Тестові завдання.

Модуль 4. Інтегральне числення. Диференціальні рівняння.

1. Формула заміни змінної в неозначеному інтегралі

а) udv uv vdu

b) f x dx f t t dt

c) 1f ax b dx F ax b Ca

d) df x f x

2. Формула інтегрування частинами в неозначеному інтегралі

а) udv uv vdu

b) f x dx f t t dt

c) 1f ax b dx F ax b Ca

d) df x f x

3. Формула лінійної заміни в неозначеному інтегралі

а) udv uv vdu

b) f x dx f t t dt

c) 1f ax b dx F ax b Ca

d) df x f x

4. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2 7

dxx

a) ln 2 7x C b) 2ln 2 7x C

c) 1 ln 2 72

x C d) 7ln 2 7x C

5. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 5 2

dx

x

a) 5 2x C b) 2 5 2x C

c) 2 5 25x C d) 5 2

5x C

6. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 5

3 2x dx

a)

63 2

6

xC

b)

6

3 2

18

xC

2

c) 4

5 3 2x C d) 4

15 3 2x C

7. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 4 7xe dx

a) 4 71

4

xe + C b) 4 716 xe + C

c) 4 74 xe +С d) 4 7xe C

8. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2sin xdx

a) 1 1

sin22 4

x x + C b) 1 1

sin22 4

x x + C

c) tg x x +С d) ctg x x C

9. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2cos xdx

a) 1 1

sin22 4

x x + C b) 1 1

sin22 4

x x + C

c) tg x x +С d) ctg x x C

10. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2tg xdx

a) 1 1

sin22 4

x x + C b) 1 1

sin22 4

x x + C

c) tg x x +С d) ctg x x C

11. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2ctg xdx

a) 1 1

sin22 4

x x + C b) 1 1

sin22 4

x x + C

c) tg x x +С d) ctg x x C

12. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2 4

xdx

x

a) 21ln 4

2x + C b)

1arctg

2 2

x + C

c) 1 2ln4 2

xx

+С d) arcsin2x C

13. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2 4

dx

x

a) 21ln 4

2x + C b)

1arctg

2 2

x + C

3

c) 1 2ln4 2

xx

+С d) arcsin2x C

14. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2 4

dx

x

a) 21ln 4

2x + C b)

1arctg

2 2

x + C

c) 1 2ln4 2

xx

+С d) arcsin2x C

15. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 24

dx

x

a) 21ln 4

2x + C b)

1arctg

2 2

x + C

c) 1 2ln4 2

xx

+С d) arcsin2x C

16. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2 9

dx

x

a) 1

arctg3 3

x + C b)

1 3ln

6 3

x

x

+ C

c) 2ln 9x +С d) 2ln 4x x C

17. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2 9

dx

x

a) 1

arctg3 3

x + C b)

1 3ln

6 3

x

x

+ C

c) 2ln 9x +С d) 2ln 4x x C

18. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2 9

dx

x

a) 1

arctg3 3

x + C b)

1 3ln

6 3

x

x

+ C

c) 2ln 9x +С d) 2ln 4x x C

4

19. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2

2

9

xdx

x

a) 1

arctg3 3

x + C b)

1 3ln

6 3

x

x

+ C

c) 2ln 9x +С d) 2ln 4x x C

20. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 4 39 x dx

a)

2

9

2ln9

x

+ C b) 4 39

4ln9

x

+ C

c) 43

ln9

x

+С d) sin9

ln9

x

C

21. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2

9x xdx

a)

2

9

2ln9

x

+ C b) 4 39

4ln9

x

+ C

c) 43

ln9

x

+С d) sin9

ln9

x

C

22. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 49x dx

a)

2

9

2ln9

x

+ C b) 4 39

4ln9

x

+ C

c) 43

ln9

x

+С d) sin9

ln9

x

C

23. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу sin9 cosx xdx

a)

2

9

2ln9

x

+ C b) 4 39

4ln9

x

+ C

c) 43

ln9

x

+С d) sin9

ln9

x

C

24. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу tg5xdx

a) 1

ln cos55

x + C b) 1

ln sin33

x + C

5

c) 1

cos55

x +С d) 1sin33

x C

25. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу sin5xdx

a) 1

ln cos55

x + C b) 1

ln sin33

x + C

c) 1

cos55

x +С d) 1sin33

x C

26. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу cos3xdx

a) 1

ln cos55

x + C b) 1

ln sin33

x + C

c) 1

cos55

x +С d) 1sin33

x C

27. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу ctg3xdx

a) 1

ln cos55

x + C b) 1

ln sin33

x + C

c) 1

cos55

x +С d) 1sin33

x C

28. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу ln xdx

a) lnx x x C b) x xxe e C

c) 2 2

ln2 4

x xx C d)

