемлення. Дію защемлення замінимо

двома зусиллями x1, x

2 та згинаючим моментом x

3 (рис. 2).

76

Рис.2

Канонічні рівняння метода сил для даної рами мають вид:

{

11x

1

12x

2

13x

3=−

1 p;

21x

1

22x

2

23x

3=−

2 p;

31x

1

32x

2

33x

3=−

3p.

В даному випадку:

11=

7 l3

3EI;

12=

2 l3

EI;

13=

5 l2

2EI;

1 p=−P l3

2EI;

21=

12;

22=

8 l3

3EI;

23=

2 l2

EI;

2 p=−5P l

3

6EI;

31=

13;

32=

23;

33=

3 l

EI;

3 p=−P l2

2EI;

77

Де EI — жорсткість на згин елементів рами. Підставляємо ці

коефіцієнти в канонічні рівняння системи:

{7l

3

3 EIx

1

2 l3

EIx

2

5 l2

2 EIx

3=

P l3

2 E I;

2 l3

EIx

1

8 l3

3 EIx

2

2 l2

EIx

3=

5Pl3

6EI;

5 l2

2 EIx

1

2 l2

EIx

2

3 l

EIx

3=

Pl2

2 EI.

Після скорочення одержимо:

{7l

3x

12 l x

2

5

2x

3=

P l

2;

2 l x1

8 l

3x

22 x

3=

5 Pl

6;

5 l

2x

12 l x

23 x

3=

Pl

2.

Розв'яжемо цю систему з використанням формул Крамера або

матричним методом.

При l =3м і P =900н ця система лінійних алгебраїчних рівнянь

приймає вид:

{7 x

16 x

22,5 x

3=1350 ;

6 x18 x

22 x

3=2250 ;

7,5 x16 x

23 x

3=1350.

78


а) за формулами Крамера;

Знаходимо визначник системи:

∣ 7 6 2,5

6 8 2

7,5 6 3∣=7∣8 2

6 3∣−6∣ 6 2

7,5 3∣2,5∣ 6 8

7,5 6∣==724−12−6 18−152,536−60=84−18−60=6.

Знаходимо допоміжні визначники:

1=∣1350 6 2,5

2250 8 2

1350 6 3∣=−1350;

2=∣ 7 1350 2,5

6 2250 2

7,5 1350 3∣=2362,5 .

3=∣ 7 6 1350

6 8 2250

7,5 6 1350∣=1350.

Визначник системи відмінний від нуля. Система має єдиний

розв’язок. Невідомі знаходимо за формулами Крамера:

x1=

1

=−1350

6=−225н; x

2=

2

=

2362,5

6=393,75н ;

x3=

3

=

1350

6=225нм.

79

2) Матричний спосіб. Розглянемо матриці:

A= 7 6 2,5

6 8 2

7,5 6 3; B=1350

2250

1350; X= x1

x2

x3

.Тоді задана система лінійних алгебраїчних рівнянь і її розв’язок

запишуться у матричному і:

AX=B ; X=A−1B ,

де A−1

обернена матриця до матриці A , яка існує при умові,

що визначник матриці відмінний від нуля.

Визначник матриці було знайдено раніше: det A=6≠0.

Алгебраїчні доповнення:

A11=∣8 2

6 3∣=12 ; A12=−∣ 6 2

7,5 3∣=−3 ; A13=∣ 6 8

7,5 6∣=−24 ;

A21=−∣6 2,5

6 3 ∣=−3 ; A22=∣ 7 2,5

7,5 3 ∣=2,25; A23=−∣ 7 6

7,5 6∣=3 ;

A31=∣6 2,5

8 2 ∣=−8 ; A32=−∣7 2,5

6 2 ∣=1 ; A33=∣7 6

6 8∣=20.

Складаємо допоміжну матрицю з алгебраїчних доповнень:

80

Aд= 12 −3 −24

−3 2,25 3

−8 1 20 .

Транспонуємо її, одержуємо приєднану матрицю:

Aпр= 12 −3 −8

−3 2,25 1

−24 3 20 .

Обернена матриця:

A−1=

1

det A⋅A

пр=

1

6⋅ 12 −3 −8

−3 2,25 1

−24 3 20.

Розв’язок системи:

X=A−1B=

1

det A⋅A

прB=

1

6⋅ 12 −3 −8

−3 2,25 1

−24 3 20⋅1350

2250

1350=

=1

6⋅−1350

2362,5

1350=−225

393,75

225 .

Відповідь:

x1=−225н; x

2=393,75 н ; x

3=225нм .

Розкриття статичної невизначеності на цьому закінчується.

81

Варіанти індивідуальних завдань. Розкрити статичну невизначеність

плоскої рами, показаної на рис. 1 при l=10,5k (м), де k

номер варіанта для трьох випадків навантаження:

P=1000 (н); P=2400 (н); P=3200 (н). Вказати найбільш доцільний

метод розрахунку.

Література.

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М., “Наука”,

1974.

4.7 Методичні поради до вивчення змістового модуля №2

“Вступ до математичного аналізу. Диференціальне числення

функції однієї змінної”


Розділ І. Вступ до математичного аналізу

1. Функція однієї змінної. Область визначення і множина значень.

Способи завдання. Характеристики поведінки. Складна і обернена

функція.

2. Основні елементарні функції, їх властивості і графіки.

3. Границя функції. Границя числової послідовності. Односторонні границі. Необхідна і достатні умови існування границі функції.4. Нескінченно малі функції і їх властивості. Розклад функції, що

має границю на сталу і нескінченно малу.

5. Основні теореми про границі.6. Нескінченно великі функції і їх зв'язок з нескінченно малими.

Порівняння нескінченно малих функцій. Порівняння нескінченно

великих функцій.

7. Перша визначна границя.

8. Друга визначна границя.

9. Неперервність функції в точці. Властивості функцій, неперервних

82

в точці.

10. Одностороння неперервність. Точки розриву і їх класифікація.

11. Неперервність функції на відрізку. Властивості функцій,

неперервних на відрізку.

Розділ ІІ. Диференціальне числення функцій однієї змінної.

1. Приріст функції. Означення похідної. Геометричний зміст

похідної. Рівняння дотичної і нормалі. Механічний зміст похідної.2. Поняття диференційованості функції. Різницева форма умови

неперервності. Залежність між неперервністю і диференційованістю

функції. Основні правила диференціювання.

3. Похідна складної функції. Таблиця похідних.

4. Похідні тригонометричних і гіперболічних функцій.

5. Похідна логарифмічної функції.6. Похідна оберненої функції. Похідна показникової і обернених

тригонометричних функцій.

7. Логарифмічна похідна. Похідна степеневої і показникової функцій. Похідна степеневопоказникової функції.8. Похідна неявної функції і функції, заданої параметрично.

9. Диференціал функції, його геометричний зміст. Інваріантність

форми першого диференціалу. Застосування диференціала до

наближених обчислень.

10. Похідні вищих порядків (від функцій, заданих явно, неявно,

параметрично).

11. Поняття про функції кількох змінних і частинні похідні.12. Теорема Ролля.

13. Теорема Лагранжа.

14. Теорема Коші.15. Правило Лопіталя і його застосування до розкриття невизна

ченостей: 0 /0 ; ∞/∞ ; 0×∞ ; ∞−∞ ; 00 ; ∞0 ; 1

∞ .

83

Тема 5. Вступ до математичного аналізу.

Література: [5} т.I, Гл І,2; М 085110, стор.1320.


1. Дайте означення функції. Що називається її областю

визначення і множиною значень?

2. Як функція може бути задана?

3. Яка функція називається парною і яка непарною? Які особливості їх графіків?

4. Яка функція називається періодичною? Наведіть приклади

періодичних функцій.

5. Яка функція називається складною? Наведіть приклади.

6. Які функції називаються елементарними? Наведіть

приклади.

7. Дайте означення границі функції при xa i x∞.

8. Що таке односторонні границі функції? Сформулюйте

необхідну і достатню умови існування границі функції.9. Які функції називаються нескінченно малими? Які вони

мають властивості?10. Які функції називаються нескінченно великими? Як вони

зв'язані з нескінченно малими функціями?

11. Назвіть основні властивості границь.

12. Як порівнюються нескінченно малі функції? Які з них

називаються еквівалентними?

13. Які границі функцій називаються першою і другою

визначними границями?

14. Дайте означення неперервності функції в точці? Які властивості неперервних в точці функцій Ви знаєте?

15. Що таке одностороння неперервність функції?

16. Дайте визначення точок розриву функції? Яка їх

класифікація?

17. Які функції називаються неперервними на відрізку? Які у

них властивості?

84

Тема 6. Похідна і диференціал. Основні теореми диференціального

числення.

Література: [5 } т.I, Гл 3,4. М 085110, стор.2026.


1. Дайте означення похідної?2. Який її геометричний ті механічний зміст?

3. Який з двох класів функцій ширший: неперервних в точці чи

диференційованих в тій же точці?4. Запишіть рівняння дотичної і нормалі до графіка функції.5. Сформулюйте основні правила диференціювання.

6. Запишіть табличку похідних.

7. Виведіть формули диференціювання тригонометричних і логарифмічної функції.

8. Доведіть теорему про похідну оберненої функції і виведіть

формули диференціювання обернених тригонометричних

функцій.

9. Сформулюйте правило логарифмічного диференціювання.

10. Виведіть формули диференціювання степеневої функції з будьяким дійсним показником, показникової функції і степеневопоказникової функції.

11. Сформулюйте означення диференціала функції.12. Для яких функцій диференціал тотожно рівний приросту?

13. В чому полягає властивість інваріантності форми першого

диференціала?

14. На чому засновано застосування диференціала функції до

наближених обчислень?

15. Сформулюйте означення похідної вищого порядку.

16. Який механічний зміст похідної другого порядку?

85

17. Як знаходяться похідні першого і другого порядку для

функцій, заданих неявно?

18. Як знаходяться похідні першого і другого порядку для

функцій, заданих параметрично?

19. Що ви знаєте про функції кількох змінних і частинні похідні?20. Як позначаються частинні похідні?21. Як знаходяться частинні похідні першого порядку функції

кількох змінних?

22. Сформулюйте і доведіть теорему Ролля. Який її геометричний зміст?

23. Сформулюйте і доведіть теорему Лагранжа. Який її геометричний зміст?

24. При якій умові теорема Ролля є частковим випадком

теореми Лагранжа?

25. Сформулюйте теорему Коші. Який її геометричний зміст?

26. При якій умові формула Лагранжа є частковим випадком

формули Коші?27. Сформулюйте правило Лопіталя для розкриття

невизначеностей виду 0/0. Для розкриття ще яких

невизначеностей може бути застосовано це правило?

Наведіть приклади.

28. Як розкриваються невизначеності типу 0×∞ і ∞−∞ ?


29. Як розкриваються невизначеності типу: 00 ; ∞0 ; 1

∞ ?


30. Чи може існувати границя відношення двох функцій якщо

границя відношення їх похідних не існує?

86

Довідковий матеріал

Основні правила диференціювання

1. Якщо С = const, то C '=0.

2. Якщо x незалежна змінна, то x '=1.

Якщо u(x) і v(x) диференційовані функції, то:

3. u x±v x '=u ' x±v ' x ;

4. u⋅v '=u '⋅vu⋅v ' ; C⋅v '=C⋅v ' ;

5. uv '

=u '⋅v−u⋅v '

v2

, при умові, що v x≠0 ;

6. uС '

=u '

С;

7. Cv '

=−C⋅v '

v2;

8. Якщо y=y(u), де u=u(x) , то y 'x=y '

u⋅u '

x. (правило

диференціювання складної функції, при умові, що y(u) і u(x) диференційовані функції).

87

Таблиця похідних основних елементарних функційНехай u(x) – диференційована функція. Тоді:

1 u '=u−1⋅u ' ; 11tg u '=

1

cos2u⋅u ' ;

2

1u '

=−1

u2⋅u ' ;

12ctg u '=

−1

sin2u⋅u ' ;

3u '= 1

2u⋅u ' ;

13arcsin u '=

1

1−u2⋅u ' ;

4 au'=au⋅ln a⋅u ' ; 14arccos u '=

−1

1−u2⋅u ' ;

5 eu'=eu⋅u ' ; 15

arctg u '=1

1u2⋅u ' ;

6 log

au '= 1

u⋅ln a⋅u ' ;

16arcctg u '=

−1

1u2⋅u ' ;

7 lgu '= 1

u⋅ln10⋅u ' ;

17 sh u '=ch u⋅u ' ;

8 lnu '=1

u⋅u ' ;

18 ch u '=sh u⋅u ' ;

9 sin u'=cos u⋅u ' ; 19th u '=

1

ch2u⋅u ' ;

10 cos u '=−sin u⋅u ' ; 20cth u '=

−1

sh2u⋅u ' .

88

4.8 Зразок типової контрольної роботи для змістового модуля

№ 2 з розв'язанням


Завдання 1. Знайти границі функцій, не користуючись правилом

Лопіталя (4 б.):

a) limx∞

3 x22 x5

7 x3x 21

; б) limx3

x2−x−6

x2x−12

;

в) limx0

1−cos x

x2

; г) limx∞

2 x3

2 x5 3x2

;

Завдання 2. Знайти похідні dy

dx функцій (4 б.) :

a) y=x2⋅etg x 21x

2 ln x

x41

; б) y=3sin 2 x−cos2

2 x 3 ;

в) y=ln arctg x 68 ; г) y=1x8arcsin x;


dxі

d2y

dx2

функцій (2 б.):

a) y=5 x22 ⋅e

3 x; б) x=5cos

3t ; y=5sin

3t.




89

a) limx∞

3 x22 x5

7 x3x

21

.

Розглядається відношення двох многочленів. Має місце

невизначеність типу ∞/∞ при x∞ .

limx∞

3 x22 x5

7 x3x

21

= limx∞

x2⋅3 2

x

5

x2

x3⋅7 1

x

1

x3 = limx∞

32

x

5

x2

x⋅7 1

x

1

x3 =0.

б) limx3

x2−x−6

x2x−12

.

Розглядається відношення двох многочленів. Має місце

невизначеність типу 0/0 при xa . Щоб розкрити таку

невизначеність потрібно в чисельнику і знаменнику виділити

множник x−a і на нього скоротити.

limx3

x2−x−6

x2x−12

=limx3

x−3⋅x2

x−3⋅x4= limx 3

x2

x4=

5

7.

Зауваження. В деяких варіантах розглядаються границі різниці або

відношення функцій, що містять ірраціональності (невизначеності

типу ∞−∞ ; ∞/∞ ; 0 /0 ). Щоб знайти такі границі таких функцій

потрібно або звести їх до раціонального виду шляхом заміни змінної, або перевести ірраціональність з чисельника в знаменник чи навпаки.

