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TEMA 1: ANLISIS FRECUENCIAL DE LA VIBRACIN

1.1 Ecuacin dinmica de un sistema mecnico con un grado de libertad

El sistema mecnico ms sencillo, que incluye elasticidad, con un grado de

libertad viene representado por:

- Una inercia (masa), que representa la dificultad del sistema para acelerarse - Una rigidez (constante de rigidez), que representa la dificultad del sistema para

deformarse

- Un amortiguamiento (constante de amortiguamiento), que representa la dificultad del sistema para mantener una velocidad

Una representacin de dicho sistema aparece en la figura 1.1.

Figura 1.1. Modelo de sistema mecnico con 1 G. D. L.

Si realizamos el slido libre (ver figura 1.2) del sistema representado en la figura

1.1, al que se le incluye una fuerza de excitacin F(t), tenemos la ecuacin dinmica:

Figura 1.2. Slido libre del bloque

Si expresamos las fuerzas elsticas y de amortiguamiento en funcin de

parmetros cinemticas tenemos:

2

Segn el valor del amortiguamiento tendremos una respuesta del sistema

distinta. En concreto podemos clasificar las respuestas en tres grupos:

1. Sobreamortiguamiento,

2. Amortiguamiento crtico,

3. Subamortiguamiento,

SOBREAMORTIGUAMIENTO

La solucin de la ecuacin diferencial es (ver anexo tema 1):

AMORTIGUAMIENTO CRTICO

La solucin de la ecuacin diferencial es (ver anexo tema 1):

SUBAMORTIGUAMIENTO

La solucin de la ecuacin diferencial es (ver anexo tema 1):

Donde es un nmero complejo. Si definimos:

i ; km

C

41

2

Podemos realizar la siguiente transformacin:

3

=A3sin( t)+A4cos( t)=A5cos( t- 2)

donde:

2

2

222

222

123

124

432

432

AAA

i

AAA

A

i

A

i

A

A

i

A

i

A

2

4

2

3

32sin

AA

A

Y finalmente la ecuacin queda de la forma:

1.2 Respuesta dinmica de un sistema mecnico subamortiguado y con un grado de

libertad

Una forma ms prctica de expresar el desplazamiento de un sistema mecnico

subamortiguado y con un grado de libertad es:

donde:

m

kfn

2

1 ; es la frecuencia natural no amortiguada.

km

C

4 ; es la proporcin de amortiguamiento.

21nd ff ; es la frecuencia natural amortiguada.

Si la fuerza tiene la forma:

El valor de la amplitud de la vibracin (ymax) dividido por F0/k para diferentes valores

de viene representado en la figura 1.3.

4

Figura 1.3 Amplitud de vibracin y fase para diferentes valores de y de , y una

fuerza de excitacin del tipo F0sin( t)

Hay un mximo de dichas amplitudes exactamente para la frecuencia angular:

Esta frecuencia recibe el nombre de frecuencia de resonancia.

En la figura 1.4 se puede ver la evolucin de las amplitudes de la vibracin cuando la

fuerza de excitacin es de la forma:

En este caso la frecuencia de resonancia aparece para la frecuencia:

Se comprende que el sistema responde con una seal que se anula enseguida

(segundo sumando), y por ello se denomina transitoria; y una seal que permanece

(primer sumando) y que se denomina permanente. Esta seal permanente es una funcin

senoidal de frecuencia f coincidente con la de la fuerza excitadora.

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Figura 1.4 Amplitud de vibracin y fase para diferentes valores de y de , y una

fuerza de excitacin del tipo m02esin( t)

Si se representa esta seal en un grfico de amplitudes mximas frente a

frecuencias, obtendremos un grfico como el de la figura 1.5.

Figura 1.5 Amplitud mxima de vibracin frente a frecuencia para un sistema con una

excitacin de una sola frecuencia

Este grfico se denomina espectro frecuencial de amplitudes de la seal. A la

vista de este grfico, y conociendo el tipo de sistema que lo genera, podramos lanzar la

hiptesis de que la fuerza excitatriz oscila a una frecuencia igual a f, lo cual nos permite

buscar el origen de dicha fuerza excitadora.