2 21 12 4

x xxe e C

29. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу lnx xdx

a) lnx x x C b) x xxe e C

c) 2 2

ln2 4

x xx C d)

2 21 12 4

x xxe e C

30. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2xxe dx

a) lnx x x C b) x xxe e C

c) 2 2

ln2 4

x xx C d)

2 21 12 4

x xxe e C

31. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу xxe dx

6

a) lnx x x C b) x xxe e C

c) 2 2

ln2 4

x xx C d)

2 21 12 4

x xxe e C

32. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2

2 5

5 1

xdx

x x

a) 22 3 5x x C b) 22 5 1x x C

c) 2ln 5 4x x C d) 2

ln 3 3x x C

33. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2

2 3

3 5

xdx

x x

a) 22 3 5x x C b) 22 5 1x x C

c) 2ln 5 4x x C d) 2

ln 3 3x x C

34. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2

2 5

5 4

xdx

x x

a) 22 3 5x x C b) 22 5 1x x C

c) 2ln 5 4x x C d) 2

ln 3 3x x C

35. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2

2 3

3 3

xdx

x x

a) 22 3 5x x C b) 22 5 1x x C

c) 2ln 5 4x x C d) 2

ln 3 3x x C

36. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2 8 25

dx

x x

a) 1 4

arctg3 3

xC

b) arctg 4x C

c) 1 3

ln2 5

xC

x

d)

1 1ln

6 7

xC

x

37. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2 8 7

dx

x x

a) 1 4

arctg3 3

xC

b) arctg 4x C

c) 1 3

ln2 5

xC

x

d)

1 1ln

6 7

xC

x

7

38. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2 8 17

dx

x x

a) 1 4

arctg3 3

xC

b) arctg 4x C

c) 1 3

ln2 5

xC

x

d)

1 1ln

6 7

xC

x

39. Серeд наведених варіантів виберіть значення інтегралу 2 8 15

dx

x x

a) 1 4

arctg3 3

xC

b) arctg 4x C

c) 1 3

ln2 5

xC

x

d)

1 1ln

6 7

xC

x

40. Вказати розклад даного раціонального дробу на суму елементарних дробів

2 5 1

1 2

x x

x x x

a)

21 21

A B C

x xx

b)

1 2

A B C

x x x

c)

2

1 2 2

A B C

x x x

d)

2 2

A Bx C

x x

41. Вказати розклад даного раціонального дробу на суму елементарних дробів

2

2

5 1

1 2

x x

x x

a)

21 21

A B C

x xx

b)

1 2

A B C

x x x

c)

2

1 2 2

A B C

x x x

d)

2 2

A Bx C

x x

42. Вказати розклад даного раціонального дробу на суму елементарних дробів

2

2

5 1

1 2

x x

x x

8

a)

21 21

A B C

x xx

b)

1 2

A B C

x x x

c)

2

1 2 2

A B C

x x x

d)

2 2

A Bx C

x x

43. Вказати розклад даного раціонального дробу на суму елементарних дробів

2

2

5 1

2

x x

x x

a)

21 21

A B C

x xx

b)

1 2

A B C

x x x

c)

2

1 2 2

A B C

x x x

d)

2 2

A Bx C

x x

44. Як знайти неозначений інтеграл: ln xdx

a) заміною t tgx , 2cos

dxdt

x ;

b) заміною sint x , cosdt xdx ;

c) заміною cost x , sindt xdx ;

d) інтегруванням частинами

45. Як знайти неозначений інтеграл: 3sin xdx

a) заміною t tgx , 2cos

dxdt

x ;

b) заміною sint x , cosdt xdx ;

c) заміною cost x , sindt xdx ;

d) інтегруванням частинами

46. Як знайти неозначений інтеграл: sin cosxe xdx

a) заміною t tgx , 2cos

dxdt

x ;

b) заміною sint x , cosdt xdx ;

c) заміною cost x , sindt xdx ;

d) інтегруванням частинами

47. Як знайти неозначений інтеграл:sin 2cos

dx

x x

a) заміною t tgx , 2cos

dxdt

x ;

b) заміною sint x , cosdt xdx ;

c) заміною 2

xt tg ,

22cos2

dxdt

x ;

d) заміною cost x , sindt xdx .