90

Приклад. limx5

20x−30−x

x2−6 x5

.

Має місце невизначеність 0/0. Щоб її розкрити, переводимо

ірраціональність з чисельника в знаменник.

limx5

20x−30−x

x2−6 x5

= limx 5

20x−30−x ⋅20x30−x

x2−6 x5⋅ 20x30−x =

=limx 5

20x−30x

x2−6 x5⋅20x30−x =

=limx 5

2⋅ x−5

x−5⋅x−1⋅20x30−x =

=limx5

2

x−1⋅20x30−x =

2

4⋅55=

1

20.

в) limx 0

1−cos x

x2

;

Має місце невизначеність 0/0 при x0. Для розв'язання прикладу

використаємо формулу 1−cos x=2sin2 x /2 і наслідок з першої

визначної границі limx0

sinmx

x=m.

Отже:

limx0

1−cos x

x2

=limx 0

2sin2 x /2

x2

=2 limx0

sin x /2

x 2

=2⋅ 1

2 2

=1

2.

91

г) limx∞

2 x3

2 x5 3x2

;

При розв'язуванні цього приклада буде використано наслідок з

другої визначної границі: limx∞

1mx n x

=emn=e

mn.

limx∞

2 x3

2 x5 3 x2

= limx∞ 1

3 /2

x

15 /2

x3x2

=

=limx∞ 1

3 /2

x

15 /2

x3 x

⋅limx∞ 1

3/2

x

15/2

x

2

= e3/2

e5/2

3

⋅1=e−13=e

−3.

Розглянемо також приклад:

дослідити на неперервність функцію, охарактеризувати точки

розриву,якщо такі точки існують.

y=x5

x.

Точка можливого розриву x = 0, в якій знаменник дробу дорівнює

нулю. В усіх інших точках числової осі функція неперервна.

Знаходимо односторонні границі:

limx0−0

x5

x= limx 0−0

15/x

1=−∞.

limx 00

x5

x= limx 00

15/x

1=∞.

92

В точці х = 0 має місце розрив другого роду.



a) y=x2⋅etg x 21x

2 ln x

x41

;

dy

dx=2 x⋅etgx 21x 2⋅etg x21⋅

1

cos2 x 21

⋅2 x

2 x1/x ⋅x 41−x 2ln x ⋅4 x

3

x41

2.

б) y=3sin 2 x−cos2

2 x 3 . Похідна складної функції.

dy

dx=3⋅3sin 2 x−cos

22 x

2⋅3sin2 x⋅ln 3⋅cos 2 x⋅2−2 cos2 x⋅sin 2 x⋅2 .

в) y=ln arctg x 68 . Використаємо формулу похідної

складної функції:

dy

dx=

1

arctg x68⋅

1

1 x682⋅6 x

5.

г) y=1x8arcsin x; При розв'язанні цього приклада можна

використати логарифмічну похідну або поступити таким чином.

Логарифмуємо обидві частини цього виразу.

ln y=ln 1x 8arcsin x=arcsin x⋅ln 1x 8.

Вважаючи у функцією від x знаходимо похідні від обох частин цієї рівності.

93

1

y⋅y '=arcsin x '⋅ln 1x8arcsin x⋅ln 1 x8' .

y '=y⋅ 1

1−x2⋅ln 1x 8

arcsin x⋅8 x7

1x 8 ;

y '=1x8arcsin x

⋅ 1

1−x2⋅ln 1 x

8

arcsin x⋅8 x7

1x8 ;


dxі

d2y

dx2


a) y=5 x 22⋅e3 x;

dy

dx=10 x⋅e3 x5 x 223e3 x=10 x15 x

26⋅e3 x;

d2y

d x2=1030 x ⋅e

3 x10 x15 x

26⋅3 e

3 x.

б) x=5 cos3t ; y=5 sin

3t. Функція задана параметрично.

dy

dx=y 't

x 't

=15sin

2t⋅cos t

−15 cos2t⋅sin t

=−tg t ;

d2y

dx2= dydx ' tx 't

=

−1

cos2t

−15 cos2t⋅sin t

=1

15cos4t⋅sin t

.

94


модуля № 2

Варіант 10 (тренінговий)



a) limx∞

5 x2−3 x7

4 x23 x4

; 1) 5/4; 2) 7/4; 3) 9/11.

б) limx1

2 x2x−3

3 x2x−4

; 1) 2/3; 2) 3/4; 3) 5/7.

в) limx0

tg2x

5x2; 1) 1/5; 2) 1/25; 3) 0.

г) limx∞ 5 x−2

5 x3 5 x2

; 1) e−3; 2) e

−5 ; 3) e2.



a) y=x5⋅ctg x x

3

6sin x; б) y=6cos 2 x−sin

27 x 9 ;

в) y= ln sin x81 ; г) y=x21arctg5 x;


dxі

d2y

dx2


a) y=e4 x⋅cos2 x ; б) x=sin t ; y=cos2t.

95

4.10 Методичні поради до вивчення змістового модуля №3

“Дослідження функцій з допомогою похідних”


1. Умови зростання і спадання функції в точці і на інтервалі.2. Точки екстремуму. Необхідна і достатні умови екстремуму.

3. Знаходження найбільшого і найменшого значень неперервної на

відрізку функції.4. Дослідження функцій на опуклість і угнутість. Точки перегину.

5. Асимптоти графіка функції.6. Дослідження функцій і побудова графіка.

7. Векторна функція скалярного аргументу. Годограф. Границя і похідна.

8. Рівняння дотичної прямої і нормальної площини до просторової кривої.9. Довжина дуги. Її похідна і диференціал.

10. Кривина дуги. Радіус і центр кривини дуги в даній точці. Еволюта і евольвента.

Тема 7. Дослідження функцій з допомогою похідних.

Література: [5 } т.I, Гл 5.М 085110, стор.2628.

Тема 8. Векторна функція скалярного аргументу .

Література: [5 } т.І. Гл 6.


1. Дайте означення зростаючої і спадної на відрізку функції.2. Які умови зростання і спадання функції?3. Сформулюйте означення точки екстремуму функції.4. Сформулюйте необхідну умову екстремуму функції.

96

5. Сформулюйте обидві достатні умови для знаходження

екстремуму функції.6. Як знайти найбільше та найменше значення функції,

диференційованої на відрізку.

7. Сформулюйте означення опуклості, угнутості і точки

перегину графіка функції. Як знаходяться інтервали

опуклості і угнутості і точки перегину?

8. Сформулюйте означення асимптоти графіка функції. Які види асимптот Ви знаєте? Як знайти їх рівняння?

9. Наведіть схему загального дослідження функції і побудови

графіків.

10. Запишіть рівняння дотичної і нормалі до графіка функції в

точці, з заданою абсцисою.

11. Як знаходиться похідна векторної функції скалярного

аргументу? Який її геометричний і механічний зміст?

12. Запишіть рівняння дотичної прямої і нормальної площини до

просторової кривої.

4.11 Зразок типової контрольної роботи для змістового

модуля № 3 з розв'язанням


Завдання 1. Записати рівняння дотичної прямої і нормалі до

графіка функції y = f (x) в точці з абсцисою x0

(2 б.)

y=x

2−1

x; x

0=2.

Завдання 2. Визначити найбільше та найменше значення функції на

97

вказаному відрізку. (2б)

y=4

3x

3−4 x ; [0 ; 2 ].

Завдання 3. Методами диференціального числення дослідити

функцію і побудувати її графік (6 б.):

y=x1

x.




(2 б.)

y=x

2−1

x; x

0=2.

Рівняння дотичної і нормалі до графіка функції y= f x в точці

з абсцисою x0

відповідно мають вид:

y= f x0 f ' x

0⋅ x−x

0; y= f x

0−

1

f ' x0⋅ x−x

0.

В даному випадку:

f x =x

2−1

x=x−

1

x; f ' x =1

1

x2

;

x0=2 ; f x

0= f 2=3/2 ; f ' x

0= f ' 2 =5 /4.

Тоді рівняння дотичної: y=3

2

5

4 x−2 ; y=

5

4x−1.

Рівняння нормалі: y=3

2−

4

5 x−2 ; y=

−4

5x

31

10.

98


вказаному відрізку. (2б) y=4

3x

3−4 x ; [0 ;2 ].

Зауваження. При знаходженні найбільшого та найменшого значень

диференційованої на відрізку функції потрібно:

1. Знайти першу похідну.

2. Знайти критичні точки першої похідної (нагадаємо, що

критичні точки, це точки з області визначення функції, в

яких її перша похідна дорівнює нулю або не існує).

3. Відібрати з критичних точок лише ті, які належать відрізку.

4. Обчислити значення функції на кінцях відрізку і у відібраних

критичних точках (що є внутрішніми для відрізку).

5. Вибрати з одержаних значень найбільше та найменше.

Знаходимо першу похідну: y '=4

3⋅3x

2−4=4 x2−4.

Знаходимо критичні точки:

y '=0 ; 4 x2– 4=0 ; 4 x2−1=0 ; x

2– 1=0 ; x

1=−1 ; x

2=1.

Відбираємо з критичних точок ті, що належать відрізку [ 0; 2 ]:

x1∉ [0 ;2 ] , x

2∈ [0 ;2 ].

Обчислюємо значення функції на кінцях відрізку і у відібраних критичних точках:

y 0=−4 ; y 2=4

3⋅2

3−4⋅2=32

3–8=

32−24

3=

8

3=2

2

3.

y 1=4

3⋅1−4⋅1=

4

3– 4=

4−12

3=−8

3=−2

2

3.

Вибираємо з одержаних значень найбільше та найменше:

maxx∈[ 0;2]

y x =y 2=22

3; min

x∈[0;2]y x =y 1=−2

2

3;

99



y=x1

x.

Зауваження. Завдання №3 виконується за загальною схемою

дослідження функції.

1. Знайти область визначення функції; вказати властивості функції: парність, непарність, періодичність (1б).

2. Знайти вертикальні і похилі асимптоти (1б).

3. Знайти першу похідну, критичні точки першої похідної, інтервали зростання спадання та точки екстремуму (2б).

4. Знайти другу похідну, критичні точки другої похідної, інтервали опуклості, угнутості та точки перегину графіка

функції. (1б)

5. Побудувати графік (1 б.)

Область визначення функції: D y =−∞ ;0∪0 ;∞ .Функція неперервна в області визначення, неперіодична. Область

визначення симетрична відносно початку координат, а так як для

всіх х з цієї області виконується умова

y −x =−x1

−x =− x 1

x =−y x ,

то функція непарна і її графік симетричний відносно початку

координат. Нульових значень функція не приймає, бо

y=x1

x=x

21

x, а рівняння

x21

x=0 не має дійсних коренів.

Отже графік заданої функції не перетинає вісь Ох. Він також не

перетинає і вісь Оу, бо в області визначення функції x≠0.

Вертикальні асимптоти.

100

Знаходимо односторонні границі:

limx0−0

x 1

x =−∞ ; limx00

x 1

x =∞ ;

отже пряма x=0 є вертикальною асимптотою.

Похилі асимптоти.

x∞: Рівняння похилої асимптоти шукаємо у і:

y=kxb .

k= limx∞

f x

x= limx∞

x1

x

x= limx∞ 1 1

x2 =1.

b= limx∞

f x −k x = limx∞

x 1

x−x = lim

x∞ 1

x =0.

Отже похила асимптота при x∞: y=1⋅x0, або y=x.Така сама асимптота і при x−∞ , бо границі будуть ті самі.

Знаходимо похідну функції y=x1

x. y ' = 1−

1

x2=x

2−1

x2

.

Критичні точки першої похідної:

x2−1

x2

= 0 ; x1=−1 ; x

2= 1. Точка x=0 , в якій перша

похідна не існує, не є критичною, бо ця точка не входить в область

визначення функції. Отже критичними точками є дві: x1=−1

і x2=1.

101

Будуємо таблицю:

x −∞;−1 1 (1;0) (0;1) 1 1 ;∞

y' (x) + 0 − − 0 +

y (x) ↗ -2 ↘ ↘ 2 ↗

max min

Функція зростає при x x∈−∞ ;−1∪1 ;∞ і спадна при

x∈−1 ; 0 ∪0 ;1 .

При х=−1 має місце максимум , при х=1 має місце

мінімум.

Знаходимо другу похідну: y ' '=1

x4⋅2 x=

2

x3.

Критичних точок не має, бо х=0 не входить в область визна-

чення функції.Будуємо таблицю:

x −∞; 0 0 ;∞

y'' (x) − +

y (x) ∩ ∪

На проміжку −∞ ; 0 графік функції опуклий, а на проміжку

0 ;∞ угнутий. Точок перегину не має.

Проведене дослідження дозволяє перейти до побудови графіка

функції.Будуємо графік:

102

4.12 Тренінговий варіант контрольної роботи для змістового

модуля № 3. Варіант 10 (тренінговий)



(2 б.)

y=2 x45 x7 ; x

0=1.


вказаному відрізку. (2б)

y=3 x−x2; [−2 ;3 ].



y=x

2−1

x23

.

1)

103

5. Методичні поради до виконання контрольної роботи

студентами заочної форми навчання. Зразок типової контрольної роботи.

Наведемо зразок завдання контрольної роботи №1 “Елементи

лінійної алгебри і аналітичної геометрії. Вступ в математичний

аналіз. Диференціальне числення функції однієї змінної”

(60 б. : 36 б. осн. + 24 б. захист) .

Завдання 1. Розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь(4 б.).

Розв’язати систему трьох лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома


а) за формулами Крамера ( 2 б.) ; б) матричним способом (2б.) .

{7 x−4 y2 z=−7 ;

3 x−4 y5z=3 ;

2 x3 y−2 z=−3.

Завдання 2. Елементи векторної алгебри (2б.).

Довести, що чотири точки лежать в одній площині: А(1; 2; -1), В(0; 1; 5), С(-1; 2; 1), D(2; 1; 3).

Завдання 3. Аналітична геометрія (6б. (3+3)).

1) Скласти рівняння прямої, що проходить через центр гіперболи

x2 – 8х – y2 – 4y + 3 = 0 перпендикулярно до прямої x + 3y + 5 = 0.

2) Дано координати вершин піраміди: а) написати рівняння

площини, що проходить через точки А1, А

2, А

3; б) написати рівняння

висоти, опущеної з вершини А4 на грань А

1А

2 А


А1 (2; -1; 2), А

2 (1; 2; -1), А

3 (3; 2; 1), А

4 (-4; 2; 5).

Завдання 4. Вступ в математичний аналіз (4 б).