Desgraciadamente los sistemas mecnicos no son tan sencillos. Por ello vamos a

estudiar cmo obtener este espectro en frecuencia de otros tipos de funciones y as

poder diagnosticar el origen de las vibraciones.

En primer lugar vamos a distinguir dos tipos de seales vibratorias:

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Seal peridica

Seal aperidica

SEAL PERIDICA

En un sistema ms general, podramos encontrarnos, tericamente, con una seal

de respuesta peridica (ver figura 1.6). En este caso podemos establecer:

Figura 1.6 Representacin temporal de una seal peridica

Donde ak y bk son coeficientes que se definen mediante la realizacin de

integrales entre -T/2 y T/2.

As:

De donde:

Si ahora multiplicamos x(t) por sen(i2 ft) donde i es otro contador (un nmero

natural) y realizamos una integral similar a la anterior, tenemos:

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Para aquellos valores de k que son distintos de i, el sumando del sumatorio se

anula. Nos queda por determinar que ocurre cuando k tiende a i:

El primer sumando del segundo trmino de la ecuacin contiene en el numerador

un infinitsimo de orden mayor que en el denominador. En cuanto a los otros dos

sumandos:

De donde:

De forma anloga se obtiene:

En la figura 1.7 tenemos una representacin en frecuencia de una seal como la

de la figura 1.6.

Figura 1.7 Representacin en frecuencia de una seal peridica

Se puede observar que la frecuencia toma valores discretos, por ello el espectro

(representacin en frecuencia) se llama discreto.

Tericamente podemos decir que la seal peridica no armnica est formada

por la adicin de muchas seales armnicas de frecuencias mltiplos entre s.

La perturbacin que origin estas seales de vibracin a frecuencias mltiplos

denominadas armnicos es nica y se puede reconocer en el espectro.

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SEAL NO PERIDICA

Es aquella cuyo perodo T (ver figura 1.8), por tanto, fk=1/Tdf.

Figura 1.8 Representacin temporal de una seal no peridica

Si escribimos la ecuacin obtenida para la seal peridica y calculamos su lmite

cuando fkdf:

Donde:

fkdf kfkf

Por tanto:

Finalmente:

Obsrvese (figura 1.9) que ahora la variable f es continua y por ello el espectro

de frecuencias se llama continuo.

Figura 1.9 Representacin en frecuencia de una seal no peridica

Dado que:

9

Tenemos:

Usando la notacin compleja y las propiedades de este tipo de integrales,

tenemos:

Finalmente:

Definindose como transformada de Fourier de x(t) a la siguiente expresin:

1.3 Densidad espectral de potencia

La historia temporal x(t) de una funcin muestra de un proceso aleatorio es

generalmente no peridica, y por lo tanto no puede ser representada por una serie de

Fourier discreta. Adems, para un proceso estacionario, x(t) contina indefinidamente

en el tiempo, por lo que no se satisface la condicin:

Por tanto, si no se toman precauciones especiales, no es posible hallar la

transformada de Fourier de x(t). Esta dificultad puede superarse trabajando con la

funcin de correlacin de la seal:

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Esta cambio es posible por el hecho de que la funcin de correlacin da

informacin indirecta sobre las frecuencias presentes en el proceso aleatorio. Puede

comprobarse que la funcin Rx( ) alcanza valores mximos cuando los valores de en

que x(t) y x(t+ ) estn en fase, y mnimos cuando estos estn en contrafase. Por tanto,

las frecuencias presentes en una grfica de Rx( ) en funcin de dan idea del contenido

en frecuencia de x(t).

Si se ajusta el origen en la medida del proceso aleatorio x(t) de forma que el

valor medio sea cero, y supuesto que x(t) no tenga componentes peridicas, se cumple

que Rx( )=0, y se satisface la condicin:

La transformada de Rx( ) vendr dada por:

Denominada densidad espectral del proceso x.

1.4 Transformada discreta de Fourier (DFT)

La transformada de Fourier aplicada a una seal conocida (ver figura 1.10)

requiere tener datos desde - a :

Si en lugar de disponer de la seal temporal continua, slo disponemos de

valores discretos obtenidos en un muestreo a intervalos t, la transformada adoptara la

expresin:

Figura 1.10 Seal temporal y su transformada de Fourier

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En el espectro en frecuencia representado en la figura 1.11 existe una

periodicidad que est determinada con la frecuencia con que se muestra la seal

temporal, fs=1/ t.

