Autor: Mario A. Jordán
Fundamentos de Control Realimentado
NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR,2do. Cuatrimestre 2015. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la
Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones.
Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2007
Clase 29 Versión 1 - 2015
Contenido:
Criterio de Estabilidad de Nyquist
Otros Métodos de Diseño de un SC en la frecuencia
Compensadores dinámicos de adelanto
2
Compensadores dinámicos de atraso
Compensaciones Dinámicas en el Dominio Frecuencial
Método de Diseño IICompensadores de adelanto de fase
3
Compensador Dinámico por Adelanto de Fase
Frente al Controlador PD visto, es conveniente emplear Compensadores Dinámicos de Adelanto (lead) cuando el problema de ruido del sensor es significativo (típicamente en bandas de altas frecuencias, más altas quela última frecuencia de corte de la planta). También se emplea para ganar mayor margen de fase y alejar el sistema de control de la inestabilidad.Así, la estructura de un compensador lead obedece a:
con 1>a>0 zp
1-aa 1/T
-1/T-1/aT
s
w
Ejemplo con =0.1
4
Ejemplo con =0.1
1/a
mucho efecto de filtrado de ruido en altas frecuencias. Ademásdistorsiona la ganancia, incrementándola en altas frecuencias.
Pues si la separación entre p y z es alta ( 1a
1/a
>>1) el polo no tiene
Características propias de la Compensación Lead
La fase del compensador es:
Derivando f respecto a w e igualando a 0:
, y reemplazando wmax en f queda:
La relación normal entre el polo p y el cero z es de 1/a entre 5 y 10
Contrariamente, si p y z se juntan (a=1) no hay un adelantamiento de fase significativo (se compensan sus efectos por cancelación de p y z!)
wmax= T a1
(d[atan()]/d=1/(1+2))
5
= arcsen 1/ -1a1/ +1a
0 1000 2000 3000 4000 5000 60000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
atan(T)
atan(T)
atan(T)
- atan(T)
wmax
Método de diseño II y justificación6
Idea central
La forma de elegir el cero-polo del compensador en adelanto es sencilla.La idea central consiste en sumar una fase adicional con el compensador Al margen de fase que ya tiene la planta, es decir G(c)+Lead (c),
para alcanzar el valor de margen de fase deseado
Si una planta no tiene suficiente Margen de Fase, y se desea aumentarlo para especificar por ejemplo un menor Mp del SCLC, entonces se debe adelantar la fase justo en la frecuencia de cruce por cero c de la planta G
Por conveniencia, el aporte de fase del lead se elige igual a su fase máxima en c, quedando definida la posición relativa entre el cero y el polo del lead.
El compensador tiene todavía una variable más que es la ganancia K.La misma puede elegirse para satisfacer condiciones del estado estacionario, por ejemplo disminuir el error de control a largo plazo
Por último el cálculo definitivo de ellos se logra imponiendo un valor 1/ apropiado, el cual puede estar entre 5 y 10
Con una relación 101/a5 se desprende que el margen de fase máximoque puede aportar el compensador cumple 40º MF 55º.
7
1/ (relación de polo sobre cero)
MF
le
ad
El diseño del compensador por adelanto comienza estableciendo 2 especificaciones del SCLC:
Método de diseño II – Especificaciones
1) El sobrepico Mp máximo deseado en la respuesta al escalón
2) Un máximo error permitido ess del estado estacionario
Para diseñar un compensador que satisfaga las 2 condiciones se utiliza la siguiente gráfica:
Por último, el cumplimiento de un error máximo permitido ess se lograaumentando K apropiadamente
1ra Gráfica de Diseño
Sólo para LEAD
wc
Re(s)
Plano s
-1
Im(s)
K(T+1)
T+1G (jw)
Interpretación de la compensación en adelanto
G(wc)+max(wc)
G (jw)
w=0+
w=
8
/G(wc)/=1
wc
30º
Diagrama de Nyquist del compensador
Frecuencia de cruce por 0dB
El compensador aporta 30º más a la fase de
la planta en c, es decir, en la frecuencia de
cruce por cero de la planta.