Знайти границі функцій, не користуючись правилом Лопіталя:

a) limx∞

3 x22 x5

7 x3x

21; б) lim

x 3

x2−x−6

x2x−12

;

104

в) limx0

1−cos x

x2

; г) limx∞

2 x3

2 x5 3 x2

.

Завдання 5. Диференціальне числення функції однієї змінної (20 б.).

1) Знайти похідні dy


a) y=x2⋅etg x 21x

2 ln x

x41

; б) y=3sin 2 x−cos2

2 x 3 ;

в) y=ln arctg x 68 ; г) y=1x8arcsin x;


dxі

d2y

dx2


a) y=5 x 22⋅e3 x; б) x=5cos

3t ; y=5sin

3t.

3) Записати рівняння дотичної прямої і нормалі до графіка функції

y = f (x) в точці з абсцисою x0

(2 б.)

y=x

2−1

x; x

0=2.

4) Визначити найбільше та найменше значення функції на відрізку(2б.)

y=4

3x

3−4 x ; [0 ; 2 ].

5) Методами диференціального числення дослідити функцію і побудувати її графік (10 б.):

y=x1

x.

Всі ці задачі розв'язано вище.

105

Міністерство освіти і науки УкраїниНаціональний університет водного господарства

та природокористуванняКафедра вищої математики

КОНТРОЛЬНА РОБОТА №1

варіант №31

виконала:

студентка 1 курсу

гр. МБГ 11

Троян Н.В.

перевірив:

Рівне — 2008

106

5.1 Завдання до контрольної роботи №1 для студентів

заочної форми навчання (30 варіантів)

Завдання до контрольної роботи №1. Номер варіанта для

виконання контрольної роботи вказується викладачем.

Завдання 1. (4б.) Розв’язати систему трьох лінійних алгебраїчних

рівнянь з трьома невідомими двома способами: а) за формулами

Крамера; б) матричним способом.

1.

{2 x−y3 z=−7 ;

x2 y−z=4 ;

3 x−3y−2 z=1.

2.

{x2 yz=1 ;

2 x−3 y−z=−4 ;

xy2 z=1.

3.

{2 x2 y−3z=0 ;

x−2 yz=6 ;

2 xy2z=2.

4.

{3 x2 y2 z=1 ;

2 x−3 y−z=3 ;

xy3z=−2.

5.

{x2 yz=1 ;

2 x−3 y−2 z=−3 ;

2 xyz=2.

6.

{2 x−3 y6 z=17;

3 x4 y−z=−3 ;

x−5 y2 z=10.

7.

{xy−3z=6 ;

2 x−yz=5 ;

3 x y2 z=7.

8.

{x4 y−2 z=8 ;

−x5y3 z=−1 ;

4 x−6 y−z=−4.

9.

{3 x y2 z=−3 ;

4 x−y−3 z=5 ;

3 x−3y−2 z=1.

10.

{2 x−3 y−2 z=4 ;

3 x−2 yz=11 ;

3 x−4 y−z=7.

107

11.

{2 x−2 yz=−6 ;

4 x3 y−z=3 ;

x−4 y2 z=−9.

12.

{x3 yz=−2 ;

x4 y2 z=−3 ;

−x5y3 z=−10.

13.

{3 x−2 y−4z=2 ;

−x2 y3 z=−1 ;

x−2 y−5 z=3.

14.

{3 x5z=−1 ;

−4 y−2 z=2 ;

x−3yz=2.

15.

{x−3yz=2 ;

2 хy3 z=3 ;

2 x−y−2 z=8.

16.

{x2 yz=8 ;

2 x−3 y−z=3 ;

xy2 z=9.

17.

{x2 yz=2 ;

2 x−3 y−2 z=−14 ;

2 xyz=−3.

18.

{x−2 yz=7 ;

2 xy−3 z=4 ;

3 x2 y−2 z=8.

19.

{3 x2 yz=5 ;

2 x3 yz=6 ;

2 xy3 z=−2.

20.

{xy2 z=5 ;

2 x−y2 z=−1 ;

4 xy4 z=7.

21.

{−x4 y2 z=7 ;

3 xyz=−8 ;

−3 x5 y6z=14.

22.

{−3 x5 y2z=−5 ;

4 x−7y5z=22 ;

2 x4 y−3z=0.

23.

{2 x−y3 z=−2 ;

x2 y−z=9 ;

−3 x3 y2z=1.

24.

{3 x yz=−5 ;

−x4 y2 z=6 ;

−3 x5 y6z=11.

108

25.

{5 x−7 y4z=−4 ;

3 x−4 y5z=3 ;

2 x3 y−2 z=−3.

26.

{2 x−3 y−z=3 ;

xy2 z=9 ;

x2 yz=8.

27.

{2 x−3 y−2 z=−14 ;

x2 yz=2 ;

2 xyz=−3.

28

{3 x−y−2 z=11 ;

2 xy−3 z=4 ;

3 x2 y−2 z=8.

29.

{5 x3 y4 z=3 ;

2 x3 yz=6 ;

2 xy3 z=−2.

30.

{2 x−y2 z=−1 ;

xy2 z=5 ;

4 xy4 z=7.


1. Знайти скалярний добуток векторів та косинус кута між

векторами:

a=5i3j2k ; b=4i 6j−2 k.

2. Знайти векторний добуток векторів:

a=2 i 3j4k ; b=3i 2j−5 k.

3. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах:

a=4i2j−3k ; b=3i −2jk.

4. Довести, що три вектори компланарні:

a=i 3j−4k ; b=2 i −3j6 k ; c=8i−3j10k.

5. Знайти об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах:

a=3ijk ; b=5i−j−k ; c=i−j5 k.

6. Обчислити роботу сили F=2i 4jk при

109

переміщенні матеріальної точки від положення А (1; 2; 1) в

положення В (2; 2;3).


a=5i−j3k ; b=2i2j−k.

8. Знайти площу трикутника, з вершинами у точках:

А(1; 2; 0), В(3; 0; 3),С(5; 2; 6).

9. Довести, що чотири точки не лежать в одній площині: А(1; 3; 0), В(1; 2; 6), С(0; 3; 2), D(3; 2; 4).

10. Знайти об'єм піраміди, з вершинами у точках:

А(3; 2; 6), В(1; 3; 2), С(1; 1; 4), D(4; 3; 5).


векторами:

a=2 i5j3k ; b=3i2j−4 k.


a=i5j2k ; b=4i2 j−3 k.


a=6i3j−2 k ; b=3i −2j6 k.


a=3i7j9k ; b=2i 3jk ; c=i2 j2 k.


a=3i2j−2k ; b=i3j−k ; c=i j4 k.

110

16. Обчислити роботу сили F=i5j2k при

переміщенні матеріальної точки від положення А (3; 2; 0) в

положення В (2; 5; 3).


a=5i−j4 k ; b=i2j−2 k.


А(3; 3; 3), В(4; 5; 6), С(6; 5; 4).

19. Довести, що чотири точки лежать в одній площині: А(3; 4; 1), В(2; 3; 7), С(1; 4; 3), D(4; 3; 5).


А(4; 1; 3), В(5; 5; 4), С(2; 1; 1), D(3; 2; 1).


векторами:

a=4i3j3k ; b=2 i 4 j−5 k.


a=5i 2j2k ; b=3i 3j−4 k.


a=4i6 k ; b=2i −2j−3 k.


a=2 i 5j7k ; b=ij−k ; c=i2 j2 k.


a=2 i −j−k ; b=i3j−k ; c=ij4 k.

111

26. Обчислити роботу сили F=5i3jk при переміщенні

матеріальної точки від положення А (2; 5; 0) в положення

В (2; 4; 3).


a=4i−j−2k ; b=3i−2j−k.


А(4; 5; 3), В(5; 6; 7), С(7; 6; 5).

28. Довести, що чотири точки не лежать в одній площині: А(3; 5; 2), В(3; 4; 8), С(2; 5; 4), D(5; 4; 6).


А(5; 0; 8), В(3; 5; 4), С(1; 1; 6), D(6; 5; 7).

Завдання 3.

3.1. Скласти рівняння прямої на площині:1. Скласти рівняння прямої, що проходить через центр еліпса

x2 – 2х + 2 y2 – 8y + 7 = 0 паралельно прямій 2x + 6y + 3 = 0.

2. Скласти рівняння прямої, що проходить через центр еліпса

x2 + 6х + 4y2 – 8y + 9 = 0 перпендикулярно до прямої 5x + 4y + 6 = 0.


4x2 – 32х + y2 – 4y + 5 = 0 перпендикулярно до прямої 3x + 4y – 8 = 0.

4. Скласти рівняння прямої, що проходить через центр гіперболи

x2 – 2х – 2y2 + 8y – 9 = 0 паралельно прямій 3x + 5y + 9 = 0.


x2 + 6х – 4y2 + 8y + 1 = 0 паралельно прямій 3x + 2y + 1 = 0.

112


x2 – 4x – y2 + 6y – 42 = 0 перпендикулярно до прямої 2x + 5y + 1 = 0.


x2 + 8x – 2y2 + 4y + 1 = 0 перпендикулярно до прямої 3x + 4y + 2 = 0.

8. Скласти рівняння прямої, що проходить через центр кола

2x2 – 4х + 2y2 – 8y + 1 = 0 паралельно прямій 3x + 2y + 1 = 0.



10. Скласти рівняння прямої, що проходить через вершину параболи

x2 – 6х – y + 15 = 0 паралельно прямій 8x + 5y + 9 = 0.


x2 – 2х + 2 y2 – 8y –1 = 0 паралельно прямій 6x + 3y + 5 = 0.


x2 + 6х + 4 y2 – 8y –3 = 0 перпендикулярно до прямої x + 4y + 3 = 0.


4x2 – 16х + y2 – 8y –6 = 0 перпендикулярно до прямої 5x + y +8 = 0.




x2 + 4х – 4y2 + 16y – 1 = 0 паралельно прямій x + 5y + 1 = 0.









20. Скласти рівняння прямої, що проходить через вершину параболи

2x2 – 6х – y –15 = 0 паралельно прямій 2x + 5y + 5 = 0.


x2 – 2х + 2 y2 – 10y – 7 = 0 паралельно прямій 3x + 6y + 5 = 0.

113


x2 + 8х + 4 y2 – 16y – 9 = 0 перпендикулярно до прямої x +3y +9 = 0.


4x2 – 32х + y2 – 4y + 5 = 0 перпендикулярно до прямої 7x+ 3y–9 = 0.








x2 + 8x – 2y2 + 4y + 1 = 0 перпендикулярно до прямої 9x +3y +2 = 0.


2x2 – 8х + 2y2 – 4y – 1 = 0 паралельно прямій 5x + y + 1 = 0.


x2 – 8х – y2 – 4y – 3 = 0 перпендикулярно до прямої x + 6y + 8 = 0.

30. Скласти рівняння прямої, що проходить через вершину параболи 2x2

– 4х – y + 15 = 0 паралельно прямій 3x + 2y + 5 = 0.

3.2 Дано координати вершин піраміди: а) написати рівняння

площини, що проходить через точки А1, А

2, А

3; б) написати рівняння


1А

2 А


1) А1 (1; 3; 6), А

2 (2; 2; 1), А

3 (-1; 0; 1), А

4 (-4; 6; -3).

2) А1 (-4; 2; 6), А

2 (2; -3; 0), А

3 (-10; 5; 8), А

4 (-5; 2; -4).

3) А1 (7; 2; 4), А

2 (7; -1; -2), А

3 (3; 3; 1), А

4 (-4; 2; 1).

4) А1 (2; 1; 4), А

2 (-1; 5; 2), А

3 (-7; -3; 2), А

4 (-6; -3; 6).

5) А1 (-1; -5; 2), А

2 (-6; 0; -3), А

3 (3; 6; -3), А

4 (-10; 6; 7).

114

6) А1 (0; 1; 1), А

2 (2; 3; 5), А

3 (1; 5; 9), А

4 (1; 6; 3).

7) А1 (5; 2; 0), А

2 (2; 5; 0), А

3 (1; 2; 4), А

4 (1; 1; 1).

8) А1 (2; 1; 2), А

2 (1; 2; 1), А

3 (5; 0; 6), А

4 (10; 9; 7).

9) А1 (2; 0; 4), А

2 (1; 7; 1), А

3 (4; 8; 4), А

4 (1; 4; 6).

10) А1 (14; 4; 5), А

2 (5; 3; 2), А

3 (2; 6; 3), А

4 (2; 2; 1).

11) А1 (1; 2; 0), А

2 (3; 0; 3), А

3 (5; 2; 6), А

4 (8; 4; 9).

12) А1 (2; 1; 2), А

2 (1; 2; 1), А

3 (3; 2; 1), А

4 (4; 2; 5).

13) А1 (1; 1; 2), А

2 (1; 1; 3), А

3 (2; 2; 4), А

4 (1; 0; 2).

14) А1 (2; 3; 1), А

2 (4; 1; 2), А

3 (6; 3; 7), А

4 (7; 5; 3).

15) А1 (1; 1; 1), А

2 (2; 3; 1), А

3 (3; 2; 1), А

4 (5; 9; 8).

16) А1 (4; 4; 10), А

2 (4; 10; 2), А

3 (2; 8; 4), А

4 (9; 6; 4).

17) А1 (1; 8; 2), А

2 (5; 2; 6), А

3 (5; 7; 4), А

4 (4; 10; 9).

18) А1 (7; 2; 2), А

2 (5; 7; 7), А

3 (5; 3; 1), А

4 (2; 3; 7).

19) А1 (0; 4; 6), А

2 (5; 6; 7), А

3 (1; 3; 4), А

4 (2; 1; 6).

20) А1 (0; 1; 3), А

2 (4; 7; 8), А

3 (6; 2; 4), А

4 (1; 5; 4).

21) А1 (1; 6; 4), А

2 (3; 1; 1), А

3 (5; 7; 3), А

4 (1; 7; 0).

22) А1 (3; 3; 9), А

2 (6; 9; 1), А

3 (1; 7; 3), А

4 (8; 5; 8).

23) А1 (9; 5; 5), А

2 (3; 7; 1), А

3 (5; 7; 8), А

4 (6; 9; 2).

24) А1 (3; 5; 4), А

2 (8; 7; 4), А

3 (5; 10; 4), А

4 (4; 7; 8).

25) А1 (1; 2; 3), А

2 (0; 1; 2), А

3 (3; 2; 1), А

4 (2; 5; 1).

26) А1 (3; 5; 4), А

2 (5; 8; 3), А

3 (1; 9; 9), А

4 (6; 4; 8).

27) А1 (0; 7; 1), А

2 (4; 1; 5), А

3 (4; 6; 3), А

4 (3; 9; 8).

28) А1 (7; 5; 3), А

2 (9; 4; 4), А

3 (4; 5; 7), А

4 (7; 9; 6).

115

29) А1 (6; 6; 2), А

2 (5; 4; 7), А

3 (2; 4; 7), А

4 (7; 3; 0).

30) А1 (9; 5; 5), А

2 (3; 7; 1), А

3 (5; 7; 8), А

4 (6; 9; 2).

Завдання 4. Вступ в математичний аналіз (4 б).

Знайти границі функцій, не користуючись правилом Лопіталя (4 б.):

1) a) limx∞

5 x22 x1

7 x24 x5

; б) limx0

х4−4−x

3 x;

в) limx0

tg 3 x

5 x; г) lim

x∞ 2 x−8

2 x3 3 x4

;

2) a) limx∞

5 x37 x1

3 x22 x3

; б) limx5

4х−3

x−5;

в) limx0

1−cos 4 x

3 x2

; г) limx∞ x5

x−3 x4

;

3) a) limx∞

4 x27 x−5

2 x23 x−1

; б) limx−3

2 x211 x15

3−2 x−x2;

в) limx0

sin 3 x

sin 8 x; г) lim

x∞ 5 x1

5 x 3 x−4

;

4) a) limx∞

2 x37 x4

x32 x1

; б) limx2

3 x25 x−22

x2−5 x6

;

116

в) limx0

sin 5 x

tg 7x; г) lim

x 0

13 x 2/ x ;

5) a) limx∞

3 x2x−7

3−2 x−5 x2; б) lim

x3

5 x−x 2−6

x2−2 x−3

;

в) limx0

sin 4 x

8 x; г) lim

x∞ 3 x−1

3 x4 3 x2

;

6) a) limx∞

72 x9 x4

3 x4−11 x1

; б) limx0

2−4−x2

x2

;

в) limx0

cos x−cos3x

4 x2

; г) limx∞

4 x−1

4 x3 2 x3

;

7) a) limx∞

7 x2−9 x4

3 x2−2 x1

; б) limx1

5 x2−2 x−3

x2−5 x4

;

в) limx0

3 x

tg 5 x; г) lim

x∞

2 x3 ln x−4− ln x ;

8) a) limx∞

9−6 x2

3 x2x5

; б) limx2

x4−16

x3−8

;

в) limx0

sin 5 x ctg 3 x ; г) limx∞

x3

x4 5−2 x

;

9) a) limx∞

5x27 x5

9 x3x21

; б) limx3

2 x2−5 x−3

x23x−18

;

117

в) limx0

1−cos 4 x

x2

; г) limx∞

3x2

3 x5 2 x4

;

10) a) limx∞

8 x25 x7

4 x27 x3

; б) limx1

3 x25 x−8

7 x2x−8

;

в) limx0

tg2x

9 x2; г) lim

x∞ 3x−4

3 x5 2 x7

;

11) a) limx∞

2 x2−5 x1

3 x27 x2

; б) limx0

х1−1−x

5 x;

в) limx0

tg 4 x

8 x; г) lim

x∞ 3x−2

3 x5 x−1

;

12) a) limx∞

3 x3−2 x1

5 x2x−3

; б) limx7

2 х−3

x−7;

в) limx0

1−cos 2x

5 x2

; г) limx∞

x3

x−2 x1

;

13) a) limx∞

2 x26 x−5

5x2−x−1

; б) limx−5

2 x215 x25

5−4 x−x 2;

в) limx0

sin 4 x

sin 12 x; г) lim

x∞ 4 x1

4 x 2 x−3

;

118

14) a) limx∞

3 x3−5 x4

x3−x1

; б) limx3

2 x2−9 x9

x2−5 x6

;

в) limx0

sin 3 x

tg 8 x; г) lim

x0

12 x 3/ x ;

15) a) limx∞

2 x2x−7

3−x−4 x2; б) lim

x4

5 x−x2−4

x2−2 x−8

;

в) limx0

sin 2 x

6 x; г) lim

x∞ 5 x−1

5 x4 2 x1

;

16) a) limx∞

5x−8 x4

2 x49 x1

; б) limx0

2−4−x2

x2

;

в) limx0

cos x−cos3x

5 x2

; г) limx∞

5 x−2

5 x4 2 x9

;

17) a) limx∞

8 x2−7 x4

4 x2−x2

; б) limx1

6 x2−5 x−1

4 x2−7 x3

;

в) limx0

9 x

tg3 x; г) lim

x∞

5 x2ln x4−ln x;

18) a) limx∞

9−5 x2

3 x24 x3

; б) limx1

x5−1

x4−1

;

в) limx0

sin 7 x⋅ctg 3 x ; г) limx∞

x4

x5 6−x

;

119

19) a) limx∞

9 x23 x5

5x37 x

21; б) lim

x 3

x2−4 x3

3 x2−10 x3

;

в) limx0

1−cos 6 x

x2

; г) limx∞

4 x3

4 x5 8 x5

;

20) a) limx∞

9 x2−3 x1

3 x25 x8

; б) limx1

2 x23 x−5

5 x2− x−4

;

в) limx0

tg2

2 x

6 x2; г) lim

x∞ 4 x−2

4 x3 2 x7

;

21) a) limx∞

8 x2−3x4

2 x2 x9

; б) limx0

х1−1− x

2 x;

в) limx0

sin 8 x

2 x; г) lim

x∞ 6 x−3

6 x5 12x−1

;

22) a) limx∞

3 x3−2 x1

5 x2x−3

; б) limx9

7х−4

x−9;

в) limx0

1−cos 8 x

4 x2

; г) limx∞ x5

x−3 2 x1

;

23) a) limx∞

5x22 x−9

3 x2−x−4

; б) limx−5

2 x25 x−25

10−3 x−x2;

120

в) limx1

sin1−x

x2−1

; г) limx∞ 3 x1

3 x 4 x−3

;

24) a) limx∞

5x3−4 x4

2 x3−x1

; б) limx3

2 x2−7 x3

x2−9 x18

;

в) limx0

sin 9 x

tg 3 x; г) lim

x0

15 x 2 /x ;

25) a) limx∞

25 x2x−3

7−x−5 x2; б) lim

x4

8 x−x 2−16

x2−3 x−4

;

в) limx0

sin 5 x

4 x; г) lim

x∞ 9 x−1

9 x4 3 x1

;

26) a) limx∞

8x−5 x4

2 x4−3 x1

; б) limx0

1−1−x3

x3

;

в) limx0

cos x−cos3x

8 x2

; г) limx∞

7 x−1

7 x4 14 x2

;

27) a) limx∞

9 x2−8 x4

3x2−x1

; б) limx1

5 x2−3 x−2

x2−7 x6

;

в) limx0

8 x

tg 2 x; г) lim

x∞

3 x5 ln x−4−ln x ;

28) a) limx∞

3−4 x2

2 x2x9

; б) limx1

x3−1

x4−1

;

121

в) limx0

sin 4 x⋅ctg 7x ; г) limx∞ 2 x1

2 x3 9−x

;

29) a) limx∞

15 x22 x1

5 x3x 29

; б) limx3

x2−4 x3

x25x−24

;

в) limx0

1−cos10 x

x2

; г) limx∞

2 x7

2 x3 4 x3

;

30) a) limx∞

8 x2−9 x7

4 x25 x4

; б) limx 1

5x2x−6

3 x22 x−5

;

в) limx0

tg2

4 x

3 x2; г) lim

x∞ 4 x−2

4 x3 6 x2

;

Завдання 5. Диференціальне числення функції однієї змінної (20 б.).

5.1. Знайти похідні dy


1 a) y=x3⋅e2 x

x25

sin x; б) y=5cos 2 x−ctg

23 x 6 ;

в) y=lnarccos x ; г) y=4x9arctg x;

2a) y=x7⋅tg x

cos3 x

5 x1; б) y=3arcsin 2 xln 13 x

25

;

в) y=ln ctg x33x ; г) y= x49 sin 5x

;

122

3 a) y=x5⋅e3 x

x2

8sin x; б) y=7arctg x−ln

3x

9

;

в) y=5cos

2x8 ; г) y=25 x arcsin 4x

;

4a) y=sin x⋅

5 x x

9cos x; б) y=4 tg 5 xarccos 2 x 6 ;

в) y=lnarcsin x ; г) y=arctg4x11 / x ;

5 a) y=x2⋅ctg x

ex

x21

; б) y=6cos 5 x−tg3x 4 ;

в) y=arcsin ln x ; г) y=5 x2 arctg x;

6 a) y=e x⋅arcsin x

xx

29; б) y=5cos 2 x−tg

2x 6 ;

в) y=ln sin x42 ; г) y=2 xarctg x x3

;

7 a) y=x⋅tg x

ln x

x65

; б) y=5ctg 4 x−cos7

2 x 8 ;

в) y=ln arccos x ; г) y=1arctg xsin x;

8 a) y= x⋅sin4xarccos

5x ; б) y=3arctg xctg

6x 9;

в) y=e

3 x5 x22

tg xln3x; г) y=9arcsin x x ;

123

9 a) y=esin x⋅ln x ; б) y=5cos 2 x−sin8

2 x 5;

в) y=2 x

3tg x

x69

; г) y=1x8arctg x;

10 a) y=sin 3 x⋅ x41 ; б) y=7arccos 2x−ctg4

5 x 8 ;

в) y=tg 2 x3

x62

; г) y=x51arctg6 x;

11 a) y=x⋅ectg xln cos x ; б) y=4sin 5 x−tg2

2 x 8 ;

в) y=x

2arctg x

x61

; г) y=9 x5arccos x;

12 a) y=x⋅tg 5x

8 x

x45

; б) y=6arcsin 2 xln 1x3 5

;

в) y=ln sinx 47x ; г) y= x42 cos 2x

;

13 a) y=x⋅ctg x

4x3


4x

6

;

в) y=7cos

4x9 ; г) y=5 x22 x1arcsin 2x

;

14 a) y=ex⋅ x ln x

x5; б) y=6arcsin 2xarctg 3 x9 ;

в) y=ln tg 6 x9; г) y=sin4x11/ x ;

15 a) y=ln4x⋅cos 2 x ; б) y=4ctg 5x−sin

6x 7 ;

в) y=arctg

2x5

x31

; г) y=5 x8tg x ;

124


xx2

; б) y=5sin2 x−arctg2x 4 ;

в) y=ln ctgx62; г) y=xtg x x3

;

17 a) y=ctg 2 x⋅ x x

sin x; б) y=5tg 4 x−cos

62 x 4;

в) y=ln arctg 2 x ; г) y=2arcsin x x ;

18 a) y=3 x⋅tg5xln arcsin 4 x ; б) y=5arccos xctg

6x 4 ;

в) y=e

5x1

sin x8; г) y=9arctg x x ;

19 a) y=x⋅ecos xln arctg x ; б) y=5sin 4 x− tg2

6 x 5 ;

в) y=x

2ctg x

x81

; г) y=1x6arccos x;

20 a) y=tg x⋅ x e

x

x49

; б) y=8arcsin x−cos2

5x 6 ;

в) y=ln ctg x213x; г) y=x4arctg x sin 5x

;

21 a) y=x⋅earctg xln cos x ; б) y=5tg 2x−ctg2

4 x5 ;

в) y=x

2sin 3 x

x51

; г) y=1x2x6arcctg x;

22 a) y=x⋅tg 2 x

5 x9

x21

; б) y=5arctg 2 xln 17x2

8

;

в) y=ln cos x65 x; г) y= x84 arcsin x;

125

23 a) y=x3⋅sin x

1x4

8cos 4 x; б)

y=2arcsin x−ln6x

7

;

в) y=7 tg

2x9 ; г) y=14 x arctg 2 x

;

24 а ) y=x3⋅ctg x

2x

9 x6; б) y=8arcsin 2 xarctg 3 x 5;

в) y=ln cos5 x7 ; г) y=x211/ sin x;

25 a) y=x⋅tg4xlnsin x ; б) y=4arctg x−cos

23x 5 ;

в) y=arcsin 2 x

x41

; г) y=5 x2 ctg x;


xsin 5x

; б) y=6ctg 2 x−arctg2x 3 ;

в) y=ln cos x23 ; г) y=5tg5x x

3

;

27 a) y=ctg x48⋅ ln x ; б) y=2 tg 2 x−sin3

4 x6 ;

в) y=ln arcsin x x

2cos x; г) y=arctg 2 x x ;

28 a) y=x6⋅ex

4 x

x38

; б) y=5arctg 4xsin6x 8;

в) y=ln cos3 x5; г) y=8x5arcsin x;

29 a) y=x⋅esin xln arctg x ; б) y=3tg 2x−arccos2

2 x 4 ;

в) y=x

4ln3x

x21

; г) y=1x4arcsin4 x;

126

30 a) y=arctg x⋅ x x

tg x6; б) y=8sin 2 x−cos

24 x 5 ;

в) y=ln ctg x48 ; г) y=x61arcsin3x;

5.2. Знайти похідні dy

dxі

d2y

dx2


1 a) y=x3⋅e2 x; б) x=t3−3 t1 ; y=t 2−2 t.

2 a) y=x⋅arctg x ; б) x=cost ; y=sin2t.

3 a) y=x3sin2x ; б) x=5 cos t ; y=8sin t.

4 a) y=x31⋅cos2 x ; б) x=e2 t; y=cos t.

5 a) y=x1⋅e3 x; б) x=6 cos t ; y=3 sin t.

6 a) y=e3x⋅sin 2 x; б) x=4 cos t ; y=5sin2t.

7 a) y=x⋅sin 3 x ; б) x=cos t ; y=t 21.

8 a) y=x2xcos2x ; б) x=cos

3t ; y=sin

3t .

9 a) y=5 x22 e3x; б) x=t21 ; y=e t

2

.

10 a) y=sin2xln x ; б) x=tg t ; y=cos

2t.

11 a) y=x2⋅ln x ; б) x=2−sin t ; y=1−cos t.

12 a) y=e x⋅sin x ; б) x=2 t−t 3; y=2 t2.

13 a) y=2 x3⋅cos x ; б) x=sin t ; y=t 22.

14 a) y=x⋅cos 2 x5 ; б) x=t25 ; y=2 t3.

15 a) y=x1⋅e3x; б) x=6 cos t ; y=3 sin t.

127

16 a) y=x 4⋅e3 x; б) x=t24 t1 ; y=t2−2.

17 a) y=x⋅sin 3 x9 ; б) x=cos2t ; y=sin t.

18 a) y=x23⋅sin 4 x ; б) x=9 sin t ; y=6 cos t.

19 a) y=x42⋅sin 2 x ; б) x=3 t21 ; y=sin t.