Figura 1.11 Seal temporal discreta y su transformada de Fourier

En caso de que la seal temporal sea peridica podemos expresarla en la forma

siguiente:

Obtenindose el espectro recogido en la figura 1.12.

Figura 1.12 Seal temporal peridica y su transformada de Fourier

Si la funcin es peridica y adems ha sido muestreada a intervalos t (T=N/ t

y f=1/T) tenemos (ver figura 1.13):

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1.5 Errores en la aplicacin de la transformada discreta de Fourier (DFT)

A continuacin vamos a analizar que ocurre cuando a una seal no peridica se

le aplica el anterior algoritmo. Para ello, se presentar a la izquierda de las figuras 1.14,

1.15, 1.16 y 1.17 los datos temporales utilizados y a la derecha de los grficos el

espectro correspondiente (seal vista en frecuencia).

Figura 1.13 Seal temporal peridica discreta y su transformada de Fourier

Figura 1.14

Muestreo en el tiempo

Figura 1.15 Seal muestreada en el tiempo ( t=1/fs) y su transformada

En la figura 1.15 se aprecia un error en el espectro, caracterizado por una

periodicidad en el dominio de la frecuencia. Este error se denomina aliasing.

En la figura 1.16 aparece otro tipo de error en el espectro, caracterizado por una

especie de rizado. Este error se denomina leakage.

En la figura 1.17 aparece otro tipo de error en el espectro, caracterizado por la

posible desaparicin de un pico entre dos lneas de espectro, denominado "efecto valla".

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Limitacin en tiempo Leakage

Figura 1.16 Seal temporal muestreada y acotada en el tiempo T=N t

Muestreo en frecuencia Efecto valla

Figura 1.17 Seal muestreada en tiempo y en frecuencia

En la figura 1.18 se ilustra el efecto de la forma de representacin sobre la

ocultacin de datos.

Figura 1.18 Ilustracin del efecto de una valla tapando el espectro real

1.6 Soluciones a los errores en la aplicacin de la transformada discreta de Fourier

(DFT)

En el apartado anterior se han presentado los tres errores que se cometen al

aplicar la transformada de Fourier sin tomar precauciones en cuanto a su efecto. Estos

son:

- Aliasing - Leakage

- Efecto valla

ALIASING

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Como se ha comentado este efecto est relacionado con la utilizacin de valores

discretos de la seal muestreados a intervalos t=1/fs. En la figura 1.18 puede verse

como el espectro por encima de una determinada frecuencia f=fs/2.57 (frecuencia de

Nyquist) est repetido.

Figura 1.18 Espectro con periodicidad debido a aliasing y frecuencia de corte (se puede

aproximar la frecuencia de Nyquist por fs/2)

Para comprender mejor la causa del aliasing hay que pensar en dos seales de

distinta frecuencia y valores coincidentes en los instantes de muestreo (figura 1.19). El

resultado del muestreo es el mismo en tiempo pero los espectros posibles de todas las

seales con el mismo resultado del muestreo es infinito (se repite a mltiplos de la

frecuencia de muestreo, fs).

Figura 1.19 Seales temporales distintas pero con igual seal muestreada

Para eliminar la multiplicidad del espectro, se suele aadir un filtro paso bajo

que elimine aquellas seales de frecuencia superior a la mitad de la de muestreo.

LEAKAGE

En las figuras 1.20, 1.21 y 1.22 vemos como la duracin, T, del registro

temporal tiene efecto sobre el espectro obtenido. Estos son casos sencillos de leakage.

Para comprender mejor la causa del leakage hay que pensar que las seales

analizadas no son las reales sino unas alteradas por la imposicin de una duracin del

registro analizado (figuras 1.23).

Otra versin de leakage (figura 1.24) es cuando fijamos una duracin de registro

temporal que coincide con el periodo de una seal (por ejemplo, el correspondiente a

una frecuencia de 400 Hz) y lo aplicamos a una seal cuyo periodo es ligeramente

diferente (frecuencias de 400.1 Hz y 400.5 Hz).

