INTEGRALES MULTIPLES
EMPEZAREMOS CON LAS
INTEGRALES DOBLES
Las integrales dobles se aplican a las funciones de dos
variables, z = f(x, y) con la finalidad de calcular el volumen
que estรก debajo de ella. Pero iniciaremos nuestro estudio
considerando algunas situaciones particulares que facilitarรกn
su aprendizaje, como z > 0 y de dominio D rectangular [a,
b]x[c, d], como se muestra en la figura siguiente:
z=f(x,y)
D
Dividimos el intervalo [a, b] en โnโ partes iguales y el intervalo
[c, d] en m partes iguales, de modo que: โ๐ = ๐โ๐
๐ y โ๐ =
๐ โ๐
๐
luego tenemos una malla de mxn sub-intervalos de รกrea โAij=โ๐ โ๐
Tomando el sub-intervalo genรฉrico ij, en donde el punto medio es (๐๐,
โ๐๐โ) determinamos el valor de z en dicho punto serรก f (๐๐,
โ๐๐โ)
El รกrea de dicho sub-intervalo es โ๐ โ๐ฒ, de modo que dicho
rectรกngulo de dimensiones โ๐ ๐ฒ โ๐ฒ y f ๐๐,โ๐๐
โ definen un
prisma recto de volumen โ๐ฝ๐๐ = โ๐โ๐ฒ f ๐๐,โ๐๐
โ como se ve en
la figura
Y d . . yj
. Y1
c a x1 x2โฆโฆโฆ โฆโฆ.xi โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ b x
ฮy ฮx
Como tenemos mxn sub-intervalos, tendremos mxn prismas
rectos.
El volumen del prisma genรฉrico serรก:๐ฝ๐๐ = ๐(๐๐,โ๐๐
โ)โ๐โ๐
Ahora vamos a sumar ordenadamente los volรบmenes de
estos mxn prismas.
Primero sumando los volรบmenes
en cada fila j:
J =1 ๐ฝ๐๐= ๐(๐๐,โ๐๐
โ)โ๐โ๐๐๐=๐
J =2 ๐ฝ๐๐= ๐(๐๐,โ๐๐
โ)โ๐โ๐๐๐=๐
.
.
J = m ๐ฝ๐๐= ๐(๐๐,โ๐๐
โ)โ๐โ๐๐๐=๐
โAij=โ๐ โ๐
),( **
ji yx
),( **
ji yxf
ฮAij = ฮxฮy
Sumando los volรบmenes de todas las m filas:
๐ฝ๐บ = ๐(๐๐,โ๐๐
โ)โ๐โ๐ ๐๐=๐
๐๐=๐
Ahora vamos a sumar los volรบmenes en cada columna i:
Si i = 1 ๐ฝ๐๐= ๐(๐๐,โ๐๐
โ)โ๐โ๐๐๐=๐
Si i = 2 ๐ฝ๐๐= ๐(๐๐,โ๐๐
โ)โ๐โ๐๐๐=๐
.
.
Si i = n ๐ฝ๐๐= ๐(๐๐,โ๐๐
โ)โ๐โ๐๐๐=๐
Sumando los volรบmenes de todas las n columnas:
๐ฝ๐บ = ๐(๐๐,โ๐๐
โ)โ๐โ๐๐๐=๐
๐๐=๐
El volumen total es el mismo, solo se ha variado el orden de
la suma, por tanto:
๐ฝ๐บ = ๐(๐๐,โ๐๐
โ)โ๐โ๐ ๐๐=๐
๐๐=๐ = ๐(๐๐,
โ๐๐โ)โ๐โ๐๐
๐=๐๐๐=๐
Llevando al lรญmite cuando nโโ y m โโ
Como โ๐ = ๐โ๐
๐ y โ๐ =
๐ โ๐
๐ entonces โ๐โ๐ ๐ โyโ๐
๐ฝ๐บ = ๐๐๐๐โโ๐โโ
๐(๐๐,โ๐๐
โ)โ๐โ๐ = ๐ ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐๐
๐
๐
๐
๐
๐=๐
๐
๐=๐
๐ฝ๐บ = ๐๐๐๐โโ๐โโ
๐(๐๐,โ๐๐
โ)โ๐โ๐ = ๐ ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐๐
๐
๐
๐
๐
๐=๐
๐
๐=๐
Teorema de Fubini
Por tanto: ๐ ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐๐
๐
๐
๐ = ๐ ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐
๐
๐
๐
๐
Integrales Iteradas
[ ๐ ๐, ๐ ๐ ๐]๐ ๐๐
๐
๐
๐= [ ๐ ๐, ๐ ๐ ๐]๐ ๐
๐
๐
๐
๐
Hay que tener en cuenta que el orden de integraciรณn โes de
dentro hacia fueraโ. Esto es la [ ๐ ๐, ๐ ๐ ๐]๐ ๐,๐
๐
๐
๐ se integra
la integral que estรก dentro del corchete respecto a x manteniendo
constante y, y luego el resultado, se integra respecto a y.
EJEMPLO Evaluar I= ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ = [ ๐๐๐๐ ๐]๐ ๐๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
Integramos primero respecto a y considerando a x constante:
I= [ ๐๐๐๐ ๐]๐ ๐ = [๐๐
๐
๐
๐]๐๐๐๐๐ ๐
๐
๐=
๐
๐๐๐
๐
๐ ๐ ๐
๐
๐
Ahora integramos respecto a x: I= ๐
๐๐๐
๐
๐ ๐ ๐=
๐
๐
๐๐
๐
๐๐=
๐๐
๐
Si estamos frente a una integral doble en donde los lรญmites son
cerrados, como en el ejemplo que acabamos de ver, esto es x
varรญa entre [0, 3] e y [1, 2] y la funciรณn sub-integral f(x, y) es el
producto de dos funciones de variables separadas, esto es f(x,
y) = u(x) v(y) entonces la integral doble se puede resolver
integrando dos integrales simples y el resultado se multiplica:
I= ๐ ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐๐
๐
๐
๐= ๐ ๐)๐(๐ ๐ ๐๐ ๐
๐
๐
๐
๐=
I = ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐
๐
๐
๐
El ejemplo anterior nos ilustra esta propiedad:
I= ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ = ๐ ๐ = ๐๐
๐ ๐ = ๐
๐
๐
๐
๐= ๐๐ ๐
๐
๐ ๐๐๐ ๐ =๐
๐
I= ๐๐ ๐๐
๐ ๐๐๐ ๐ =๐๐
๐
๐๐
๐
๐
๐๐
๐
๐๐=
๐
๐
๐๐
๐=
๐๐
๐
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES
1. ๐๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ =๐น
c ๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ๐น
2. ๐ ๐, ๐ ยฑ ๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ = ๐(๐, ๐)๐ ๐จ ยฑ ๐ ๐, ๐๐น
๐ ๐จ๐น๐น
3. ๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ โฅ ๐ ๐๐ ๐(๐, ๐) โฅ ๐๐น
4. ๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ โฅ ๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ๐น
๐๐ ๐(๐, ๐) โฅ ๐(๐, ๐)๐น
5. ๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ = ๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ +๐ซ ๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ
๐ฌ
๐น
๐บ๐ ๐น = ๐ซ โช ๐ฌ
Ejemplo:
Calcular el volumen del sรณlido que se encuentra arriba del
cuadrado [0, 2]x[0, 2] y debajo del paraboloide z=16-๐๐ โ ๐๐๐ .
๐ฝ = ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐ =๐
๐
๐
๐
๐ฝ = ๐๐๐ โ๐๐
๐โ ๐๐๐๐
๐๐
๐
๐dy=
๐ฝ = ๐๐ โ๐
๐โ ๐๐๐๐
๐dy=
๐ฝ =๐๐
๐๐ โ ๐
๐๐
๐
๐๐=
๐๐๐
๐โ
๐๐
๐ =
๐๐๐
๐
Luego el volumen encerrado V = 48 ๐๐
y Paraboloide z = 16- ๐๐ โ ๐๐๐ 0 2 y 2 (2, 2) x
GENERALIZACIรN DEL DOMINIO
Dada la funciรณn z = f(x, y) > 0, cuyo dominio es una regiรณn R
simple y cerrada.
Definimos una funciรณn F(x, y) cuyo
dominio D =[a, b]x[c, d] que contiene
a R, como se ve en la figura:
๐ญ ๐, ๐ = ๐ ๐, ๐ ๐๐ (๐, ๐) โ ๐น
๐ ๐๐ ๐, ๐ โ ๐ซ โ ๐น
Como F(x, y)โฅ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ซ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐, ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ condiciones de la definiciรณn. Integrando esta funciรณn F(x,
y):
๐ญ ๐, ๐ ๐ ๐จ = ๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ + ๐๐ ๐จ =
๐ซโ๐น๐น๐ซ
๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ
๐น
R
y d D C 0 a b
En la siguiente figura se muestra el grรกfico de F(x, y)
Como F(x, y) = 0 para cuando (x, y)
se encuentra en la regiรณn D-R,
el volumen en esa regiรณn es cero.