20 a) y=x2⋅e2 x; б) x=cos4 t ; y=2sin 4 t.

21 a) y=2 x3⋅e5 x; б) x=5 sin 6 t ; y=2 cos

26 t.

22 a) y=x⋅cos5 x ; б) x=sin t ; y=t 28.

23 a) y=x 4x2tg x ; б) x=sin3t ; y=cos

3t .

24 a) y=3x 24e2 x; б) x=t32 ; y=e t

3

.

25 a) y=cos2xarctg x ; б) x=tg 3t ; y=cos

23 t.

26 a) y=x31⋅ln x ; б) x=4−sin t ; y=2−cos t.

27 a) y=e2 x⋅sin3 x ; б) x=t51 ; y=2 t3.

28 a) y=4 x 22 x5⋅sin x ; б) x=cos t ; y=t36 t.

29 a) y=4 x1⋅ex ; б) x=t48 ; y=sin t.

30 a) y=x25⋅e2 x; б) x=8 sin t ; y=4 cos t.

5.3. Записати рівняння дотичної прямої і нормалі до графіка

функції y = f (x) в точці з абсцисою x0

(2 б.)

1 y=x43 x1 ; x

0=1. 16 y=x⋅e

2 x; x

0=0.

2 y=x31 ; x

0=−1. 17 y=5x x

2; x

0=3.

3 y=8− x2; x

0=2. 18 y=x45⋅e

x; x

0=0.

128

4 y=5 x21 ; x

0=−1. 19 y=x5−1; x

0=2.

5 y=5sin x ; x0=0. 20

y=tg8 x ; x0=

8.

6 y=x⋅ex ; x0=0. 21 y=x35 x; x

0=1.

7 y=2x2 x2; x

0=2. 22

y=x 41

x; x

0=1.

8 y=x23⋅ex ; x0=0. 23 y=2 x7 ; x

0=2.

9 y=x2−1 ; x0=2. 24 y=7x

24 ; x0=−1.

10y=tg 4 x ; x

0=

4.

25 y=x3sin x ; x0=0.

11 y=x52 x3 ; x0=1. 26 y=x⋅e4 x

; x0=0.

12 y=x 41 ; x0=1. 27 y=2 x3 x

2; x

0=2.

13 y=9−x4; x

0=2. 28 y=x22⋅ex ; x

0=0.

14 y=5 x32 ; x

0=1. 29 y=x26 ; x

0=2.

15 y=2 xcos x ; x0=0. 30

y=tg9 x ; x0=

9.

5.4. Визначити найбільше та найменше значення функції на

відрізку(2б.)

1y=x

3

3−2 x

23 x ; [0 ;2] .16

y=x

3

3−3 x

2; [−1 ;1].

2 y=x3−12 x5 ; [−1 ;3 ]. 17 y=x3−3 x1 ; [0 ;3].

129

3y=x

3

3−

5

2x

24 x ; [0 ;3 ].18

y=x

3

3−2 x

23x ; [0 ;2 ].

4 y=x3−27 x1 ; [−1 ;4]. 19 y=3 x4−16 x

33 ; [0 ;4].

5y=x

3

3−4 x

212 x ; [0 ;3].20

y=x

3

3−3 x

25 x ; [0 ;2].

6 y=x3−6 x29 x ; [0 ;2 ]. 21 y=x3−15 x

2; [−1 ;2 ].

7y=x

3

3−3 x

28 x ; [0 ;3] .22

y=x

3

3−x2−3 x ; [−2 ;2 ].

8 y=x3−9 x2; [−1 ;2 ]. 23 y=x3−6 x4 ; [0 ;4].

9y=x

3

3−4 x

27 x ; [0 ;2 ].24

y=x

3

34 x

27 x ; [−2 ;1].

10 y=3 x44 x

31 ; [−2 ;1]. 25 y=x5−80 x ; [0 ;3].

11y=x

4

4−2 x

25 ; [−1 ;3 ].26

y=x

3

3−

7

2x

210 x ; [0 ;3 ].

12 y=x3−12 x221 x ; [0 ;2]. 27 y=x5−20 x

21 ; [1 ;3].

13y=x

3

3

x; [−5 ;−1 ].

28y=x

8

2

x; [1 ;6 ].

14 y=x 4−2 x23 ; [−2 ;2 ]. 29 y=x2 x1 ; [0 ;4 ].

15 y=x5−5 x45 x

3;[−1 ;2 ]. 30 y=x3−6 x

2; [−1 ;3] .

5.5. Методами диференціального числення дослідити функцію і побудувати її графік (10 б.):

1y=

6

x23

.16

y=e

1

21− x2

;

130

2y=x

316

x2

.17 y=x⋅e2− x

.

3y=

2 x

1x2;

18y=

2−4 x2

1−4 x2;

4y=

x

x12.

19y=

x3

2−x.

5y=x2

1

x2.

20y=x

2−1

x21

;

6y=x

2−4

x−3.

21y=

x

x21

.

7 y=ln 1x2. 22y=x

31

x2

.

8y=

x2

x24

.23

y=x

316

x2

.

9y=

x2

x−1.

24y=

36 x

x−22.

10 y=e−x2

; 25y=

x2

x2−1

.

11y=x

2−1

x22

.26

y=x

2−4 x8

x−2.

12y=

x4

x3−1

.27

y=32

x212

.

131

13y=x

3−8

2 x2

.28

y=12 x

x23

.

14y=

4 x

4x2.

29y=x

3−4

4 x2

.

15 y=x⋅ex−1; 30

y=e

1

84− x2

;

6. Самостійна робота студента.

Самостійна робота студента включає в себе опрацювання

теоретичного матеріалу по підручникам, конспектам і навчальним

посібникам, підготовку до практичних занять, виконання домашніх

вправ та індивідуальної роботи (ТР), опрацювання окремих

розділів з навчальної дисципліни, які не виносяться на лекції, підготовку до написання контрольних робіт, до складання заліку,

іспиту з обов'язковим розв'язуванням тестових завдань.

Нормативи обліку самостійної роботи студента у системі КМСОНРECTS

№ Види навчальної діяльності Навантаження, год.

1 Опрацювання лекційного

матеріалу0,5 год. /1 год. лекції

2 Підготовка до практичних

занять0,5 год. /1 год. пр. занять

3 Виконання ТР 0,5 год. на1 ст.на семестр якому виконується ТР

4 Опрацювання окремих розділів

робочої програми з навчальної дисципліни, які не виносяться

на лекції

До 3 год./1 год. можливої типової лекції

5 Підготовка до написання

контрольних модульних робіт,

до складання заліку, іспиту

6 год. / 1 кредит ECTS

132

7. Форми підсумкового контролю .

Формами підсумкового контролю за І семестр є іспит для студентів

стаціонарної і заочної форми навчання.

Студент в залежності від виду підсумкового контролю отримає

позитивну оцінку на іспиті або залік, якщо за всіма формами

навчальної діяльності він одержить на протязі семестру не менше 60

балів.

Переведення даних 100бальної шкали оцінювання у 5бальну

шкалу за системою ECTS проводиться згідно таблиці:

Сума балів за

всі форми

навчальної діяльності

Оцінка

в ECTS

Оцінка за національною шкалою

Іспит Залік

90100 A Відмінно (“5”)

Зараховано

8289 B Дуже добре (“4”)

7481 C Добре (“4”)

6473 D Задовільно(“3”)

6063 E Достатньо (“3”)

3559 FX Незадовільно (“2”) Не зараховано

З можливістю повторного складання

134 F Незадовільно (“2”) Не зараховано

З обов'язковим повторним вивченням

дисципліни

133

8. Питання для підготовки до іспиту за І семестр

Питання для підготовки до іспиту за І семестр складаються з

теоретичних питань до змістових модулів №1, №2, №3, наведених

вище.

9. Зразок білету для підсумкового модуля

Екзаменаційний білет складається з чотирьох питань: двох

теоретичних і двох прикладів або задач. Кожне питання оцінюється

в 10 балів. Теоретичні питання ті самі, що й теоретичні питання для

підготовки до змістових модулів. Перше питання із питань

змістового модуля№1, а друге із питань змістових модулів №2 або

№3. Всього на іспиті можна одержати 40 балів максимально.

Студенти денної форми навчання можуть здавати іспит при умові, що здано всі змістові модулі і загальна сума основних балів не менше

36.

Екзаменаційний білет № 31 (зразок)

1. Обернена матриця. Розв'язування систем лінійних алгебраїчних

рівнянь матричним методом. Ранг матриці. Теорема Кронекера

Капеллі.

2. Точки екстремуму. Необхідна і достатні умови екстремуму.

3. Обчислити проекцію вектора a=2 i5j4k на вісь

вектора b=3i−2jk.

4. Знайти асимптоти графіка функції y=x

25 x−3

x.

134

10. Тренінгові та тестові завдання для підготовки до

підсумкового модуля

Визначники. Матриці. Системи лінійних рівнянь

1. Знайти визначник: ∣5 −2

3 −4∣. а) 14; б) 14 ; в) 5.

2. Знайти визначник: ∣ 1 −2 2

11 2 10

−2 0 4∣ .

а) 132; б) 112 ; в) 144.

3. Знайти всі розв'язки системи рівнянь:

{x−3yz=0 ;

2 x−9 y3z=0.

а) x=2 t ; y=3 t ; z=0, t∈ℝ . б) x=−2 t ; y=5 t ; z=4 t , t∈ℝ.

в) x=0 ; y=−t ; z=−3 t , t∈ℝ .

4. Розв'язати систему: {2 x−4 y9 z=28;

7 x3 y−6 z=−1 ;

7 x9 y−9 z=5.

а) x=1; y=5; z=1. б) x=2; y=3; z=4. в) x=4; y=0; z=4.

135

5. Знайти добуток матриць A⋅B , якщо

A=[2 1 1

3 0 2 ] , B=[3 2

2 1

1 0].

а) 4 6

5 3; б) 9 5

11 6 ; в) 9 6

−11 5 .

Векторна алгебра. Скалярний добуток

1. Дано вектори: a=4i−2j−4k ; b=6i−3j2 k.

Знайти вектор c=2 a−3b .

а) c=10 i−5j−2k ; б) c=−10i5j−14 k.

2. Дано a=4i−2j5k ; b=2i3j2 k. Знайти скалярний добуток a⋅b.

а) 10 ; б) 14; в) 12.

3. Обчислити проекцію вектора a=3i2j5k на вісь

вектора b=i−2j2 k.а) 3; б) 2; в) 4.

4. Знайти косинус кута, утвореного векторами

a=2i−4j4k і b=−3i2j6 k.

а) 8/21 ; б) 5/21; в) -4/17.

136

5. Визначити, при якому значенні р вектори

a= рi−3j2k і b=i2j− рk перпендикулярні.

а) 2; б) 6; в) 8.

Векторний добуток

1. Дано вектори: a=3i−j−2k ; b=i2j−k.Обчислити векторний добуток цих векторів

а) a×b=5ij7k ; б) a×b=3i−2j2 k.

2. Знайти площу трикутника, з вершинами в точках:

А(1; 2; 0), В(5; 2; 6), С(3; 0; 3).

а) 14; б) 18; в) 28.

Мішаний добуток

1. Знайти мішаний добуток векторів:

a=i−jk ; b=ijk ; c=2i3j4 k.

а) 4; б) 8; в) 16.

2. Встановити, чи вектори компланарні:

a=2i3jk ; b=i−5j2k ; c=4i6j2 k.

а) так; б) ні .

3. Довести, що чотири точки А(5; 7; 2), B(3; 1; 1),

C(9; 4; 4), D (1; 5;0) лежать в одній площині.

137

4. Знайти об'єм трикутної піраміди, з вершинами у точках:

А(0;0; 1), В(2; 3; 5), С(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

а)10; б) 20; в) 30.

Поділ відрізка у даному відношенні

1. Дано три послідовні вершини паралелограма: А(11;4),

В(1;1), С(5;7). Визначити координати четвертої вершини D.

а) D(15; 18) ; б) D(17; 12) ; в) D(14; 16) .

2. Дано координати вершин трикутника: А (1; 1), В (0; 6),

C(10; 2). Знайти довжину його медіани, проведеної з

вершини А.

а) 5; б) 10; в) 15.

Пряма на площині

1. Cкласти рівняння прямої, що проходить через дві задані точки А(1,2), В(3,5).

а) 4 x + 5y – 14 = 0; б) 3x – 2y + 1= 0.

2. Скласти рівняння прямої, що проходять через точку

М −2 ;−5 паралельно прямій 3 x4 y2=0 .

а) 3x + 4y + 26 = 0; б) x + y – 7 = 0.

3. Скласти рівняння прямої, що проходять через точку

М −2 ;−5 перпендикулярно прямій 3 x4 y2=0 .

а) 3x – 4y + 5 = 0; б) 4x – 3y -7 = 0.

138

4. Дано координати вершин трикутника:А (2; 2), В (2; 8),

C(6;2). Знайти рівняння медіани трикутника, проведеної з вершини С. Як знайти рівняння бісектриси внутрішнього

кута при вершині С? Як знайти рівняння висоти, проведеної з вершини С на сторону АВ? Як визначити їх довжини?

а) x + 6y +18 = 0; б) 7x- 6y - 2 = 0.

5. Знайти проекцію точки Р−8 ;12 на пряму,

що проходить через точки A2 ;−3 , B −5 ;1 .

а) P(-12; 5) ; б) P(6; 8) ; в) P(-3; 4) .

Криві другого порядку

1. Скласти рівняння кола, центр якого співпадає з точкою

С 1 ; 1 , а пряма 5 x12 y22=0 є дотичною до кола.

а) x−12y−12=9 ; б) x12y12=4.


4x2 – 32х + y2 – 4y + 5 = 0 перпендикулярно до прямої 2x +

4y – 9 = 0.

а) 2 x−y8=0 ; б) 2 x−y−6=0.

3. Скласти рівняння прямої, що проходить через вершину

параболи x2 – 4х – y + 5 = 0 паралельно прямій

4x + 5y + 7 = 0.

а) 4 x5 y−13=0 ; б) 4 x5 y−9=0.

139

Площина1. Встановити, що три площини

3 x2 y2 z−1=0 ; 2 x−3 y−z−3=0 ; xy3 z2=0

мають одну спільну точку P і знайти її координати.

а) P(1; 1;0) ; б) P(1; 0;1) ; в) P(3; 4;2) .

2. Cкласти рівняння площини, яка проходить через точку

M 2 ;3 ;5 перпендикулярно вектору n=4i3j2k а) 4 x3 y2 z−27=0 ; б) xy2 z−15=0.