9

48. Як знайти неозначений інтеграл:2 2sin 2cos

dx

x x

a) заміною t tgx , 2cos

dxdt

x ;

b) заміною sint x , cosdt xdx ;

c) заміною 2

xt tg ,

22cos2

dxdt

x ;

d) заміною cost x , sindt xdx .

49. Як знайти неозначений інтеграл:1

xdx

x

a) заміною 2x t , 2dx tdt ;

b) заміною 6x t , 6dx tdt ;

c) заміною 3x t ,

23dx t dt ;

d) заміною 4x t , 34dx t dt .

50. Як знайти неозначений інтеграл:31

xdx

x

a) заміною 2x t , 2dx tdt ;

b) заміною 6x t , 6dx tdt ;

c) заміною 3x t ,

23dx t dt ;

d) заміною 4x t , 34dx t dt .

51. Як знайти неозначений інтеграл:3

31

xdx

x

a) заміною 2x t , 2dx tdt ;

b) заміною 6x t , 6dx tdt ;

c) заміною 3x t ,

23dx t dt ;

d) заміною 4x t , 34dx t dt .

52. Як знайти неозначений інтеграл:41

xdx

x

a) заміною 2x t , 2dx tdt ;

b) заміною 6x t , 6dx tdt ;

c) заміною 3x t ,

23dx t dt ;

d) заміною 4x t , 34dx t dt

53. Формула Ньютона-Лейбніца

а) b

a

f x dx F b F a

b) b b

b

aa a

udv uv vdu

c) b

a

f x dx f t t dt

d) b

a

f x dx f c b a

54. Формула заміни змінної в означеному інтегралі

а) b

a

f x dx F b F a

b) b b

b

aa a

udv uv vdu

c) b

a

f x dx f t t dt

d) b

a

f x dx f c b a

55. Теорема про середнє

а) b

a

f x dx F b F a

b) b b

b

aa a

udv uv vdu

c) b

a

f x dx f t t dt

d) b

a

f x dx f c b a

56. Формула інтегрування частинами в означеному інтегралі

а) b

a

f x dx F b F a

b) b b

b

aa a

udv uv vdu

c) b

a

f x dx f t t dt

d) b

a

f x dx f c b a

57. Вкажіть вірне значення визначеного інтеграла: 1

1

2

1dx

x

a) ln2 ; b)

3

4 ; c)

1ln

2;

d) ln2

58. Вкажіть вірне значення визначеного інтеграла:2

0

cos2xdx

a) 0; b) 1; c) –1; d) 1/2

59. Вкажіть вірне значення визначеного інтеграла:0

2

1

3x dx

а) 1

2; b) 1; с)

1

3 ; d) 3

60. Вказати чому рівний інтеграл:1

2

01

dx

x

11

а) 2

; b)

6

; с)

4

; d)

12

61. Вказати чому рівний інтеграл:1

20 1

dx

x

а) 2

; b)

6

; с)

4

; d)

12

62. Вказати чому рівний інтеграл:1

20 4

dx

x

а) 2

; b)

6

; с)

4

; d)

12

63. Вказати чому рівний інтеграл:3

2

09

dx

x

а) 2

; b)

6

; с)

4

; d)

12

64. Вказати чому рівний інтеграл:2

3

1

xe dx

а) 3 3 1

3

e e ; b)

ln 7

3; с)

3 4 1

4

e e ; d)

ln 4

3

65. Вказати чому рівний інтеграл:2

03 1

dx

x

а) 3 3 1

3

e e ; b)

ln 7

3; с)

3 4 1

4

e e ; d)

ln 4

3

66. Вказати чому рівний інтеграл:2

4 1

1

xe dx

12

а) 3 3 1

3

e e ; b)

ln 7

3; с)

3 4 1

4

e e ; d)

ln 4

3

67. Вказати чому рівний інтеграл:2

13 2

dx

x

а) 3 3 1

3

e e ; b)

ln 7

3; с)

3 4 1

4

e e ; d)

ln 4

3

68. Вказати чому рівний інтеграл:4

0

sin 2xdx

а) 1

2; b)

1

3; с)

ln 2

2; d)

ln 2

3

69. Вказати чому рівний інтеграл:6

0

cos3xdx

а) 1

2; b)

1

3; с)

ln 2

2; d)

ln 2

3

70. Вказати чому рівний інтеграл:6

0

2tg xdx

а) 1

2; b)

1

3; с)

ln 2

2; d)

ln 2

3

71. Вказати чому рівний інтеграл:6

18

3ctg xdx

а) 1

2; b)