Para solucionar el problema del leakage se emplean las "ventanas temporales".

Estas ventanas consisten en multiplicar el valor de la seal durante el registro temporal

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por una funcin que altera el valor de la seal original (figura 1.25) intentando no alterar

su contenido en frecuencia (figura 1.26).

Figura 1.20 Seal temporal y espectro asociado a un registro temporal T=mTp

Figura 1.21 Seal temporal y espectro asociado a un registro temporal T mTp

Figura 1.22 Seal temporal y espectro asociado a un registro temporal T mTp

Figura 1.23 Registros asociados a la figura 1.22 cuando se aplica el registro temporal de

duracin T

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Figura 1.24 DFT de una seal:

(a) 400 Hz = 24000 cpm

(b) 400.1 Hz = 24006 cpm

(c) 400.5 Hz = 24030 cpm

Figura 1.25 Aplicacin de una ventana temporal (rectangular) a una seal temporal

Espectro exacto Espectro obtenido

Figura 1.26 Efecto sobre el espectro debido a la aplicacin de una ventana temporal

sobre el registro temporal

Se comprende fcilmente que el espectro obtenido est condicionado por el

perfil de la "ventana temporal" o funcin de ponderacin utilizada. Esto explica que se

elija un tipo determinado de ventana segn la seal a analizar.

EFECTO VALLA

Este efecto se puede reducir utilizando una ventana temporal o aumentando la

resolucin en frecuencia (queda menos espacio desconocido entre lneas).

1.6 Transformada rpida de Fourier (FTT)

Anteriormente se ha visto el algoritmo para obtener la transformada discreta de

Fourier:

(a)

(b) (c)

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Donde k=0, 1, 2, , N-1.

Si calculramos los valores de Xk de forma directa, tendramos que realizar N

multiplicaciones de la forma xjexp(-i2 kj/N) para cada uno de los N valores de Xk. Por

tanto, el clculo de la sucesin requerira N2 multiplicaciones.

El algoritmo denominado transformada rpida de Fourier (fast Fourier

transform, FFT) divide la sucesin original en una coleccin de sucesiones ms cortas.

As se aplica la DFT a estas secuencias ms cortas.

Veamos un ejemplo (figura 1.27) en que slo se parte la sucesin de datos

temporales en dos sucesiones, yk y zk.

Figura 1.27 Particin de una sucesin de medidas de una seal temporal

Las transformadas discretas de Fourier sern:

La relacin entre Xk y las dos sucesiones definidas anteriormente es:

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Donde k=0, 1,2, , (N/2)-1

As pues Xk puede obtenerse a partir de Zk e Yk con la salvedad de que para

obtener los valores de Xk cuando k N/2, podemos hacer uso de la siguiente propiedad

de la DFT: La transformada discreta de Fourier de un trozo de seal digital es peridica.

Yk-(N/2)=Yk Zk-N/2=Zk

Por tanto, para k N/2 tenemos que:

Si se repite varias veces la operacin de subdividir cada sucesin de valores,

podemos reducir el nmero de operaciones. El proceso para una sucesin de cuatro

valores aparece en la figura 1.28.

Figura 1.28 Organigrama de clculo de la transformada rpida de Fourier

As resulta:

Y0=1/2(x0+x2) Y1=1/2(x0-x2)

Z0=1/2(x1+x3) Z1=1/2(x1-x3)

Por tanto:

X0=1/2(Y0+Z0)=1/4(x0+x2+x1+x3)

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En la figura 1.29 se representa esquemticamente las operaciones a realizar.

Figura 1.29 Detalle de las operaciones de la FFT

En resumen, en lugar de hacer N2=4

2= 16 operaciones (transformada discreta de

Fourier) se realizan Nlog24=8 operaciones (transformada rpida de Fourier).

1.6 Ventanas temporales

Las ventanas temporales o funciones de ponderacin se pueden considerar como

filtros y estudiarlas segn las siguientes caractersticas:

- Ancho de banda efectivo - Ancho de banda a 3 dB

- Selectividad - Ripple

ANCHO DE BANDA EFECTIVO

Es el ancho de banda que tendra un filtro ideal (figura 1.30) que dejara pasar la

misma energa de seal de "ruido blanco" que el filtro real (ruido blanco es una

seal que est compuesta de seales de la misma intensidad a todas las

frecuencias)

ANCHO DE BANDA 3 dB

Es la distancia en Hz entre puntos de media potencia (-3 dB) sobre el eje de

amplitud.