3. Скласти рівняння площини, що проходить через три точки

M12 ;3 ;0 , M

22 ;0 ;−5 , M

30 ;3 ;−5 .

а) 5 x3yz−19=0 ; б) 15 x10 y−6 z−60=0.

4. Знайти відстань від точки M01 ;2 ;0 до площини

3 x−6 y2 z2=0.

а) 1; б) 2; в) 3.

Пряма у просторі

1. Cкласти рівняння прямої, яка проходить через точку

М05 ;3 ;4 , паралельно вектору: a=2i5j−8k ;

а) х−5

2=y−3

5=z−4

−8; б)

х−2

5=y−5

3=z8

4.

140

2. Знайти гострий кут між прямими:

x8

1=y−5

−1=z−3

2 і

x5

1=y−9

1=z3

2.

а) 300; б) 60

0; в) 90

0 .

Пряма і площина

1. Знайти точку P перетину прямої x−1

2=y

3=z1

−1. і

площини 2 x3 y−z−4=0.

а) P (1;0;1) ; б) P (8/7; 3/14; -15/14); в) P (1;2;4).

2. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку

М01 ;2 ;3 перпендикулярно до площини

2 x5 y3 z2=0.

а) х−1

2=

y−2

5=

z−3

3; б)

х−2

1=

y−5

2=

z−3

3.

Поверхні другого порядку

1. Знайти координати центра і радіус сфери, заданої

рівнянням: x2y

2z2−2 x−4 y−6 z5=0.

а) С(1;2;3), R=3 ; б) С(3;2;1), R=5 .

141

Область визначення функції

1. Знайти область визначення функції y= x−1 x−4

x−8.

Границі

1. Знайти границю: limx2

2 x2−3 x−2

x2−x−2

без використання і з

використанням правила Лопіталя.

а) 3/5; б) 5/3 ; в) 1.

2. Знайти границю limx∞

x 22 х3− x 23x1 .

а) 1/2; б) -1/2 ; в) 0.

3. Знайти границю функції limx0

4x−4−x

x.

а) 1; б) 1/2 ; в) 0.

4. Знайти границю функції limx0

sin 3 x

sin 5 x.

а) 3/5; б) 5/3 ; в) 1.

5. Знайти границю limx0

хtg x

.

а) 1; б) ∞ ; в) 0.

6. Знайти границю функції limx∞

3 x−1

3x4 3 x9

.

а) e−5 ; б) e

5 ; в) e−3 .

142

7. Довести, що при x0 функції sin2x і 1−cos x є

нескінченно малими функціями однакового порядку.

Неперервність1. Функція задана різними аналітичними виразами:

y x={x1, при x−1 ;

1−x2,при−1x1 ;

5−x , при x1.

Знайти точки розриву функції та односторонні границі в них і зробити малюнок.

2. Дослідити на неперервність функцію

f x=

1

43

1

x

.

В точці х = 0 має місце: а) усувний розрив; б) розрив І роду; с)

розрив ІІ роду.

Похідні І порядку

1. Знайти похідну функції y=x2⋅sin 3 x x41

arctg x.

2. Знайти похідну функції y=5arctgxsin3

4 x 8 .

3. Знайти похідну функції y=x 42tg x;

143

Похідні вищих порядків.

1. Знайти y'' , якщо y=x3arctg xsin2xx⋅ex .

2. Знайти похідні dy

dxі

d2y

dx2

функції , заданої

параметрично x=arctg3 t ; y= ln 19 t2 .

Диференціал і його застосування

1. Знайти диференціал функції: y=8arctg xsin5x

4

;

2. Знайти наближене значення функції y=415,8 .

а) 1,9938; б) 1,8234; в) 1,7546.

Дотична пряма і нормаль

1. В яких точках дотичні до кривої y=1

3x

3−x2−x1 ,

паралельні прямій y=2 x−1 ?

а) M1−1 ;2/3;M

23 ;−2 ; б) M

11 ;2; M

23 ;1 .

2. Знайти рівняння дотичної і нормалі до графіка функції

y=x32 x2−4 x−3 у точці з абсцисою x

0=−2.

а) y 5 = 0; x + 2= 0. б) x + y - 4 = 0; x y – 2 = 0.

Інтервали монотонності. ЕкстремумиДослідити на екстремум функцію:

y=x4−4 x

36 x2−4 x .

144

а) ymin=y 1=−1 ; б) y

min=y −1=15 .

Найбільше та найменше значення функціїЗнайти найбільше та найменше значення функції

y=x 4−2 x23 на відрізку [3;2].

а) yнайм

=2 ; yнайб

=66 ; б) yнайм

=4 ; yнайб

=68 .

Асимптоти

Знайти асимптоти графіка функції y=x

25x−6

x.

Вертикальні: а) x = 0; б) x=1; в) не існує.

Похилі: а) y=x5 ; б) y=x ; в) y=x−6 .

Опуклість, угнутість. Точки перегину Знайти інтервали опуклості, угнутості та точки перегину

графіка функції y=x3−3x23 x1.

Точки перегину:

а) P0 ;1; б) P1 ;2 ; в) P−1 ;−6 .

Дослідження і побудова графіків

Дослідити функцію y=1

3x

3− x2−3 x та побудувати її графік.

145

11. Методичне забезпечення

1) 085110 Конспект лекцій з вищої математики для студентів

заочників І курсу спеціальностей 7.092101, 7.092102, 7.092103,

7.092104, 7.092 602. Брушковський О.Л., Гіроль А.П та інші. Рівне, УДАВГ, 1998.

12. Рекомендована література12.1 Основна література

1. Шкіль М.І., Колесник Т.В., Котлова В.М. Вища математика.

Аналітична геометрія з елементами алгебри. Вступ до

математичного аналізу. Кн.1. –К.:Либідь, 1994.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. –

М.:Наука,1975.

3. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии и

линейной алгебре. –М.:Физматгиз, 1974.

4. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. –К.: Вища школа,

1978. Ч.1,2.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное

исчисление. –М.:Наука., 1985. Т.1.2.

6. Задачи и упражнения по математическому анализу /Под

редакцией Демидовича Б.П./ .-М.:Наука, 1978(або наступні випуски).

12.2 Додаткова література

1. Кудрявцев Б.А.Ю Демидович Б.П. Краткий курс высшей

математики. –М.: Наука, 1978.

2. Бермант А.Р., Араманович И.Г. Краткий курс математи-

ческого анализа для втузов. –М.: наука, 1966.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая мате-

матика в упражнениях и задачах. -–М.: Высшая школа, 1980.

Ч.1,2

146

13. Інформаційні ресурси

1. Освітньопрофесійна програма вищої освіти за напрямом

6.060101 «Будівництво», Київ, 2004 р.

2. Бібліотеки:

* НУВГП33000 м.Рівне, вул. Приходька, 75.

* Обласна наукова – 33000, м.Рівне, майдан Короленка, 6.

* Міська бібліотека 33000, м.Рівне, вул Гагаріна,67, тел. 241247

147

ЗМІСТ

Передмова ..........................................................................................3

1. Загальна інформація (інформативний блок) .............................3

1.1. Анотація курсу ..............................................................3

1.2. Мета і завдання вивчення курсу .......................................6

2. Зміст навчальної дисципліни ........................................................7

2.1. Тематичний план та розподіл навчального часу за

структурою дисципліни .................................................................7

2.2. Структура програми курсу “Вища математика” І се

местр. Опис предмета навчальної дисципліни ..............................8

2.3. Робоча програма. Лекції..................................................10

Практичні заняття...................................................................13

Структура залікового кредиту...............................................15

Розподіл балів, що нараховуються студентам ....................16

3. Методичні поради до вивчення курсу “Вищої математики”.....18

4. Методичні рекомендації до вивчення окремих змісто

вих модулів. І семестр.......................................................22

4.1. Методичні поради до вивчення змістового модуля

№1 “ Елементи лінійної алгебри і аналітичної геомет

рії”. .......................................................................................224.2. Зразок типової контрольної роботи для змістового

модуля № 1 з розв'язанням..........................................................43


модуля № 1.....................................................................................51

4.4. Індивідуальна робота (ТР) по матеріалу змістового модуля

№ 1 “Елементи лінійної алгебри і аналітичної геометрії” Завдання

для індивідуальної роботи (ТР) за матеріалом змістового модуля

№ 1 (30 варіантів)..............................................................................53

4.5. Зразок виконання індивідуальної роботи (ТР).................66

4.6. Прикладні задачі з вищої математики для самостійної роботи

студентів під керівництвом викладача (Тема: Системи лінійних

148

алгебраїчних рівнянь. Задача: Розрахунок статично невизначених

рам )....................................................................................................75


“Вступ в математичний аналіз. Диференціальне числення

функції однієї змінної”...................................................................82

4.8. Зразок типової контрольної роботи для змістового модуля

№ 2 з розв'язанням.............................................................................89

4.9. Тестовий варіант контрольної роботи для змістового модуля

№ 2......................................................................................................95


“Дослідження функцій з допомогою похідних”. ..........................96

4.11. Зразок типової контрольної роботи для змістового модуля

№ 3 з розв'язанням.............................................................................97

4.12. Тренінговий варіант контрольної роботи для змістового

модуля № 3.......................................................................................103

5. Методичні поради до виконання контрольної роботи студента

ми заочної форми навчання. Зразок типової контрольної ро

боти..............................................................................................103

5.1. Завдання до контрольної роботи №1 для студентів заочної форми навчання (30 варіантів)...................................................107

6. Самостійна робота студента......................................................132

7. Форми підсумкового контролю ................................................133

8. Питання для підготовки до іспиту за І семестр .....................134

9. Зразок білету для підсумкового модуля...................................134

10. Тренінгові та тестові завдання для підготовки до підсумкового

модуля..........................................................................................135

11. Методичне забезпечення............................................................145

12. Рекомендована література ........................................................145

13. Інформаційні ресурси...................................................................146

Додаток1) В електронний варіант посібника у 2013 році внесені деякі зміни

згідно із змінами навчального плану.

2) Для студентів заочної форми навчання тексти завдань для

контрольної роботи №1 за І семестр більш зручно представити

поваріантно, що й зроблено у відповідності з їх побажаннями:

149

Вища математика. Напрям 6.060 101 "Будівництво".

Заочна форма навчання. І семестр. Контрольна робота №1

“Елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії. Вступ до

математичного аналізу. Диференціальне числення функції однієї змінної” .

Варіант №1

Завдання 1. Розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.



а) за формулами Крамера; б) матричним способом.

{2 x−y3 z=−7 ;

x2 y−z=4 ;

3 x−3y−2 z=1.

Завдання 2. Елементи векторної алгебри.

Знайти скалярний добуток векторів та косинус кута між

векторами:

a=5i 3j2k ; b=4i 6j−2k .

Завдання 3. Аналітична геометрія .

1) Скласти рівняння прямої, що проходить через центр еліпса

x2 – 2х + 2 y2 – 8y + 7 = 0 паралельно прямій 2x + 6y + 3 = 0.

2) Дано координати вершин піраміди: а) написати рівняння площини,

що проходить через точки А1,А

2, А


опущеної з вершини А4

на грань А1А

2А


А1 (1; 3; 6), А

2 (2; 2; 1), А

3 (-1; 0; 1), А

4 (-4; 6; -3).

Завдання 4. Вступ до математичного аналізу.


a) limx∞

5x22 x1

7x24 x5

; б) limx 0

4х− 4− x

3 x;

150

в) limx0

tg 3 x

5 x; г) lim

x∞ 2 x−8

2 x3 4x3

.

Завдання 5. Диференціальне числення функції однієї змінної.


dx функцій:

a) y=x3⋅e2 xx

25

sin x; б) y=5cos 2 x−ctg

23 x 6 ;

в) y=lnarccos x ; г) y=4x9arctg x.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=x3⋅e2 x; б) x=t3−3 t1 ; y=t 2−2 t .


y= f x в точці з абсцисою x0

y=x 43 x1 ; x0=1.

4) Визначити найбільше та найменше значення функції на відрізку

y=x

3

3−2 x

23 x; [0 ;2 ] .

5) Методами диференціального числення дослідити функцію і побудувати її графік:

y=6

x23

.

151





Варіант №2

Завдання 1. Розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь .




{x2 yz=1 ;

2 x−3 y−z=−4 ;

xy2 z=1.


Знайти векторний добуток векторів:

a=2 i 3j4k ; b=3i2 j−5 k.

Завдання 3. Аналітична геометрія.


x2 + 6х + 4 y2 – 8y + 9 = 0 перпендикулярно до прямої 5x + 4y + 6 = 0.



2, А




2А


А1 (-4; 2; 6), А

2 (2; -3; 0), А

3 (-10; 5; 8), А

4 (-5; 2; -4).



a) limx∞

5 x37x1

3 x22 x3

; б) limx 5

4х−3

x−5;

152

в) limx 0

1−cos 4 x

3 x2

; г) limx∞ x5

x−3 x4

.



dx функцій:

a) y=x7⋅tg xcos3 x

5 x1; б) y=3arcsin 2 xln 13 x

25

;

в) y=ln ctgx33x ; г) y= x49sin 5x

.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=x⋅arctg x ; б) x=cos t ; y=sin2t.



y=x31 ; x0=−1.

4) Визначити найбільше та найменше значення функції на відрізку:

y=x3−12 x5 ; [−1 ;3] .


y=x

316

x2

.

153





Варіант №3





{2 x2 y−3 z=0 ;

x−2 yz=6 ;

2 x y2 z=2.


Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах:

a=4i2j−3k ; b=3i−2jk.



4x2 – 32х + y2 – 4y + 5 = 0 перпендикулярно до прямої 3x + 4y – 8 = 0.


що проходить через точки А1

, А2, А




2А


А1 (7; 2; 4), А

2 (7; -1; -2), А

3 (3; 3; 1), А

4 (-4; 2; 1).



a) limx∞

4 x27 x−5

2 x23 x−1

; б) limx−3

2 x211 x15

3−2 x− x2

;

154

в) limx0

sin 3 x

sin 8 x; г) lim

x∞ 5 x1

5 x 3x−4

.



dx функцій:

a) y=x5⋅e3 xx

2

8sin x; б) y=7arctg x− ln

3x

9

;

в) y=5cos

2x8 ; г) y=25 x arcsin 4 x

.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=x3sin2x ; б) x=5 cos t ; y=8 sin t.



y=8− x2; x

0=2.


y=x

3

3−

5

2x

24 x ; [0 ;3] .


y=2 x

1x2.

155





Варіант №4





{3 x2 y2 z=1 ;

2 x−3y−z=3 ;

xy3 z=−2.