Por tanto:
๐ญ ๐, ๐ ๐ ๐จ = ๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ๐น๐ซ
z z=f(x, y) c d y a R D b
TIPOS DE REGIONES
Regiรณn Tipo I: D1={ (x, y)/ a โค x โค b y u1(x) โค y โค u2(x) }
La integral doble para esa regiรณn serรก: ๐ ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐(๐)
๐๐(๐)
๐
๐
En la figura se muestran las formas que puede adoptar D1
y y y
u2(x) u2(x) u2(x) D1 D1 D1
u1(x) u1(x) u1(x) 0 a b 0 a b 0 a b
Regiรณn Tipo II: D2 = {(x, y) / c โค y โค d y h1(y) โค x โค h2(y) }
La integral doble para esa regiรณn serรก: ๐ ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐(๐)
๐๐(๐)
๐
๐
En la figura se muestra las formas que puede asumir D2
y y y d d d h1(y) h2(y) h1(y) h2(y) h1(y) h2(y) D2 D2 D2
c c c 0 x 0 x 0 x
Teorema de Fubini para regiones generales: Regiรณn Tipo 1
egiรณn
Cรกlculo de A(x):
Tomando el plano x = x corta a la
superficie S dada por z =f(x,y) en
una curva en donde x permanece
constante x = x, luego el รกrea A(x):
A(x)= ๐ ๐, ๐ ๐ ๐๐๐(๐)
๐๐(๐)
Para calcular el volumen consideramos un dx que define con
A(x) un dV = A(x)dx, integrando entre a y b tenemos:
VOLUMEN = ๐จ ๐ ๐ ๐ =๐
๐ ๐ ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐
๐๐(๐)
๐๐(๐)
๐
๐
Ahora vamos a verlo para una regiรณn Tipo 2
Cรกlculo de A(y):
Tomando el plano y = y corta a la
superficie S dada por z =f(x,y) en
una curva en donde y permanece
constante y = y, luego el รกrea A(y):
A(y) = ๐ ๐, ๐ ๐ ๐๐๐(๐)
๐๐(๐)
Para calcular el volumen consideramos un dy que define con
A(y) un dV = A(y)dy, integrando entre c y d tenemos:
VOLUMEN = ๐จ ๐ ๐ ๐ =๐
๐ ๐ ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐
๐๐(๐)
๐๐(๐)
๐
๐
Ejercicio
Evalรบe ๐+ ๐๐ ๐ ๐จ๐ซ
donde D es la regiรณn limitada por las
curvas ๐ = ๐๐๐ ๐ ๐ = ๐ + ๐๐
En donde ๐ โ ๐ = ๐๐
Hacemos el grรกfico, vemos que la
regiรณn es tipo I:
D={(x, y)/ -1 โค x โค 1 y 2๐๐ โค ๐ โค ๐๐ + ๐}
Luego la integral serรก:
I= ๐+ ๐๐ ๐ ๐จ๐ซ
= ๐ + ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐+๐๐
๐๐๐๐
โ๐=
๐ฐ = ๐ ๐๐ + ๐ + ๐๐ + ๐๐โ ๐๐๐ โ ๐๐๐ ๐ ๐ =
๐
โ๐
21 xy
22xy
D
y 2 1 -1 0 1 x
D
๐ฐ = ๐ + ๐ + ๐๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐๐ ๐ ๐ =๐
โ๐
๐ฐ = ๐ +๐๐
๐+ ๐
๐๐
๐โ๐๐
๐โ ๐
๐๐
๐๐โ๐
= ๐ + ๐ +๐
๐โ ๐ โ ๐
๐
๐=
๐ฐ =๐๐
๐๐
EJEMPLO
Evalรบe ๐๐๐ ๐จ๐ซ
donde D es la regiรณn limitada por la recta
y=x-1 y la parรกbola ๐๐ = 2x+6.
INTEGRALES DOBLES EN CC POLARES
Relaciรณn entre coordenadas polares (r, ฮธ) y las
rectangulares (x, y) de un punto:
๐ = ๐๐๐๐๐ฝ๐ = ๐๐๐๐๐ฝ
๐๐ = ๐๐ + ๐๐
๐๐๐ฝ =๐
๐
Se usan cuando las curvas que definen las regiones estรกn
limitadas por funciones circulares. Como circunferencias,
cardiodes, rosa de cuatro pรฉtalos, trรฉbol, etc.
Dada la funciรณn z = f(x, y) > 0, cuyo dominio R es un sector de
corona circular, ๐น = { (๐, ๐ฝ)/๐ โค ๐ โค ๐;๐ถ โค ๐ฝ โค ๐ท} como se
muestra en la figura:
Dividimos el intervalo de r en
โnโ partes y el intervalo de ฮธ
en โmโ partes, de modo que:
โ๐ =๐โ๐
๐ y โ๐ฝ =
๐ทโ๐ถ
๐
De manera que tendrรญamos una malla de mxn sub-intervalos,
si nos detenemos en el sub-intervalo genรฉrico ๐๐โ๐, ๐๐ ๐[๐ฝ๐โ๐, ๐ฝ๐]
Vemos que el punto medio de dicho sub-intervalo serรก:
๐โ๐ , ๐ฝ
โ๐
ฮ=ฮฑ
ฮ=ฮฒ
a
b
jj
ii
jiij
rrrrR
1
1:,
**, jir
ฮฑ
En donde: ๐โ๐=
๐๐โ๐+๐๐
๐ y ๐ฝ
โ๐ =
๐ฝ๐โ๐+๐ฝ๐
๐
El รกrea de un sector circular viene dada por: ๐จ๐๐ =๐
๐๐ฝ๐๐
El รกrea del sub-intervalo genรฉrico serรก:
๐จ๐๐ =๐
๐โ๐ฝ ๐๐
๐๐โ
๐
๐โ๐ฝ ๐๐
๐๐ โ ๐
=๐
๐โ๐ฝ๐ ๐
๐๐โ ๐
๐๐ โ ๐
=
๐จ๐๐ =๐
๐โ๐ฝ๐ ๐๐ + ๐๐โ๐ ๐๐ โ ๐๐โ๐ =โ๐ฝ๐ ๐
โ๐โ๐
Determinando el valor de f(๐โ๐, ๐
โ๐) en el punto medio del sub-
intervalo genรฉrico, como ๐โ๐= ๐
โ๐ ๐๐๐๐ฝ
โ๐ , ๐
โ๐= ๐
โ๐ ๐๐๐๐ฝ
โ๐,
entonces: ๐ ๐โ
๐ ๐๐๐๐ฝ
โ
๐, ๐โ
๐ ๐๐๐๐ฝ
โ
๐
Estamos frente a un prisma cuya secciรณn recta es el รกrea del
sub-intervalo genรฉrico y la altura el valor de f(๐โ๐, ๐
โ๐) en el
punto medio del sub-intervalo genรฉrico, cuyo volumen estarรก
dado por: ๐ฝ๐๐ = ๐ ๐โ
๐ ๐๐๐๐ฝ
โ
๐, ๐โ
๐ ๐๐๐๐ฝ
โ
๐ โ๐ฝ๐ ๐โ๐โ๐
Como tenemos mxn sub-intervalos, tendremos mxn prismas,
sumando los volรบmenes ordenadamente, se obtiene (suma de
Riemann):
๐ฝ๐ = ๐ ๐โ๐ ๐๐๐๐ฝ
โ๐, ๐
โ๐ ๐๐๐๐ฝ
โ๐ โ๐ฝ๐ ๐
โ๐โ๐
๐
๐=๐
๐
๐=๐
Llevando al lรญmite ๐ฝ๐ cuando m y n tienden a infinito:
๐๐๐๐โโ๐โโ
๐ ๐โ
๐ ๐๐๐๐ฝ
โ
๐, ๐โ
๐ ๐๐๐๐ฝ
โ
๐ โ๐ฝ๐ ๐โ
๐โ๐= ๐๐(๐๐๐๐๐ฝ, ๐๐๐๐๐ฝ)
๐ท
๐ถ
๐ ๐ฝ๐ ๐๐
๐
๐
๐=๐
๐
๐=๐
Luego:
๐= ๐๐(๐๐๐๐๐ฝ, ๐๐๐๐๐ฝ)๐ท
๐ถ
๐ ๐ฝ๐ ๐= ๐๐(๐, ๐ฝ)๐ท
๐ถ
๐ ๐ฝ๐ ๐๐
๐
๐
๐
EJEMPLO
Halle el volumen del sรณlido que se encuentra encima de z=0,
dentro del cilindro ๐๐ + ๐๐ = ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ = ๐๐ + ๐๐
Como la regiรณn es un cรญrculo
conviene usar C.C. Polares
x= rcosฮธ
y=rsenฮธ
La circunferencia:
๐๐+๐๐ = ๐๐ en CC. Polares
๐๐ = ๐๐๐๐๐๐ฝ โ ๐ = ๐๐๐๐๐ฝ
La regiรณn de integraciรณn es el cรญrculo, que en C.C. Polares queda
definido de la siguiente manera:
z 4 D x 2 1 0 y
๐๐ + ๐๐ = ๐๐ z=๐๐ + ๐๐
D = {(r, ฮธ)/ -๐
๐ โค ๐ฝ โค
๐
๐ y 0 โค r โค 2cos ฮธ}
z = (x, y) = ๐๐ + ๐๐
z = f(r, ฮธ) = ๐๐ reemplazando:
๐ฝ = ๐๐ ๐, ๐ฝ ๐ ๐ฝ๐ ๐ = ๐(๐๐)๐ ๐๐ ๐ฝ =๐๐๐๐๐ฝ
๐
๐ ๐
โ๐ ๐
๐ท
๐ถ
๐
๐
๐ฝ = ๐๐
๐๐๐๐๐๐ฝ
๐ ๐ ๐ฝ =
๐๐๐๐๐๐๐ฝ
๐ ๐ ๐ฝ =
๐ ๐
โ๐ ๐
๐ ๐
โ๐ ๐
๐ฝ = ๐ ๐ + ๐๐๐๐๐ฝ
๐
๐
๐ ๐ฝ =๐๐
๐
๐ ๐
โ๐ ๐
y r=2cosฮธ r ฮธ D 0 1 2 x
EJEMPLO
Determinar el volumen del sรณlido que estรก encima del plano
z=0, limitado por los planos x=4 ; y = 6-x, y= 0; x=0 y
debajo de ๐ = ๐ โ๐๐
๐ como se muestra en la figura siguiente.