SELECTIVIDAD

Mide la capacidad de un filtro para separar componentes de distintos niveles. Se

indica mediante el factor de forma definido por:

B60dB/B3dB

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Figura 1.30 Caractersticas de un filtro pasabanda

RIPPLE

Amplitud de oscilacin del espectro en su parte superior medido en dB.

El ancho de banda efectivo y la selectividad nos dicen lo bien que el filtro

determina las componentes frecuenciales de la seal, mientras el ripple determina la

exactitud en la medida de la amplitud.

Los tipos de ventanas temporales ms comunes son:

- Ventana rectangular - Ventana Hanning

VENTANA RECTANGULAR

La ponderacin viene definida por (figura 1.31):

u(t)=1 0 t T

u(t)=0 t>T

Las discontinuidades al principio y al final del trozo de dato temporal causa

"leakage" de energa a partir de la frecuencia principal de la onda seno en las

frecuencias cercanas (figura 1.21 y 1.22). Tiene una selectividad muy pobre y una

gran cantidad de ripple (3.9 dB).

VENTANA HANNING

La ponderacin viene definida por (figura 1.32):

u(t)=1-cos(2 t) 0 t T

u(t)=0 t>T

Este tipo de ventana proporciona un registro temporal sin discontinuidades. El

leakage es limitado y el ripple es de 1.4 dB.

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Figura 1.31 Ponderacin en tiempo y frecuencia de una ventana rectangular

Figura 1.32 Ponderacin en tiempo y frecuencia de una ventana Hanning

COMPARACIN ENTRE VENTANA RECTANGULAR Y HANNING

En la figura 1.33 se analiza una seal con una frecuencia pura de f0 y coincidente

con una lnea del espectro. La ventana rectangular slo produce una sola lnea (no

hay leakage). La ventana Hanning produce tres lneas espectrales (hay leakage).

En la figura 1.34 se analiza una seal con una frecuencia f0 y que se sita entre

dos lneas espectrales. La ventana rectangular produce dos lneas de igual

amplitud en el primer lbulo y una serie de lneas en cada lateral de altura

decreciente. El valor de la amplitud en las dos lneas de mayor amplitud es menor

en 3.9 dB respecto del valor real. La ventana Hanning tiene un comportamiento

similar pero la diferencia de amplitudes de las dos lneas de mayor amplitud y el

valor real es de 1.4 dB.

Existen frmulas para intentar corregir las lecturas en frecuencia y en amplitud.

En el caso de una seal senoidal, si el registro temporal coincide con un nmero entero

de ciclos de la seal, el espectro aparece sobre el lbulo principal y el resultado es un

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espectro correcto. Esto puede conseguirse sincronizando los intervalos de registro con la

seal.

Figura 1.34 Espectro de una seal a una frecuencia coincidente con una lnea

espectral

Figura 1.35 Espectro de una seal cuya frecuencia cae entre dos lneas espectrales

1.7 Anlisis en tiempo real

El dispositivo de medida necesita un tiempo para implementar los algoritmos

(Tiempo de anlisis, TAN). Por otro lado los dispositivos de memoria (dos) del equipo

pueden almacenar los datos durante un tiempo (tiempo de registro temporal, T). Por

tanto, si TAN es menor que T no habr prdida de informacin

En la figura 1.36 puede verse el esquema de tiempos para una medida en tiempo

real. Cuando termina de realizarse un registro temporal (lnea vertical discontinua)

comienza el clculo FFT. Puede verse como se solapan los registros de tiempo.

En la figura 1.37 puede verse el esquema de tiempos para una medida que ya no

es en tiempo real. En los registros temporales pueden verse huecos que suponen prdida

de informacin.

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Figura 1.36 Esquema de tiempos para una medida en tiempo real

Figura 1.37 Esquema de tiempos para una medida con prdida de datos temporales

Memoria 1

Memoria 2

FFT 1 1 1 2 2