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TEMA 1: ANÁLISIS FRECUENCIAL DE LA VIBRACIÓN
1.1 Ecuación dinámica de un sistema mecánico con un grado de libertad
El sistema mecánico más sencillo, que incluye elasticidad, con un grado de
libertad viene representado por:
- Una inercia (masa), que representa la dificultad del sistema para acelerarse
- Una rigidez (constante de rigidez), que representa la dificultad del sistema para
deformarse
- Un amortiguamiento (constante de amortiguamiento), que representa la dificultad
del sistema para mantener una velocidad
Una representación de dicho sistema aparece en la figura 1.1.
Figura 1.1. Modelo de sistema mecánico con 1 G. D. L.
Si realizamos el sólido libre (ver figura 1.2) del sistema representado en la figura
1.1, al que se le incluye una fuerza de excitación F(t), tenemos la ecuación dinámica:
Figura 1.2. Sólido libre del bloque
Si expresamos las fuerzas elásticas y de amortiguamiento en función de
parámetros cinemáticas tenemos:
2
Según el valor del amortiguamiento tendremos una respuesta del sistema
distinta. En concreto podemos clasificar las respuestas en tres grupos:
1. Sobreamortiguamiento,
2. Amortiguamiento crítico,
3. Subamortiguamiento,
SOBREAMORTIGUAMIENTO
La solución de la ecuación diferencial es (ver anexo tema 1):
AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO
La solución de la ecuación diferencial es (ver anexo tema 1):
SUBAMORTIGUAMIENTO
La solución de la ecuación diferencial es (ver anexo tema 1):
Donde es un número complejo. Si definimos:
i ; km
C
41
2
Podemos realizar la siguiente transformación:
3
=A3sin( t)+A4cos( t)=A5cos( t- 2)
donde:
2
2
222
222
123
124
432
432
AAA
i
AAA
A
i
A
i
A
A
i
A
i
A
2
4
2
3
32sin
AA
A
Y finalmente la ecuación queda de la forma:
1.2 Respuesta dinámica de un sistema mecánico subamortiguado y con un grado de
libertad
Una forma más práctica de expresar el desplazamiento de un sistema mecánico
subamortiguado y con un grado de libertad es:
donde:
m
kfn
2
1 ; es la frecuencia natural no amortiguada.
km
C
4 ; es la proporción de amortiguamiento.
21nd ff ; es la frecuencia natural amortiguada.
Si la fuerza tiene la forma:
El valor de la amplitud de la vibración (ymax) dividido por F0/k para diferentes valores
de viene representado en la figura 1.3.
4
Figura 1.3 Amplitud de vibración y fase para diferentes valores de y de , y una
fuerza de excitación del tipo F0·sin( t)
Hay un máximo de dichas amplitudes exactamente para la frecuencia angular:
Esta frecuencia recibe el nombre de frecuencia de resonancia.
En la figura 1.4 se puede ver la evolución de las amplitudes de la vibración cuando la
fuerza de excitación es de la forma:
En este caso la frecuencia de resonancia aparece para la frecuencia:
Se comprende que el sistema responde con una señal que se anula enseguida
(segundo sumando), y por ello se denomina transitoria; y una señal que permanece
(primer sumando) y que se denomina permanente. Esta señal permanente es una función
senoidal de frecuencia f coincidente con la de la fuerza excitadora.
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Figura 1.4 Amplitud de vibración y fase para diferentes valores de y de , y una
fuerza de excitación del tipo m0·2·e·sin( t)
Si se representa esta señal en un gráfico de amplitudes máximas frente a
frecuencias, obtendremos un gráfico como el de la figura 1.5.
Figura 1.5 Amplitud máxima de vibración frente a frecuencia para un sistema con una
excitación de una sola frecuencia
Este gráfico se denomina espectro frecuencial de amplitudes de la señal. A la
vista de este gráfico, y conociendo el tipo de sistema que lo genera, podríamos lanzar la
hipótesis de que la fuerza excitatriz oscila a una frecuencia igual a f, lo cual nos permite
buscar el origen de dicha fuerza excitadora.
