Teorija elasti�nostiTeorija elasti�nosti 11

Uvod u teoriju elasti�nosti

1.Naprezanje i deformacija

2.Hookeov zakon; Elasti�na sila

3.Vrste naprezanja:

(i) vla�no

(ii) tla�no

(iii) smicanje

Teorija elasti�nostiTeorija elasti�nosti 22

Uvod u teoriju elasti�nosti

• Naprezanje i deformacija

Naprezanje σσσσ se definira kao omjer sile i površine na koju ta sile djeluje:

Deformacija εεεε �vrstog tijela je promjena dimenzija i volumena tijela, te je obi�no pra�ena promjenom oblika tijela. Najjednostavnija deformacija je linearna i definira se kao:

Elasti�nost je svojstvo materijala ���� nakon prestanka djelovanja vanjskih sila: (i) savršeno elasti�na tijela sevra�aju u po�etni oblik, (ii) savršeno plasti�na tijela potpuno zadržavaju svoj deformirani oblik, (iii) djelomi�noelasti�na tijela se ponašaju negdje izme�u ova dva ekstrema

��

���

�= 2mN

SFσ

ll∆=ε

Teorija elasti�nostiTeorija elasti�nosti 33

• Ovisnost deformacije o naprezanju

ε

σelasti�nost

A

BC

D

σ ∼ ε ;

To�ka A: granica linearnosti;

To�ka B: granica elasti�nosti,

dolazi podru�je plasti�nosti;

To�ka C: odre�uje maksimalno

naprezanje koje materijal može

izdržati;

To�ka D: dolazi do kidanja

materijala;

Teorija elasti�nostiTeorija elasti�nosti 44

• Hookeov zakon. Elasti�na sila

U podru�ju linearne deformacije �vrstih elasti�nih tijela vrijedi Hookeov zakon:

E je Youngov modul elasti�nosti.

Izotropni materijali imaju jednaka svojstva u svimsmjerovima.

εσ E=

210210�elik�elik

7070aluminijaluminij

5050staklostaklo

0.010.01gumaguma

EE (GN/m(GN/m22))Materijal Materijal

Teorija elasti�nostiTeorija elasti�nosti 55

V(r)

r

r0

V(r0)

Elasti�ne deformacije i Hookeov zakon možemo objasniti promatraju�i mikroskopsku strukturu, tj. kristalnu rešetki �vrstih tijela. Kada nema naprezanja, atomi su u svojim ravnotežnim položajima. Pri deformaciji razmak me�u atomima se mijenja, pove�ava ili smanjuje, ovisno o tome kakva je deformacija. Javljaju se privla�ne odnosno odbojne sile koje se suprostavljaju djelovanju vanjske sile. Za male deformacije, ovisnost sile o promjeni udaljenosti r je linearna.

[RasMol]

Teorija elasti�nostiTeorija elasti�nosti 66

• Vrste naprezanja(i)Vla�no naprezanje (kada na istom pravcu djeluju sile jednakog iznosa a suprotnog smjera i nastoje produžiti tijelo);

• Pri produženju štapa popre�ne se dimenzije smanjuju. RelativnaPopre�na kontrakcija je proporcionlna naprezanju:

ll

dd

Edd

∆

∆

−=−=∆ µσµ ,

µµµµ je konstanta, tzv. Poissonov broj(0.2<µµµµ<0.5)

Teorija elasti�nostiTeorija elasti�nosti 77

(ii) Tla�no naprezanje (kada sile djeluju tako da nastoje smanjiti dimenzije tijela);

Kada se zbog djelovanje vanjskih sila okomitih na cijelo oplošje tijela volumen tijela mijenja,Hookeov zakon glasi:

B je volumni modul elasti�nosti;K (recipro�na vrijednost modula elasti�nosti) zove se stla�ivost;

VV

Bp∆−=−= σ

Teorija elasti�nostiTeorija elasti�nosti 88

(iii) Smicanje i torzija;

Tangencijalno naprezanje i deformacija smicanjem;

β << � tgβ ≈ β � ε≈β

)1(2

1

µ

τββ

τ

+=

=≈

=

EG

Gtg

SF

G je konstanta, modul smicanja; Povezana s Youngovim modulom iPossonovim brojem;

kutnadeformacija

Hookeovzakon

Teorija elasti�nostiTeorija elasti�nosti 99

Posebni primjer smicanja je torzija štapa.

θFF

Popre�ni presjeci štapa duljine l i promjera 2r ostaju isti;

Torzionu deformaciju pokazuje kut θθθθ za koji se uvije slobodni kraj štapa;

D je torziona konstanta;

θ

π

τβπ

θ

DM

Gl

rD

GM

rl

G

=

=

==

2

]1

[21

4

4

kut torzije proporcionalan momentu vanjskog para sila M

Teorija elasti�nostiTeorija elasti�nosti 1010

Nove konstante:

G=E/(2(1+G=E/(2(1+µµ))))Modul smicanjaModul smicanja

DDTorziona konstantaTorziona konstanta

KKStla�ivostStla�ivost

BBVolumni modul Volumni modul elasti�nostielasti�nosti

µµPoissonov Poissonov brojbroj

E=E=σσ//εεYoungov Youngov modulmodul

elasti�nostielasti�nosti