1

3; с)

ln 2

2; d)

ln 2

3

72. Яким інтегралом можна обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

y x ; 2y x

а) 1

2

0

( )x x dx ; b) 1

2

0

( )x x dx ; с) 1

2

1

( )x x dx

; d) 1

2

1

x x dx

73. Який інтеграл виражає площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями: 21y x ; 0y

a) 1

2

0

2 (1 )x dx ; b) 1

2

1

( 1)x dx

; с) 1

2

0

(1 )x dx ; d) 1

2

0

2 1x dx

74. Який інтеграл виражає площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями: 3y x ; y x

a) 1

3

1

( )x x dx

; b) 21

3

0

( )x x dx ; с) 21

3

0

( )x x dx ; d) 1

3

1

( )x x dx

75. Який інтеграл виражає площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями:

siny x ; 0y ; 2

x

; 0x

а)

0

2

sin xdx

; b)

0

2

sin xdx

; с)

0

2

cos xdx

; d)

0

2

cos xdx

76. Вказати тип диференціального рівняння І-го порядку: 2

2

cos 2

cos 4

yy

x

а) з відокремлюваними змінними;

b) однорідне;

с) лінійне;

d) Бернуллі

77. Вказати тип диференціального рівняння І-го порядку: 2 24x y

yxy

а) з відокремлюваними змінними;

b) однорідне;

с) лінійне;

d) Бернуллі

78. Вказати тип диференціального рівняння І-го порядку: 2yy x

x

а) з відокремлюваними змінними;

b) однорідне;

с) лінійне;

d) Бернуллі

14

79. Вказати тип диференціального рівняння І-го порядку: 2 2yy x y

x

а) з відокремлюваними змінними;

b) однорідне;

с) лінійне;

d) Бернуллі

80. Вказати тип диференціального рівняння І-го порядку: ny P x y y Q x

а) з відокремлюваними змінними;

b) однорідне;

с) лінійне;

d) Бернуллі

81. Вказати тип диференціального рівняння І-го порядку: 1,y

y fx

а) з відокремлюваними змінними;

b) однорідне;

с) лінійне;

d) Бернуллі

82. Вказати тип диференціального рівняння І-го порядку: y P x y Q x

а) з відокремлюваними змінними;

b) однорідне;

с) лінійне;

d) Бернуллі

83. Вказати тип диференціального рівняння І-го порядку:

1 1 2 2 0M x N y dx M x N y dx

а) з відокремлюваними змінними;

b) однорідне;

с) лінійне;

d) Бернуллі

84. Вказати тип диференціального рівняння І-го порядку: 1y

yx

а) з відокремлюваними змінними;

b) однорідне;

с) лінійне;

d) Бернуллі

85. Вказати тип диференціального рівняння І-го порядку: 2 2yy y x

x

а) з відокремлюваними змінними;

b) однорідне;

с) лінійне;

d) Бернуллі

86. Вказати тип диференціального рівняння І-го порядку: y

yx

а) з відокремлюваними змінними;

b) однорідне;

с) лінійне;

d) Бернуллі

15

87. Вказати тип диференціального рівняння І-го порядку: 2yy x

x

а) з відокремлюваними змінними;

в) однорідне;

с) лінійне;

d) Бернуллі

88. Вказати загальний інтеграл диференціального рівняння: 2

2

sin 3

cos 4

yy

x

а) 1 1

ln sin2 ln cos3 02 3

y x c ;

b) 1 1

4 3 04 3

tg x ctg y c ;

с) 1 1

sin3 cos4 03 4

x y c ;

d) 1 1

sin4 cos3 04 3

y x c

89. Вказати загальний інтеграл диференціального рівняння: 2

3

tg yy

ctg x

а) 1 1

ln sin2 ln cos3 02 3

y x c ;

b) 1 1

4 3 04 3

tg x ctg y c ;

с) 1 1

sin3 cos4 03 4

y y c ;

d) 1 1

sin4 cos3 04 3

y x c

90. Вказати загальний інтеграл диференціального рівняння: sin3

cos4

xy

y

а) 1 1

ln sin2 ln cos3 02 3

y x c ;

b) 1 1

4 3 04 3

tg x ctg y c ;

с) 1 1

sin3 cos4 03 4

x y c ;

d) 1 1

sin4 cos3 04 3

y x c

91. Вказати загальний інтеграл диференціального рівняння: cos3

sin4

xy

y

а) 1 1

ln sin2 ln cos3 02 3

y x c ;

b) 1 1

4 3 04 3

tg x ctg y c ;