La regiรณn es tipo I:
D={(x, y)/ 0โคxโค4 y 0โคyโค6-x}
El volumen estarรก dado por:
๐ = ๐ โ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐
๐โ๐
๐
๐
๐=
V= ๐ โ๐๐
๐๐
๐ โ ๐๐
๐
๐๐ ๐
Operando y simplificando:
๐ฝ = ๐๐๐ โ ๐๐๐ โ๐
๐๐๐ โ
๐
๐๐๐๐ = ๐๐ ๐๐๐
๐
44
2xz
xy 64x
3) Cรกlculo de la masa de la regiรณn D (dominio)
Si f(x, y) es la densidad superficial = ฯ(x, y) = ๐ ๐
๐ ๐จ
Entonces dm = ฯ(x, y) dA integrando:
๐ ๐ = ๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ๐ซ๐ซ
En el ejemplo anterior si ฯ(x, y) = 2x
๐ = ๐๐๐ ๐๐ ๐ = ๐ ๐๐๐ โ ๐๐
๐ ๐ =๐
๐
๐โ๐
๐
๐
๐
๐ = ๐ ๐๐ โ ๐๐ ๐ ๐ = ๐ ๐๐๐ โ๐๐
๐
๐๐=
๐๐๐
๐
๐
๐
APLICACIONES
1) รrea de la regiรณn D, se determina de modo indirecto, ya que
en realidad lo que se calcula es el volumen del sรณlido cuyo
valor coincide con el valor del รกrea de la regiรณn D, esto se da
cuando la altura es la unidad, esto es cuando z = f(x, y)= 1.
Sabemos que: ๐ฝ = ๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ =๐ซ ๐ ๐จ =
๐ซ๐จ๐ซ
2) Valor medio, es el valor โz = f(x, y)โ que multiplicada por el
รกrea de la base, sea igual al volumen que se encuentra debajo
de la superficie S definida por z = f(x, y).
๐ณ๐๐๐๐: ๐๐=๐
๐จ๐ซ ๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ
๐ซ
44
2xz
xy 64x
1
EJEMPLO
Del ejemplo anterior vamos a:
a) Calcular el รกrea de D:
๐จ๐ซ = ๐ ๐๐ ๐๐โ๐
๐
๐
๐
= ๐๐ โ ๐๐
๐ ๐๐
๐
๐จ๐ซ = ๐ โ ๐ ๐ ๐ = ๐๐ โ๐๐
๐
๐๐
๐
๐= ๐๐๐๐
b) Calcular el valor medio:
Como el volumen se calculรณ antes se tiene que V = 48 ๐๐
Luego el valor medio serรก: ๐๐ = 48๐๐
= ๐
3) Cรกlculo de los momentos de primer orden y centro de masa
Sabemos que la masa viene dada por:
๐ด = ๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ
๐ซ
Y sus momentos alrededor de los
dos ejes coordenados son:
๐ด๐ = ๐๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ; ๐ด๐ = ๐๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ
๐ซ๐ซ
El centro de masa se localiza en el punto ๐ , ๐
Donde: ๐ =๐ด๐
๐ด ; ๐ =
๐ด๐
๐ด
x
y yx,
4) MOMENTOS DE INERCIA
El Momento de Inercia es una medida de la materia a
resistirse a cambios en el movimiento de rotaciรณn.
Si consideramos un diferencial de masa
en un punto cualquiera de la lรกmina, el
dIy = ๐๐๐ ๐ = ๐๐๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ y
dIx = ๐๐๐ ๐ = ๐๐๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ
Integrando:
๐ฐ๐ = ๐๐๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ๐ซ
; ๐ฐ๐ = ๐๐๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ๐ซ
El momento de Inercia respecto al origen: Io = Ix + Iy
x
y
dm
EJEMPLO
Una lรกmina de densidad ฯ(x,y)=xy estรก limitada por el eje de las
x, la recta x = 8 y la curva y=x 2/3 . Calcular: la masa, el centro
de masa y momentos de inercia.
Soluciรณn: En la figura, se aprecia la regiรณn correspondiente a
la lรกmina
๐ด = ๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ = ๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐
๐
๐
๐๐ซ=
๐ด = ๐ ๐๐ ๐๐ ๐ =
๐๐
๐
๐
๐
๐๐๐
๐๐๐๐
๐๐ ๐ =
๐
๐
๐ด =๐
๐ ๐
๐๐๐ ๐ =
๐
๐
๐
๐
๐๐๐๐
๐๐๐
๐๐=
๐
๐๐๐๐๐ =
๐๐๐๐
๐๐
y=x 2/3
D
Calculando los primeros momentos, se tiene:
๐ด๐ = ๐๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ = ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ =๐๐๐
๐
๐
๐๐ซ
๐ด๐ = ๐๐๐๐
๐๐๐๐
๐
๐
๐
๐ ๐ =๐
๐ ๐
๐๐๐ ๐ ๐ =
๐๐๐๐๐
๐๐
๐
๐
๐ด๐ = ๐๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ = ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ =๐๐๐
๐
๐
๐๐ซ
๐ด๐ = ๐๐๐
๐๐๐๐
๐
๐
๐
๐ ๐ =๐
๐ ๐๐๐ ๐ =
๐
๐
๐๐
๐๐๐=
๐๐๐๐
๐
๐
๐
Por lo tanto, el Centro de Masa de la lamina es:
๐ =๐ด๐
๐ด y ๐ =
๐ด๐
๐ด
๐ =๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐
๐
=๐๐
๐๐ y ๐ =
๐๐๐๐
๐๐๐๐
๐
=๐๐
๐
Para hallar los momentos de inercia aplicamos:
๐ฐ๐ = ๐๐๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ๐ซ
๐ฐ๐ = ๐๐ ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐
๐
๐
๐
๐ฐ๐ = ๐๐๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ๐ซ
๐ฐ๐= ๐๐ ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐
๐
๐
๐
๐ฐ๐ =๐๐๐๐
๐ y ๐ฐ๐ =6144
x
y
y=x 2/3
D
AREA DE UNA SUPERFICIE
Sea S una superficie con ecuaciรณn z = f(x, y), donde F tiene
derivadas parciales continuas. Para facilitar el anรกlisis
consideramos un dominio rectangular D=[a, b]x[c, d]
Dividimos en el intervalo [a, b] en
n partes iguales y el [c, d] en m, de
modo que:
โ๐ = ๐โ๐
๐ y โ๐ =
๐ โ๐
๐
Tendremos una malla de mxn sub-
intervalos iguales. Tomamos el sub-
Intervalo genรฉrico, ij y definimos el
punto genรฉrico (xi, yj) y por ese
punto trazamos el plano tangente.
c
d a
b x
Dicho plano queda dividido por
las aristas del prisma correspon-
dientes al sub-intervalo genรฉrico
en un paralelogramo, como se
muestra en la figura en azul.
Si hacemos un zoom en esta
zona tendremos:
Vamos aproximar el รกrea ฮSij
con el รกrea del plano tangente ฮTij
),( **
ji yx
),( **
ji yxf
a b
ฮSij
ฮTij โ๐๐๐
(๐ฅ๐ , ๐ฆ๐)
๐(๐ฅ๐ . ๐ฆ๐)
โ๐
โ๐
โ๐
โ๐
b
a
Como ฮTij es igual //a x b// vamos a calcular a y b:
Como a es paralelo al plano y=0 no tiene componente โjโ luego
a=(ฮx, 0, ฮx fx(xi, yj)) y b por ser paralelo al plano x=0 no
tiene componente โiโ luego b = (o, ฮy, ฮy fy(xi, yj))
โ๐ป๐๐ =
๐ ๐ ๐โ๐ ๐ โ๐๐๐๐ โ๐ โ๐๐๐
= โ๐โ๐ ๐๐๐๐๐, ๐๐ + ๐๐
๐๐๐, ๐๐ + ๐
Como tenemos mxn sub-intervalos, tenemos que sumarlos,
aplicando la suma doble de Riemann:
๐ป = โ๐โ๐ ๐๐๐๐๐, ๐๐ + ๐๐
๐๐๐, ๐๐ + ๐
๐
๐=๐
๐
๐=๐
Llevando al lรญmite T cuando m y n tienden a infinito obtenemos
el รกrea de la superficie S:
๐บ = ๐๐๐๐โโ๐โโ
โ๐โ๐ ๐๐๐๐๐, ๐๐ + ๐๐
๐๐๐, ๐๐ + ๐
๐
๐=๐
๐
๐=๐
๐บ = ๐๐๐ ๐, ๐ + ๐๐
๐ ๐, ๐ + ๐๐
๐
๐
๐
๐ ๐๐ ๐
Expresiรณn que nos permite calcular el รกrea de la superficie S
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
Hallar el รกrea de la porciรณn del plano
z = 2 โ x โ y que estรก interceptada por
el cilindro ๐๐ + ๐๐ = 1 en el primer
cuadrante.
