Download pdf - tablicni integrali

Неопределен интеграл

k = const

1.

2.

3. a = const

( )

Правила за интегриране( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ ∫

( ) ( )kf x dx k f x dx=∫ ∫( ) ( ) ( )f x dx f x d x a= ±∫ ∫

4. a∫0, a = const( ) ( ) ( )1f x dx f x d axa

=∫ ∫

5. ( ) ( )dF x F x C= +∫

Таблица на основните интеграли

1.

2.

3.

4.

5.

dx x C= +∫1

1

pp xx dx C

p

+

= ++∫

lndx x Cx= +∫

x xe dx e C= +∫

( )ln

xx aa dx C

a= +∫

p ∫ -1

sin cos

7.

6. xdx x C= − +∫cos sinxdx x C= +∫

Таблица на основните интеграли

8.

9.

10.

11.

12.

2

1 tgcos

dx x Cx

= +∫

2

1 cotgsin

dx x Cx

= − +∫

2 2

1 1 arctg xdx Cx a a a

⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫

2 2

1 arcsin xdx Caa x

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠−

∫

2 2

1 1 ln2

x adx Cx a a x a

−= +

− +∫

13.2 2

2 2

1 lndx x x a Cx a

= + ± +±

∫

a > 0

32

3xx dx C= +∫

Да се пресметне интеграла:

ЗадачаЗадача 112

33 2

1 12 2

xdx x dx C Cx x

−−= = + = − +

−∫ ∫ЗадачаЗадача 22


Непосредствено пресмятане на интеграл

от (2)1

1

pp xx dx C

p

+

= ++∫

7 32 3 2

2 35 4x x dxx x

⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

7 3223

1 15 4 2 3x dx x dx dx dxx x

= − + − =∫ ∫ ∫ ∫2 1 18 4 1 83

4 35 25 4 2 3 918 4 1 83

x x x x xC x x Cx

− +−

= − + − + = − − − +−



2

1 arcsin55xdx C

x= +

−∫ от (11)