Desgraciadamente los sistemas mecánicos no son tan sencillos. Por ello vamos a
estudiar cómo obtener este espectro en frecuencia de otros tipos de funciones y así
poder diagnosticar el origen de las vibraciones.
En primer lugar vamos a distinguir dos tipos de señales vibratorias:
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Señal periódica
Señal aperiódica
SEÑAL PERIÓDICA
En un sistema más general, podríamos encontrarnos, teóricamente, con una señal
de respuesta periódica (ver figura 1.6). En este caso podemos establecer:
Figura 1.6 Representación temporal de una señal periódica
Donde ak y bk son coeficientes que se definen mediante la realización de
integrales entre -T/2 y T/2.
Así:
De donde:
Si ahora multiplicamos x(t) por sen(i·2 ·f·t) donde i es otro contador (un número
natural) y realizamos una integral similar a la anterior, tenemos:
7
Para aquellos valores de k que son distintos de i, el sumando del sumatorio se
anula. Nos queda por determinar que ocurre cuando k tiende a i:
El primer sumando del segundo término de la ecuación contiene en el numerador
un infinitésimo de orden mayor que en el denominador. En cuanto a los otros dos
sumandos:
De donde:
De forma análoga se obtiene:
En la figura 1.7 tenemos una representación en frecuencia de una señal como la
de la figura 1.6.
Figura 1.7 Representación en frecuencia de una señal periódica
Se puede observar que la frecuencia toma valores discretos, por ello el espectro
(representación en frecuencia) se llama discreto.
Teóricamente podemos decir que la señal periódica no armónica está formada
por la adición de muchas señales armónicas de frecuencias múltiplos entre sí.
La perturbación que originó estas señales de vibración a frecuencias múltiplos
denominadas armónicos es única y se puede reconocer en el espectro.
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SEÑAL NO PERIÓDICA
Es aquella cuyo período T (ver figura 1.8), por tanto, fk=1/Tdf.
Figura 1.8 Representación temporal de una señal no periódica
Si escribimos la ecuación obtenida para la señal periódica y calculamos su límite
cuando fkdf:
Donde:
fkdf k·fkf
Por tanto:
Finalmente:
Obsérvese (figura 1.9) que ahora la variable f es continua y por ello el espectro
de frecuencias se llama continuo.
Figura 1.9 Representación en frecuencia de una señal no periódica
Dado que:
9
Tenemos:
Usando la notación compleja y las propiedades de este tipo de integrales,
tenemos:
Finalmente:
Definiéndose como transformada de Fourier de x(t) a la siguiente expresión:
1.3 Densidad espectral de potencia
La historia temporal x(t) de una función muestra de un proceso aleatorio es
generalmente no periódica, y por lo tanto no puede ser representada por una serie de
Fourier discreta. Además, para un proceso estacionario, x(t) continúa indefinidamente
en el tiempo, por lo que no se satisface la condición:
Por tanto, si no se toman precauciones especiales, no es posible hallar la
transformada de Fourier de x(t). Esta dificultad puede superarse trabajando con la
función de correlación de la señal:
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Esta cambio es posible por el hecho de que la función de correlación da
información indirecta sobre las frecuencias presentes en el proceso aleatorio. Puede
comprobarse que la función Rx( ) alcanza valores máximos cuando los valores de en
que x(t) y x(t+ ) están en fase, y mínimos cuando estos están en contrafase. Por tanto,
las frecuencias presentes en una gráfica de Rx( ) en función de dan idea del contenido
en frecuencia de x(t).
Si se ajusta el origen en la medida del proceso aleatorio x(t) de forma que el
valor medio sea cero, y supuesto que x(t) no tenga componentes periódicas, se cumple
que Rx( )=0, y se satisface la condición:
La transformada de Rx( ) vendrá dada por:
Denominada densidad espectral del proceso x.
1.4 Transformada discreta de Fourier (DFT)
La transformada de Fourier aplicada a una señal conocida (ver figura 1.10)
requiere tener datos desde - a :
Si en lugar de disponer de la señal temporal continua, sólo disponemos de
valores discretos obtenidos en un muestreo a intervalos t, la transformada adoptaría la
expresión:
Figura 1.10 Señal temporal y su transformada de Fourier
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En el espectro en frecuencia representado en la figura 1.11 existe una
periodicidad que está determinada con la frecuencia con que se muestra la señal
temporal, fs=1/ t.