La regiรณn de integraciรณn D, al ser parte
de un cรญrculo, conviene usar CC.Polares
Luego D={(r, ฮธ)/ 0โค ฮธ โค ฯ/2 y 0 โค r โค 1}
Como el รกrea viene dada por:
๐บ = ๐๐๐ ๐, ๐ + ๐๐
๐ ๐, ๐ + ๐๐
๐
๐
๐
๐ ๐๐ ๐
Tenemos que calcular fx y fy, como f(x,y) = 2 โ x โ y:
fx(x, y) = -1 y fy(x, y)= -1
Remplazando en la integral los datos:
๐บ = (โ๐)๐+(โ๐)๐+๐๐
๐
๐
๐๐
๐๐ ๐๐ ๐ฝ = ๐ ๐๐ ๐๐ ๐ฝ =๐
๐
๐
๐๐
๐บ = ๐ ๐ ๐ฝ ๐๐ ๐ =๐
๐
๐
๐๐
๐ ๐ฝ๐
๐
๐
๐๐
๐
๐๐=
๐ ๐
๐
EJEMPLO 2
Hallar el รกrea de la superficie de ๐ = ๐ + ๐๐ + ๐๐ que se
encuentra dentro del cilindro ๐๐ + ๐๐=1.
Calculamos las derivadas parciales:
๐๐ ๐, ๐ = ๐๐ ; ๐๐ ๐, ๐ = ๐๐
Remplazando:
๐บ = ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐ ๐จ๐น
Como R es un cรญrculo, usamos CC. Polares
R
S
๐ = ๐๐๐๐๐ฝ๐ = ๐๐๐๐๐ฝ
๐ณ๐๐๐๐ ๐ซ:
D ={(r, ฮธ)/ 0 โค r โค 1 y 0 โค ฮธ โค 2ฯ}
๐บ = ๐ + ๐๐๐๐
๐
๐๐
๐
๐๐ ๐๐ ๐ฝ = ๐ ๐ฝ ๐ + ๐๐๐๐
๐
๐๐
๐
๐๐ ๐ =
๐บ = ๐ ๐ฝ ๐ + ๐๐๐๐
๐
๐๐
๐
๐๐ ๐ =๐๐
๐ ๐ + ๐๐๐
๐๐๐
๐
๐
๐๐ ๐ =
๐บ =๐๐
๐
(๐ + ๐๐๐)๐๐
๐๐
๐๐=
๐
๐๐ ๐ โ ๐
INTEGRALES TRIPLES
Las integrales triples se aplican para funciones de tres
variables como w = f(x, y, z), esto nos presenta una gran
dificultad debido a que no sabemos graficar dicha funciรณn
debido a que se encuentra en un espacio tetra-dimensional,
pero por inducciรณn, aunque no sepamos como es,
intentaremos imaginarlo. Las integrales triples se logran
entender mejor en las aplicaciones:
๐ ๐ ๐ ๐ = ๐จ๐๐๐ ๐๐ ๐ฝ๐
๐
๐
๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ฝ๐
๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ = ๐ฝ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ฝ๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ฝ๐
๐
๐
๐
๐
๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ = ยฟ ? ๐๐ ๐ฝ๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ฝ๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
Tomaremos como dominio un prisma recto, pero para
facilitar el anรกlisis tomaremos un dominio rectangular como
D =[0, a]x[0, b]x[0, c], y dividiremos el intervalo [0, a] en n
partes iguales; el [0, b] en m partes iguales y el [0, c] en รฑ
partes iguales, de modo que tendremos mxnxรฑ sub-
intervalos iguales, cuyas dimensiones son:
โ๐ =๐
๐ ; โ๐ =
๐
๐; โ๐ =
๐
รฑ
Tomamos el elemento genรฉrico ijk
de coordenadas (๐๐, ๐๐, ๐๐)
El prisma genรฉrico tiene como
punto medio a (๐๐โ, ๐๐
โ, ๐๐โ)
y su volumen โ๐ฝ = โ๐โ๐โ๐
Definimos el valor de f en ese
punto w = ๐(๐๐โ, ๐๐
โ, ๐๐โ)
iiiijk zyxV
c
a
b
),,( ***
kji zyx
ixjy
kz
TEOREMA DE FUBINI
Si โfโ es continua sobre su dominio D =[0, a]x[0, b]x[0, c],
entonces: ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ๐ซ
= ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐
๐
๐
๐
๐
El orden de integraciรณn es de adentro hacia afuera, en la integral
de la derecha, empezamos integrando respecto a z, manteniendo
constantes a y y a z. luego integramos respecto a y manteniendo
constante a x y por รบltimo integramos respecto a x. Hay otras
posibles รณrdenes de integraciรณn:
INTEGRALES TRIPLES PARA REGIONES MรS GENERALES
Tomemos una funciรณn f(x, y, z) continua en una regiรณn general
E, que es un sรณlido simple y cerrada situada en el primer
octante.
Definimos una funciรณn F(x, y, z) de
dominio D =[0, a]x[0, b]x[0, c], que
contiene a E, del modo siguiente:
๐ญ ๐, ๐, ๐ = ๐ ๐, ๐, ๐ ๐๐ (๐, ๐, ๐) โ ๐ฌ
๐ ๐๐ ๐, ๐, ๐ โ ๐ซ โ ๐ฌ
Como F satisface la definiciรณn: la
integral serรก:
๐ฐ = ๐ญ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ = ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ + ๐๐ ๐ฝ =
๐ซโ๐ฌ๐ฌ๐ซ
0 E
D
c
b a
Expresando la integral de modo explรญcito:
๐ฐ = ๐ญ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ = ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ +
๐ฌ๐ซ
๐๐ ๐ฝ
๐ซโ๐ฌ
Por tanto: ๐ฐ = ๐ญ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ = ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ๐ฌ๐ซ
TIPOS DE REGIONES DE INTEGRACION
1) Regiรณn Tipo I:
E1={(x, y, z)/ (x, y) ั R y u1(x, y) โค z โค u2(x, y)}
z z = u2(x, y) z=u1(x, y) 0 y R x
Asociando este valor con su correspondiente volumen,
tendrรญamos: ๐ ๐๐โ, ๐๐
โ, ๐๐โ โ๐โ๐โ๐
Como tenemos mxnxรฑ sub-intervalos y que cada uno lleva
asociado el producto, los sumamos ordenadamente
tendrรญamos, segรบn la suma de Riemann:
๐ ๐๐โ, ๐๐
โ, ๐๐โ โ๐โ๐โ๐
รฑ
๐=๐
๐
๐=๐
๐
๐=๐
Llevando al lรญmite cuando n, m y รฑ โโ :
๐ฐ = ๐๐๐๐โโ๐โโรฑโโ
๐ ๐๐โ, ๐๐
โ, ๐๐โ โ๐โ๐โ๐
รฑ
๐=๐
๐
๐=๐
=
๐
๐=๐
INTEGRAL TRIPLE: ๐ฐ = ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐
๐
๐
๐
๐
la integral serรก:
๐ ๐,๐, ๐ ๐ ๐ฝ = ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐จ๐๐(๐,๐)
๐๐(๐,๐)๐น๐ฌ๐
Esta integral presenta dos alternativas dependiendo de como es
la regiรณn R.
a) Si R es tipo I
R1 ={ (x, y)/ a โค x โค b y h1(x) โค y โค h2(x) }
La integral estarรก definida asรญ:
๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐จ = ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐(๐,๐)
๐๐(๐,๐)
๐๐(๐)
๐๐(๐)
๐
๐
๐๐(๐,๐)
๐๐(๐,๐)๐น๐
h2(x)
h1(x)
0 a b x
y
b) Si R es tipo II:
R2 ={ (x, y)/ c โค y โค d y g1(y) โค x โค g2(y) }
La integral estarรก definida asรญ:
๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐จ = ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐(๐,๐)
๐๐(๐,๐)
๐๐(๐)
๐๐(๐)
๐
๐
๐๐(๐,๐)
๐๐(๐,๐)๐น๐
g1(y) g2(y)
y
d
c
0 x
2. Regiรณn Tipo II:
E2={(x, y, z)/ (y, z) ั R ; u1(y, z) โค z โค u2(y, z)}
La integral serรก:
๐ ๐,๐, ๐ ๐ ๐ฝ = ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐จ๐๐(๐,๐)
๐๐(๐,๐)๐น๐ฌ๐
a) Si R es tipo I:
R1={ (y, z)/ c โค y โค d y h1(y) โค z โค h2(y) }
z
R
E u1(y, z) u2(y, z) y x
h2(y)
h1(y)
0 c d y
z
La integral estarรก definida asรญ:
๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐จ = ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐(๐,๐)
๐๐(๐,๐)
๐๐(๐)
๐๐(๐)
๐
๐
๐๐(๐,๐)
๐๐(๐,๐)๐น๐
b) Si R es tipo II:
R2={ (y, z)/ e โค z โค f y r1(z) โค y โค r2(z) }
La integral estarรก definida asรญ:
๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐จ = ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐(๐,๐)
๐๐(๐,๐)
๐๐(๐)
๐๐(๐)
๐
๐
๐๐(๐,๐)
๐๐(๐,๐)๐น๐
r1(z) r2(z)
z
f
e
0 y
3) Regiรณn Tipo III:
E3={(x, y, z)/ (x, z) ั R y u1(x, z) โค y โค u2(x, z)}
La integral serรก:
๐ ๐,๐, ๐ ๐ ๐ฝ = ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐จ๐๐(๐,๐)
๐๐(๐,๐)๐น๐ฌ๐
Esta integral presenta dos alternativas dependiendo de como
es la regiรณn R.
z
u1(x, z) u2(x, z)
R 0 y
x
a) Si R es Tipo I:
R1={ (x, z)/ a โค x โค b y r1(x) โค z โค r2(x) }
๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ = ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐(๐,๐)
๐๐(๐,๐)
๐๐(๐)
๐๐(๐)
๐
๐
๐๐(๐,๐)
๐๐(๐,๐)๐น๐
b) Si R es tipo II:
R2={ (x, z)/ e โค z โค f y r1(z) โค x โค r2(z) }
๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ = ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐(๐,๐)
๐๐(๐,๐)
๐๐(๐)
๐๐(๐)
๐
๐
๐๐(๐,๐)
๐๐(๐,๐)๐น๐
EJEMPLO Evaluar la integral ๐๐๐๐ ๐ฝ๐ฌ
en donde E es:
๐ฌ = {(๐, ๐, ๐)/๐๐ + ๐๐ + ๐๐ โค ๐; ๐๐ + ๐๐ โฅ ๐; ๐ โฅ ๐, ๐ โฅ ๐; ๐ โฅ ๐}
La regiรณn E serรก:
E={(x, y, z) / (x, y)ฯต R y 0 โค z โค ๐ โ ๐๐ โ ๐๐ }
z
๐ x=0 0 E y=0 z=0 R
122 yx
4222 zyx
๐ฐ = ๐๐๐๐ ๐๐ ๐จ๐โ๐๐โ๐๐
๐๐น
๐ฐ = ๐๐๐๐
๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐
๐๐น
๐ฐ = ๐๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐
๐๐ ๐จ =
๐น
Como la regiรณn R es un sector de corona circular, usaremos CC.
Polares: x =rcos๐ฝ. y=rsen๐ฝ:
Luego R={(r, ๐ฝ)/ 1โค ๐ โค ๐ ; ๐ โค ๐ฝ โค๐
๐}
๐ฐ = ๐๐๐โ๐๐๐โ๐๐๐
๐๐นdA
Pasando a CC. Polares:
๐ฐ = ๐๐๐๐๐๐๐๐ฝ โ ๐๐๐๐๐๐๐ฝ๐๐๐๐ฝ โ ๐๐๐๐๐๐ฝ๐๐๐๐๐ฝ
๐๐๐ ๐๐ ๐ฝ
๐
๐
๐ ๐
๐
๐ฐ =๐
๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ฝ โ
๐๐๐๐๐๐๐ฝ
๐๐ ๐๐ ๐ฝ =
๐
๐
๐ ๐
๐
๐ฐ =๐
๐
๐๐๐๐๐๐๐ฝ
๐โ
๐๐๐๐๐๐๐ฝ
๐๐
๐
๐๐
๐๐๐ ๐ฝ =
๐
๐
๐๐๐๐๐๐๐ฝ
๐โ
๐๐๐๐๐๐๐ฝ
๐๐๐ ๐ฝ
๐
๐๐
=
๐ฐ =๐
๐
๐๐๐๐๐๐๐ฝ
๐โ๐๐๐๐๐๐๐ฝ
๐๐
๐
๐๐=
๐
๐โ๐๐(โ๐ โ ๐)
๐+๐๐(๐ โ ๐)
๐๐
๐ฐ =๐๐
๐
EJEMPLO
Evaluar la integral ๐ ๐ฝ๐ฌ
en el recinto seรฑalado
๐ฌ = {(๐, ๐, ๐)/๐ โค ๐ โค ๐; ๐๐ โค ๐ โค ๐๐; ๐ + ๐ โค ๐ โค ๐๐ + ๐๐}
La regiรณn R es Tipo I:
๐น = {(๐, ๐)/ ๐ โค ๐ โค ๐; ๐๐ โค ๐ โค ๐๐}
Luego
E : = {(๐, ๐, ๐)/(๐, ๐) โ ๐น; ๐ + ๐ โค ๐ โค ๐๐ + ๐๐}
Con esa informaciรณn podemos construir los grรกficos
2xy
xy 4
R
0 1 2 x
E
22 yxz
zyx
๐ฝ = ๐ ๐๐ ๐๐ ๐ = ๐๐ + ๐๐ โ ๐ โ ๐๐๐
๐๐
๐
๐
๐๐+๐๐
๐+๐
๐๐
๐๐๐ ๐๐ ๐ =
๐
๐
๐ฝ = ๐๐๐ +๐๐
๐โ ๐๐ โ
๐๐
๐
๐๐๐๐
๐ ๐๐
๐=
Remplazando y operando:
๐ฝ = ๐๐๐๐ โ ๐๐๐ + ๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐ โ ๐๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐๐
๐dx=
๐ฝ = ๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐ โ ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐
๐dx
๐ฝ =๐๐๐๐๐
๐โ๐๐๐
๐โ ๐๐๐๐ โ
๐๐๐
๐๐๐=
๐๐๐๐
๐๐๐
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES
1. ๐๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ =๐ฌ
๐ ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ โด ๐ โ ๐น๐ฌ
2. [๐ ๐, ๐, ๐ ยฑ ๐ ๐, ๐, ๐ ]๐ ๐ฝ =๐ฌ
= ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ ยฑ ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ ๐ฌ
๐ฌ
3. ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ = ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ + ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ ๐ฌ๐๐ฌ๐
๐ฌ
E=๐ฌ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ฌ = ๐ฌ๐ โช ๐ฌ๐
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES
1) Cรกlculo de Volรบmenes
De modo anรกlogo, el Volumen se calcula haciendo f(x, y, z) = 1
en la integral:
I= ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ๐ฌ
โ ๐๐ ๐ ๐, ๐, ๐ = ๐ โ ๐ฝ = ๐ ๐ฝ๐ฌ
EJEMPLO
Calcular el volumen del sรณlido limitado por las superficies:
Plano x + y = 6; cilindro parabรณlico ๐ = ๐ โ๐
๐ y los planos
coordenados ๐ = ๐ ๐ฒ ๐ณ = ๐ โ๐
๐
Segรบn el grรกfico la regiรณn E es tipo I:
E={(x, y, z) ฯต๐น๐ / (x,y)ฯต๐น๐y 0 โค z โค๐ โ๐๐
๐} }
Donde R=[(x, y) / 0 โค x โค 4; 0 โค y โค6-x}
Luego la integral :
๐ฐ = ๐ ๐๐ ๐๐ ๐ = ๐ โ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐ =
๐โ๐
๐
๐
๐
๐โ๐๐
๐๐
๐โ๐
๐
๐
๐dydx==
๐ฐ = ๐ โ๐๐
๐๐ โ ๐ ๐ ๐
๐
๐
= ๐๐ โ๐๐๐
๐โ ๐๐ +
๐๐
๐๐ ๐
๐
๐
=
๐ฐ = ๐๐๐ โ๐๐
๐โ ๐๐๐ +
๐๐
๐๐๐๐= ๐๐
44
2xz
6 xy
0z
0y
0x
2) Cรกlculo de la Masa del sรณlido definido por el Dominio
dm = ฯ(x, y, z) dV Integrando: ๐ = ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ๐ฌ
EJEMPLO: Calcularemos la masa del sรณlido visto en el ejemplo
anterior si ฯ(x, y, z) = 2x
Remplazando en la ecuaciรณn:
๐ = ๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ =๐โ
๐๐
๐
๐
๐โ๐
๐
๐
๐
๐๐ โ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐ =
๐โ๐
๐
๐
๐
m= ๐๐ โ๐๐
๐๐ โ ๐ ๐ ๐ = ๐๐๐ โ ๐๐๐ โ ๐๐๐ +
๐๐
๐
๐
๐
๐
๐dx=
๐ =๐๐๐๐
๐๐
Cรกlculo de Momentos de Primer Orden y el centro de masa
Se calculan respecto a los planos
coordenados:
dMxz= ๐dm = y ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ
dMxy= ๐dm = z ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ
dMyz= ๐dm = x ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ
Integrando
๐ด๐๐ = ๐๐ ๐. ๐. ๐ ๐ ๐ฝ๐ฌ
; ๐ด๐๐ = ๐๐ ๐. ๐. ๐ ๐ ๐ฝ๐ฌ
y
๐ด๐๐ = ๐๐ ๐. ๐. ๐ ๐ ๐ฝ
๐ฌ
0z
0y
0x
x
z y dm
El Centro de Masa se calcula:
La masa viene dada por: ๐ = ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ๐ฌ
Luego las coordenadas del centro de masa es una media
ponderada:
๐ =๐ด๐๐
๐=
๐๐ ๐. ๐. ๐ ๐ ๐ฝ๐ฌ
๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ๐ฌ
๐ =๐ด๐๐
๐=
๐๐ ๐. ๐. ๐ ๐ ๐ฝ๐ฌ
๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ๐ฌ
๐ =๐ด๐๐
๐=
๐๐ ๐. ๐. ๐ ๐ ๐ฝ๐ฌ
๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ๐ฌ
EJEMPLO: Calcular la abscisa del centro de masa del cubo
unidad cuyos vรฉrtices son (0,0,0); (0,1,0); (1,1,0), (0,1,0);
(0,0,1); (1,0,1); (1,1,1); (0,1,1). Si la densidad en el punto
(x,y,z) es proporcional al cuadrado de su distancia al origen
๐ = ๐(๐๐ + ๐๐ + ๐๐)
๐ = ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ๐ฌ
๐ = ๐(๐๐ + ๐๐ + ๐๐) ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐ = ๐(๐๐ + ๐๐ + ๐๐) ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐ = ๐ ๐๐๐ + ๐๐๐ +๐๐
๐๐๐๐ ๐๐ ๐ =
๐
๐
๐
๐
๐ = ๐ ๐๐ + ๐๐ +๐
๐๐๐๐ ๐๐ ๐ =
๐
๐
๐
๐
๐ ๐๐๐ +๐๐
๐+๐
๐๐๐๐ ๐
๐
๐
๐ = ๐๐๐
๐+๐๐
๐๐๐= ๐
Cรกlculo de Myz:
๐ด๐๐ == ๐๐(๐๐ + ๐๐ + ๐๐) ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐ด๐๐ = ๐ ๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐
๐๐๐
๐
๐
๐
๐
dydx
๐ด๐๐ = ๐ ๐๐ +๐
๐+ ๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐ = ๐ ๐๐ +
๐
๐+๐
๐๐ ๐ =
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐ด๐๐ = ๐๐๐
๐+๐๐
๐๐๐=
๐๐
๐๐
Luego: ๐ =๐ด๐๐
๐=
๐๐
๐๐
๐=
๐
๐๐
EJEMPLO
Encuentre el centro de masa de un sรณlido de densidad
constante que estรก limitado por el cilindro parabรณlico x = ๐๐
y los planos x = z, z = 0 y x = 1.