2 2

1 arcsin xdx Caa x

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠−

∫

( )22 2 22

2

1 1 1 13 3 33

1 arctg ln 33 3

dx dx dxx x xx

x x x C

⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ +

= + + + +

∫ ∫ ∫


97 22 1 2 32 3 2ln

9 ln 3

xx xx dx dx dx x C

x= + − = + − +∫ ∫ ∫

7 2 3xx dxx

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫


2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 11 1 1 1

x x xdx dx dx dxx x x x

− + −= = − − =

− − − −∫ ∫ ∫ ∫

2

1 1 1 1 1ln ln1 2 1 2 1

x xdx dx x C x Cx x x

− += − − = − − + = − + +

− + −∫ ∫

ЗадачаЗадача 882 2

2 2 2

2 2 122 2 2

x xdx dx dx dxx x x

+ −= = − =

+ + +∫ ∫ ∫ ∫

12 arctg2 2

xx C= − +


( )( )2 24 2

2 2

2 3 12 5 31 1

x xx x dx dxx x

− −− += =

− −∫ ∫

2 322 3 33

x dx dx x x C= − = − +∫ ∫

ЗадачаЗадача 10103 5 3 5

2 2 2

2 21 1 1

x x x xdx dx dxx x x

+ − −= + =

− − −∫ ∫ ∫

33 22

2

12arcsin 2arcsin1

x xx C dx x C x dxx−

= + + = + + =−

∫ ∫5222arcsin

5x x C= + +

ЗадачаЗадача 11112 2

22 2

sin 1 costgcos cos

x xxdx dx dxx x

−= = =∫ ∫ ∫

2 2

1 11 tgcos cos

dx dx dx x x Cx x

⎛ ⎞= − = − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫


( ) ( )2 2

4 2 2 2 2 2

2 3 2 31 1

x xdx dx dxx x x x x x+

= + =+ + +∫ ∫ ∫

( ) ( )2 2 2

2 131 1

dx dxx x x

= + =+ +∫ ∫

2 22arctg 3arctg arctgx x C x Cx x

= − − + + = − + +

2 2

2 2 3arctg1

dx dx x Cx x

= − + + =+∫ ∫

( )2 2 2

2 2 131 1

dx dxx x x

⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫ ∫

Интегриране чрез внасяне на константа под знака на диференциала

( )1 1 3 ln 33 3

dx d x x Cx x

= − = − +− −∫ ∫


( ) ( ) ( ) ( )17 17 1817 7 7 718

x dx x d x x C+ = + + = + +∫ ∫ЗадачаЗадача 1144

( ) ( ) ( )1f ax b dx f ax b d ax ba

+ = + +∫ ∫


( )( )

2 2

1 1 1 15 arcsin 55 51 25 1 5

dx d x x Cx x

= = +− −

∫ ∫


( ) ( )( )2 22 2 2

1 1 1 1 29 4 23 2 3 2

dx dx d xx x x

= = =+ + +∫ ∫ ∫

1 1 2arctg2 3 3

x C= +


( )3 2 3 23 2

1 1 13 23 3

x xx dx e d x e C

e− + − +

− = − + = − +−∫ ∫


( )1 cos5sin 5 sin 5 55 5

xxdx xd x C= = − +∫ ∫

( )2 2

2

2 2

2

1 1 145 4 55 4 . 2 14 2

1 1 1 1 52 255 51 1

2 2

1 5 5ln 12 45

dx dx dxx xx

xdx dx x

x x C

= = =− ⎛ ⎞− −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫



( )2 1 cos 2 1 1 1cos cos 2 22 2 2 2

1 1 sin 22 4

xxdx dx dx xd x

x x C

+= = + =

= + +

∫ ∫ ∫ ∫


2 22 2

1 1 1 1cos 5 cos 54 4

dx dx dxx xx x

⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟

− −⎝ ⎠∫ ∫ ∫

( ) 22

1 1 5 ln 45 cos 5

d x x x Cx

= + + − + =∫21 tg5 ln 4

5x x x C= + + − +


( )

2 1 cos 2 1 cos 2sin2 2 2

1 cos 2 1 1 1 cos 2 22 2 2 2 2

1 1 sin 22 4

x xxdx dx dx

xdx dx x C xd x

x x C

− ⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

= − = + − =

= − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

ЗадачаЗадача 2424 ( ) ( )7 72 23 5 3 5x xx e dx x dx e dx⎡ ⎤+ + = + + =⎣ ⎦∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )8 27 2 3 51 1 13 5 3 5 2

3 2 3 8 2

xx x ex d x e d x C

+= + + + = + +∫ ∫

1 1 2 32 3 2 3 2 3

x xdx dxx x x x x x

+ + −= =

+ − − + − − + + −∫ ∫


( ) ( )3 32 2

2 2 315

x x C⎡ ⎤= + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )1 12 3 2 2 3 35 5

x x dx x d x x d x⎡ ⎤= + + − = + + + − − =⎣ ⎦∫ ∫ ∫


( )2 12 3

333 2

sincos sin sin 3 sin2sin 13

xx dx xd x C x Cx

− +−

= = + = +− +

∫ ∫

Интегриране чрез внасяне на функция под знака на диференциала

( ) ( ) ( ) ( )( )f x g x dx g x d f x dx=∫ ∫ ∫


( )2

2 2ln 1ln ln lnx dx x dx xd xx x

= = =∫ ∫ ∫


( )12

2 222 2

1 1 12 21 1

x xdx d x dxx x

−⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟

− −⎝ ⎠∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )1 12 21

2 2 2211 11 1 112 2 1

2

xx d x x C

− +− −

= − − − + = − = − − +− +

∫

( ) ( ) ( )32 ln

ln ln3x

x d x C= = +∫


( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 1. arctgarctg arctg1 arctg 1

dx dx d xx xx x x

= = =+ +∫ ∫ ∫

ln arctg x C= +


( ) ( )2 22 2

5 3 15 37 2 7 2 7 2

x xdx dx dxx x x

−= − =

+ + +∫ ∫ ∫

( )( ) ( )