PlantaPlanta y compensador Lead
Planta compensada
Planta
30º
/KDG(w c
)/=1
wc
Con ello, la planta compensada y realimentadase aleja del límite de estabilidad al adquirir un mayor margen de fase igual a:
Circunferenciaunitaria
/DG(w c
)/
1/
w=
1
w=0T+1T+1
w=K/K
w=0
T+1K(T+1)
wc
Se baja la ganancia K
9
-20
0
20
-270
-180
-90-40
10 -1 100
101
102
MF
cero polo
Interpretación en DB de la compensación en adelanto
se-sTd
G(s)=Planta:(sT/+1) s
K (sT+1) e-sTd
KDG(s)=FTLA:
MF
MF deseado
K=1K<1
c
Planta
Plantacompensada
Planta
max
Ejemplo: Diseño II para una Antena Satelital
Se desea controlar un sistema de rastreo de una antena satelital:
1
s(s+1)G(s)=Especificaciones:
Especificación 1: 1/Kv menor a 0.1
Especificación 2: Mp inferior o igual al 22%
Se usa un compensador lead para satisfacer ambas especificaciones.
Solución:
Es sabido que la realimentación proporcional de este sistema no puede ofrecer un adecuado amortiguamiento s (verificar con LR!) y por ende los ts son prolongados y/o tr pequeños (notar que: ts=4.6/ , s tr=1.8/wn y s =zwn)
Por ello probamos con un compensador lead para mejorar la fase delSCLA (desplazándola hacia arriba en el DB de fase) y proveer un mayor margen de fase (ver Diagrama de Bode completo)
10
2da Gráfica de Diseño
Continúa Ejemplo de Diseño II
El error de estado estacionario del sistema tipo I es:
Para D(s) un compensador lead y R(s)=1/s2 se obtiene:
ess = 1 / KD’(0)G’(0) = 1/Kv 0.1
Se elige K=10 , la cual con D’G’(0)=1, se verifica la 1ra. especificación.
Como se sabe que el SCLC tendrá dos polos complejos conjugados, se emplea la figura de diseño como aproximación.
Observamos además un Mr de 1.2 en la frecuencia de resonancia.
Ahora falta cumplir la condición de Mp.
11
Se nota que un Mp de alrededor de 22%se logra con un MF de 45°
MF
Sob
repi
co r
ta a
l esc
alón
Mp
Sob
repi
co d
e re
sona
ncia
Mr
-80
-60
-40
-20
0
20
40
-180
-135
-90
10 -1 100
101
102
1s(s+1)
G(s)=10
s(s+1)KG(s)=s(s+1)(s/10+1)
10 (s/2+1)KDG(s)=
20 (s/2+1)KDG(s)=
s(s+1)(s/10+1)
MF total 53º
Se nota que la planta sola, incorpora 18° de MF. Un compensador deberíaaportar por lo menos 27° más (en total 45º) en la frecuencia de cruce w=3 rad/s de KG para lograr el Mp requerido de 22% como máximo
3x100
Poloplanta
Cerocompensador
Polocompensador
Integradorplanta
K=10
12
18º
Faltan 27º de aporte del Comp.
Sin embargo pedir un max de 27º significa juntar demasiado el cero y el polo del compensador. Notar en la tabla que 1/ nos da un valor de 2.6, el cual es inadmisible. Entonces tomamos el menor posible que es 1/=5.
Con 1/a=5 buscamos ahora la posición del cero a través de: = 3 rad/s.wmax= T a1
1/T = 2.17 y
1/aT = 10.87. Adoptamos el cero en -2 y polo en -10
Sin embargo sabemos que debido al cambio de ganancia, la frecuencia de corte se desplazaa la derecha y con ella el fmax. Por ello elegimos wmax=5 y de aquí sale:
Nos da en exceso un aporte de 40º .