Figura 1.11 Señal temporal discreta y su transformada de Fourier
En caso de que la señal temporal sea periódica podemos expresarla en la forma
siguiente:
Obteniéndose el espectro recogido en la figura 1.12.
Figura 1.12 Señal temporal periódica y su transformada de Fourier
Si la función es periódica y además ha sido muestreada a intervalos t (T=N·/ t
y f=1/T) tenemos (ver figura 1.13):
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1.5 Errores en la aplicación de la transformada discreta de Fourier (DFT)
A continuación vamos a analizar que ocurre cuando a una señal no periódica se
le aplica el anterior algoritmo. Para ello, se presentará a la izquierda de las figuras 1.14,
1.15, 1.16 y 1.17 los datos temporales utilizados y a la derecha de los gráficos el
espectro correspondiente (señal vista en frecuencia).
Figura 1.13 Señal temporal periódica discreta y su transformada de Fourier
Figura 1.14
Muestreo en el tiempo
Figura 1.15 Señal muestreada en el tiempo ( t=1/fs) y su transformada
En la figura 1.15 se aprecia un error en el espectro, caracterizado por una
periodicidad en el dominio de la frecuencia. Este error se denomina aliasing.
En la figura 1.16 aparece otro tipo de error en el espectro, caracterizado por una
especie de rizado. Este error se denomina leakage.
En la figura 1.17 aparece otro tipo de error en el espectro, caracterizado por la
posible desaparición de un pico entre dos líneas de espectro, denominado "efecto valla".
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Limitación en tiempo Leakage
Figura 1.16 Señal temporal muestreada y acotada en el tiempo T=N· t
Muestreo en frecuencia Efecto valla
Figura 1.17 Señal muestreada en tiempo y en frecuencia
En la figura 1.18 se ilustra el efecto de la forma de representación sobre la
ocultación de datos.
Figura 1.18 Ilustración del efecto de una valla tapando el espectro real
1.6 Soluciones a los errores en la aplicación de la transformada discreta de Fourier
(DFT)
En el apartado anterior se han presentado los tres errores que se cometen al
aplicar la transformada de Fourier sin tomar precauciones en cuanto a su efecto. Estos
son:
- Aliasing
- Leakage
- Efecto valla
ALIASING
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Como se ha comentado este efecto está relacionado con la utilización de valores
discretos de la señal muestreados a intervalos t=1/fs. En la figura 1.18 puede verse
como el espectro por encima de una determinada frecuencia f=fs/2.57 (frecuencia de
Nyquist) está repetido.
Figura 1.18 Espectro con periodicidad debido a aliasing y frecuencia de corte (se puede
aproximar la frecuencia de Nyquist por fs/2)
Para comprender mejor la causa del aliasing hay que pensar en dos señales de
distinta frecuencia y valores coincidentes en los instantes de muestreo (figura 1.19). El
resultado del muestreo es el mismo en tiempo pero los espectros posibles de todas las
señales con el mismo resultado del muestreo es infinito (se repite a múltiplos de la
frecuencia de muestreo, fs).
Figura 1.19 Señales temporales distintas pero con igual señal muestreada
Para eliminar la multiplicidad del espectro, se suele añadir un filtro paso bajo
que elimine aquellas señales de frecuencia superior a la mitad de la de muestreo.
LEAKAGE
En las figuras 1.20, 1.21 y 1.22 vemos como la duración, T, del registro
temporal tiene efecto sobre el espectro obtenido. Estos son casos sencillos de leakage.
Para comprender mejor la causa del leakage hay que pensar que las señales
analizadas no son las reales sino unas alteradas por la imposición de una duración del
registro analizado (figuras 1.23).
Otra versión de leakage (figura 1.24) es cuando fijamos una duración de registro
temporal que coincide con el periodo de una señal (por ejemplo, el correspondiente a
una frecuencia de 400 Hz) y lo aplicamos a una señal cuyo periodo es ligeramente
diferente (frecuencias de 400.1 Hz y 400.5 Hz).
Para solucionar el problema del leakage se emplean las "ventanas temporales".
Estas ventanas consisten en multiplicar el valor de la señal durante el registro temporal
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por una función que altera el valor de la señal original (figura 1.25) intentando no alterar
su contenido en frecuencia (figura 1.26).
Figura 1.20 Señal temporal y espectro asociado a un registro temporal T=m·Tp
Figura 1.21 Señal temporal y espectro asociado a un registro temporal T m·Tp
Figura 1.22 Señal temporal y espectro asociado a un registro temporal T m·Tp
Figura 1.23 Registros asociados a la figura 1.22 cuando se aplica el registro temporal de
duración T
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Figura 1.24 DFT de una señal:
(a) 400 Hz = 24000 cpm
(b) 400.1 Hz = 24006 cpm
(c) 400.5 Hz = 24030 cpm
Figura 1.25 Aplicación de una ventana temporal (rectangular) a una señal temporal
Espectro exacto Espectro obtenido
Figura 1.26 Efecto sobre el espectro debido a la aplicación de una ventana temporal
sobre el registro temporal
Se comprende fácilmente que el espectro obtenido está condicionado por el
perfil de la "ventana temporal" o función de ponderación utilizada. Esto explica que se
elija un tipo determinado de ventana según la señal a analizar.
EFECTO VALLA
Este efecto se puede reducir utilizando una ventana temporal o aumentando la
resolución en frecuencia (queda menos espacio desconocido entre líneas).
1.6 Transformada rápida de Fourier (FTT)
Anteriormente se ha visto el algoritmo para obtener la transformada discreta de
Fourier:
(a)
(b) (c)
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Donde k=0, 1, 2, …, N-1.
Si calculáramos los valores de Xk de forma directa, tendríamos que realizar N
multiplicaciones de la forma xj·exp(-i2 kj/N) para cada uno de los N valores de Xk. Por
tanto, el cálculo de la sucesión requeriría N2 multiplicaciones.
El algoritmo denominado transformada rápida de Fourier (fast Fourier
transform, FFT) divide la sucesión original en una colección de sucesiones más cortas.
Así se aplica la DFT a estas secuencias más cortas.
Veamos un ejemplo (figura 1.27) en que sólo se parte la sucesión de datos
temporales en dos sucesiones, yk y zk.
Figura 1.27 Partición de una sucesión de medidas de una señal temporal
Las transformadas discretas de Fourier serán:
La relación entre Xk y las dos sucesiones definidas anteriormente es:
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Donde k=0, 1,2, …, (N/2)-1
Así pues Xk puede obtenerse a partir de Zk e Yk con la salvedad de que para
obtener los valores de Xk cuando k N/2, podemos hacer uso de la siguiente propiedad
de la DFT: La transformada discreta de Fourier de un trozo de señal digital es periódica.
Yk-(N/2)=Yk Zk-N/2=Zk
Por tanto, para k N/2 tenemos que:
Si se repite varias veces la operación de subdividir cada sucesión de valores,
podemos reducir el número de operaciones. El proceso para una sucesión de cuatro
valores aparece en la figura 1.28.
Figura 1.28 Organigrama de cálculo de la transformada rápida de Fourier
Así resulta:
Y0=1/2(x0+x2) Y1=1/2(x0-x2)
Z0=1/2(x1+x3) Z1=1/2(x1-x3)
Por tanto:
X0=1/2(Y0+Z0)=1/4(x0+x2+x1+x3)
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En la figura 1.29 se representa esquemáticamente las operaciones a realizar.
Figura 1.29 Detalle de las operaciones de la FFT
En resumen, en lugar de hacer N2=4
2= 16 operaciones (transformada discreta de
Fourier) se realizan N·log24=8 operaciones (transformada rápida de Fourier).
1.6 Ventanas temporales
Las ventanas temporales o funciones de ponderación se pueden considerar como
filtros y estudiarlas según las siguientes características:
- Ancho de banda efectivo
- Ancho de banda a 3 dB
- Selectividad
- Ripple
ANCHO DE BANDA EFECTIVO
Es el ancho de banda que tendría un filtro ideal (figura 1.30) que dejara pasar la
misma energía de señal de "ruido blanco" que el filtro real (ruido blanco es una
señal que está compuesta de señales de la misma intensidad a todas las
frecuencias)
ANCHO DE BANDA 3 dB
Es la distancia en Hz entre puntos de media potencia (-3 dB) sobre el eje de
amplitud.
SELECTIVIDAD
Mide la capacidad de un filtro para separar componentes de distintos niveles. Se
indica mediante el factor de forma definido por:
B60dB/B3dB
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Figura 1.30 Características de un filtro pasabanda
RIPPLE
Amplitud de oscilación del espectro en su parte superior medido en dB.
El ancho de banda efectivo y la selectividad nos dicen lo bien que el filtro
determina las componentes frecuenciales de la señal, mientras el ripple determina la
exactitud en la medida de la amplitud.
Los tipos de ventanas temporales más comunes son:
- Ventana rectangular
- Ventana Hanning
VENTANA RECTANGULAR
La ponderación viene definida por (figura 1.31):
u(t)=1 0 t T
u(t)=0 t>T
Las discontinuidades al principio y al final del trozo de dato temporal causa
"leakage" de energía a partir de la frecuencia principal de la onda seno en las
frecuencias cercanas (figura 1.21 y 1.22). Tiene una selectividad muy pobre y una
gran cantidad de ripple (3.9 dB).
VENTANA HANNING
La ponderación viene definida por (figura 1.32):
u(t)=1-cos(2 t) 0 t T
u(t)=0 t>T
Este tipo de ventana proporciona un registro temporal sin discontinuidades. El
leakage es limitado y el ripple es de 1.4 dB.
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Figura 1.31 Ponderación en tiempo y frecuencia de una ventana rectangular
Figura 1.32 Ponderación en tiempo y frecuencia de una ventana Hanning
COMPARACIÓN ENTRE VENTANA RECTANGULAR Y HANNING
En la figura 1.33 se analiza una señal con una frecuencia pura de f0 y coincidente
con una línea del espectro. La ventana rectangular sólo produce una sola línea (no
hay leakage). La ventana Hanning produce tres líneas espectrales (hay leakage).
En la figura 1.34 se analiza una señal con una frecuencia f0 y que se sitúa entre
dos líneas espectrales. La ventana rectangular produce dos líneas de igual
amplitud en el primer lóbulo y una serie de líneas en cada lateral de altura
decreciente. El valor de la amplitud en las dos líneas de mayor amplitud es menor
en 3.9 dB respecto del valor real. La ventana Hanning tiene un comportamiento
similar pero la diferencia de amplitudes de las dos líneas de mayor amplitud y el
valor real es de 1.4 dB.
Existen fórmulas para intentar corregir las lecturas en frecuencia y en amplitud.
En el caso de una señal senoidal, si el registro temporal coincide con un número entero
de ciclos de la señal, el espectro aparece sobre el lóbulo principal y el resultado es un
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espectro correcto. Esto puede conseguirse sincronizando los intervalos de registro con la
señal.
Figura 1.34 Espectro de una señal a una frecuencia coincidente con una línea
espectral
Figura 1.35 Espectro de una señal cuya frecuencia cae entre dos líneas espectrales
1.7 Análisis en tiempo real
El dispositivo de medida necesita un tiempo para implementar los algoritmos
(Tiempo de análisis, TAN). Por otro lado los dispositivos de memoria (dos) del equipo
pueden almacenar los datos durante un tiempo (tiempo de registro temporal, T). Por
tanto, si TAN es menor que T no habrá pérdida de información
En la figura 1.36 puede verse el esquema de tiempos para una medida en tiempo
real. Cuando termina de realizarse un registro temporal (línea vertical discontinua)
comienza el cálculo FFT. Puede verse como se solapan los registros de tiempo.
En la figura 1.37 puede verse el esquema de tiempos para una medida que ya no
es en tiempo real. En los registros temporales pueden verse huecos que suponen pérdida
de información.
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Figura 1.36 Esquema de tiempos para una medida en tiempo real
Figura 1.37 Esquema de tiempos para una medida con pérdida de datos temporales
Memoria 1
Memoria 2
FFT 1 1 1 2 2
