ZBIRKA RE«â€SENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2 2019. 11. 6.¢  mr vene t. bogoslavov zbirka re«â€senih zadataka

  • View
    5

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of ZBIRKA RE«â€SENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2 2019. 11. 6.¢  mr vene t....

  • Mr VENE T. BOGOSLAVOV

    ZBIRKA REŠENIH ZADATAKA

    IZ MATEMATIKE 2

    35. ispravljeno izdanje

    ZAVOD ZA UDŽBENIKE BEOGRAD

  • Redaktor i recenzent DOBRILO TOŠIĆ

    Urednik MILOLJUB ALBIJANIĆ

    Odgovorni urednik MILORAD MARJANOVIĆ

    Za izdavača MILOLJUB ALBIJANIĆ direktor i glavni urednik

    Ministar prosvete Republike Srbije, svojim rešenjem broj 650-02-00278/2008-06, od 21.07.2008. godine, odobrio je ovu ZBIRKU REŠENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE za izdavanje i upotrebu u drugom razredu gimnazija.

    CIP- Katalogizacija u publikaciji Narodna biblioteka Srbije, Beograd

    37.016 : 51(075.3)(076)

    BOGOSLAVOV, Vene T., 1932-

    Zbirka rešenih zadataka iz matematike 2/ Vene Bogoslavov - 35. ispravljeno izd. - Beograd: Zavod za udžbenike, 2011 (Beograd: Cicero). - 407 str. : graf. prikazi, tabele; 20 cm

    Tiraž 10.000. - Str. 4: Predgovor/ Dobrilo Tošić, Miloljub Albiijanic. - Beleška o autoru: str. 406-407. Bibliografija 404-405. ISBN 978-86-17-17461-1

    COBISS.SR-ID 184374028

    c©ZAVOD ZA UDŽBENIKE, Beograd (2008–2011) Ovo delo se ne sme umnožavati i na bilo koji način reprodukovati, u celini niti u delovima, bez pismenog odobrenja izdavača.

  • S ljubavlju

    snahi Sonji i sinu Draganu

  • PREDGOVOR

    Ovo je trideset peto izdanje. Prvo izdanje je publikovano januara 1971. godine. Do sada je ukupan tiraž bio blizu 370 000 primeraka, što je svojevrsan rekord!! Većina autora u svakom novom izdanju dodaju nove sadržaje. To je slučaj i sa ovom knjigom. Broj zadataka se stalno povećavao, pri čemu je zanemarivana provera ili pobolǰsavanje postojećih zadataka. Zbog toga je proizašla potreba da se knjiga sistematski i de- taljno pregleda.

    Na inicijativu Zavoda ovo izdanje je kardinalno ispravljeno. Ovog mukotrpnog i dugotrajnog posla prihvatio se prvo potpisani. Svaki za- datak je detaljno rešen i mnogi rezultati su provereni na računaru. Pri tome je primećen i otklonjen veliki broj štamparskih i još veći broj stvarnih grešaka. Naravno, teško je ispraviti sve greške, pogotovo kada ih ima mnogo. Kao uteha, često se kaže da nisu dobre one knjige u kojima nema grešaka.

    Do navedene inicijative je došlo i zbog saznanja da ova značajna knjiga ima veliku odgovornost i ulogu u procesu matematičkog obrazovanja u Srbiji, s obzirom da se decenijama preporučuje velikom broju učenika.

    Interesantno je da većina učenika srednjih škola gradivo iz matematike savlad-uju isključivom upotrebom zbirki zadataka. Dakle, matematika se uči rešavanjem zadataka. Mnogi nisu nikada otvorili udžbenik, ili za njega nisu čuli da postoji. Izgleda da je i nastavnicima lakše da tako rade, zaboravljajući da je dobra teorija najbolja praksa. To je dovelo do toga da se prosek nivoa znanja matematike svake godine smanjuje. U zadnjih nekoliko godina osvojeno je dosta medalja na matematičkim olimpijadama–svake godine sve vǐse i vǐse. Med-utim, sredina je sve slabija i slabija. To se najbolje vidi kada se pogledaju tekstovi zadataka iz matematike sa prijemnih ispita na fakultetima.

    Ova knjiga sadrži pored jednostavnih i veliki broj težih ali lepih za- dataka. Upravo je to bio razlog da se otklone greške i mnogi nedostaci. Nadamo se da će ovako osvežena knjiga doživeti još dosta izdanja.

    Beograd, maja 2011. Dobrilo Tošic Miloljub Albijanić

  • S A D R Ž A J

    I GLAVA (Rešenja)

    1. STEPENOVANJE I KORENOVANJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 (190) 1.1. Stepen čiji je izložilac ceo broj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 (190) 1.2. Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj.