Довести, що три вектори компланарні:

a=i3j−4k ; b=2i−3j6k ; c=8i−3j10 k.Завдання 3. Аналітична геометрія.





2, А




2А


А1 (2; 1; 4), А

2 (-1; 5; 2), А

3 (-7; -3; 2), А

4 (-6; -3; 6).



a) limx∞

2 x37 x4

x32 x1

; б) limx 2

3 x25 x−22

x2−5 x6

;

156

в) limx 0

sin 5x

tg 7 x; г) lim

x 0

13 x2 / x .



dx функцій:

a) y=sin x⋅5 x x

9cos x; б) y=4 tg 5 xarccos 2 x 6 ;

в) y=lnarcsin x ; г) y=arctg4x11 / x .


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=x31⋅cos2 x ; б) x=e2 t; y=cos t.



y=5 x21 ; x

0=−1.


y=x3−27 x1 ; [−1; 4] .

5) Методами диференціального числення дослідити функцію і побудувати її графік :

y=x

x12.

157





Варіант №5





{x2 yz=1 ;

2 x−3y−2 z=−3;

2 x yz=2.

Завдання 2. Елементи векторної алгебри .

Знайти об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах:

a=3ijk ; b=5i−j−k ; c=i−j5 k. Завдання 3. Аналітична геометрія .



2)Дано координати вершин піраміди: а) написати рівняння площини,


2, А




2А

3 і знайти її довжину. я


1А

2 А


А1 (-1; -5; 2), А

2 (-6; 0; -3), А

3 (3; 6; -3), А

4 (-10; 6; 7).



a) limx∞

3 x2x−7

3−2 x−5 x2

; б) limx 3

5x−x2−6

x2−2 x−3

;

158

в) limx0

sin 4 x

8 x; г) lim

x∞ 3 x−1

3 x4 3x2

;



dx функцій:

a) y=x2⋅ctg xex

x21

; б) y=6cos 5 x−tg3x 4 ;

в) y=arcsin ln x ; г) y=5 x2 arctg x.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=x1⋅e3x; б) x=6 cos t ; y=3 sin t.



y=5sin x ; x0=0.


y=x

3

3−4 x

212 x ; [0 ;3] .


y=x21

x2.

159





Варіант №6





{2 x−3y6 z=17 ;

3 x4 y−z=−3 ;

x−5 y2 z=10.


Обчислити роботу сили F=2i4jk при переміщенні мате-

ріальної точки від положення А (-1; 2; 1) в положення В (2; 2;3).






, А2, А




2А


А1 (0; -1; -1), А

2 (-2; 3; 5), А

3 (1; -5; -9), А

4 (-1; -6; 3).



a) limx→∞

7+2 x+9 x4

3 x4−11 x+1

; б) limx→0

2−√ 4− x2

x2

;

160

в) limx 0

cos x−cos3x

4 x2

; г) limx∞ 4 x−1

4 x3 2x3

;



dx функцій:

a) y=e x⋅arcsin x xx

29; б) y=5cos 2 x−tg

2x 6 ;

в) y=ln sin x42 ; г) y=2 xarctg x x3

.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=e3x⋅sin 2 x; б) x=4cos t ; y=5sin2t.



y=x⋅ex ; x0=0.


y=x3−6 x29 x ; [0 ; 2] .


y=x

2−4

x−3.

161





Варіант №7





{xy−3 z=6 ;

2 x− yz=5 ;

3 xy2 z=7.



a=5i−j3k ; b=2i2j−k.






, А2, А




2А


А1 (5; 2; 0), А

2 (2; 5; 0), А

3 (1; 2; 4), А

4 (-1; 1; 1).



a) limx∞

7 x2−9 x4

3 x2−2 x1

; б) limx 1

5x2−2 x−3

x2−5 x4

;

162

в) limx0

3 x

tg 5 x; г) lim

x∞

2 x3 ln x−4−ln x .

Завдання 5. Диференціальне числення функції однієї змінної .


dx функцій:

a) y=x⋅tg xln x

x65

; б) y=5ctg 4 x−cos7

2 x 8 ;

в) y=ln arccos x ; г) y=1arctg xsin x.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=x⋅sin 3 x ; б) x=cos t ; y=t 21.3) Записати рівняння дотичної прямої і нормалі до графіка функції


y=2x2 x2; x

0=2.


y=x

3

3−3 x

28 x ; [0 ;3].


y=ln 1x2.

163





Варіант №8




а) за формулами Крамера; б) матричним способом .

{x4 y−2 z=8 ;

−x5 y3 z=−1 ;

4 x−6 y−z=−4.


Знайти площу трикутника, з вершинами у точках:

А(1; 2; 0), В(3; 0; -3), С(5; 2; 6).


1) Скласти рівняння прямої, що проходить через центр кола




2, А




2А


А1 (2; -1; -2), А

2 (1; 2; 1), А

3 (5; 0; -6), А

4 (-10; 9; -7).



a) limx∞

9−6 x2

3 x2x5

; б) limx 2

x4−16

x3−8

;

164

в) limx 0

sin 5 x⋅ctg 3 x ; г) limx∞ x3

x4 5−2 x

.



dx функцій:

a) y= x⋅sin4xarccos

5x ; б) y=3arctg xctg

6x 9;

в) y=e

3 x5 x22

tg xln3x; г) y=9arcsin x x .


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=x2xcos2x ; б) x=cos

3t ; y=sin

3t .



y=x23⋅ex ; x0=0.


y=x3−9 x2; [−1 ; 2] .


y=x

2

x24

.

165





Варіант №9




а) за формулами Крамера ; б) матричним способом.

{3 xy2 z=−3 ;

4 x−y−3z=5 ;

3 x−3 y−2 z=1.


Довести, що чотири точки не лежать в одній площині: А(1; 3; 0), В(1; 2; 6), С(0; 3; 2), D(3; 2; 4).



x2 – 8х – y2 –16y +3 = 0 перпендикулярно до прямої x + 4y + 5 = 0.



, А2, А




2А


А1 (2; 0; -4), А

2 (-1; 7; 1), А

3 (4; -8; -4), А

4 (1; -4; -6).



a) limx∞

5 x27 x5

9 x3x

21; б) lim

x 3

2 x2−5 x−3

x23 x−18

;

166

в) limx 0

1−cos 4 x

x2

; г) limx∞ 3 x2

3x5 2x4

.



dx функцій:

a) y=esin x⋅ln x ; б) y=5cos 2 x−sin8

2 x 5;

в) y=2 x

3tg x

x69

; г) y=1x8arctg x.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=5 x22 ⋅e3 x; б) x=t21 ; y=e t

2

.



y=x2−1 ; x0=2.


y=x

3

3−4 x

27 x ; [0 ;2 ].


y=x

2

x−1.

167





Варіант №10





{2 x−3y−2 z=4 ;

3 x−2 yz=11 ;

3 x−4 y−z=7.



А(3; -2; 6), В(1; 3; 2), С(-1; -1; 4), D(4; 3; 5).



параболи x2 – 6х – y + 15 = 0 паралельно прямій 8x + 5y + 9 = 0.



, А2, А




2А


А1 (14; 4; 5), А

2 (-5; -3; 2), А

3 (-2; -6; -3), А

4 (-2; 2; -1).



a) limx∞

8 x25 x7

4 x27 x3

; б) limx 1

3 x25 x−8

7 x2x−8

;

168

в) limx 0

tg2x

9 x2; г) lim

x∞ 3 x−4

3x5 3x7

.



dx функцій:

a) y=sin 3 x⋅ x41 ; б) y=7arccos 2x−ctg4

5 x 8 ;

в) y=tg 2 x3

x62

; г) y=x51arctg6 x.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=sin2xln x ; б) x=tg t ; y=cos

2t.



y=tg 4 x ; x0=

4.


y=3 x44 x

31 ; [−2 ;1] .


y=e−x2

.

169










{2 x−2 yz=−6 ;

4 x3 y−z=3 ;

x−4 y2 z=−9.



векторами:

a=2 i 5j3k ; b=3i2j−4 k.



x2 – 2х + 2 y2 – 8y –1 = 0 паралельно прямій 6x + 3y + 5 = 0.



2, А




2А


А1 (1; 2; 0), А

2 (3; 0; -3), А

3 (5; 2; 6), А

4 (8; 4; -9).



a) limx∞

2 x2−5 x1

3 x27x2

; б) limx 0

х1−1− x

5 x;

170

в) limx 0

tg 4 x

8 x; г) lim

x∞ 3 x−2

3x5 x−1

.



dx функцій:

a) y=x⋅ectg xln cos x ; б) y=4sin 5x−tg2

2 x 8 ;

в) y=x

2arctg x

x61

; г) y=9 x5arccos x.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=x2⋅ln x ; б) x=2−sin t ; y=1−cos t.



y=x52 x3 ; x0=1.


y=x

4

4−2 x

25 ; [−1 ;3] .


y=x

2−1

x22

.

171









а) за формулами Крамера ; б) матричним способом .

{x3 yz=−2 ;

x4 y2 z=−3 ;

−x5 y3 z=−10.



a=i5j2k ; b=4i 2j−3 k.



x2 +6х +4 y2 – 8y –3 = 0 перпендикулярно до прямої x + 4y + 3 = 0.



, А2, А




2А


А1 (2; -1; 2), А

2 (1; 2; -1), А

3 (3; 2; 1), А

4 (-4; 2; 5).



a) limx∞

3 x3−2 x1

5 x2x−3

; б) limx 7

2 х−3

x−7;

172

в) limx 0

1−cos 2 x

5 x2

; г) limx∞ x3

x−2 x1

.

Завдання 5. Диференціальне числення функції однієї змінної .


dx функцій:

a) y=x⋅tg 5x8 x

x45

; б) y=6arcsin 2 x ln 1x3 5

;

в) y=ln sin x 47x ; г) y= x42cos 2x

.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=e x⋅sin x ; б) x=2 t−t 3; y=2 t2.



y=x 41 ; x0=1.


y=x3−12 x221 x ; [0 ;2 ].


y=x

4

x3−1

.

173










{3 x−2 y−4 z=2 ;

−x2 y3 z=−1 ;

x−2 y−5 z=3.



a=6i 3j−2k ; b=3i −2j6 k.



4x2 –16х + y2 – 8y –6 = 0 перпендикулярно до прямої 5x + y +8 = 0.



2, А




2А


А1 (1; 1; 2), А

2 (-1; 1; 3), А

3 (2; -2; 4), А

4 (-1; 0; -2).



a) limx∞

2 x26 x−5

5 x2−x−1

; б) limx−5

2 x215 x25

5−4 x−x2

;

174

в) limx0

sin 4 x

sin 12 x; г) lim

x∞ 4 x1

4 x 2x−3

.



dx функцій:

a) y=x⋅ctg x4x3


4x

6

;

в) y=7cos

4x9 ; г) y=5 x22 x1arcsin 2x

.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=2 x3⋅cos x ; б) x=sin t ; y=t 22.



y=9−x4; x

0=2.


y=x

3

3

x; [−5 ;−1] .


y=x

3−8

2 x2

.

175









а) за формулами Крамера; б) матричним способом .

{3 x5 z=−1 ;

−4 y−2 z=2 ;

x−3 yz=2.



a=3i7j9k ; b=2i3jk ; c=i2j2 k.






, А2, А




2А


А1 (2; 3; 1), А

2 (4; 1; 2), А

3 (6; 3; 7), А

4 (7; 5; -3).



a) limx∞

3 x3−5 x4

x3− x1

; б) limx 3

2 x2−9 x9

x2−5 x6

;

176

в) limx 0

sin 3 x

tg 8 x; г) lim

x 0

12 x 3/ x .



dx функцій:

a) y=ex⋅ x ln x

x5; б) y=6arcsin 2xarctg 3 x9 ;

в) y=ln tg 6 x9; г) y=sin4x11/ x .


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=x⋅cos 2 x5 ; б) x=t25 ; y=2 t3.



y=5 x32 ; x

0=1.


y=x 4−2 x23 ; [−2 ;2 ] .


y=4 x

4x2.

177










{x−3 yz=2 ;

2 х y3 z=3 ;

2 x− y−2 z=8.



a=3i2j−2k ; b=i3j−k ; c=ij4 k.Завдання 3. Аналітична геометрія.


x2 + 4х – 4y2 + 16y – 1 = 0 паралельно прямій x + 5y + 1 = 0.



2, А




2А


А1 (1; 1; -1), А

2 (2; 3; 1), А

3 (3; 2; 1), А

4 (5; 9; -8).



a) limx∞

2 x2x−7

3−x−4 x2; б) lim

x 4

5x−x2−4

x2−2 x−8

;

178

в) limx0

sin 2 x

6 x; г) lim

x∞ 5 x−1

5 x4 2 x1

.



dx функцій:

a) y=ln4x⋅cos 2 x ; б) y=4ctg 5x−sin

6x 7 ;

в) y=arctg

2x5

x31

; г) y=5 x8ctg x.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=x1⋅e3x; б) x=6 cos t ; y=3 sin t.



y=2 xcos x ; x0=0.


y=x5−5 x45 x

3; [−1 ;2 ] .


y=x⋅ex−1;

179










{x2 yz=8 ;

2 x−3y−z=3 ;

xy2 z=9.


Обчислити роботу сили F=i5j2k при переміщенні мате-

ріальної точки від положення А (-3; 2; 0) в положення В (2; 5; 3).






2, А




2А


А1 (4; 4; 10), А

2 (4; 10; 2), А

3 (2; 8; 4), А

4 (9; 6; 4).



a) limx∞

5x−8 x4

2 x49 x1

; б) limx 0

2−4−x2

x2

;

180

в) limx 0

cos x−cos3x

5 x2

; г) limx∞ 5x−2

5 x4 2 x9

.



dx функцій:

a) y=e x⋅arcsin x xx2

; б) y=5sin2 x−arctg2x 4 ;

в) y=ln ctgx62; г) y=xtg x x3

.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=x 4⋅e3 x; б) x=t24 t1 ; y=t2−2.



y=x⋅e2 x; x

0=0.


y=x

3

3−3 x

2; [−1 ;1] .


y=e

1

21− x

2

;

181










{x2 yz=2 ;

2 x−3y−2 z=−14 ;

2 x yz=−3.



a=5i−j4k ; b=i2j−2 k.






, А2, А




2А


А1 (1; 8; 2), А

2 (5; 2; 6), А

3 (5; 7; 4), А

4 (4; 10; 9).



a) limx∞

8x2−7 x4

4 x2−x2

; б) limx 1

6 x2−5 x−1

4 x2−7 x3

;

182

в) limx0

9 x

tg3 x; г) lim

x∞

5 x2 ln x4−ln x .



dx функцій:

a) y=ctg 2 x⋅ x x

sin x; б) y=5tg 4 x−cos

62 x 4;

в) y=ln arctg 2 x ; г) y=2arcsin x x .


