4-AKSIJALNO NAPREZANJE STR 89 - 128

  • View
    941

  • Download
    2

Embed Size (px)

Text of 4-AKSIJALNO NAPREZANJE STR 89 - 128

Aksijalno naprezanjeIsak Karabegovi , Tehni ki fakultet Biha Aksijalno naprezanje predstavlja specijalni slu aj ravnog stanja napona. Ono se javlja kada je tap na svojim krajevima optere en zateu im ili pritiskuju im kolinearnim silama iji se pravci poklapaju s uzdunom osom tapa. To je jednoosno naprezanje i u popre nom presjeku koji je okomit na uzdunu osu javlja se samo normalna komponenta tenzora napona z = (slika 4.1.).

F

A

=

F A

F

F

Slika 4.1. tap pod djelovanjem vanjskih i unutranjih sila89

4.1. Naponi i deformacije aksijalno napregnutog tapa Nose i element oblika tapa (slika 4.1.) optere en je na krajevima podunim centri nim silama F. Ako se tap presije e, unutranja sila predstavlja rezultantu elementarnih sila raspore enih po povrini A popre nog presjeka. Moe se re i da je sila raspore ena po jedinici povrine ili intenzitet sile podijeljen s popre nim presjekom napon , tj.

=

F . A

(4.1)

Da bi se definisao napon u odre enoj ta ki popre nog presjeka, potrebno je razmatrati malu povrinu A unutar popre nog presjeka (slika 4.2.). Veli ina F je srednja vrijednost unutranje sile raspore ene po tom elementu povrine. Koli nik napona. Kada

A 0 dobija se napon u ta ki, tj. = limF dF = . A dA

F je srednja vrijednost A

A 0

(4.2)

F

AP

F

Slika 4.2. Prosje na vrijednost normalnog napona poduno napregnutog tapa U optem slu aju vrijednosti napona u izrazu (4.1) i u izrazu (4.2) nisu jednake. Sila, odnosno optere enje po popre nom presjeku tapa mijenja se po izrazu

dF = dA .( A)

(4.3)

Mada je distribucija napona neodre ena, u praksi se uzima da je distribucija normalnih napona u aksijalno optere enom tapu uniformna. I unutranje sile su ravnomjerno raspore ene po popre nom presjeku, pa sila F djeluje u centru popre nog presjeka.90

To zna i da je ravnomjerna distribucija napona mogu a samo ako aksijalne sile prolaze kroz centre popre nih presjeka , pa je to centri no optere enje tapova. Da bi se moglo zaklju iti ho e li tap izdrati zadatu silu F, mora se napon izra unat u tapu, uporediti s maksimalnim dozvoljenim naponom za materijal tog tapa i on mora biti manji ili jednak dozvoljenom naponu. Pored napona za analizu i dizajniranje aksijalno napregnutih tapova vane su deformacije koje su posljedica djelovanja optere enja. Posebno je vano izbje i velike deformacije, to je prvi korak u zatiti tapne strukture, koja treba da ostvari ulogu za koju je namijenjena. Analiza deformacija moe pomo i u odre ivanju naprezanja. Naime, nije uvijek mogu e odrediti sile u tapovima samo primjenom principa statike. To je stoga to je statika zasnovana na pretpostavkama da je tijelo kruto, tj. nedeformabilno. U stvarnosti inenjerske konstrukcije su deformabilne. Analiziraju i deformacije u razli itim dijelovima konstrukcije mogu e je na i sile makar se konstrukcije sa stati kog aspekta smatrale stati ki neodre ene. Za potpuno razumjevanje naprezanja unutar lanova konstrukcije neophodno je razumjeti deformacije. Na slici 4.3 prikazan je tap BC konstantnog popre nog presjeka A. Kada se na kraj tapa u ta ki C nanese aksijalna sila F do i e do izduenja tapa za duinu l to je direktna posljedica djelovanja sile F .

B l0

B

Cl

CF

z Slika 4.3. Izduenje aksijalno napregnutog tapa Ako se tap aksijalno optereti na oba kraja, slika 4.4., silama F i - F , po etna duina tapa lo promijenit e se i postati l = l0 + l , tj. tap je promijenio duinu i izduio se za

apsolutno izduenje l . Istovremeno e u popre nom pravcu aksijalno optere enog tapa nastati deformacija i to e do i do smanjenja irine b0 na b. Ukoliko umjesto isteu ih aksijalnih sila djeluju pritiskuju e aksijalne sile duina tapa e se skratiti za l , a irina pove ati za b.

91

b0

F

F

b

z

l/2l

l0

l/2

Slika 4.4. Izduenje aksijalno napregnutog tapa na oba kraja Promjena duine osim u apsolutnim veli inama izduenja moe se dati i u relativnim odnosima. Tako se relativno izduenje tapa na slici 4.4 moe definirati izrazom

z =gdje je:

l l 0 l = , l0 l0

(4.4)

z - dilatacija ili relativno izduenje u pravcu ose z, l0 po etna duina tapa, a l - kona na duina tapa.