12º
En realidad la nueva frecuencia para medir el MF se corrió a la derecha, puesel compensador aumenta la ganancia. Si medimos en esa frecuencia vemosque el aporte del compensador es de 41º y la planta en ese punto tiene sólo 12º
El MF total queda de 53º el cual produce un Mp menor del especificado igual a 15%. También el pico de resonancia es levemente superior a 0dB.
El diseño puede finalizar en este paso, o refinar el Mp al valor máximo solicitado. Se puede proceder iterativamente con max junto a 1/ o seguir el camino más fácil de aumentar levemente la ganancia K para disminuir el MF a 45º . Esto a su vez disminuye más el ess.
aporte de 41º 41º 45º
El aumento de K es de 6dB=2, y ahora Kv=20.
Fin del Diseño II para ejemplo de Antena satelital
1/ (relación de polo sobre cero)
MF
le
ad
Diseño finalMF
Sob
repi
co r
ta a
l esc
alón
Mp
Sob
repi
co d
e re
sona
ncia
Mr
Primero se sube la curva de ganancia con K=10=20dB para lograr ess=1/Kv=1/K=0.1
Continúa Ejemplo de Diseño
Tiempo s1,03s
Respuesta del sistema de lazo cerrado al escalón
0
1.4
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Respuesta Temporal del Sistema Antena Controlado
0.21s0.58s
20% Mp es levemente diferente al indicado de 22%. Esta respuesta corresponde a un de MF=53°
5%
NOTA: las curvas de Mp vs. MF son válidas para un sistema subamortiguado puro.Aquí el sistema SCLC posee además un cero en s=-2.
13
Respuesta Temporal del Sistema Antena Controlado14
Respuesta al escalón del sistema de lazo cerrado
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Tiempo (seg)
s(s+1)(s/10+1)
20 (s/2+1)KDG(s)=
s(s+1)(s/10+1)
10 (s/2+1)KDG(s)= MF=45º
MF=53º
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Diseño resultante visto en Lugar de las Raíces
15
=MF/100=0.45Polo y cero del compensador de adelanto
Planta realimentada con K pero no compensada
Planta realimentada y compensada
(=26º)
Resumen del Método de Diseño II
Determinar la ganancia K en el DB tal que el error de estado estacionario ess esté dentro de los límites de la especificación
Graficar el Diagrama de Bode para KG y extraer frecuencia de cruce
El camino alternativo y más sencillo es subir la ganancia hasta dar con el MF.Esto mejora también el error de estado estacionario.
Método
Se requiere cumplir especificaciones de Kv y Mp. Se elige Comp. Lead
Leer para esta frecuencia el MF y el aporte necesario de fase para cumplir el Mp pedido (Gráfica de Diseño Mp vs. MF). Este aporte lo provee el fmax.
Como la curva de ganancia sube un factor 1/, la frecuencia de cruce se correrá. Se elige una nueva frecuencia de cruce a la derecha
Con este nuevo max se entra a la Gráfica de Diseño 1/ vs. MF y se elige 1/a
Con la expresión wmax=1/ Ta1/2 igual a la frecuencia de cruce de KG se halla
1/T y 1/Ta , y se recalcula fmax con fmax =arcsin((a-1- 1)/(a-1+1)) Graficando Bode de KDG se verifica el MF. Si es menor o mayor se incre-menta 1/a o se disminuye para dar con el valor correcto iterativamente
16
Resumen del Método de Diseño II
Parámetros especificados en el Método de Diseño
La ganancia de baja frecuencia K que determina el ess (ó Kv)
EL sobrepico Mp la que determina la performance del SC
El margen de fase MF que determina el sobrepico Mp y con él el amortiguamiento z
Parámetros auxiliares del Método de Diseño
El factor 1/ y wmax que determinan la posición del cero y del polo del compensador de adelanto
Verificación de la justeza del método de diseño con el ploteode la respuesta al escalón del SC.