    Osnovne operacije sa stepenima i korenima. . . . . . . . . . . . . . . . .16 (191) 1.3. Kompleksni brojevi i osnovne operacije sa njima . . . . . . . . . . . 50 (207)

    II GLAVA

    2. KVADRATNA JEDNAČINA I KVADRATNA FUNKCIJA 54 (209) 2.1. Kvadratna jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 (209) 2.2. Vietove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma

    na linearne činioce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 (214) 2.3. Neke jednačine koje se svode na kvadratne . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (219)

    2.3.1. Bikvadratna jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 (219) 2.3.2. Binomne jednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 (221) 2.3.3. Trinomne jednačine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 (222) 2.3.4. Simetrične (recipročne) jednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 (223)

    2.4. Kvadratna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 (226) 2.5. Kvadratna nejednačina. Znak kvadratnog trinoma . . . . . . . . . 83 (234) 2.6. Sistem od jedne linearne i jedne ili dve kvadratne jednačine

    sa dve nepoznate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 (240) 2.7. Iracionalne jednačine i nejednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 (250)

    III GLAVA

    3. EKSPONENCIJALNA I LOGARITAMSKA FUNKCIJA . 100 (256) 3.1. Eksponencijalna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 (256) 3.2. Eksponencijalne jednačine i nejednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 (259) 3.3. Logaritamska funkcija. Osnovna pravila logaritmovanja.

    Dekadni logaritmi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105 (265) 3.4. Logaritamske jednačine i nejednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 (272) 3.5. Sistem logaritamskih jednačina sa dve nepoznate . . . . . . . . . . 117 (278)

    IV GLAVA

    4. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 (279) 4.1. Definicije trigonometrijskih funkcija ma kog ugla . . . . . . . . . . 119 (279) 4.2. Svod-enje trigonometrijskih funkcija ma kog ugla

    na trigonometrijske funkcije oštrog ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 (286) 4.3. Adicione formule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 (287)

    4.3.1. Trigonometrijske funkcije zbira i razlike uglova. . . . . . . .128 (287)

  • 6 Sadržaj

    4.3.2. Trigonometrijske funkcije dvostrukih uglova . . . . . . . . . . 130 (288) 4.3.3. Trigonometrijske funkcije poluglova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 (289) 4.3.4. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih

    funkcija u proizvod i obrnuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 (291) 4.3.5. Kombinovani zadaci iz adicionih formula. . . . . . . . . . . . . .134 (291)

    4.4. Trigonometrijske jednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 (323) 4.5. Trigonometrijske nejednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 (355) 4.6. Grafici trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 (361) 4.7. Sinusna i kosinusna teorema sa primenama. . . . . . . . . . . . . . . . 169 (378)

    V GLAVA

    5. RAZNI ZADACI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176 (388)

    LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

    BELEŠKA O AUTORU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

  • IZ DREVNE ISTORIJE ALGEBRE

    Isečak iz Ahmesovog papirusa. Ova stara knjiga čuva se sada u Bri- tanskom muzeju u Londonu.

    U XVII veku pre naše ere egipatski sveštenik Ahmes, po ugledu na neki još stariji rukopis, napisao je pomenuti papirus u kome je sakupio uglavnom sva dotadašnja znanja iz geometrije i algebre. Papirus sadrži osamdeset zadataka iz algebre, svaki sa sopstvenim rešenjem. Mnogi od tih zadataka bili su “Odredi broj”. Ovako je glasio jedan Ahmesov za- datak: “Gomila, njene dve trećine, jedna polovina i tri sedmine, sabrane zajedno daju 33. Odrediti gomilu”. Neki su bili očigledno samo za zabavu, na primer: “Ima 7 kuća, u svakoj kući ima po sedam mačaka, svaka mačka ubija sedam mǐseva, svaki mǐs pojede po sedam klasova pšenice. Svaki klas pšenice će dati 7 hektara zrna. Koliko je žita spaseno?” Većina zadataka je vezana za svakodnevni život (za hleb, pivo, hranjenje stoke, itd.). . .

  • ZADACI

    I GLAVA

    1. STEPENOVANJE I KORENOVANJE

    1.1. Stepen čiji je izložilac ceo broj

    Ako je a ∈ R ∧ a 6= 0 i n ∈ N, onda:

    1◦ a0 def = 1; 2◦. a−n

    def =

    1

    an .

    Ako su a, b ∈ R ∧ a 6= 0 ∧ b 6= 0) i m, n ∈ N, onda: 1◦ am · an = am+m; 2◦ am : an = am−n; 3◦ (am)n = amn;

    4◦ (ab)n = an · bn; 5◦ (a

    b

    )n

    = an

    bn .

    1. Izračunati:

    a) 50 + 3−2 · (

    1

    9

    )

    −1

    ; b) (a − b)0 + 0, 1−2 · 10−1 (a 6= b);

    c)

    (

    1

    2

    )

    −2

    − (

    1

    4

    )

    −1

    · 2−2; d) (

    (

    1 1

    3

    )

    −1

    − 2−2 )

    −3

    .

    2. Izračunati:

    a) 0, 1−4 + 0, 01−3 + 0, 001−2 + 0, 0001−1 + 0, 00001−0;

    b) (x + y)0 + 0, 25−1 + (−0, 5)−2 + (0, 0010)−4 (x + y 6= 0). 3. Izračunati: