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Autor: Mario A. Jordán Fundamentos de Control Realimentado NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre 2015. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2007 Clase 29 Versión 1 - 2015

2 Compensaciones Dinámicas en el Dominio Frecuencial Método de Diseño II Compensadores de adelanto de fase 3

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FCR, 2do Cuatrimestre 2012

Autor: Mario A. JordnFundamentos de Control RealimentadoNOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR,2do. Cuatrimestre 2015. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografa disponible y es una contribucin didctica para el Curso. Esta versin est sujeta a futuras mejoras y extensiones. Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2007Clase 29 Versin 1 - 2015Contenido:Criterio de Estabilidad de NyquistOtros Mtodos de Diseo de un SC en la frecuenciaCompensadores dinmicos de adelanto2Compensadores dinmicos de atrasoCompensaciones Dinmicas en el Dominio FrecuencialMtodo de Diseo IICompensadores de adelanto de fase33Compensador Dinmico por Adelanto de FaseFrente al Controlador PD visto, es conveniente emplear Compensadores Dinmicos de Adelanto (lead) cuando el problema de ruido del sensor es significativo (tpicamente en bandas de altas frecuencias, ms altas quela ltima frecuencia de corte de la planta). Tambin se emplea para ganar mayor margen de fase y alejar el sistema de control de la inestabilidad.As, la estructura de un compensador lead obedece a:

con 1>a>0zp1-aa1/T

-1/T-1/aT swEjemplo con =0.14Ejemplo con =0.11/a4mucho efecto de filtrado de ruido en altas frecuencias. Ademsdistorsiona la ganancia, incrementndola en altas frecuencias.Pues si la separacin entre p y z es alta ( 1a1/a>>1) el polo no tiene Caractersticas propias de la Compensacin LeadLa fase del compensador es:Derivando f respecto a w e igualando a 0:

, y reemplazando wmax en f queda:La relacin normal entre el polo p y el cero z es de 1/a entre 5 y 10Contrariamente, si p y z se juntan (a=1) no hay un adelantamiento de fase significativo (se compensan sus efectos por cancelacin de p y z!)wmax=T a1(d[atan()]/d=1/(1+2))5 = arcsen 1/a -11/a +1010002000300040005000600000.20.40.60.811.21.4atan(T)atan(T)atan(T)- atan(T)wmax5Mtodo de diseo II y justificacin6Idea centralLa forma de elegir el cero-polo del compensador en adelanto es sencilla.La idea central consiste en sumar una fase adicional con el compensador Al margen de fase que ya tiene la planta, es decir G(c)+Lead (c), para alcanzar el valor de margen de fase deseadoSi una planta no tiene suficiente Margen de Fase, y se desea aumentarlo para especificar por ejemplo un menor Mp del SCLC, entonces se debe adelantar la fase justo en la frecuencia de cruce por cero c de la planta GPor conveniencia, el aporte de fase del lead se elige igual a su fase mxima en c, quedando definida la posicin relativa entre el cero y el polo del lead.El compensador tiene todava una variable ms que es la ganancia K.La misma puede elegirse para satisfacer condiciones del estado estacionario, por ejemplo disminuir el error de control a largo plazoPor ltimo el clculo definitivo de ellos se logra imponiendo un valor 1/ apropiado, el cual puede estar entre 5 y 10 6Con una relacin 101/a5 se desprende que el margen de fase mximoque puede aportar el compensador cumple 40 MF 55.7

