Controladores y compensadores con OPAMP

COMPENSADOR EN ADELANTO DE FASE O ATRASO DE FASE

Función de transferencia del compensador Hallando sus ecuaciones:

'0 0 0

1 2 3 4

0 4 2

3 1

11

1 1

22

2 2

0 4 2 1 1

3 1 2 2

',

*

:

. . 1

;. . 1

( . . 1)* *

( . . 1)

i

i

i

V V V VI

Z Z R R

V R Z

V R Z

Donde

RZ

R C S

RZ

R C S

V R R R C S

V R R R C S

CONTROL PD

0 4 21 1

3 1

..( . . 1)

.i

V R RR C S

V R R

CONTROL PI

SCR

SCR

RR

RR

V

V

..

1...

.

.

22

22

13

24

1

0

CONTROL PID

2 2 1 10 4 2

3 1 2 2

. . 1 . . . 1..

. . .i

R C S R C SV R R

V R R R C S

Linealización Muchos de los modelos son no lineales, esto se debe a que

la realidad que estamos representando con ellos es no lineal. Tenemos ejemplos en la realidad que son no lineales, por ejemplo, los amplificadores operacionales cuando están en la parte de saturación, es un comportamiento no lineal. Lo mismo sucede con la zona muerta de los motores.

Si lo que tenemos es un modelo, diremos que es no lineal cuando nos aparezcan términos no lineales (): raíces cuadradas, términos sinusoidales, ...

Linealización: series de Taylor

Con una serie de Taylor infinita, podemos representar cualquier función en torno a un determinado punto, que llamaremos punto

de trabajo (pto de linealización):

Si se cumple que si los incrementos de la variable independiente alrededor del punto de trabajo, punto de linealización o punto de equilibrio son pequeños, entonces:

Podemos despreciar las potencias de orden superior de (x-x0),

quedándonos entonces la serie de Taylor de primer orden.

Linealización: Taylor 1er orden

el subíndice 0 nos representa el punto x0.

Es importante destacar que el modelo linealizado sólo es válido en un entorno pequeño alrededor del punto de linealización. Cuanto más nos alejemos de este punto, peor será la aproximación.

Ejemplo del péndulo

Término no lineal

L

at=L.(acel.ang.)

Ejemplo péndulo, continuación

Aproximación del seno en el origen por una recta

Linealización del seno respecto a:

Linealizar:

1.5 3 Linealizadoy x

Si Y=f(x1,x2)

Función linealizado

0201

__

01 02 1 01 2 0221

2 22 2

1 01 2 02 1 01 2 022 21 21 2

( , ) ( ) ( ) .....

1( ) ( ) 2 ( )( ).....

2!

xx

f fY f x x x x x x

x x

f f fx x x x x x x x

x xx x

0201

__

01 02 1 01 2 0221

rminos sup

( , ) ( ) ( )xx

Despreciando te de orden erior

f fY f x x x x x x

x x

Linealizar:

La siguiente ecuacion:

En punto de operación

2 28 3Z X XY Y

01

01

4 22 4 3

210 12

10 12 112

X X

Y Y

Solución

Función linealizado:

01 01

___

3 11

___

(3,11) ( 3) ( 11)

636 94( 3) 90( 11)

X Y

Z ZZ Z X Y

X Y

Z X Y

Ejercicio

La siguiente figura es un sistema de suspensión magnética de una esfera. El objetivo del sistema es controlar la posición de la esfera mediante el ajuste de la corriente del electroimán a través del voltaje de entrada e (t) Determinar ecuación de estado

Solución

Planteamos las siguientes ecuaciones:

2 2

2

( )

.

ie t Ri L

t

F m a

i yMg M

y t

Seleccionamos adecuadamente variables de estado Se tiene:

Ecuación no lineal:

11 2

223

22 21

33 3

.

1( )

X Y X Y X

Xy yX X g

t t X M

i RX i X X e t

t L L

23

1 2 31

( , , ).

Xf X X X g

X M

El sistema no lineal se va a linealizar en el punto

de equilibrio constante Se tiene:

0 01( )y t x

02 0 01

2 203

2 03 01201

( )0 Por que ( ) ( )

( )0

.

o

o

y tx y t x cte

t

y t Xx g X gMX

X Mt

01 02 0301 02 03 01 02 03

__

01 02 03 1 01 2 02 3 031 2 3 , ,, , , ,

:

( , , ) ( ) ( ) ( )x x xx x x x x x

Linealizando

f f fY f x x x x x x x x x

x x x

Ecuación de estado

Función linealizado

__

1 2 3 1 301 01

( , , ) 2.

g gf X X X g X X

X M X

1 2

2 1 301 01

3 3

2.

1

x x

g gx x x g

X M X

Rx x e

L L

Ec.de estado y salida

11

2 201 01

33

1

2

3

0 1 00 0

g 0 -2 0 1

x1 0

R0 0 -

L

1 0 0

xx

gx x e g

xx

x

x

y x

x