( )22 22

5 1 1 3 12 7 22 2 7 2 2 7 2

d x d xx x

= + − =+ +

∫ ∫

( )25 3 2ln 7 2 arctg4 14 7

xx C= + − +


2 2 2

2 3 12 33 4 3 4 3 4

x xdx dx dxx x x+

= + =+ + +∫ ∫ ∫

( ) ( )

2

22 2

1 12 33 4 2 3 2

xd dxx x

= + =+ +

∫ ∫

( )( ) ( )

( )222 2

2 1 1 3 14 3 22 4 3 4 2 3 2

d x d xx x

= + + =+ +

∫ ∫

21 3 2ln 3 4 arctg4 2 3

xx C= + + +

21 3 1 2ln 3 4 arctg4 2 3 3

xx C= + + + =


( )( )

( )

( ) ( )

2 2 22

2

2

2

2

12 22

2

3 4 13 45 5 5

3 1 4arcsin2 55

3 1 5 4arcsin2 553 5 5 4arcsin2 5

3 5 4arcsin5

x xdx dx dxx x x

xd x Cx

xd x Cx

xx d x C

xx C

−

+= + =

− − −

= + + =−

= − − + + + =−

= − − − + + =

= − − + +

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

ЗадачаЗадача 3232( )sin 1tg cos ln cos

cos cosxxdx dx d x x Cx x

= = − = − +∫ ∫ ∫


2

1 1 1 1sin 2 2cos2sin cos sin cos 2sin cos2 2 2 2 2 2 cos 2

1 1 tg ln tg2 2 2tgtg cos 22 2

x xdx dx d dx x x x xx x xx

x x xd d Cxx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫


( )( )( )( )

( )( )

( )( )( )( )

( )

2

2

2

1 tg1 1 4 2cos 2 2sin 2 tg2 4 2

sin 14 21coscos 4 24 2

4 2 4 2tg tg4 2 4 21 tg ln tg

4 2 4 2tg 4 2

xdx d x d x

xx x

x

xxx xd d

x x

x xd Cx

ππ π

π π

π

πππ π

π π

π ππ

+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎜ ⎟ −− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠= − − == − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠−

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ( )2

2 tg 2sin1 tg 2

xx

x=

+

Интегриране по части( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )u x d v x u x v x v x d u x= −∫ ∫

2

2

2 2

2 2

2

2 2

arccos1

arcsin 1

1 arcsin 1 arcsin

11 arcsin 11

1 arcsin 1 arcsin

x x dxx

xd x

x x x d x

x x x dxx

x x dx x x x C

=−

= − − =

= − − + − =

= − − + − =−

= − − + = − − + +

∫

∫∫

∫

∫

ЗадачаЗадача 3535Внасямe под знака d.

21x

x−

( )2 2 2

2 2

1 1 11 2 1 12 21 1

x dx d x x C x Cx x

= − − + = − − + = − − +− −

∫ ∫

Интегрираме по части.


2arctg arctg arctg arctg1

xxdx x x xd x x x dxx

= − = − =+∫ ∫ ∫

( ) ( )2 22

1 1 1arctg 1 arctg ln 12 1 2

x x d x x x x Cx

= − + = − + ++∫

( )2 2 2 2 21 1 122 2 2 2

x x x x xxxe dx xe d x xd e e e dx= = = − =∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2 2 21 1 1 12 2 2 2 4 2 4

x x x x xx x xe e C e e C e C⎛ ⎞= − + = − + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠


( )( )

( )