1/ (relacin de polo sobre cero)MF leadEl diseo del compensador por adelanto comienza estableciendo 2 especificaciones del SCLC:Mtodo de diseo II Especificaciones1) El sobrepico Mp mximo deseado en la respuesta al escaln2) Un mximo error permitido ess del estado estacionarioPara disear un compensador que satisfaga las 2 condiciones se utiliza la siguiente grfica: Por ltimo, el cumplimiento de un error mximo permitido ess se lograaumentando K apropiadamente 1ra Grfica de DiseoSlo para LEAD7wcRe(s)Plano s-1Im(s)K(T+1)T+1G (jw)Interpretacin de la compensacin en adelantoG(wc)+max(wc)G (jw)w=0+w=8/G(wc)/=1wc30 Diagrama de Nyquist del compensadorFrecuencia de cruce por 0dBEl compensador aporta 30 ms a la fase de la planta en c, es decir, en la frecuencia decruce por cero de la planta.PlantaPlanta y compensador LeadPlanta compensadaPlanta30 /KDG(wc)/=1wcCon ello, la planta compensada y realimentadase aleja del lmite de estabilidad al adquirir un mayor margen de fase igual a:Circunferenciaunitaria/DG(wc)/1/w=1w=0T+1T+1w=K/Kw=0T+1K(T+1)wcSe baja la ganancia K89-20020-270-180-90-4010-1100101102 MFceropoloInterpretacin en DB de la compensacin en adelantose-sTdG(s)=Planta:(sT/+1) sK (sT+1) e-sTd

KDG(s)=FTLA:MFMF deseadoK=1K G=tf([4],conv([20 1],[25 10 1])) Transfer function: 4---------------------------------------500 s^3 + 225 s^2 + 30 s + 1 >> roots([500 225 30 1])

ans =

-0.2000 -0.2000 -0.0500

>> rlocus(G)>> bode(G)>> PI=tf(0.005*[1/0.005 1],[1 0]) Transfer function: s + 0.005 -------------- s >> hold on>> bode(PI*G)>>>> close all>> rlocus(G)>> hold on>> rlocus(PI*G)>>

Ejemplo de Diseo III de un PI - MATLAB20Magnitud (dB)10-410-310-210-1100101Fase (grados)Diagrama de BodeFrecuencia (rad/seg)Se amplifica con K=6dB=2As el ess=0.01 (a una rampa)21Ejemplo de Diseo III de un PI - MATLAB-150-100-50050-270-180-900El PI modifica el margen de fasecPlantaPlantaPlanta compensadaPlanta compensadaLa freuencia de cruce se desplaza unpoco a la derechaCon la eleccin del cero se logr no modificar el margen de faseEn este caso se puede correr la frec. del cero ms a la derecha y esto mejora tantoel MF como el ess2122Ejemplo de Diseo III de un PI - MATLAB-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.1-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4Lugar de las RacesEje realEje imaginario-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.1-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4Lugar de las RacesEje realEje imaginarioAmbos LRs se asemejan significativamente.La diferencia esta en la nueva rama que aparece en KDG,la cual comprende al cero/integrador del PI (bajas frecuencias)PlantaPlantacompensada22Compensaciones Dinmicas en el Dominio FrecuencialCompensador de Atraso de Fase (lag)Mtodo de Diseo IV2323