Densidad ๐ ๐, ๐, ๐ = ๐
๐ = ๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ
๐ฌ
๐ = ๐๐ ๐ฝ
๐ฌ
E={(x, y,z)/ (x, y)ัR; 0 โค z โค x}
R={(x, y)/ -1โค y โค 1; ๐๐ โค x โค 1}
z -1 x = ๐๐ 0 E 1 1 R y x
๐ = ๐๐ ๐ฝ = ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ = ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐
๐
๐๐๐
โ๐
๐
๐
๐
๐๐๐
โ๐๐ฌ
๐ = ๐๐๐ ๐๐ ๐ = ๐๐๐
๐
๐๐๐
๐
โ๐
๐
๐๐
๐
โ๐
๐ ๐ = ๐๐ โ ๐๐
๐๐ ๐ =
๐
โ๐
๐ =๐
2๐ฆ โ
๐ฆ5
51โ1
=๐
22 โ
2
5=
4๐
5
๐ =4๐
5
๐ด๐๐ = ๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ = ๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ =๐
๐๐
๐
โ๐
๐
๐
๐
๐๐
๐
โ๐
๐ด๐๐ = ๐ ๐๐
๐
๐๐๐๐ ๐
๐
โ๐
= ๐ ๐ โ ๐๐
๐๐ ๐ =
๐
โ๐
๐ด๐๐ =๐
๐๐ โ
๐๐
๐๐โ๐
=๐
๐๐ โ
๐
๐=
๐๐
๐โ ๐ =
๐ด๐๐
๐=
๐๐๐4๐5
=๐
๐
๐ด๐๐ = ๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ = ๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐ =
๐
๐๐
๐
โ๐
๐
๐
๐
๐๐
๐
โ๐
๐ ๐๐
๐
๐๐๐
๐
โ๐
๐ด๐๐ = ๐ ๐ โ ๐๐
๐๐ ๐ =
๐
๐๐ โ
๐๐
๐๐โ๐
=๐
๐
๐
โ๐
๐ โ๐
๐=
๐๐
๐
๐ =๐ด๐๐
๐=
๐๐
๐4๐
5
=๐
๐๐ y por simetrรญa ๐ = ๐
5. MOMENTOS DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES
1. Momento de inercia respecto a x:
๐ฐ๐= ๐๐ + ๐๐
๐ฌ
๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ
2. Momento de inercia respecto a y:
๐ฐ๐= ๐๐ + ๐๐
๐ฌ
๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ
3. Momento de inercia respecto a y:
๐ฐ๐= ๐๐ + ๐๐
๐ฌ
๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ
0z
0y
0x
y d3 d2 d2
d1 z x
MOMENTOS DE INERCIA RESPECTO A LOS PLANOS
COORDENADOS
1. Momento respecto al plano z=0
๐ฐ๐๐= ๐๐
๐ฌ
๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐ฝ
2. Momento respecto al plano x=0
๐ฐ๐๐= ๐๐๐ฌ
๐ ๐, ๐, ๐ ๐ V
3. Momento respecto al plano y=0
๐ฐ๐๐= ๐๐๐ฌ
๐ ๐, ๐, ๐ ๐ V
Estos momentos se relacionan de esta manera:
๐ฐ๐ = ๐ฐ๐๐ + ๐ฐ๐๐; ๐ฐ๐ = ๐ฐ๐๐ + ๐ฐ๐๐; ๐ฐ๐ = ๐ฐ๐๐ + ๐ฐ๐๐;
CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MULTIPLES
Un cambio de variables estรก dado por una Transformaciรณn
Lineal T del plano โuvโ al plano โxyโ
Se denota asรญ: T(u, v) = (x, y)
Donde x e y estรกn relacionados con u y v por las ecuaciones:
x = g(u, v) e y = h(u, v)
Y g y h tienen derivadas parciales continuas de primer orden.
Definiciรณn: Una transformaciรณn Lineal T es una funciรณn cuyo
dominio e imagen, son subconjuntos de ๐น๐ . Si T(u, v) = (x, y)
entonces el punto (x, y) se llama imagen de (u, v).
Si no hay dos puntos que tengan la misma imagen , T se llama
biunรญvoca. En el siguiente grรกfico se muestra el efecto de una
transformaciรณn T de una regiรณn S del plano uv. T transforma a
S en una regiรณn R del plano xy llamado imagen de S, formado
por las imรกgenes de todos los puntos de S.
EJEMPLO. Una transformaciรณn estรก definida por las
ecuaciones:
x= ๐๐ โ ๐๐ y = 2uv
T
๐โ1
S (u, v)
R (x, y)
V y
0 u 0 x
Encuentre la imagen de S={(u, v)/ 0โค ๐ โค ๐; ๐ โค ๐ โค ๐}
x= ๐๐ โ ๐๐ y = 2uv
Teniendo la frontera de S formado por
el cuadrado c1, c2, c3, c4, vamos a definir
la frontera de R;
1) Camino 1: v=0 si 0 โค uโค 1
Luego: x= ๐๐ y = 0
Como 0 โค uโค 1 โ 0 โค ๐๐ โค 1 โ 0 โค x โค 1
Luego y = 0 si 0 โค x โค 1
2) Camino 2: u = 1 si 0 โค v โค 1
Luego : x= ๐ โ ๐๐ ; y = 2v โ v = y/2
Remplazando: x = 1 - ๐๐
๐ โ ๐๐ = -2(x-1)
Como 0 โค v โค 1 โ 0 โค 2v โค 2 entonces 0 โค y โค 2
v
1 C3 (1, 1)
S C4 C2 0 C1 1 u
3) Camino 3: v = 1 si 0 โค u โค 1
x= ๐๐ โ ๐ y = 2u โ u = y/2
Reemplazando: x = ๐๐
๐โ ๐ โ ๐๐ = 2(x+1)
Como 0 โค u โค 1 โ 0 โค 2u โค 2 entonces 0 โค y โค 2
4) Camino 4: u = 0 si 0 โค v โค 1
x= โ๐๐ y = 0
Como 0 โค v โค 1 โ 0 โค ๐๐ โค 1 โ -1 โค โ๐๐ โค 0
Luego: y = 0 si -1 โค ๐ โค 0
Graficando lo calculado:
y 2 ๐๐ = 2(x+1) ๐๐ = -2(x-1)
R -1 0 1 x
v d v=d vj
u =a u=b c v=c 0 a ui b u
S
CAMBIO DE VARIABLES EN UNA INTEGRAL DOBLE
Dada una funciรณn z = f(x, y) en donde x e y son funciones de
dos parรกmetros u y v, definidas con las Transformaciรณn
x=g(u, v) e y = h(u, v). Estando definidos los puntos (u, v) en
una regiรณn S limitada por aโค ๐ โค ๐ ๐ ๐ โค ๐ โค ๐
Dividimos el intervalo [a, b] en โnโ partes iguales y el
intervalo [c, d] en m partes iguales, de modo que: โ๐ = ๐โ๐
๐
y โ๐ = ๐ โ๐
๐ y definimos las curvas reticulares r(u,v)
y
r(u, d) r(a,v) r(b,v) r(u, c) 0 x
R
Definimos la frontera de R de modo que la curva u=a tiene
como imagen la curva reticular r(a, v), u = b a r(b, v), v=c a
r(u, c) y v = d a r(u, d). Luego para cada u=ui y v = vj
definimos las curvas reticulares r(ui, v) e r(u, vj). Como se
ilustrรณ en el ejemplo anterior.
Definida R vamos a presentar todo el conjunto que me permite
definir la integral doble:
Por definiciรณn sabemos que:
๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ = ๐๐๐โ๐โ๐โ๐โ๐๐น
๐(๐๐, ๐๐)โ๐จ
๐
๐=๐
๐
๐=๐
Esta integral como sabemos me da el volumen que se
encuentra debajo de la superficie, en el dominio R.
b
R
Z = f(x, y)
Ahora vamos a realizar el cambio de variable, pasaremos de
las variables (x, y) a las variables (u, v).
