Análisis frecuencial 2

  • View
    217

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Análisis frecuencial 2

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    1/26

    Cambridge University Press 2011

    Manolakis & Ingle Fig2.1

    Seal discreta, x[n], secuencia de nmeros definida para cada valor de la variable

    entera n

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    2/26

    Cambridge University Press 2011

    Manolakis & Ingle Fig2.2

    Potencia y Energa

    Las seales de soporte finito tienen energa finita y

    potencia (energa promedio) nula.

    Secuencias elementales

    Delta de Kroneker Cajn unitario

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    3/26

    Cambridge University Press 2011

    Manolakis & Ingle Fig2.2

    Potencia y Energa

    Las seales de soporte finito tienen energa finita y

    potencia (energa promedio) nula.

    Secuencias elementales

    Delta de Kroneker Escaln unitario

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    4/26

    Cambridge University Press 2011

    Manolakis & Ingle Fig2.3

    Secuencias elementales

    Sinusoide real

    Exponencial real

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    5/26

    Secuencias elementales

    Si las variables A y a son complejas

    tenemos

    Secuencias peridicas

    Inversin temporal (plegado)

    y[n]=x[-n]

    Desplazamiento temporal

    y[n]=x[n-no]

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    6/26

    Cambridge University Press 2011

    Manolakis & Ingle Fig2.4

    Las operaciones de plegado y desplazamiento NO son conmutativas

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    7/26 Cambridge University Press 2011

    Manolakis & Ingle Fig2.5

    Sistemas de Tiempo Discreto

    Causalidad

    Un sistema es causal si el valor actual de la salida no depende de valores

    futuros de la entrada.

    Estabilidad

    Un sistema es estable en el sentido entrada acotada salida acotada (BIBO)

    si para toda entrada acotada a un sistema la salida es acotada

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    8/26 Cambridge University Press 2011

    Linealidad

    Un sistema es lineal si y solo si para cualquier constante a1, a2 y para

    Toda seal x1[n], x2[n] se cumple el principio de superposicin para todo n

    Invarianza en el tiempo

    Un sistema se denomina invariante en el tiempo si la misma entrada aplicadaen instantes distintos da por resultado la misma salida, pero desplazada

    acordemente en el tiempo

    Ejemplo

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    9/26

    Resumen de propiedades

    Nos restringiremos al estudio de sistemas LIT, que pueden representarse

    en funcin de la respuesta a una funcin simple: el impulso

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    10/26 Cambridge University Press 2011

    Manolakis & Ingle Fig2.6

    Diagramas en bloques

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    11/26

    Descomposicin de una seal en impulsos

    Si llamamos a la respuesta del sistema al impulso tenemos,

    por aplicacin de la prop. de linealidad, que

    Si adems el sistema es invariante en el tiempo

    Por lo que resulta

    Que es conocida como sumatoria de convolucin

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    12/26 Cambridge University Press 2011

    Interpretacin grfica de la convolucin

    La sumatoria es en la variable k, por lo que n es solo un parmetro.

    Graficar x[k] en una grfica con eje de abcisas k

    Para graficar h[n-k] primero reflejamos h[k] y definimos la func reflejada

    Desplazando g[k] en n muestras tenemos

    Luego para n positivos tenemos desplazamientos de g[k] a la derecha y para

    n negativos hacia la izquierda

    Finalmente multiplicamos x[k] y h[n-k] y sumamos todos los valores de esta

    nueva funcin.

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    13/26 Cambridge University Press 2011

    Manolakis & Ingle Fig2.12

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    14/26 Cambridge University Press 2011

    Manolakis & Ingle Fig2.13

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    15/26 Cambridge University Press 2011

    Manolakis & Ingle Fig2.14

    La convolucin como una superposicin de rplicas escaladas y desplazadas

    En el caso de tener un nmero finito de coeficientes (FIR) la implementacin

    puede hacerse asi

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    16/26 Cambridge University Press 2011

    Manolakis & Ingle Fig2.15

    Propiedades de la convolucin

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    17/26 Cambridge University Press 2011

    Causalidad y Estabilidad de un SLIT

    Un SLIT es causal si su respuesta al impulso satisface

    Un SLIT es estable si su respuesta al impulso satisface

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    18/26 Cambridge University Press 2011

    Convolucin de secuencias peridicas

    Consideremos que x[n] es peridica, luego reemplazando n por n+M tenemos

    Dado que x[n+N-k]=x[n-k] tenemos que y[n+N]=y[n], es decir que la salida es

    tambin peridica.