Compensador Dinmico por Atraso de FaseFrente al Controlador PI visto, es conveniente emplear Compensadores Dinmicos de Atraso (lag) para mejorar el estado estacionario en una situacin donde problema de margen de fase es crtico.As, la estructura de un compensador lag obedece a:con a>1zp-1/aT-1/T sw24aD(s) =Ts+1aTs + 1As un PI aporta -90 en bajas frecuencias y un compensador lag slo unos pocos grados negativos. De esta manera el ess puede bajarse mientras el MF no decae tanto como con un PI. Pero ac el sistema queda de Tipo 0 sila planta no tiene integrador.gananciafase24Diseo de un Compensador con Atraso de FaseUn compensador con atraso de fase provee esencialmente suficienteganancia en bajas frecuencias (ganancia finita en w=0) como para disminuir el error de estado estacionario essPor ello conserva la propiedad fundamental de un PI. Sin embargo, el aporte de fase negativa no es tan grande como en este controladorNotar que en un compensador con atraso de fase se cumple que: con D(0) = a y D()=1, z/p=a>1 (ganancia de alta frecuencia)es decir, el compensador provee un aumento de la ganancia esttica en la proporcin D(0)=a>1.Sabemos que el papel fundamental de este compensador es colocar el polo y el cero (a la izquierda), ambos muy cercanamente del eje imaginario, pero de tal manera que la fase de KG(jw) no sea alteradaEn frecuencias medias y altas. Supongamos que el MF ya fue logrado previamente variando K en KG.aD(s) =Ts+1aTs + 125Mtodo de Diseo IV con Compensador de AtrasoDeterminar la Ganancia de Lazo Abierto K de KG que cumplira los requerimientos de un MF deseado en wcruce. Dibujar en Diagrama de Bode de KG con esa ganancia del paso anterior y evaluar la ganancia de baja frecuencia para cumplir ess deseadoDeterminar la ganancia a para lograr el error de estado estacionario ess deseado, por ejemplo en sistemas tipo 1 ess=1/ KG(0)Elegir la frecuencia de quiebre w=1/T del cero de D(s) de tal manera que quede a una dcada o dos octavas a la izquierda de wcruce La otra frecuencia del polo w=1/aT ya queda establecida con aComo el MF disminuye con DKG, Iterar el procedimiento alterandolevemente las ganancias K y a hasta lograr el MF!Pasos de diseoDar un poco ms MF, pues la fase del compensador lag retrasa en wcruce y disminuir el MF real26Ejemplo de Diseo con Lag para un Sistema TrmicoSea la planta:

02468101200.20.40.60.81

Tiempo en sy(t)Especificaciones de Diseo IV: SCLC con un ess no mayor a 10% y con un MF mayor o igual a 4027u(t)Planta no compensada con K=1Sistema trmicoEjemplo de Diseo con C. Lag para un Sistema TrmicoSe empleara un compensador de atraso pues existe un requerimientode estado estacionario. e () = lim ss 011+KD(0)G(0)1s= 1/(1+Kp)=1/10 = 0.1 (10%) ess=Adicionalmente: Kp = lim KD(s)G(s)s 0Investigamos ahora el comportamiento frecuencial de KG mediante un Diagrama de Bode. Ajustamos K para lograr para lograr MF entre 40 y 55 . 28Por definicin: Claramente, ni la planta y ni el compensador tienen un integrador, entonces el sistema es de tipo cero y por ende el SCLC tendr un essal escalnEntonces Kp = KDG(0) = K = 9 (o mayor)DConstruimos el Diagrama de Bode para G(jw) Contina Ejemplo de Diseo con C. LagDiagrama de BodeDamos un MF inicial mayor de 40, por ej. 53 y encontramos un wcruce=0.89 rad/sSubimos /G/ en el valor de 9.54 db=3 justo en cruce=0.89 rad/s Como pedimos un Kp=9 esto se logra con Kp=a*3G(0)=a*3 Esto impone un a=3 para el compensador lag. Fijamos la wquiebre del polo al menos una dcada a la izq. de wcruce: 1/aT=10-1 0.891/15 Luego corremos la wquiebre del cero 2 octavas del polo: 22*1/T1/3 y trazamos D(jw)El resultado es un Compensador Lag: 3*(5s+1)/(15s+1). Magnitud (db)Fase ()-40-2002010-210-1100101102-270-225-180-135-90-45010-3G3DGMFfinal=45-127MFinicial=53wcruce=0.89 rad/swcruce=0.89 rad/s3GLa curva compensada 3DG cumple con un MF de 45 y un Kp=9. No se itera ms. 29Respuesta Temporal de la Planta y de la Planta Controladay(t) del sistema controlado en el diseo finaly(t) de la plantaSISTEMA TRMICOess=0.10246810121416182000.20.40.60.8130

MFSobrepico rta al escaln Mp Sobrepico de resonancia MrMp=0.25MF=4531Fin del Curso FCR2do. Cuatrimestre 2015