с) 1 1

sin3 cos4 03 4

x y c ;

d) 1 1

sin4 cos3 04 3

y x c

16

92. Як знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:

2 1 0x ydy y dx

а) проінтегрувати;

b) розділити змінні і проінтегрувати; с) ввести заміну y uv ;

d) ввести заміну y tx

93. Як знайти загальний розв’язок диференціального рівняння: 2 0ydy x dx

а) проінтегрувати;

b) розділити змінні і проінтегрувати;

с) ввести заміну y uv ;

d) ввести заміну y tx

94. Як знайти загальний розв’язок диференціального рівняння: 3yy x

x

а) проінтегрувати;

b) розділити змінні і проінтегрувати;

с) ввести заміну y uv ;

d) ввести заміну y tx

95. Як знайти загальний розв’язок диференціального рівняння: xy x y

а) проінтегрувати;

b) розділити змінні і проінтегрувати; с) ввести заміну y uv ;

d) ввести заміну y tx

96. Серед наведених функцій виберіть ту, що є загальним розв’язком диференціального рівняння: 0y y

a) 1 2sin cosy C x C x b) 1 2

x xy C e C e ;

с) 1 2sin cosxy e C x C x ; d) 1 2

x xy C e C xe

97. Серед наведених функцій виберіть ту, що є загальним розв’язком диференціального рівняння: 2 0y y y

a) 1 2sin cosy C x C x b) 1 2

x xy C e C e ;

с) 1 2sin cosxy e C x C x ; d) 1 2

x xy C e C xe

98. Серед наведених функцій виберіть ту, що є загальним розв’язком диференціального рівняння: 0y y

a) 1 2sin cosy C x C x b) 1 2

x xy C e C e ;

с) 1 2sin cosxy e C x C x ; d) 1 2sin cosxy e C x C x

17

99. Серед наведених функцій виберіть ту, що є загальним розв’язком диференціального рівняння: 2 2 0y y y

a) 1 2sin cosy C x C x b) 1 2

x xy C e C e ;

с) 1 2sin cosxy e C x C x ; d) 1 2sin cosxy e C x C x

100. Серед наведених функцій виберіть ту, що є загальним розв’язком диференціального рівняння: 4 5 0y y y

a) 2

1 2cos2 sin2xy e C x C x ;

b) 2

1 2cos sinxy e C x C x ;

с) 1 2cos2 sin2xy e C x C x ;

d) 1 2sin cosy C x C x

101. Серед наведених функцій виберіть ту, що є загальним розв’язком диференціального рівняння: 2 3 0y y y

a) 3

1 2

x xy C e C e ;

b) 1 2

x xy C e C e ;

с) 3 3

1 2

x xy C e C xe ;

d) 3 3

1 2

x xy C e C e

102. Серед наведених функцій виберіть ту, що є загальним розв’язком диференціального рівняння: 6 9 0y y y

a) 3

1 2

x xy C e C e ;

b) 1 2

x xy C e C e ;

с) 3 3

1 2

x xy C e C xe ;

d) 3 3

1 2

x xy C e C e

103. В якому вигляді cлід шукати частинний розв’язок диференціального рівняння: 3 5y y x

a) y Ax B ; b) y x Ax B ;

с) 2y Ax Bx C ; d) 2y x Ax Dx C

104. В якому вигляді cлід шукати частинний розв’язок диференціального

рівняння: 29 4y y x x

a) y Ax B ; b) y x Ax B ;

с) 2y Ax Bx C ; d) 2y x Ax Dx C

105. В якому вигляді cлід шукати частинний розв’язок диференціального рівняння: 4 3 3 2y y y x

18

a) y Ax B ; b) y x Ax B ;

с) 2y Ax Bx C ; d) 2y x Ax Dx C

106. В якому вигляді cлід шукати частинний розв’язок диференціального

рівняння: 39 4 xy y e

а) 3xy Me ; b) 3xy Mxe ; с) 3xy e ; d) 2 3xy Mx e

107. В якому вигляді cлід шукати частинний розв’язок диференціального

рівняння: 39 6 xy y e

а) 3xy Me ; b) 3xy Mxe ; с) 3xy e ; d) 2 3xy Mx e

108. В якому вигляді cлід шукати частинні розв’язки диференціального

рівняння: 36 9 7 xy y y e

а) 3xy Me ;

b) 3xy Mxe ;

с) 3xy e ;

d) 2 3xy Mx e