    Si en cambio consideramos que h[n] es peridica, el sistema ser inestable.Pero si x[n] es abs sumable por el resultado anterior y la propiedad de

    conmutacin la salida ser tambin peridica.

    Si tanto x[n] como h[n] son peridicas la convolucin no puede ser finita.

    Sin embargo, si los perodos de ambas, digamos L y N, son conmensurables

    se puede definir la convolucin sobre un solo perodo. Veremos como tal

    convolucin peridica (o circular) ocurre naturalmente ms adelante.

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    19/26 Cambridge University Press 2011

    Respuesta a una exponencial

    Consideremos que x[n] es una exponencial

    La salida correspondiente a esta entrada est dada por

    La cantidad entre parntesis no depende de n y la llamaremos

    As la salida de un SLIT excitado por una exponencial es una exponencial

    cuya amplitud cambia en funcin del sistema y de a.

    En el caso particular en que tenemos y por ende

    Al valor se lo conoce como respuesta en frecuencia del sistema

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    20/26

    Sistemas descritos por ecuaciones en diferencias a coeficientes constantes

    Hemos visto que

    - todo SLIT est unvocamente caracterizado por su respuesta impulsiva

    - la salida est determinada por la sumatoria de convolucin

    Existen en la prctica sistemas cuya respuesta impulsiva es infinita (IIR), por lo querealizar la sumatoria de convolucin en tiempo finito se torna imposible en muchos

    casos.

    Trataremos aqu una subclase de SLIT IIR que son realizables, y donde la salida

    y la entrada estn relacionadas por ecuaciones en diferencias a coef. ctes.

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    21/26

    Tomemos por ejemplo un SLIT IIR estable

    La salida est dada por

    Que implica

    Es decir, la salida puede obtenerse en forma recursiva, escalando la salidaprevia y sumando el valor de entrada actual apropiadamente escalado.

    (dado que y[n0-1] contiene toda la informacin relevante del pasado necesaria

    para obtener la salida en n>n0 se lo denomina estado y provee la memoria

    necesaria para separar el pasado del futuro)

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    22/26

    Cambridge University Press 2011

    Respuestas de entrada nula y de estado nulo

    Al igual que las ecuaciones diferenciales, las ecuaciones en diferencias tiene dos

    tipos de soluciones, una homognea (entrada nula) y una forzada (estado nulo).

    En el caso particular que estamos tratando tenemos para una entrada causal

    Operando resulta

    En el caso que la entrada x[n]=0 tenemos la respuesta a entrada nula

    En el caso que el estado y[n-1]=0 tenemos la respuesta de estado nulo

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    23/26

    Cambridge University Press 2011

    Luego la respuesta total del sistema est dada por dos componentes

    Puede apreciarse que esta respuesta coincide con la obtenida por la sumatoria

    de convolucin si el estado inicial es cero

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    24/26

    Respuestas de estado estacionario y transitoria

    Consideremos una entrada particular x[n]=u[n], la salida del sistema recursivo

    est dada por

    Si el sistema es estable, |a|

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    25/26

    Cambridge University Press 2011

    Sistemas recursivos generales

    Estn definidos por la siguiente ecuacin en diferencias

    El valor N se conoce como el orden del sistema. En caso que N=0 el sistema

    se torna no recursivo

    Nota: los sistemas no recursivos son FIR, pero hay sistemas FIR que pueden

    Implementarse de manera recursiva, como el siguiente ejemplo del promedio

    mvil

    Puede representarse, luego de algunas manipulaciones, como

    Estn definidos por la siguiente ecuacin en diferencias

  • 7/31/2019 Anlisis frecuencial 2

    26/26