17
Compensaciones Dinámicas en el Dominio Frecuencial
Método de Diseño IIICompensador PI
Propiedades de estado estacionario
18
Diseño de un Compensador PI
Sea el compensador PI:1
sKD(s)= s +
1
TI
w (log10 w)
q [
°]
0°
-90°
-180°
w (log10 w)
/KD
/, d
b
PI-20db/dec
La ganancia es muy alta para bajas frecuencias ( para w=0), y debido aesto, la fase de KDG(jw) puede verse comprometida en la frecuencia de cruce wc de la planta, pues la fase de KD(jw) arranca con -90°.
Por ello el Criterio de Diseño es por un lado elegir 1/TI que aporte fase en lala frecuencia de cruce wc de la planta
Por otro lado, de ser necesario, se aumenta la ganancia K para proveer
un error de estado estacionario bajo (por Ej. ess<0.01).
wc1/TI
wc1/TI
19
Veamos un ejemplo en Matlab.
MATLAB
20
>> G=tf([4],conv([20 1],[25 10 1])) Transfer function: 4---------------------------------------500 s^3 + 225 s^2 + 30 s + 1 >> roots([500 225 30 1])
ans =
-0.2000 -0.2000 -0.0500
>> rlocus(G)>> bode(G)
>> PI=tf(0.005*[1/0.005 1],[1 0]) Transfer function: s + 0.005 -------------- s >> hold on>> bode(PI*G)>>>> close all>> rlocus(G)>> hold on>> rlocus(PI*G)>>
Ejemplo de Diseño III de un PI - MATLAB
Mag
nitu
d (d
B)
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
Fas
e (g
rado
s)
Diagrama de Bode
Frecuencia (rad/seg)
Se amplifica con K=6dB=2Así el ess=0.01 (a una rampa)
21
Ejemplo de Diseño III de un PI - MATLAB
-150
-100
-50
0
50
-270
-180
-90
0
El PI modifica el margen de fase
c
Planta
Planta
Planta compensada
Planta compensada
La freuencia de cruce se desplaza unpoco a la derecha
Con la elección del cero se logró no modificar el margen de faseEn este caso se puede correr la frec. del cero más a la derecha y esto mejora tantoel MF como el ess
22
Ejemplo de Diseño III de un PI - MATLAB
-0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4Lugar de las Raíces
Eje real
Eje
ima
gin
ario
-0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4Lugar de las Raíces
Eje real
Eje
ima
gin
ario
Ambos LRs se asemejan significativamente.
La diferencia esta en la nueva rama que aparece en KDG,la cual comprende al cero/integrador del PI (bajas frecuencias)
PlantaPlantacompensada
Compensaciones Dinámicas en el Dominio Frecuencial
Compensador de Atraso de Fase (lag)Método de Diseño IV
23
Compensador Dinámico por Atraso de Fase
Frente al Controlador PI visto, es conveniente emplear Compensadores Dinámicos de Atraso (lag) para mejorar el estado estacionario en una situación donde problema de margen de fase es crítico.
Así, la estructura de un compensador lag obedece a:
con a>1z p
-1/aT-1/T
s
w
24
aD(s) =Ts+1
aTs + 1
Así un PI aporta -90º en bajas frecuencias y un compensador lag sólo unos pocos grados negativos. De esta manera el ess puede bajarse mientras el MF no decae tanto como con un PI. Pero acá el sistema queda de Tipo 0 sila planta no tiene integrador.
ganancia fase
Diseño de un Compensador con Atraso de Fase
Un compensador con atraso de fase provee esencialmente suficienteganancia en bajas frecuencias (ganancia finita en w=0) como para disminuir el error de estado estacionario ess
Por ello conserva la propiedad fundamental de un PI. Sin embargo, el aporte de fase negativa no es tan grande como en este controlador
Notar que en un compensador con atraso de fase se cumple que:
con D(0) = a y D()=1, z/p=a>1 (ganancia de alta frecuencia)
es decir, el compensador provee un aumento de la ganancia estática
en la proporción D(0)= >a 1.Sabemos que el papel fundamental de este compensador es colocar el polo y el cero (a la izquierda), ambos muy cercanamente del eje imaginario, pero de tal manera que la fase de KG(jw) no sea alteradaEn frecuencias medias y altas. Supongamos que el MF ya fue logrado previamente variando K en KG.
aD(s) =Ts+1
aTs + 1
25
Método de Diseño IV con Compensador de Atraso
Determinar la Ganancia de Lazo Abierto K de KG que cumpliría los requerimientos de un MF deseado en wcruce.