3 4 4 4

4 44 4

2 2

2 24

2 2

4 2

4 2

1 1 1arctg arctg arctg arctg4 4 4

1 1 1 1 1 1arctg arctg4 4 1 4 4 1

1 11 1 1 1arctg4 4 1 4 11 1 1arctg 1 arctg4 4 41 1 1 1arctg4 4 4

x xdx xdx x x x d x

x xx x dx x x dxx x

x xx x dx dx

x x

x x x dx x C

x x x dx dx

= = − =

− += − = − =

+ +− +

= − − =+ +

= − − − + =

= − + −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫4 3

arctg4

1 1 1 1arctg arctg4 12 4 4

x C

x x x x x C

+ =

= − + − +

∫


2 2 2 2 2 2 2

2 22 2 2 2

2 2

2 22

2 2

1 1 1arctg arctg arctg arctg2 2 2

1 2 1 1 1arctg arctg arctg arctg2 2 1 2 11 1arctg arctg arctg2 11 arctg arctg arctg arctg arctg2

x xdx xdx x x x d x

x xx x xdx x x xdxx x

x x xdx xdxx

x x x x xd x xd x

= = − =

+ −= − = − =

+ +

= − + =+

= − + + =

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

( )

2 2 22

2 2 2 22

2 2 2 2

1 1arctg arctg arctg2 1 21 1 1 1arctg arctg 1 arctg2 2 1 21 1 1arctg arctg ln 1 arctg2 2 2

xx x x x dx x Cx

x x x x d x x Cx

x x x x x x C

− + + + =+

= − + + + + =+

= − + + + +

∫

∫


( )

2

2 22

2

22

2

2

arccos 1 1 1arccos arccos arccos

1 1 1 1arccos arccos1 1

1 1 1 1 1arccos arccos1 11 1

1 1 1arccos ln 1

x dx xd x d xx x x x

x dx x dxx xx x xx x

x

x dx x dx x x

xx x

x Cx x x

= − = = − − =

= − − = − − =−

−

− − = − + =⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

= − + + − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫


( )( ) ( )( )

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

ln 1 1

1 ln 1 1 ln 1

1 1 11 ln 1 1 1 221 1

x x d x

x x x x d x x

x x x x x dxx x x

+ + + =

= + + + − + + + =

⎛ ⎞= + + + − + + =⎜ ⎟

+ + +⎝ ⎠

∫

∫

∫


Внасямe под знака d.

( )2

2

ln 1

1

x x xdx

x

+ +

+∫

21x

x+

( )2 2 2

2 2

1 1 11 2 1 12 21 1

x dx d x x C x Cx x

= + = + + = + ++ +

∫ ∫

( )

( )

22 2

2 2

22 2

2 2

11 ln 1 11 1

11 ln 11 1

x xx x x dxx x x

x xx x x dx dxx x x x

⎛ ⎞+= + + + − + =⎜ ⎟

+ + +⎝ ⎠

+= + + + − − =

+ + + +

∫

∫ ∫

( )

2 2 2 2 2

2 22 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 111 1 1

1 1 1

x x x x x x xdx dx dxx xx x x x x x

x x x dx x x dx dx x dx

+ + − + + − −− = − = − =

− −+ + + + − +

= + − − = + − −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

( )

2 2 2

2 22 2 2

2 2 2 2

1 111 1 1

1 1

x x x x x x xdx dx dxx xx x x x x x

x x x dx x dx x x dx

− + − +− = − = − =

− −+ + + + − +

= − + = − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

( )

( )( )

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

1 ln 1

1 1

1 ln 1

1 ln 1

x x x

x x dx dx x dx x dx x x dx

x x x dx

x x x x C

= + + + +

+ − − + − + =

= + + + − =

= + + + − +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫

Изчисление с Mathematica

7 32 3 2

2 35 4x x dxx x

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

Да се пресметне интеграла:ЗадачаЗадача: :

f@x_D:= ‡i

k

jjjjj5 x7 − 4 x3 +2x2

−3

è!!!!!x23

y

{

zzzzz x

f@xD

−2x− x4+

5 x8

8−

9Hx2L2ê3

x