S obzirom da se odvija u uzdunom pravcu tapa z, dilatacija dok je dilatacija

p popre

z

se ozna ava kao uzduna,

na dilatacija, tj.

p =

b b0 b = . b0 b0

(4.5)

U podru ju elasti nih deformacija postoji veza izme u uzdunih i popre nih dilatacija, koja je eksperimentalno odre ena i data izrazom

p = z ,

(4.6)

gdje je: - Poasonov (Poisson) koeficijent. Znak minus pokazuje da je popre na dilatacija suprotnog predznaka od uzdune. 4.2. Veza izme u napona i deformacije Ve ina inenjerskih konstrukcija se dizajnira za male deformacije koje se nalaze u linearnom podru ju elasti nosti. U tom podru ju linearnosti napona i deformacije postoji proporcionalnost izme u napona i deformacije data izrazom

= E ,92

(4.7)

koja je eksperimentalno odre ena (Dodatak 2 Eksperimentalno odre ivanje zavisnosti napon-dilatacija). Koeficijent proporcionalnosti E predstavlja Jangov (Young) modul elasti nosti koji je karakteristika materijala i izraava se u Pa. Izraz 4.7 poznat je kao Hukov (Hooke) zakon. U podru ju linearne elasti nosti na osnovu (4.7), (4.1) i (4.4) dobija se

F l =E , A l0odakle je apsolutno izduenje

(4.8)

l =

F l0 . EA

(4.9)

Umnoak EA zove se aksijalna krutost.

4.2.1. Stati ki odre eni problemi Ako je homogeni tap BC, konstantnog popre nog presjeka A, izloen djelovanju samo jedne aksijalne sile F (slika 4.3.), u popre nom presjeku se javlja normalni napon a izduenje tapa je

=

l =

popre nih presjeka, potrebno je odrediti unutranju aksijalnu silu u pojedinim segmentima, jer ona nije konstantna du tapa (slika 4.5a). Ukupno izduenje tapa je

Fl0 . Me utim, ako je tap optere en silama Fi u nekoliko AE

F , A

l =i

li =i

Faili , EA

(4.10)

gdje Fai nije vanjsko optere enje, nego je unutranja aksijalna sila u segmentu i, a li je duina tog segmenta. Normalni napon u pojedinim segmentima je

i =

Fai . A

(4.11)

Ako se umjesto tapa konstantnog popre nog presjeka posmatra tap koji se sastoji od nekoliko segmenata od razli itih materijala Ei, popre nih presjeka Ai i duina li na koje djeluju sile Fi (slika 4.5b.) ukupno izduenje je

l =i

Faili . Ai Ei

(4.12)93

l1

l1

F1F2

F1 F2

l2

l3

l3

l2

F3z z

F3

a) b) Slika 4.5. Aksijalno optere en tap a) konstantnog popre nog presjeka b) stepenasto promjenljivog popre nog presjeka Dakle, u izrazu (4.12) je Fai intenzitet aksijalne sile u odgovaraju em popre nom presjeku tapa. Ako je optere enje raspodijeljeno kontinuirano (na primjer tap optere en vlastitom teinom) ili se presjek tapa mijenja kontinuirano, tap treba podijeliti na beskona no mnogo dijelova duine z 0 . Tada je ukupno izduenje

l = lim

z 0

i

Fai zi , Ai Ei

(4.13)

odnosno, ukupno izduenje tapa dobiveno integriranjem po duini je

l =

l

0

F dz , AE

(4.14)

gdje su F i A funkcije koordinate z.94

4.2.2. Stati ki neodre eni problemi Konstrukcija u kojoj se javlja k nepoznatih reakcija veza i unutranjih sila u tapovima, ako ima s stepeni slobode kretanja, pri emu je k>s, je stati ki neodre ena konstrukcija. Stepen stati ke neodre enosti te konstrukcije je n= k s. (4.15)

Da bi se takvi problemi rijeili uvode se dodatne jedna ine, koje vrijede za deformirani sistem. Naime, uspostavlja se veza izme u deformacija pojedinih dijelova konstrukcije, tj. radi se geometrijska analiza na ina deformiranja konstrukcije. Na taj na in se dobija broj jedna ina jednak broju nepoznatih (reakcije veza i unutranje sile u tapovima). Stati ki neodre eni problemi iz aksijalnog naprezanja mogu se svrstati u tri grupe. 4.2.2.1. tapovi serijski vezani Na slici 4.6a., prikazan je tap promjenjivog popre nog presjeka, koji je ukljeten na krajevima i optere en aksijalnom silom F. Reakcije u osloncima A i B su nepoznate. Moe se postaviti jedan stati ki uslov ravnotee (slika 4.6b):

Fz = 0,

FA + FB F = 0

(a)

u kome se javljaju dvije nepoznate. Dakle, problem je jednom stati ki neodre en. z B (A1, E) 3 2 l

FB3

FB

FF2

+

F

Fa-

2l

l

(A2, E)

1

1

a) A

b)

FA

c) FA

Slika 4.6. a) Stati ki neodre en tap b) Sile u stati ki neodre enom tapu c) Dijagram aksijalnih sila95

Dodatni uslov se dobija iz uslova deformabilnosti. Na slici 4.6b se vidi da nema pomjeranja ta aka A i B, pa je ukupno pomjeranje, naprimjer ta ke A

l1 + l2 + l3 = 0,odnosno, koritenjem izraza (4.12) dobija se

(b)

Iz (c) se dobija

FA 2l FAl (FA F )l = 0. EA2 EA1 EA1

(c)

FA =a iz (a) druga nepoznata

A2 F, 2( A1 + A2 )

FB =Naponi su na osnovu (4.11)

2 A1 + A2 F. 2( A1 + A2 )

1 =

FA , A2

2 =

FA , A1

3 =

F FA . A1

4.2.2.2. Zglobno vezani tapovi Na slici 4.7.a prikazana su tri tapa zglobno vezana u C i optere ena silom F. Da bi se odredile sile u tapovima koriste se stati ki uslovi ravnotee:

Fx = 0, Fy = 0,

F2 sin F3 sin = 0, F2 = F3 , (d) F1 + F2 cos + F3 cos F = 0,

F1 + 2 F2 cos = F .

(e)

96

E, A, l1 C

F1l2a

y

l1

C E, A, l2

Search related