Dibujar en Diagrama de Bode de KG con esa ganancia del paso anterior y evaluar la ganancia de baja frecuencia para cumplir ess
deseadoDeterminar la ganancia a para lograr el error de estado estacionario ess deseado, por ejemplo en sistemas tipo 1 ess=1/ KG(0)
Elegir la frecuencia de quiebre w=1/T del cero de D(s) de tal manera que quede a una década o dos octavas a la izquierda de wcruce
La otra frecuencia del polo w=1/aT ya queda establecida con a
Como el MF disminuye con DKG, Iterar el procedimiento alterando
levemente las ganancias K y a hasta lograr el MF!
Pasos de diseño
Dar un poco más MF, pues la fase del compensador lag retrasa en wcruce y disminuirá el MF real
26
Ejemplo de Diseño con Lag para un Sistema Térmico
Sea la planta:
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tiempo en s
y(t)
Especificaciones de Diseño IV: SCLC con un ess no mayor a 10% y con un MF mayor o igual a 40°
27
u(t)
Planta no compensada con K=1
Sistema térmico
Ejemplo de Diseño con C. Lag para un Sistema Térmico
Se empleara un compensador de atraso pues existe un requerimientode estado estacionario.
e () = lim ss 0
1
1+KD(0)G(0)
1s = 1/(1+Kp)=1/10 = 0.1 (10%) ess=
Adicionalmente:
Kp = lim KD(s)G(s)s 0
Investigamos ahora el comportamiento frecuencial de KG mediante un Diagrama de Bode. Ajustamos K para lograr para lograr MF entre 40° y 55º .
28
Por definición:
Claramente, ni la planta y ni el compensador tienen un integrador, entonces el sistema es de tipo cero y por ende el SCLC tendrá un ess
al escalón
Entonces Kp = KDG(0) = K = 9 (o mayor)
D
Construimos el Diagrama de Bode para G(jw)
Continúa Ejemplo de Diseño con C. Lag
Diagrama de Bode
Damos un MF inicial mayor de 40°, por ej. 53° y encontramos un wcruce=0.89 rad/sSubimos /G/ en el valor de 9.54 db=3 justo en cruce=0.89 rad/s Como pedimos un Kp=9 esto se logra con Kp=a*3G(0)=a*3 Esto impone un a=3 para el compensador lag. Fijamos la wquiebre del polo al menos una década a la izq. de wcruce: 1/aT=10-1 0.891/15 Luego corremos la wquiebre del cero 2 octavas del polo: 22*1/T1/3 y trazamos D(jw)El resultado es un Compensador Lag: 3*(5s+1)/(15s+1).
Mag
nitu
d (d
b)F
ase
(°)
-40
-20
0
20
10-2 10-1 100 101 102-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
10-3
G
3DG
MFfinal=45°
-127°
MFinicial=53°
wcruce=0.89 rad/s
wcruce=0.89 rad/s
3G
La curva compensada 3DG cumple con un MF de 45° y un Kp=9. No se itera más.
29
Respuesta Temporal de la Planta y de la Planta Controlada
y(t) del sistema controlado en el diseño final
y(t) de la planta
SISTEMA TÉRMICO
ess=0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
MF
Sob
repi
co r
ta a
l esc
alón
Mp
Sob
repi
co d
e re
sona
ncia
Mr
Mp=0.25
MF=45º
31
Fin del Curso FCR
2do. Cuatrimestre 2015
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