Para esto retomamos el estudio anterior y tomamos el sub-
intervalo genรฉrico ij que define en R un parche โ๐น๐๐, como se
muestra en la figura y trazamos los vectores secantes a y b
En donde:
a = r(ui+ฮu, vj) โ r(ui, vj) y
b = r(ui, vj+ ฮv)- r(ui, vj)
Una primera aproximaciรณn serรญa que el รกrea del parche โRij
serรก igual a la norma del producto axb esto es //axb//= โ๐ij
T r(ui, vj)
a
r(ui,vj+ฮv) (ui, vj)
u=ui
v=vj
โRij
b
r(ui+ฮu,vj)
Por otro lado tenemos que las derivadas parciales:
๐๐ ๐๐, ๐๐ = ๐๐๐โ๐โ๐
๐ ๐๐ + โ๐, ๐๐ โ ๐ ๐๐, ๐๐
โ๐
Luego: ๐๐ ๐๐, ๐๐ โ๐ ๐๐+โ๐,๐๐ โ๐ ๐๐,๐๐
โ๐ (a)
๐๐ ๐๐, ๐๐ = ๐๐๐โ๐โ๐
๐ ๐๐, ๐๐ + โ๐ โ ๐ ๐๐, ๐๐
โ๐
Luego: ๐๐ ๐๐, ๐๐ โ๐ ๐๐,๐๐+โ๐ โ๐ ๐๐,๐๐
โ๐ (b)
De (a) y (b) se tiene que:
๐๐ ๐๐, ๐๐ โ๐ โ ๐ ๐๐ + โ๐, ๐๐ โ ๐ ๐๐, ๐๐ = ๐
๐๐ ๐๐, ๐๐ โ๐ โ ๐ ๐๐, ๐๐ + โ๐ โ ๐ ๐๐, ๐๐ = ๐
Haciendo una aproximaciรณn mรกs tendrรญamos que a y b serรญan:
๐๐ ๐๐, ๐๐ โ๐ โ ๐
๐๐ ๐๐, ๐๐ โ๐ โ ๐
Luego:
โ๐นij โ ๐๐๐ โ ๐๐ ๐๐, ๐๐ โ๐๐๐๐ ๐๐, ๐๐ โ๐
โ๐นij โ โ๐โ๐ ๐๐ ๐๐, ๐๐ ๐๐๐ ๐๐, ๐๐ = โ๐โ๐ ๐๐๐ ๐๐
Dado que โ๐ ๐ โv son > 0
Por otro lado sabemos que: r(u, v) = (x, y,0)
Luego: ๐๐ ๐, ๐ =๐๐
๐๐,๐๐
๐๐, ๐ : ๐๐ ๐, ๐ =
๐๐
๐๐,๐๐
๐๐, ๐
๐๐๐๐๐ =
๐ ๐ ๐๐๐
๐๐
๐๐
๐๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐๐
=
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
k =
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
k = ๐(๐,๐)
๐(๐,๐)๐
Por tanto: โ๐น๐๐= ๐๐๐ =โ๐โ๐๐(๐,๐)
๐(๐,๐)=โ๐จ
Como por definiciรณn sabemos que:
๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ = ๐๐๐โ๐โ๐โ๐โ๐๐น
๐(๐๐, ๐๐)โ๐จ
๐
๐=๐
๐
๐=๐
Como x = g(u, v) e y = h(u, v) entonces:
๐ ๐๐, ๐๐ = ๐ ๐(๐๐, ๐๐ , ๐(๐๐, ๐๐))
โ๐น๐๐= โ๐จ = ๐๐๐ =โ๐โ๐๐(๐,๐)
๐(๐,๐)
Remplazando:
๐๐๐โ๐โ๐โ๐โ๐
๐ ๐(๐๐, ๐๐ , ๐(๐๐, ๐๐))๐(๐,๐)
๐(๐,๐)โ๐โ๐=๐
๐=๐๐๐=๐
= ๐(๐ ๐, ๐ , ๐ ๐, ๐ )๐
๐
๐
๐
๐(๐,๐)
๐(๐,๐)๐ ๐๐ ๐
Luego la integral doble en funciรณn de (u, v) estarรก dada por:
๐ ๐, ๐ ๐ ๐จ๐น
= ๐(๐ ๐, ๐ , ๐ ๐, ๐ )๐
๐
๐
๐
๐(๐,๐)
๐(๐,๐)๐ ๐๐ ๐
EJEMPLO
Evaluar la siguiente integral ๐๐+๐
๐โ๐๐ ๐จ๐น
donde R es la regiรณn
trapezoidal de vรฉrtices (1,0), (2,0), (0,-2) y (0,-1)
Graficando la regiรณn R:
Haciendo el cambio de variables:
๐ = ๐ + ๐๐ = ๐ โ ๐ โ
๐ =๐ + ๐
๐
๐ =๐ โ ๐
๐
Determinamos la frontera de S:
๐ช๐ = ๐ โ ๐ = ๐๐ โค ๐ โค ๐
โ ๐ = ๐ โ ๐ = ๐๐ โ ๐ โ๐ โค ๐๐ โ ๐ โค ๐ โ โ๐ โค ๐ โค ๐
Luego: ๐ช๐โฒ =
๐ = ๐ โ๐ โค ๐ โค ๐
C1
C2
C3
C4
๐ช๐ = ๐ = ๐ โ ๐ = ๐ = ๐๐ โค ๐ โค ๐ โ ๐ โค ๐ โค ๐
โ ๐ช๐โฒ =
๐ = ๐ ๐ โค ๐ โค ๐
๐ช๐ = ๐ โ ๐ = ๐๐ โค ๐ โค ๐
โ ๐ = ๐ โ ๐ = ๐๐ โ ๐ โ๐ โค ๐๐ โ ๐ โค ๐ โ โ๐ โค ๐ โค ๐
Luego: ๐ช๐โฒ =
๐ = ๐ โ๐ โค ๐ โค ๐
๐ช๐ = ๐ = ๐ โ โ๐ = ๐ = ๐โ๐ โค ๐ โค โ๐ โ ๐ โค ๐ โค ๐
โ ๐ช๐โฒ =
๐ = โ๐ ๐ โค ๐ โค ๐
Graficando tenemos que S: S={(u, v)/ 1 โค v โค 2; -v โค u โค v }
Cรกlculo de las derivadas parciales:
๐ช๐๐๐ ๐ =
๐ + ๐
๐
๐ =๐ โ ๐
๐
โ๐๐
๐๐=
๐
๐; ๐๐
๐๐=
๐
๐;๐๐
๐๐=
๐
๐;๐๐
๐๐= โ
๐
๐
Cรกlculo del Jacobiano: ๐ฑ =๐(๐,๐)
๐(๐,๐)=
๐
๐
๐
๐๐
๐โ
๐
๐
=๐
๐
Como S={(u, v)/ 1 โค v โค 2; -v โค u โค v }
๐(๐ ๐, ๐ , ๐ ๐, ๐ )๐
๐
๐
๐
๐(๐, ๐)
๐(๐, ๐)๐ ๐๐ ๐ =
= ๐๐๐
๐(๐, ๐)
๐(๐, ๐)๐ ๐๐ ๐
๐
โ๐
๐
๐
= ๐๐๐
๐
๐๐ ๐๐ ๐
๐
โ๐
๐
๐
Haciendo el cambio de variables:
๐ฐ = ๐๐+๐๐โ๐๐ ๐จ
๐น
= ๐๐๐
๐
๐๐ ๐๐ ๐
๐
โ๐
๐
๐
=๐
๐ ๐๐
๐๐
๐โ๐
๐ ๐ =๐
๐
๐ฐ = ๐๐+๐๐โ๐๐ ๐จ
๐น
=๐
๐ ๐ ๐ โ ๐โ๐ ๐ ๐ =
๐
๐
๐
๐(๐ โ ๐โ๐)
CAMBIO DE VARIABLES PARA INTEGRALES TRIPLES
Si tenemos la funciรณn de tres variables w = f(x, y, z) definida en
un dominio E, de modo que x = g(u, v, w); y = h(u, v, w) y z =
r(u, v, w), entonces el Jacobiano o factor de escala viene dada
por:
๐ฑ =๐(๐, ๐, ๐)
๐(๐, ๐,๐)=
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
Luego:
๐(๐, ๐, ๐)๐ ๐ฝ = ๐(๐. ๐.๐)๐(๐, ๐, ๐)
๐(๐, ๐,๐)๐ ๐๐ ๐๐ ๐
๐บ๐ฌ
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS
Algunos sรณlidos son difรญciles de representar en coordenadas
rectangulares y es preciso usar otro tipo de coordenadas.
Ecuaciones de conversiรณn de rectangulares a cilรญndricas
๐ = ๐๐๐๐๐ฝ ๐ = ๐๐๐๐๐ฝ z = ๐
En donde r = R es un cilindro
ฮธ = ฮธ1 es un semi-plano
z = z1 es un plano
๐ r
๐, ๐, ๐ง z
z
y
x
En este tipo de coordenadas el sรณlido mรกs sencillo es un bloque
cilรญndrico, vienen a ser las coordenadas polares en el espacio.