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=x⋅sin 3 x9 ; б) x=cos2t ; y=sin t.



y=5x x2; x

0=3.


y=x3−3x1 ; [0 ; 3].


y=x⋅e2− x.

183










{x−2 yz=7 ;

2 x y−3 z=4 ;

3 x2 y−2 z=8.



А(3; 3; 3), В(4; 5; 6), С(6; 5; 4).






2, А




2А


А1 (7; 2; 2), А

2 (5; 7; 7), А

3 (5; 3; 1), А

4 (2; 3; 7).



a) limx∞

9−5 x2

3 x24 x3

; б) limx 1

x5−1

x4−1

;

184

в) limx 0

sin 7 x⋅ctg 3x ; г) limx∞ x4

x5 6− x

.



dx функцій:

a) y=3 x⋅tg5xln arcsin 4 x ; б) y=5arccos xctg

6x 4 ;

в) y=e

5x1

sin x8; г) y=9arctg x x ;


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=x23⋅sin 4 x ; б) x=9 sin t ; y=6 cos t.



y=x45⋅ex ; x0=0.


y=x

3

3−2 x

23 x; [0 ;2 ] .


y=2−4 x

2

1−4 x2

.

185










{3 x2 yz=5 ;

2 x3yz=6 ;

2 x y3 z=−2.


Довести, що чотири точки лежать в одній площині: А(3; 4; 1), В(2; 3; 7), С(1; 4; 3), D(4; 3; 5).



x2 – 8х – y2 –16y + 3 = 0 перпендикулярно до прямої x + 4y +5 = 0.



2, А




2А


А1 (0; -4; 6), А

2 (-5; 6; 7), А

3 (1; 3; 4), А

4 (-2; 1; 6).



a) limx∞

9 x23 x5

5 x37 x

21; б) lim

x 3

x2−4 x3

3 x2−10 x3

;

186

в) limx 0

1−cos 6 x

x2

; г) limx∞ 4 x3

4 x5 8x5

.



dx функцій:

a) y=x⋅ecos xln arctg x ; б) y=5sin 4 x−tg2

6 x 5 ;

в) y=x

2ctg x

x81

; г) y=1x6arccos x.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=x42⋅sin 2 x ; б) x=3 t21 ; y=sin t.



y=x5−1; x0=2.


y=3 x4−16 x

33 ; [0 ;4 ].


y=x

3

2−x.

187










{xy2 z=5 ;

2 x− y2 z=−1 ;

4 xy4 z=7.



А(4; 1; 3), В(5; 5; 4), С(2; -1; 1), D(3; 2; -1).



параболи 2x2 – 6х – y –15 = 0 паралельно прямій 2x + 5y + 5 = 0.



2, А




2А


А1 (0; 1; 3), А

2 (-4; 7; 8), А

3 (6; -2; 4), А

4 (-1; 5; 4).



a) limx∞

9 x2−3x1

3 x25 x8

; б) limx 1

2 x23 x−5

5 x2−x−4

;

188

в) limx 0

tg2

2 x

6 x2; г) lim

x∞ 4 x−2

4 x3 2 x7

.



dx функцій:

a) y=tg x⋅ x ex

x49

; б) y=8arcsin x−cos2

5 x 6 ;

в) y=ln ctg x213x; г) y=x4arctg x sin 5 x

.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=x2⋅e2 x; б) x=cos 4 t ; y=2sin 4 t.



y=tg8 x ; x0=

8.


y=x

3

3−3 x

25 x ; [0 ;2] .


y=x

2−1

x21

.

189










{−x+4 y+2 z=7 ;

3x+y+z=−8 ;

−3 x+5 y+6 z=14.



векторами:

a⃗=4 i⃗+3 j⃗+3 k⃗ ; b⃗=2 i⃗ +4 j⃗−5 k⃗.



x2 – 2х + 2 y2 – 10y – 7 = 0 паралельно прямій 3x + 6y + 5 = 0.


що проходить через точки А1 , А2 , А3; б) написати рівняння висоти,

опущеної з вершини А4 на грань А1 А2 А3

і знайти її довжину.

А1 (-1; 6; 4), А

2 (3; -1; 1), А

3 (5; 7; 3), А

4 (1; 7; 0).



a) limx→∞

8 x2−3 x+4

2 x2+x+9

; б) limx→ 0

√ х+1−√1− x

2 x;

190

в) limx 0

sin 8 x

2 x; г) lim

x∞ 6 x−3

6 x5 12 x−1

.



dx функцій:

a) y=x⋅earctg xln cos x ; б) y=5tg 2x−ctg2

4 x5 ;

в) y=x

2sin 3 x

x51

; г) y=1x2x6arcctg x.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=2 x3⋅e5 x; б) x=5 sin 6 t ; y=2 cos

26 t.



y=x35 x; x0=1.


y=x3−15 x2; [−1 ;2 ].


y=x

x21

.

191










{−3 x5 y2 z=−5 ;

4 x−7 y5 z=22 ;

2 x4 y−3 z=0.



a=5i2j2k ; b=3i3j−4 k.



x2 + 8х + 4 y2 –16y –9 = 0 перпендикулярно до прямої x +3y +9 = 0.



2, А




2А


А1 (3; 3; 9), А

2 (6; 9; 1), А

3 (1; 7; 3), А

4 (8; 5; 8).



a) limx∞

3 x3−2 x1

5 x2x−3

; б) limx 9

7х−4

x−9;

192

в) limx 0

1−cos 8 x

4 x2

; г) limx∞ x5

x−3 2 x1

.



dx функцій:

a) y=x⋅tg 2 x5 x9

x21

; б) y=5arctg 2 xln 17 x2

8

;

в) y=ln cos x65 x; г) y= x84 arcsin x.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=x⋅cos5 x ; б) x=sin t ; y=t 28.



y=x 41

x; x

0=1.


y=x

3

3−x2−3 x ; [−2 ; 2] .


y=x

31

x2

.

193










{2 x− y3z=−2 ;

x2 y−z=9 ;

−3 x3y2 z=1.



a=4i6k ; b=2i−2j−3 k.



4x2 – 32х +y2 –4y + 5 = 0 перпендикулярно до прямої 7x+ 3y–9 = 0.



2, А




2А


А1 (9; 5; 5), А

2 (-3; 7; 1), А

3 (5; 7; 8), А

4 (6; 9; 2).



a) limx∞

5 x22 x−9

3 x2−x−4

; б) limx−5

2 x25 x−25

10−3 x−x2;

194

в) limx 1

sin 1−x

x2−1

; г) limx∞ 3 x1

3 x 4 x−3

.



dx функцій:

a) y=x3⋅sin x1x4

8cos 4 x; б)

y=2arcsin x− ln6x

7

;

в) y=7 tg

2x9 ; г) y=14 x arctg 2x

;


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=x 4x2tg x ; б) x=sin3t ; y=cos

3t .



y=2 x7 ; x0=2.


y=x3−6 x4 ; [0 ;4 ] .


y=x

316

x2

.

195










{3 xyz=−5 ;

−x4 y2 z=6 ;

−3 x5 y6 z=11.



a=2 i5j7k ; b=ij−k ; c=i2j2 k. Завдання 3. Аналітична геометрія





2, А




2А


А1 (3; 5; 4), А

2 (8; 7; 4), А

3 (5; 10; 4), А

4 (4; 7; 8).



a) limx∞

5 x3−4 x4

2 x3−x1

; б) limx 3

2 x2−7 x3

x2−9x18

;

196

в) limx 0

sin 9 x

tg 3 x; г) lim

x 0

15 x2 / x .



dx функцій:

а ) y=x3⋅ctg x2x

9 x6; б) y=8arcsin 2 xarctg 3 x 5;

в) y=ln cos5 x7 ; г) y=x211/ sin x.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=3x 24e2 x; б) x=t32 ; y=e t

3

.



y=7 x24 ; x

0=−1.


y=x

3

34 x

27 x ; [−2 ;1] .


y=36 x

x−22.

197










{5 x−7 y4 z=−4 ;

3 x−4 y5 z=3 ;

2 x3y−2 z=−3.



a=2 i−j−k ; b=i3j−k ; c=ij4 k.Завдання 3. Аналітична геометрія.





2, А




2А


А1 (1; 2; 3), А

2 (0; -1; 2), А

3 (3; 2; -1), А

4 (2; 5; -1).



a) limx∞

25 x2x−3

7− x−5 x2; б) lim

x 4

8 x− x2−16

x2−3 x−4

;

198

в) limx0

sin 5 x

4 x; г) lim

x∞ 9 x−1

9x4 3x1

.



dx функцій:

a) y=x⋅tg4xlnsin x ; б) y=4arctg x−cos

23x 5 ;

в) y=arcsin 2 x

x41

; г) y=5 x2 ctg x;


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=cos2xarctg x ; б) x=tg 3t ; y=cos

23 t.



y=x3sin x ; x0=0.


y=x5−80 x ; [0 ;3 ].


y=x

2

x2−1

.

199










{2 x−3y−z=3 ;

xy2 z=9 ;

x2 yz=8.


Обчислити роботу сили F=5i3jk при переміщенні мате-

ріальної точки від положення А (-2; 5; 0) в положення В (2; 4; 3).






2, А




2А


А1 (3; 5; 4), А

2 (5; 8; 3), А

3 (1; 9; 9), А

4 (6; 4; 8).



a) limx∞

8x−5 x4

2 x4−3 x1

; б) limx 0

1−1−x3

x3

;

200

в) limx 0

cos x−cos3x

8 x2

; г) limx∞ 7 x−1

7 x4 14 x2

.



dx функцій:

a) y=e x⋅arcsin x x

sin 5x; б) y=6ctg 2 x−arctg

2x 3 ;

в) y=ln cos x23 ; г) y=5tg5x x

3

.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=x31⋅ln x ; б) x=4−sin t ; y=2−cos t.



y=x⋅e4 x; x

0=0.


y=x

3

3−

7

2x

210 x ; [0 ;3] .


y=x

2−4 x8

x−2.

201










{2 x−3y−2 z=−14 ;

x2 yz=2 ;

2 x yz=−3.



a=4i−j−2 k ; b=3i−2j−k.



x2 + 8x – 2y2 + 4y + 1 = 0 перпендикулярно до прямої 9x +3y +2 = 0.



2, А




2А


А1 (0; 7; 1), А

2 (4; 1; 5), А

3 (4; 6; 3), А

4 (3; 9; 8).



a) limx∞

9 x2−8 x4

3 x2− x1

; б) limx 1

5x2−3 x−2

x2−7 x6

;

202

в) limx0

8 x

tg 2 x; г) lim

x∞

3x5ln x−4−ln x .



dx функцій:

a) y=ctg x48⋅ ln x ; б) y=2 tg 2 x−sin3

4 x6 ;

в) y=ln arcsin x x

2cos x; г) y=arctg 2 x x .


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=e2 x⋅sin3 x ; б) x=t51 ; y=2 t3 .



y=2 x3 x2; x

0=2.


y=x5−20 x21 ; [1 ;3].


y=32

x212

.

203










{3 x−y−2 z=11 ;

2 x y−3 z=4 ;

3 x2 y−2 z=8.



А(4; 5; 3), В(5; 6; 7), С(7; 6; 5).



2x2 – 8х + 2y2 – 4y – 1 = 0 паралельно прямій 5x + y + 1 = 0.



, А2, А




2А


А1 (7; 5; 3), А

2 (9; 4; 4), А

3 (4; 5; 7), А

4 (7; 9; 6).



a) limx∞

3−4 x2

2 x2x9

; б) limx 1

x3−1

x4−1

;

204

в) limx 0

sin 4 x⋅ctg 7 x ; г) limx∞ 2 x1

2 x3 9−x

.



dx функцій:

a) y=x6⋅ex4 x

x38

; б) y=5arctg 4 xsin6x 8;

в) y=ln cos3 x5; г) y=8x5arcsin x;


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=4 x 22 x5⋅sin x ; б) x=cos t ; y=t36 t.



y=x22⋅ex ; x0=0.


y=x

8

2

x; [1 ;6 ].


y=12 x

x23

.

205










{5 x3 y4 z=3 ;

2 x3yz=6 ;

2 x y3 z=−2.


Довести, що чотири точки не лежать в одній площині: А(3; 5; 2), В(3; 4; 8), С(2; 5; 4), D(5; 4; 6).



x2 – 8х – y2 – 4y – 3 = 0 перпендикулярно до прямої x + 6y + 8 = 0.



2, А




2А


А1 (6; 6; 2), А

2 (5; 4; 7), А

3 (2; 4; 7), А

4 (7; 3; 0).



a) limx∞

15x22 x1

5 x3 x29

; б) limx 3

x2−4 x3

x25 x−24

;

206

в) limx 0

1−cos10 x

x2

; г) limx∞ 2 x7

2 x3 4 x3

.



dx функцій:

a) y=x⋅esin xln arctg x ; б) y=3tg 2x−arccos2

2 x 4 ;

в) y=x

4ln3x

x21

; г) y=1x4arcsin4 x.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=4 x1⋅ex ; б) x=t48 ; y=sin t.



y=x26 ; x0=2.


y=x2 x1 ; [0 ;4 ].


y=x

3−4

4 x2

.

207










{2 x− y2 z=−1 ;

xy2 z=5 ;

4 xy4 z=7.



А(5; 0; 8), В(3; 5; 4), С(1; 1; 6), D(6; 5; 7).



параболи 2x2 – 4х – y + 15 = 0 паралельно прямій 3x + 2y + 5 = 0.



2, А




2А


А1 (9; 5; 5), А

2 (-3; 7; 1), А

3 (5; 7; 8), А

4 (6; 9; 2).



a) limx∞

8 x2−9 x7

4 x25 x4

; б) limx 1

5x2x−6

3 x22 x−5

;

208

в) limx 0

tg2

4 x

3 x2; г) lim

x∞ 4 x−2

4 x3 6 x2

.



dx функцій:

a) y=arctg x⋅ x x

tg x6; б) y=8sin 2 x−cos

24 x 5 ;

в) y=ln ctg x48 ; г) y=x61arcsin3 x.


dxі

d2y

dx2

функцій:

a) y=x25⋅e2 x; б) x=8 sin t ; y=4 cos t.



y=tg9 x ; x0=

9.


y=x3−6 x2 ; [−1 ;3] .


y=e

1

84− x2

.

209

Documents

ВИЩА МАТЕМАТИКАep3.nuwm.edu.ua/4536/1/Вища_математика_1... · 2016-09-28 · Диференціальне числення ... розв’язання