๐บ๐ ๐๐ โค ๐ โค ๐๐
๐บ๐ ๐๐ โค ๐ โค ๐๐ ; ๐ฝ๐ โค ๐ฝ โค ๐ฝ๐
y ๐๐โค ๐ โค ๐๐
Como estamos en el espacio
tenemos que r = ๐๐ es un
cilindro;๐ช๐ฎ๐ ๐ฝ = ๐ฝ๐ es un
semiplano y que ๐ = ๐๐ es un
plano horizontal.
Cรกlculo de la integral triple en coordenadas cilรญndricas: Tenemos la transformaciรณn dada por las siguientes ecuaciones: ๐ = ๐๐๐๐๐ฝ; ๐ = ๐๐๐๐๐ฝ ๐ ๐ = ๐ El cambio de variables en una integral triple viene dada por:
๐(๐, ๐, ๐)๐ ๐ฝ = ๐(๐. ๐.๐)๐(๐, ๐, ๐)
๐(๐, ๐,๐)๐ ๐๐ ๐๐ ๐
๐บ๐ฌ
En nuestro caso u = r; v = ฮธ; w = z, cรกlculo del Jacobiano:
๐ฑ =๐(๐, ๐, ๐)
๐(๐, ๐ฝ, ๐)=
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐ฝ
๐๐
๐๐๐๐
๐๐
๐๐
๐๐ฝ
๐๐
๐๐๐๐
๐๐
๐๐
๐๐ฝ
๐๐
๐๐
Como:
๐ = ๐๐๐๐๐ฝ:
๐๐
๐๐= ๐๐๐๐ฝ
๐๐
๐๐ฝ= โ๐๐๐๐๐ฝ
๐๐
๐๐= ๐
๐ = ๐๐๐๐๐ฝ:
๐๐
๐๐= ๐๐๐๐ฝ
๐๐
๐๐ฝ= ๐๐๐๐๐ฝ
๐๐
๐๐= ๐
๐ = ๐:
๐๐
๐๐= ๐
๐๐
๐๐ฝ= ๐
๐๐
๐๐= ๐
rrsenrzr
zyxJ
rsen
rsenrsen
rsen
zr
zyxJ
22cos),,(
),,(
cos
cos
100
0cos
0cos
),,(
),,(
Remplazando:
๐ฑ =๐(๐, ๐, ๐)
๐(๐, ๐ฝ, ๐)=
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐ฝ
๐๐
๐๐๐๐
๐๐
๐๐
๐๐ฝ
๐๐
๐๐๐๐
๐๐
๐๐
๐๐ฝ
๐๐
๐๐
=๐๐๐๐ฝ โ๐๐๐๐๐ฝ ๐๐๐๐๐ฝ ๐๐๐๐๐ฝ ๐๐ ๐ ๐
Desarrollando:
๐ฑ = ๐๐๐๐๐๐ฝ + ๐๐๐๐๐๐ฝ = ๐ซ
Luego: ๐ฑ =๐(๐,๐,๐)
๐(๐,๐ฝ,๐)= ๐ซ
Luego la integral triple en coordenadas cilรญndricas viene dada por:
๐(๐, ๐, ๐)๐ ๐ฝ = ๐(๐. ๐ฝ. ๐)๐(๐, ๐, ๐)
๐(๐, ๐ฝ, ๐)๐ ๐๐ ๐ฝ๐ ๐
๐บ๐ฌ
Reemplazando:
๐ฐ = ๐ ๐. ๐ฝ. ๐ ๐๐ ๐๐ ๐ฝ๐ ๐
๐บ
Para ilustrar su aplicaciรณn vamos a calcular el volumen del sรณlido que se muestra en la figura en donde E serรก: S = { (r, ฮธ, z)/ r1โค r โค r2; ฮธ1โค ฮธ โค ฮธ2 ; z1 โค z โค z2 }
Luego como f(x, y, z) = 1 cuando se quiere calcular el volumen, entonces f(r, ฮธ,, z) = 1, por tanto:
๐ฐ = ๐๐ ๐๐ ๐ฝ๐ ๐ = ๐๐๐
๐๐
๐ฝ๐
๐ฝ๐
๐๐
๐๐๐บ
๐ ๐๐ ๐ฝ๐ ๐
EJEMPLO Calcular el volumen del sรณlido que se encuentra dentro de la esfera y del cilindro dados por: Graficando tendrรญamos :
2 0 1 2
11
1)1(2
4
2
2222
222
xy
yxyyx
zyx
Vamos a definir la regiรณn E, como el sรณlido se encuentra dentro de un cilindro conviene usar las coordenadas cilรญndricas, ya que en en coordenadas cartesianas , la regiรณn asume una forma muy compleja, como mostraremos a continuaciรณn: Como en polares es r =2senฮธ Si vemos el sรณlido desde eje z tenemos: R={(r, ฮธ) / 0 โค ฮธ โค ฯ ; 0 โค r โค 2sen ฮธ} Mientras que z varรญa:
}1111;20/),({
}44;),(/),,{(
22
2222
yxyyyxR
yxzyxRyxzyxE
yyx 222
r=2senฮธ
R 0 1 2 y
x 2222 44 yxzyx
En coordenadas polares serรก: E={(r, ฮธ) / 0 โค ฮธ โค ฯ ; 0 โค r โค 2sen ฮธ ; } Luego el volumen estarรก dado por:
22 44 rzr
0
2
0
4
4
2
2
sen r
rrdzdrdV
2/
0
2
0
2422
sen
drdrr
dsen
r0
2)4(
3
22 2/32
2/
0
2/
0
3 )cos88(3
4
d
2/
0
2 ))1)((cos1(3
32
dsen
0
2/
33
32 3
sensen )43(
9
16
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFERICAS Ecuaciones de conversiรณn de rectangulares a cilรญndricas ฯ = ฯ1 Semicono ฮธ = ฮธ1 Semiplano r = r1 Cilindro
cos
cos
rz
senrseny
rsenx
(r, ฮธ, ฯ)
r
Cรกlculo de la integral triple en coordenadas esfรฉricas: Tenemos la transformaciรณn dada por las siguientes ecuaciones: El cambio de variables en una integral triple viene dada por: En nuestro caso u = r; v = ฮธ; w = ฯ, cรกlculo del Jacobiano:
cos;;cos rzsenrsenyrsenx
dudvdwwvu
zyxwvufdVzyxf
E S
),,(
),,(),,(),,(
zz
r
z
yy
r
y
xx
r
x
r
zyxJ
),,(
),,(
Como: Determinamos las derivadas parciales:
senrzz
r
z
senry
rseny
sensenr
y
rx
senrsenx
senr
x
;0;cos
cos;cos;
coscos;;cos
cos;;cos rzsenrsenyrsenx
Remplazando
senrr
zyxJ
senrsensenrr
zyx
sensenrsensenrsensenr
senrsensenrsenrr
zyx
rsen
senrrsensensen
rsenrsensen
r
zyxJ
2
2222
22222232232
222222232
),,(
),,(
)cos(),,(
),,(
)cos(cos)(cos
coscoscoscos),,(
),,(
0cos
coscos
coscoscos
),,(
),,(
Remplazando valores tenemos: Sentido de variaciรณn de las variables El radio varรญa: El รกngulo ฯ varรญa: El รกngulo ฮธ varรญa: 0 โค r โค R 0 โค ฯ โค ฯ 0 โค ฮธ โค 2ฯ
SS
dddrsenrrfdddrr
zyxrfI
2),,(
),,(
),,(),,(
z 0 R y x
z
0 ฯ1 y
x
z 0 y ฮธ x
EJEMPLO Hallar el volumen de la regiรณn sรณlida Q acotada por abajo por la hoja superior del cono y por la esfera de radio 3 y centrada en el origen Graficando: La esfera serรก: ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ = ๐ Interceptando con Tendrรญamos: ๐๐๐ = ๐
En donde z = ๐ ๐
๐
En el triรกngulo OPR rectรกngulo
Isรณsceles: ฯ =ฯ๐
Luego la regiรณn E serรก:
E={(r, ฮธ, ฯ)/ (r, ฮธ)ัR; 0 โค ฯ โค ฯ๐
} y R={(r, ฮธ)/ 0 โค r โค 3; 0 โค ฮธ โค 2ฯ}
222 yxz
222 yxz
3 Esfera
P ๐ ๐
๐ R
E Cono ฯ
๐ ๐
๐
0
๐ ๐
๐
Luego el volumen pedido estarรก dado por la integral que en coordenadas esfรฉricas viene dada por:
2
0 2
219 d )22(9
2
0
4/
09 ddsen
2
0 0
4/cos9 d
2
0
4/
0
3
0
2 dddsenrQ
dVV
EJEMPLO Plantee la integral triple, en coordenadas cilรญndricas, del volumen del sรณlido mostrado en la figura: Del grรกfico se deduce que el sรณlido estรก limitado por las superficies: Cilindro: ๐๐ + ๐๐ = ๐ Planos: z = 2; z = 0; x = 0; y = 0 De acuerdo a los datos la regiรณn serรก:
E={(r, ฮธ, z)/ (r, ฮธ)ัR; 0 โค z โค ๐ } y R={(r, ฮธ)/ 0 โค r โค 3; 0 โค ฮธ โค ฯ๐
}
z x=0 z= 2 Plano E y=0 0 3 R y 3 z=0 Cilindro x
2
0
3
0
2
02
0
3
0
2
0
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dVV
2
9
222 2
0
3
0
2
2
0
3
0
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